对数函数及其性质5

5．判断函数 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的奇偶性．
解： f(x)是奇函数． ∵ x2＋ 1>|x |≥ － x，∴ x∈ R. ∵ f(－ x)＝ ln(－ x＋ － x2＋ 1) 1 ＝ ln( x ＋ 1－ x)＝ ln 2 x ＋ 1＋ x
2
＝－ ln( x2＋ 1＋ x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝ln(x＋ x2＋ 1)为奇函数．
[ 解]
1 1 (1)由 loga >1 得 loga >logaa. 2 2
1 ①当 a>1 时，有 a< ，此时无解． 2 1 1 ②当 0<a<1 时，有 <a，从而 <a<1. 2 2 1 ∴ a 的取值范围是 ( ， 1)． 2
(2)∵函数 y＝log0.7x 在(0， ＋ ∞)上为减函数， ∴由 log0.72x<log0.7(x－ 1)得 2x>0 x－1>0 2x>x－ 1
• ∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数， • ∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13. • 综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最 大值为13.
• 变式体验3 已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义 在集合A上的函数y＝logax的最大值比最小 值大1 ，求 a 的值． 解： (1)当 a>1 时，由题意得 log π－ log 2＝ 1，所
a>1 2a＋1<3a，解得a>1. 2a＋1>0
(2)当 0<a<1 时， 0<a<1 原不等式等价于2a＋ 1>3a， 3a>0 解得 0<a<1. 综上所述， a 的范围是 0<a<1 或 a>1.
• 类型二 对数型函数的单调性问题 • [ 例 2] 讨论函数 f(x) ＝ loga(3x2 － 2x － 1) 的单调性． • [分析] 本题考查复合函数单调性的判 定方法．一般地，设函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x)都是给定区间上的单调函数． • (1) 若 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 在给定区间上的 单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是增函数； • (2) 若 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 在给定区间上的 单调性相反，则函数 y ＝ f[g(x)] 是减函 数．
若 a∈ (1， ＋∞) ， 当 x∈ [0,1]时， u 是 x 的减函数， 函数 y＝ logau 是 u 的增函数， 那么函数 y＝ loga(2－ ax) 在 [0,1]上是减函数，且 2－ ax>0；当 x∈ [0,1]时必须恒
2－ a· 0>0 成立，所以 1>0 2－ a·
a a
π π π 以 a＝ ，∵ >1，∴ a＝ 符合题意． 2 2 2 2 2 (2)当 0<a<1 时， loga2－logaπ＝1， a＝ .∵ 0< <1， π π 2 ∴ a＝ 符合题意． π π 2 综上所述，所求 a 的值为 a＝ ，或 a＝ . 2 π
• 思悟升华 • 1．与对数函数有关的复合函数单调区间的 求法 • 求与对数函数有关的复合函数的单调区间， 首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成 的，再按“同增异减”的方法来求其单调 区间．
，所以 a<2.综上可知， a 的
取值范围是(1,2)．
• 类型三 对数函数的最值问题 • [例3] 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]，求y＝ [f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值． • [ 分析 ] 先确定 y ＝ [f(x)]2 ＋ f(x2) 的定义域， 然后转化成关于 log3x 的一个一元二次函数， 利用一元二次函数求最值．
2.2
对数函数
2．2.2
对数函数及其性质
第2课时 对数函数的性质应用
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.要借助函数图象掌握对数函数的性 质，这是本节内容的重点． 2．要会利用对数函数的性质解决相关 问题，这也是本节的一个难点内容 ． 3．理解指数函数和对数函数的互为反 函数的关系.
研 习 新 知
• [解] ∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]． • ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定 义域为[1,3]． • 令t＝ log3x(x∈[1,3])．因为t＝ log3x在[1,3]上 是增函数，所以0≤t≤1. • 从而要求 y＝ [f(x)]2＋f(x2)在 [1,3]上的最大值， 只 需求 y ＝ t2 ＋ 6t ＋ 6 在 [0,1] 上 的 最大值 即 可．
• 自我检测
• 1．函数y＝log2|x|的图象大致是( )
解析： f(x)＝log2|Байду номын сангаас|
log2x x>0 ＝ log2－ x x<0
，分别作图．
答案：A
2．以下四个数中的最大者是( A．(ln2)2 C．ln 2
)
B．ln(ln2) D．ln2
答案：D
3．设 a>1，函数 f(x)＝ logax 在区间 [a,2a]上的最大 1 值与最小值之差为 ，则 a＝( 2 A. 2 C． 2 2 B． 2 D． 4 )
[解 ] 由 3x2－2x－1>0 得函数定义域为{x|x>1 或 1 x<－ }． 3 当 a>1 时，若 x>1，∵t＝ 3x2－ 2x－1 为增函数，∴ 1 f(x)＝ loga(3x － 2x－ 1)为增函数；若 x<－ ，∵t＝ 3x2 3
2
－ 2x－ 1 为减函数，∴f(x)＝ loga(3x2－2x－ 1)为减函数． 当 0<a<1 时，若 x>1，则 f(x)＝ loga(3x2－ 2x－ 1)为 1 减函数；若 x<－ ，则 f(x)＝ loga(3x2－2x－ 1)为增函数． 3
• [点评] 要求复合函数的单调区间，首先要 搞清函数的复合关系，即把整个函数分解 为若干个单调函数，按照“同增异减”的 法则去判断函数的单调性．要讨论函数的 单调区间，必须在函数的定义域内进行， 同时，还要注意区间的端点值．
• 变式体验 2 已知 y ＝ loga(2 － ax) 在 [0,1] 上是关于x的减函数，求a的取值范围．
• 2．对于对数型复合函数的综合应用的题目， 无论是求最值还是求参数的取值范围，必 须抓住两点：一是先求出原函数的定义域， 二是在定义域内求出函数的单调区间，然 后由函数的单调性求出其最值或参数的取 值范围．此外在解题过程中一定要注意数 形结合方法的灵活应用．
解：先求函数的定义域 2－ax>0，有 ax<2. ∵a 是对数的底数，故有 a>0， ∴函数的定义域为{a|x< }． a 设 u＝2－ax，若 a∈ (0,1)，当 x∈ [0,1]时，u 是 x 的减函数，而 y＝logau 是 u 的减函数，那么函数 y＝ loga(2－ ax)在 [0,1]上是增函数，不合题意；
• 2．形如y＝f(logax)的函数的最值，通常利用 换元的思想方法，即令 t ＝ logax ，根据函数 的定义域及对数函数单调性确定 t 的取值范 围，即t∈D，转化为求函数y＝f(t)，t∈D的 最值问题． • 3．(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数 函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． • (2)互为反函数的两函数的图象关于直线y＝ x对称．
• 新知视界 • 1 ．复合函数 y ＝ logaf(x) ， x∈D 的单调性： 设集合 M⊆D ，若 a>1 ，且 u ＝ f(x) 在 x∈M 上 单调递增(减)，集合M对应的区间是函数y＝ logaf(x) 的增 ( 减 ) 区间；若 0<a<1 ，且 u ＝ f(x) 在x∈M上单调递增(减)，集合M对应的区间 是函数y＝logaf(x)的减(增)区间．
解析：∵a>1，∴f(x)＝ logax 在 [a,2a]上 递增， 1 1 ∴loga(2a)－ logaa＝ ，即 loga2＝ ， 2 2
1
∴a2 ＝2，a＝4.
答案：D
• 4 ．已知 logm7<logn7<0 ，则 m ， n,0,1 之间的 大小关系是________． • 解析：∵logm7<logn7<0， • ∴0>log7m>log7n. • ∵y＝log7x在(0,1)内递增，∴0<n<m<1. • 答案：0<n<m<1
，解得 x>1.
• [点评] (1)解对数不等式问题通常转化为一 般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单 调性． • (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循 “定义域优先”原则． • (3)若含有字母，应考虑分类讨论．
• 变式体验1 已知loga(2a＋1)<loga3a，求a的 取值范围． • 解：(1)当a>1时，原不等式等价于
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 利用对数函数的单调性解不等式
1 [例 1] (1)已知 loga >1，求 a 的取值范围． 2 (2)已知 log0.72x<log0.7(x－1)，求 x 的取值范围．
• • • •
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①(1)中底数含有参数； ②(2)中底数相同． 解答本题可根据对数函数的单调性转化为 一般不等式(组)求解．