高一数列专项典型练习题及解析答案
高中数学必修一数列性质专项习题及答案
高中数学必修一数列性质专项习题及答案1. 数列基础概念题1：已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n = 3n - 2$，求$a_1, a_2,a_3$的值。
答案：$a_1 = 3 \times 1 - 2 = 1$ <br>$a_2 = 3 \times 2 - 2 = 4$ <br>$a_3 = 3 \times 3 - 2 = 7$题2：已知数列${b_n}$的通项公式为$b_n = 2^n$，求$b_1, b_2,b_3$的值。
答案：$b_1 = 2^1 = 2$ <br>$b_2 = 2^2 = 4$ <br>$b_3 = 2^3 = 8$2. 等差数列题1：已知数列${c_n}$为等差数列，且首项$a_1 = 2$，公差$d = 3$，求$c_1, c_2, c_3$的值。
答案：$c_1 = a_1 = 2$ <br>$c_2 = a_1 + d = 2 + 3 = 5$ <br>$c_3 = c_2 + d = 5 + 3 = 8$题2：已知数列${d_n}$为等差数列，且首项$a_1 = -1$，公差$d = -2$，求$d_1, d_2, d_3$的值。
答案：$d_1 = a_1 = -1$ <br>$d_2 = a_1 + d = -1 + (-2) = -3$ <br>$d_3 = d_2 + d = -3 + (-2) = -5$3. 等比数列题1：已知数列${e_n}$为等比数列，且首项$a_1 = 2$，公比$q = 3$，求$e_1, e_2, e_3$的值。
答案：$e_1 = a_1 = 2$ <br>$e_2 = a_1 \times q = 2 \times 3 = 6$ <br>$e_3 = e_2 \times q = 6 \times 3 = 18$题2：已知数列${f_n}$为等比数列，且首项$a_1 = -2$，公比$q = -\frac{1}{2}$，求$f_1, f_2, f_3$的值。
高一数学数列试题答案及解析
高一数学数列试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知数列{an }满足 a1＝1,an＋1＝.,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式(不要求证明)【答案】解:∵a1＝1,an＋1＝,∴a2＝＝, a3＝＝, a4＝＝, a5＝＝.∴它的前5项依次是1,,,,…………………….8分故它的一个通项公式为an＝. (12)【解析】略2.设数列的首项，则【答案】【解析】略3.在等差数列中，公差，这三项构成等比数列，则公比【答案】2【解析】略4.数列满足，若，则数列的第2010项的值为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】本题考查数列通项的求法因为所以；由所以；由所以；由所以；依此可得即数列的周期为，所以所以故正确答案为5.数列满足，若，则数列的第2010项的值为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】本题考查数列通项的求法因为所以；由所以；由所以；由所以；依此可得即数列的周期为，所以所以故正确答案为6.定义：称为个正数的“均倒数”，若数列{}的前项的“均倒数”为，则数列{}的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】有定义知：，所以，所以等价于，当时，，当时，，当时，，成立，所以．【考点】已知求7.已知数列{an }（n Î N）中，a1=1，an+1=，则an=（）A．2n－1B．2n +1C．D．【答案】C【解析】两边取倒数得到：，整理为：，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，那么．【考点】1．递推公式求通项公式；2．等差数列．8.若，是等比数列中的项，且不等式的解集是，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由不等式的解集可知【考点】1．二次方程根与系数的关系；2．韦达定理9.（14分）已知数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式;（2）令，且数列的前n项和为，求;（3）若数列满足条件：，又，是否存在实数，使得数列为等差数列?【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）中考察的主要是由数列的前n项和求数列通项的问题，求解时主要借助于公式解决，分别求完后要验证看时候能将结果合并到一起；（2）首先将通项整理为的形式，然后采用裂项相消法求和；（3）首项将代入整理出数列的递推公式，由第一项求得第二三两项，找到数列的前三项，前三项成等差得到参数的值，然后验证求得的值满足数列所有项均构成等差数列试题解析：（14分）（1）n=1时，n当n=1时所以（2），（3），即，假设存在这样的实数，满足条件，又，成等差数列，即，解得，此时：，数列是一个等差数列，所以【考点】1．数列求通项公式；2．裂项相消求和；3．等差数列的判定10.（本小题满分14分）已知数列满足且，且，设，数列满足．（1）求证是等比数列并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）对于任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）本题考察的是等比数列的证明，一般采用定义法或者等比中项法，本题中根据题目所给条件得到，即可证明是等比数列．然后求出新数列的通项公式，从而求出数列的通项公式．（2）本题考察的是求数列的前项和，根据（1）求出的数列的通项公式，求出，继而求出的通项公式，然后通过错位相减法求出的前项和．（3）本题考察的是不等式恒成立问题，根据的单调性，求出的最大值，然后由含参一元二次不等式恒成立，然后根据一元二次不等式在定区间恒成立，从而求出参数的取值范围．试题解析：（1）因为∴，∴是等比数列，其中首项是，公比为∴，（2）由（1）知，，两式相减得（3）…10分∴当时，当∴当或时，取最大值是只须即对于任意恒成立即【考点】（1）等比数列的通项公式（2）求数列的前项和（3）不等式恒成立问题11.等比数列{}中，，是方程的两根，则等于（）A．8B．－8C．±8D．以上都不对【答案】C【解析】根据韦达定理，，又根据等比数列的定义，，所以．【考点】1．等比数列的性质；2．韦达定理．12.设数列的前n项和，则的值为（）A．15B．16C．49D．64【答案】A【解析】．故A正确．【考点】求数列中的项．13.设为等比数列的前项和，，则（）A．11B．5C．D．【答案】D【解析】．．故D正确．【考点】等比数列的前项和公式．14.（10分）以数列的任意相邻两项为坐标的点（）都在一次函数的图象上，数列满足．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列，的前项和分别为，且，求的值．【答案】（1）见答案；（2）【解析】（1）由且得=－=（2+k）－（2+k）=2（－）=2．又由，故数列是以为首项的等比数列由（1）=（）·=－从而求出=（）·－k．又因为所以即∴．又∴可得试题解析：解：（1）点都在一次函数y=2x+k图像上，则有=－=（2+k）－（2+k）=2（－）=2．∴=2故是以为首项，2为公比的等比数列． 4分（2）∵=（）·=－=（）·－k∴，又即∴即∴∴又∴∴k=8 10分【考点】等比数列数列通向公式及前n项和的综合问题．15.已知成等差数列，且成等比数列，则的值为（）A．—B．C．或—D．【答案】B【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为q，则根据题意有，，所以；【考点】等差、等比数列的通项公式；16.设等比数列的前n项和为，若=3则 = （）A．2B．C．D．3【答案】B【解析】试题分析: 由等比数列前项和性质：成等比得：成等比，根据等比中项性质得：，又，将其带入上式得，因为等比数列项不为0，则化简得．【考点】1．等比数列前项和的性质；2．等比数列项不为0．17.在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列公比为，由题意可得：，所以该数列的前10项和为：，故选择B【考点】等比数列求和18.已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则【答案】64【解析】由数列为等差数列，且成等比数列，所以，则，所以，因为，所以，根据等差数列前n项和公式，。
高中数学数列多选题专项训练100含解析
一、数列多选题1．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 答案：ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 2．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =答案：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确； 该数【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果. 4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 5．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案：AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误.令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.答案：BC 【分析】根据等差数列的前项和性质判断． 【详解】A 错：；B 对：对称轴为7；C 对：，又，；D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 7．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <答案：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】 因为，所以 ， 因为，所以， 所以等差数列公差， 所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+答案：AC 【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ABCD 【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =答案：AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-，131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD【点睛】 考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。
高一数学数列试题答案及解析
高一数学数列试题答案及解析1.已知数列中，其前项和满足：（1）试求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）先利用化简关系式得：再利用叠加得，又，所以.经验证和也满足该式，故（2）因为数列通项是一个等比加一个等差，所以用“分组求和法”求和，即.试题解析：（1）即这个式子相加得，又所以. 经验证和也满足该式，故（2）用分组求和的方法可得【考点】由求，叠加法求，分组求数列和.2.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．31【答案】D【解析】由两边同加1，可得，，则是以2为首项，以2 为公比的等比数列.则，所以，.【考点】构造法求数列的通项公式.3.已知数列是等比数列，且则【答案】1【解析】略}中的项组成一个新数列, ,4.由公差的等差数列{an，…,则下列说法正确的是K^S*5U.CA．该数列不是等差数列B．该数列是公差为的等差数列C．该数列是公差为的等差数列D．该数列是公差为的等差数列【答案】C【解析】略5.△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）。
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之。
（I）组建的命题为：已知_______________________________________________求证：①__________________________________________②__________________________________________（II）证明：【答案】略【解析】可以组建命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0＜B≤（2）；命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列求证：（1）0＜B≤（2）1＜≤命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）（2）1＜≤命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0＜B≤（2）1＜≤下面给出命题一、二、三的证明：（1）∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=≥且B∈（0，π），∴0＜B≤（2）（3）∵0＜B≤∴∴∴下面给出命题四的证明：（4）∵a、b、c成等比数列∴b2=a+c，且B∈（0，π），∴0＜B≤6.（本小题满分12分）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）．（1）求，；（2）若，，（）是等比数列的前三项，设，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，利用等式求出首项，第二步，令，，求出第二项，因为是等差数列，所以，代入等差数列的通项公式，然后再代入题设中所给的等式，求和；（2）按等差设，将，，三项设出，然后，求出，同时得到等比数列中的，然后再求公比，最后求出等比数列的通项，求和，按照错位相减法求和．试题解析：（1）．，又，故；又，故，得；等差数列的公差．．所以，．（2）由已知有，故，即．解得，或，又，故．等比数列的公比为，首项为．所以．所以．．．． 12分．．．【考点】1．等差数列；2．等比数列；3．错位相减法求和．7.在等比数列{an }中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为（）A．4B．C．D．2【答案】A【解析】根据等比数列的性质，，代入数据解得．【考点】等比数列的性质8.设an ＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为（）A．10B．11C．10或11D．12【答案】C【解析】，，所以当，时，，当时，，所以前非负数项的和最大，即，或．【考点】1．数列的定义；2．数列的和的最大值．9.若数列的前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题是已知求通项，当时，，当时，，验证：当时，成立，所以．【考点】已知求10.（本题12分）已知数列的前n项和为满足：．（1）求证：数列是等比数列；（2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）已知，求，利用公式，得到关于数列的递推公式，，，然后列式等于常数，所以是等比数列；（2）第一步，先计算，同时求和，得到的通项公式，第二步，计算，并且根据裂项相消法得到数列的和，和是，第三步，当恒成立，等价于，并且．试题解析：（1）当时，，解得， 1分当时，由得， 2分两式相减，得，即（）， 3分则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列．（2）由（1）知，，所以，则，由对任意都成立，得，即对任意都成立，又，所以m的值为1，2，3．【考点】1．已知求；2．等比数列的定义；3．裂项相消法求和；4．等差数列；5．数列的最值．11.等差数列中，已知，，，求n．【答案】【解析】本题主要考察等差数列的性质，在本题中，给出了两个不连续的数和前n项和，让我们求n，首先需要根据不连续的两个数值，列出有关第一项和公差的方程组，解出第一项和公差，再运用等差数列的前n项和公式联系本题所给条件，解出n的数值，即为本题答案。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
高一数列专项典型练习题及解析答案
数列综合练习*），且{aN}是单调递增=f（n）（n∈1（a＞0，a≠）1．已知函数f（x）=，数列{a}满足a nnn数列，则实数a的取值范围（）A．[ 7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）2．设{a}的首项为a，公差为﹣1的等差数列，S为其前n项和，若S，S，S成等比数列，则a=（）1nn4112D ．﹣2 C．A．2 B．﹣n是等差数列{a}的前项和，若），则=（3．设S nn．D．﹣1C．2 A．1 B）4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（D．8 6A．5 B．C．7）=0，则等于（nS为等比数列{a}的前项和，8a+a．设55nn2D．8﹣11 ．5 C．﹣．A 1 1B（），．数列6{a}满足a=2aT=，其前n项积为，则T=2016nnn1D．A．B．C．1 ﹣1 ﹣）=aa=2a﹣a，=4﹣，则S（a项和为}7．已知数列{a的前nS，满足9n+16nn4nn+28 1D．4 C．9A． B 12 ．1=66S，则）的值为（S=28Sn{a为等差数列．已知8S}的前项和，，911nn74 5D8 C45 ．3．．7 4．A B}．在等比数列9{a中，）（=a，则3n3 9 ±±C 9．B ．A ．．D 3）+a}中，4（a+a+a）+3（a+a+a）=36，那么该数列的前14项和为（10．在等差数列{a165614n3844 8 A．2 0 B．21 C．42 D．则S为其前n项和，若S，S，S成等比数列，a的值为_________的等差数列，11．设{a}是首项为a，公差为﹣11nn4121*），（n∈N12．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a=_________．5013．数列{a}为等比数列，a+a=1，a+a=﹣2，则a+a+a=_________．7253n34614．已知数列{a}中，a=2a，a=8，则数列{loga}的前n项和等于_________．nn+13nn215．已知数列{a}的前n项和为S，并满足a=2a﹣a，a=4﹣a，则S=_________．9n+16nn4nn+216．记等差数列{a}的前n项和为S，已知a+a=6，S=10．则a=_________．1024n4n17．设S是等比数列{a}的前n项和，S，S，S成等差数列，且a+a=2a，则m=_________．m23n65n9*n a．满足b∈nN=2），数列{b}{a18．已知数列}的前n项和S=﹣a﹣+2（nnnnnn（1）求证数列{b}是等差数列，并求数列{a}的通项公式；nn*且n≥3时，，证明：n∈NT＞{（2）设数列a}的前n项和为T nnn*1nn*﹣，）设数列（3{c}∈N），问是否存在整数λ，使得对任意n∈λn（λ为非零常数，n）（﹣）c（满足a﹣3=1N nnn．＞都有cc nn+119．在等差数列{a}中，a=3，其前n项和为S，等比数列{b}的各项均为正数，b=1，公比为q，且b+S=12，2n1nn21．（Ⅰ）求a与b；nn（Ⅱ）设c=a?b，求数列{c}的前n项和T．nnnnn20．已知等差数列{a}满足a+a=9，a+a=10；又数列{b}满足nb+（n﹣1）b+…+2b+b=S，其中S 是首nnn34n1nn2162﹣，公比为的等比数列的前n项和．项为1（1）求a的表达式；n（2）若c=﹣ab，试问数列{c}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c≤c成立？并证明你的结论．knnnnn2*∈NR），n﹣2n+q（p，q∈项和为21．已知等差数列{a}的前ns=pm nn（I）求q的值；（Ⅱ）若a=8，数列{b}}满足a=4logb，求数列{b}的前n项和．n2nn3n22．已知等比数列{a}满足a=2，且2a+a=a，a＞0．n4n352（1）求数列{a}的通项公式；nn3a+2n+1，数列{b}的前项和为1（﹣）T，求T．=b2（）设nnnnn23．已知有穷数列﹛a﹜共有2k(k≧2，k∈Z)项，首项a=2。
高中数学--数列大题专项训练(含详解)
高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
最全的高中数学数列练习题_附答案与解析
交，∴ f( k) ＝ f( k－ 1) ＋ ( k－ 1) ．
由 f( 3) ＝ 2，
f( 4) ＝ f( 3) ＋ 3＝ 2＋ 3＝ 5，
f( 5) ＝ f( 4) ＋ 4＝ 2＋ 3＋ 4＝ 9， ……
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∴ S13＝ 13( a1＋a13 ) ＝ 13( a4＋a10 ) ＝ 13 4 ＝ 26．
2
2
2
15．－ 49．
解析：∵ d＝ a6－ a5＝－ 5，
∴ a4＋ a5＋…＋ a10
＝ 7( a4＋a10 ) 2
＝ 7( a5－d＋a5＋5d) 2
＝ 7( a5＋ 2d)
＝－ 49．
16． 5， 1 ( n＋1)( n－ 2) ． 2
4． C
解析：
解法 1：设 a1＝ 1 ， a2＝ 1 ＋ d， a3＝ 1 ＋ 2d， a4＝ 1 ＋ 3d，而方程 x2－ 2x＋ m＝ 0 中两根之和为 2， x2
4
4
4
4
－2x＋ n＝ 0 中两根之和也为 2，
∴ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝1＋ 6d＝ 4，
∴ d＝ 1 ， a1＝ 1 ， a4＝ 7 是一个方程的两个根， a1＝ 3 ， a3＝ 5 是另一个方程的两个根．
∴ d＝－ 1， q2＝ 2，
∴ a2 a1 ＝ d ＝ 1 ．
b2
q2
2
10． C
解析：∵ { an} 为等差数列，∴ an2 ＝an －1＋ an＋1，∴ an2 ＝ 2an，
又 an≠ 0，∴ an＝ 2， { an} 为常数数列，
而 an＝ S2n 1 ，即 2n－ 1＝ 38 ＝ 19，
高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学数列经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共15小题，每题2分，共30分）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-12．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-39．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．9910．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．52212．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．17．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．18．数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．第Ⅱ卷（非选择题）三．简答题（共5小题,50分）26．（10分）已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．27．（8分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．28．（7分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．29．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．30．（12分）在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．参考答案一．单选题（共__小题）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-1答案：C解析：解：∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==，故选C．2．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-答案：C解析：解：∵{a n}为等比数列a5•a11=3，∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3∴q10=或3，∴=或3，故选C．3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．答案：A解析：解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．答案：D解析：解：∵数列{a n}是等差数列，a1=1，a3=4，∴a3=a1+2d，即4=1+2d，解得d=．故选：D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）A．12B．13C．14D．15答案：A解析：解：令a n=＜0，解得n≤6，当n＞7时，a n＞0，且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0，所以S12=0，S13＞0，即使S n≥0的最小正整数n=12．故选A．6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列答案：A解析：解：∵S n=2n2-2n，则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2（n-1）2-2（n-1）]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A．7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．答案：C解析：解：当n=1时，a1=S1=21-1=1，当n≥2时，a n=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2•2n-1-2n-1=2n-1，对n=1也适合∴a n=2n-1，∴数列{a n}是等比数列，此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1，公比为4．∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-3答案：C解析：解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．9．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．99答案：A解析：解：当n为奇数时，a n+2-a n=1+（-1）n=0，可得a1=a3=…=a59=2．当n为偶数时，a n+2-a n=1+（-1）n=2，∴数列{a2n}为等差数列，首项为2，公差为2，∴a2+a4+…+a60=30×2+=930．∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30×2+930=990．故选：A．10．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列答案：A解析：解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2（n-1）∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．522答案：B解析：解：由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4（a n-1+1），故可得=4，由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1，公比为4的等比数列，故可得a5+1=44=256，故a5=255故选B12．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵a n•b n=1∴b n==∴s10==（-）+=-=故选项为B．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）A．20B．18C．10D．8答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=8，a3-a1=16，∴，解得，∴=2×32=18．故选：B．14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．答案：C解析：解：∵a4=2S3+3，a5=2S4+3，即2S4=a5-3，2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-（a4-3）=a5-a4=2a4，即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3，故选C15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项答案：D解析：解：由题意得=，∵n是正整数，∴=当且仅当时取等号，此时，∵当n=9时，=19；当n=9时，=19，则当n=9或10时，取到最小值是19，而取到最大值．故选D．二．填空题（共__小题）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．答案：-40解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，∵a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=a1+a2+a3+9d，∴-4=8+9d，解得d=-，∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40，故答案为：-4017．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．答案：8解析：解：由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=（a3+a11）+a7+（a5+a9）=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为：818．（2015秋•岳阳校级月考）数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．答案：2n+n2-1解析：解：数列a n的前n项和S n=（2+22+23+…+2n）+[1+3+5+…+（2n-1）]=+=2n-1+n2．故答案为：2n-1+n2．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．答案：2n-1解析：解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n-1=2n，则a n=2n-1．故答案为：2n-1．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．答案：3解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以==．故答案为3．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．答案：1023解析：解：由题意，两边同加1得：a n+1+1=2（a n+1），∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023．故答案为：1023．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．答案：解析：解：由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-（与正项等比数列矛盾，舍去）．故答案为：23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．答案：2n+1-1解析：解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-1．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．答案：=5解析：解：等差数列{a n}中，∵a3+2a8+a9=20，∴（a1+2d）+2（a1+7d）+（a1+8d）=4a1+24d=4（a1+6d）=4a7=20，∴a7=5．故答案为：5．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．答案：解析：解：由题设条件知a1+a1q=a1q2，∵a1＞0，∴q2-q-1=0解得，∵数列{a n}为正项等比数列，∴．故答案：．三．简答题（共__小题）26．已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．答案：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．解析：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．28．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．解析：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．29．已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．答案：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）解析：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）30．在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．答案：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．解析：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．。
高一数列专项典型练习题及解析答案
数列综合练习1．函数f〔*〕=〔a＞0，a≠1〕，数列{a n}满足a n=f〔n〕〔n∈N*〕，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值围〔 〕A．[7，8〕B．〔1，8〕C．〔4，8〕D．〔4，7〕2．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，假设S1，S2，S4成等比数列，则a1=〔 〕A．2B．﹣2C．D．﹣3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，假设，则=〔 〕A．1B．﹣1C．2D．4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为〔 〕A．5B．6C．7D．85．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于〔 〕A．11B．5C．﹣8D．﹣116．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2016=〔 〕C．1D．﹣1A．B．﹣7．数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=〔 〕A．9B．12C．14D．188．S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为〔 〕A．47B．45C．38D．549．在等比数列{a n}中，，则a3=〔 〕A．±9B．9C．±3D．310．在等差数列{a n}中，4〔a3+a4+a5〕+3〔a6+a8+a14+a16〕=36，则该数列的前14项和为〔 〕A．20B．21C．42D．8411．设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，假设S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 _________ 12．*公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n〔n∈N*〕，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50= _________ ．13．数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7= _________ ．14．数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于 _________ ．15．数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足a n+2=2a n+1﹣a n ，a 6=4﹣a 4，则S 9= _________ ．16．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 4=6，S 4=10．则a 10= _________ ．17．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2+a 5=2a m ，则m= _________ ．18．数列{a n }的前n 项和S n =﹣a n ﹣+2〔n ∈N *〕，数列{b n }满足b n =2n a n ．〔1〕求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；〔2〕设数列{a n }的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞〔3〕设数列{}满足a n 〔﹣3n 〕=〔﹣1〕n﹣1λn 〔λ为非零常数，n ∈N *〕，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有+1＞．19．在等差数列{a n }中，a 1=3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，．〔Ⅰ〕求a n 与b n ；〔Ⅱ〕设=a n •b n ，求数列{}的前n 项和T n ．20．等差数列{a n }满足a 3+a 4=9，a 2+a 6=10；又数列{b n }满足nb 1+〔n﹣1〕b 2+…+2b n﹣1+b n =S n ，其中S n 是首项为1，公比为的等比数列的前n 项和．〔1〕求a n 的表达式；〔2〕假设=﹣a n b n ，试问数列{}中是否存在整数k ，使得对任意的正整数n 都有≤c k 成立？并证明你的结论．21．等差数列{a n }的前n 项和为s n =pm 2﹣2n+q〔p ，q ∈R 〕，n ∈N *〔I 〕求q 的值；〔Ⅱ〕假设a 3=8，数列{b n }}满足a n =4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和．22．等比数列{a n }满足a 2=2，且2a 3+a 4=a 5，a n ＞0．〔1〕求数列{a n }的通项公式；〔2〕设b n =〔﹣1〕n 3a n +2n+1，数列{b n }的前项和为T n ，求T n ．23．有穷数列﹛a n ﹜共有2k(k ≧2，k ∈Z)项，首项a 1=2。
高一数学《数列》经典练习题-附答案
强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章 数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43 C ．21 D ．83 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．1926．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4B ．－6C ．－8D ． －108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1B ．－1C ．2D ．219．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题 11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 . 15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ ；当n ＞4时，f (n )＝ ．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证ac b +，b a c +，c b a +也成等差数列.18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列． (1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{nS n}是等比数列．第二章 数列参考答案一、选择题 1．C解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699． 2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力． 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21， 即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7． 解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84． 3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ． 又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8． 4．C 解析： 解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4， ∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ． 由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3， ∴S 4＝3－13－35＝2240＝120．6．B 解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， ∴20074在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6， 又由a 1，a 3，a 4成等比数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8， ∴a 2＝－8＋2＝－6． 8．A解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ．9．A解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4， ∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，(第6题)而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10． 二、填空题 11．23． 解析：∵f (x )＝221+x ，∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝x x22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+⋅＝x x222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22．设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)， 则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62， ∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32． 12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q S S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32． 13．216．解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413 ＝26．15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5， ∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a＝7(a 5＋2d ) ＝－49． 16．5，21(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5， f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9， ……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)， ∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6． （2）∵a 1，b 1，c1成等差数列，∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·b c a ＋，∴a cb ＋，b ac ＋，cba ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0， ∴q ＝1或－21． （2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2nn ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ．若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ，故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ． 19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 所以1＋1＋n S n ＝nSn 2． 故{nS n}是以2为公比的等比数列．。
高中数列精选大题50题(带详细答案)
高中数列精选大题50题（带详细答案）1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值.3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由． 8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
高一数列专项典型练习题及解析答案
数列综合练习1．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）2．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2C．D．﹣3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1C．2D．4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．85．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11B．5C．﹣8D．﹣116．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2016=（）A．B．﹣C．1D．﹣17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）A．9B．12C．14D．188．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47B．45C．38D．549．在等比数列{a n}中，，则a3=（）A．±9B．9C．±3D．310．在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20B．21C．42D．8411．设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________12．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50= _________ ．13．数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7= _________ ．14．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________ ．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9= _________ ．16．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10= _________ ．17．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m= _________ ．18．已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．19．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．（1）求a n的表达式；（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．21．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．22．已知等比数列{a n }满足a 2=2，且2a 3+a 4=a 5，a n ＞0． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（﹣1）n 3a n +2n+1，数列{b n }的前项和为T n ，求T n ．23．已知有穷数列﹛a n ﹜共有2k(k ≧2，k ∈Z)项，首项a 1=2。
高一数列专项典型练习题及解析标准答案
一．选择题（共11小题）1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）2．（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣3．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1 C．2D．4．（2014•河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．85．（2014•河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11 B．5C．﹣8 D．﹣116．（2014•河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）A．B．C．6D．﹣6﹣7．（2014•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）A．9B．12 C．14 D．188．（2013•南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47 B．45 C．38 D．549．（2013•天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）A．±9 B．9C．±3 D．310．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．8011．（2012•天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20 B．21 C．42 D．84二．填空题（共7小题）12．（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．13．（2014•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a50=_________．14．（2014•郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．15．（2014•厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________．16．（2014•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=_________．17．（2014•天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．18．（2014•北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．三．解答题（共12小题）19．（2014•濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．（2014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．21．（2014•天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（2009•河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．（1）求a n的表达式；（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．（I）求{a n} 的通项公式：（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．（I）求a n；（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．高一数列专项典型练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用一次函数和指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵{a n}是单调递增数列，∴，解得7≤a＜8．故选：A．点评：本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．2．（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．3．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的前n项和．分析：由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．解答：解：由题意可得====1故选A点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．4．（2014•河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：等比数列的前n项和；循环结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s，k的值，最后输出k的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否满足S＞100，退出循环，此时k值为7故选C点评：本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，5．（2014•河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，（q≠0）由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．6．（2014•河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）A．B．C．6D．﹣6﹣考点：数列递推式．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列{a n}满足a1=2，a n=，可得数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，即可得出结论．解答：解：∵a n=，∴a n+1=，∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，∴T2014=﹣6．故选：D．点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1是关键．7．（2014•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）A．9B．12 C．14 D．18考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：直接由数列递推式得到数列为等差数列，再由等差数列的性质结合a6=4﹣a4得到a5的值，然后直接代入前n项和得答案．解答：解：∵a n+2=2a n+1﹣a n，∴2a n+1=a n+a n+2∴数列{a n}是等差数列．又a6=4﹣a4，∴a4+a6=4，由等差数列的性质知：2a5=a4+a6=4，得a5=2．∴S9=9a5=9×2=18．故选：D．点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系得确定，考查了等差数列的性质及前n项和，是中档题．8．（2013•南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47 B．45 C．38 D．54考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设公差为d，利用等差数列前n项和列关于a1、d的方程组，解出a1，d，再用前n项和公式可得S9的值．解答：解：设公差为d，由S7=28，S11=66得，，即，解得，所以S9=9×1=45．故选B．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查方程思想，考查学生的运算能力，属基础题．9．（2013•天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）A．±9 B．9C．±3 D．3考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设出公比，利用条件，可得=27，=3，两式相除，可得结论．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵，∴=27，=3两式相除，可得∴a3=±3故选C．点评：本题考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．80考点：数列的求和；循环结构．专题：计算题．分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选C．点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．11．（2012•天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20 B．21 C．42 D．84考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，化简已知的等式，可得出a4+a11的值，再根据等差数列的性质得到a1+a14=a4+a11，由a4+a11的值得到a1+a14的值，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出该数列的前14项之和，将a1+a14的值代入即可求出值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3，∵a1+a14=a4+a11=3，则该数列的前14项和S14==21．故选B点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．二．填空题（共7小题）12．（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．解答：解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．13．（2014•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a50=2700．考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．14．（2014•郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=24．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，联立两方程a2+a3=1，a3+a4=﹣2解出等比数列的首项与公比，即可求出a5+a6+a7的值．解答：解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，两式作商得q=﹣2．代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．解得a1=．所以a5+a6+a7=（24﹣25+26）=24．故答案为：24．点评：本题考查对数计算与等比数列性质的运用，属于基本计算题15．（2014•厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出{an}是首项和公比都是2的等比数列，从而得到，log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前n项和．解答：解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3=8，∴，解得a1=2，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n=1+2+3+…+n=．故答案为：．点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．16．（2014•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=18．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出数列{a n}是等差数列，由此利用等差数列性质能求出结果．解答：解：∵数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，∴数列{a n}是等差数列，∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，∴=．故答案为：18．点评：本题考查数列的前9项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．17．（2014•天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=10．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．解答：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．点评：本题考查等差数列中第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列的性质．18．（2014•北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值．解答：解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，∴2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，则m=8．故答案为：8点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．三．解答题（共12小题）19．（2014•濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ）．，①，②②﹣①得，===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．20．（2014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出a n=．（2）由（1）知=（n+1）•（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1•λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．解答：（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，∴a n=．（2）证明：∵，∴=（n+1）•（）n，∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②①﹣②，得：=1+=1+﹣（n+1）•（）n+1=，∴T n=3﹣．∴T n﹣=3﹣=，∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．①当n=3时，23＞2×3+1，成立②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立∴n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由，得=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n]=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0，∴，①当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，依题意，③式对k=1，2，3…都成立，∴，∴，又λ≠0，∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．21．（2014•天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据b2+S2=12，{b n}的公比，建立方程组，即可求出a n与b n；（2）由a n=3n，bn=3n﹣1，知c n=a n•b n=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）∵在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．∴b2=b1q=q，，（3分）解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1．（7分）（2）∵a n=3n，b n=3n﹣1，∴c n=a n•b n=n•3n，∴数列{c n}的前n项和T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴T n=×3n+1﹣．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．22．（2009•河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．（1）求a n的表达式；（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，∴，解得，∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．（2）∵S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，∴nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=，①（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2b n﹣2+b n﹣1=…+，②①﹣②得b1+b2+…+b n=，即．当n=1时，b1=T n=1，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1==．∴．．于是c n=﹣a n b n．设存在正整数k，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．当n=1时，，即c2＞c1．当n≥2时，==．∴当n＜7时，c n+1＞c n；当n=7时，c8=c7；当n＞7时，c n+1＜c n．∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法是解题的关键．23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．考点：等比数列的前n项和．专题：综合题．分析：（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．解答：证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=∴a n=×=，S n=又∵==S n∴S n=（II）∵a n=∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．考点：等比数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）根据前n项和与通项间的关系，得到a n=2pn﹣p﹣2，再根据{an}是等差数列，a1满足a n，列出方程p﹣2+q=2p﹣p﹣2，即可求解（Ⅱ）由（I）知a n=4n﹣4，再根据a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求解解答：解：（I）当n=1时，a1=s1=p﹣2+q当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2所以a n=4n﹣4又a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n}的前n项和Tn=．点评：本题考查了数列的前n项和与通项间的关系及等比数列的求和问题，在解题中需注意前n项和与通项间的关系是个分段函数的关系，但最后要验证n=1是否满足n≥2时的情况，属于基础题．25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：（1）先根据a3=a1•q2=27求出q2，然后根据a n＞0，求出q的值，再由等比数列的公式求出数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）由（1）得出数列{b n}是等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式得出结果．解答：解：（1）设公比为q，则a3=a1•q2，∴27=3q2，即q2=9∵a n＞0，∴（2）由（1）可知b n=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，又b n+1﹣b n=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，故数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴．点评：本题考查了等差数列和等比数列的前n项和，此题比较容易，只要认真作答就可以保障正确，属于基础题．26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．（I）求{a n} 的通项公式：（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（I）利用等差数列的首项a1及公差d表示已知条件，解出a1，d代入等差数列的通项公式可求（II）由（I）可求，从而可得数列{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列，代入等比数列的前n项和公式可求解答：解：（I）（2分）解得：（4分），所以a n=4n+1（6分）（II）由（I）知（7分）因为，（8分）所以{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列（9分），所以．（12分）点评：在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式，具备一定的计算能力，本题属于基础试题．27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则，解方程可求a1，q结合等比数列的通项公式即可求解（Ⅱ）由b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则…（2分）整理得q2﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2，∵a n＞0，∴q=2．代入可得a1=1∴．…（6分）（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，…（9分）∴T n=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n﹣1]+（3+5+…+2n+1）=﹣3×=（﹣2）n+n2++2n﹣1．…（12分）点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．考点：等比数列的前n项和．专题：综合题；分类讨论．分析：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，然后考虑当q=1时关系式不成立，所以当q不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式化简此等式，根据q不等于1，利用换元法即可求出q3的值；（2）由q3的值分别表示出a8和a5，然后分别求出a8﹣a2和a5﹣a8的值，得到两者的值相等即可得证．解答：解：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，若q=1，则S3+S6=9a1，2S9=18a1，由a1≠0得S3+S6≠2S9，与题意不符，所以q≠1．由S3+S6=2S9，得．整理，得q3+q6=2q9，由q≠0，1，设t=q3，则2t2﹣t﹣1=0，解得t=1（舍去）或t=﹣，所以；（2）由（1）知：，则a8﹣a2=a5﹣a8，所以a2，a8，a5成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．（I）求a n；（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）由题意可得，公比q≠1，则①②，相除可得公比q，求得首项和公比，即可求出通项公式．（II）首先根据（1）求出数列{b n}的通项公式，然后利用分组法求出前n项和．解答：解：（I）若q=1，则S6=2S3，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分）则①②（3分）②式除以①式，得，所以，代入①得a1=2，所以．（7分）（II）因为，（9分）所以T n=（2﹣1+20+21++2n﹣2）+（1+2+3++n）=（12分）==．（14分）点评：本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式，（2）问中数列{b n}是等差数列和等比数列和的形式，采取分组法求解．属于中档题．30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比关系的确定．专题：计算题．分析：（1）由题意等差数列{a n}中a2=8，S10=185，利用通项公式及前n 项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n }的通项公式a n；（2）把（1）中求出的a n的通项公式代入a n=log2b n中，确定出b n的通项公式，利用等于常数得到数列{b n}是等比数列，求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比写出等比数列的前n项和即可．解答：解：（1）解得：d=3，a1=5，∴a n=3n+2（2）b n=∴===23=8（n=1，2，3，…）∴{bn}是公比为8的等比数列∵b1==32∴T n==（8n﹣1）．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档题．。
高一数学数列试题答案及解析
高一数学数列试题答案及解析1.某种汽车购买时费用为万元，每年应交保险费，养路费，保险费共万元，汽车的维修费为：第一年万元，第二年万元，第三年万元，……，依次成等差数列逐年递增. （1）设使用年该车的总费用(包括购车费用)为试写出的表达式；（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.【答案】（1）;（2）12年.【解析】（1）由已知中某种汽车购买时费用为万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共万元，汽车的维修费为：第一年万元，第二年万元，第三年万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前项和公式，即可得到的表达式；（2）由（1）中使用年该车的总费用，我们可以得到年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的值，进而得到结论．解：（1）（2）设平均费用为P,则P=当且仅当,即时，平均费用最少为万元.答：这种汽车使用12年报废最划算..【考点】1.数列的应用；2.基本不等式在最值问题中的应用.2.已知则的等差中项为-------------------（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略3.（本小题满分12分）已知等差数列的公差，该数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将已知条件转化为等差数列的基本量，解方程组得到首项和公差，进而得到通项公式（Ⅱ）借助于数列求得数列的递推公式，根据特点采用累和法求通项试题解析：（Ⅰ）因为所以，即．因为，，所以．所以．所以．（Ⅱ）因为，所以，，……．相加得==即．【考点】1.等差数列通项公式；2.累和法求通项4.定义：称为个正数的“均倒数”，若数列{}的前项的“均倒数”为，则数列{}的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】有定义知：，所以，所以等价于，当时，，当时，，当时，，成立，所以．【考点】已知求5.已知数列{an }满足a1=15，且3an+1=3an﹣2，若ak•ak+1＜0，则正整数k=（）A．21B．22C．23D．24【答案】C【解析】将递推公式整理为，所以，所以等价于，解得：，所以．【考点】1．等差数列的定义；2．等差数列的性质．6.已知等比数列的前项和为，若，则的值是．【答案】【解析】，【考点】等比数列性质及求和公式7.若为等差数列的前项和，，则= ．【答案】【解析】由题知，所以，即，，解两个方程得，，则．【考点】1．等差数列前n项和公式；2．等差数列的通项公式；8.（16分）给定数列，如果存在常数使得对任意都成立，则称为“M类数列”（1）若是公差为的等差数列，判断是否为“M类数列”，并说明理由；（1）若是“M类数列”且满足：①求及的通项公式；②设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，试求实数的取值范围．【答案】（1）是；（2）①；；②；【解析】（1）因为已知中给出的是递推关系式，又是公差为的等差数列，所以，即得；（2）①由，当和时分别得；又是“M类数列”，可得，若要用已知条件，必须出现，所以由是“M类数列”，可得，两式想加可得，再把已知和代入，就可得到对都成立，即可；②由已知得①，当时，②，②式两边同乘以2，再与①式相减得，验证当时成立，则，要使成立，需要知道的单调性，利用单调性找出即得；试题解析：（1）是公差为的等差数列，时使得成立，即是“M类数列”（2）①是“M类数列”，，，两式相加得，又，对都成立，，又是公比为2的等比数列，②因为，即，（*）当时，，（**）则（**）式两边同乘以2，得，（***）（*）－（***），得，即，又当时，，即，适合，．，，时，，即；时，，此时单调递减，又，，，，．【考点】1．新定义的应用；2．数列的单调性；3．转化思想；则9.已知数列的前项和为，，，,A．B．C．D．【答案】D【解析】,代入验证得选项D．【考点】数列的前n项和．10.（本小题满分12分）我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在最小项，最小项是【解析】第一问利用等比数列的定义证明，第二问只需证明不等式左边的最小值大于a（a+2）,接下来研究左边和式的单调性，最后转化为求解，第三问假设存在第n项最小满足，求解关于n的不等式得第5项最小．试题解析：（1）∵，∴，∴数列是等比数列；（2）∵，∴，，不等式化为：对任意正整数恒成立．设．又，∴数列单调递增，，要使不等式恒成立，只要，，得∴使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是．（3）∵，∴，假设中的第项最小，由，，∴，当时，有，由可得，即，∴，，或（舍），∴，即有，由，得，又，∴；故数列中存在最小项，最小项是【考点】用定义证明数列是等比数列，数列的单调性与恒成立问题的转化，存在性问题．11.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】根据已知，所以数列是等差数列，，得到，，所以最小．【考点】1．等差数列；2．等差数列的前项和的最大项．12.（本题满分12分）已知{an }为等差数列，且a3＝－6，a6＝0．（1）求{an}的通项公式；（2）若等比数列{bn }满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的首项和公差，然后代入所给两项，解方程组，求解；（2）第一步，求等比数列的前两项，第二步，求公比，；第三步，代入等比数列的前项的和．试题解析：解（1）设等差数列{an}的公差为d．因为a3＝－6，a6＝0，所以解得a1＝－10，d＝2．所以an＝－10＋（n－1）×2＝2n－12．（2）设等比数列{bn}的公比为q．因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，q＝3．所以数列{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4（1－3n）．【考点】1．等差数列的通项公式；2．等比数列的通项；3．等比数列的前项的和．13.等差数列的公差，，且，，成等比数列．为的前项和，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，成等比数列，所以，即，化简得：，又，则，，所以，则，所以选D．【考点】1．等比数列与等差数列的通项公式；2．等差数列的前项和；14.数列的前项和为，且满足，则_______．【答案】【解析】由得时是等比数列，公比为2，首项为【考点】数列求和公式，通项公式15.（12分）已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个之积为40，求这四个数．【答案】这四个数依次为或．【解析】利用数列的设项技巧，四个数依次为，再利用等差数列的性质代入计算即可．试题解析：设四个数依次为则依题意有解得或．．．．．．．．．10分∴代人有四个数依次为或，【考点】等差数列的性质、设项技巧，通项公式．16.等差数列中，首项，公差，前项和为．有下列命题①若，则必有；②若，则必有是中最大的项；③若，则必有；④若，则必有；其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】，根据等差数列的性质，，所以，，根据等差数列的图像，当，那么对称轴是，那么是最大值；若，则，那么，所以，所以，即；，即．【考点】等差数列和的性质17.等差数列{an }中，，公差，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是．【答案】5或6【解析】因为，公差，所以，由等差数列的性质知，，所以前5或6项和取得最大值．【考点】等差数列的性质、前项和的求法．18.（本小题满分12分）设数列的前项和为，（1）求，；（2）设，证明：数列是等比数列；（3）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】第一问令n=1,2得到所求，第二问把两式相减得：从而回归定义即可，第三问利用错位相减法把两式相减整理得试题解析：（1）由已知：又（2）两式相减得：（常数），又是首项为2，公比为2的等比数列，（3）两式相减得：【考点】等比数列的证明，错位相减求和法．19.（12分）等差数列的各项均为正数,,前项和为,为等比数列,,且．（1）求与；（2）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）本题考察的是求等差数列和等比数列的通项公式，只需求出首项、公差、公比即可。
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数列综合练习1．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）2．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1 C．2D．4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．85．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11 B．5C．﹣8 D．﹣116．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2016=（）C．1D．﹣1A．B．﹣7．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）A．9B．12 C．14 D．188．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47 B．45 C．38 D．549．在等比数列{a n}中，，则a3=（）10．在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20 B．21 C．42 D．8411．设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________ 12．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a50=_________．13．数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．14．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=_________．16．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．17．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．18．已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．19．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．（1）求a n的表达式；（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．21．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．22．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．23．已知有穷数列﹛a n ﹜共有2k(k ≧2，k ∈Z)项，首项a 1=2。
设该数列的前n 项和为S n ，且a n+1=(a-1)S n +2 (n=1，2，…,2k-1),其中常数a ＞1（1）求证：﹛ a n ﹜数列是等比数列 （2）若a =2 数列｛b n ｝满足b n =n1㏒2(a 1a 2…a n )(n=1,2, …2k)求数列｛b n ｝的通项公式； （3）若（2）中的数列｛b n ｝满足不等式∣b 1-23∣+∣b 2-23∣+∣b 2k-1-23∣+∣b 2k -23∣≦4，求k 的值28．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项的和为S n ，且S 3，S 9，S 6成等差数列． （1）求q 3的值；（2）求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．（I）求a n；（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）解：∵{a n}是单调递增数列，∴，解得7≤a＜8．故选：A．2．（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．3．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1 C．2D．解：由题意可得====1 故选A4．（2014•河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．8：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否满足S＞100，退出循环，此时k值为75．（2014•河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11\6．（2014•河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）A．B．C．6D．﹣6﹣解：∵a n=，∴a n+1=，∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，∴T2014=﹣6．故选：D．7．（2014•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）A．9B．12 C．14 D．18 解：∵a n+2=2a n+1﹣a n，∴2a n+1=a n+a n+2∴数列{a n}是等差数列．又a6=4﹣a4，∴a4+a6=4，由等差数列的性质知：2a5=a4+a6=4，得a5=2．∴S9=9a5=9×2=18．故选：D．8．（2013•南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47 B．45 C．38 D．54解答：解：设公差为d，由S7=28，S11=66得，，即，解得，所以S9=9×1=45．故选B．9．（2013•天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）A．±9 B．9C．±3 D．3解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵，∴=27，=3两式相除，可得∴a3=±3故选C．10．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．80解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，A．20 B．21 C．42 D．84解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3，∵a1+a14=a4+a11=3，则该数列的前14项和S14==21．故选B二．填空题（共7小题）12．（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．13．（2014•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a50=2700．解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．14．（2014•郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=24．解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，两式作商得q=﹣2．代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．解得a1=．所以a5+a6+a7=（24﹣25+26）=24．故答案为：24．15．（2014•厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3=8，∴，解得a1=2，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n=1+2+3+…+n=．故答案为：．解：∵数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，∴数列{a n}是等差数列，∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，∴=．故答案为：18．17．（2014•天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=10．解：等差数列{a n}的前n项和为S n，∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．18．（2014•北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，∴2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，则m=8故答案为：8三．解答题（共12小题）19．（2014•濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．（2014•天津三模）已知数列{a n}的和S n=a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．21．（2014•天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）∵在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．∴b2=b1q=q ，，（3分）解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1．（7分）（2）∵a n=3n，b n=3n﹣1，∴c n=a n•b n=n•3n，∴数列{c n}的前n项和T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴T n =×3n+1﹣．22．（2009•河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．（1）求a n的表达式；（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．等差数列与等比数列．（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，∴，解得，∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．（2）∵S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，∴nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n =，①（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2b n﹣2+b n﹣1=…+，②①﹣②得b1+b2+…+b n =，即．当n=1时，b1=T n=1，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1==．∴．．于是c n=﹣a n b n．设存在正整数k，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．当n=1时，，即c2＞c1．当n≥2时，==．∴当n＜7时，c n+1＞c n；当n=7时，c8=c7；当n＞7时，c n+1＜c n．∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、点评：、分类讨论的思想方法是解题的关键．23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n =（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=∴a n =×=，S n =又∵==S n∴S n =（II）∵a n =∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．解：（I）当n=1时，a1=s1=p﹣2+q当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2所以a n=4n﹣4又a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n}的前n项和Tn=．25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．解：（1）设公比为q，则a3=a1•q2，∴27=3q2，即q2=9∵a n＞0，∴（2）由（1）可知b n=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，又b n+1﹣b n=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，故数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴．26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．（I）求{a n} 的通项公式：（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．解：（I）（2分）解得：（4分），所以a n=4n+1（6分）（II）由（I）知（7分）因为，（8分）所以{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列（9分），所以．（12分）27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则…（2分）整理得q2﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2，∵a n＞0，∴q=2．代入可得a1=1∴．…（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，…（9分）∴T n=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n﹣1]+（3+5+…+2n+1）=﹣3×=（﹣2）n+n2++2n﹣1．…28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．解：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，若q=1，则S3+S6=9a1，2S9=18a1，由a1≠0得S3+S6≠2S9，与题意不符，所以q≠1．由S3+S6=2S9，得．整理，得q3+q6=2q9，由q≠0，1，设t=q3，则2t2﹣t﹣1=0，解得t=1（舍去）或t=﹣，所以；（2）由（1）知：，则a8﹣a2=a5﹣a8，所以a2，a8，a5成等差数列．29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．（I）求a n；（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．解：（I）若q=1，则S6=2S3，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分）则①②（3分）②式除以①式，得，所以，代入①得a1=2，所以．（7分）（II）因为，（9分）所以T n=（2﹣1+20+21++2n﹣2）+（1+2+3++n）=（12分）==．（14分）30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）解得：d=3，a1=5，∴a n=3n+2（2）b n=∴===23=8（n=1，2，3，…）∴{bn}是公比为8的等∵b1==32∴T n==（8n﹣1）．。