二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题

与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：

①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。

【类型一 相等角的存在性问题】

（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角

例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2

与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.

解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为

432++-=x x y .

(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；

②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.

设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()1632

2

+-=n DP ，∴

()1632

2+-=n n ，解得：n=

625，∴点D 坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7

100

724+

-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭

⎫

⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭

⎫

⎝⎛49124,724

（二）.利用相似三角形构造相等角

例2 如图，抛物线c bx x y ++=2

2

1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交

抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；

（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；

解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将

B

、

C

点

坐

标

代

入

解

析

式

，

得

()822

162212

2--=--=

x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8）

（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭

⎫ ⎝⎛

--6221,

F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，

所以BDE FAG ∽△△，所以

FG

AG

EB DE =

，即2622

12482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422

--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭

⎫ ⎝⎛297，；

当点F 在x 轴下方时，则有）（12422

---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫

⎝

⎛-275，

，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛

297，或⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-275，

.

【类型二二倍角或半角的存在性问题】

（一）.二倍角的构造方法

如图，已知α

∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α

2

ADC=

∠.

这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

例3如图，在平面直角坐标系中，直线2

2

1

+

=x

y与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线

c

bx

x

y+

+

-

=2

2

1

经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE

△的面积为S1，BCE

△的面积为S2，求

2

1

S

S

的最大值；

①过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得F

CD

△中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）2

2

3

2

1

2+

-

-

=x

x

y

（2）①过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥x轴交

AC于N，

∴BNE

DME∽△

△

∴

BN

DM

BE

DE

S

S

=

=

2

1,设⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

-

-2

2

3

2

1

,

D2a

a

a，

∴⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+2

2

1

,

M a

a，∴

5

4

)2

(

5

1

2

5

2

2

1

2

2

2

1+

+

-

=

-

-

=

=a

a

a

BN

DM

S

S

，∴最大值为

5

4

.