2018年高中数学必修二空间几何体的三视图、表面积和体积
高中数学《空间几何体的三视图、表面积和体积》课件
A.158 C.182
B.162 D.324
27
(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该 圆柱的体积为________. 解析 (1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱 的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个 上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高 为3.
6
所以 PA⊥PC，即 PA，PB，PC 两两垂直，以 PA，PB，PC 为从同一顶点出发的三条棱 补成正方体.因为 AB＝2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6， 故三棱锥 P－ABC 的外接球的半径 R＝ 26，所以球 O 的体积 V＝43πR3＝43π 263＝ 6π， 故选 D.
答案
(1)40
1 (2)3
34
热点三 多面体与球的切、接问题
【例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，
BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π
B.92π
C.6π
D.323π
(2)(多填题)(2019·湖南师大附中调研)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与
(2)因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故 该几何体为三棱锥.故选A. 答案 (1)C (2)A
专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积(解析版)
专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积【要点提炼】1.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a，a2，22a.考点考向一空间几何体的表面积【典例1】(1)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体的某个顶点为球心，2为半径的18球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为()A.24－3πB.24－πC.24＋πD.24＋5π(2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB.(1＋2)πC.22πD.(2＋2)π解析(1)由题意知该几何体的表面积S＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B.(2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为2，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×2＋π×12＝(2＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边上的高22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π×22×1＝2π.综上可知，形成几何体的表面积是(2＋1)π或2π.故选AB.答案(1)B(2)AB探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不规则几何体分割成几个规则的几何体.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【拓展练习1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A.122π B.12πC.82πD.10π(2)(2020·衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为()A.1B.2C.3D. 3解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)如图，设圆柱底面半径为r (0＜r ＜2)，高为h ，则h4sin 60°＝2－r 2，即h ＝3(2－r )，其侧面积为S ＝23πr (2－r )＝23π(－r 2＋2r )，根据二次函数性质，当r ＝1时，侧面积取得最大值，此时h ＝ 3. 答案 (1)B (2)D考向二 空间几何体的体积【典例2】 (1)(2020·济南模拟)已知三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S －ABC 的体积是( ) A.4B.6C.4 3D.6 3(2)(2020·长沙模拟)如图，在四面体PBCD 中，点A 是CD 的中点，P A ＝AD ，△ABC 为等边三角形，边长为6，PB ＝8，PC ＝10，则△PBD 的面积为________，四面体P ABC 的体积为________.解析 (1)∵∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.∵∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，∴AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，∴AC ⊥AS .又∵SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴AS ⊥平面ABC ，∴AS 为三棱锥S －ABC 的高，∴V 三棱锥S －ABC＝13×12×2×6×23＝4 3.故选C.(2)因为△ABC 为等边三角形，边长为6，点A 为CD 的中点，所以AD ＝AB ＝6，所以△ADB 为等腰三角形.又∠DAB ＝180°－∠CAB ＝120°， 所以∠ADB ＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ADB ＋∠DCB ＝90°，所以∠DBC ＝90°，所以CB ⊥DB ，所以DB ＝CD 2－BC 2＝144－36＝6 3.因为PB ＝8，PC ＝10，BC ＝6，所以PC 2＝PB 2＋BC 2，所以CB ⊥PB .又DB ∩PB ＝B ，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD .因为DA ＝AC ＝AP ＝6，所以△PDC 为直角三角形，且∠DPC ＝90°，所以PD ＝CD 2－PC 2＝144－100＝211.又DB ＝63，PB ＝8，所以DB 2＝PD 2＋PB 2，即△PBD 为直角三角形，所以S △PBD ＝12×8×211＝811.因为点A 为DC 的中点，所以V P －ABC ＝12V P －CBD ＝12V C －PBD ＝12×13×S △PBD ×CB ＝12×13×811×6＝811，即四面体P ABC 的体积为811. 答案 (1)C (2)811 811探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【拓展练习2】 (1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2020·东北三校一联)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，ED ＝2FC ＝2，则四面体ABEF 的体积为( )A.13B.23C.1D.43解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝AM ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.(2)∵ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ， ∴ED ⊥AD .∵在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF .易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF .∵V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13 ＝2×2×1×12×13＝23，∴V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S 正方形ABCD ×13＝1×2×2×13＝43， V A －DEF ＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.故选B. 答案 (1)B (2)B考向三 多面体与球的切、接问题【典例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3(2)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P －ABCD 为阳马，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R ＝________；内切球的体积V ＝________.解析 (1)由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r . 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. ∴2r ＝4＞3不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大. 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.(2)在四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R )2＝AB 2＋AD 2＋AP 2＝16＋16＋9＝41， 因此R ＝412.依题意Rt △P AB ≌Rt △P AD ，则内切球O 在侧面P AD 内的正视图是△P AD 的内切圆，故内切球的半径r ＝12(3＋4－5)＝1，则V ＝43πr 3＝43π. 答案 (1)B (2)412 43π探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 且P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【拓展练习3】 (1)(2020·太原模拟)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝1，点D 为侧棱BB 1上的动点.若△ADC 1周长的最小值为3＋5，则三棱锥C 1－ABC 的外接球的体积为( )A.2πB.32π C.5π2D.3π(2)(2020·烟台诊断)已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB＝AC＝1，BC ＝3，若S是球面上任意一点，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________. 解析(1)将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开在同一平面内，示意图如图所示，易知当D为侧棱BB1的中点时，△ADC1的周长最小，此时设BD＝x(x＞0)，则21＋x2＋2＋4x2＝3＋5，解得x＝12，所以CC1＝1，AC1＝ 3.又三棱锥C1－ABC的外接球的球心为AC1的中点，所以外接球的半径R＝32，于是三棱锥C1－ABC的外接球的体积为V＝43πR3＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝32π.(2)设球心为O，△ABC的外心为D，则OD⊥平面ABC.在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝12＋12－（3）22×1×1＝－12，则sin A＝32.所以S△ABC＝12AB·AC sin A＝12×1×1×32＝34，且△ABC的外接圆半径DA＝BC2sin A＝32×32＝1.因此在Rt△OAD中，OD＝OA2－DA2＝22－12＝ 3.当三棱锥S－ABC的高最大时，三棱锥S－ABC的体积取最大值，而三棱锥S－ABC的高的最大值为3＋2，所以三棱锥S－ABC的体积的最大值为13×34×(3＋2)＝3＋2312.答案(1)B(2)3＋2312【专题拓展练习】1．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，4ABC π∠=，2AC =，则三棱锥P ABC-外接球表面积的最小值是（ ） A ．8π B ．4πC ．2πD ．π【答案】B 【详解】设底面ABC 外接圆圆心为1O ，半径为r ， 则22sin ACr ABC==∠，即1r =.设三棱锥P ABC -高为h ，球的半径为R .由PA PB PC ==，得球心O 在1PO 上，且222()R h R r -+=，则11112122R h h h h⎛⎫=+≥⋅⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1h =时等号成立， 此时外接球表面积最小，则min 4S π=.故选：B2．已知菱形ABCD 360BAD ∠=︒，将ABD △沿BD 折起，使A ，C 两点的3A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．92πC ．6πD ．152π【答案】B由已知得BAD 为等边三角形，∴对角线3BD AB BC CD DA =====,将ABD △沿BD 折起，使A ，C 两点的距离为3，∴折起后三棱锥A BCD -为正四面体，各棱长都是3，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为a ,则正方体的面对角线为323,2a a =∴=，所以正方体的体对角线为322a R ==,其中R 为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD 的外接球，∴正四面体ABCD 的外接球表面积为24R π=92π,3．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8 B ．10πC ．12πD ．π【答案】C 【详解】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：22222232++=，所以球O 的表面积为243)12ππ=， 故选：C ．.4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ，则A ．8,14253V L ==+ B ．8,1425V L ==+ C ．8,16253V L ==+D ．8,1625VL ==+【答案】A 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，E 分别为11,B C BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PCPB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.5．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为83π，则球的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．36πD ．48π【答案】C 【详解】设球的半径为R ，圆锥的底面半径为r ，因为球心到截面的距离为1， 所以有：221r R =-， 则题中圆锥体积()2181133V R ππ=⨯⨯-=，解得3R =，故球的表面积为2436R ππ=. 故选：C6．一个体积为243的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）A ．63B ．8C ．123D ．12【答案】C 【详解】侧视图的宽为23即为俯视图的高， ∴底面正三角形的边长为234sin 60=︒，设三棱柱的高h ， 体积为1243=42362h h ⨯⨯⇒= ∴侧视图的面积为：236123S ==,故选：C.7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AP =，22AB =4AC =，45BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ） A ．14π B ．16πC ．18πD ．20π【答案】D 【详解】在BAC 中，45BAC ∠=︒，22AB =4AC =， 由余弦定理可得22222cos 81624222242BC AB AC AB AC π=+-⋅=+-⨯⨯=，则222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 由PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ， 所以BC PB ⊥，所以PBC 为直角三角形， 又PAC △为直角三角形，所以PC 是外接球直径，O 是PC 的中点，即为球心， 又22,2AB BC PA ===，所以()()2222222225PC =++=5所以球O 的体积245)20V ππ=⨯=. 故选：D.8．已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45角，则此长方体的外接球表面积为（ ） A ．4π B ．6πC ．12πD ．24π【答案】A 【详解】记该长方体为1111ABCD A B C D -，1BD 为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为45，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，侧棱1DD ⊥底面ABCD ， 则1D BD ∠为1BD 与底面所成角，即145D BD ∠=， 因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以222BD AD AB =+=，则12DD BD ==，所以1222BD =+=， 又长方体的外接球直径等于其体对角线的长， 即该长方体外接球的直径为12222R BD ==+=， 所以此长方体的外接球表面积为244S R ππ==. 故选：A.9．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）A ．2B ．1C ．高D ．考【答案】C 【详解】解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”， 故选:C .10．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ） A ．43π B ．6πC ．323πD ．86π【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43， 所以()12133442242AB CS Sa==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=，所以正方体的外接球的体积为3466 3ππ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭11．已知三棱锥P ABC-，3BACπ∠=，3BC=，PA⊥平面ABC且23PA=，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．163πB．43πC．16πD．323π【答案】D【详解】如图，设球心为O，三角形ABC外接圆心为1O，PA⊥平面ABC，∴1132OO PA==，设球半径为R，圆1O的半径为r，则在三角形ABC中，由正弦定理可得322sin3BCrBAC===∠，即1r=，在直角三角形1AOO中，22211OO AO OA+=，即()2223r R+=，解得2R=，则外接球的体积为343233Rππ=.故选：D.12．已知正三棱柱111ABC A B C-的各棱长均为2，底面ABC与底面111A B C的中心分别为O、1O，P是1OO上一动点，记三棱锥P ABC-与三棱锥111P A B C-的体积分别为1V、2V，则12V V⋅的最大值为（）A ．13B ．3 C ．23 D ．23【答案】A 【详解】∵正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2， ∴111122sin 6032ABC A B C S S ∆∆==⨯⨯⨯=，且12OO =， ∴11112111111123()3333ABC A B C ABC ABC V V S OP S O P S OP O P S OO ∆∆∆∆+=⋅+⋅=⋅+=⋅=， 由1212232V V V V ⋅≤+=得：1213V V ⋅≤，当且仅当点P 为1OO 的中点时等号成立，∴12V V ⋅的最大值为13， 故选：A.13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．1B ．2C 6D ．23【答案】D 【详解】借助于边长为2的正方体画出该三棱锥，如图所示，11212ABD BDC S S ==⨯⨯=△△ ,ABC 是边长为22的等边三角形，()2322234ABC S =⨯=△,ACD △是等腰三角形，腰长为5，底边长为22， ()()221225262ACD S =⨯⨯-=△∴该几何体的各个面中最大面的面积为23. 故选:D.14．日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为12cm ，矩形的宽和正方形的边长均为8cm .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为V 3cm ，则V 的最大值为（ ）A ．6423π B ．3223π C ．32π D ．2563π 【答案】A 【详解】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示：由图可知该几何体为直三棱柱，设等腰三角形的内切圆半径为R ，又因为等腰三角形的高为2212482-=， 所以根据等面积法可知：121288822R ++⨯⋅=，所以22R =， 又因为正方形的边长为8，所以82242R =<=， 所以球形硬糖的半径最大值为22，所以体积V 的最大值为()3464222=3ππ，故选：A.15．如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【详解】 设,PE PFx y PB PD==,则,PE xPB PF yPD == 所以412,323P AEF P ABD P MEF P BCD V xy V xy V xyV xy ----=⋅===， 1212,2323P AFM P ACD P AEM P ABC V y V y V x V x ----=⋅==⋅=， ()223P AEMF P AEF P EMF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+， 所以3x y xy +=，则331yx y =-， 令31y t -=，因为1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()221311412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦， 所以2238,13319P AEMF y V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，。
高中数学 第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真题感悟1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π3.(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.4.(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________(本题第一空2分，第二空3分).考点整合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.2(2)(2019·合肥质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2019·西安模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台热点二几何体的表面积与体积角度1空间几何体的表面积【例2－1】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】(2019·唐山模拟)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A.1－π4 B.3＋π2 C.2＋π4 D.4角度2空间几何体的体积【例2－2】(1)(2019·浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A.158B.162C.182D.324(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】(1)(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.(2)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________.热点三多面体与球的切、接问题【例3】(1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.9π2 C.6π D.32π3(2)(多填题)(2019·湖南师大附中调研)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R ＝________；内切球的体积V ＝________.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 且PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (1)(2019·河南百校联盟联考)一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为π4，则圆锥的内切球的表面积为( ) A.8π B.4(2－2)2π C.4(2＋2)2πD.32（4－2）249π(2)(2019·咸阳模拟)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若AB ＝2，BC ＝3，PA ＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.13πB.20πC.25πD.29π1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. (4)求解几何体的表面积时要注意S 表＝S 侧＋S 底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a，a2，22a.3.锥体体积公式为V＝13Sh，在求解锥体体积时，不能漏掉13.A级巩固提升一、选择题1.(2019·长郡中学调研)半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.525πR3 B.324πR3 C.58πR3 D.38πR32.图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2.若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()3.中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A.18 6B.18 3C.18 2D.272 24.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A.1B.2C.3D.45.(2019·贵阳调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.6B.4C.223 D.2036.(2019·昆明诊断)如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为()A.4πB.12πC.16πD.36π7.(2018·全国Ⅲ卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A.12 3B.18 3C.24 3D.54 3二、填空题8.(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.9.(2019·广州调研)某几何体的正视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧视图的图形是________(写出所有可能的序号).10.已知长方体ABCD－A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为________.11.(2019·石家庄调研)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面.可以证明S圆＝S环总成立.据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.B级能力突破12.(2019·南昌质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.5π3 B.5 C.2π3 D.π13.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________.14.(2019·雅礼中学调研)已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图.(1)求证：AD⊥PC；(2)求四棱锥P－ABCD的体积及侧面PAB的面积.。
第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积(教案)
第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积【知识与技能】熟练掌握已知空间几何体的三视图求其表面积和体积的方法.【过程与方法】1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力.2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维.【情感态度】通过研究三视图，研究我国著名建筑物的三视图研究，培养学生的爱国情结. 【教学重点】观察，实践，猜想和归纳的探究过程.【教学难点】如何引导学生进行合理的探究.一、复习提问1.如何求空间几何体的表面积和体积（例如：球，棱柱，棱台等）；2.三视图与其几何体如何转化.二、思考探究，获取新知如图是一个几何体的三视图，已知左视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：m)，求该几何体的面积和体积.解该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为3cm.则底面边长为2cm，故S底面面积=）2=3÷cm（232S侧面面积=2×3×3=18 (cm2)故这个几何体的表面积S = 2S底面面积十S侧面面积=）2+183（2cm三棱柱的体积是V=）3=3⨯cm（333【教学说明】空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算.求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那么请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积呢？此时应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算思考如何求出四棱台的表面积和体积？请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么（让学生思考）. 【总结归纳】求组合几何体的表面积的时候容易出错.三、典例精析、掌握新知例1 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（）A.52B.32C.24D.9【分析】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，因此这个长方体的体积为4×2×3 = 24(平方单位）【答案】C【教学说明】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽.例2 将棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A. 36 cm2B. 33 cm2C. 30 cm2D. 27 cm2【分析】算表面积应该从六个方向去计算，不要忽视了底面.【答案】A四、师生互动，课堂小结通过这节课的探究学习，发现由三视图求几何体的表面积和体积，要先将三视图转化为其几何体的直观图，分清楚直观图中的几何要素，然后再代公式进行计算；特别要分清几何体的侧面积与表面积；平时多动脑筋，挖掘与题目相关联的知识点.1.布置作业：从教材Pm〜1。
高中数学第10讲(必修2)空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积
空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积
知识体系
1.了解柱、锥、台、球的概念、性 质及他们之间的关系，能识别柱、锥、 台、球的结构特征；
2.能识别各种简单几何体和简单组 合体的三视图，并会用斜二测画法画出 他们的直观图.能进行三视图与直观图的 相互转化.
3.了解柱、锥、台、球的表面积和 体积的计算公式，并能运用这些公式解 决相关问题.
2.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为( ) D
A. 3 a2
4
B. 3 A2 C. 6 a2
8
8
D. 6 a2
16
如图，图①、图②所示的分别是实 际图形和直观图.
从图②可知，A′B′=AB=a,
O′C′= OC1 = a, 3
2
4
所以C′D′=O′C′sin45°= a， 6
AC= (2 2)2 (4 2)2 =2 3 .
则S△ABC=
1×2
2
×3
( 5)2 ( 3)=2
.6
题型三 简单组合体问题
例3 有一个圆锥的侧面展开图是一
个半径为5，圆心角为 6 π的扇形，在
5
这个圆锥中内接一个高为x的圆柱. (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?
以矩形的一边所在
圆Hale Waihona Puke 的直线为旋转轴， 其余三边旋转形成
柱 的面所围成的旋转
旋
体叫做圆锥
转
直角三角形的一直
体
圆
角边所在的直线为 旋转轴，其余两边
锥 旋转形成的面所围
成的旋转体叫做圆
锥
S表面积＝S底+S侧 =③ 2π(R2+Rh .
高中数学必修二 空间几何体的三视图如何求其表面积和体积
高中数学必修二空间几何体的三视图如何求其表面积和体积【教学目标】一、知识目标熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。
二、能力目标先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。
三、德育目标1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。
2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。
【教学重点】观察、实践、猜想和归纳的探究过程。
【教学难点】如何引导学生进行合理的探究。
【教学方法】电教法、讲述法、分析推理法、讲练法【教学用具】多媒体、实物投影仪【教学过程】［投影］本节课的教学目标1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。
【学习目标完成过程】一、复习提问1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)?2.三视图与其几何体如何转化?二、新课讲解［设置问题］例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。
［提出问题］1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积?［学生思考、总结板书］空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算。
［承转过渡］求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积?在例1有没有给出几何体的直观图?［学生讨论、总结板书］例1没有直接给出几何体的直观图，只是给出实物几何体的三视图，要求该几何体的表面积和体积，应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算。
［设问］请问例1的三视图转化为实物几何体是由那几个部分构成?怎样求出该几何体的表面积和体积?［讨论、板书］该实物几何体是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台构成；应先分别求出一个球体、一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积。
高考数学复习：空间几何体的三视图、表面积及体积
V＝13×3×6×3＝18.
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专题五 立体几何
空间几何体的三视图与直观图的对应关系
典题例析 例 1 (1)下列三视图所对应的直观图是
二 轮 复 习
(C )
数 学
[解析] 由题意可知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高 相等，所以C选项符合题意．
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专题五 立体几何
(2)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为
学
习
(r，r′为底面半径，h 为高)
球 V 球＝__43_π_R_3_____(R 为球的半径) S 球＝___4_π_R_2___(R 为球的半径)
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专题五 立体几何
2．空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上
方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对
＝π4.
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专题五 立体几何
7．(2019·北京卷，11)某几何体是由一个正方体去 掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上 小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__4_0___.
数 学
二 轮 复 习
[解析 ] 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋4) ×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方 体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.
(1)加强对空间几何体结构特征的理解，掌握各种几何体的体积、表面积公式．
(2)掌握空间几何三视图的画法规则，掌握几何直观图中各个元素之间的关系以
及三视图中长宽之间的关系．
数
高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
h'
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5 的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积 为 ______;
(2)正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面 把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱 台的侧面积.
例3：一个正三棱台的上、下底面边长
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
15cm
S
15
2
15
15
20
15
1.5
2
15cm
2 2
2 2
999 (cm2 )
答：花盆的表面积约是999 cm2 ．
例5 圆台的上、下底面半径分别为2和
4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环所
对的圆心角
例6：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
典型例题
例7 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
高二数学必修二第一章 三视图、空间几何体的表面积和体积
把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题.那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？
上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，
A．48B．32＋8
C．48＋8 D．80
2.【2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A.1 B.2 C.3D.4
3.(2013山西太原模拟)长方体 的各个顶点都在表面积为 的球O的球面上，其中 ,则四棱锥 的体积为（）
斜二测画法的基本步骤和规则：
（1）建坐标系，定水平面；
（2）与坐标轴平行的线段保持平行；
（3）水平线段等长，竖直线段减半.
思考6:你能用上述方法画水平放置的正六边形的直观图吗？
思考7:怎样画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图？
思考:8：怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？
几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.
注意：能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.
思考3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
思考4：如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同.
思考5：如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面，并给出下列概念：
高考数学二轮立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
1．求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，
即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
2．求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、 锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．
题型二 求空间几何体的体积
[例 3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若 圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中
心，则该圆柱的体积为________．
(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为 2， 下底为 4 的直角梯形，俯视图是一个边长为 4 的等边三角形，则该几何体的体积为______．
[解题方略]
求空间几何体体积的常用方法 公式法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算
(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对
应的棱、面的位置；
(3)确定几何体的直观图形状． 3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路 先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分视图
的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图
[例 1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部
分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如
图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
高中数学复习精讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
空间几何体的三视图、表面积和体积1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．例1 (1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 D解析 所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧(左)视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧(左)视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，故选D.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________． 答案 2＋22解析 如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图所示．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′， ∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′ ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．跟踪演练1 (1)(2017·河北省武邑中学模拟)已知某锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图，则该锥体的俯视图不可能是( )答案 D解析 A 项，该锥体是底面边长为2，高为3的正四棱锥． B 项，该锥体为底面半径为1，高为3的圆锥．C 项，该锥体是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥．D 项，由于该图形不满足三视图原则“宽相等”，所以不可能是该锥体的俯视图，故D 项不符合题意． 故选D.(2)(2017·衡阳联考)如图所示，三棱锥V －ABC 的底面是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC 与底面ABC 垂直，若以垂直于平面VAC 的方向作为正(主)视图的方向，垂直于平面ABC 的方向为俯视图的方向，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积是( ) A.32B. 3 C ．2 3 D ．3 答案 B解析 设三棱锥的高为h ，AB ＝BC ＝2a ，则AC ＝2a ，S 正(主)视图＝12×2a ×h ＝23⇒h ＝23a ，S 侧(左)视图＝12ah ＝a 2×23a ＝ 3.故选B.热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1)下图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．48－πB ．96－πC ．48－2πD ．96－2π 答案 D解析 由已知中的三视图可知，该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体，所以几何体的体积为4×4×6－2×13×π×12×3＝96－2π，故选D.(2)(2017·山东)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．答案 2＋π2解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的14圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪演练2 (1)(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，所以几何体的体积V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C.(2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)如图，是某组合体的三视图，则外部几何体的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．24πD ．36π答案 D解析 组合体为轴截面为等边三角形的圆锥和它的内切球，球的半径为r ＝2，圆锥的高为3r ＝6，圆锥底面半径为3r ＝23，圆锥母线长为23r ＝43，所以S 圆锥表＝π()232＋12()2π·23·43＝36π，故选D.热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．例3 (1)一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为( )A ．1 0002πB ．1252πC.1 0002π3D.1252π3答案 D解析 由三视图可知该三棱锥为棱长为5,4,3的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，∴该三棱锥的外接球和长方体的外接球相同． 设该三棱锥的外接球半径为R ， ∴2R ＝52＋42＋32＝5 2.∴R ＝522，∴外接球的体积为V ＝43πR 3＝1252π3，故选D.(2)(2017届咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为____________． 答案354π解析 由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示． AE ＝AB ·sin60°＝62，AO ＝23AE ＝63， DO ＝AD 2－AO 2＝233，三棱锥的体积V D －ABC ＝13S △ABC ·DO ＝13，设内切球的半径为r ，则V D －ABC ＝13r ()S △ABC ＋S △ABD ＋S △BCD ＋S △ACD ＝13，r ＝36，V 内切球＝43πr 3＝354π.思维升华 三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A ，B ，C 可作为下底面的三个顶点． (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3 (1)若在三棱锥P －ABC 中， AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABC ，且直线P A 与平面PBC 所成角的正切值为12，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π答案 A解析 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，PD, ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，又∵P A ⊥平面ABC ，∴BC ⊥P A ，又P A ，AD ⊂平面P AD ，P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AD ，过A 作AH ⊥PD 于点H ，易知AH ⊥平面PBC ， ∴∠APD 是直线P A 与平面PBC 所成的角，∴tan ∠APD ＝AD AP ＝12，∵AD ＝12BC ＝22，∴AP ＝2，∵AB ，AC ，AP 相互垂直， ∴以AB ，AC ，AP 为棱的长方体的外接球就是三棱锥P －ABC 的外接球，∴三棱锥P －ABC 的外接球的半径为12＋12＋()222＝1，三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4π，故选A.(2)(2017届石家庄质检)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( ) A ．6 B ．5 C.92 D.94答案 D解析 由题意知，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，G 为球面与侧面的切点．设PH ＝h ，易知Rt △PGO ∽Rt △PHF ，所以OG FH ＝POPF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D.真题体验1．(2017·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________．答案 10解析 由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知，底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P ACD ＝13×12×3×5×4＝10.2．(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________． 答案 14π解析 ∵长方体的顶点都在球O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为R ， 则2R ＝32＋22＋12＝14. ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1422＝14π. 3．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S —ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 答案 36π解析 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径知，OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC 知，OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积 V ＝13×12×SC ×OB ×OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.4．(2017·江苏)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R . ∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 押题预测1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16B ．82＋8C ．22＋26＋8D ．42＋46＋8押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积． 答案 D解析 由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD ＝2的四棱锥P －ABCD ，因为PD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形， 易得BC ⊥PC ，BA ⊥P A ，又PC ＝PD 2＋CD 2＝22＋(22)2＝23， 所以S △PCD ＝S △P AD ＝12×2×22＝22，S △P AB ＝S △PBC ＝12×22×23＝2 6.所以几何体的表面积为46＋42＋8.2．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．32πD ．36π押题依据 灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点． 答案 B解析 因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2＝3×22＝12， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选B.3．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注． 答案423解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋(1－r 2)2＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝⎛⎭⎫222×2＝423.A组专题通关1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案 B解析由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组合而成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接着两个三角形．2．(2017届太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为()A．3 3 B．2 6C.21 D．2 5答案 B解析如图所示，在长、宽、高分别为3,4,2的长方体中，三视图表示的是如图所示的四棱锥P－ABCD，其最长的棱为BP＝22＋22＋42＝2 6 .故选B.3．(2017·日照模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π答案 A解析 根据三视图可知，原几何体表示上部为底面圆半径为1，高为3的圆锥的12，下部为底面圆半径为1，高为2的圆柱的34，故该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝12×13πr 2h 1＋34×πr 2h 2＝3π6＋3π2＝3＋96π.4．(2017届四川省泸州市四诊)某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是A ′B ′C ′，如图(2)所示，其中O ′A ′＝O ′B ′＝2，O ′C ′＝3，则该几何体的表面积为( )A ．36＋12 3B ．24＋8 3C ．24＋12 3D ．36＋8 3 答案 C解析 由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥P －ABC ，且S △P AB ＝S △PBC ＝12×4×6＝12, S △ABC ＝12×4×23＝43，△P AC 是腰长为52，底面边长为4的等腰三角形， S △P AC ＝8 3.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.故选C.5．(2017届玉林、贵港质检)网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程．某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12 cm ，体积为96π cm 3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是( ) A ．36π cm 3B ．12π cm 3C ．9π cm 3D ．72π cm 3 答案 A解析 由题可令圆锥的高为x cm ，可得13π·62·x ＝96π，则x ＝8，由底面直径为12，得母线长为10，可设轴截面的内切圆半径为r ，由12×12×8＝12×()10＋10＋12r ，可得r ＝3.那么珠子的体积最大值为43π·33＝36π(cm)3.故选A.6．(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足BA ＝BC ＝6， ∠ABC ＝π2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为( )A ．8πB ．16π C.16π3 D.32π3 答案 D解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是r ＝12×12＝3，设外接球的半径是R ，球心O 到该底面的距离为d ，如图，则S △ABC ＝12×6＝3，BD ＝3，由题设V ＝13S △ABC ·h ＝13×3h ＝3，最大体积对应的高为PD ＝h ＝3，故R 2＝d 2＋3，即R 2＝()3－R 2＋3，解得R ＝2，所以外接球的体积是43πR 3＝32π3，故选D.7．(2017届石家庄模拟)三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC, AB ＝5, BC ＝8, ∠B ＝60°， SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.643π B.2563π C.4363π D .2 048327π 答案 B解析 由题意知，侧棱SA ⊥底面ABC, AB ＝5，BC ＝8，∠B ＝60°，则根据余弦定理可得 AC ＝52＋82－2×5×8×12＝7,△ABC 的外接圆圆心2r ＝AC sin B ＝732∴r ＝73，三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离d ＝12SA ＝5，则外接球的半径R ＝⎝⎛⎭⎫732＋()52＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝2563π. 8．如图所示，图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积为________．答案140π3解析 由题意知，旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为V ＝13×(π×22＋π×22×π×52＋π×52)×4＝156π3，半球的体积V ＝12×43×π×23＝16π3，则所求体积为156π3－16π3＝140π3.9．体积为163的正四棱锥S —ABCD 的底面中心为O ，SO 与侧面所成角的正切值为22，那么过S —ABCD的各顶点的球的表面积为________． 答案 16π解析 如图，取AB 的中点为F ，连接SF ，过点O 作OG ⊥SF ，则∠OSG 为SO 与侧面所成的角，且tan ∠OSG ＝OF SO ＝22.设AB ＝2a ，则SO ＝2a ，所以13×4a 2×2a ＝163，得a ＝ 2.延长SO 交外接球于E ，则EB ⊥SB ，由OB 2＝SO ·OE ，得4＝2·(2R －2)， 所以R ＝2，S ＝4π×22＝16π.10．(2017·天津市第一中学月考)某几何体的三视图如图所示(单位： cm)，则该几何体的体积为________ cm 3.答案 6＋32π解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边为2，高为3. 所以V ＝12×2×2×3＋12×π×12×3＝6＋32π.11.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E －FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正(主)视图的面积是________． 答案 2解析 由题意知，E 点在底面的射影E ′为AB 的中点，F 点在底面的射影F ′在AD 上，G 点在底面的射影G ′在BC 上，三棱锥E －FGC 的俯视图的面积是以E ′C 为底边，F ′，G ′到E ′C 的距离和为高的三角形的面积，又E ′C 为定值，所以当F 点与D 点重合，G 点与B 点重合时面积最大，此时正(主)视图的面积为12×2×2＝2.12．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且AB ＝5，BC ＝7，AC ＝2，则此三棱锥外接球的表面积是______． 答案 8π解析 如图P A, PB, PC 两两垂直，设PC ＝h ， 则PB ＝BC 2－PC 2 ＝7－h 2，P A ＝AC 2－PC 2＝4－h 2， ∵P A 2＋PB 2＝AB 2， ∴4－h 2＋7－h 2＝5，解得h ＝3，在三棱锥P －ABC 中， P A, PB, PC 两两垂直，且P A ＝1, PB ＝2，PC ＝3， ∴以P A, PB, PC 为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥P －ABC 的外接球， ∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为R ＝1＋4＋32＝2， ∴外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×()22＝8π.B 组 能力提高13．四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.81π5B.81π20C.101π5 D .101π20答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P －ABCD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，由于△P AD 为等腰三角形，P A ＝PD ＝3，AD ＝4，四边形ABCD 为矩形，CD ＝2，过△P AD 的外心F 作平面P AD 的垂线，过矩形ABCD 的中心H 作平面ABCD 的垂线，两条垂线交于一点O ，O 为四棱锥外接球的球心，在三角形P AD 中，cos ∠APD ＝32＋32－422×3×3＝19，则sin ∠APD ＝459 ,2PF ＝AD sin ∠APD ＝4459＝955 ，PF ＝9510 ，PE ＝9－4＝ 5 ，OH ＝EF ＝5－9510＝510， BH ＝1216＋4＝5，OB ＝OH 2＋BH 2＝5100＋5＝50510， S ＝4π×505100＝101π5.故选C.14．如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为( )A.52()2－1π B.254()3－22π C ．25()3－22π D.1256()52－7π 答案 D解析 内部几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球，内切球的半径即为底面直角三角形内切圆的半径，由等面积法易得r ＝ab a ＋b ＋5，且a 2＋b 2＝25.由基本不等式，知r ＝ab a ＋b ＋5≤ab 2ab ＋5， 0<ab ≤a 2＋b 22＝252，即0<ab ≤522，当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立．令t ＝ab ，则r ≤t 22t ＋5， f ()t ＝t 22t ＋5＝15t 2＋2t ＝15⎝⎛⎭⎫1t ＋152－15⎝⎛⎭⎫0<t ≤522是增函数，或f ′(t )＝2t ()t ＋5()2t ＋52>0, 0<t ≤522，所以f ()t ＝t 22t ＋5在⎝⎛⎦⎤0，522上是增函数，所以r max ＝f ()t max ＝f ⎝⎛⎭⎫522＝52()2－1，所以内切球的体积的最大值为43π()r max 3＝1256()52－7π，故选D.15．(2017·上海市黄浦区模拟)三棱锥P －ABC 满足： AB ⊥AC, AB ⊥AP , AB ＝2, AP ＋AC ＝4，则该三棱锥的体积V 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，43 解析 由于AB ⊥AP ，AB ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴AB ⊥平面APC, V ＝13S △APC ·AB ＝23S △APC ，在△APC 中，AP ＋AC ＝4，所以AP ·AC ≤⎝⎛⎭⎫AP ＋AC 22＝4，所以S △APC ＝12·AP ·AC ·sin ∠P AC ≤2sin ∠P AC ，要使△APC 面积最大，只需AP ＝AC ，∠P AC ＝90°， S △APC 的最大值为12×2×2＝2, V 的最大值为13×2×2＝43，该三棱锥的体积V 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，43. 16.如图所示，三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形， D 是线＝32，PB ＝段AB 的中点， DE ∩PB ＝E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC ＝120°，P A 332，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________． 答案 13π解析 在三棱锥P －ABC 中， △ABC 是边长为3的等边三角形，设△ABC 的外心为O 1，外接圆的半径O 1A ＝32sin60°＝3，在△P AB 中， P A ＝32，PB ＝332，AB ＝3，满足P A 2＋PB 2＝AB 2，所以△P AB 为直角三角形，△P AB 的外接圆的圆心为D ，由于CD ⊥AB ，ED ⊥AB, ∠EDC ＝120°为二面角P －AB －C 的平面角，分别过两个三角形的外心O 1，D 作两个半平面的垂线交于点O ，则O 为三棱锥P －ABC 的外接球的球心， 在Rt △OO 1D 中， ∠ODO 1＝30°，DO 1＝32， 则cos30°＝O 1D OD ＝32OD ，OD ＝1，连接OA ，设OA ＝R ，则R 2＝AD 2＋OD 2＝⎝⎛⎭⎫322＋12＝134， S 球＝4πR 2＝4π×134＝13π.空间几何体的三视图、表面积与体积A组基础题组1.如图所示是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是( )2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图是( )3.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( )A.2B.C.D.34.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )5.(2017新疆第二次适应性检测)球的体积为4π,平面α截球O的球面所得圆的半径为1,则球心O到平面α的距离为( )A.1B.C.D.6.(2017合肥第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( )A.72+6πB.72+4πC.48+6πD.48+4π7.(2017石家庄教学质量检测(二))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.16B.20C.52D.608.(2016贵州贵阳监测考试)甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同,俯视图不同,如图所示,记甲的体积为V甲,乙的体积为V乙,则( )A.V甲<V乙B.V甲=V乙C.V甲>V乙D.V甲、V乙大小不能确定9.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.+1B.+3C.+1D.+310.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且=,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC 的体积为( )A.1B.C. D.与M点的位置有关11.若正三棱锥A-BCD中,AB⊥AC,且BC=1,则三棱锥A-BCD的高为( )A. B. C. D.12.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( )A. B. C.4π D.π13.已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB=AC,四边形BCDE为矩形),则该组合体的俯视图可以是(把正确的图的序号都填上).14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.15.(2017广西三市第一次联考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形,E为AA1的中点,OA⊥平面BDE,则球O的表面积为.16.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.B组提升题组1.(2017郑州第一次质量预测)某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )A.207B.216-C.216-36πD.216-18π2.某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为1),则该几何体的表面积为( )A.48B.54C.64D.603.(2017石家庄第一次模拟)祖暅是南北朝时期的伟大数学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④4.(2017郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切割出的圆柱的最大体积为( )A. B. C. D.5.(2017兰州高考实战模拟)某几何体的三视图如图所示,则下列说法正确的是( )①该几何体的体积为;②该几何体为正三棱锥;③该几何体的表面积为+;④该几何体外接球的表面积为3π.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.(2017洛阳第一次统一考试)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,△ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥P-ABC的体积为,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示,当xy取得最大值时,该几何体的体积是.8.(2017合肥第二次教学质量检测)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为1的等边三角形,则此几何体的体积为.9.(2017长春普通高中质量检测(二))已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,平面PBC⊥平面ABCD,PE⊥BC于点E,EC=1,AB=,BC=3,PE=2,则四棱锥P-ABCD的外接球半径为.10.(2017课标全国Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案精解精析A组基础题组1.D 先观察俯视图,由俯视图可知选项B和D中的一个正确,再由正视图和侧视图可知选项D正确,故选D.2.D 由几何体可以看出,侧视图应为一个矩形外加一条从右上到左下的对角线,故选D.3.D 由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是一个直角梯形,底面积为×(1+2)×2=3,四棱锥的高为x,因为该几何体的体积为3,所以×3x=3,解得x=3,故选D.4.B 根据直观图以及题图中的辅助四边形分析可知,当正视图和侧视图完全相同时,俯视图为B,故选B.5.B 依题意,设该球的半径为R,则有R3=4π,解得R=,因此球心O到平面α的距离d==,选B.6.A 由三视图知,该几何体由一个正方体的四分之三与一个圆柱的四分之一组合而成(如图所示),表面积为16×2+(16-4+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π,故选A.7.B 由三视图知,该几何体由直三棱柱(底面是直角边长分别为3,4的直角三角形,高为6)截去两个相同的四棱锥所得,且四棱锥的底面是长、宽分别为4,2的矩形,高是3,所以该几何体的体积V=×3×4×6-2××2×4×3=20,故选B.8.C 由三视图知,甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角,即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥,所以V甲>V乙,故选C.9.A 由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3,底面△ABC中,AB=2,OC=1,AB⊥OC.故其体积V=××π×12×3+××2×1×3=+1.故选A.10.B ∵=,∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的,即为=1.∵M为线段B1C1上的点,∴S△MBC=×3×3=,∴V M-PBC=V P-MBC=××1=.11.A 设三棱锥A-BCD的高为h,依题意得AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=AD=BC=,△BCD的面积为×12=.由V A-BCD=V B-ACD得S△BCD·h=S△ACD·AB,即××h=×××,解得h=,即三棱锥A-BCD的高h=,故选A.12.A 由三视图可知,该几何体为一个三棱锥,设其为三棱锥A-BCD,由俯视图可知,底面BCD是一个等腰直角三角形,∠BCD为直角,平面ABD⊥平面BCD,易知外接球的球心O为△ABD的中心,则球O的半径R=,外接球的表面积等于4πR2=4π×=.13.答案①②③④解析该组合体由四棱锥与四棱柱组成时,得①正确;该组合体由四棱锥与圆柱组成时,得②正确;该组合体由圆锥与圆柱组成时,得③正确;该组合体由圆锥与四棱柱组成时,得④正确.14.答案解析=,=,点F到平面D1ED的距离为1,∴==××1=.15.答案16π解析取BD的中点为O1,连接OO1,OE,O1E,O1A,则四边形OO1AE为矩形,∵OA⊥平面BDE,∴OA⊥EO1,即四边形OO1AE为正方形,则球O的半径R=OA=2,∴球O的表面积S=4π×22=16π.16.答案2+解析由三视图得该几何体的直观图(如图).其中,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱体的底面半径为1,高为1.所以该几何体的体积V=2×1×1+×π×12×1=2+.B组提升题组1.B 由三视图知,该几何体是由一个棱长为6的正方体挖去一个底面半径为3,高为6的圆锥而得到的,所以该几何体的体积V=63-××π×32×6=216-,故选B.2.D 根据三视图还原直观图,如图所示,则该几何体的表面积S=6×3+×6×4+2××3×5+×6×5=60,故选D.3.D 设截面与底面的距离为h,则①中截面内圆的半径为h,则截面圆环的面积为π(R2-h2);。
高中数学《三视图、表面积、体积的综合应用》精品课件
D
例 6． （湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则 该几何体的俯视图不可能 是( ．．． )
✔
例 7． （陕西卷）将正方体(如图①所示)截去两 个三棱锥，得到图②所示的几何体， 则该几何体的 左视图为( )
解析： AD1 的投影是左上到右下的实线， B1C 的投影是左下到右上的虚线.
✔
投射面.投射到这个平面内的图形叫做 主视图 .
3.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧
立投射面.投射到这个平面内的图形叫做 左视图 .
4．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个
投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形
叫做空间图形的 三视图 .
探究2
三视图
直立投射面 侧立投射面
正 面
故S侧=6ah=3×2ah=3S.
三视图与直观图的转换
例1．如图所示的是一个零件的直观图，画出这个
几何体的三视图.
解答：这个几何体的三视图如图所示，
在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用
细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注
明时按mm计.
2. （2012·福建高考）一个几何体的三视图形状都相
方向上是对正的，称长对正.
主视图与左视图都体现形体的高度，且高度在水平 方向上是平齐的，称高平齐. 左视图与俯视图都体现形体的宽度，且同一形体的 宽度是相等的，称宽相等.
总之，三视图之间的关系是：
长对正 高平齐 宽相等
俯
左
主视图
左视图
球体
主
俯视图
四棱锥的三视图
主视图
左视图
俯视图
在画图时,能看见部 分的轮廓线通常画成 实线,看不见部分的轮 廓线通常画成虚线.
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
专题八立体几何【真题典例】8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.三视图与直观图①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体2018课标Ⅰ,7,5分三视图、直观图最短路径★★★2018课标Ⅲ,3,5分三视图、直观图几何体的结构特征2017课标Ⅰ,7,5分三视图、直观图梯形的面积2014课标Ⅰ,12,5分三视图、直观图2.空间几何体的表面积2018课标Ⅱ,16,5分圆锥的性质和侧面积异面直线所成角、线面角★★★2016课标Ⅰ,6,5分三视图、球的和体积模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式体积与表面积2015课标Ⅰ,11,5分三视图、柱体、球体的表面积组合体的表面积2018课标Ⅲ,10,5分锥体的体积球内接三棱锥2017课标Ⅰ,16,5分翻折问题、锥体体积利用函数、导数求值2017课标Ⅲ,8,5分柱体的体积球的内接圆柱2016课标Ⅲ,10,5分球的组合体、体积的最值三角形内切圆半径求法分析解读从近5年高考情况来看,空间几何体的三视图、表面积和体积等问题一直是高考的重点和热点,主要考查由三视图还原几何体的直观图,求几何体的表面积、体积,有时也以三视图为背景,考查几何体与球的切接问题,一般为选择题、填空题.正确还原几何体三视图所对应的直观图,对复杂几何体进行巧妙的分割转化是解决本节题目的关键.破考点【考点集训】考点一三视图与直观图1.(2018山东胶州质检,5)铜钱:古代铜质辅币,俗称铜钱,是指秦汉以后的各类方孔圆钱,方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体的三视图中不可能有下列哪种图形( )A.正方形B.圆C.三角形D.矩形答案 C2.(2017湖南益阳调研,8)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则该几何体相应的侧视图可以为( )答案 D3.(2018河南百校联盟4月联考,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.2√3B.3C.√6D.√5答案 B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2018云南玉溪模拟,5)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为( )A.6+2√3B.6+√3C.6+4√3D.10答案 A2.(2018广东茂名模拟,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.7B.152C.233D.476答案 D3.(2018安徽皖南八校二联,8)榫卯(sǔn mǎo)是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为( )A.24+52π,34+52πB.24+52π,36+54πC.24+54π,36+54πD.24+54π,34+52π答案 C炼技法【方法集训】方法1 空间几何体的三视图与直观图1.(2018四川南充模拟,6)已知一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为( )A.92B.4 C.3 D.3√102答案 A2.(2018安徽合肥二模,8)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CD,CC1,A1B1的中点,用过点E,F,G的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )答案 C方法2 空间几何体表面积和体积的求解方法1.已知多面体MN-ABCD的底面ABCD是矩形,其直观图和正(主)视图、侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则该多面体的表面积为( )A.24B.8√5+8C.40D.32答案 B2.(2018河北衡水中学、河南郑州一中联考,9)榫卯是中国传统建筑中极为精巧的发明,这种构件连接方式,超越了当代建筑排架、框架或者钢架的特殊柔性结构体.榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头),某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( )A.36B.45C.54D.63答案 C方法3 与球有关的切、接问题的求解方法1.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( )A.32√3πB.48πC.24πD.16π答案 A的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC, 2.(2018湖南师大附中模拟,16)在体积为43且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是.答案9π2过专题【五年高考】考点一三视图与直观图1.(2017课标Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16答案 B2.(2014课标Ⅰ,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6√2B.6C.4√2D.4答案 B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2016课标Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相,则它的表面积是( )垂直的半径.若该几何体的体积是28π3A.17πB.18πC.20πD.28π答案 A2.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8答案 B3.(2017课标Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π答案 B4.(2018课标Ⅲ,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.12√3B.18√3C.24√3D.54√3答案 B5.(2017课标Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4答案 B6.(2016课标Ⅲ,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6π D.32π3答案 B7.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案 C8.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为.答案40√2π9.(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案4√15考点一三视图与直观图1.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 C2.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.2B.4C.6D.8答案 C2.(2016课标Ⅲ,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81解析 B3.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案1124.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案435.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相的值是.切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2答案326.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案9π27.(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案72;32C组教师专用题组考点一三视图与直观图1.(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3√2B.2√3C.2√2D.2答案 BA.①和②B.③和①C.④和③D.④和②答案 D3.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,√2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案 D4.(2014福建,2,5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案 A5.(2014湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A.1B.2C.3D.4答案 B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3答案 A2.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D.1答案 A3.(2016课标Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π答案 C4.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+√3B.2+√3C.1+2√2D.2√2答案 B5.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案 DA.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案 B7.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D8.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13答案 C9.(2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案210.(2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案√3311.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案8π312.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积= .为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2答案14【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届河北衡水中学9月月考,8)某几何体的三视图如图所示,则此几何体( )A.有四个两两全等的面B.有两对相互全等的面C.只有一对相互全等的面D.所有面均不全等答案 B2.(2019届湖南师范大学附中月考,9)已知某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积是( )A.39π4+3√3 B.45π4+3√3 C.23π2D.49π4答案 A3.(2019届广东化州第一次模拟,7)如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图为正方形,俯视图是腰长为√2的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )A.43B.2√23C.83D.4√23答案 B4.(2018江西南昌二中3月月考,9)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )A.8B.4C.4√3D.4√2答案 D5.(2018广东揭阳一模,9)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为( )A.4π+16B.2(√2+2)π+16C.4π+8D.2(√2+2)π+8答案 B6.(2018江西南昌NCS项目4月联考,7)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中小方格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为( )A.6+3√34B.152C.6+√3D.8答案 B7.(2018福建4月质检,8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为( )A.64-32π3B.64-8πC.64-16π3D.64-8π3答案 C8.(2018广东惠州二模,10)已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥S-ABC 的外接球的球心到平面ABC 的距离是( ) A.√33 B.1 C.√3 D.3√32答案 A9.(2017河北衡水中学三调,10)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球的体积为√32π,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为( )A.92+√32 B.3+√3或92+√32 C.2+√3 D.92+√32或2+√3答案 B10.(2018中原名校4月联考,10)已知A,B,C,D 是球O 表面上四点,点E 为BC 的中点,若AE ⊥BC,DE ⊥BC,∠AED=120°,AE=DE=√3,BC=2,则球O 的表面积为( ) A.73π B.28π3 C.4π D.16π答案 B二、填空题(共5分)11.(2019届广东汕头第三次联考,15)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为.答案112π3。
2018版高中数学苏教版必修二：1.3.1 空间几何体的表面积
1.3.1 空间几何体的表面积
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2018年高中数学必修二 空间几何体的三视图、表面积和体积
空间几何体的三视图、表面积和体积知识点讲解题组1三视图与直观图1.[2017全国卷Ⅰ,7,5分]某多面体的三视图如图8-1-1所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()图8-1-1A.10B.12C.14D.162.[2017浙江,3,4分]某几何体的三视图如图8-1-2所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()图8-1-2A.+1B.+3C.+1D.+33.[2016全国卷Ⅱ,7,5分][文]如图8-1-3是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()图8-1-3A.20πB.24πC.28πD.32π4.[2016全国卷Ⅲ,10,5分][文]如图8-1-4,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()图8-1-4A.18+36B.54+18C.90D.815.[2015新课标全国Ⅰ,11,5分][文]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图8-1-5所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()图8-1-5A.1B.2C.4D.86.[2014新课标全国Ⅰ,8,5分][文]如图8-1-6,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()图8-1-6A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱7.[2014新课标全国Ⅰ,12,5分]如图8-1-7,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()图8-1-7A.6B.4C.6D.48.[2017山东,13,5分][文]由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图8-1-8所示,则该几何体的体积为.图8-1-89.[2015天津,10,5分][文]一个几何体的三视图如图8-1-9所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.图8-1-9题组2空间几何体的表面积10.[2014陕西,5,5分][文]将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()A.4πB.3πC.2πD.π11.[2017全国卷Ⅱ,15,5分][文]长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.12.[2013新课标全国Ⅰ,15,5分][文]已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.题组3空间几何体的体积13.[2017全国卷Ⅲ,9,5分][文]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D.14.[2016全国卷Ⅲ,11,5分][文]在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.C.6πD.15.[2015山东,7,5分]在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.2π16.[2014新课标全国Ⅱ,7,5分][文]正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC 中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.17.[2014湖北,10,5分][文][数学文化题]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.18.[2017天津,11,5分][文]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.19.[2017江苏,6,5分][文]如图8-1-10,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.图8-1-1020.[2016全国卷Ⅰ,18,12分][文]如图8-1-11,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图8-1-11中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.图8-1-1121.[2016江苏,17,14分][文]现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图8-1-12所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?图8-1-1222.[2015新课标全国Ⅱ,19,12分][文]如图8-1-13,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.图8-1-1323.[2015安徽,19,13分][文]如图8-1-14,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(Ⅰ)求三棱锥P-ABC的体积;(Ⅱ)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.图8-1-14A组基础题1.[2018惠州市二调,10]某三棱锥的三视图如图8-1-14所示,且图中的三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为()图8-1-14A.32B.32C.64D.642.[2018益阳市、湘潭市高三调考,9]如图8-1-15,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为图8-1-15()A. B. C. D.43.[2018辽宁省五校联考,9]一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图8-1-16所示,则该几何体的体积为()图8-1-16A.36B.48C.64D.724.[2018广东七校联考,10]某一简单几何体的三视图如图8-1-17所示,该几何体的外接球的表面积是()图8-1-17A.13πB.16πC.25πD.27π5.[2018洛阳市高三第一次联考,10]已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积为()A.πB.πC.πD.π6.[2017长沙市五月模拟,4]如图8-1-18是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图) ()图8-1-18A B C D7.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,9]某几何体的三视图如图8-1-19所示,则该几何体的表面积是()图8-1-19A.20+4B.12+4C.20+2D.12+2B组提升题8.[2018山西省名校第一次联考,5][数学文化题]榫卯(sǔnmǎo)是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图8-1-20所示是一种榫卯构件中榫的三视图,其表面积为()图8-1-20A.8+12πB.8+16πC. 9+12πD.9+16π9.[2018长春市高三第一次质量监测,8][数学文化题]《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(如图8-1-21所示,网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为()图8-1-21A.4B.5C. 6D.1210.[2018唐山市五校联考,12]把一个皮球放入如图8-1-22所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为()图8-1-22A.10cmB.10 cmC.10cmD.30 cm11.[2017四川省重点中学高三第二次学习情况评估,10]已知三棱锥P-ABC的顶点都在同一个球面上(球O),且PA=2,PB=PC=,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O的体积的比值是()A.B.C.D.12.[2017兰州高考实战模拟,8]某几何体的三视图如图8-1-23所示,则下列说法正确的是()图8-1-23①该几何体的体积为;②该几何体为正三棱锥;③该几何体的表面积为+;④该几何体外接球的表面积为3π.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④13.[2017武汉市五月模拟,15]棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1,则该四面体的棱长为.14.[2017云南省11校调考,16]已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为的球面上,底面ABC是边长为,则三棱锥P-ABC体积的最大值为.答案1.B由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为×2=12,故选B.2.A由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积V=×π×3+××2×1×3=(+1)cm3,故选A.3.C该几何体是圆锥与圆柱的组合体,由三视图可知圆柱底面圆的半径r=2,底面圆的周长c=2πr=4π,圆锥的母线长l==4,圆柱的高h=4,所以该几何体的表面积S表=πr2 +ch+cl=4π+16π+8π=28π,故选C.4.B由三视图,知该几何体是一个斜四棱柱,所以该几何体的表面积S=2×3×6+2×3×3+2×3×3=54+18,故选B.5.B由三视图可知,此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的,其表面积为π+2π+4+2π=20π+16,解得r=2(r=-2,舍去),故选B.6.B由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.7.C如图D 8-1-3,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,最长的棱为AD==6,故选C.图D 8-1-38.2+由题意知该几何体是由一个长方体和两个圆柱体构成的,其中长方体的体积V1=2×1×1=2,两个圆柱体的体积之和V2=×π×12×1×2=,所以该几何体的体积V=V1+V2=2+.9.由三视图可得该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体,圆柱的底面圆的半径为1 m,高为2 m,圆锥的底面圆的半径和高都是1 m,且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合,故该组合体的体积为2π+2×π=(m3).10.C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,则其侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.故选C.11.14π依题意,得长方体的体对角线长为=,记长方体的外接球的半径为R,则有2R=,解得R=,因此球O的表面积为4πR2=14π.12.设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以OH=R.由勾股定理,得R2=r2+OH2,又由题意得πr2=π,则r=1,故R2=1+(R)2,即R2=.由球的表面积公式,得S=4πR2=.13.B由题意,得球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的,球的半径为1,则圆柱底面圆的半径r==,故该圆柱的体积V=π×()2×1=,故选B.14.B由题意可知,要使V最大,则球应与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,则球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,所以球应与直三棱柱的上下底面相切,此时球的半径R=,可求得V的最大值V max=πR3=×=.故选B. 15.C如图D 8-1-4,过点D作BC的垂线,垂足为H.则由旋转体的定义可知,该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R=AB=1,高h1=BC=2,其体积V1=πR2h1=π×12×2=2π;圆锥的底面半径r=DH=1,高h2=CH=1,其体积V2=πr2h2=π×12×1=.故所求几何体的体积V=V1-V2=2π-=.故选C.图D 8-1-416.C由题意可知AD⊥BC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1,又AD=2·sin60°=,所以-=AD·=×××2×=1,故选C.17.B V≈L2h=πr2h⇒L2=πr2,又L=2πr,所以π=.故选B.18.π设正方体的棱长为a,则6a2=18,解得a=,设该正方体外接球的半径为R,则2R=a=3,解得R=,所以该球的体积为πR3=π×()3=π.19.设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r、高为2r,所以==.20.(Ⅰ)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.因为PD∩DE=D,PD,DE⊂平面PED,AB⊄平面PED,所以AB⊥平面PED,又PC1⊂平面PED,所以AB⊥PG.又由已知,可得PA=PB,所以G是AB的中点.(Ⅱ)如图D 8-1-5所示,在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,则点F为点E在平面PAC内的正投影.图D 8-1-5理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因为PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,所以EF⊥平面PAC,故点F为点E在平面PAC内的正投影.如图D 8-1-5,连接CG,因为点P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的重心.由(Ⅰ)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=××2×2×2=.21.(1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3).正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a m,PO1=h m,则0<h<6,O1O=4h.如图D 8-1-6,连接O1B1.图D 8-1-6因为在Rt PO1B1中,O1+P=P,所以(a)2+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3)(0<h<6),所以V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h<2,V'>0,V是单调递增函数;当26时,V'<0,V是单调递减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.22.(Ⅰ)平面α与此长方体的交线围成的正方形EHGF如图D 8-1-7所示.图D 8-1-7(Ⅱ)如图D 8-1-7所示,作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=-=6,所以AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(也正确).23.(Ⅰ)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=·S ABC·PA=.(Ⅱ)如图D 8-1-8,在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.图D 8-1-8由PA⊥平面ABC,知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,BN,MN⊂平面MBN,AC⊄平面MBN,所以AC⊥平面MBN,又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在Rt BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,从而NC=AC-AN=,由MN∥PA,得==.A组基础题1.C由三视图可知该几何体的直观图为如图D 8-1-10所示的三棱锥P-ABC,其中底面ABC 是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,BC=2,PA2+y2=102,(2)2+PA2=x2,所以xy=x--()=x-≤(-)=64,当且仅当x2=128-x2,即x=8时取等号,因此xy的最大值是64.故选C.图D 8-1-10２．B由三视图可得三棱锥为图D 8-1-11所示的三棱锥A-PBC(放到棱长为2的正方体中),则V A-PBC=×S PBC×AB=××2×2×2=.故选B.图D 8-1-113.B由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图D 8-1-12所示,将几何体分割为两个三棱柱,所以该几何体的体积为×3×4×4+×3×4×4=48,故选B.图D 8-1-124.C由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体,由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4,所以底面边长为2,由侧视图知该长方体的高为3,设该几何体的外接球的半径为R,则2R=()()=5,解得R=,所以该几何体的外接球的表面积S=4πR2=4π×=25π,故选C.5.A将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线,因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球,即球O的直径为正方体的棱长2,则球O的体积V=πR3=π,故选A.6.A正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.7.A由三视图知该几何体是一个直三棱柱,底面是直角边分别为4,2的直角三角形,高为2,所以该几何体的表面积是(2+4+)×2+2××2×4=20+4故选A.Ｂ组提升题8.B由三视图知该榫是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体,其表面积S=2π×2×2+2π×22+1×2×4=8+16π,故选B.9.B如图D 8-1-13,图D 8-1-13由三视图可还原得几何体ABCDEF,过E,F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN,将原几何体拆分成两个底面积为3,高为1的四棱锥和一个底面积为,高为2的三棱柱,所以V ABCDEF= 2V四棱锥E-ADHG+V三棱柱EHG-FNM=2××3×1+×2=5,故选B.10.B依题意,在如图D 8-1-14四棱锥S-ABCD中,图D 8-1-14所有棱长均为20 cm,连接AC,BD交于点O,连接SO,则SO=AO=BO=CO=DO=10cm,易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10 cm,在等腰三角形OAS中,OA=OS=10cm,AS=20 cm,所以O到SA的距离d=10 cm,同理可证O到SB,SC,SD的距离也为10 cm,所以球心为四棱锥底面ABCD的中心,所以皮球的半径r=10 cm,故选B.１１.A三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和为×2×sin∠APB+×2×sin∠APC+××sin∠BPC,由于∠APB,∠APC,∠BPC相互之间没有影响,所以只有当上述三个角均为直角时,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,此时PA,PB,PC两两垂直,将三棱锥P-ABC放入长方体中,则三棱锥P-ABC与该长方体有共同的外接球,故球O的半径r=()()=2,所以三棱锥P-ABC的体积与球O的体积的比值是=.12.B根据该几何体的三视图,可知该几何体是一个三棱锥,如图D 8-1-15所示,图D 8-1-15其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,它的另外三条棱长均为显然其是一个正三棱锥,②正确;该几何体的体积V=××1×1×1=,①正确;该几何体的表面积S=3××1×1+×××=+,③错误;该几何体外接球的直径2R=,所以其外接球的表面积为4πR2=3π,④正确.故选B.13.将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体,设正方体的棱长为a,则正四面体ABCD的棱长为a,正方体的体对角线长为a,由a=2⇒a=,则a=.14.依题意,设球的半径为R,则有4πR2=,R=,ABC的外接圆半径为r==1,球心到截面ABC的距离h=-=()-=,因此点P到截面ABC的距离的最大值等于h+R=+=4,因此三棱锥P-ABC体积的最大值为×[×()2]×4=.课后巩固提升考点1空间几何体的结构特征1.如图所示,从三棱台A'B'C'-ABC中截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台2.如图是由哪个平面图形旋转得到的()A B C D3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为.4.如图所示,一个圆锥的高为2,母线与轴的夹角为30°.求圆锥的母线长和圆锥的轴截面面积.考点2空间几何体的三视图与直观图5.图1是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图2所示,则可以作为其正视图的是()图1图2A. B. C. D.6.[2015北京,7,5分]某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.C.D.27.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,求该平面图形的面积.考点3柱体、锥体、台体、球的表面积8.[数学文化题]《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为()A.2B.4+2C.4+49.正三棱柱的底面边长为侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为()A.4πB.8πC.12πD.16π考点4柱体、锥体、台体、球的体积10.[数学文化题]《九章算术》商功章有题:一圆台形谷仓,谷仓口直径为六尺,谷仓底直径为一丈八尺,谷仓高一丈八尺,若谷仓屯米高九尺,则谷仓屯米约为(斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,1丈=10尺,π≈3)()A.650斛B.950斛C.1 950斛D.2 850斛答案1.B由题图易知剩余部分是四棱锥A'-BB'C'C.2.D题图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,结合A,B,C,D可知D正确,故选D.3.点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P',显然点P到直线CC1的距离的最小值为P'C的长度的最小值.当P'C⊥DE时,P'C的长度最小,此时P'C==.=,底面半径r=2·tan 4.由题意得,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,轴截面面积为S,则母线长l=°30°=,所以S=×2××2=,即圆锥的母线长为,轴截面面积是.5.C由题意,结合该几何体的直观图和俯视图知,其正视图的长应为底面正方形的对角线长,宽应为正方体的棱长,故排除B,D;在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除A,选C.6.C由题中三视图知,此四棱锥的直观图如图所示,其中侧棱SA⊥底面ABCD,且底面是边长为1的正方形,SA=1,所以四棱锥最长棱的棱长为SC=,故选C.217.直观图的面积S'= ×(1+1+ )× = .故原平面图形的面积S = =2+ .8.C 由题意可知,该几何体的底面为等腰直角三角形,等腰直角三角形的斜边长为2,腰长为 ,棱柱的高为2.所以其侧面积S =2×2+2 ×2=4+4 ,故选C.9.B 由正弦定理得 °=2r (其中r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径),∴r =1,∴外接球的半径R = = ,∴外接球的表面积S =4πR 2=8π.故选B.10.B 圆台的轴截面如图所示,G,H,F 分别为CB,DA,BA 的中点,E 为GH 的中点,由题意得,GB =3尺,HA =9尺,GH =18尺,EH =9尺,所以 EF =(HA +GB )=6尺,所以谷仓屯米的体积为V =×9×π(36+6×9+81)=513π≈513×3=1 539(立方尺).因为1 539÷1.62=950,所以谷仓屯米约为950斛.故选B.。
高考数学课标2版§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( )
A.4π B. 9 C.6π D. 32
2
3
答案 B 易知AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则 1 ×6×8= 1 ×(6+8+10)·r,所以r=2,因
2
2
为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R= 3 .此时球的体积V= 4 πR3= 9 .故选B.
易错警示 由于空间想象能力不足,误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积是造成失分的 主要原因.
评析 本题考查了几何体的三视图和柱体的表面积,考查了空间想象能力.掌握侧面的形状是 求解的关键.
4.(2015课标全国Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三
2
1 6
R3=3
6,∴R=6,∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π.
思路分析 本题应利用数形结合的方法求解最值:考虑到点C是动点,如果以△ABC为底面,则 底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB为底面(S△OAB为定值),这样高越大,体积越大.
考点三 体积
1.(2019课标全国Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 ( ) A.8 6 π B.4 6 π C.2 6 π D. 6 π
4.(2015课标全国Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该 几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
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O 的表面积为
.
4
12.[2013 新课标全国Ⅰ ,15,5 分 ][ 文 ] 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点 ,AH ∶HB= 1∶2,AB⊥平
面 α,H 为垂足 ,α截球 O 所得截面的面积为 π则，球 O 的表面积为
.
题组 3 空间几何体的体积
13.[2017 全国卷Ⅲ ,9,5 分 ][ 文] 已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 的球面上 ,则该圆柱的体积为
个几何体的三视图 ,则这个几何体是
()
图 8-1-6
A. 三棱锥
B. 三棱柱
C.四棱锥 D. 四棱柱
7.[2014 新课标全国Ⅰ ,12,5 分 ]如图 8-1-7,网格纸上小正方形的边长为 面体的三视图 ,则该多面体的各条棱中 ,最长的棱的长度为
1,粗实线画出的是某多 ()
3
图 8-1-7
A.6
空间几何体的三视图、表面积和体积 知识点讲解
1
题组 1 三视图与直观图
1.[2017 全国卷Ⅰ ,7,5 分 ]某多面体的三视图如图 8-1-1 所示 ,其中正视图和左视图都由正方形 和等腰直角三角形组成 ,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有
若干个是梯形 ,这些梯形的面积之和为
题组 2 空间几何体的表面积
图 8-1-9
10.[2014 陕西 ,5,5 分 ][ 文 ]将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周 体的侧面积是
,所得几何 ()
A.4 π B.3 π C.2 π D. π
11.[2017 全国卷Ⅱ ,15,5 分][ 文] 长方体的长 ,宽 ,高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O 的球面上 ,则球
AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
()
A.
B. C. D.2 π
16.[2014 新课标全国Ⅱ ,7,5 分 ][ 文 ] 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 中点 ,则三棱锥 A-B 1DC 1 的体积为
,D 为 BC ()
A .3 B. C.1 D .
19.[2017 江苏 ,6,5 分 ][ 文 ]如图 8-1-10,在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及
母线均相切 .记圆柱 O1O2 的体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则 的值是
.
5
图 8-1-10 20.[2016 全国卷Ⅰ ,18,12 分][ 文 ] 如图 8-1-11,已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形 ,PA= 6. 顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (Ⅰ )证明 : G 是 AB 的中点 ; (Ⅱ )在图 8-1- 11 中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F (说明作法及理由 ),并求四面体 PDEF 的体积 .
近似公式
V≈
2
L h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率
π近似取为 3.那么 ,近似公式
V≈ L2h 相当于将圆锥体积公式中的 π近似取为
()
A. B. C.
D.
18.[2017 天津 ,11,5 分 ][ 文 ]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上
为 18,则这个球的体积为
.
,若这个正方体的表面积
B.4
C.6 D.4
8.[2017 山东 ,13,5 分 ][ 文 ] 由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图 8-1-8 所示 ,
则该几何体的体积为
.
图 8-1-8
9.[2015 天津 ,10,5 分 ][ 文 ]一个几何体的三视图如图 m3.
8-1-9 所示 (单位 :m), 则该几何体的体积为
,则该几何 ()
A.20 π B.24 π C.28 π D.32 π
图 8-1-3
4.[2016 全国卷Ⅲ ,10,5 分][ 文 ] 如图 8-1-4,网格纸上小正方形的边长为 面体的三视图 ,则该多面体的表面积为
1,粗实线画出的是某多 ()
图 8-1-4
A.18+36
B.54+18
C.90 D.81
2 的同一个球 ()
A .π B. C. D .
14.[2016 全国卷Ⅲ ,11,5 分][ 文] 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球 .若
AB⊥ BC,AB= 6,BC= 8,AA1=3,则 V 的最大值是
()
A.4 π B.
C.6 π D.
15.[2015 山东 ,7,5 分 ] 在梯形 ABCD 中 ,∠ ABC= ,AD∥ BC,BC= 2AD= 2AB= 2.将梯形 ABCD 绕
()
图 8-1-1
A.10 B.12 C.14
D.16
2. [2017 浙江 ,3,4 分 ] 某几何体的三视图如图 8- 1-2 所示 (单位 :cm), 则该几何体的体积 (单
位
:cm
3
)是
()
图 8-1-2 A. +1 B. +3 C. +1 D. +3 3.[2016 全国卷Ⅱ ,7,5 分 ][ 文 ]如图 8-1-3 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 体的表面积为
图 8-1-11 21.[2016 江苏 ,17,14 分 ][ 文 ] 现需要设计一个仓库 ,它由上下两部分组成 ,上部的形状是正四棱 锥 P-A 1B1C1D 1,下部的形状是正四棱柱 ABCD-A 1B1C1D 1(如图 8-1-12 所示 ),并要求正四棱柱的 高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 . (1) 若 AB= 6 m,PO 1= 2 m,则仓库的容积是多少 ? (2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1 为多少时 ,仓库的容积最大 ?
17.[2014 湖北 ,10,5 分 ][ 文 ][ 数学文化题 ]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张 家山出土 ,这是我国现存最早的有系统的数学典籍 ,其中记载有求 “囷盖 ”的术 :置如其周 ,令相
乘也 .又以高乘之 ,三十六成一 .该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的
5.[2015 新课标全国Ⅰ ,11,5 分 ][ 文 ] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r )组成一个几
何体 ,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图
8- 1-5 所示 .若该几何体的表面积为 16+ 20π，
则 r=
()
图 8-1-5
A.1 B.2 C.4 D.8
6.[2014 新课标全国 Ⅰ,8,5 分 ][ 文 ] 如图 8-1-6,网格纸的各小格都是正方形 ,粗实线画出的是一