三角形中位线课件
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三角形中位线定理课件
三角形中位线定理的应用
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
三角形的中位线经典课件
∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥
CF且
BD
B =CF
C
所以 ，四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 还有另外的
又∵ DE 1 DF DE 1 BC 证法吗？
2
2
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 A
例如：DE是△ABC的中
E
位线
D
C
思考：
B
F
1、一个三角形有几条中位线？ 3条
2.定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形
的第三边，且等于第三边的一半。
4.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三 边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角 形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
图中画出多少个平行四边形？
A
D
F
B
E
C
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
∥=
FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
归纳：
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半。
A
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线D NhomakorabeaE
∴ DE∥BC，（位置关系）
DE= 1 BC. （数量关系）
北师大版八年级数学下册三角形的中位线课件
亲爱的同学们： 今天我们上了一节有关
三角形中位线的课，在这节课 上，我学会……
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半。 应用： ① 证明平行问题。② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
∴四边形EFGH是平行四边形 (一组对边平行并且
相等的四边形是平行四边形).
证明: 连结AC BD ∵ EF和HG分别是⊿ABC 和
A
H
D
E G
⊿ADC的中位线
B
F
C
∴ EF//AC HG//AC(三角形的中位线平行于第三
边,并且等于张三边的一半)
∴ EF//HG 同理可证 EH//FG ∴四边形EFGH是平行四边形 (两组对边分别平行的 四边形是平行四边形).
你还能用不 同的方法加
DE 1 BC 2
以证明吗?
A
D
EF
B
C
D B
A E C
A
D
E
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
A 如果 DE是△ABC的中位线
D B
E 那么 ⑴ DE∥BC， ⑵ DE=1/2BC
C
用 ① 证明平行问题
途 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
四边形
（2007湖南怀化）如图： A1，B1，C1 分别是
BC，AC，AB 的中点，A2 ，B2，C2 分别是 B1C1，A1C1 ，
A1B1的中点这样延续下去．已知△ABC的周长是
1，△A1B1C1 的周长是 L1 ，△A2B2C2 的周长是L2
1
八年级数学下册教学课件《三角形的中位线》
∴ DE∥BC，DE= 1 BC. 2
归纳总结
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言： 在△ABC中
∵点D,E分别为AB，AC的中点，
∴DE 1BC
D
2
A E
B
C
对应训练
1. 如图, D, E, F分别是△ABC各边的中点, 且AB=11c
m, BC=8cm, AC=6cm, 则DE= 3 cm, DF= 4 cm, EF= 5.5 cm, △DEF的周长是 12.5 cm．
求证：四边形DEFB是平行四边形．
A
证明：∵D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
D
E
∴DE∥BC,BC=2DE.
∵CF=3BF, ∴BC=2BF. ∴DE＝BF. C
BF
又DE∥BF, ∴四边形DEFB是平行四边形.
对应训练
1. 如图, 在△ABC中, D, E, F分别是, AB, BC, CA 的
中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行
四边形？为什么？【选自教材P49，练习第1题】
解：能在图中画出3个平行四边形. 如图，连接DE,EF,FD,
A
D
F
则▱BEFD,▱DECF,▱DEFA即为所 B 画的3个平行四边形.
E
C
对应训练
【选自教材P49，练习第3题】
2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ外选一点C，连接
D
A
C
E
B
方法2：可分别延长AC和BC到D, E, 使 DC=BC ，
EC=AC, 连接DE, 量出DE的距离，即得AB的距离，
归纳总结
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言： 在△ABC中
∵点D,E分别为AB，AC的中点，
∴DE 1BC
D
2
A E
B
C
对应训练
1. 如图, D, E, F分别是△ABC各边的中点, 且AB=11c
m, BC=8cm, AC=6cm, 则DE= 3 cm, DF= 4 cm, EF= 5.5 cm, △DEF的周长是 12.5 cm．
求证：四边形DEFB是平行四边形．
A
证明：∵D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
D
E
∴DE∥BC,BC=2DE.
∵CF=3BF, ∴BC=2BF. ∴DE＝BF. C
BF
又DE∥BF, ∴四边形DEFB是平行四边形.
对应训练
1. 如图, 在△ABC中, D, E, F分别是, AB, BC, CA 的
中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行
四边形？为什么？【选自教材P49，练习第1题】
解：能在图中画出3个平行四边形. 如图，连接DE,EF,FD,
A
D
F
则▱BEFD,▱DECF,▱DEFA即为所 B 画的3个平行四边形.
E
C
对应训练
【选自教材P49，练习第3题】
2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ外选一点C，连接
D
A
C
E
B
方法2：可分别延长AC和BC到D, E, 使 DC=BC ，
EC=AC, 连接DE, 量出DE的距离，即得AB的距离，
2三角形的中位线课件(1)
初步运用
例题讲授
例1 如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、
G分别是AO、CO、BC、AB的中点，
求证：四边形DEFG是平行四边形。
B
遇见两中点，寻找A字形
G
F
O
D A
EC
巩固练习
如图，顺次联结四边形ABCD四边的中点E、F、 G、H，试说明四边形EFGH的形状。
A
H
D
E G
B
F
C
变式演练
C
证明方法2
D B
A E C
已知：如图，D、E分别是△ABC的
边AB、AC的中点.
F
求证：DE∥BC，DE
1 2
BC
过点C作AB的平行线，交DE的延长 线于点F
作பைடு நூலகம்的平行线，构造全等形
证明方法3(方法1的高级版)
A 延长DE到点F，使得EF=DE，联结CF
联结AF、DC
D
E
F
B
C 倍长中位线，构造平行四边形
证明方法4(欧式面积法)
A
∵AD=BD，AE=EC
D
E
B
C
证明方法4(欧式面积法)
MD
1
B
A
EN
2
C
∵AD=BD，AE=EC
∴S△ADE=S△BDE， S△ADE=S△CDE
∴S△BDE=S△CDE
过点B、C分别作BM⊥DE，CN⊥DE
∴∠1=∠2=90°，
1 DE×BM= 1 DE×CN
2
2
∴BM∥CN，BM=CN
22.6 三角形的中位线
问题引入
A B
实验操作
（1）沿着平行于三角形纸片一边的直线剪一刀，分 割成一张三角形纸片和一张梯形纸片。 （2）剪得的两张纸片能否拼成一个平行四边形？
人教版八年级数学下册 三角形的中位线(课件)
BC=8cm、 AC =6cm.则: DE=__3__cm，DF=__4__cm, EF=_5_._5_cm,△DEF的周长是_1_2_._5_cm.
6.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
AB=10cm， AC=6cm， 则四边形ADEF的周长为__1_6__cm.
7.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O,点E是CD的中点，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
例3.如图，D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是 OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．
D.6cm
3.如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP， RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成
立的是( C )
A.线段EF的长逐渐增长 B.线段EF的长逐渐减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定
D
5.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB=11cm、
(2)如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．
1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若
BC=6，则DE的长为( B )
A.2
B.3
C.4
D.6
2.如图，在□ABCD中， 对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，若
OE=2cm,则CD的长为( B )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的 知识来解决吗？
2三角线中位线PPT课件(华师大版)
华东师大版《数学 ·九年级（上）》
§24.4.1 三角形的中位线 第一课时
1
1.什么叫三角形的中线？
A
三角形的一个顶点到对边中点的 连线，叫做三角形的中线。
如：线段AF；
2.思考：什么叫三角形的中位线？ D
E 三条
连结三角形两边中点的线段
叫三角形的中位线。 如；线段DE；
B
F
C
思考：一个三角形共有几
则DE5=c_m_____.
2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,
∠B=70°,则∠AED6=0_度____.
A
A
A
D
D
E
D
E
E
O
B
C
(1)
B (2)
CB
(3)
C
3.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且 AD=20cm，那么OE1=0 cm。
15
例3:如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点， A边平行的直线必平分第三边.
6
例1:求证:三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中AD=DB，AF=FC，BE=EC
求证：AE、DF互相平分
A
证明：连结DE、EF
D
F
∵D、E、F分别为AB、BC、AC上中点
∴DE、EF为△ABC的中位线
B EC
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是__矩__形____。
矩形
11
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是正__方_形________ 。
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ___平__行__四__边_形____。
§24.4.1 三角形的中位线 第一课时
1
1.什么叫三角形的中线？
A
三角形的一个顶点到对边中点的 连线，叫做三角形的中线。
如：线段AF；
2.思考：什么叫三角形的中位线？ D
E 三条
连结三角形两边中点的线段
叫三角形的中位线。 如；线段DE；
B
F
C
思考：一个三角形共有几
则DE5=c_m_____.
2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,
∠B=70°,则∠AED6=0_度____.
A
A
A
D
D
E
D
E
E
O
B
C
(1)
B (2)
CB
(3)
C
3.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且 AD=20cm，那么OE1=0 cm。
15
例3:如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点， A边平行的直线必平分第三边.
6
例1:求证:三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中AD=DB，AF=FC，BE=EC
求证：AE、DF互相平分
A
证明：连结DE、EF
D
F
∵D、E、F分别为AB、BC、AC上中点
∴DE、EF为△ABC的中位线
B EC
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是__矩__形____。
矩形
11
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是正__方_形________ 。
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ___平__行__四__边_形____。
三角形的中位线ppt课件
∴AB= + = + =13.
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
(完整版)三角形中位线课件.ppt
CD、EF的长短相等吗？为什么？
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
没有任何测量工具的情况下,小明
M
通过学习,估测出了A,B两地之间
的距离:先在AB外选一点C,然后步 C 测出AC,BC的中点M,N,并测出
N
B
MN的长,由此他就知道了A,B间的
距离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
1 2
BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
用 ① 证明平行问题
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
没有任何测量工具的情况下,小明
M
通过学习,估测出了A,B两地之间
的距离:先在AB外选一点C,然后步 C 测出AC,BC的中点M,N,并测出
N
B
MN的长,由此他就知道了A,B间的
距离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
1 2
BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
用 ① 证明平行问题
三角形中位线课件
三角形中位线的定理
• 定理：三角形的中位线定理是指三角形的中位线长度等于 第三边长度的一半，并且平行于第三边。
三角形中位线的性质定理
01
02
03
性质定理1
三角形的中位线将相对边 分为两段，且这两段长度 相等。
性质定理2
三角形的中位线与第三边 平行，且长度为第三边的 一半。
性质定理3
三角形的中位线将相对顶 点与对边中点连接，且该 连线长度为中位线长度的 一半。
电路设计
在电路设计中，三角形中位线可以用来平衡电流，防止电流过大导致设备损坏或 火灾等安全事故。
05 总结与思考
三角形中位线的重要性和意义
几何构造的基础
在实际生活中的应用
三角形中位线是几何学中的基础概念 ，对于理解几何图形的构造和性质至 关重要。
在建筑、工程和设计等领域，三角形 中位线的应用广泛，例如在测量、绘 图和计算面积等方面。
02 三角形中位线的 性质与判定
三角形中位线的性质
三角形中位线平行于第三边
01
三角形中位线与第三边平行，这是三角形中位线的基本性质。
三角形中位线长度为第三边的一半
02
三角形中位线的长度是第三边长度的一半，这是三角形中位线
的长度性质。
三角形中位线将相对边等分
03
三角形中位线将相对边等分，这是三角形中位线的等分性质。
在解题中的应用
解题辅助
在解决一些几何问题时，三角形中位线可以作为一个重要的解题工具，帮助我 们找到解题的突破口。
证明定理
通过三角形中位线，我们可以证明一些重要的几何定理，如“三角形中位线定 理”等。
在生活中的实际应用
建筑测量
在建筑行业中，三角形中位线被广泛应用于测量和计算角度、长度等参数，决几何证明问题
苏科版八年级数学下册三角形的中位线课件
的中点,DE=3cm, ∠C＝70°,那么BC= cmD,
E
∠AED＝
°.
B
C
（2）如图，ΔABC中，AB=6㎝， AC=8㎝，
BC=10㎝，D﹑E﹑， 面积是＿＿＿＿。
例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、
H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边
几何语言表述：
在△ABC中，
∵点D、E分别为AB、AC的中点 D ∴DE∥1 BC （位置关系） DE= 2 BC （数量关系）B 强调：
A E C
中位线定理在同一条件下有两个结论，一是表明位置关 系，一是表明数量关系，应用时要根据需要而选择。
练习：
A
（1）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC
形EFGH是平行四边形吗？为什A么？ H
解：四边形EFGH是平行四边形.
D
连接AC，在△ABC中，
E
G
∴E、F分别是AB、BC边的中
点，即EF是△ABC的中1 位线.
B
F
C
∵ EF//AC， EF= AC
2
在△ADC中，同理可得 1
HG//AC，HG= AC
2
∵EF//HG，EF=HG
∵四边形EFGH是平行四边形
添加辅助线 3、定理有几个结论，如何应用？
两个结论， 一是表明位置关系， 一是表明数量关系，应用时要根据需要而选择。
布置作业：
1、P88 1、2、3
2、能力拓展：顺次连接什么样的四边形 各边中点的线段所围成的四边形是平行 四边形、矩形、菱形、正方形？
谢谢
9.5 三角形的中位线
活动
怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使 分成的两部分能拼成一个平行四边形？
中位线课件
反证法
假设中位线定理不成立， 通过逻辑推理得出矛盾， 从而证明中位线定理的正 确性。
平行四边形法
利用平行四边形的性质， 结合已知条件推导出中位 线定理。
中位线定理的推广
三角形中位线定理的推广
在三角形中，若一条边上的中点与对边 的两个端点连成线段，则这两条线段的 长度相等。
VS
多边形中位线定理的推广
中位线定理是几何学中的重要定 理之一，它揭示了三角形中位线 与第三边的关系，为解决几何问 题提供了重要的思路和方法。
02 中位线的判定定理
三角形中位线定理
总结词
三角形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了三角形中位线的性质和 判定方法。
详细描述
三角形中位线定理指出，在一个三角形中，中位线是一条连接顶点与对边中点的 线段，且这条线段平行于第三边，并且长度为第三边的一半。这个定理可以通过 多种方式证明，其中最常用的是通过相似三角形和全等三角形来证明。
数学基础
中位线定理是几何学中的基础定 理之一，对于理解几何形状的性 质和解决几何问题具有重要意义
。
应用广泛
中位线定理在各个领域都有广泛的 应用，如建筑、工程、艺术、科学 等，是解决实际问题的重要工具。
培养逻辑思维
学习中位线定理有助于培养人的逻 辑思维和推理能力，提高解决问题 的能力。
中位线定理的学习方法与技巧
总结词
梯形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了梯形 中位线的性质和判定方法。
详细描述
梯形中位线定理指出，在梯形中，如果一条线段连接两个相 对边的中点，则这条线段平行于上底和下底，并且长度为上 底和下底的一半之和。这个定理可以通过相似三角形和全等 三角形来证明。
平行线中位线定理
《三角形的中位线》ppt课件
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
H A
∴EF//AC，EF 1 AC．
2
同理，GH//AC，GH
1
AC．
2
E B
∴EF//GH，且EFGH．
F
∴四边形EFGH是平行四边形．
D G C
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形．
2. △ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、CA的中点，则
求证：A1B1=B1C1
分析：证明“线段相等” 常利用全等 添加辅助线构造全等
证明：过点B1作EF∥AC，分别交直线
l1 、 l3于点EF.
A
A1 E
l1
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.
B
∴EB1=AB，B1F=BC.
C
B1
l2
F
C1
l3
∵AB=BC，
∴EB1=B1F.
探究
已知，直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交 直线l1 、 l2 、 l3于点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC.
布置作业
教科书第85页习题19.2 第12题、第15题.
课程结束
拓展
【中点三角形】 顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形.
A
D
E
B
F
C
中点三角形的周长是原三角 形的周长的一半.
中点三角形的面积是原三角形 的面积的四分之一
随堂练习
1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC．在△ABC中，
中位线是连接三角形两边中点的线段.
《三角形的中位线定理》PPT课件 (共28张PPT)
6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
探究活动
1、三角形三条中位线围成的三角形 的周长与原三角形的周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
（4）顺次连结矩形各边中点所得的四 边形是什么？
菱形
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
(2)请增加一个条件使得四 边形ADFE为菱形。 (3)请增加一个条件使得四 边形ADFE为矩形。
A
H D E G F C
四边形BCFD是平行四边形吗?说 说你的理由!
F
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点， E是AC的中点。 1 求证： DE∥BC, DE= BC.
A
E B D C
2
分析:
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
F
得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 B两点的距离是多少？为什么？
M 20 C
A
40
N
B
A
E
F
C
D
H G
B
在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边 形EFGH的周长是 11 。
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∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA
∴CF∥BD，CF=BD
∴四边形DBCF是平行四边形 ∴又DDFE∥=B12 CD，FDF=BC
1
∴DE∥BC且DE= 2 BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
AEF
D
B
MN
C
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点， N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
H
E
B
F
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
A
D
F
B
E
C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？
A
C
B
课堂检测:
1.如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上, 且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E是 AB的中点,连接EF,求证:EF是△ABD的中位线.
（或AD=BD,AE=CE)
B
C DE//1 BC
2
途 用 ① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A
练习1.如图，在△ABC中，D、E分、别F分是别 A是BA、BA、CA的C中、点BC的中点
D
B
F
①③若A∠CA=D4cEm=,6B5C°=，6c则m，∠ABB==685c度m，，为什么？ E ②④④若若△则BCA△=BDC8E的cFm的周，周长长为则9=2Dc_4m_，E_=4△__D_EFc的m周，长为是什_1_么2__？_
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点
是三角形的顶点。
想一想
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
的中点,则DE与BC存在何种关系?
A
D
E
B
C
DE和边BC关系
位置关系： DE∥BC
数量关系：
DE=
1 2
BC.
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E
是AC的中点. 则有：DE∥BC, DE=
定理应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,
A
在没有任何测量工具的情况下,小
M
明通过学习,估测出了A,B两地之
间的距离:先在AB外选一点C,然后 C 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN
N
B
的长,由此他就知道了A,B间的距
离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
平行线间的距离处处相等
1
BC.
A
2
D
E
B
C
D B
解题分析2:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
得CF=AD , CF//AB
A E
又可得CF=BD,CF//BD
所以四边形BCFD是平行四边形
则有DE//BC,DE=
1 2
1
DF= 2
BC
F
C
解题分析 3.
A
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
EC
A
l
1
它与点与点的距离、
点到直线的距离的
∟∟
FD
∟
联系与区别
l2 B
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则
AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
证明：如图，连接AC
G
同∵理EEF得F是/：△/12AGABH形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
巩固练习
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE与DF互相平分.
证明:连接DE、EF，因为
A
AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC（三角形的中位线平
行于第三边并且等于第三边的一
半）。
D
F 同理EF ∥AB。
所以四边形ADEF是平行四边形。
B
E
C因边此形A的E对、角D线F互互相相平平分分。）（平行四
⑤ 图中有__3___个平行四边形 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么
关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.