中山第4版概率论第二章 习题解答

合集下载

概率论与数理统计第四版- 课后习题答案

概率论与数理统计第四版- 课后习题答案

完全版概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1),n表小班人数(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。

([一] 2)S={10,11,12,………,n,………}(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。

查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。

([一] (3))S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,} 2.[二] 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。

(1)A发生,B与C不发生。

表示为:A或A-(AB+AC)或A-(B∪C)(2)A,B都发生,而C不发生。

表示为:AB或AB-ABC或AB-C(3)A,B,C中至少有一个发生(4)A,B,C都发生,表示为:A+B+C 表示为:ABC表示为:或S-(A+B+C)或(5)A,B,C都不发生,(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生相当于,,中至少有一个发生。

故表示为:。

(7)A,B,C中不多于二个发生。

相当于:,,中至少有一个发生。

故表示为:(8)A,B,C中至少有二个发生。

相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。

故表示为:AB+BC+AC6.[三] 设A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB)取到最小值,最小值是多少?解:由P (A) = 0.6,P (B) = 0.7即知AB≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理,P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾).从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)-P (A∪B) (*)(1)从0≤P(AB)≤P(A)知,当AB=A,即A∩B时P(AB)取到最大值,最大值为P(AB)=P(A)=0.6,(2)从(*)式知,当A∪B=S时,P(AB)取最小值,最小值为P(AB)=0.6+0.7-1=0.3 。

概率论与数理统计(第四版)习题答案全

概率论与数理统计(第四版)习题答案全

概率论与数理统计(第四版)习题答案全概率论与数理统计习(第四版)题解答第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子,观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”,事件B 表示“出现的点数能被3整除”.(1)写出试验的样本点及样本空间;(2)把事件A 及B 分别表示为样本点的集合;(3)事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件?并把它们表示为样本点的集合.解:设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ,则(1)样本点为654321,,,,,ωωωωωω;样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω (2)},,{642ωωωA =; }.,{63ωωB =(3)},,{531ωωωA =,表示“出现奇数点”;},,,{5421ωωωωB =,表示“出现的点数不能被3整除”;},,,{6432ωωωωB A =⋃,表示“出现的点数能被2或3整除”;}{6ωAB =,表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”;},{B A 51ωω= ,表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点:(1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和.A —“点数之和大于10”,B —“点数之和小于15”.(2)一盒中有5只外形相同的电子元件,分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取3只,A —“最小号码为1”.解:(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ,则},,,{1843ωωω =Ω;},,,{181211ωωωA =;}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ,则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件,用事件之间的运算表示下列事件: (1) A 发生, B 与C 都不发生; (2) C B A ,,都发生;(3) C B A ,,中至少有两个发生; (4) C B A ,,中至多有两个发生. 解:(1) C B A ;(2) ABC ;(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件,以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品(n i ≤≤1).用i A 表示下列事件:(1)没有一个零件是不合格品; (2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅有一个零件是不合格品;(4)至少有一个零件不是不合格品. 解:(1) n A A A 21;(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21; (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A第二章 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数(但第一个数字不能为0),求电话号码是由完全不同的数字组成的概率.解:基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”,则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率.解:基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种;这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种;这三本书的排列顺序数为!333=A ;故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P设A 表示“指定的三本书放在一起”,则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次,把二十个队任意分成两组(每组十队)进行比赛,求最强的两个队被分在不同组内的概率.解:20个队任意分成两组(每组10队)的所以排法,构成基本事件总数1020C ;两个最强的队不被分在一组的所有排法,构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”,则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个,其中有5个次品.从这批产品中任取一半来检查,求发现次品不多于1个的概率.解:设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ,A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”,则 .10A A A ⋃=因为V A A =10,所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品.求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解:设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”;B 表示“取出的3件产品中没有废品”;C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”,则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P .求A , B , C 至少有一事件发生的 概率.解:因为0==P(AC)P(AB),所以V AC V AB ==,,从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”,则C B A D ⋃⋃=,于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=75.04341313131==-++=第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P . 解:因为B A AB B B A A +=+=)(,所以)()()(B A P AB P A P +=,即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少? 解:设A 表示“第一次拨通”,B 表示“第二次拨通”,C 表示“拨号不超过两次而拨通”(1)2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P(2)4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率. 解:设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ;B 表示“出现废品”;C 表示“出现合格品”(1))()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=(2)25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人三次之内击中动物的概率.解:设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ,则由题设,有1006.0)(1kA P ==,得60=k ,从而有4.015060150)(2===k A P ,.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”,则321211A A A A A A A ++=,故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= (另解)设B 表示“猎人三次均未击中”,则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球,其中有9个是新的.第一次比赛时从其中任取3个来用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取3个,求第二次取出的都是新球的概率. 解:设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ,则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”,则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=第四章 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人照管的概率:第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7.求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率. 解:设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ,则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++= 于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=.(另解)设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ,B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”,则10B B B +=且0B 、1B 互斥,另外有 504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P .二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成.设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2,求电路发生间断的概率. 解:设1A 表示“a 损坏”;2A 表示“b 损坏”;3A 表示“c 损坏”;则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P 又设B 表示“电路发生间断”,则321A A A B += 于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=.三、三个人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为51、31、41,求能将此密码译出的概率.解:设A 表示“甲能译出”;B 表示“乙能译出”;C 表示“丙能译出”,则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”,则C B A D ⋃⋃=,从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=. (另解)52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ,从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0.飞机被一人击中而被击落的概率为2.0,被两人击中而被击落的概率为6.0,若三人都击中,则 飞机必被击落.求飞机被击落的概率. 解:设1A 表示“甲命中”;2A 表示“乙命中”;3A 表示“丙命中”;则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ,则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”,则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P .五、某机构有一个9人组成的顾问小组,若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7,现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见,并按多数人意见作出决策,求作 出正确决策的概率.解:设i A 表示“第i 人贡献正确意见”,则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i .又设m 为作出正确意见的人数,A 表示“作出正确决策”,则)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=.六、每次试验中事件A 发生的概率为p ,为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ,问至少需要进行多少次试验? 解:设做n 次试验,则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1,即要p p n -≤-1)1(,从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答:至少需要进行一次试验.第五章离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布.解:设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”,则X的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p.生产过程中出现废品时立即进行调整.求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.解:设X表示“在两次调整之间生产的合格品数”,且设=1,则ξ的概率分布为q-p三、 已知一批产品共20个,其中有4个次品.(1)不放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布;(2)放回抽样.抽取6个产品,求样品中次品数的概率分布. 解:(1)设X 表示“取出的样本中的次品数”,则X 服从超几何分布,即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x CCC x X P x x从而X 的概率分布为即(2)设X 表示“取出的样本中的次品数”,则X 服从超几何分布,即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xxx从而X 的概率分布为即四、 电话总机为300个电话用户服务.在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01,求在一小时内有4个用户使用电话的概率(先用二项分布计算,再用泊松分布近似计算,并求相对误差). 解:(1)用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP(2)用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP 相对误差为.5168877.0168031355.0168877.000≈-=δ五、 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生次数不少于3次时,指示灯发出信号.现进行了5次独立试验,求指示灯发出信号的概率. 解:设X 表示“事件A 发生的次数”,则3.0)(==p A P ,5=n ,).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈(另解) )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P 32254115505)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、 设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ;其中λ>0为常数,试确定常数a .解:因为∑∞===01)(k k X P ,即∑∞==01!k kk λa ,亦即1=λae ,所以.λe a -=第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、 函数211x +可否是连续随机变量X 的分布函数?为什么?如果X 的可能值充满区间: (1)(∞+∞- ,);(2)(0,∞-). 解:(1)设211)(x x F +=,则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ,0)(lim =+∞→x F x ,所以)(x F 不能是X 的分布函数.(2)设211)(x x F +=,则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ,1)(lim 0=-→x F x因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x x x F ,所以)(x F 在(0,∞-)上单增.综上述,故)(x F 可作为X 的分布函数.二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度?为什么?如果X 的可能值充满区间:(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π; (2)[]π,0; (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π. 解:(1)因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ,所以sin )(≥=x x f ;又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ,所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx时,函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度.(2)因为[]πx ,0∈,所以0sin )(≥=x x f ;但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ,所以当[]πx ,0∈时,函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度.(3)因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ,所以x x f sin )(=不是非负函数,从而它不可能是随机变量X 的概率密度.二、 一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数,并作出分布函数的图形. 解:设X 表示“取出的废品数”,则X 的分布律为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤=3,132,22021921,222110,430,0)(x x x x x x F四、(柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(.求:(1)系数A 及B ;(2)随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率;(3) X 的概率密度.解:(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ,12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ,解得.1,21πB A == 即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F . (2).21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π.五、(拉普拉斯分布)设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x f x,)(.求:(1)系数A ;(2)随机变量X 落在区间)1,0(内的概率;(3)随机变量X 的分布函数.解:(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ,得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx,解得21=A ,即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2)).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx .第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过.乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的.求乘客候车时间 不超过3分钟的概率.解:设随机变量X 表示“乘客的候车时间”,则X 服从]5,0[上的均匀分布,其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取3个这种电子元件,求至少有1个能使用1000h 以上的概率. 解:设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”;321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”.则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=(另解)设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”.则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰e e dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ,进一步有 638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe .证明:对于任意非负实数s 及t ,有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性.(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(.e .某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上的概率.解:(1)因为)(~λe X ,所以R x ∈∀,有xe x F λ--=1)(,其中)(x F 为X 的分布函数.设t s X A +≥=,t X B ≥=.因为s 及t 都是非负实数,所以B A ⊂,从而A AB =.根据条件概率公式,我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(. 另一方面,我们有tt e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(.综上所述,故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥. (2)由题设,知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.,;,0001.0)(1.0x x e x f x设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年,则根据上述证明的(1)的结论,该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx x f X P s X s X P x x.答:该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0. 四、 设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ,求下列随机变量函数的概率分布: (1)X Y 211-=;(2)2)3(2X X Y -=.解:X 的分布律为(1)X Y 211-=的分布律为(2)2)3(2X X Y -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度.解:因为)()()(ln )()(yXyYe F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π,即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y yY π.第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次.设随机变量X 表示第一次出现的点数,随机变量Y 表示两次出现点数的最大值,求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布.解:二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y的边缘概率分布为二、设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=. 求:(1)系数A 、B 及C ;(2)(X ,Y )的联合概率密度:(3)边缘分布函数及边缘概率密度. 解:(1)由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==,.12πA =(2)因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ,所以(X ,Y )的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π(3)X 及Y 的边缘分布函数分别为xxxXx dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan 1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxy Y ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dxx y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求:(1)系数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数;(3)X及Y 的边缘概率密度;(4)),(Y X落在区域R :632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率. 解:(1)由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ,有1610032==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A yx,解得.6=A (2)),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x yy x xy⎩⎨⎧>>--=--其它00,0)1)(1(32y x e e y x(3)X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y(4)⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdye dx edxdy y x f R Y X P 322033026),(}),{( 6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布.求:(1) ),(Y X 的联合概率密度;(2) 概率)2(≥+Y X P . 解:(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C .故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dydx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x .第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,X 在]1,0[上服从均匀分布,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X,),(Y X 的联合概率密度为(注意Y X ,相互独立)⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X(2)dxedx edy e dx dxdy y x f X Y P x xyxyxy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥102102212)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、 设随机变量X 与Y 独立,并且都服从二项分布:.,,2 ,1 ,0 ,)(;,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j q p C j p n i q p C i p j n j j n Y in i i n X====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布. 证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()(∑=-+=ki kn n k in i n q p C C 02121)(由k nm ki ik nk m C C C +=-=∑0, 有 kn nki in i n C C C21210+==∑. 于是有),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P k n n k in n Z +==-++由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立,并且X 在区间[0,1]内服从均匀分布,Y 在区间[0,2]内服从辛普森分布:⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,;2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度.解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ. 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0,2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fYX Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z∈=≤+=≤=,其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z zz z z F Z从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、 电子仪器由六个相互独立的部件ijL (3,2,1;2,1==j i )组成,联接方式如右图所示.设各个部件的使用寿命ijX 服从相同的指数分布)(λe ,求仪器使用寿命的概率密度.解: 由题设,知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ第十章 随机变量的数学期望与方差一、 一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取一个.如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差.解:设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”,则X 的概率分布为即于是有1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX 2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX Xσ二、 对某一目标进行射击,直至击中为止.如果每次射击命中率为p ,求射击次数的数学期望及方差. 解:设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ,则X 的分布为于是有p q p q q p q p iq p ipq EX i ii i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2X于是有pp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=-进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P kk k问X 的数学期望是否存在?若存在,请计算)(X E ;若不存在,请解释为什么.解:因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k kkk k kkkk kki iik k k X P k x X P x 不绝对收敛,所以ξ没有数学期望. 四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D . 解:011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdxx x dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、(拉普拉斯分布)设随机变量X 的概率密度为)( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x.求数学期望)(X E 及方差)(X D . 解:021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x(分部积分亦可)第十一章 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ,求2)3(X X Y -=的数学期望及方差. 解:X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为于是有72.072.0128.00=⨯+⨯=EY72.072.0128.002=⨯+⨯=EY2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦,求所有这些弦的平均长度.解:在圆周上任取一点O ,并通过该点作圆得直径OA .建立平面直角坐标系,以O 为原点,且让OA 在x 轴的正半轴上.通过O 任作圆的一条弦OB ,使OB 与x 轴的夹角为θ,则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布,其概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf .弦OB 的长为]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ,故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRR d R4sin 4cos 42020===⎰.三、一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ; 0 ,41)(4x x e x f x工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.试求厂方出售一台设备的平均净赢利. 解:由题设,有⎰⎰---∞--=-===<14110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x进而有 41)1(1)1(-=<-=≥e X P X P 设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”,则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---e e e EY答:厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元.四、设随机变量nX X X ,,21相互独立,并且服从同一分布,数学期望为μ,方差为2σ.求这些随机变量的算术平均值∑==ni iX nX 11的数学期望与方差. 解:因为μ=)(i X E ,2)(σ=i X D ,且随机变量nX X X,,21相互独立.所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(,nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====.五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出,沿途有10个车站可以下车,到达一个车站时如没有旅客下车就不停车.假设每位旅客在各车站下车是等可能的,且各旅客是否下车相互独立.求该车停车次数的数学期望.解: 设iX 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则iX 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i,1,0 于是iX 的概率分布为设∑==ni iX X 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-=即停车次数的数学期望为748.8.第十二章 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y x Ay x f求:(1)系数A ;(2)数学期望)(X E 及)(Y E ,方差)(X D 及)(Y D ,协方差),cov(Y X . 解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++11120022222A dr r rd A dxdy y x A πθπ解得, π1=A .(2)()11),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dxy xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰022022220223]11)1ln([1)1(211r r dr r r r r dr r r d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y x xydy dxdy y x xyf π.二、 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它.,0;10,,1),(x x y y x f求(1) ),cov(Y X ;(2) X 与Y 是否独立,是否相关,为什么?解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-121322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX xx0),(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY 0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdyy x xyf ),(10==⎰⎰-xxydy xdx .(2) 当)1,0(∈x 时,有⎰⎰+∞∞--===xdy dy y x f x f x xX 2),()(; 当)1,0(∉x 时,有0)(=x f X.即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y 因为),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的.又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的.三、 利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差 )(X σ的概率.解:91)3()3(2=≤>-ξξξξξD DD E P .四、为了确定事件A 的概率,进行10000次重复独立试验.利用切比雪夫不等式估计:用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时,误差小于0.01的概率.解:设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”,则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ 于是有npq p npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、 样检查产品质量时,如果发现次品多于10个,则认为这批产品不能接受.应该检查多少 个产品,可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9?解:设ξ表示“发现的次品件数”,则)1.0,(~n B ξ,现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ,即9.0)10(=≤<n ξP ,因为9.0)10(=≤<n ξP ,所以)3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ 1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ (德莫威尔—Laplace 定理) 因为10>n ,所以53>n ,从而有1)3(1,0≈n Φ,故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ.查表有8997.0)28.1(1,0=Φ,故有28.13.0101.0≈-nn ,解得.146≈n答:应该检查约146个产品,方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9.第十三章 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、 设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ,求(1))8.56.1(<≤-X P ;(2))56.4(≥X P .解:(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P)]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=.0402.09973.09625.02=--二、 已知某种机械零件的直径X (mm )服从正态分布)6.0,100(2N .规定直径在2.1100±(mm )之间为合格品,求这种机械零件的不合格品率.解:设p 表示这种机械零件的不合格品率,则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p .而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p .三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.解:三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ,所以由事件的相互独立性,有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ.四、设随机变量),(~2σμN X ,求随机变量函数Xe Y =的概率密度(所得的概率分布称为对数正态分布). 解:由题设,知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F XY≤=≤=.当0≤y 时,有0)(=y F Y ;此时亦有0)(='y F Y. 当0>y 时,有dx ey X P y F yx Y⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ. 此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Yeyy F .从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立,),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,求: (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差,其中a 及b 为常数;(2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差.解:由题设,有211)(,)(σμ==X D X E ;222)(,)(σμ==Y D Y E .从而有 (1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=; 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=. (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ;)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=.第十四章二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布,已知0)()(==Y E X E ,16)(=X D ,25)(=Y D ,并且12),cov(=Y X ,求),(Y X 的联合概率密度.。

概率论与数理统计(第四版) 第二章习题答案

概率论与数理统计(第四版) 第二章习题答案

概率论与数理统计 第二章习题1 考虑为期一年的一张保险单,若投保人在投保一年内意外死亡,则公司赔付20万元,若投保人因其它原因死亡,则公司赔付5万元,若投保人在投保期末自下而上,则公司无需传给任何费用。

若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002,因其它原因死亡的概率为0.0010,求公司赔付金额的分崣上。

解 设赔付金额为X ,则X 是一个随机变量,取值为20万,5万,0,其相应的概率为0.0002;0.0010;2.(1)一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5。

在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律(2)将一颗骰子抛掷两次,以X 表示两次中得到的小的点数,试求X 的分布律。

解 (1)在袋中同时取3个球,最大的号码是3,4,5。

每次取3个球,其总取法:35541021C ⋅==⋅,若最大号码是3,则有取法只有取到球的编号为1,2,3这一种取法。

因而其概率为 22335511{3}10C P X C C ==== 若最大号码为4,则号码为有1,2,4;1,3,4; 2,3,4共3种取法,其概率为23335533{4}10C P X C C ==== 若最大号码为5,则1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5;3,4,5共6种取法其概率为 25335566{5}10C P X C C ==== 一般地 3521)(C C x X p x -==,其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数,则随机变量X 的分布律为(2)将一颗骰子抛掷两次,以X表示两次中得到的小的点数,则样本点为S={(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6)},共有36个基本事件,X的取值为1,2,3,4,5,6,最小点数为1,的共有11种,即(1,1,),(1,2),(2,1)…,(1,6),(6,1),11{1}36P X==;最小点数为2的共有9种,即(2,2),(2,3),(3,2),…,(3,6),(6,3),9{2}36P X==;最小点数为3的共有7种,7 {3}36P X==;最小点数为4的共有5种,5 {4}36P X==;最小点数为5的共有3种,3 {5}36P X==;最小点数为6的共有1种,1 {6}36 P X==3 设在15只同类型的产品中有2只次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品的次数,(1)求X的分布律;(2)画出分布律的图形。

中山第4版概率论习题解答 第二章

中山第4版概率论习题解答  第二章

第二章:随机变量及其分布函数2.甲乙两名篮球队员独立的轮流投篮,直至某人投中篮筐为止。

今让甲先投,果甲投中的概率为0.4,乙为0.6。

求各队员投篮次数的概率分布。

解:对甲而言: ξ=1 甲(未中)乙(中)或甲(中) ………………. ξ=k 意味着1.k -⋯⋯甲(未)乙(未)甲(未)乙(未)甲(中)或者.k⋯⋯甲(未)乙(未)甲(未)乙(未)所以111()(0604)04(0604)0606(0604)076k k k P k ξ---==⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅其中1=k 、2、3…..对乙而言:40)()0(⋅===甲首次即投中P P η4560)240(40)4060(60)4060()(121⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅==--k k k k P η其中1=k 、2、3…..5.设某个动物生下r 个蛋的概率是p(r =ξ)=λλ-e r r!。

若每一个蛋能发育成动物的概率是p ,且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互独立的。

证明恰有k 个后代的概率分布是具有参数为p λ的泊松分布。

证明;令η表示恰有k 个后代,k 个后代是由于r 个蛋孵化出来的,r ≥k. 那么据全概率公式得P(η=k)= ()(|)r k P r P k r ξηξ∞====∑=λλ--∞=-∑e r p p c rkr kkr k r!)1(=er k r kk r p p r k r k r λλ-∞=---∑)1(!1)!(!! =ek k r k r k k r p p k r k λλλ--∞=---∑)1()!(!1=ekr k r kp k r k p -∞=---∑))1(()!(1!)(λλλ=e()(1)!!k i ii p p k i λλλ∞-=-∑=e(1)()!k p p e k λλλ-- =k pp k e )(!λλ- 即函数为p λ的泊松分布。

6.设1ξ与2ξ相互独立,并具有共同的几何分布 {}k i p k pq ξ==()1,2;0,1,2,......i k == (1)证明:()1211i p k n n ξξξ=+==+。

概率论与数理统计第四版答案习题答案

概率论与数理统计第四版答案习题答案

习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}{=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)}2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω;{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ;{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ;{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件:(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。

解:(1)C B A ; (2)C AB ;(3)C B A C B A C B A ++;(4)BC A C B A C AB ++;(5)C B A ++;(6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ;(9)C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

《概率论与数理统计》(第四版)选做习题全解

《概率论与数理统计》(第四版)选做习题全解

A B 124题 15.8 图3 51.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.题15.3图4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”,求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.6.B A ,两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.7.有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性.8. 在如图15.8图所示的桥式结构电路中,第i 个继电器触点闭合的概率为i p ,.54321,,,,i =各继电器工作相互独立.求:(1)以继电器触点1是否闭合为条件,求A到B 之间为通路的概率.(2)已知A 到B 为通路的条件下,继电器触 点3是闭合的概率.9.进行非学历考试,规定考甲、乙两门课程,每门课考第一次未通过都允许考第二次.考生仅在课程甲通过后才能考课程乙,如两门课程都通过可获得一张资格证书.设某考生通过课程甲的各次考试的概率为1p ,通过课程乙的各次考试的概率为2p ,设各次考试的结果相互独立.又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止.以X 表示考生总共需考试的次数.求X 的分布律以及数学期望)(X E .10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.11.向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R 若弹着点离目标不超过5m 时,目标被摧毁. (1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹.12.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为31,击伤的概率为21,击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.(提示:先求击不沉的概率.)13. 一盒中装有4只白球,8只黑球,从中取3只球,每次一只,作不放回抽样.14.设元件的寿命T (以小时计)服从指数分布,分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t(1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.(2)由3个独立工作的此种元件组成一个2/3][G 系统(参见第7题),求这一系统的寿命20>X 的概率.15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数. (2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最大. (2)X 服从二项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P kn k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 问当k 取何值时}{k X P =为最大.17.. 若离散型随机变量X 具有分布律X 1 2 …nkp n n …n称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意非负实数x ,记][x 为不超过x 的最大整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度. 19.设X 的概率密度⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X求XY 1=的概率密度. 20. 设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的几何分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 =X 投掷总次数.⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面,Y(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律. 23. 设X ,Y 是相互独立的泊松随机变量,参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.24. 一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X ,Y 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设),(~λπX ),(~μπY X ,Y 相互独立.(1)求X ,Y 的联合分布律;(2)求两篇论文总共至多1个错误的概率.25. 一等边三角形ROT (如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1) 写出随机变量),(Y X 的概率密度.y(2) 求点Q 的底边OT 的距离的分布密度. 26. 设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x(1) 求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2) 求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X27. 设有随机变量U 和V ,它们都仅取1,1-两个值.已知,2/1}1{==U P}.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P(1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程0)(2=+++++V U x V U x 至少有一个实根的概率.28. 某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.29. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从U (0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率. 30. 一家公司有一份保单招标,两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上,招标公司将选择报价低者,否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的,且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.31. 设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独立,求概率}20{2112σσσσ<-<Y X P .32. NBA 篮球赛中有这样的规律,两支实力相当的球队比赛时,每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量,均值为1.5,方差为6,并且假设四节的比分差是相互独立的.问 (1)主队胜的概率有多大?(2)在前半场主队落后5分的情况下,主队得胜的概率有多大? (3)在第1节主队赢5分得情况下,主队得胜的概率有多大?33. 产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他.,0,0,)(221x xe x f x X测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证du e Z P u⎰-=>εεε202/221}{34. 在一化学过程中,产品中有份额X 为杂质,而在杂质中有份额Y 是有害的,而其余部分不影响产品的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ,且X 和Y 相互独立,求产品中有害杂质份额Z 的概率密度. 35. 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y(1) 求),(Y X 的边缘概率密度. (2) 问Y X ,是否相互独立. (3) 求Y X +的概率密度).(z f Y X + (4) 求条件概率密度).|(|y x f Y X (5) 求条件概率}.5|3{<>Y X P (6) 求条件概率}.5|3{=>Y X P36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅乙种图书的概率为α,设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立,读者之间的行动也相互独立.(1)某天恰有n 个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正比.一个收集鸟蛋的人在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1) 写出一个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2) 对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率. (3) 求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4) 求}4{},4{><Y P Y P(5) 当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝 中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z 的数学期望.38. 设袋中有r 只白球,r N -只黑球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取一只做不放回抽样,以Y 表示取到白球的个数,求)(Y E .39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y 的数学期望. 40.设随机变量Y X ,相互独立.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1) 若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少? (2) 设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.42.设随机变量10021,,,X X X 相互独立,且都服从),1,0(U 又设,10021X X X Y ⋅⋅⋅= 求概率}10{40-<Y P 的近似值.43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是一个随机变量,它的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=--.0,0,0,e 21e 211)(]3[3x x x F x x(其中]3[x 是不大于3x的最大整数). (1) 画出)(x F 的图形.(2) 说明X 是什么类型的随机变量.(3) 求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提示)0()(}{--==a F a F a X P ).44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250⨯>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独立.45.在区间)1,0(随机地取一点X .定义}.75.0,min{X Y = (1) 求随机变量Y 的值域.(2) 求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3) 说明Y 不是连续型随机变量,Y 也不是离散型随机变量.46.设21,X X 是数学期望为θ的指数分布总体X 的容量为2的样本,设21X X Y =,试证明θπ=)4(YE .47.设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ是一个样本.2,S X 分别为样本均值和样本方差,试证[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=44222212)(σσμσn n S X E . 48.设总体X 具有概率密度:⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,1)(2x x xe x f x θθ其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本,n x x x ,,,21 是相应的样本观察值.(1) 求θ的最大似然估计量. (2) 求θ的矩估计量.(3) 问求得的估计量是否是无偏估计量.49.设1,,,21n X X X 以及2,,,21n Y Y Y 为分别来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的样本,且它们相互独立.221,,σμμ均未知,试求221,,σμμ的最大似然估计量.50.为了探究一批存贮着的产品的可靠性,在产品投入贮存时,即在时刻00=t 时,随机地选定n 只产品,然后在预先规定的时刻k t t t ,,,21 取出来进行检测(检测时确定已失效的去掉,将未失效的继续投入贮存),今得到以下的寿命试验数据.这种数据称为区间数据.设产品寿命T 服从指数分布,其概率密度为⎩⎨⎧>=-,,0,0,)(其它t e t f t λλ0>λ未知.(1) 试基于上述数据写出λ的对数似然方程.(2) 设.,1n s n d <<我们可以用数值解法求得λ的最大似然估计值.在计算机上实现是容易的.特别,取检测 时间是等间隔的,即取.,,2,1,1k i it t i ==验证,此时可得λ的最大似然估计为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=∑=ki i sk d i sn t 21)1(1ln 1ˆλ.51. 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布,概率密度为:⎩⎨⎧>=-其他,,0,0,e )(t t f t λλ 其中0>λ未知.从这批器件中任取n 只在时刻0=t 时投入独立寿命试验,试验进行到预订时间0T 结束.此时有)0(n k k <<只器件失效,试求λ的最大似然估计.52.设系统由两个独立工作的成败型元件串联而成(成败型元件只有两种状态:正常工作或失效).元件1、元件2的可靠性分别为21,p p ,它们均未知.随机地取N 个系统投入试验,当系统中至少有一个元件失效时系统失效,现得到以下的试验数据:1n -仅元件1失效的系统数; 2n -仅元件2失效的系统数; 12n -元件1,元件2至少有一个失效的系统数;s -未失效的系统数.N s n n n =+++1221.这里12n 为隐蔽数据,也就是只知系统失效,但不知道是由元件1还是元件2单独失效引起的,还是由元件1,2均失效引起的,设隐蔽与系统失效的真正原因独立.(1)试写出21,p p 的似然函数.(2)设有系统寿命试验数据.11,1,3,5,201221=====s n n n N 试求21,p p 的最大似然估计. 53.(1)设总体X 具有分布律0>θ未知,今有样本1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2.试求θ得最大似然估计值和矩估计值.(2)设总体X 服从Γ分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=--.,0,0,)(1)(1其他x e x x f x βαααΓβ其形状参数0>a 为已知,尺度参数0>β未知.今有样本值n x x x ,,,21 ,求β的最大似然估计值. 54.(1)设),,(~ln 2σμN X Z =即X 服从对数正态分布,验证.21exp )(2⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=σμX E (2)设自(1)中总体X 中取一容量为n 的样本.,,,21n x x x 求)(X E 的最大似然估计,此处设2,σμ均为未知.(3)已知在文学家萧伯纳的《An Intelligent Women ’s Guide To Socialism 》一书中,一个句子的单词数近似地服从对数指数分布,设μ及2σ为未知.今自该书中随机地取20个句子.这些句子中的单词数分别为 52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30,问这本书中,一个句子的单词数均值的最大似然估计值等于多少?55.考虑进行定数截尾寿命试验,假设将随机抽取的n 件产品在时间0=t 时同时投入试验.试验进行 到m 件)(n m <产品失效时停止,m 件失效产品的失效时间分别为m t t t ≤≤≤≤ 210.m t 是第m 件产品失效的时间.设产品的寿命分布为韦布尔分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--其他0,)(1x e x x f x βηββηβ 其中参数β已知.求参数η的最大似然估计.56.设某大城市郊区的一条林荫道两旁开设了许多小商店,这些商店的开设延续时间(以月计)是一个随机变量,现随机地抽取30家商店,将它们的延续时间按自小到大排序,选其中前8家商店,它们的延续时间分别是3.2 3.9 5.9 6.5 16.5 20.3 40.4 50.9X1 2 3k pθ θ θ21-假设商店开设延续时间的长度是韦布尔随机变量. 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--其他0,)(1x e x x f x βηββηβ 其中,.8.0=β(1)试用上题结果,写出η的最大似然估计.(2)按(1)的结果求商店开始延续时间至少为2年的概率的估计.57.设分别自总体),(21σμN 和),(22σμN 中抽取容量21,n n 的两独立样本.其样本方差分别为.,2221S S 试证,对于任意常数2221,)1(,bS aS Z b a b a +==+都是2σ的无偏估计,并确定常数b a ,使)(Z D 达到最小.58.设总体n X X X N X ,,,),,(~212σμ是来自X 的样本.已知样本方差∑=--=ni I X X n S 122)(11 是2σ的无偏估计.验证样本标准差S 不是标准差σ的无偏估计.59.设总体X 服从指数分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-,,0,0,1)(/其他x e x f x θθ0>θ未知.从总体中抽取一容量为n 的样本.,,,21n X X X (1)证明.)2(~22n Xn χθ(2)求θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.(3)某种元件的寿命(以小时计)服从上述指数分布,现从中抽得一容量为16-n 的样本,测得样本均值为 5010(小时),试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限.60. 设总体n X X X U X ,,,,),0(~21 θ是来自X 的样本.(1)验证),,,max(21n X X X Y =的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,/,0,0)(θθθy y y y y F nn Y(2)验证θ/Y U =的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=-. ,0,10,)(1其他u nu u f n U(3)给定正数,α10<<a ,求U 的分布的上2/α分位点2/αh 以及上2/1α-分位点.2/1α-h (4)利用(2)(3) 求参数θ的置信水平为α-1的置信区间. (5)设某人上班的等车时间θθ,),0(~U X 未知.现在有样本,4.2,2.1,7.1,5.3,2.454321=====x x x x x 求θ的置信水平为0.95的置信区间.61.设总体X 服从指数分布,概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0,0,1)(/其他x e x f x θθ.0>θ设n X X X ,,,21 是来自X 的样本.试取59题中当0θθ=时的统计量022θχXn =作为检验统计量,检验假设 .:,:0100θθθθ≠=H H 取水平为α(注意:θ=)(X E ).设某种电子元件的寿命(以小时计)服从均值为θ的指数分布,随机取12只元件,测得它们的寿命分别为 340 , 430 , 560 , 920 , 1380 , 1520 , 1660 , 1770 , 2100 , 2320 , 2件350 , 2650 .试取水平,05.0=α检验假设.1450:,1450:10≠=θθH H62.经过十一年的试验,达尔文于1876年得到15对玉米样品的数据如下表,每对作物除授粉方式不同外,其它条件都是相同的.试用逐对比较法检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响(05.0=α).问应增设什么条件才能用逐对比较法进行检验?63.一内科医生声称,如果病人每天傍晚聆听一种特殊的轻音乐会降低血压(舒张压,以Hg mm -记).今选取了10个病人在试验之前和试验之后分别测量了血压,得到以下的数据:设)10,,2,1( =-=i Y X D i i i 为来自正态总体),(2D D N σμ的样本,2,D D σμ均已知.试检验是否可以认为医生的意见是对的(取05.0=α).64.以下是各种颜色汽车的销售情况:试检验顾客对这些颜色是否有偏爱,即检验销售情况是否是均匀的(取). 65.某种闪光灯,每盏灯含4个电池,随机地取150盏灯,经检测得到以下的数据:试取05.0=α检验一盏灯损坏的电池数),4(~θb X (θ未知).66.下面分别给出了某城市在春季(9周)和秋季(10周)发生的案件数.试取03.0=α,用秩和检验法检验春季发生的案件数的均值是否较秋季的为多.67.临界闪烁频率(cff)是人眼对于闪烁光源能够分辨出它在闪烁的最高频率(以赫计).超过cff 的频率,即使光源实际是在闪烁的,而人看起来是连续的(不闪烁的).一项研究旨在判定cff 的均值是否与人眼的虹膜颜色有关,所得数据如下: 临界闪烁频率(cff)分布,且方差相等,样本之间相互独立.68.下面列出了挪威人自1938~1947年间年人均脂肪消耗量,与患动脉粥样硬化症而死亡的死亡率之间相关的一组数据.设对于给定的Y x ,为正态变量,且方差与x 无关. (1) 求回归直线方程bx a y +=.(2) 水平05.0=α下检验假设0:,0:10≠=b H b H .(3)求13|=x y.(4) 求13=x 处)(x μ置信水平为0.95的置信区间.(5) 求13=x 处Y 的新观察值0Y 的置信水平为0.95的预测区间.69. 下面给出1924~1992年奥林匹克运动会女子100米仰泳的最佳成绩(以秒计)(其中1940年及1944年未举行奥运会):年份 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3年份 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3(1)画出散点图.(2)求成绩关于年份的线性回归方程.(3)检验回归效果是否显著(取05.0=α).70.设在时间区间],0(t 内来到某商店的顾客数)(t N 是强度为λ的泊松过程.每个来到商店的顾客购买某些货物的概率是p ,不买货物就离去的概率是p -1,且各个顾客是否购买货物是相互独立的.令)(t Y 为],0(t 内购买货物的顾客数.试证}0),({≥t t Y 是强度为p λ的泊松过程.71.设随机过程,),Ωcos()(∞<<-∞+=t t a t X Θ其中a 是常数,随机变量)2,0(~πΘU ,随机变量Ω具有概率密度)(x f ,设)(x f 连续且为偶函数,Θ与Ω相互独立.试证)(t X 是平稳过程,且其谱密度为)()(2ωπωf a S X =.。

概率论与数理统计1-4章课后答案

概率论与数理统计1-4章课后答案

概论论与数理统计习题参考解答习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率.解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数, 有利于210C n =A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==××⋅××==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=−=−=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=×××==P n ,有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数, 有利于A i 的基本事件数为5100C n =3,2,1,0,5973==−i C C n i i i 则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=××==××⋅××××××××====××=×××××⋅××××××××====×××=×××××××⋅××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数, 有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n , n N C m =kn N N k N k C C m −−=11因此, n k C C C m m A P n Nk n N N k N k k ,,1,0,)(11L ===−− 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数, 有利于A 的基本事件数为,310C n =121315C C C n A =则25.0412358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数422=×=A n ,有利于B 的基本事件数632=×=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=×××=××××××××==C n 设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3,则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==××××===×===××××==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个,则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ).解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==−+=−+=−+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率(2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=−=−=A B P A B P , 则988.0012.01(1)(012.015.008.015.0)92.01(|()((=−=−=+=×=×−==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为|(B A P , 则 829.093.01012.01)()(1|(1)|(=−−=−=−=B P B A P B A P B A P 21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10,而由903095106|()((902496104)|()((902494106|()()(901293104)|()()(=×===×===×===×==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P 由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有B A B A A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|(()(72072839024|(()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=×===×===×===×==B A C P B A P B A P B A C P B A P B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=CB A PC B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=×+×+×==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(3121626331239331215272312132923121428131223191312132********=⋅××⋅××××===×××××××××===⋅××⋅××××===××××××××===⋅××⋅××××===××××××===⋅××⋅××××===××××==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P 根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件.设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=×+×=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个,因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P 25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有P (C )=1/3, P (C )=2/3,P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4,根据全概率公司有367.04.0323.031)|(()|()()(=×+×=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ),得P (A )=1/3, P (A )=2/3.设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==×+××==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球.则P (A )=2/3, P (A )=1/3,P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4,则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==×+×=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=×===×==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有 467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=××===××===××==C C A C P C C A C P C C A C P 根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P 30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。

第二章5-6第四版 概率论与数理统计答案

第二章5-6第四版 概率论与数理统计答案

(100104)设f1(x)为标准正态分布的概率密度函 数, f2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度函数, 若
⎧af1 ( x), x ≤ 0 f ( x) = ⎨ (a > 0, b > 0) ⎩bf 2 ( x), x > 0
则a,b满足 (A)2a+3b=4 (B)3a+2b=4 (C)a+b=1 (D)a+b=2
(C) AB = ∅ (D) AB = ∅
(99103) 设两两相互独立的三事件 A、B 和 1 C 满足条件:ABC=∅, P(A)=P(B)=P(C)< , 2 9 且已知 P(A∪B∪C)= , 则 P(A)=_______. 16
(02103) 设随机变量 X 服从正态分布 2 2 N(u,σ )(σ>0), 且二次方程 y +4y+X=0 无实 1 根的概率为 , 则 u=________. 2
100104设f1x为标准正态分布的概率密度函数f2x为13上均匀分布的概率密度函数若120fx000afxxabbfxx???则ab满ห้องสมุดไป่ตู้a2a3b4b3a2b4cab1dab2070104某人向同一目标独立重复射击每次射击命中目标的概率为p0p1则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为a3p1?p2b6p1?p2c3p21?p2d6p21?p2
(03313) 设随机变量X的概率密度为
⎧ 1 ⎪ 3 2 , 若x ∈ [1,8]. f ( x) = ⎨ 3 x ⎪ 0, 其它. ⎩
F(x)是X的分布函数, 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
(1990年、数学三、计算) 对某地抽样调查的结果表明,考生的外语成绩 (按百分制计)近似服从正态分布,平均72分 且96分以上的考生数占2.3%,求考生的外语成 绩在60分至84分之间的概率。

(完整版)概率论第二章答案

(完整版)概率论第二章答案

习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p .或者X 0 1 P 1-pp2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c , 并计算条件概率.cc c c 167,85,43,21}0|1{≠<X X P 解 由离散型随机变量的分布律的性质知,13571,24816c c c c+++=所以.3716c=所求概率为P {X <1| X }=.0≠258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若≥, 求≥.{P X 51}9={P Y 1}解 注意p{x=k}=,由题设≥kk n k n C p q -5{9P X =21}1{0}1,P X q =-==-故. 从而213qp =-=≥{P Y 32191}1{0}1(.327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.1927解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是,那么一次都2719没有成功的概率是. 即, 故 =.278278)1(3=-p p 315. 若X 服从参数为的泊松分布, 且, 求参数.λ{1}{3}P X P X ===λ解 由泊松分布的分布律可知.6=λ6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 从1,2,3,4,5中随机取3个,以X 表示3个数中的最大值,X 的可能取值是3,4,5,在5个数中取3个共有种取法.1035=C {X =3}表示取出的3个数以3为最大值,P{X =3}==;2235C C 101{X =4}表示取出的3个数以4为最大值,P{X =4}=;1033523=C C {X =5}表示取出的3个数以5为最大值,P{X =5}=.533524=C C X 的分布律是X 345P11031035习题2-31. 设X 的分布律为X -11P0.150.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2}, P {-2≤X <1}.解 (1)F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥ (2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35.2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知(0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩于是11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤ 1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X ,1}(1)0F -=-=≤P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;; 在事件11{1},{1}84P X P X =-===出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成{11}X -<<正比. (1) 求的分布函数≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .X (){F x P X =解 (1) 由条件可知,当时, ;1x <-()0F x =当时, ;1x=-1(1)8F -=当时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.1x =所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于的条件下, 事件的条件概率为(1,1)-{1}X x -<<≤,{1P X -<|11}[(1)]x X k x -<<=--取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =. 12因此≤.{1P X -<|11}12x X x -<<=+于是, 对于, 有11x -<<≤≤{1P X -<}{1x P X =-<,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于≥1, 有 从而x () 1.F x =0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥(2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题(1) 设 如果c =( ), 则是某一随机变量的概率密2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩()f x 度函数.(A). (B). (C) 1.(D).131232解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题()d 1f x x +∞-∞=⎰2d 1cx x =⎰1=c 应选(C ).(2) 设又常数c 满足, 则c 等于( ).~(0,1),XN {}{}P X c P X c =<≥(A) 1.(B) 0.(C). (D) -1.12解 因为, 所以,即{}{}P X c P X c =<≥1{}{}P X c P X c -<=<, 从而,即, 得c =0. 因此本题应选(B).2{}1P X c <={}0.5P X c <=()0.5c Φ=(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A)(B)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它.12,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) (D)22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎩e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D).()1f x dx +∞-∞=⎰(4) 设随机变量, , ≤},2~(,4)XN μ2~(,5)Y N μ1{X P P =4μ-≥}, 则( ).{2P P Y =5μ+(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.12,P P μ=12,P P μ<(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.μ12P P =12,P P μ>解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有μ.12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为, 且, 又F (x )为分布函数, 则对()f x ()()f x f x =-任意实数, 有().a (A) . (B) .()1d ()∫aF a x f x -=-1()d 2()∫aF a x f x -=-(C) .(D) .()()F a F a -=()2()1F a F a -=-解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且X211(,)N μσY 222(,)N μσ 则下式中成立的是().12{1}{1},P X P Y μμ-<>-<(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2.(D) μ1 >μ2.解 答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数,数满足)10(<<αααu , 若, 则等于().{}P X u αα>={}P X x α<=x (A) .(B) .(C) .(D) .2u α21α-u 1-2u αα-1u 解 答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为的指数分布, 要使成立, λ1{2}4P kX k <<=应当怎样选择数k ?解 因为随机变量X 服从参数为的指数分布, 其分布函数为λ1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知.221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-于是.ln 2k λ=3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使(其中a >0)成立, 应当怎样选择数?{}{}≥P X a P X a =<a 解由条件变形,得到,可知, 于是1{}{}P X a P X a -<=<{}0.5P X a <=, 因此.304d 0.5a x x =⎰a =4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2).{0.30.7}P X <<解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,()()F x f x '=可得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2).22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )=2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤}与P {≤2}.1214X <解≤;{P X 12201112d 224}x x x ===⎰≤.1{4P X <12141152}2d 1164x x x ===⎰6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ;(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得,12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰于是;2A =(2) 由公式可得()()d x F x f x x -∞=⎰当x ≤0时, ;()0F x =当≤1时, ;0x <201()d 2x F x x x x ==⎰当≤2时, ;1x <2101()d (2)d 212xx F x x x x x x =+-=--⎰⎰当x >2时, .()1F x =所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式≤,{P a X <}()()()d bab F b F a f x x =-=⎰可得.2115{1}(1)d48P X x x>=+=⎰所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.223333535175()()(888256C C+=8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.~(0,5)X U24420x Xx++=解随机变量X的概率密度为105,()50,,xf x<=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则≥0, 于是≥2. 故方程有实根的概率为21632X-2XP{≥2}=2X21{2}P X-<1{P X=-<<1x=-.1=9. 设随机变量.)2,3(~2NX(1) 计算, , , ;{25}P X<≤{410}P X-<≤{||2}P X>}3{>XP(2) 确定c使得{}{};P X c P X c>=≤(3) 设d满足, 问d至多为多少?{}0.9P X d>≥解(1) 由P{a<x≤b}=P{公式,33333}()()22222a Xb b aΦΦ-----<=-≤得到P{2<X≤5}=,(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=P{-4<X≤10}=,(3.5)( 3.5)0.9996ΦΦ--==+{||2}P X>{2}P X>{2}P X<-=1+=0.6977,23(2Φ--23()2Φ--=1=0.5 .}3{>XP33{3}1()1(0)2P XΦΦ-=-=-≤(2) 若,得1,所以{}{}≤P X c P X c>={}{}P X c P x c-=≤≤{}0.5P X c=≤由=0推得于是c =3.(0)Φ30,2c -=(3) 即1, 也就是{}0.9≥P Xd >3()0.92d Φ--≥,3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥解得.32( 1.282)0.436d +⨯-=≤10. 设随机变量, 若, 求.2~(2,)XN σ{04}0.3P X <<={0}P X <解 因为所以. 由条件可知()~2,X N σ2,~(0,1)XZ N μσ-={04}0.3P X <<=,02242220.3{04}{}((X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--于是, 从而.22(10.3Φσ-=2(0.65Φσ=所以.{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1(0.35ΦΦσσ-=-=习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则的分布函数为( ).31Y X =+()G y (A) . (B) . 11(33F y -(31)F y +(C) .(D).3()1F y +1133()F y -解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设令, 则( ).()~01,XN ,2Y X =--~Y (A). (B). (C). (D).(2,1)N --(0,1)N (2,1)N -(2,1)N 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设, 求Z 所服从的分布及概率密度.~(1,2),23X N Z X =+解 若随机变量, 则X 的线性函数也服从正态分布, 即2~(,)XN μσY aX b =+ 这里所以Z .2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++1,μσ==~(5,8)N 概率密度为.()f z =2(5)16,x x ---∞<<+∞3. 已知随机变量X 的分布律为X -10137P0.370.050.20.130.25(1) 求Y =2-X 的分布律; (2) 求Y =3+X 2分布律.解 (1)2-X -5-1123P0.250.130.20.050.37(2)3+X 2341252P0.050.570.130.254. 已知随机变量X 的概率密度为=()X f x 1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩ , 其它,且Y =2-X , 试求Y 的概率密度.解 先求Y 的分布函数:)(y F Y =≤≤≥)(y F Y {P Y }{2y P X =-}{y P X=2}y -=1-.1{2}P Xy =-<-2()d yX f x x --∞⎰于是可得Y 的概率密度为=()(2)(2)Y X f y f y y '=---12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩即121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.2Y X =解 由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,≤≤≤X .(){Y F y P Y =2}{y PX=}{yP =(X X F F =-于是随机变量的概率密度函数为2YX =()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.~(5,0.2)X B (1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=.23358.02.0C (2) 至多有3件次品的概率是.k k k kC-=∑5358.02.02. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少?(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少?(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少?(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少?解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数,则X ~B (5,0.1),P {X =k }=,k =0,1, (5)k kk C -559.01.0(1)所求的概率是P {X =2}=;0729.09.01.03225=C (2)所求的概率是P {X ≥1}=1;40951.0)1.01(5=--(3)所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4)所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856.3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥,x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知, 求常数k , θ.1{1}2P X >=解 由概率密度的性质可知得到k =1.e d 1xkx θθ-+∞=⎰由已知条件, 得.111e d 2xx θθ-+∞=⎰1ln 2θ=4. 某产品的某一质量指标, 若要求≤X ≤≥0.8, 问允2~(160,)X N σ{120P 200}许最大是多少?σ解 由≤X ≤{120P }200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=≥0.8,404040((1(2(1ΦΦΦσσσ--=-得到≥0.9, 查表得≥1.29, 由此可得允许最大值为31.20.40()Φσ40σσ5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于即故2A = 1,得||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰2e d 1x A x +∞-=⎰到A =.12所以φ(x ) =e -|x |.12(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为 得到||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X 的分布函数为1,0,2()11,0.2xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩e e ≥。

第二章4-5第四版 概率论与数理统计答案

第二章4-5第四版 概率论与数理统计答案


x
−∞
e
− u 2 /2
d u = Φ ( x),
若X~N(μ,σ2), 则它的分布函数F(x)可写成: ⎧X −μ x−μ⎫ ⎛ x−μ ⎞ ≤ F ( x) = P{ X ≤ x} = P ⎨ ⎬ = Φ⎜ ⎟. σ ⎭ ⎩ σ ⎝ σ ⎠
(4.16)
77
重要应用:
当 X ~ N ( μ , σ ) 时 P { a < X ≤ b} = φ (
将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为
⎧ 1 [ f X ( y ) + f X (− y )], ⎪ fY ( y ) = ⎨ 2 y ⎪0, ⎩ y > 0, y ≤ 0.
19
(5.1)
例如:设X~N(0,1), 其概率密度为 1 − x2 /2 ϕ ( x) = e , −∞ < x < ∞ 2π 则Y=X2的概率密度为
3

+∞
⇒ I = 2π ⇒ ∫−∞ f ( x)dx = 1
+∞
正态分布 X ~ N ( μ , σ 2 ) 的性质
1、f ( x)关于x = μ对称 1 2、f max = f ( μ ) = 2π σ 3、 lim f ( x) = 0
| x − μ |→ +∞
称μ为位置参数(决定对称轴位置) σ为尺度参数(决定曲线分散性)
⎧ 1 y −1/2 e − y /2 , y > 0, ⎪ fY ( y ) = ⎨ 2 π ⎪0, y ≤ 0. ⎩
此时称Y服从自由度为1的χ2分布.
定理:设X ∼ f X (x), −∞ < x < +∞,g '(x) > 0 (或g '(x) < 0)。 ~ Y = g( X ), Y具有概率密度为: 则

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计第四版课后习题答案概率论与数理统计习题答案第四版盛骤 (浙江大学)浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1)=n n nn o S 1001, ,n 表小班人数(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。

([一] 2)S={10,11,12,………,n ,………}(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。

查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。

([一] (3))S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,} 2.[二] 设A ,B ,C 为三事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列事件。

(1)A 发生,B 与C 不发生。

表示为: CB A 或A - (AB+AC )或A -(B ∪C ) (2)A ,B 都发生,而C 不发生。

表示为:C AB 或AB -ABC 或AB -C(3)A ,B ,C 中至少有一个发生表示为:A+B+C(4)A ,B ,C 都发生,表示为:ABC(5)A ,B ,C 都不发生,表示为:C B A 或S - (A+B+C)或C B A ??(6)A ,B ,C 中不多于一个发生,即A ,B ,C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。

故表示为:C A C B B A ++。

(7)A ,B ,C 中不多于二个发生。

相当于:C B A ,,中至少有一个发生。

故表示为:ABC C B A 或++ (8)A ,B ,C 中至少有二个发生。

相当于:AB ,BC ,AC 中至少有一个发生。

概率论与数理统计第四版_部分习题答案_第四版_盛骤__浙江大学

概率论与数理统计第四版_部分习题答案_第四版_盛骤__浙江大学

概率论与数理统计第四版_部分习题答案_第四版_盛骤__浙江大学第一章概率论的基本概念2、设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。

(1)A发生,B与C不发生。

表示为:A或A-(AB+AC)或A-(B∪C)(2)A,B都发生,而C不发生。

表示为:AB或AB-ABC或AB-C表示为:A+B+C(3)A,B,C中至少有一个发生(4)A,B,C都发生,表示为:ABC表示为:或S-(A+B+C)或ABC(5)A,B,C都不发生,(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生相当于,,中至少有一个发生。

故表示为:(7)A,B,C中不多于二个发生。

相当于:,,中至少有一个发生。

故表示为:ABC(8)A,B,C中至少有二个发生。

相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。

故表示为:AB+BC+AC3、设A,B,C是三事件,且P(A)P(B)P(C),P(AB)P(BC)0,4P(AC).求A,B,C至少有一个发生的概率。

8解:P(A,B,C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3150488解:所求概率为P(AB)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P(C|AB)P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6某0.5=0.3,P(|AB)=1-P(C|AB)=1-0.4=0.6.从而P(AB)=P(AB)·P(|AB)=0.3某0.6=0.18.17、已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。

(1)二只都是正品(记为事件A)法一:用组合做在10只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种取法等可能。

C8228P(A)20.62C1045法二:用排列做在10只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个排列等可能。

概率统计第二章答案

概率统计第二章答案

概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第二章 随机变量及其分布教学要求:一、理解随机变量的概念;理解离散型随机变量及其分布律的定义,理解分布律的性质;掌握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质;会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质;理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质,并熟练掌握有关的计算;会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布.重点:二项分布、正态分布,随机变量的概率分布. 难点:正态分布,随机变量函数的分布.练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律1.填空、选择(1)抛一枚质地均匀的硬币,设随机变量⎩⎨⎧=,,出现正面,,出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间]221,(上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果{}81801=≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i其中0>c 是常数,则( B ) (A )11-=c p ; (B )11+=c p ; (C )1+=c p ; (D )0>p 为任意常数2.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律.解:从1~5中随机取3个共有1035=C 种取法.以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3{}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则{}1013==X P ; {}4=X 表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在1,2,3中任取2个,共有323=C 种取法,故{}10343523===C C X P ;{}5=X 表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有624=C 种取法,故{}5310653524====C C X P .{}5=X P 也可由{}{}431=-=-X P X P 得到.3.设X 为随机变量,且k k X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 (1)判断上面的式子是否为X 的概率分布; 解:令 ,2,1,21)(====k k X P p kk , 显然 ① 10≤≤k p ,② 1121212111=-==∑∑∞=∞=k k k k p ;所以 ,2,1,21)(===k k X P k 为随机变量X 的概率分布。

概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案

概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案
17
12
数值p,即(P(A))就是在一次试验中对事件A发生可能 性的大小的数量描述。 如上所说,频率的稳定性是概率的经验基础,但并不是 说概率决定于试验。一个事件发生的概率完全决定于事件本 身的结构,是先于试验而客观存在的。 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的 但 并不能用这个定义计算P(A)。实际上,人们是采用一次大量 实验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值。 这就是说,概率的统计定义还不是真正意义上的数学定 义。 (二)概率的古典定义 直接计算某一事件的概率有时是非常困难的,甚至是不 可能的。仅在某些情况下,才可以直接计算事件的概率。
5
个事件发生。记作
å
¥
Ai 或
¥
Ai
i= 1
i= 1
4. 事件的交(积) 两个事件A与B同时发生,即“A且B” ,是一个事件,称为 A与B的交(积),它是由既属于A又属于B的所有公共样本点 构成的集合,记作 AB或A∩B 5.事件的差 事件A发生而事件B不发生,是一个事件,称为事件A与事 件B的差。它是由属于A但不属于B的样本点构成的集合。记作 A-B. 6. 互不相容事件
8. 完备事件组 若事件A1,A2,…,An为两两互不相容的事件,并且A1+A2+… +An=Ω ,则称A1,A2,…,An构成一个完备事件组。 例1,例2,例3,例4
7
§1.2 概率 概率论研究的是随机现象量的规律性。因此仅仅知道试验中 可能出现哪些事件是不够的,还需要对事件发生的可能性大小 的问题进行描述。 上面所提到的随机事件在一次试验中是否发生是不确定的, 但是在大量的重复试验中,它的发生确具有统计规律性,所以 应用中从大量的试验出发来研究它。 先来看看两个例子,掷一枚均匀硬币的试验中,出现文字 (反面)或国徽(正面)的事件,总体来看,在试验中两面中 总有一面会出现,而且他们出现的机会是相等的。但是在一次 是一次试验中,这两面中究竟哪一面出现我们无法确定,但我 们可以确定两面出现的机会是相等的。又如,掷一枚均匀的 骨殳子,在一次试验中,1点,2点,3点,4点,5点,6点都可
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第二章:随机变量及其分布函数2.甲乙两名篮球队员独立的轮流投篮,直至某人投中篮筐为止。

今让甲先投,果甲投中的概率为0.4,乙为0.6。

求各队员投篮次数的概率分布。

解:对甲而言: ξ=1 甲(未中)乙(中)或甲(中) ………………. ξ=k 意味着1.k -⋯⋯甲(未)乙(未)甲(未)乙(未)甲(中)或者.k⋯⋯甲(未)乙(未)甲(未)乙(未)所以111()(0604)04(0604)0606(0604)076k k k P k ξ---==⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅ 其中1=k 、2、3…..对乙而言:40)()0(⋅===甲首次即投中P P η4560)240(40)4060(60)4060()(121⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅==--k k k k P η 其中1=k 、2、3…..5.设某个动物生下r 个蛋的概率是p(r =ξ)=λλ-e r r!。

若每一个蛋能发育成动物的概率是p ,且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互独立的。

证明恰有k 个后代的概率分布是具有参数为p λ的泊松分布。

证明;令η表示恰有k 个后代,k 个后代是由于r 个蛋孵化出来的,r ≥k. 那么据全概率公式得P(η=k)= ()(|)r k P r P k r ξηξ∞====∑=λλ--∞=-∑e r p p c rkr kkr k r!)1(=er k r kk r p p r k r k r λλ-∞=---∑)1(!1)!(!! =ek k r k r k k r p p k r k λλλ--∞=---∑)1()!(!1=ek r k r kp k r k p -∞=---∑))1(()!(1!)(λλλ=e()(1)!!k i ii p p k i λλλ∞-=-∑=e(1)()!k p p e k λλλ-- =k pp k e )(!λλ- 即函数为p λ的泊松分布。

6.设1ξ与2ξ相互独立,并具有共同的几何分布 {}k i p k pq ξ==()1,2;0,1,2,......i k == (1)证明:()1211i p k n n ξξξ=+==+。

(2)求{}12max ,ηξξ=的分布。

(3)求η与1ξ的联合分布。

(1)证明:()()()()()()()()2112121212120022,1,0,1,2, (11)ni nnk n kk k nn nnnk p k n p k p n k p q p k n p n p k p n k p pq pq p q q k n q n p qξξξξξξξξξξξξ-====+===-=+====+===-====++∑∑∑(2)(){}()1,2max p k p k ηξξ====()()()112212112,,,p k p k p k ξξξξξξξξξ=>+=<+== =Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ 其中()()()111201111k k k ii i kk k i k k k i I p k p i pq pq qpq p q pq ppq q qξξ--==-=====-===--∑∑∑Ⅱ=ⅠⅢ=()12,k k p k k pq pq ξξ=== ∴()()21k k k k p k pq q pq pq η==-+ =()()222k k k k k k k pq q pq pq q q pq -+=--+=()()()1212,0,1,2......k k k k k k pq q q p pq q q k +---=--=(3)()1,p i j ηξ==if i j = ()()()1112,,1k k p i j p j pq q ηξξξξ====>=-即{}12122,,max ,j i ξξηξξξ====∴()()2112,,j i i j p i j p j i pq pq p q ηξξξ+=======if ,i j <这不可能∴()1,0p i j ηξ===故()()()11211021221,{,} {,}, 0, 1,,0,,,j j j k i iP i j P i i jP j i i j i j pq q i j p q i j j i k i p ξξηξξξξξξ=++==⎧=≤==⎪⎪⎪=====>⎨⎪<⎪⎪⎩-==><∑⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩8.任意大学生,他的生日在一年中任一天的概率均为1/365,若某一学校有730名大学生,问有4名大学生的生日为元旦的概率是多少? 解:730,)123653642 1.99453651.4132()()1.41 1.410.06n n n n n np npq P ξξξ==≤-⨯==⨯==≤<=Φ-Φ=在次观察中生日在元旦的人数求P(=4)=P(4<5根据棣莫佛拉普拉斯定理:=7309.某车间有200台同一型号的车床,由于种种原因,每台车床时常需要停车,假定各台车床的停车或开动相互独立的,且每台车床有60%的时间开动,开动时需要消耗的电能为E.问至少要供给这个车间多少电能,才能以99.9%的概率保证这个车间不致因为供电不足而影响生产。

解:200200()(0.6)(0.4)3.1200.9993.120120 3.17142142k k kEKp k CE Nk NNEξξφφ-==≤=≥∴≥+⨯=∴每台机床需电能(启动)概率为0.6设某一时刻有台机器正常工作,用表示每台车床需一个单位电能,设供应的电能为,供电充足即查表知:()至少需电量供应12.设每天到达炼油厂的油船数服从λ=2的泊松分布.现港口的设备在一天内只能为三艘油船服务.如果在一天内有多于三艘油船到达,超过三艘的油船必须调往其他港口.求:(1)在一个给定的日子,必须调油船离开的概率. (2)为90%的日子里能容许安排所有的油船,现在的设备应增至几台?(设一台设备,只能给一艘船服务.)(3)每天最可能到达的油船数是几艘?并求其概率. 解: 设油厂的油船数为ξ(1) 必须调油船离开的概率()()44;20.142877k P P P k ξ∞==≥==∑(2)设设备应增至n 台则应满足()()11;20.9k n P n P k ξ∞=+≤=-≥∑查表知当n =4时, ()410.0526530.947347P ξ≤=-= 故设备应增至4台(3)最可能到达的油船数是2艘;()20.270670P ξ==14. ,r v . ξ密度函数为()cos ,220,a x x f x otherππ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩(1) 系数a(2) F(x) f(x)图形(3) 求P (04πξ≤≤)解:(1)由规范性:2222()cos sin f x dx a dx a xππππ-∞+∞--==⎰⎰=2a=1∴a=12(2)1cos ,()2220,x x f x other ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩F(x)求法如下F :2x π<时, ()()0x F x f x dx -∞==⎰22x ππ-≤≤时, 2()()F x f x dx π--∞=⎰+2()xf x dx π-⎰=122cos xxdx π-⎰=12sinx +122x π≥时, F (x )=1∴0,211()cos ,22221,2x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩15.问A 为何值时,()()x F x A e o x -=-≤≤∞是一随机变量ξ的分布函数(设当0x <时, ()0F x =)?解:据分布函数的性质()lim 1x x F A e -→+∞+∞=-= 所以,A =117.设(,)ξη具有下述联合分布函数,问ξ与η是否相互独立?(2)(,)8,01f x y xy x y=≤≤≤解:(2)1284(1),01 ()0,xxydy x x xf xξ⎧=-<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他384,01 ()0,yxydx y yf yη⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他∴2316(1),01,01()()(,)0,x x y x yf x f y f x yotherξη⎧-<<<<⎪=≠⎨⎪⎩∴两者不独立22221()2222221,)(,)2,)y x f x y a bab ey x r a bξηπξη-++=18.设随机变量(服从二维正态分布 =求(取值于椭圆:内的概率。

2222222200022111222220000022(,)cos sin 11()222010r r r p D f x y dxdyy x r a bx ra y rb r r r A rabdrd a b rdr d ab ab r r r e e e r e e πξηθθπθππ+=-----∈=⎧⎨=⎩===--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 解:A=((,))=作坐标变换:20.设二维随机变量(,)ξη的密度函数为2,01,02;3(,)0xy x x y f x y other ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩ 求:(1)(,)ξη的边沿分布密度函数; (2)(,)ξη的条件分布密度函数; (3)(1)P ξη+>;()P ηξ<及11(|)22P ηξ<<. 解:(1)边沿密度函数()(,)f x f x y dy ξ∞-∞==⎰220(),0130,xy x dy y ⎧+≤≤⎪⎨⎪⎩⎰其他 22,0130,x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他1201(),02336()1,xy y x dx y f y η⎧+=+≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他(2)条件密度函数对于,10≤≤x 给定X=x ,|(|)f y x ηξ=(,)(f x y f x ξ)=3,02620,x y y x other +⎧≤≤⎪+⎨⎪⎩ 对于20≤≤y ,给定Y=y ,2|62,01(,)2(|)()0x xyx f x y y f x y f y other ξηη⎧+≤≤⎪+==⎨⎪⎩(3)(1)P ξη+>=1(,)x y f x y dxdy +≥⎰⎰=1220165()372xxy x dxdy -+=⎰⎰()P ηξ<=12007(,)()324xy xxy f x y dxdy x dxdy ≤=+=⎰⎰⎰⎰11(|)22P ηξ<<=112220012211()(,)3522132()2(2)23xy x dxdy P P x xdxξηξ+<<==<+⎰⎰⎰21.设二维随机变量12(,)ξξ的密度函数是12211121121()()()k k x x x x e k k ----ΓΓ求1ξ,2ξ的边沿分布密度函数。

相关文档
最新文档