18.1.3-中位线新人教版

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证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF D ∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 CF∥DA，CF=DA B ∴CF∥BD，CF=BD A ∴四边形DBCF是平行四边形 DF∥BC，DF=BC 1 E 又DE= DF 还有另外的证法吗？ D
1 ∴DE∥BC且DE= BC 2
E
B
F
D
C
定 理 应 用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2 倍或 1/2提供了一个新的途径
注意：
在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
D
C E
B
例1：求证顺次连结四边形各边中点所得的四 任意四边形四边中点连线所得的四边形 边形是平行四边形。 一定是平行四边形。 已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中 AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平 行四边形。 A
H
D
E G F C
B
例2：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF 提示:证明△ABF≌ △ECF,
A D E (1) C
B D A
E C
B
(2)
点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点.
1 求证：OE= BE. 4
3、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的
1.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,F 分别为AC，BC的中点，CE是斜 C 边的中线，如果DF=3cm， D F 则CE=_______cm。
平行四边形判定（3）
三角形的中位线
A
D
E
B
C
回顾与联想：
(1)AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD (3) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D (4) AO=OC, BO=OD (5) AB∥CD,AB=CD
□ ABCD
A O
D
B
C
引例：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、 1 A AC的中点，求证DE∥BC且DE= BC
B
C
∴DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
定义：把连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线。
中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的 第三边，且等于第三边的一半。
①证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍 或1/2
三角形的中位线与三角形的中wk.baidu.com有 什么区别？ A A
D E
B F C 中位线是两个中点的连线，而中线是一个 顶点和对边中点的连线。
得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. B A G F E O C
D
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A H E F B C O G
D
练一练
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=______. 2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
B
C
巩固练习：
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、
BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能 在图中画出多少个平行四边形？
A D B
三条中位线把原三角形 分成了几个小三角形？ 这些三角形有什么关系？
F E C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？ A
C
2
F
B
C
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC 。
A
D E
证明：如 图，延 长DE 到 F，使
EF=DE ，连 结CF. ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC
F ∴△ADE ≌ △CFE
∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF 所以 ，四边形BCFD是平行四边形
直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。 A E B
图1
2.已知如图2，BD、CE分别是 △ABC的外 角 平分线，过点A作AF⊥BD,AG ⊥CE，垂 足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与 直线BC相交,求证: A
∟
D F
FG=1/2（AB+BC+AC）
H H
E G B C
K
思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、 CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证： ∠EDG＝ ∠EFG。 分析：EF是△ABC的中位线 1 EF AC A 2 DG是Rt△ADC斜边上的中线 1 DG AC 2 E G ∴EF＝DG 你还想到了什么？