二次函数中和角有关的存在性问题
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二次函数中与角有关的存在性问题
与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性,其他倍数关系角的存在性等,解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角:
①平行线的同位角、内错角相等;②等腰三角形的等边对等角;③相似三角形对应角相等;④全等三角形对应角相等;⑤三角形的外角定理等。 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解,难度相对较大,需要同学们灵活运用,融会贯通。
【类型一 相等角的存在性问题】
(一).利用平行线、等腰三角形构造相等角
例1 如图,直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,抛物线c bx x y ++-=2
与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ,连接PB ,得BOA PCB ≌△△(O 为坐标原点)。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ,设M 是点C ,F 间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m . (1)直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. (2)求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.
解:(1)易得点P 坐标为(3,4),抛物线解析式为
432++-=x x y .
(2) ①当点M 在线段OP 上方时,∵CP ∥x 轴,∴当点C 、M 重合时,∠MPO=∠POA ,∴点M 的坐标为(0,4);
②当点M 在线段OP 下方时,在x 轴正半轴取点D ,连接DP ,使得DO=DP ,此时∠DPO=∠POA.
设点D 坐标为(n ,0),则DO=n ,()1632
2
+-=n DP ,∴
()1632
2+-=n n ,解得:n=
625,∴点D 坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛0625,. 设直线PD 解析式为b kx y +=,代入得:7
100
724+
-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭
⎫
⎝⎛49124,724M 综上所述:点M 的坐标为(0,4)或⎪⎭
⎫
⎝⎛49124,724
(二).利用相似三角形构造相等角
例2 如图,抛物线c bx x y ++=2
2
1与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其对称轴交
抛物线于点D ,交x 轴于点E ,已知OB=OC=6. (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标;
(2)连接BD ,F 为抛物线上一动点,当EDB FAB ∠=∠时,求点F 的坐标;
解:(1)因为OB=OC=6,所以B (6,0),C ()6,0-, 将
B
、
C
点
坐
标
代
入
解
析
式
,
得
()822
162212
2--=--=
x x x y , 所以点D 的坐标为(2,—8)
(2)如图1,过F 作FG ⊥x 轴于点G ,设⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--6221,
F 2x x x ,则FG=62212--x x ,AG=x +2,当EDB FAB ∠=∠时,且B ED GA ∠=∠F ,
所以BDE FAG ∽△△,所以
FG
AG
EB DE =
,即2622
12482=--+=x x x , 当点F 在x 轴上方时,则有12422
--=+x x x ,解得x=—2(舍去)或x=7,此时F 点的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛297,;
当点F 在x 轴下方时,则有)(12422
---=+x x x ,解得x=—2(舍去)或x=5,此时F 点的坐标为⎪⎭⎫
⎝
⎛-275,
,,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛
297,或⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-275,
.
【类型二二倍角或半角的存在性问题】
(一).二倍角的构造方法
如图,已知α
∠,我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2,在BC 边上找一点D,使得BD=AD,则α
2
ADC=
∠.
这样我们就构造出了二倍角,接下来利用三角函数(一般用正切)计算就可以了。
例3如图,在平面直角坐标系中,直线2
2
1
+
=x
y与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线
c
bx
x
y+
+
-
=2
2
1
经过A,C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点;
①连接BC,CD,设直线BD交线段AC于点E,CDE
△的面积为S1,BCE
△的面积为S2,求
2
1
S
S
的最大值;
①过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得F
CD
△中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)2
2
3
2
1
2+
-
-
=x
x
y
(2)①过D作DM⊥AC于M,过B作BN⊥x轴交
AC于N,
∴BNE
DME∽△
△
∴
BN
DM
BE
DE
S
S
=
=
2
1,设⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
-2
2
3
2
1
,
D2a
a
a,
∴⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+2
2
1
,
M a
a,∴
5
4
)2
(
5
1
2
5
2
2
1
2
2
2
1+
+
-
=
-
-
=
=a
a
a
BN
DM
S
S
,∴最大值为
5
4
.