2412 垂直于弦的直径 ppt课件
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垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
《2412垂直于弦的直径》课件
交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
所对的两条弧．
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d 2 (a)2
2
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
实际问题 垂径定理的应用
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
圆有哪些对称轴？ O
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． C
下图是轴对称图形吗？
大胆猜想
O
是轴对称图形．
A
E
B
D
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
垂径定理 C
O
E
A
B
CD是直径，AB是弦， D CD⊥AB
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
①直径 ②直径垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
垂径定理的推论1
① 直径 ③直径 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
所对的两条弧．
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d 2 (a)2
2
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
实际问题 垂径定理的应用
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
圆有哪些对称轴？ O
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． C
下图是轴对称图形吗？
大胆猜想
O
是轴对称图形．
A
E
B
D
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
垂径定理 C
O
E
A
B
CD是直径，AB是弦， D CD⊥AB
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
①直径 ②直径垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
垂径定理的推论1
① 直径 ③直径 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
2412垂直于弦的直径优质公开课精品PPT课件
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理
求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,
所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测 巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ）
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，BAC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A
E
C
O
D
B
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，C 并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
A
E
A．AE＝OE C．OE＝1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
谢谢大家
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It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理
求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,
所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测 巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ）
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，BAC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A
E
C
O
D
B
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，C 并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
A
E
A．AE＝OE C．OE＝1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
人教版九年级上册第24章圆24.1.2垂直于弦的直径课件(共21张)
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
四 垂径定理的实际应用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代民勤劳与智慧的结晶.它的 主桥拱是圆弧形，它白跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧 的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保 留小数点后一位).
C u推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE, A⌒C =⌒BC, A⌒D =B⌒D.
·O AE B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种
语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC
垂足为D，与弧AB交于点C，
则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，
如图，CD是⊙O的任意一条直
径，点A为⊙O上除点C、D外的 A 任意一点.过点A作AA΄⊥CD，交
·O
EM
A΄
D
⊙O于点A΄，垂足为M，连接OA，
OA΄．证明CD是AA΄的中垂线即
可问题：你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？试用
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AE和BE,A⌒C和B⌒C，A⌒D与B⌒D重合．
2020/12/2
叠 合 法
6
可以发现： 圆是轴对称图形。任何一条直径所在
直线都是它的对称轴
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧
2020/12/2
1
复习提问：
1过、什么是轴对称图形？我们在直线形中学 哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的
部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 常见的轴对称图形有：角、线段、等腰三角形、矩 形等.
2、圆是不是轴对称图形呢？
.
圆是轴对称图形，经
过圆心的每一条直线都是
2020/12/2
7
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
2020/12/2
8
37.4m
7.2m
C
A
E
B
2020/12/2
O
9
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形
C
O
A
D
B
14
试一试吧
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A
A
O
B
D
C
D
B
C
O
AB 10cm
2020/12/2
AB 2 5cm 15
课堂总结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
O
D
又∵AC 10cm
A
且
AC 2 DC 2 OA2 OD2
C
即
AC 2 （OC-OD）2 OC 2 OD2
解得
R=5或R=-（ 1 舍去） 2020/12/2所以圆O的半径为5cm
B
11
C
O
E
A
B
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中，
D
任意知道两个量，可根据 勾股定理 定理求出第三个量.
OD=OC-CD=R-7.23
在RT△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
解得
R≈27.3（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m
2020/12/2
10
练习:
1.在圆O中，直径CE⊥AB于
E
D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ，
求圆O的半径。
解：由题OD=4cm, ∴OD =OC-DC
2020/12/2
4
剪一个圆形图片，沿着它的任意一条直径 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能 得到什么结论？你能证明你的结论吗？
学生分组活动
结论： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在
的直线都是圆的对称轴.
2020/12/2
5
验证结论
理由如下：连结AO,BO.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程
2020/12/2
16
2020/12/2
17
2020/12/2
12
2.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OE C
B
2020/12/2
13
巩固训练
3.一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径为
7cm，则弓形的高为＿5＿c＿m＿.
A
2020/12/2
C
D
B
O
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设其坐在圆的圆 心为O，半径为R 经过点O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧 AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB 的重点，C是弧AB的重点，CD就是拱高 由题设可知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB=37 cm CD=7.23 cm 所以
AD=0.5AB=0.5×37=18.5 cm
它们的对称轴
2020/12/2
2
2020/12/2
3
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2020/12/2
叠 合 法
6
可以发现： 圆是轴对称图形。任何一条直径所在
直线都是它的对称轴
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧
2020/12/2
1
复习提问：
1过、什么是轴对称图形？我们在直线形中学 哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的
部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 常见的轴对称图形有：角、线段、等腰三角形、矩 形等.
2、圆是不是轴对称图形呢？
.
圆是轴对称图形，经
过圆心的每一条直线都是
2020/12/2
7
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
2020/12/2
8
37.4m
7.2m
C
A
E
B
2020/12/2
O
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分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形
C
O
A
D
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试一试吧
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A
A
O
B
D
C
D
B
C
O
AB 10cm
2020/12/2
AB 2 5cm 15
课堂总结
垂径定理
内容 推论 辅助线
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
O
D
又∵AC 10cm
A
且
AC 2 DC 2 OA2 OD2
C
即
AC 2 （OC-OD）2 OC 2 OD2
解得
R=5或R=-（ 1 舍去） 2020/12/2所以圆O的半径为5cm
B
11
C
O
E
A
B
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a中，
D
任意知道两个量，可根据 勾股定理 定理求出第三个量.
OD=OC-CD=R-7.23
在RT△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
解得
R≈27.3（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m
2020/12/2
10
练习:
1.在圆O中，直径CE⊥AB于
E
D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ，
求圆O的半径。
解：由题OD=4cm, ∴OD =OC-DC
2020/12/2
4
剪一个圆形图片，沿着它的任意一条直径 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能 得到什么结论？你能证明你的结论吗？
学生分组活动
结论： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在
的直线都是圆的对称轴.
2020/12/2
5
验证结论
理由如下：连结AO,BO.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程
2020/12/2
16
2020/12/2
17
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12
2.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=10㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OE C
B
2020/12/2
13
巩固训练
3.一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径为
7cm，则弓形的高为＿5＿c＿m＿.
A
2020/12/2
C
D
B
O
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设其坐在圆的圆 心为O，半径为R 经过点O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧 AB相交于点C，连接OA。根据垂径定理，D是AB 的重点，C是弧AB的重点，CD就是拱高 由题设可知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB=37 cm CD=7.23 cm 所以
AD=0.5AB=0.5×37=18.5 cm
它们的对称轴
2020/12/2
2
2020/12/2
3
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”