3高等数学背景下的高考数学命题
一道高考数学试题的高等数学背景研究
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
新高考背景下高中数学教学应对策略和方法
新高考背景下高中数学教学应对策略和方法一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是新高考背景下高中数学的教学应对策略和方法。
随着新高考改革的深入，高中数学教学面临着更高的要求和挑战。
教学任务旨在帮助学生扎实掌握数学基础知识，提高解决问题的能力，培养逻辑思维和创新意识，以适应高考数学考试的变化。
通过运用多样化的教学策略和方法，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
2、教学对象教学对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
在这个阶段，学生们的数学水平参差不齐，需要因材施教，关注个体差异。
此外，新高考背景下，学生面临更大的竞争压力，因此，教学过程中要注重培养学生的自主学习能力和心理素质，帮助他们以积极的态度应对高考挑战。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握高中数学核心知识，包括函数、几何、代数、概率与统计等模块，形成完整的知识体系。
（2）提高运算速度和准确性，熟练运用数学公式和定理解决实际问题。
（3）培养逻辑思维能力，能够对数学问题进行深入分析，找到解题的关键步骤。
（4）提升空间想象力和抽象思维能力，为学习高等数学打下坚实基础。
2、过程与方法（1）运用启发式教学，引导学生主动发现问题，培养独立思考的能力。
（2）采用任务驱动法，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。
（3）结合实际案例，让学生在实践中掌握数学方法，提高解决问题的能力。
（4）开展小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，使他们在学习过程中保持积极的心态。
（2）树立正确的数学观念，认识到数学在日常生活和未来发展中的重要性。
（3）培养勇于挑战、克服困难的意志品质，增强学生的心理素质。
（4）引导学生树立科学的世界观，培养严谨、踏实的学术态度。
（5）通过数学学习，让学生体会团队合作的力量，学会尊重和欣赏他人。
在教学过程中，要关注学生的全面发展，将知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观三者有机结合，提高学生的综合素质。
以高等数学为背景的题型与高考走势
② Ｇ＝｛ 偶数 ｝０ 为整 数的乘法 ； ， ③ Ｇ 平 面向量 ｝ｏ 为平 面向量的加法 ； ＝｛ ， ④ Ｇ 二次 三项 式 ｝０ 为多项 式的加法 ； ＝｛ ， ⑤ Ｇ＝｛ 虚数 ｝０ 为复数的乘法． ，
其中 Ｇ关 于 运算 ① 为“ 洽集 ” 是— 融 的 “ 融洽集” 的序号 ） ． （ ０ ６年四川省数 学高考理科试题 ） ２０ — （ 出所 有 写
例 １ 非空集合 Ｇ关 于运算① 满足 ： １ 对 任意 口 ６ （） ，∈ Ｇ 都有 口 ∈Ｇ （ ） ， ①６ ；２ 存在 ｅ ∈Ｇ， 使得对一切 口 ， ∈Ｇ 都有口 ① ｅｅ ＝ ￣ａ＝ ， ｏ 则称 Ｇ关 于运算① 为“ 融洽集 ” 现给出下列 集 ． 合和运算 ：
① Ｇ＝｛ 负整数 ｝① 为整数 的加法 ； 非 ，
口一１ ４ 口一２ ， ｍ＝口一１ ＜ （ ）得 ．
综上所述 ， 所求函数的最小值 １ ， 一口 ０ ，
ｍ ＝
所以问题 可转化为 ｍ ＋￡ ｍ＋１ ≥３对任意 ｔ ∈［一１ １ 恒成 ，］ 立． （） ｔ ， ∈［一１ １ ， 记ｈ ｔ ＝ｍ ＋ｍ 一２ ｔ ， ］ 可知 函数 （） 图 ｔ的
） 似 ， ＝ 一 得
式（） ３ 成立 的充要条件是
ｆ （一１ 口一１ ； ， ｐ ）＝ ≤０
） ａ ＝（ 一． ＝ｘ ３ ２ ｘ ） 。
若口 ， ≥３ 在区间（ ， ） （ １２ 内， ）＞０ 从 而 ｆ ） 区间 ， （ 为 ［ ，］ １２ 上的增 函数 ， 由此得 ｍ＝ １ 口一 ． ）＝ １
｛ ２ ，＋－ － ｍ２ ≥ ｍ ２＞ ＋一。 ｔ
。
。；
解 得
ｍ≤ 一 ２或 ｍ≥２ ．
以 高 等 数 学 为 背 景 的 题 型 与 高 考 走 势
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
．
．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
高等数学轻松解决高考压轴题,助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈!!!复习
高等数学轻松解决高考压轴题,助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈!!!高等数学轻松解决高考压轴题，助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈！！！内容概要以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益！想要突破140瓶颈的千万别错过！！！1—2：核心总结本文的核心就是1—2，建议大家把以上公式记录到自己的笔记本上好好理解，并在自己平时的作业尝试应用。
3—9：重中之重——拉格朗日中值定理深层次剖析以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益。
但是由于篇幅有限，不能一一对其深入剖析，在此向大家致歉。
不过本文对以上定理中最最重要的，也是高考压轴题中最最常用的拉格朗日中值定理进行了深层次剖析。
拉格朗日中值定理，是对高考数学压轴题帮助最大的高等数学定理，望学有余力的同学务必将其掌握！10—15：拉格朗日中值定理在高考题里的应用或许有同学不相信拉格朗日中值定理对高考的帮助是如此之大，以下将会以高考真题为例子向你阐明。
我想很大一部分同学或许不知道该如何应用，下文将对于高考真题应用拉格朗日中值定理解题并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处。
重中之重—————拉格朗日中值定理资优生掌握了拉格朗日中值定理以后可帮助其突破140的瓶颈，一举成为数学大神！！！拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。
本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。
高考数学创新型试题的类型及特点分析——以近三年高考数学全国卷理科试题为例
2020年6月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯基金项目:重庆市教育科学“十三五”规划课题《高中数学资优生培养模式及跟踪评价研究》,课题编号:2018-00-478.作者简介:胡琳(1996-),在读研究生,主要从事高考数学研究,曾荣获国家励志奖学金,A 级证书;熊丙章(1979-),博士,中学高级教师,主要从事中学数学教育的理论及实践研究;童莉(1976-),博士,教授,从事数学教育测评、数学教师专业发展等研究,曾获全国教育硕士优秀导师称号、全国教育硕士教学成果二等奖等.高考数学创新型试题的类型及特点分析———以近三年高考数学全国卷理科试题为例胡琳重庆师范大学401331熊丙章重庆巴蜀中学400013童莉重庆师范大学401331［摘要］高考数学题的创新响应了时代的号召,在改革发展的时代大背景下,立足新课标理念,评析了近三年典型高考全国卷理科数学创新型试题的四大类型:立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型,通过列举近三年典型高考全国卷理科数学试题,对各类型试题的特点做了分类分析,整体把握了高考试题的创新点.［关键词］高考数学;创新型试题;类型及特点习近平总书记在全国两会重要讲话中提出“三个第一”的重要论断,即“发展是第一要务,人才是第一资源,创新是第一动力.”其中,创新是一个民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出“要注重发展学生的创新意识”[1],《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:数学教育承载着培养学生创新意识的任务,要促进学生实践能力和创新意识的发展[2].2017年考试大纲说明提出“高考数学命题应该加强用创新型试题来检验学生的创新意识,高考数学创新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力检验的试题[3].2009年赵思林[4]教授探究了创新型试题的类型,2018年赵思林[5]等人将高考数学创新型试题分为观察分析型、阅读理解型、合情推理型等12类,2019年刘成龙[6]等人将其分为公式证明型、问题推广型等4类,但创新型试题可从背景、类型、特点等多角度入手,因此本文着重评析了近三年典型高考全国卷理科数学创新型试题的四大类型:立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型,并从中体会到所包含的四大特点,即观念新、思维新、背景新、呈现新.，观念新”即树立德行,自古以来“立德”是需要坚守的重要品德,“立德”最早在《左传》中出现,即“大上有立德,其次有立功”.因此“数学教学应具有德育功能”,高考数学试题应该延续中华民族的优良传统,将“德”渗透到高考数学试题中,使之得以弘扬,这也是高考数学试题的创新之处.“立德树人”涵盖丰厚的文化底蕴,育人于无声无息中,以数学文化等观念立意,诠释了有内涵、有价值的观念角度,提升了试题这一文本的潜在高度.如2017年全国卷Ⅰ理科第2题的“太极图”;2018年全国卷Ⅱ理科第8题的“哥德巴赫猜想”、全国卷Ⅲ理科第3题的“榫卯问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第6题的“卦”、全国卷Ⅱ理科第4题的“登月问题”、全国卷Ⅱ理科第16题的“印信问题”.例1（2019年高考全国卷Ⅱ理科第4题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键47>2020年6月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1 R3.设α=rR,由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r的近似值为()A.B.C.D.评析:本例以嫦娥四号登月为命题背景,通过介绍我国航天事业的伟大成就,进而抛出了数学计算问题,体现了高考命题时对“德育”的引导,也凸显了立德树人的思想方针,此命题角度充分体现了观念的新颖性.味逻辑型，思维新逻辑是思维的规律,也是创新的起点,将逻辑增添趣味,从而使得思维得到活跃,促进了学习、研究的兴趣,为学生的“思维灵活度”的培养提供了催化剂,提升了学生的逻辑思维能力等.趣味逻辑型试题以独特的视角、灵活的思考,带给学生新颖的思维情境,帮助学生打开逻辑的大门,对于学生逻辑思维能力的培养十分有利.如2017年全国卷Ⅱ理科第7题的“询问成绩问题”;2018年全国卷Ⅰ理科第7题的“最短路径问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第15题的“篮球问题”.例2（2017年高考全国卷Ⅱ理科第7题）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩评析:本例以学生向老师询问考试成绩为情境,联系了师生之间的生活情境,颇具趣味性,极大地激发了学生“用脑”“用心”去思考问题情境,使得学生有逻辑的思考空间,并且学生紧张的思绪得以放松,体现了对学生的人文关怀,此题新颖、有趣,充分展现了逻辑的趣味性、思维的新颖性.等背景型，背景新高等背景型试题是指将高等数学知识、方法等作为素材来命制的试题.该类试题的创新体现在三个方面:一是命题素材创新,即拓宽了命题素材选取范围,打破了源于教材的传统;二是试题背景创新,即试题含有丰富的高等数学背景;三是解答方法创新,即可用初等方法,也可以运用高等数学知识解答.实践表明,高等背景型试题具有积极作用:凸显能力立意的命题原则;强化中学数学与高数知识间的衔接;展示新颖的数学背景;丰富试题的内涵;拓宽试题解法;考查学生创新能力和创新意识[7].该类试题为学生个性发展、超前学习、创新拓展提供了更为广阔的视角.如2017年全国卷Ⅲ理科21题的“柯西不等式”;2018年全国卷Ⅰ理科第21题的“拉格朗日中值定理”、全国卷Ⅲ理科第21题的“洛必达法则”;2019年全国卷Ⅲ第23题的“柯西不等式”.例3（2018年高考全国卷Ⅲ理科第21题）函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(Ⅰ)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0,当x>0时,f(x)>0;(Ⅱ)若x=0是f(x)的极大值点,求a.评析:本例含有洛必达法则的高等数学背景.在第(Ⅱ)中运用到了洛必达法则,对-x2(x+1)2ln(1+x)+3x2+4x的分子分母分别求导再求极限,从而求解a值.洛必达法则的使用条件是分子分母极限均为0,本例的解答方法和命制过程充满了创造性.命制试卷时要注意构造出满足条件的分式,从而运用洛必达法则巧妙解答,背景具有深刻性.理解型，呈现新阅读,字典的解释是“看文字并理解它的意思”.阅读属于信息输入加工形式,是人类汲取知识、认识世界、可持续发展能力的一个重要方式[8].而数学阅读是指学生根据已有的知识和经验,通过阅读数学材料（数学公式、方法、图形、符号、文字等）汲取信息,建构数学意义和方法的心理和智力过程[8].从心理学角度分析,数学理解的本质是学习者在头脑中形成关于这个知识的内部网络,即建立了该知识的图式[9].可见,阅读是促进理解的重要手段.阅读理解型试题是指以阅读材料形式呈现的试题.阅读材料往往介绍一个新定义、一种新规则、一种新运算等等,这些新的信息需要学习在考场上现场加工、内化、运用,这一过程正是新课程倡导的阅读自学的数学学习方式.如2017年全国卷Ⅰ理科第12题的“激活码问题”、全国卷Ⅱ理科第3题的“塔灯问题”;2018年全国卷Ⅰ理科第3题的“饼图问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第4题的“断臂维纳斯”、全国卷Ⅲ理科第3题的“四大名著”.例4（2019年高考全国卷Ⅰ理科第4题）古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为5√-12（5√-12≈0.618，称作黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5√-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm评析:本例是典型的阅读理解型试题,问题之间相互贯穿,体现了问题呈图1482020年6月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯现的新颖性,题中数字多、文字多、比值多,对学生阅读能力要求很高.解答时,学生需要经历信息筛选→信息加工→信息应用,整个过程为:通过阅读认识头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比、头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比都为5√-12,结合比值与人体之间的关系,理清人体各分布的比值,然后将比值运用到题设中.解答过程中包含对黄金分割比例的认识、理解、运用,着重考查学生的信息加工能力、阅读理解能力.创新作为高考命题的风向标,已有深刻体现,不难发现在近三年的高考数学试题命制中,立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型这四类创新题型,在高考中呈现得较为频繁,表现出稳步上升的趋势,因此在教学中应该多加练习,熟悉典型高考数学创新型试题.随着不断地创新发展,使得创新型试题的题型多种多样,其类型及特点也会随之改写、升华,我们应该把握大体趋势,以适应自身素养的提升和高考的需求.参考文献：[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[S ].北京:人民教育出版社,2011.[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版)[S ].北京:人民教育出版社,2017.[3]教育部考试中心.2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明:理科[M ].北京:高等教育出版社,2017.[4]赵思林.高考数学创新型试题的几种类型[J ].高中数学教与学(人大复印),印2009(5).[5]赵思林,李雪梅.高考数学创新型试题的若干类型与评析[J ].内江师范学院学报,2018(2).[6]刘成龙,胡琳.高考数学创新型试题的几种类型及评析[J ].中学数学,2019(5).[7]刘成龙,余小芬.高等数学背景下高考命题的问题及建议[J ].中国数学教育,2017(22).[8]刘成龙,黄祥勇.2014年中考成都卷第23题分析及启示[J ].中学数学,2015(2).[9]喻平.数学教育心理学[M ].南宁:广西教育出版社,2004.分析:对于此题的解答,学生很容易萌发出“正推”和“逆推”两种对等的数学观念,我们从两种观念分别出发,探讨在解题过程中所隐含的数学思维方法.在“逆推”的过程中,首先思考,要证明:x 1+x 2<2成立,我们应当如何入手.由结论出发,逐步分析,简化解题的思维过程,将结论中不等式的证明等价于新构造出来的不等式的证明,由“简单”的结论推导出“复杂”的不等式.再结合分析,回归题目,证出结论.接着从“正推”的思路来解决这一题目.我们从x 1,x 2的起源出发,设x 1,x 2是f (x )的两个零点,则-a=(x 1-2)e x 1(x 1-1)2=(x 2-2)e x 2(x 2-1)2.令g (x )=(x-2)e x(x-1)2,则g (x 1)=g (x 2)=-a ,利用导数法分析g (x )的单调性.令m>0,则g (1+m )-g (1-m )=m+1m 2e 12m+1.设h (m )=m -1m+1e 2m+1,m>0,利用导数法分析h (m )的单调性,可得h (m )>h (0)=0恒成立,即g (1+m )>g (1-m )恒成立,令m=1-x 1>0,可得结论.比较两种方法,可以看出,无论“正推”还是“逆推”,我们都是利用了不等式的对称性特点,突破传统的“求简”观念,转而“由简到繁”,由此反而可以很好地解答问题.来的启示在中学课程的学习中,数学一直扮演着重要的角色,而它又以题量繁多且复杂成为众多学生的苦恼,如何教会学生解题必然是每一位教师最关心的问题,这里我们要清楚中学数学培养学生的基本数学思维,即数学观念与意识.而“数学观念与意识”的培养是一个循序渐进的过程,在此过程中,教师首先应当树立正确的数学观念,并以此来指导教学工作,避免出现教师一切的数学教学活动都围绕“高考指挥棒”转,大搞“题海战术”将升学率作为数学教学评价的唯一标准,而是应当秉承数学素质教育的基本要求,加强数学观念的教育,以此培养良好的数学观念.其次对于学生而言,大多数学生在将来未必能够用上较为高深的数学知识,但是数学思想方法却有着普遍的意义,不仅能够应用于数学研究,也可以用于人类实践活动的各个方面,因此作为数学思想方法核心结构的数学观念就尤为重要.具有良好的数学观念不仅能够帮助我们很好地面对目前的学科学习的检测,而且在未来的科技与经济发展中,也起着举足轻重的作用.(上接第36页)49。
浅析高考题中的高等数学背景
浅析高考题中的高等数学背景湖南省株洲市茶陵一中有些试题把中学数学的知识巧妙地用高等数学中的符号、形式加以叙述，或以高等数学中著名定理、经典的思想方法为背景，这些试题拓展了知识领域，开阔了数学视野，有利于高等数学与中学数学在形式或思想方法上的和谐接轨.我们一起来看看下面的例子：一．以抽象代数中的运算系统为背景例1.(2001年上春季高考试题)若记“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数 的运算，即2b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对任意三个实数a 、b 、c 都成立的一个等式是 .解：)(c b a *+＝2c b a ++＝2)()(c a b a +++＝)()(c a b a +*+. 故满足条件的等式可以是)(c b a *+=)()(c a b a +*+. (类似可推c b a +*)(=)()(c b c a *+*等. )二．以矩阵知识为背景例2．（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++(B). 2221212111k k a a a a a a +++++++(C). 2122211211k k a a a a a a +++(D). k k a a a a a a 2122122111+++ .解：由乘法原理和加法原理可得，答案为(C).三．以区间套定理为背景例3．(2003年上海卷)方程18lg 3=+x x 的根≈x （结果精确到0.1）.解：显然2<x <3. 设)(x f =x x lg 3+18-，则0)5.2(<f ，故2.5<x <3. 又因为0)7.2(>f ，所以2.5<x <2.7，由于结果精确到0.1，所以6.2≈x四．以凹凸函数概念为背景例4.（2002北京理）如图所示，)(x f i ()4,3,2,1(=i 是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0,1]中任意的1x 和2x ,任意∈λ [0,1], [])()1()()1(2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）.A. )(1x f 与)(3x fB. )(2x fC. )(2x f 与)(3x fD.)(4x f解：易知，)(3x f 是正比例函数，必满足条件. 故结论只可能是A 或C. 在已知条件中令21=λ，得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，显然，要满足此条件，)(x f 的图象只能“向下凹”，不可“向上凸”，故选A.高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，例如函数，它既是中学数学的重要知识，也是在高等数学中要继续深入研究的重要对象. 且有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现. 这些试题既能考查学生能力，又有利于高等数学与中学数学在知识内容上的和谐接轨. 我们作为高中数学教师，在平时的教学上也应该注意这种考题的探究，引导学生树立这种意识！。
高考数学试题溯源及教学启示
2.（2007年全国一）设函数f (x) ex ex （Ⅰ）证明：f (x) 的导数 f (x)≥ 2
（Ⅱ）若对所有x ≥0 都有 f (x)≥ ax ，求 a 的取值范围．
2008全国2理
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 x≥0 ，都有 f (x) ≤ ax ，
的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支
上的动点，则 | PF | | PA | 的最小值为_。
教材试题原型：已知点A(1,1),而且 F1 是椭圆
P x2 y 2 1 的左焦点， 是椭圆上任意一点，
95
求| PF1 | | PA | 的最小值和最大值。
选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题
A. 2 1 B.1 C. 2 D.2
09年全国卷6题
若a,b, c均为单位向量，且 a b 0, 则(a c) (b c)的最小值为
A. 2 B. 2 2 C. 1 D.1 2
示例2：11年辽宁理21题
已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ；
（I）讨论 f (x)的单调性；
.
，求证：cos cos cos 1
思考与感悟：
俗话说的好：“站的高，才能看 的远。”对于高考的研究不能仅局限 于高考范畴，要把眼界放的开一些。
教学启示：
5.试题下放于高等数学中的重要背景
高等背景下的初等试题，是对高中生 高层次理性思维和创新意识的有效检 测，能考查出学生进一步学习的潜质。
示例2(09年文8t）an已 知 2tan 2 ，则
sin2 sin cos 2cos2
（A） 4 （B）5 （C） 3（D） 4
基于高等数学背景下的高考题命制形式的探讨
一 执 械一祛 一～ 龇一 一
１ ￣ ２， （ ：— － ； ０ ＋ ｇ ） ２ ３ ｘ
—
线 ” 定义域均为Ｄ ｛ｌ ｌ的 四组 函数 ． ＝ ｘ ｝ ＞
的题 目是 高 考 中 的 热 点 中的“ 本 函
数极限” 的定 义 而 变 形命 制 ．
） 以高等数 学 的概念 、 号命题 符
近 年 来 ， 考 数 学 命 题 的 一 个 特 点 高
即 追 求 新 情 境 、 立 意 ． 加 注 重 试 题 新 更
力 、 用 能 力 与 迁 移 能 力 的“ 大 法 宝 ” 应 一 ．
有 ）Ａｌ ， — ｓ 那么ｇ （） 。时以 ＜ ｒ ｘ当 — 。 ｆ ，
Ａ为极 限．
为 熟 悉 、 抽 象 为 具 体 的 能 力 ， 需 要 化 也 学 生 对 集 合 概念 保 持 一 定 的 敏感 度 ．
，
，
ａ ＜ １ －ｂ
－．
…
’ 函数 设
，
） （ ２ ０ （— ， ＝ 一 ） ） ∈Ｒ．若 函数 ） ， ＝
ｆ ￣ － 的 图 象 与 恰 有 两 个 公 共 点 ， （）Ｃ 轴 则
实数 ｃ 的取 值 范 围是 （ ）
例 １ （０ ０ 建 卷 ） 于 具 有 相 同 ２ １福 对 定 义 域Ｄ的函 ｔｆｘ 和ｇｘ ， 存 在 函 数 ｌ （ ） （ ）若 ￣
对 中学 数 学 内 容 的 掌 握 程 度 ， 考 查 了 也
学 生 的 数 学 阅 读 能 力 、 用 能 力 、 移 应 迁
＿
，
ｇ ： （）
以数学思想为背景的高观点试题探析
些探究 ，希望 能起 到抛砖 引玉的作用 ．
１ 极 限 的 思 想 为 背 景 的 高观 点 试 题 ．以
题 人手 ，把握学 科 的整体 意义 ，用统 一 的数学 观点 组织 材料 ， 侧 重体现对知识 的理解 和应用 ，尤其是综 合和 灵活 的应 用 ，以
极 限思想作 为反 映客观事 物在运 动 、变 化过程 中 由量变转
学交会是高考命 题 的六大交会 之一 ，是现代数 学新 高考创新题
的 重 要题 源 ．
Ａ（ ） Ⅱ
二、以数 学思想为 背景 的高观点试题
数学思想是 数学 知识 在更 高层次上 的抽象 和概括 ，是数学 知识 的精髓 ，是 分析 和解 决数 学问题 的基 本原则 ，也是 数学素 养的重要 内涵 ，它蕴含在数学 知识 发生 、发展和应用 的过 程中 ，
此来检 测考生将 知识迁移 到不 同情 境 中去 的能力 ，从而检 测 出 化 为质 变时 的数 量关 系或空 间形 式 ，能够通过 旧质 的量 的变化 考生个体理性 思维 的广度 和深度 ，以及进一步 学习 的潜能 ．“ 以 规律，去计算新质 的量．因此 ，它具有 由此达彼 的重大创新作用． 能力立意命题 ” ，正是为 了更 好地考查数学思想 ，促进 考生数学 极 限思 想是高等 数学知识 最基础 的一块 ，也是 高等数学教 学 的
＠ ⑥ ⑤
⑨
郭丽 云 （ 江省 温岭 中学） 浙
⑨ ⑥
⑧
２０ ０ ８年浙江省 《 高考数学科 考试说 明》 提出 ：对 数学能力 就 以高等数 学的数学 思想 为背景 的高观点试 题为例 对其解法作
的考查 ，强调 “ 以能力为立 意” ，就是 以数学 知识 为载体 ，从 问
一
以高等数学为背景的高考数学试题的研究
以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要:本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据,探析了此类问题的命题背景,充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议,为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。
关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中,中学数学里高等数学的含量正一步步扩大.选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容.选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3-3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4-4几何证明选讲、选修4-2矩阵与变换、选修4-3平面坐标系中几种常见变换、选修4-4极坐标与参数方程、选修4-5不等式、选修4-6初等数论初步。
由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容,现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放,而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生.有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法.作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作.随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大,近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高,本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、 以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1:（2013年陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数y x ,,有：.A []-=-x []x .B [][]x x 22= .C [][][]y x y x +≤+ .D [][][]y x y x -≤-命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题.对任意的实数x ，记不超过x 的最大整数为[]x ,通常称函数[]x y =为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数,即对任意,,21R x x ∈若,21x x ≤则[][]21x x ≤;若,,R y x ∈则[][][][][]1++≤+≤+y x y x y x ;由这条性质可推得选项D 成立；若*∈N n ，,R x ∈则[][]x n nx ≥。
例析高等数学背景下的高考数学题
②在 ｅｐ，若 １－９０Ｐ，￣，ＪｌＡｑｌ ＋１￣１ ＝Ｉ
③在 曰ｃ中．１ＩＡｃｌｌ＋ｌＩ∞ｌｌ＞ＩＩＡｓＩ｛．
其 中真命题的个数为 （ ）
Ａ． ０
Ｂ． １
Ｃ． ２ Ｄ． ３
解 析 对 于 直 角 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点
Ａ（ｘ。， ），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），定义它们之 间的一种“距离”：
２
福 建 中 学数 学
２００９年第 ｌ０期
｛ｆＡＢＩｆ＝？ ！～ ｆ＋ —ｊ ｝．①若点Ｃ在线段ＡＢ上．
设 Ｃ点坐标为 （ 【】＇ ）．Ｘ。在 Ｘ．、 ：之间 ．Ｙ。在 、
Ｙ 之间，则ｌＩＡＣｌｌ＋ＩＣ８ １ｌ
＝ Ｉ ０一 ｌ ｌ＋ｊ）’ｔ）一 ’ｉ ｌ＋ｉ ２～ ｊ：＋｛ ：一 ０｛
高等数学背景下的高考数 学题也 叫“高观点题”． “高观点题”指与高等数学相联 系的问题 ．这样 的问题 或以高等数 学知识 为背景 。或体现高等数 学 中常用 的数学思想 方法 ，本文将例 析这类 问题 的基本类型 和 相 应 解 法 ．
１． 以高等数学运算为背景 例 １（２００６年高考四川卷 ） 非空集合 Ｇ关 于运算 ０满足 ：（１）对任 意的 口。 ｂ∈Ｇ 。都 有 ａ０ｂ∈Ｇ ；（２）存 在 ｅ∈Ｇ ，都 有 ａ０ｅ＝ｅ０ａ＝ａ ， 则 称 Ｇ 关 于 运 算 ０ 为 “融 洽 集 ”．现 给出下列集合和运算 ： ① Ｇ＝｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法 ； ② Ｇ＝｛偶数 ｝，０ 为整数 的乘法 ； ③ Ｇ＝｛平面 向量 ｝，０ 为平面向量 的加 法； ④ Ｇ＝｛二次三项式 ｝，０ 为多项式 的加 法； ⑤ Ｇ＝｛虚数 ｝，０ 为复数 的乘 法． 其 中 Ｇ关于运算 ０ 为“融洽集”的是 （写 出所有“融洽集 ”的序 号 ） 解析 本 题 源 自大学 数学 专业 课 中的 《近 世代 数 》，给 出了一个新 的概念“融洽集”，考查学生理解 并且会运用此概念 来判断 以下给出的条件 是否满足 成 为“融洽集”的能力． ① Ｇ：｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法。满足任 意 ａ，ｂ∈Ｇ都 有 口庄 ∈Ｇ，且令 ｅ－－０，有 ａ＠０＝０＠ａ＝ａ， 所以① 符合要求． ② Ｇ＝｛偶 数 ｝， ０ 为 整数 的 乘 法 ，若 存 在 ｅ∈Ｇ。ａ０ｅ＝ａｘｅ＝ａ，则 ｅ＝１，矛盾 。．·．② 不符 合要 求． ③ Ｇ＝ｆ平面 向量 ｝，０ 为平 面向量 的加 法，取
聚焦高等数学知识背景 审视高考数学创新题型
Ｊ
１ ５
≤
１ ５
，
Ｉ
／
ｔ
解 得
Ｖ
５≤） ，１ ≤ ５
．
／
＝
’
午一 １ ｓＨ ，曲 午：且 ＝一 双 线
２
图 １ １
渐 近线斜 率 为 ｋ ＝ ， 。 直线 系斜 率为 １如 图 ｌ． ， １ 当
、
Ｄ／
＼
．
／ ４
ｔ
０
函数 ） —ｎ ＋ ） ｅ 一 １ ］ ＝ Ｉ（ ｍ 在［ ～ ｍ， 一 上为
连续 减 函数 ， 因此 ｅ 一ｍ）：ｅ 一 — ｎ ｅ 一 一 ～ ｍ ｌ（ 一 ｍ＋ｍ）：
ｅ～ ＞０．
（） ２ 定理 ： 函数 ｇ ） ［ ， ］ 若 （ 在 。 ｂ 上连续 ， 且
ｇ 口 与 ｇ（） 号 ， 至少 存在 一点 ． ∈（ ，） 使 （） ｂ异 则 １ ５ ａｂ ， 。
・
４ ０・
中学教研 （ 学） 数
２１ ０ ０卑
即 ：． 萼 当线＋＝通点÷ ）， 一， 直 Ｓ ２ 过 （， ＝手 Ｕｖ 。 时
即 一 ５≤ｙ
一
此 一， 一 ， ） 于是 ｙ ≥ ≤ ．
侈 求 Ｙ ＝ ＋２ 一 ４３ ｖｌ ＋ ＋ 的值 域． ２ ４ ３ 解 由 ２ ＋ ＋ ０ ４ ４ ３ 另 式 为 Ａ ＜ ， 函数 定义 域为 Ｒ． ０得 令 ｕ∈Ｒ， ＞０ 则 双 曲线 方 程 为 ，
类似地 ，
由 １（ 。 ）＞１ （２ ） ２ ２ ； ： ＋ ｘ ＋ ＋２ ｌ２ ｘ ］：
１ ｍ ＋ ＝ ２ ＋ ＝ 兰 一３ ． ｍ ＞ ， ０
厂 ｅ 一ｍ）＝ 一３ ＞（ ＋１ 一 ｍ＞ （ ｅ ｍ １ ） ３
解析几道以迭代数列为背景的高考题
解析几道以迭代数列为背景的高考题薛红利(长春第六中学ꎬ吉林长春１３００００)摘㊀要:迭代数列的极限是数学分析中的重要内容ꎬ而以迭代数列为背景的高考试题不在少数.文章先介绍数列的有关知识和迭代数列的极限ꎬ然后深度解析高考试题的高数背景.关键词:高考题ꎻ数列ꎻ迭代数列ꎻ极限ꎻ高数背景中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００２８－０３收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:薛红利(１９７２.５－)ꎬ女ꎬ吉林省安图人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考题一般都是大学老师命制的ꎬ所以高考题尤其是高考压轴题ꎬ有高等数学背景也是常有的事.这就要求一线教师不仅要会做高考压轴题ꎬ还要弄清楚高考压轴题的高数背景ꎬ这样才能看清试题的命制思路和背景ꎬ才能更好地服务于教学.１预备知识定义㊀称ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ 为迭代数列ꎬ称其中的ｆ(ｘ)为迭代函数.(以下均假设ｆ与ｎ无关)[１].定理１㊀设数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ且已知ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｃꎬｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)ꎬ则极限ｃ是方程ｆ(ｘ)＝ｘ的根(即ｆ(ｘ)的不动点).㊀注㊀条件ｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)在ｆ(ｘ)于点ｃ处连续时就成立.定理的证明是显然的ꎬ但定理提供了一种方法ꎬ即在研究迭代数列时ꎬ先假设它收敛ꎬ看极限是什么ꎬ然后再证明这就是该数列的极限.定理２㊀设函数ｆ(ｘ)在区间Ｉ上单调ꎬ数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎɪＮ∗ꎬ且ｘｎɪＩꎬｎɪＮ∗ꎬ则只有两种可能:(１)当ｆ(ｘ)为单调递增时ꎬ{ｘｎ}为单调数列ꎻ(２)当ｆ(ｘ)为单调递减时ꎬ{ｘｎ}的子列{ｘ２ｎ－１}和{ｘ２ｎ}是具有相反单调性的两个单调子列.其几何解释如下图:图１㊀定理２几何解释２高考试题及其背景分析例１[２]㊀(２０１４年重庆卷理)设ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａ２ｎ－２ａｎ＋２＋ｂ(ｎɪＮ∗).(１)若ｂ＝１ꎬ求ａ２ꎬａ３及数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝－１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.８２解析㊀(１)ａ２＝２ꎬａ３＝２＋１ꎬａｎ＝ｎ－１＋１. (２)解法１㊀设ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２＋１－１ꎬ则ａｎ＋１＝ｆ(ａｎ).令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ即ｃ＝(ｃ－１)２＋１－１ꎬ解得ｃ＝１４.下面用数学归纳法加强命题:ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１<１.当ｎ＝１时ꎬａ２＝ｆ(１)＝０ꎬａ３＝ｆ(０)＝２－１ꎬ所以ａ２<ｃ<ａ３<１成立.假设当ｎ＝ｋ(ｋȡ１)时命题成立ꎬ即ａ２ｋ<ｃ<ａ２ｋ＋１<１.因为ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１]上单调递减ꎬ所以ｃ＝ｆ(ｃ)>ｆ(ａ２ｋ＋１)>ｆ(１)＝ａ２.所以１>ｃ>ａ２ｋ＋２>ａ２.所以ｃ＝ｆ(ｃ)<ｆ(ａ２ｋ＋２)<ｆ(ａ２)＝ａ３<１.所以ｃ<ａ２ｋ＋３<１.因此ａ２(ｋ＋１)<ｃ<ａ２(ｋ＋１)＋１<１ꎬ即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立.综上ꎬ存在ｃ＝１４使ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.背景分析㊀在解法１中ꎬ为何设ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１?又为何设ｃ＝ｆ(ｃ)呢?本题以迭代数列为背景ꎬ考查迭代数列的极限.由定理１ꎬ先求出ｆ(ｘ)的不动点ꎬ即令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ再证明ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.考查函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１ꎬ易知ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬ有ｆ(ｘ)ɪ[０ꎬ１]成立.因为ａ１＝１ɪ[０ꎬ１]ꎬ由数学归纳法可知ａｎɪ[０ꎬ１].根据ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ[０ꎬ１]ꎬ知本题的高数背景是定理２的情况(２)ꎬ即{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}是两个具有相反单调性的数列.利用极限知识求出它们的极限即可ꎬ具体操作如下:计算可知ꎬａ２＝ｆ(ａ１)＝０ꎬａ３＝ｆ(ａ２)＝２－１.即有ａ１>ａ３成立.又因为ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ所以ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.同理可得ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５.一直下去ꎬ可得:ａ１>ａ３> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬａ２<ａ４< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２(ｎɪＮ∗).即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ利用单调有界定理可得:ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).实际上ꎬ这里Ａ＝Ｂ＝１４.下面利用数列极限知识计算ＡꎬＢ的值.因为ａ２ｎ＋１＝ａ２２ｎ－２ａ２ｎ＋２－１ꎬａ２ｎ＋２＝ａ２２ｎ＋１－２ａ２ｎ＋１＋２－１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝Ａ２－２Ａ＋２－１ꎬＡ＝Ｂ２－２Ｂ＋２－１.解得Ａ＝Ｂ＝１４.因此存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.解法２㊀当ｂ＝－１时由题意ꎬ得(ａｎ＋１＋１)２＝(ａｎ－１)２＋１.从而得到(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１)２＋１.①假设存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有的ｎɪＮ∗都成立ꎬ又ａｎ＋１＋１ȡ１ꎬ则(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ＋１＋１)２.由①式得(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１.由(ａ２ｎ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１ꎬ解得ａ２ｎ<１４.由①式得(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１４)２－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ˑ１４＋１５１６＋１＝２５１６.解得ａ２ｎ＋１>１４.综上ꎬ得ａ２ｎ<１４<ａ２ｎ＋１.故存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.９２例２㊀(２０１２年大纲全国卷理)函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ－３.定义数列{ｘｎ}如下:ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１是过两点Ｐ(４ꎬ５)ꎬＱｎ(ｘｎꎬｆ(ｘｎ))的直线ＰＱｎ与ｘ轴的交点的横坐标.(１)证明:２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３ꎻ(２)求数列{ｘｎ}的通项公式.解析㊀由题意得ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２.(１)参考答案用的是数学归纳法.(２)ｘｎ＝３－４３ ５ｎ－１＋１.过程略背景分析㊀由ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１＝４－５ｘｎ＋２知ꎬ２ɤｘｎ<４.由于ｆ(ｘ)＝４ｘ＋３ｘ＋２＝４－５ｘ＋２在[２ꎬ４)上单调递增ꎬ根据定理２的情形(１)ꎬ知数列{ｘｎ}单调递增.由单调有界定理ꎬ知ｌｉｍｎңɕｘｎ存在ꎬ不妨设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａꎬ则ｌｉｍｎңɕｘｎ＋１＝Ａ.对ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２两边取极限ꎬ得Ａ＝４Ａ＋３Ａ＋２ꎬ即(Ａ＋１)(Ａ－３)＝０ꎬ解得Ａ＝－１(舍)ꎬＡ＝３.所以２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３.例３㊀设数列{ａｎ}满足:ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ｂ１＋ａｎꎬｎɪＮ∗.(１)若ｂ＝－１４ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋１２ꎬ求数列{ｂｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.解析㊀(１)ｂｎ＝３６ｎ－４.(２)方法类似于例１的解法２.背景分析㊀由于数列为正项数列ꎬ因此迭代函数ｆ(ｘ)＝１１＋ｘ在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ(０ꎬ１].由ｃ＝ｆ(ｃ)求出不动点ꎬ得ｃ＝５－１２.根据以上分析ꎬ其高数背景是定理２的情形(２)ꎬ即需证子列{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}分别单调ꎬ且收敛于同一极限ｃ.ａ２＝１１＋１＝１２ꎬａ３＝１１＋ａ２＝２３<ａ１＝１.即０<ａ３<ａ１＝１由ｆ(ｘ)在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ得ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.即０<ａ２<ａ４<１.进而ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５ꎬａ４＝ｆ(ａ３)<ｆ(ａ５)＝ａ６ꎬ一直下去ꎬ可得ａ２<ａ４<ａ６< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２ꎬａ１>ａ３>ａ５> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１.即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ故ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).因为ａ２ｎ＋１＝１１＋ａ２ｎꎬａ２ｎ＋２＝１１＋ａ２ｎ＋１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝１１＋Ａ且Ａ＝１１＋Ｂꎬ解得Ａ＝Ｂ＝５－１２.３结束语站得高ꎬ才能看得远.作为教师ꎬ应该具备一定的高等数学知识ꎬ这其实就是我们大学本科四年学习的基本功ꎬ这样ꎬ遇到压轴题才能轻松应对ꎬ游刃有余.在具体操作上ꎬ可先分析出试题的高数背景ꎬ获得答案ꎬ这时就得到了解题的方向ꎬ然后再用高中知识和方法去书写解题过程.由此可见ꎬ掌握一定的高数知识ꎬ弄清楚高考题的高数背景和命制思路是非常必要的.参考文献:[１]王晖.数列很重要㊀综合常考到[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(１２):５－１０.[２]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]０３。
以选修系N3为背景的数学高考试题赏析
＝ ， 戈于 去 其 等 中
令口 了 丽 １＋ １＋ １＋ １＋… ＋ １ ＋
—
（
ｎ ）： 一 一 ＋ ’ ｍ
（０６年 湖 北省 数 学 高考理科 试题 ） ２０
１ ｌ
１ ￣ ｌ ： Ｃ １ｉ ］ ｍｎ
图 ２ 中 的数 列 通 项 公 式 为 ｂ ：几 ， ４ 在
体会数学对人类文明发展的作用 ， 提高学习数学的
兴趣 ， 受数学 家 的严谨 态度 和锲 而不 舍 的探 索精 感 神具 有 重要 的意义． 例 １ 古希 腊 人 常 用 小 石 子 在 沙 滩 上 摆 成 各
个 选项 中同时满 足 ２个通 项公 式 的 只有选 项 Ｃ 故 ．
（
）
目《 ． 标准》 中选修系列 ３由 ６个专题组成 ： 数学史 选讲 、 信息安全与密码 、 面上的几何 、 球 对称与群 、
欧拉公 式 与 闭曲 面 分类 、 等 分角 与数 域 扩 充．由 三
此可 以看 出 ， 修 系 列 ３涉 及 较 多 的高 等 数 学 知 选
Ｄ． ７ １３ ８
种形 状来 研究 数． 如 ： 们 研究 过 图 １中 的 １３ 譬 他 ，， ６，０ … ， １ ， 由于这 些 数 能够表 示成 三角形 ， 将其 称为 三 角形数 ； 似 地 ， 图 ２中 的 １４ ９ １ ， 这 样 类 称 ， ， ，６ … 的数 为正 方形 数． 下列 数 中既是 三角 形数 又是 正方 形数 的是
图 １
新颖、 设计 独特 ， 较 高 的思 维 价 值 和 良好 的检 测 有
功能． 它们对引导高中数学教学、 推动高 中数学课
对一道流行错解的释疑
的简单“ 下嫁 ” 而是 问题 的背景 源于高等数学 ， ， 命题 者 通过初等化的处理与巧妙设计 ， 潜移默化地渗透 高等数
学 中 的一 些 观点 与方 法． 般 而 言 ， 以下 三 种 方 式 ： 一 有 一
观点 和方法 ， 以一种居高临下 的态势驾驭初等数学的 内 容， 使初 等数学 的教学达到理想境 界 ， 而不 断提 高数 进
对 于邀 ２， 直 接 利 用 ／ ０） 看 （ ＝０解 出 ｋ ， 入验 证 ＝１ 代
知 ）
是奇 函数 ， 所以答 案选 Ａ ・
事 实 上 以上 给 出 的题 １题 ２的 答 案 都 是 错 误 的 ， 、 下 面 利 用 奇 函数 的 定义 给 出正 确 的 解 答 ． 解 题 １ 由奇 函数 定 义 知 － 一 ）＝ ｆ ） 厂 －（ ， （
到 高等 数 学 中 的李普 希 茨 函数 ２ 应 对 策 略 与高 等 数 学 有 密 切联 系 的 问题 不 是 高 等 数 学 问 题
维意识” 因此 ， ． 建议教师在教学 中要加大初等知识和高 等知识交叉 点的研究性学 习 ， 优化知识 结构 ， 提高高等
数 学素 养 ， 真研 究 高 考 试题 ， 于 用 高 等 数 学 的知 识 、 认 善
４ ８
十・敷・ ２０ 第 期・ 中 ） ７ ？（１ ５ 高 版 ０年
・ 复习参考 ・
对 一道 流行 锚解 的释 疑
４ Ｉ０ 湖北 省枣 阳市 第二 中学 ４ ２０
近期 ， 笔者 在高三总复 习中接触碰 到一道试题 ： 已
’ ． ．
龚
兵
∈（ ， ） 故 答案 选 Ａ． 一１０ ．
．
题２ 若函 （） ｌ （为 数 在 义 数厂 ＝ 十 ‘ 常 ） 定 域 Ｌ 二
高考数学模拟试题命制的实践与思考
由结论寻找条件关系式时，必须注意条件的等价性， 很多条件是不等价的． 因为由新得到的条件关系式可能可 以推出多个结论，原有结论只是其中之一，满足构造出的 关系式的结论可能会有很多．
例如我们知道奇函数的定义域关于原点对称，但如果 已知一个函数是奇函数，去求定义域结论就不唯一了，如
1 (a R) 的定 果让学生求奇函数 f ( x) 1 x xa
如在课本教材中有如下例题：
已知正三棱柱 ABC A1 B1C1 的各棱长都为 1 ， M 是 底 面 上 BC 的 中 点 ， N 是 侧 棱 CC1 上 的 点 ， 且
A1
C1
B1
N
A B M
1 CN CC1 ．求证： MN AB1 . 4
C
1 教材中这道题是要求在满足 CN CC1 这个条件时， 4
以实际问题为背景命制试题
以实际问题为背景，由此抽象出一个数学问题，这是原创题的 一个重要来源。在近几年的高考题中都有一些应用题，应用题多数 以函数、不等式、概率、统计问题出现，很多好的应用题都是由实 际问题抽象出来的。命制这种试题一般要选用当前的热点问题或社 会敏感问题为素材，选材要真实、具体，这样试题会更新颖，更结 合实际。
BC // AD ，且对角线 AC BD ． （1)求点 C 的轨迹方程； （2)若点 P 是直线 y 2 x 5 上任意一点， 过点 P 作点 C 的轨迹的两
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。
关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。
教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。
”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。
所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。
其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。
罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。
因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。
我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。
我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。
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答案选Ｃ ． 这种题型解答时要先准确把握所给信 息本质， 然后应用类比等方法充分挖掘其内涵，
１ ） ＋（ ２ １ ＋１ ） （ ｊ 一１ ） ＝Ｚ ｊ＋艺 ｉ ＋ｊ＝ 艺 （ Ｚ ｊ ＋１ ）
＋ｊ ； （ ｍ） 必要性： 若Ｎ在该等差数阵中， 则存在 正整数１ ， ｊ 使得Ｎ ＝１ （ Ｚ ｊ ＋１ ） ＋ｊ ， 从而Ｚ Ｎ＋１
＝２ １ （ Ｚ ｊ 十１ ） ＋Ｚ ｊ ＋１ ＝（ ２ １ ＋１ ） （ Ｚ ｊ ＋１ ） ， 即正 整数 Ｚ Ｎ＋１ 可以分解成两个不是 １ 的正整数之 积， 充分性 ： 若Ｚ Ｎ＋１ 可以分解成两个不是 １ 的 正整数之积 ， 由于 Ｚ Ｎ＋１ 是奇数 ， 则它必为两个 不是 １ 的奇数之积， 即存在正整数 ｋ ， １ ， 使得 Ｚ Ｎ
等． 如果集合 Ａ中元素之间的一个上关系“ ｏ” ｃ 满足以下三个条件： １）自反性 ： （ 对于任意 ａ任 Ａ， 都有 ａ 的幻 （ ２ ） 对称性： 对于ａ ， ｂ 任Ａ， 若ａ 的ｂ ， 则有 ｂ
口〕己；
当整数ｍ＞ １ 时ｆ （ 了“ 一ｍ ） 与ｆ （１ 一ｍ ） 异号． 由所给定理知， 存在唯一的ｘ ｌ 任（ －， ｅ 一ｍ， １ 一
对新定理的理解和运用就是解决本类题型的关 键， 其它还有以区间套定理、 价值性定理、 零点 定理 、 函数的一致性定理等为背景命题 的．
解析： 本题是考查高等数学中对数学关系 的理解， 是一道开放性问题， 答案不唯一， 如“ 图 形的全等” 、 “ 图形的相似” 、 “ 非零向量的共线” 、 “ 命题的等价”等等． 解答此类题首先要读懂所 给符号、 概念等的实质性含义及题 目的规则和 要求， 运用已有的知识把所给的新概念、 符号等 简单化、 具体化与特殊化加以分析探究． 其它还 有以有界函数、 闭函数、 单峰函数、 取整函数、 符 号函数等概念或符号为背景命题的．
ａｌ ， ａ Ｚ 夕 召 ３ 了 ａ ｊ ，
ｌ ２
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
召正 １
口１ ２
口ｆ ３
口泣 ４
ａ云 ５
口汀
算能力和归纳概括能力， 要求抽象概括出高等
数学中向量的混合积的几何意义． 混合积的运
其中每行、 每列都是等差数列， 叼 表示位于第１ 行第ｊ 列的数． （ １ ） 写出ａ ４ ： 的值； （ ｎ ） 写出ａ ｊ ｉ
、 以高等数学中的符号、 记号、 概念等为
背景命题 的
ｍ ） 在〔 ‘ ， 一ｍ ， １ 一ｍ 」 上为连续减函数ｆ （ｅ － “ 一
ｍ） ＝ｅ －价一ｍ一 Ｉ ｎ（ ‘．一 ｍ＋ ｍ）＝ ‘ｍ＞ ０ ，
例 １ （ ２ ０ ０ ７ 年福建高考题） 中学数学中存 在许多关系， 比如“ 相等关系” 、 “ 平行关系” 等
又 （ ｘ ｌ ‘ 一ｘ Ｚ ） “ （（ ｘ ｌ 一ｘ Ｚ ） 〔 ｆ （ ｘ ｌ ） 一ｆ （ ｘ Ｚ ） ｊ 得
ｆ （ ａ ） 一ｆ （ ａ 。 ） ）又 （ ａ 一ａ 。 ） ， 即ｆ （ ａ ） ）几 （ ａ 一ａ ｏ ） ，
五、 以《 解析几何》 内容为背景命题的
例５ （ ２０ ０ ０ 年上海春季高考题） 四棱锥 Ｐ
解析： 本题与计算数学中数值逼近的牛顿 广义迭代法为背景的， 运用反证法和放缩法推 证不等式， 是对学生抽象思维、 逻辑思维和数学 技巧进行全面考查的新颖题型． （ ） 不妨设 ｘ １ ｌ
（ １ ） ４ ａ ５ ・ ＝４ ９ ； （ ｎ） 该等差数阵的第一行是首项 为４ ， 公差为３ 的等差数列： ｌ ａ ， ＝４ ＋３ （ｊ 一１ ）， 第二行是首项为 ７ ， 公差为５ 的等差数列： Ｚ ａ ， ＝ ７ ＋５ （ ｊ 一１ ） ……， 第１ 行是首项为４ ＋３ （ １ 一１ ） ， 公差为２ １＋１ 的等差数列， 因此ａ ｊ ＝４ ｉ ＋３ （ｉ 一
的计算公式； （ ｍ） 证明： 正整数Ｎ在该等差数列 中的充要条件是 Ｚ Ｎ＋１ 可以分解成两个不是 １
的正整数之积． 解析： 本题是以矩阵的表示为背景命题的， 主要考查等差数列、 充要条件等基本知识， 考查 逻辑思维能力、 分 析问题 和解决问题的能力．
算实质就是求行列式：旅 ｘ 飞）． 飞＝
一点 ｘ 。任 （ ａ， ）， ｂ 使９ （ ｘ 。 ）＝ ０ ． 试用上述定理
的， 已知运算⑧： ｘ ⑧ｙ ＝ｘ ｌ一刃． （ 所以（ ｘ 一ａ ） ⑧（ ｘ ＋ａ ） ＝（ ｘ 一ａ ） ［ １ 一（ ｘ ＋ａ ） 〕 ＜１ ， 即ｘ 一
ｘ Ｚ ＜一矿＋ａ ＋１ ， 当ｘｅＲ时， ｘ 一护 任（ 一ｃ ｏ，
三、以抽象的代数运算为背景命题的 例 ３ （ ２ ０ ０ ５ 年辽宁高考题） 在Ｒ上定义运 算⑧： ｘ Ｏｙ ＝ｘ １ 一刃． （ 若不等式（ ｘ 一ａ ）⑧ （ ｘ ＋ａ ）＜１ 对任意实数 ｘ成立 ， 则（ ）
Ａ．一 １＜ ａ＜ １
Ｂ ．０ ＜ ａ＜ ２
Ｃ 一音 ＜ ・ ＜ 号Ｄ 一普 ＜ 。 ＜ 合
的．
＞ｘ ： ， 由又 （ ｘ ； 一ｘ Ｚ ） “ （（ ｘ ｌ 一ｘ Ｚ ） ・ 〔 ｆ （ ｘ ｌ ） 一 ｆ （ ｘ Ｚ ） 〕 ， 可知ｆ （ ｘ ｌ ） 一ｆ （ ｘ Ｚ ） ＞０ ， ’ｆ ． （ ｘ ） 是Ｒ 上的增函数， ． ．不存在 ｂ ， ｏ并ａ 。 ， 使得 ｆ （ ｏ） ｂ ． 二 ０ ．又 ’ ’ ． 又 （ ｘ ｌ 一ｘ Ｚ ） ２簇 （ ｘ ， 一ｘ Ｚ ） ［ ｆ （ ｘ ｌ ）一 ｆ （ ｘ Ｚ ） 〕 （（ ｘ ｌ 一ｘ ： ） “ ， ． ‘ ． 几 簇１ ； （ ２ ） 要证： （ ｂ 。 一 ａ 。 ） ２ 蕊（ １ 一又 ２ ） （ ａ 一ａ 。 ） ２ 即证汉［ （ ａ 一ａ 。 ） “ ＋ 尸（ ａ ） 〕 （Ｚ ｆ （ ａ ） （ ａ 一ａ 。 ） （ ， ） ． 不妨设ａ ＞ａ 。 ， 由
的 体积的关系， 并由 此猜想这一运算（ 慈 ｘ
入 方 ） ． 萨 的绝对值的 几何意义．
解析： 本题是以向量的混合积为背景命题 的． 第（ １ ） 、 ２） （ 直接计算即可， 第（ ） 问是一种探 ３ 索型问题． 是考查学生的阅读理解能力 、 准确计
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
一个“ 等差数阵”
４ ７ ７
２ １ ） 落＝（ ｘ ： ， 夕 ２ ， 二 ： ） 宾一（ ｘ 。 ， 少 ３ ， 二 ３ ） ， 定 义 一 种 运 算： 花几） 宾＝刃 ｙ ： 二 ３ ＋ ｘ Ｚ ｙ ３ 二 １ ＋ ｘ ３ ｙ ； 二 ： 一 ｘ ， ｙ ３ 二 ２ 一 ｘ Ｚ ｙ ｌ 二 ， 一 ｘ ３ ｙ Ｚ ： ， ， 试 计 算（ 庙ｘ 劝） ・ 萨的 绝 对 值的 值， 说明 其 与 四 棱 锥尸 一 Ｂｃ Ａ Ｄ
２１ ２２ ２３
ｙ ｙ ｙ
． ． 盛 ，臼 ，Ｊ
， 花游 ） 井在几何上表 示以向 量
为棱的平行六面体的体积．
六、以《 数值方法》内容为背景命题的 例６ （ ２ ０ ０ ４年江苏高考题）已知 函数 ｆ （ ｘ ） （ ｘ任Ｒ ） 满足下列条件： 对任意的实数ｘ ｌ ， ｘ ： 都有 孟 （ ｘ ； 一ｘ Ｚ ） ２簇 （ ｘ ｌ 一ｘ Ｚ ） 〔 ｆ （ ｘ ｌ ） 一 ｆ （ ｘ ： ） 〕 和｝ ｆ （ ｘ ； ） 一ｆ （ ｘ Ｚ ） ｝ （｝ ｘ ； 一ｘ Ｚ ｝ ， 其中 孟 是大于０ 的常数． 设实数ａ 。 ， ａ ， ｂ 满足ｆ （ ａ 。 ） ＝ 。 和ｂ ＝ａ 一汀（ ）． ａ （ １ ） 证明几 （１ ， 并且不存在 ｏ 笋ａ ｂ 。 ， 使得ｆ （ ｏ） ｂ ＝０ ； （ １ ） 证明（ ｂ 一ａ 。 ） （（ １ 一又 ２ ） （ ａ一ａ 。 ） ２ ； （ ｍ ）证明［ ｆ （ ｂ ） 〕 ２（ （ １ 一 几 ２ ） ［ ｆ （ ａ ） 〕 ２ ．
１
（ ３ ） 传递性： 对于ａ ， ｂ ， ｃ ｅＡ ， 若ａ 的ｂ ， ｂ 的
ｃ ， 则有 ａ 的ｃ ・ 则称“ ｏ” ｃ 是集合Ａ的一个等价关系． 例如： “ 数的相等” 是等价关系， 而“ 直线的平行” 不是 等价关系（ 自反性不成立） ． 请你再列出三个等
价关 系 ：
时， 函数ｆ （ ｘ ） ＝ｘ 一１ （ｘ ｎ ＋ｍ ） ， 在［ １ 一ｍ， ‘， 一 ｍ 」 上为连续增函数且 ｆ ｌ 一ｍ （ ） 与ｆ （君 ｍ 一ｍ Ｚ ） 异号， 由所给定理知， 存在唯一的ｘ ： 任〔 １ 一ｍ， －“ ｅ 一ｍ 〕 ， 使ｆ （ｘ ２ ） ＝。 故当ｍ＞ １ 时， 方程 ｆ （ ｘ ） ＝０ 在［ －ｍ ｅ 一ｍ， 。 ２ ， 一ｍ 」 内有两个实根．
ｍ ） 使ｆ （ｘ ｌ ） ＝０ ， 而当整数ｍ＞ １ 时， ｆ （ 砂 ， 一
ｍ） ＝ｅ Ｚ ，一３ ｍ＞ （ １ ＋１ ） ２ “一３ ｍ＞ １ ＋Ｚ ｍ＋
Ｚ ｍ（ Ｚ ｍ一 １ ） ＿ ＿ ＿ 、 。、 二＿ 。 、 ． ， “． 二 尘上 长 竺 一止 乙一３ ｍ＞ ０ ． 类似地， 当整数 ｍ＞ ２ 一 ” － ／ 一／ 、一 ，一 。・ 一二， ・ ， － ／
一 Ｂｃ Ａ Ｄ中， 底 面Ａ Ｂｃ Ｄ 是 一 个 平 行四 边 形， 丽 又 （ ａ 一ａ ｏ） “ ； （ ２ ）由（ １ ） （ ２ ） 可得 又 ［ （ ａ 一ａ 。 ） ２ ＋ ＝（ ２ ， 一 １ ， 一 ４ ） ， 劝 ＝（ ４ ， ２ ， ０ ） ， 萨 ＝（ 一 １ ， ２ ， ２
运用新旧知识间的内在联系及迁移规律， 将新
万方数据
上海中学数学 ・ ２ ０ ０ ８ 年第 ５ 期
运算转化为熟悉的数学运算．
锥尸 一 Ｂｃ Ａ Ｄ的 体 积； （ ）对于向 ３ 霸 ＝（ ｘ ： ， ｙ ｌ ，