2011届高考数学第一轮复习章节练习题211

高三数学章节训练题39《立体几何与空间向量1》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1、(2009山东卷理)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A.32π B. 52π C. 72π D. 92π 3.（2009全国卷Ⅱ文） 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（ ）A.10 B. 15C. 10D.354在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ）A.B. C.4D.中学学科5、某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）. A. 6 B. 33 C. 23 D. 36、一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是（ ）.A. 22B. 24C. 26D. 12二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）1、把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 翻折,则过A ,B ,C ,D 四点的球的体 积为 。

2、关于直线与平面，有下列四个命题：1）若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ； 2）若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； 3）若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； 4）若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ；其中不正确的命题为 3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是4、在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 在AD 上运动，设θ=∠ABP ，将A B P ∆ 沿BP 折起，使得面ABP 垂直于面BPDC ， AC 长最小时θ的值为 ．5、 如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 。

PCD B三、解答题：（本大题共2小题，满分25分）1、（2009广东东莞）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1.（1）求a 的值；（2）求平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小.2. 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=AP BP AB ==，PC AC ⊥．[来源:高.考.资.源.网] （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦值；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．A CBDP一、选择题1、【答案】:B 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.2、【答案】.A 【解析】：213(1 1.51)32V V V r ππ=-=+-=大圆锥小圆锥 3.【答案】：C 【解析】：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CD ’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE 即可，易知EB=2,A'E=1,A'B=5,故由余弦定理求cos ∠A'BE=10，或由向量法可求。

4、【答案】C 【解析】：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。

如图设长方体的高宽高分别为,,m n k，由题意得，1n ⇒=a=，b=，所以22(1)(1)6a b -+-=228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ⇒+≤当且仅当2a b ==时取等号5、【答案】D【解析】从三视图可以观察发现几何体是正三棱柱，底面边长为2cm ，高为1cm ，所以体积为）（32cm 31243=⨯⨯. 6、【答案】B 二、填空题1、【解析】本题不告知翻折的角度，意在提醒学生找不变量。

不难发现正方形对角线交点到四个顶点的距离相等，故交点即为球心，半径为1。

【答案】43π 2、【答案】1），4）；【解析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可多参考教室空间，或手中的笔与桌子这些具体模型。

3、【解析】 三视图是新增考点，根据三张图的关系，可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥。

本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积，则必须补全为正方体，增加了难度。

【答案】380003cm 4、【解析】本题是立体几何中的最值问题，建立数学模型，用函数解决是一种重要方法。

过A 作AH ⊥BP 于H ，连CH ， ∴BCP 面⊥AH ．∴θθcos 3BH sin 3AH A t ==∆，中，在BH R ．在）（）（中，θθθ-︒⨯⨯⨯-+=∆90cos cos 3424cos 3CH 222BHC ，[来源:学*科*网]∴在中ACH R ∆t ，θ2sin 12252-=AC ，∴︒=45θ时，AC 长最小；【答案】︒=45θ5、 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。

侧面展开后得矩形ABCD ，其中,2AB AD π==问题转化为在CD 上找一点,Q 使AQ PQ +最短作P 关于CD 的对称点E ，连接AE ，令AE 与CD 交于点,Q 则得 AQ PQ +的最小值为92+π【答案】92+π三、填空题解法一：（1） 11//C B BC ，∴BC A 1∠就是异面直线B A 1与11C B 所成的角，即0160=∠BC A ，……（2分）连接C A 1，又AC AB =，则C A B A 11=∴BC A 1∆为等边三角形，……………………………4分由1==AC AB ，090=∠BAC 2=⇒BC ，∴121221=⇒=+⇒=a a B A ；………6分（2）取B A 1的中点E ，连接E B 1，过E 作1BC EF ⊥于F ，连接F B 1，B A E B 11⊥,E BC A 111⊥⊥⇒E B 1平面11BC A⊥⇒E B 11BC ………………8分 又1BC EF ⊥，所以⊥1BC 平面EF B 1，即11BC F B ⊥，所以FE B 1∠就是平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的平面角。

…………10分在EF B 1∆中，0190=∠EF B ，221=E B ，3211⨯=F B , ∴23sin 111==∠F B EB FE B 0160=∠⇒FE B ，…………………………13分因此平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060。

…………14分 说明：取11C B 的中点D ，连接D A 1，…………同样给分（也给10分） 解法二：（1）建立如图坐标系，于是)0,0,1(B ，)1,0,1(1B ，)1,1,0(1C ，),0,0(1a A （0>a ）)0,1,1(11-=→-C B ，),0,1(1a B A -=→-，∴ 1111-=⋅→-→-B A C B …………3分由于异面直线B A 1与11C B 所成的角060， 所以→-11C B 与→-B A 1的夹角为0120 即1120cos ||||0111-=⋅→-→-B A C B11)21(122=⇒-=-+⋅⇒a a ………6分（2）设向量),,(z y x n =→且⊥→n 平面11BC A于是→--→⊥B A n 1且→--→⊥11C A n ，即01=⋅→--→B A n 且011=⋅→--→C A n ，又)1,0,1(1-=→-B A ，)0,1,0(11=→-C A ，所以⎩⎨⎧==-00y z x ，不妨设)1,0,1(=→n ……8分同理得)0,1,1(=→m ，使⊥→m 平面11C BB ，（10分）设→m 与→n 的夹角为θ，所以依θcos ||||⋅⋅=⋅→→→→n m n m ，06021cos 1cos 22=⇒=⇒=⋅⋅⇒θθθ，………………12分⊥→m 平面11C BB ，⊥→n 平面11BC A ，因此平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060。

…………14分说明：或者取BC 的中点M ，连接AM ，于是)0,21,21(=→-AM 显然⊥→-AM 平面11C BB2. 解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =，PD AB ∴⊥．AC BC =，CD AB ∴⊥．PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC B C ⊥，且A C P C C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE△中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==，sin BC BEC BE ∴∠==．33622cos =⨯==∠BEC 中学高.考.资.源.A C BE PACBD PH（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．由（Ⅰ）知P C A B ⊥，又P C A C ⊥，且A BA C A =，PC ∴⊥平面ABC ．CD ⊂平面ABC ，PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==，PD PB ==，中学高.考.资.源.网2PC ∴=．332=⨯=PD CD PC CH ． ∴点C 到平面APB的距离为3．中学学科网解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂平面ABC ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，． AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C--的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，中学高.考.资.源.网33622cos =⨯==∠BEC ．C（Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．23CH ∴=．中学学∴点C 到平面APB。