高考专题穿插滚动练(一)

穿插滚动练(一)1．(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．5D ．9 答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.2．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 B解析 方法一 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B. 方法二 因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)， 取c ＝1，则B ＝(0,1)，所以A ⊆B 成立，故可排除C 、D ； 取c ＝2，则B ＝(0,2)，所以A ⊆B 成立， 故可排除A ，选B.3．命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3答案 C解析 命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．4．(2013·湖南改编)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4，则方程f (x )－g (x )＝0的实根个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象有两个交点． 因此方程f (x )－g (x )＝0有两个不相等的实根．5．已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C 解析 a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315＝310log 35，又log 23.4>1，log 43.6<1，log 3103>1，故b <a ，b <c ，又log 23.4>log 3103，因此b <c <a .6．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ，ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b2，又ab <a ＋b2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.7．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)·e x的判断正确的是( ) ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． A ．①③B ．①②③C ．②D ．①② 答案 D解析 f ′(x )＝[(2x －x 2)e x]′ ＝(2x －x 2)e x ＋e x (2－2x )＝e x (2－x 2)， 令f ′(x )＝0，则x ＝± 2.可得当x >2或x <－2时，f ′(x )<0， 当－2<x <2时，f ′(x )>0，据极值概念可得①②是正确的，结合图象可知函数有最大值．8.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数 答案 A解析 当x ∈(－3,0)时，f ′(x )<0，则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确． 9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D解析 利用极值的存在条件判定．当x <－2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，得f ′(x )>0； 当－2<x <1时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )<0； 当1<x <2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，得f ′(x )<0； 当x >2时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．10．设函数y ＝f (x )在R 上有意义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M M ，f (x )>M，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2B ．1C.2D ．－ 2 答案 B解析 由题意，当f (x )＝2－x 2≤1，即x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2.当－1<x <1时，f M (x )＝1. ∴f M (0)＝1.11．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．12．(2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 答案 12解析 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.13．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.14．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________． 答案 (－19，＋∞)解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19.所以a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．15．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． 答案 (34，2)解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根， 必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g (2)<3，g (6)>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3.解得34<a <2.16．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅. ①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是[－14，＋∞)．17．设命题p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B . 所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．18．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．20．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x 为正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． (1)求该月需用去的费用和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台， 则共需分36x批，每批价值为20x 元．由题意得f (x )＝36x·4＋k ·20x ，由x ＝4时，y ＝52得k ＝1680＝15，∴f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)．当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．21．(2014·广东)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a <0时，试讨论是否存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增．②当1－a >0时，即a <1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2－4(1－a )2＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .令f ′(x )>0，解得x <－1－1－a 或x >－1＋1－a ； 令f ′(x )<0，解得－1－1－a <x <－1＋1－a ；所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述：当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )． (2)当a <0时，x 1＝－1－1－a <0，x 2＝－1＋1－a >0.①当－1＋1－a ≥1时，即a ≤－3时，f (x )在(0,1)上单调递减，不满足题意；②当－1＋1－a <1时，即－3<a <0时，f (x )在(0，－1＋1－a )上单调递减，在(－1＋1－a ，1)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－1＋1－a )，由题意知－1＋1－a ≠12，所以a ≠－54.f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}；f (0)＝1，f (1)＝a ＋73.a ．当a ＋73≥1时，即－43≤a <0时，f (x )max ＝f (1)．令f (12)<f (0)，解得a <－712，又因为－43≤a <0，所以－43≤a <－712且a ≠－54.b ．当a ＋73<1时，即a <－43时，f (x )max ＝f (0)．令f (12)<f (1)，解得－2512<a <－43.综上所述，当a ∈{a |－2512<a <－54或－54<a <－712}时，存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．。