湘教版九年级上册数学新版第一章教案

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新版湘教版九年级数学上册第1章反比例函数1.1反比例函数教案

新版湘教版九年级数学上册第1章反比例函数1.1反比例函数教案

第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数表达式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间的变化,平均速度发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数表达式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间,且时间不能为负数,所有t 的取值范围为t >0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm 2,它的一边是a cm ,这边上的高是h cm ,则a 与h 的函数关系;(2)压强p 一定时,压力F 与受力面积S 的关系;(3)功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食y (吨)与该乡人口数x 的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的表达式经过整理后是否符合y =(k 是常数,k ≠0).所以此题必须先写出函数表达式,后解答.解:(1)a =12h,是反比例函数;(2)F =pS ,是正比例函数; (3)F =W s ,是反比例函数; (4)y =m x,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y =4x2m -2是反比例函数,并求出其函数表达式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m =32.所以反比例函数的表达式为y =4x .4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V =5m 3时,ρ=1.98kg/m 3(1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围.(2)求V =9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y 与x 间的函数关系式.分析:y 1与x 成正比例,则y 1=k 1x ,y 2与x 2成反比例,则y 2=k 2x2,又由y =y 1+y 2,可知,y =k 1x +k 2x2,只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系式.解:因为y 1与x 成正比例,所以y 1=k 1x ;因为y 2与x 2成反比例, 所以y 2=k 2x2,而y =y 1+y 2,所以y =k 1x +k 2x2, 当x =2与x =3时,y 的值都等于19.所以⎩⎪⎨⎪⎧19=2k 1+k2419=3k 1+k29.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1=5k 2=36所以y =5x +36x2.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的表达式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题. 教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数表达式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.。

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精品教学教案第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v 是所用时间t 的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点? 【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y 之间可以表示成y=kx(k 为常数且k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数.其中x 是自变量,常数k 称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t ,其中自变量t 可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间,且时间不能为负数,所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm 2,它的一边是acm ,这边上的高是hcm ,则a 与h 的函数关系;(2)压强p 一定时,压力F 与受力面积S 的关系;(3)功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式. 分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数,k ≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h ,是反比例函数; (2)F =pS ,是正比例函数; (3)F=W/s ,是反比例函数; (4)y=m/x ,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y=224m x-是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x.4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y 与x 间的函数关系式.分析:y1与x 成正比例,则y1=k1x ,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y =y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式.解:因为y 1与x 成正比例,所以y 1=k 1x ;因为y 2与x 2成反比例,所以y 2=22k x ,而y =y 1+y 2,所以y=k 1x+22k x,当x =2与x =3时,y 的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y 轴右边的各点,当横坐标x 逐渐增大时,纵坐标y 如何变化?y 轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题: (1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的? 【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都不相交,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-6x 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象; (2)可以通过探索函数y=6x 与y=-6x 之间的关系,画出y=-6x的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y=2x k+1的图象是双曲线,那么k=.【答案】-23.如果反比例函数y=3kx-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是.【答案】1,24.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ).解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数.(1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随x 的增大如何变化? (3)当-3≤x ≤-12时,求此函数的最大值和最小值.8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题: (1)当x =4时,求y 的值; (2)当y =-2时,求x 的值; (3)当y >2时,求x 的范围. 解:列表:由图知: (1)y =3; (2)x =-6; (3)0<x <69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答: (1)当x =2时,y 的值;(2)当1<x ≤4时,y 的取值范围; (3)当1≤y <4时,x 的取值范围. 解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x 的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B 都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.【答案】y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b 1<b 2B.b 1=b 2C.b 1>b 2D.大小不确定 【答案】 D 4.函数y=-1x的图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),若0<x 1<x 2,则( ) A.y 1<y 2 B.y 1>y 2 C.y 1=y 2 D.y 1、y 2的大小不确定 【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k ≠0)的图象上, (1)当x=-3时,求y 的值;(2)当1<x <3时,求y 的取值范围.6.已知y=kx(k ≠0,k 为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a ,2). (1)求反比例函数的表达式; (2)求a 与b 的值. 解:(1)将A (2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x; (2)将B (4,b )代入反比例解析式得:b=-4;将C (a ,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx (k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5, 25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A 关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时 反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题. 【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知 1.正比例函数有哪些性质? 2.一次函数有哪些性质? 3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P (-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k 1x,y=2k x,其中,k 1,k 2是常数,且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P (-3,4),则P (-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k 1×(-3),4=23k -解得,k 1=43k 2=-12所以,正比例函数解析式为y=43 x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S 1= ;过点Q分别作x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S 1与S 2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=kx(k ≠0)中比例系数k 的几何意义:过双曲线y=kx(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k 的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A 是反比例函数y=kx 的图象上的一点,AB 丄x 轴于点B ,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值,即S =12|k|.解:根据题意可知:S △AOB =12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1分析:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积,进而可得出结论.解:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,∵由反比例函数系数k 的几何意义可知,S 四边形OEAC =6,S △AOE =3, S △BOC =1,∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y =x +b 经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C ,求k 、b 的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10.4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值.(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A ′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2. 1=2k 2-1,k 2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y =x -1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(-2,-1).把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A 在反比例函数图象上.把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得,y =-2-1=-3,所以点A ′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由(1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y 的值在-1≤y ≤3范围内时,相应的x 的值为:-1≤x ≤1.(4)从图象可知,y 随x 的增大而减小,又m +1>m ,所以y 1>y 2. 或解:当x 1=m 时,y 1=-2m +1;当x 2=m +1时,y 2=-2×(m +1)+1=-2m -1所以y 1-y 2=(-2m +1)-(-2m -1)=2>0,即y 1>y2.6.如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围.分析:(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式. (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S 增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=FS得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是(不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D。

新湘教版九年级上册数学教案

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第一章 反比例函数探究内容:1.1 建立反比例函数模型(1)目标设计:1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律,抽象出反比例函数的概念;2、理解反比例函数的概念和意义;3、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点:对反比例函数概念的理解 探究准备:投影片等。

探究过程: 一、旧知回顾: 1、函数的概念:一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。

2、一次函数的概念: 一般地,如果y kx b =+(k 、b 是常数,0k ≠)那么y 叫做x 的一次函数。

如:31y x =-,… 当0b =时,有y kx =(k 为常数,0k ≠)则y 叫做x 的正比例函数。

如:12y x =-,4y x =,…二、新知探究:类似地,有反比例函数: 1、概念:一般地,如果两个变量y 与x 的关系可以表示成ky x=(k 为常数,0k ≠)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。

2、强调:①自变量在分母中,指数为1,且0x ≠;②也可以写成1y kx -=的形式,此时自变量x 的指数1-; ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数;④由于0k ≠,0x ≠,因此函数值y 也不等于0。

例题讲评:1、下列函数中,x 均表示自变量,那么哪些是反比例函数,并指出每一个反比例函数中相应的k 值。

⑴5y x =⑵20.4y x=- ⑶2x y =- ⑷2xy =分析: ⑴5y x=是反比例函数,5k =; ⑵20.4y x =-不是反比例函数; ⑶2xy =-是正比例函数;⑷2xy =,即2y x=,是反比例函数,2k =。

2、若函数()272mm y m x +-=-是反比例函数,求出m 的值并写出解析式。

分析:由题有:20m -≠且271m m ++=-,解得3m =- ∴解析式为15y x -=-,即5y x=-3、已知反比例函数的图象经过点(-1,2),求其解析式。

湘教版九年级上册数学教案(全册)【精编】

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第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.三、运用新知,深化理解1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;(2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系;(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k是常数,k≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h,是反比例函数;(2)F=pS,是正比例函数;(3)F=W/s ,是反比例函数; (4)y=m/x ,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y=224m x -是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x. 4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y 与x 间的函数关系式.分析:y1与x 成正比例,则y1=k1x ,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y =y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式.解:因为y 1与x 成正比例,所以y 1=k 1x ;因为y 2与x 2成反比例,所以y 2=22k x ,而y =y 1+y 2,所以y=k 1x+22k x,当x =2与x =3时,y 的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y 轴右边的各点,当横坐标x 逐渐增大时,纵坐标y 如何变化?y 轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的? 【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都不相交,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动: (1)可以用画反比例函数y=-6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象; (2)可以通过探索函数y=6x 与y=-6x 之间的关系,画出y=-6x的图象. 【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都不相交,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y=2x k+1的图象是双曲线,那么k=.【答案】 -23.如果反比例函数y=3kx-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是.【答案】 1,24.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ).解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数. (1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随x 的增大如何变化? (3)当-3≤x ≤-12时,求此函数的最大值和最小值.8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题: (1)当x =4时,求y 的值; (2)当y =-2时,求x 的值; (3)当y >2时,求x 的范围. 解:列表:由图知: (1)y =3; (2)x =-6; (3)0<x <69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答: (1)当x =2时,y 的值;(2)当1<x ≤4时,y 的取值范围; (3)当1≤y <4时,x 的取值范围. 解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.【答案】 y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0 D.y2<y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则( )A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1<x<3时,求y的取值范围.6.已知y=kx(k ≠0,k 为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a ,2). (1)求反比例函数的表达式; (2)求a 与b 的值. 解:(1)将A (2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x; (2)将B (4,b )代入反比例解析式得:b=-4;将C (a ,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上? 分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx(k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k ,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5,25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A 关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上; 【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质?2.一次函数有哪些性质?3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= 2kx,其中,k1,k2是常数,且均不为0.由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=23k-解得,k1=43- k2=-12所以,正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1= ;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S1与S2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A 是反比例函数y=kx 的图象上的一点,AB 丄x 轴于点B ,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值,即S =12|k|. 解:根据题意可知:S △AOB =12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )A. 12B.2C.3D.1分析:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积,进而可得出结论.解:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,∵由反比例函数系数k 的几何意义可知,S 四边形OEAC =6,S △AOE =3, S △BOC =1,∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y =x +b 经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C ,求k 、b 的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10. 4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:(1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值.(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A ′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2.1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y=x-1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y 的值在-1≤y ≤3范围内时,相应的x 的值为:-1≤x ≤1.(4)从图象可知,y 随x 的增大而减小,又m +1>m ,所以y 1>y 2.或解:当x 1=m 时,y 1=-2m +1;当x 2=m +1时,y 2=-2×(m +1)+1=-2m -1所以y 1-y 2=(-2m +1)-(-2m -1)=2>0,即y 1>y2.6.如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点. (1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围.分析:(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式. (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=FS得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y 与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y与x的函数图象是( )。

湘教版九年级上册教案第一章 反比例函数

湘教版九年级上册教案第一章 反比例函数

湘潭市雨湖区南谷中学集体备课纸2022 年下学期九年级数学科目湘潭市雨湖区南谷中学集体备课纸2022 年下学期九年级数学科目教学难点理解反比例函数的性质,并能灵活应用教学过程设计一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;(2)可以通过探索函数y=6x与y=-6x之间的关系,画出y=-6x的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征?【归纳结论】反比例函数y=kx (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx (k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.三、运用新知,深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y=2xk+1的图象是双曲线,那么k=.3.如果反比例函数y=3kx-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是.4.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ).6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )7.已知函数23()2my m x--为反比例函数.(1)求m的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y随x的增大如何变化?(3)当-3≤x≤-12时,求此函数的最大值和最小值.8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题:(1)当x=4时,求y的值;(2)当y=-2时,求x的值;(3)当y>2时,求x的范围.解:列表:9.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答:(1)当x=2时,y的值;(2)当1<x≤4时,y的取值范围;(3)当1≤y<4时,x的取值范围.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.板书设计 1.1反比例函数1.画反比例函数的步骤:1)列表2)描点3)连线2.当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.组长意见:湘潭市雨湖区南谷中学集体备课纸2022 年下学期九年级数学科目(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.2.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx (k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<03.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则( )A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx (k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1<x<3时,求y的取值范围.6.已知y=kx (k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)求a与b的值.解:(1)将A(2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16 x;(2)将B(4,b)代入反比例解析式得:b=-4;将C(a,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,-2).(1)求这个函数的解析式,并画出图象;湘潭市雨湖区南谷中学集体备课纸2022 年下学期九年级数学科目【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO的面积是3,则k的值是( )A.3B.-3C.6D.-62.反比例函数y=6x与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( )A. 12 B.2 C.3 D.13.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C,求k、b的值.4.已知反比例函数y=1kx的图象与一次函数y=k2x-1的图象交于A(2,1).(1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:板书设计反比例函数反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.组长意见:湘潭市雨湖区南谷中学集体备课纸2022 年下学期九年级数学科目(6)你能应用作出的图象对问题(2)和(3)作出直观解释吗?问题二:蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间 的函数关系如图所示.(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗?(2)完成下表,并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内? 师生活动:教师主要以引导学生解答为主,由学生自主探讨所提出的问题,并让学生在实际解题过程中,不断总结、归纳、积累应用反比例函数的知识解决实际问题的经验. 引导时可向学生提出如下问题串:(1)由此函数的图象,你知道电流I 与电阻R 之间满足什么函数关系吗? (2)你能设出电流I 与电阻R 之间的函数关系式吗? (3)由图象你知道此函数图象经过了哪一点吗?(4)你能确定出电流I 与电阻R 之间的函数关系式吗? (5)你知道此函数中电流I 随电阻R 的增大而怎样变化吗? 学生可通过解答以上问题解决所提出的实际问题. 3、问题三:如图,正比例函数y =k1x 的图象与反比例函数的图象相交于A ,B 两点,其中点A 的坐标为(,2).(1)分别写出这两个函数的表达式:(2)你能求出点B 的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流. 师生活动:教师主要以引导学生解答为主,由学生自主探讨所提出的问题,在解答过程中,教师帮助学生总结归纳解决此类问题的方法和技巧,并规范解答过程的叙述方式. 教师可提出以下问题引导学生解答该题:(1)要确定正比例函数y =k1x 的表达式就是要确定哪个未知系数的值?如何确定?(2)要确定反比例函数的表达式就是要确定哪个未知系数的值?如何确定?(3)要确定点B 的坐标可根据哪个知识点来解答?你想到几种方法?x k y 2=33x k y 2=湘潭市雨湖区南谷中学集体备课纸2022 年下学期九年级数学科目引导学生复习第一章反比例函数的内容,进一步加强学生对基础知识的掌握程度. 二.探究展示 (一)合作探究1. 下列函数:①31-=xy ; ②x y -=5; ③xy 52-=; ④)0(2≠=a a xay 为常数且;其中 是反比例函数 小组讨论,然后归纳得出:如果两个变量y 与x 的关系可表示成y =kx (k 为常数,k ≠0)的函数称y 是x 的反比例函数,反比例函数的变式有xy=k ,y =kx -1,所以①,③,④是反比例函数.2.已知反比例函数的图象经过点A (-6,-3). (1)求这个函数的解析式; (2)点B (4,29),C(2,-5)是否在这个函数的图象上? (3)这个函数的图象位于哪些象限?函数值y 随自变量x 的增大如何变化? 小组讨论,教师引导得出:(1)题用待定系数法求函数解析式;(2)把点的坐标对应的一组函数值代入函数解析式中即可知道该点是否在函数图象上;(3)根据K 值得正负即可知道函数图象的性质. (二)展示提升1. 已知物体的质量m (kg )、密度ρ(kg/m 3)与体积V (m 3)满足关系式:m=ρV (1)当质量m 一定时,物体的体积V 与它的密度ρ之间有怎样的函数关系?(2)质量均为1kg 的铁块与泡沫块,哪个体积大?为什么?(铁的密度大于泡沫的密度) 小组讨论交流后点名展示,教师引导然后总结得出:首先根据m=ρV 得出ρmv =,再根据反比例函数的性质即可知道泡沫的体积大. 2.已知反比例函数xky =的图象与正比例函数y=2x 的图象交于点(2,4),求这个反比例函数的表达式,并在同一平面直角坐标系内,画出这两个函数的图象. 学生分小组活动,在小组内交流收获,然后由小组代表在全班交流展示. 三.知识梳理本节课有什么收获?1.回顾本章内容,理清本章知识结构,加深对本章学习内容的理解.2.通过思考与交流,让学生在梳理的过程中提高自己的归纳、概括的能力.四.当堂检测 1. 反比例函数xY 2-=的图象是 ,分布在第 象限,在每个象限内, y 都随x 的增大而 ;若 p1 (x1 , y1)、p2 (x2 , y2) 都在第二象限且x1<x2 , 则y 1 y 2.2. 若A (a 1,b 1),B (a 2,b 2)是反比例函数xy 2-=图象上的两个点,且a 1<a 2,则b1与b2的大小关系是()A.b1<b2 B.b1 = b2 C.b1>b2 D.大小不确定m3.若函数是反比例函数,则的值为 .4. 某汽车的功率P为一定值,汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示:(1)这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表达式;(2)当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多少千米/时?板书设计反比例函数1、概念2、反比例函数的图像与性质3、反比例函数的应用组长意见:教学反思:。

湘教版九年级上册数学全套教案

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第1章一元二次方程第1课时建立一元二次方程模型教学目标1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中,形成对一元二次方程的感性认识。

2、理解一元二次方程的定义,能识别一元二次方程。

3、知道一元二次方程的一般形式,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式,能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点难点重点:能建立一元二次方程模型,把一元二次方程整理成一般形式。

难点:把实际问题转化为一元二次方程的模型。

教学过程(一)创设情境前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型,大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。

本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。

1、展示课本P.2问题一引导学生设人行道宽度为xm,表示草坪边长为35-2xm,找等量关系,列出方程。

(35-2x)2=900 ①2、展示课本P.2问题二引导思考:小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇,他们走的路程有何关系?怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程?通过思考上述问题,引导学生设经过ts小明与小亮相遇,用s表示他们各自行驶的路程,利用路程方面的等量关系列出方程2t+ ×0.01t2=3t。

②3、能把①,②化成右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗?让学生展开讨论,并引导学生把①,②化成下列形式:4x2-140x+325=0,③0.01t2-2t=0。

④(二)探究新知1、观察上述方程③和④,启发学生归纳得出:如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程,它的一般形式是:ax2+bx+c=0,(a,b,c是已知数且a≠0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。

2、让学生指出方程③,④中的二次项系数、一次项系数和常数项。

(三)讲解例题例1:把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

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湘教版九年级上册数学教案(全册)第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.三、运用新知,深化理解1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;(2)压强p 一定时,压力F 与受力面积S 的关系;(3)功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数,k ≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h ,是反比例函数; (2)F =pS ,是正比例函数; (3)F=W/s ,是反比例函数; (4)y=m/x ,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y=224m x-是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x. 4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y 与x 间的函数关系式.分析:y1与x 成正比例,则y1=k1x ,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y =y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式.解:因为y 1与x 成正比例,所以y 1=k 1x ;因为y 2与x 2成反比例,所以y 2=22k x,而y =y 1+y 2,所以y=k 1x+22k x,当x =2与x =3时,y 的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题. 教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;(2)可以通过探索函数y=6x与y=-6x之间的关系,画出y=-6x的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y =2x k +1的图象是双曲线,那么k = .【答案】 -2 3.如果反比例函数y=3k x-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k 的值是 .【答案】 1,24.已知直线y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】 二、四 5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ).解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数. (1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随x 的增大如何变化?(3)当-3≤x≤-12时,求此函数的最大值和最小值.8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题:(1)当x=4时,求y的值;(2)当y=-2时,求x的值;(3)当y>2时,求x的范围.解:列表:由图知:(1)y=3;(2)x=-6;(3)0<x<69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答:(1)当x=2时,y的值;(2)当1<x≤4时,y的取值范围;(3)当1≤y<4时,x的取值范围.解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x 的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.【答案】 y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则( )A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1<x<3时,求y的取值范围.6.已知y=kx(k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)求a与b的值.解:(1)将A(2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x;(2)将B(4,b)代入反比例解析式得:b=-4;将C(a,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,-2).(1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx (k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5, 25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质?2.一次函数有哪些性质?3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P (-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k 1x,y=2k x,其中,k 1,k 2是常数,且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P (-3,4),则P (-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k 1×(-3),4=23k -解得,k 1=43- k 2=-12所以,正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x .函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S 1= ;过点Q分别作x 轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S1与S2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO的面积是3,则k的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=12|k|.解:根据题意可知:S△AOB=12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k>0,则k=6.【答案】 C2.反比例函数y=6x与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( )A. 12B.2C.3D.1分析:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y 轴,点C为垂足,再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积,进而可得出结论.解:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,∵由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,S△AOE=3,S△BOC=1,∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C,求k、b的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10.4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值.(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A ′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2. 1=2k 2-1,k 2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y =x -1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:-1≤x≤1.(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y1>y2.或解:当x1=m时,y1=-2m+1;当x2=m+1时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1所以y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2.6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S 增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=FS得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D。

湘教版九年级数学上册第1章反比例函数1.2反比例函数图象与性质教学设计

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湘教版九年级数学上册第1章反比例函数1.2反比例函数图象与性质教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第1章反比例函数1.2节主要介绍了反比例函数的图象与性质。

本节内容是在学习了比例函数和一次函数的基础上进行的,是学生进一步认识函数图像和性质的重要环节。

本节内容通过实例引入反比例函数的概念,然后引导学生通过观察、分析、归纳反比例函数的图象与性质,培养学生数形结合的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了比例函数和一次函数,对函数的概念和图像有了一定的认识。

但是,反比例函数作为一种新的函数类型,其图像和性质与比例函数和一次函数有很大的不同,学生可能存在一定的困难。

因此,在教学过程中,需要关注学生的认知基础,通过引导、启发、探究等方式,帮助学生理解和掌握反比例函数的图象与性质。

三. 教学目标1.知识与技能:理解反比例函数的概念,掌握反比例函数的图象与性质,能够运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法:通过观察、分析、归纳反比例函数的图象与性质,培养学生数形结合的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣,激发学生学习数学的积极性,培养学生合作学习的精神。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念及其图象的特点。

2.反比例函数的性质及其应用。

五. 教学方法1.引导法:通过问题引导,激发学生的思考,帮助学生理解和掌握反比例函数的图象与性质。

2.实例分析法:通过具体的实例,让学生观察和分析反比例函数的图象与性质,增强学生对知识的理解和应用能力。

3.小组合作学习法:引导学生分组讨论,培养学生的合作精神和团队意识。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片,用于引导学生观察和分析反比例函数的图象与性质。

2.准备反比例函数的图象和性质的PPT,用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,引导学生思考反比例函数的概念,激发学生的学习兴趣。

湘教版九年级上册数学教案课程(全册)

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第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v 是所用时间t 的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点? 【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y 之间可以表示成y=kx(k 为常数且k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数.其中x 是自变量,常数k 称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t ,其中自变量t 可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间,且时间不能为负数,所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm 2,它的一边是acm ,这边上的高是hcm ,则a 与h 的函数关系;(2)压强p 一定时,压力F 与受力面积S 的关系;(3)功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式. 分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数,k ≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h ,是反比例函数; (2)F =pS ,是正比例函数; (3)F=W/s ,是反比例函数; (4)y=m/x ,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y=224m x-是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x.4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y 与x 间的函数关系式.分析:y1与x 成正比例,则y1=k1x ,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y =y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式.解:因为y 1与x 成正比例,所以y 1=k 1x ;因为y 2与x 2成反比例,所以y 2=22k x ,而y =y 1+y 2,所以y=k 1x+22k x,当x =2与x =3时,y 的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y 轴右边的各点,当横坐标x 逐渐增大时,纵坐标y 如何变化?y 轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题: (1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的? 【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都不相交,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-6x 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象; (2)可以通过探索函数y=6x 与y=-6x 之间的关系,画出y=-6x的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y=2x k+1的图象是双曲线,那么k=.【答案】-23.如果反比例函数y=3kx-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是.【答案】1,24.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ).解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数.(1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随x 的增大如何变化? (3)当-3≤x ≤-12时,求此函数的最大值和最小值.8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题: (1)当x =4时,求y 的值; (2)当y =-2时,求x 的值; (3)当y >2时,求x 的范围. 解:列表:由图知: (1)y =3; (2)x =-6; (3)0<x <69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答: (1)当x =2时,y 的值;(2)当1<x ≤4时,y 的取值范围; (3)当1≤y <4时,x 的取值范围. 解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x 的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B 都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.【答案】y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b 1<b 2B.b 1=b 2C.b 1>b 2D.大小不确定 【答案】 D 4.函数y=-1x的图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),若0<x 1<x 2,则( ) A.y 1<y 2 B.y 1>y 2 C.y 1=y 2 D.y 1、y 2的大小不确定 【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k ≠0)的图象上, (1)当x=-3时,求y 的值;(2)当1<x <3时,求y 的取值范围.6.已知y=kx(k ≠0,k 为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a ,2). (1)求反比例函数的表达式; (2)求a 与b 的值. 解:(1)将A (2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x; (2)将B (4,b )代入反比例解析式得:b=-4;将C (a ,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx (k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5, 25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A 关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时 反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题. 【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知 1.正比例函数有哪些性质? 2.一次函数有哪些性质? 3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P (-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k 1x,y=2k x,其中,k 1,k 2是常数,且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P (-3,4),则P (-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k 1×(-3),4=23k -解得,k 1=43k 2=-12所以,正比例函数解析式为y=43 x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S 1= ;过点Q分别作x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S 1与S 2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=kx(k ≠0)中比例系数k 的几何意义:过双曲线y=kx(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k 的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A 是反比例函数y=kx 的图象上的一点,AB 丄x 轴于点B ,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值,即S =12|k|.解:根据题意可知:S △AOB =12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1分析:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积,进而可得出结论.解:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,∵由反比例函数系数k 的几何意义可知,S 四边形OEAC =6,S △AOE =3, S △BOC =1,∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y =x +b 经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C ,求k 、b 的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10.4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值.(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A ′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2. 1=2k 2-1,k 2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y =x -1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(-2,-1).把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A 在反比例函数图象上.把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得,y =-2-1=-3,所以点A ′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由(1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y 的值在-1≤y ≤3范围内时,相应的x 的值为:-1≤x ≤1.(4)从图象可知,y 随x 的增大而减小,又m +1>m ,所以y 1>y 2. 或解:当x 1=m 时,y 1=-2m +1;当x 2=m +1时,y 2=-2×(m +1)+1=-2m -1所以y 1-y 2=(-2m +1)-(-2m -1)=2>0,即y 1>y2.6.如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围.分析:(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式. (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S 增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=FS得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是(不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D。

湘教版九年级上册数学教案课程全册

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第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t ,其中自变量t 可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间,且时间不能为负数,所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm 2,它的一边是acm ,这边上的高是hcm ,则a 与h 的函数关系;(2)压强p 一定时,压力F 与受力面积S 的关系;(3)功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数,k ≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h ,是反比例函数; (2)F =pS ,是正比例函数; (3)F=W/s ,是反比例函数; (4)y=m/x ,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y=224m x-是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x.4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y与x间的函数关系式.分析:y1与x成正比例,则y1=k1x,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y=y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式.解:因为y1与x成正比例,所以y1=k1x;因为y2与x2成反比例,所以y2=22kx,而y=y1+y 2,所以y=k1x+22kx,当x=2与x=3时,y的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;(2)可以通过探索函数y=6x与y=-6x之间的关系,画出y=-6x的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解 1.教材P9例1.2.如果函数y =2x k +1的图象是双曲线,那么k = . 【答案】 -23.如果反比例函数y=3k x-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k 的值是 .【答案】 1,24.已知直线y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】 二、四 5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ). 解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( ) 【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数. (1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随x 的增大如何变化?(3)当-3≤x ≤-12时,求此函数的最大值和最小值. 8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题:(1)当x =4时,求y 的值; (2)当y =-2时,求x 的值; (3)当y >2时,求x 的范围. 解:列表: 由图知:(1)y=3;(2)x=-6;(3)0<x<69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答:(1)当x=2时,y的值;(2)当1<x≤4时,y的取值范围;(3)当1≤y<4时,x的取值范围.解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x 的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.【答案】 y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0 D.y2<y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则( )A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1<x<3时,求y的取值范围.6.已知y=kx(k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)求a 与b 的值. 解:(1)将A (2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x; (2)将B (4,b )代入反比例解析式得:b=-4;将C (a ,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8. 7.已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx (k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5, 25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A 关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质?2.一次函数有哪些性质?3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= 2kx,其中,k1,k2是常数,且均不为0.由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=23k-解得,k1=43-k 2=-12所以,正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1= ;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S1与S2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值,即S =12|k|. 解:根据题意可知:S △AOB =12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1 分析:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积,进而可得出结论.解:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,∵由反比例函数系数k 的几何意义可知,S 四边形OEAC =6,S △AOE =3, S △BOC =1,∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y =x +b 经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C ,求k 、b 的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10.4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2.1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y=x-1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:-1≤x≤1.(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y1>y2.或解:当x1=m时,y1=-2m+1;当x2=m+1时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1所以y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2.6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S 增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=FS得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y 与x的函数图象是( )【答案】A8.一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是x(cm).(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式,以及自变量x的取值范围;(2)画出(1)中函数的图象;(3)当高是3cm时,求长.解:(1)y=20x(x>0);(2)图象略;(3)长为203cm.【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用,加深对函数的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、4题.。

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第一章 反比例函数探究内容:1.1 建立反比例函数模型(1)目标设计:1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律,抽象出反比例函数的概念;2、理解反比例函数的概念和意义;3、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点:对反比例函数概念的理解 探究准备:投影片等。

探究过程: 一、旧知回顾: 1、函数的概念:一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。

2、一次函数的概念: 一般地,如果y kx b =+(k 、b 是常数,0k ≠)那么y 叫做x 的一次函数。

如:31y x =-,… 当0b =时,有y kx =(k 为常数,0k ≠)则y 叫做x 的正比例函数。

如:12y x =-,4y x =,…二、新知探究:类似地,有反比例函数: 1、概念:一般地,如果两个变量y 与x 的关系可以表示成ky x=(k 为常数,0k ≠)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。

2、强调:①自变量在分母中,指数为1,且0x ≠;②也可以写成1y kx -=的形式,此时自变量x 的指数1-; ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数;④由于0k ≠,0x ≠,因此函数值y 也不等于0。

例题讲评:1、下列函数中,x 均表示自变量,那么哪些是反比例函数,并指出每一个反比例函数中相应的k 值。

⑴5y x =⑵20.4y x=- ⑶2x y =- ⑷2xy =分析: ⑴5y x=是反比例函数,5k =; ⑵20.4y x =-不是反比例函数; ⑶2xy =-是正比例函数;⑷2xy =,即2y x=,是反比例函数,2k =。

2、若函数()272mm y m x +-=-是反比例函数,求出m 的值并写出解析式。

分析:由题有:20m -≠且271m m ++=-,解得3m =- ∴解析式为15y x -=-,即5y x=-3、已知反比例函数的图象经过点(-1,2),求其解析式。

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第一章 反比例函数本章需 课时 总第 1--2 课时课题 1·1反比例函数(一)教学目标: 一、知识与技能1.从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系,加深对函数、函数概念的理解。

2经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。

二、过程与方法1、经历对两个变量之间相依关系的讨论,培养学生的辨别唯物主义观点。

2、经历抽象反比例函数概念的过程,发展学生的抽象思维能力,提高数学化意识。

三、情感态度与价值观1.经历抽象反比例函数概念的过程,体会数学学习的重要性,提高学生的学习数学的兴趣。

2、通过分组讨论,培养学生合作交流意识和探索精神。

重、难点分析:1.教学重点:理解和领会反比例函数的概念。

2.教学难点:领悟反比例的概念。

3. 难点的突破方法:(1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解(2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式xky =,等号左边是函数y ,等号右边是一个分式,自变量x 在分母上,且x 的指数是1,分子是不为0的常数k ;看自变量x 的取值范围,由于x 在分母上,故取x ≠0的一切实数;看函数y 的取值范围,因为k ≠0,且x ≠0,所以函数值y 也不可能为0。

讲解时可对照正比例函数y =kx (k ≠0),比较二者解析式的相同点和不同点。

(3)xky =(k ≠0)还可以写成1-=kx y (k ≠0)或xy =k (k ≠0)的形式(三)教学方法:启发式教学法;小组合作学习 (四)教学手段:多媒体教学 (五)教学过程:一、创设情境,导入新课 活动1 动动脑筋:(1)一群选手在进行全程为3000m 的赛马比赛时,各选手的平均速度v (m/s )与所用时间之间有怎么样的关系?并写出他们之间的关系式;(2)利用(1)的关系式完成下表: 所用时间t/s 121 137 139 143 149 平均速度v/(m/s)随着时间t 的变化v 发生了这样的变化? (3)平均速度v 是所用时间t 的函数关系么?为什么?我们已经知道,路程、速度与时间之间的关系式:s=vt ,因此,v=3000/t.式中当路程s 一定时,每当t 取一个值时,v 都有唯一的一个值与它对应,因此平均速度v 是所用时间t 的函数。

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第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t 可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.三、运用新知,深化理解1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;(2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系;(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k是常数,k≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h,是反比例函数;(2)F=pS,是正比例函数;(3)F=W/s,是反比例函数;(4)y=m/x,是反比例函数.3.当m 为何值时,函数y=224m x -是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x. 4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y 与x 间的函数关系式.分析:y1与x 成正比例,则y1=k1x ,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y =y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式.解:因为y 1与x 成正比例,所以y 1=k 1x ;因为y 2与x 2成反比例,所以y 2=22k x,而y =y 1+y 2,所以y=k 1x+22k x ,当x =2与x =3时,y 的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y 轴右边的各点,当横坐标x 逐渐增大时,纵坐标y 如何变化?y 轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题: (1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的? 【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都不相交,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动: (1)可以用画反比例函数y=-6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象; (2)可以通过探索函数y=6x 与y=-6x 之间的关系,画出y=-6x的图象. 【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x 轴、y 轴都不相交,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x 与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y=2x k+1的图象是双曲线,那么k=.【答案】 -23.如果反比例函数y=3kx-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是.【答案】 1,24.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ).解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数. (1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随x 的增大如何变化? (3)当-3≤x ≤-12时,求此函数的最大值和最小值.8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题: (1)当x =4时,求y 的值; (2)当y =-2时,求x 的值; (3)当y >2时,求x 的范围. 解:列表:由图知: (1)y =3; (2)x =-6; (3)0<x <69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答: (1)当x =2时,y 的值;(2)当1<x ≤4时,y 的取值范围; (3)当1≤y <4时,x 的取值范围. 解:列表:由图知: (1)y =-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y 1),B(-2,y 2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A 、B 都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y 1>y 2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法. 三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y 1),B(5,y 2)在双曲线y=-3x上,则y 1、y 2中较小的是 . 【答案】 y 22.已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是反比例函数y=kx(k >0)的图象上的两点,若x 1<0<x 2,则有( ).A.y 1<0<y 2B.y 2<0<y 1C.y 1<y 2<0D.y 2<y 1<0 【答案】 A3.若A(a 1,b 1),B(a 2,b 2)是反比例函数图象上的两个点,且a 1<a 2,则b 1与b 2的大小关系是( )A.b 1<b 2B.b 1=b 2C.b 1>b 2D.大小不确定 【答案】 D 4.函数y=-1x的图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),若0<x 1<x 2,则( ) A.y 1<y 2 B.y 1>y 2 C.y 1=y 2 D.y 1、y 2的大小不确定 【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k ≠0)的图象上, (1)当x=-3时,求y 的值;(2)当1<x <3时,求y 的取值范围.6.已知y=kx(k ≠0,k 为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a ,2). (1)求反比例函数的表达式; (2)求a 与b 的值. 解:(1)将A (2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x; (2)将B (4,b )代入反比例解析式得:b=-4;将C (a ,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上? 分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx(k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k ,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5,25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A 关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上; 【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质?2.一次函数有哪些性质?3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= 2kx,其中,k1,k2是常数,且均不为0.由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=23k-解得,k1=43- k2=-12所以,正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1= ;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S1与S2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A 是反比例函数y=kx 的图象上的一点,AB 丄x 轴于点B ,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值,即S =12|k|. 解:根据题意可知:S △AOB =12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )A. 12B.2C.3D.1分析:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积,进而可得出结论.解:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,∵由反比例函数系数k 的几何意义可知,S 四边形OEAC =6,S △AOE =3,S △BOC =1,∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y =x +b 经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C ,求k 、b 的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10. 4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:(1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值.(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A ′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2. 1=2k 2-1,k 2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y =x -1. (2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(-2,-1).把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A 在反比例函数图象上.把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y 的值在-1≤y ≤3范围内时,相应的x 的值为:-1≤x ≤1.(4)从图象可知,y 随x 的增大而减小,又m +1>m ,所以y 1>y 2.或解:当x 1=m 时,y 1=-2m +1;当x 2=m +1时,y 2=-2×(m +1)+1=-2m -1所以y 1-y 2=(-2m +1)-(-2m -1)=2>0,即y 1>y2.6.如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点. (1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围.分析:(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式. (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=FS得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y 与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y与x的函数图象是( )【答案】A8.一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是x(cm).(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式,以及自变量x的取值范围;。

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第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t ,其中自变量t 可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间,且时间不能为负数,所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm 2,它的一边是acm ,这边上的高是hcm ,则a 与h 的函数关系;(2)压强p 一定时,压力F 与受力面积S 的关系;(3)功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数,k ≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h ,是反比例函数; (2)F =pS ,是正比例函数; (3)F=W/s ,是反比例函数; (4)y=m/x ,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y=224m x-是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x.4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y与x间的函数关系式.分析:y1与x成正比例,则y1=k1x,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y=y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式.解:因为y1与x成正比例,所以y1=k1x;因为y2与x2成反比例,所以y2=22kx,而y=y1+y 2,所以y=k1x+22kx,当x=2与x=3时,y的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;(2)可以通过探索函数y=6x与y=-6x之间的关系,画出y=-6x的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解 1.教材P9例1.2.如果函数y =2x k +1的图象是双曲线,那么k = . 【答案】 -23.如果反比例函数y=3k x-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k 的值是 .【答案】 1,24.已知直线y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】 二、四 5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ). 解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( ) 【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数. (1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随x 的增大如何变化?(3)当-3≤x ≤-12时,求此函数的最大值和最小值. 8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题:(1)当x =4时,求y 的值; (2)当y =-2时,求x 的值; (3)当y >2时,求x 的范围. 解:列表: 由图知:(1)y=3;(2)x=-6;(3)0<x<69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答:(1)当x=2时,y的值;(2)当1<x≤4时,y的取值范围;(3)当1≤y<4时,x的取值范围.解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x 的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.【答案】 y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0 D.y2<y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则( )A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1<x<3时,求y的取值范围.6.已知y=kx(k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)求a 与b 的值. 解:(1)将A (2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x; (2)将B (4,b )代入反比例解析式得:b=-4;将C (a ,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8. 7.已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx (k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5, 25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A 关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质?2.一次函数有哪些性质?3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= 2kx,其中,k1,k2是常数,且均不为0.由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=23k-解得,k1=43-k 2=-12所以,正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1= ;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S1与S2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值,即S =12|k|. 解:根据题意可知:S △AOB =12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1 分析:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积,进而可得出结论.解:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,∵由反比例函数系数k 的几何意义可知,S 四边形OEAC =6,S △AOE =3, S △BOC =1,∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y =x +b 经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C ,求k 、b 的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10.4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2.1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y=x-1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:-1≤x≤1.(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y1>y2.或解:当x1=m时,y1=-2m+1;当x2=m+1时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1所以y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2.6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S 增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=FS得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y 与x的函数图象是( )【答案】A8.一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是x(cm).(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式,以及自变量x的取值范围;(2)画出(1)中函数的图象;(3)当高是3cm时,求长.解:(1)y=20x(x>0);(2)图象略;(3)长为203cm.【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用,加深对函数的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、4题.。

湘教版九年级上册数学教案课程全册

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第1章反比例函数反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化(4)平均速度v是所用时间t的函数吗为什么(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同这种函数有什么特点【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t ,其中自变量t 可以取哪些值呢分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间,且时间不能为负数,所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数(1)已知平行四边形的面积是12cm 2,它的一边是acm ,这边上的高是hcm ,则a 与h 的函数关系;(2)压强p 一定时,压力F 与受力面积S 的关系;(3)功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数,k ≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h ,是反比例函数; (2)F =pS ,是正比例函数; (3)F=W/s ,是反比例函数; (4)y=m/x ,是反比例函数. 3.当m 为何值时,函数y=224m x-是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m 的值.解:由反比例函数的定义可知:2m -2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=4x.4.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时,ρ=1.98kg /m 3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (2)求V=9m 3时,二氧化碳的密度. 解:略5.已知y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 2成反比例,且x =2与x =3时,y 的值都等于19.求y与x间的函数关系式.分析:y1与x成正比例,则y1=k1x,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y=y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式.解:因为y1与x成正比例,所以y1=k1x;因为y2与x2成反比例,所以y2=22kx,而y=y1+y 2,所以y=k1x+22kx,当x=2与x=3时,y的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗一次函数的图象怎样画呢一次函数有什么性质呢反比例函数的图象又会是什么样子呢【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化y轴左边的各点是否也有相同的规律(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗为什么探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.探究3:反比例函数y=-6x的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;(2)可以通过探索函数y=6x与y=-6x之间的关系,画出y=-6x的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-6x与y=6x的图象有什么共同特征【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解 1.教材P9例1.2.如果函数y =2x k +1的图象是双曲线,那么k = . 【答案】 -23.如果反比例函数y=3k x-的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k 的值是 .【答案】 1,24.已知直线y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限,则函数y=kbx的图象在第象限.【答案】 二、四 5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( ). 解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( ) 【答案】 C7.已知函数23()2m y m x --为反比例函数. (1)求m 的值;(2)它的图象在第几象限内在各象限内,y 随x 的增大如何变化(3)当-3≤x ≤-12时,求此函数的最大值和最小值. 8.作出反比例函数y=12x的图象,并根据图象解答下列问题:(1)当x =4时,求y 的值; (2)当y =-2时,求x 的值; (3)当y >2时,求x 的范围. 解:列表: 由图知:(1)y=3;(2)x=-6;(3)0<x<69.作出反比例函数y=-4x的图象,结合图象回答:(1)当x=2时,y的值;(2)当1<x≤4时,y的取值范围;(3)当1≤y<4时,x的取值范围.解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=kx的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-3x上,则y1、y2中较小的是.【答案】 y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=kx(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).<0<y2<0<y1<y2<0 <y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )<b2 =b2>b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则( )<y2>y2=y2、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1<x<3时,求y的取值范围.6.已知y=kx(k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)求a 与b 的值. 解:(1)将A (2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-16x; (2)将B (4,b )代入反比例解析式得:b=-4;将C (a ,2)代入反比例解析式得:2=-16a,即a=-8. 7.已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A 在反比例函数的图象上,易求出m 的值,再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y=kx (k ≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x =1时,y =-2.所以-2=1k,k =-2.即反比例函数的解析式为:y=-2x.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-2x图象上,所以m=25-- =25 ,点A 的坐标为(-5, 25).点A 关于x 轴的对称点(-5,-25)不在这个图象上;点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上;点A 关于原点的对称点(5,-25)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质2.一次函数有哪些性质3.反比例函数有哪些性质【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= 2kx,其中,k1,k2是常数,且均不为0.由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=23k-解得,k1=43-k 2=-12所以,正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1= ;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S1与S2有什么关系为什么【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值,即S =12|k|. 解:根据题意可知:S △AOB =12|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k >0,则k =6.【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点,连接OA 、OB ,则△AOB 的面积为( )A.12分析:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积,进而可得出结论.解:分别过A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为D 、E ,过B 作BC ⊥y 轴,点C 为垂足,∵由反比例函数系数k 的几何意义可知,S 四边形OEAC =6,S △AOE =3, S △BOC =1,∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y =x +b 经过点A(3,0),并与双曲线y=kx的交点为B(-2,m)和C ,求k 、b 的值.解:点A(3,0)在直线y =x +b 上,所以0=3+b ,b =-3.一次函数的解析式为:y =x -3.又因为点B(-2,m)也在直线y =x -3上,所以m =-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=kx上,所以k =-2×(-5)=10.4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y =k 2x -1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上,把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2.1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:y=2x;一次函数解析式为:y=x-1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=22=-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-3x的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:-1≤x≤1.(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y1>y2.或解:当x1=m时,y1=-2m+1;当x2=m+1时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1所以y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2.6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数2.反比例函数的图象是什么3.反比例函数图象有哪些性质4.反比例函数的图象对称性如何【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S 增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=FS,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=时,由p=FS得:p=450/=90000(Pa)类似的,当S=时,p=45000Pa;当S=时,p=22500Pa;当S=时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【答案】y=12x;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的13,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围).【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).=3000x =6000x =3000x=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y 与x的函数图象是( )【答案】A8.一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是x(cm).(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式,以及自变量x的取值范围;(2)画出(1)中函数的图象;(3)当高是3cm时,求长.解:(1)y=20x(x>0);(2)图象略;(3)长为203cm.【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用,加深对函数的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题”中第1、2、4题.教学反思。

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教学内容:1.1 反比例函数教学目标:1.理解反比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否是函数关系,进而识别其中的反比例函数.2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系,体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型;进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.教学重点:反比例函数的概念教学难点:反比例函数的概念,学生理解时有一定的难度。

教学过程:一、创设情景探究问题情境1:当路程一定时,速度与时间成什么关系?(vt=s)当一个长方形面积一定时,长与宽成什么关系?[说明]这个情境是学生熟悉的例子,当中的关系式学生都列得出来,鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流,最终让学生讨论出:当两个量的积是一个定值时,这两个量成反比例关系,如xy=m(m为一个定值),则x与y成反比例。

(小学知识)这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。

情境2:汽车从南京出发开往上海(全程约300km),全程所用时间t(h)随速度v(km/h)的变化而变化.问题:(1)你能用含有v的代数式表示t吗?(2)利用(1)的关系式完成下表:随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化?v(km/h) 60 80 90 100 120t(h)(3)速度v是时间t的函数吗?为什么?[说明](1)引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系,得出关系式s=vt,指导学生用这个关系式的变式来完成问题(1).(2)引导学生观察、讨论,并运用(1)中的关系式填表,并观察变化的趋势,引导学生用语言描述.3)结合函数的概念,特别强调唯一性,引导讨论问题(3).情境3:用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系:(1)一个面积为6400m2的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化;(2)某银行为资助某社会福利厂,提供了20万元的无息贷款,该厂的平均年还款额y (万元)随还款年限x(年)的变化而变化;(3)游泳池的容积为5000m3,向池内注水,注满水所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化;(4)实数m 与n 的积为-200,m 随n 的变化而变化. 问题:(1)这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同? (2)它们有一些什么特征?(3)你能归纳出反比例函数的概念吗?一般地,如果两个变量y 与x 的关系可以表示成y =kx(k 为常数,k ≠0) 的形式,那么称y 是x 的反比例函数,其中x 是自变量,y 是因变量,y 是x 的函数,k是比例系数. (有的书上写成y =kx -1的形式.)反比例函数的自变量x 的取值范围是所有非零实数(不等于0的一切实数)(为什么?),但在实际问题中,还要根据具体情况来进一步确定该反比例函数的自变量的取值范围。

[说明]这个情境先引导学生审题列出函数关系式,使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比,找出不同点,进而发现特征为:(1)自变量x 位于分母,且其次数是1.(2)常量k ≠0.(3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数.(4)函数值y 的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念,紧抓概念中的关键词,使学生对知识认知有系统性、完整性,并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y =kx -1(k 为常数,k ≠0)的形式,并结合旧知验证其正确性.二、例题教学例1:下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗?如果是,比例系数k 是多少? (1)y =x 15 ;(2)y =2x -1;(3)y =- 3x ;(4)y =1x -3;(5)y = 2+1x ;(6)y =x3 +2; [说明]这个例题作了一些变动,引导学生充分讨论,把函数关系式如何化成y =k x 或y =kx +b 的形式了解函数关系式的变形,知道函数关系式中比例系数的值连同前面的符号,会与一次函数的关系式进行比较,若对反比例函数的定义理解不深刻,常会认为(2)与(4)也是反比例函数,而(2)式等号右边的分母是x -1,不是x ,(2)式y 与x -1成反比例,它不是y 与x 的反比例函数. 对于(4),等号右边不能化成 k x 的形式,它只能转化为1-3x x的形式,此时分子已不是常数,所以(4)不是反比例函数。

例2:在函数y =2x -1,y =2x+1 ,y =x -1,y =12x 中,y 是x 的反比例函数的有 个.[说明]这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手,着重从形式上进行比较,识别一些反比例函数的变式,如y =kx-1的形式. 还有y =2x -1通分为y =2-x x,y 、x 都是变量,分子不是常量,故不是反比例函数,但变为y +1=2x可说成(y +1)与x 成反比例.例3:若y 与x 成反比例,且x =-3时,y =7,则y 与x 的函数关系式为 . [说明]这个例题引导学生观察、讨论,并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法,初步感知用“待定系数法”来求比例系数,并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法,即只需已知一组对应值即可求比例系数.三、拓展练习1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式,并判断其是否为反比例函数. 如果是,指出比例系数k 的值.(1)底边为5cm 的三角形的面积y (cm 2)随底边上的高x (cm )的变化而变化;(2)某村有耕地面积200ha ,人均占有耕地面积y (ha )随人口数量x (人)的变化而变化;2、下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数?如果是,比例系数是多少?(1)y =23 x ; (2)y =23x ; (3)xy +2=0;(4)xy =0; (5)x =23y .3、已知函数y =(m +1)x22 m 是反比例函数,则m 的值为 .四、课堂小结这节课你学到了什么?还有那些困惑? 五、布置作业:教材第4页第1、2、3题教学后记:[说明]引导学生分析、讨论,列出函数关系式,并检验是否是反比例函数,指出比例系数.第3题要引导学生从反比例函数的变式y =kx -1入手,注意隐含条件k ≠0,求出m 值.教学内容:1.1反比例函数(2)教学目标:1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义,理解反比例系数的具体的意义.3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.教学重点: 用待定系数法求反比例函数的解析式. 教学难点:运用反比例函数解决实际问题.教学过程:一、复习导入1、反比例函数的定义:判断下列说法是否正确(对”√”,错”×”)2、思考:如何确定反比例函数的解析式?(1)已知y 是x 的反比例函数,比例系数是3,则函数解析式是_______(2)当m 为何值时,函数 是反比例函数,并求出其函数解析式.二、新课展开1. 例2:已知变量y 与x 成反比例,且当x=2时y=9,写出y 与x 之间的函数解析式和自变量的取值范围。

小结:要确定一个反比例函数xky =的解析式,只需求出比例系数k 。

如果已知一对自变量与函数的对应值,就可以先求出比例系数,然后写出所要求的反比例函数。

2.练习:已知y 是关于x 的反比例函数,当x=43-时,y=2,求这个函数的解析式和自变量的取值范围。

3.说一说它们的求法:(1)已知变量y 与x-5成反比例,且当x=2时 y=9,写出y 与x 之间的函数解析式. (2)已知变量y-1与x 成反比例,且当x=2时 y=9,写出y 与x 之间的函数解析式.4. 例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω),通过电流的强度为I(A)。

(1)已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω,通过的电流为0.40A ,求I 关于R 的函数解析式,并说明比例系数的实际意义。

(2)如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω,那么与原来的相比,汽车前灯的亮度将发生什么变化?.)/()(,1200)6(.)5(.)4(.)3(.)2(.)()(,20)1(22的反比例函数是每日铺轨量则铺轨天数计划修建铁路例定时,商和除数成反比当被除数(不为零)一的反比例函数是为常量时,,当其体积,高为方形的边长为一个正四棱柱的底面正的反比例函数是为常量时,,当,周长为,宽为矩形的长为成正比例与中,圆的面积公式的反比例函数是变量,变量和相邻的两条边长分别为一矩形的面积为d km x d y km x y V y x b a C C b a r s r s x y cm y cm x cm π=224-=m x y在第3页练习的讲解中可作如下启发: (1)电流、电阻、电压之间有何关系?(2)在电压U 保持不变的前提下,电流强度I 与电阻R 成哪种函数关系? (3)前灯的亮度取决于哪个变量的大小?如何决定? 先让学生尝试练习,后师生一起点评。

三、巩固练习:1.当质量一定时,二氧化碳的体积V 与密度p 成反比例。

且V=5m3时,p=1.98kg /m3 (1)求p 与V 的函数关系式,并指出自变量的取值范围。

(2)求V=9m3时,二氧化碳的密度。

四、拓展提升:1.已知y 与z 成正比例,z 与x 成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求: (1)y 关于x 的函数解析式; (2)当z=-1时,x,y 的值.2.五、交流反思求反比例函数的解析式一般有两种情形:一种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函数关系;另一种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出。

六、布置作业:P4 B 组教学后记:之间的函数关系。

与,求值都等于的时,与成反比例,并且与成正例,与,已知x y y x x x y x y y y y 10322121==+=教学内容:1.2反比例函数的图像和性质(1)[教学目标]1、体会并了解反比例函数的图象的意义2、能列表、描点、连线法画出反比例函数的图象3、通过反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质 [教学重点和难点]本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质由于反比例函数的图象分两支,给画图带来了复杂性是本节教学的难点 [教学过程] 1、情境创设可以从复习一次函数的图象开始:你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中,进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。

转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究:反比例函数的图象又会是什么样子呢? 2、探索活动探索活动1 反比例函数xy 2=的图象. 由于反比例函数xy 2=的图象是曲线型的,且分成两支.对此,学生第一次接触有一定的难度,因此需要分几个层次来探求:(1)可以先估计——例如:位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等);(2)方法与步骤——利用描点作图;列表:取自变量x 的哪些值? ——x 是不为零的任何实数,所以不能取x 的值的为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值。

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