鲁教版探索一次函数的性质
鲁教版(五四制)七年级上册6.3《一次函数的图象》参考教学设计
6.3 一次函数的图象一、教学目标（1）能用“两点法”画出一次函数的图象（2）结合图象,理解直线y=kx+b（k、b是常数,k≠0）常数k和b的取值对于直线的位置的影响.（3）通过操作、观察,培养学生动手和归纳的能力.（4）让学生通过直观感知、动手操作去经历、体会规律形成的过程.二、教学重点、难点用“两点法”画出一次函数图象是研究一次函数的性质的基础,是本节课重点.直线y=kx+b（k、b是常数,k≠0）常数k和b的取值对于直线的位置的影响,是本节课的难点.关键是通过学生的直观感知、动手操作、合作交流归纳其规律. 三、教学方法采用自主探究--合作交流式教学,让学生动手操作,主动去探索,小组合作交流.而互动式教学将顾及到全体学生,让全体学生都各有所获.四、教学设计（一）设疑,导入新课这节课让我们一起来研究“一次函数的图象”.（板书）师: 1.什么叫函数?在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.2. 函数的表示方法有哪几种? （1）解析法（2）列表法（3）图象法3.同学们,上节课我们学习了一次函数,你能说一说什么样的函数是一次函数吗?形如y=kx+b的函数,（其中k、b为常数,k≠0）.师:（同学们回答的都很好）那么一次函数的图象是什么形状呢?（二）自主探究，梳理归纳1.师:问（1）你们知道一次函数是什么形状吗?师:那就让我们一起做一做,看一看:如何作出一次函数y=2x+1 的图象？要回答这个问题，必须弄清楚以下几点：（1）函数的图象是由无数个点构成的.（2）这些点在坐标系中是一对一对的有序实数.（3）此解析式实际上是一个二元一次方程，它的一对一对的x、y值可看作是图象上的点的坐标.（4）要找出它的某个点，实际上就是求出这个二元一次方程的一组解.（5）把x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标.（6）把函数作图问题转化为求方程的解的问题.2.活动：作一次函数y = 2x + 1 的图象你认为一次函数的图象是什么形状?汇报:一次函数的图象是直线.师:所有的一次函数图象都是直线吗?师:那么一次函数y=kx+b（其中k、b为常数,k≠0）,也可以称为直线y=kx+b （其中k、b为常数,k≠0）.（板书）师:（出示幻灯片）问（2）:观察你和你的同伴所画的图象在位置上有没有不同之处?活动小结1（1）函数的图象概念把一个函数的自变量x与因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数的图象.（2）作函数图象的一般步骤：列表.列出自变量和函数的对应值描点.根据上表的对应值描出点的位置连线.根据描出的点的发展趋势，用光滑的线把点连接起来.3.活动：问题1：一次函数y=2x+1图象是什么形状呢？问题2：凡是满足关系式y =2x+1的x,y的值所对应的点（x,y），如（1,3）,（4,9）….都在一次函数y=2x+1的图象上吗？问题3：请你从一次函数y =2x+1的图像上任意取一点，检验该点的横坐标x和纵坐标y是否满足关系式y =2x+1.问题4：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像都是一条直线吗？举例验证.问题5：几个点可以确定一条直线？问题6：画一次函数图像时，只要取几个点？做一做（1）作出一次函数y= -2x+5的图象（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系式y=-2x+5？议一议（1）满足关系式y =-2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数y =-2x+5的图象上？（2）一次函数y =-2x+5的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-2X+5吗？（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？活动小结2一次函数y=kx+b的图象的特点：一次函数y=kx+b的图象是一条直线作一次函数y=kx+b的图象只要确定两个点，再过这两个点作直线就行了.一次函数y=kx+b，当k>0时y值随x值的增大而增大；k<0 y值随x值的增大而减小.4.活动：问:对于画一次函数y=kx+b（其中k、b为常数,k≠0）的图象——直线,你认为有没有更为简便的方法?画一次函数图象,只过两个点画直线就行.师,动画演示用“两点法”画一次函数的过程在同一直角坐标系内画出下列函数图象：y=2x+1 y=-2x+1活动小结3画出一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可.为了描点方便，对于一次函数y=kx+b（k,b是常数,k≠0）通常选取（0,b）与（－b /k ,0）两点5.练习在同一直角坐标系中画出下列一次函数图象（1）y=3x+1（2）y=3x+2（3）y=12x+2师:我们现在已经用:“两点法”把三个一次函数图象准确而又迅速地画在了一个直角坐标系中,这三个函数图象之间在位置上有没有什么关系呢?比较画出的各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点？1）y=3x+1 与y=3x+22）y=3x+2 与y=12x+2（三）探究交流、总结升华问题：对于直线y=kx+b（k,b是常数，k≠0），常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响？说说你的看法.师:刚才同学说的,当k值相同,且b值也相同时,两个函数图象又是什么样的位置关系?不画图象,你能说出下列每对函数的图象位置上有什么关系吗?①直线y=-2x-1与直线y=-2x+5;②直线y=0.6x-3与直线y=-x-3.师:一次函数的图象都是直线,它们的形状都相同,只是位置不同.活动:我们能不能将其中一条直线通过平移、旋转或对称性,使它们和另一条直线重合.你试试看.生1:①y=0.5x与y=0.5x+2;将y=0.5x平移能得到y=0.5x+2.我们这节课只研究平移.问:①y=0.5x与y=0.5x+2平行,观察图象,直线y=0.5x沿y轴（向上或向下）,平行移动个单位得到y=0.5x+2?（四）课堂训练、巩固提高1.将直线y= -3x沿y轴向下平移2个单位,得到直线（）.2.直线y=4x+2是由直线y=4x-1沿y轴向（）平移（）个单位得到的.3.将直线y=-x-5向上平移6个单位,得到直线（）.4.先将直线y=x+1向上平移3个单位,再向下平移5个单位,得到直线（）.（五）拓展训练、提升能力1.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20min到一个离家900m的报亭看10min报纸后，用15min返回家里，下图中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是（）2.拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，那么油箱中剩余原油量y（L）与工作时间x（h）之间的函数关系式和图象是（）A. y=4x-24（0≤x<6）B. y=24-4xC. y=24-4x （0≤x≤ 6）D. y=-24+4x（六）课堂小结你能谈谈你这节课的收获吗?生1:我知道了一次函数图象是直线,所以可以说直线y=kx+b（k≠0）我还学会了用“两点法”画一次函数的图象.生2:我觉得学习一次函数,既离不开数,也离不开图形.生3:我知道当k值相同,b值不同时,两个一次函数图象平行,当k值不同时,两个次函数图象相交.生4:我知道一条直线通过平移可以得到另一条直线,函数关系式中k,b值的变化情况.生5：一次函数y=kx+b （k≠0），当k>0时，y 值随x 值的增大而增大；k<0时，y 值随x 值的增大而减小.生6：一条直线通过平移可以得到另一条K 值相等直线……（七）课堂检测、及时反馈一、填空:1.一次函数y=kx+b （k≠0）的图象是 ，若该函数图象过原点,那么它是 。
一次函数揭秘一次函数的定义和性质
一次函数揭秘一次函数的定义和性质一次函数揭秘：一次函数的定义和性质一次函数，也称为线性函数，是数学中最简单、最重要的函数之一。
它的函数表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是实数，并且a ≠ 0。
本文将深入探讨一次函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用一次函数。
一、一次函数的定义一次函数是指其函数图像为一条直线的函数。
在一次函数的函数表达式中，x 是自变量，y 是因变量。
其中，a 代表斜率，决定了函数图像的斜率和方向；b 代表截距，决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当a > 0 时，函数图像呈现正斜率，向上倾斜；当 a < 0 时，函数图像呈现负斜率，向下倾斜。
二、一次函数的性质1. 变化率恒定：一次函数的斜率 a 表示了函数图像的变化率。
具体来说，a 的绝对值越大，函数图像变化的速率就越快；a 的绝对值越小，函数图像变化的速率就越慢。
当 a = 0 时，函数图像为一条水平直线，不变化。
2. 函数图像经过定点：一次函数的截距 b 决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当 b = 0 时，函数图像经过原点；当b ≠ 0 时，函数图像与y 轴有一个截距点。
这个截距点的纵坐标为 b，横坐标为 0。
3. 一次函数的图像特点：一次函数的图像是一条直线，具有直线的一些特点。
例如，两点确定一条直线，可以利用函数图像上的两个点得到函数的具体表达式；一次函数的图像关于 y 轴对称，可以通过将 x 取负得到关于 y 轴对称的点，并连接这两个点得到函数图像。
三、一次函数的应用1. 行程与距离关系：一次函数可以应用于行程与距离之间的关系。
例如，当一个物体以一定速度匀速运动时，其行进的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
2. 成本与产量关系：一次函数也可以应用于企业的成本与产量之间的关系。
例如，当产量固定的情况下，成本可以通过一次函数来表示，这样就可以帮助企业进行成本控制和预测。
3. 温度变化关系：一次函数还可以应用于温度变化之间的关系。
一次函数的性质教案鲁教版(五四制)数学七年级上册
第六章一次函数6.3.3 一次函数的性质一、学情分析八年级学生已经学习了变量之间关系和一次函数的定义和图像，积累了研究变量之间关系以及图象的一些方法和初步经验.此外，学生还初步具备了一定的独立思考、合作讨论、交流展示、质疑补充等能力. 学生也对运用数形结合思想探究函数性质有了初步感受。
二、教材分析《一次函数的性质》是鲁教版五四学制2011课标版七年级上册第六章《一次函数》的第三节的第三课时。
本节内容是在前面学习了正比例函数图形和性质，以及一次函数的图像画法的基础上展开的学习。
本节课主要是让学生通过类比正比例函数的性质的探究方法，利用数形结合思想，结合一次函数图像探究一般的一次函数y=kx+b （k≠0）的性质；并让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及具体直线之间的平行、位置关系。
本节课也为下节课学习一次函数的应用等知识打下坚实的基础。
因此本节课起着承上启下的作用。
、三、教学目标1.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，得到一般的一次函数y=kx+b（k≠0）的性质，并使学生学会利用一次函数的性质解决简单的问题；2.在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识和类比的数学思想；3.通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、语言表达能力、合作交流以及质疑补充的能力。
四、教学过程设计本节课设计六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：自主探究；第三环节：合作探究；第四环节：随堂练习；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置。
第一环节：复习引入正比例函数y=kx(k≠0)是一条；k＞0时，图像过、象限，y的值随x 值的增大而，k＜0时，图像过、象限，y 的值随x值的增大而，类比正比例函数的性质，一次函数y=kx+b(k≠0)的性质是什么呢？这节课我们就来研究一次函数图象的性质.设计意图：复习回顾前面学习正比例函数的图像和性质，以及一次函数的图像的相关知识内容，为本节课进一步研究一般的一次函数的性质做好铺垫.第二环节：自主探究请同学们在同一坐标系中分别画出下列一次函数的图像：（小组分工）设计意图：一方面复习考查上节课所学一次函数图像的画法，另一方面也为下一环节探究一次函数性质提供素材。
【鲁教版】中考数学一轮分类复习十四《一次函数》教案
【鲁教版】中考数学一轮分类复习十四《一次函数》教案一. 教材分析鲁教版中考数学一轮分类复习十四《一次函数》教案，主要围绕一次函数的定义、性质、图像、应用等方面展开。
本节课的教学内容是一次函数的基本概念、一次函数的图像与性质、一次函数的应用。
通过本节课的学习，使学生掌握一次函数的基本知识，能够运用一次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了初中阶段函数的基本知识，对函数的概念、性质有一定的了解。
但部分学生在一次函数的图像与性质方面还存在一定的困难，需要教师在教学过程中给予关注和引导。
此外，学生对实际问题中的一次函数模型还比较陌生，需要通过实例讲解和练习，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一次函数的定义，掌握一次函数的图像与性质，能够运用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现一次函数的性质，培养学生的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探究的学习态度，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一次函数的定义、图像与性质。
2.教学难点：一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一次函数，激发学生的学习兴趣，引导学生理解一次函数的实际意义。
2.互动教学法：教师与学生互动，引导学生观察、分析、归纳一次函数的性质，提高学生的思维能力。
3.实践教学法：通过解决实际问题，培养学生运用一次函数解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2.学具：笔记本、文具。
3.教学资源：一次函数的相关案例、习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入一次函数，引导学生理解一次函数的实际意义。
例如，讲解交通费用与行驶里程之间的关系，引导学生发现一次性费用与行驶里程之间的关系可以表示为一次函数。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示一次函数的图像，引导学生观察、分析一次函数的性质。
鲁教版七年级数学上册一次函数1
一次函数一、知识点:1.一次函数意义(正比例函数意义);2.一次函数图象;3.一次函数性质;4.一次函数应用:待定系数法,两直线的位置关系.二、中考课标要求三、中考知识梳理1.正比例函数与一次函数的关系正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数.2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式, 已知两点便可确定一次函数解析式.3.一次函数的图象正比例函数y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线;一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),(bk,0)两点的一条直线.4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限,当k<0时直线过第二、四象限;b 决定直线与y轴交点的位置,b>0直线交y轴于正半轴,b<0直线交y轴于负半轴.5.直线L1与L2的位置关系由k、b来确定当直线L1∥L2时k相同b不同;当直线L1与L2重合时k、b都相同;当直线L1与L2相交于y轴同一点时,k不同b相同.6.一次函数经常与一次方程、一次不等式相联系四、中考题型例析1.一次函数的图象例1 (2003·福州)如果直线y=ax+b经过第一、二、三象限,那么ab____0( 填“>”、“<”、“=”).分析:已知直线y=ax+b经过第一、二、三象限,可先画出草图,由图可知a>0, b>0或根据直线y=kx+b中当k>0直线过第一、三象限,b>0时交y轴于正半轴来判断.解:由题意可画出草图,由图可知a>0,b>0,∴ab>0,故答案为>.答案:>.点评:解决此题的关键是明确一次函数y=kx+b中k、b 的符号与直线的位置之间的关系,并学会应用数形结合的数学思想方法.例2 (2003·青州)下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、 n是常数且mn≠0)图象是( )O x yAO xyBO xyCOxyD解析:对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例如, 假设选项B中的直线y=mx+n 正确则m<0,n>0,mn<0则正比例函数y=mnx则应过第二、四象限,而实际图象则过第一、三象限,∴选项B错误.同理可得A正确.答案:A.2.一次函数的性质例3 (2003·甘肃)一次函数的图象过点(1,2),且y随x的增大而增大, 则这个函数解析式是________.分析:由一次函数图象过点(1,2),可先设出解析式为y=kx+b(或y=kx)将点(1,2)代入其解析式.但函数y随自变量x的增大而增大,这一条件不能丢.解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b(或y=kx)(k≠0)y随自变量x的增大而增大, 则k>0,将(1,2)代入y=kx+b,得2=k+b,即k=2-b.不妨取k=1,得b=1.∴解析式为y=x+1;取k=2,得b=0,∴解析式为y=2x;取k=3,得b=-1,∴解析式为y=3x-1;…∴满足条件的解析式有无数个,故答案为:y=x+1或y=2x或y=3x-1等等.点评:本题中是确定解析式的开放性的题目,解决此类题目的关键是抓准已知条件中函数的性质来思考.3. 一次函数的应用例 4 (2003·哈尔滨)如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象( 分别是正比例函数图象和一次函数图象).根据图象解答下列问题:(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围;(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?分析:由已知条件可设两条直线分别为y=k1x(k1≠0)或y=k2x+b(k2≠0),然后根据图象给出的点的坐标,利用“待定系数法”可确定(1)中的两条直线;(2)由图可得轮船8h行160km,快艇4h行160km,分别求其速度;(3)根据追及问题中“快者路程- 相距路程=慢者路程”可求解.解:(1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx,由图象知:当x=8时,y=160.∴8k=160,解得k=20.∴表示轮船行驶过程的函数解析式为 y=20x.设表示快艇行驶过程的函数解析式为y=ax+b.由图象知:当x=2时,y=0;当x=6时,y=160.∴021605a ba b=+⎧⎨=+⎩解得4080ab=⎧⎨=-⎩∴表示快艇行驶过程的函数解析式为 y=40x-80.(2)由图象可知,轮船在8h内行驶了160km,快艇在4h内行驶了160km,故轮船在途中的行驶速度为1608=20(km/h),快艇在途中行驶速度为1604=40(km/h).(3)设轮船出发xh快艇赶上轮船.20x=40x-80,x=4, ∴x-2=4-2=2.答:快艇出发2h赶上轮船.点评:本题主要通过一次函数图象与坐标轴的交点的意义来解决实际问题,因此弄清交点的意义是关键,然后用待定系数法求函数解析式.。
鲁教版(五四制)七年级上册第六章一次函数知识点总结
第六章一次函数1.变量和常量在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，数值始终保持不变的量，我们称之为常量。
2.函数一般地，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数。
其中x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
表示函数的方法：列表法、关系式法、图像法。
3.一次函数定义若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数。
【说明】：（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数。
（3）当b=0，k≠0时，y=b仍是一次函数.当b=0，k=0时，它不是一次函数.4.一次函数的图像把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点的组成的图形叫做该函数的图象。
一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象是一条经过（0，b ）和（kb -，0）的直线； 正比例函数y=kx 是一条经过（0，0）和（1，k ）的直线。
5.一次函数的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 随x 的增大而增大；②k ＜0时，y 随x 的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度：①|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡）；②|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同：6.确定正比例函数及一次函数表达式的条件正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y 的值或一个点）就可求得k的值．一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．7.待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．8.用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．9.用图象法解二元一次方程组（1）将方程组的每个方程都化为一次函数的形式；（2）在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象；（3）这两条直线的交点的坐标，就是这个二元一次方程组的解。
鲁教版初中数学五四制七上一次函数课件
任务2: 研究一次函数的性质
新课导入 正比例函数
形如y=kx （k是常数， k≠0）的函数是正比 例函数．
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠ 0） 的图象是一条经过原点的直线．k>0时，图象经过 一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增 大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右降 落，即随x增大y反而减小．
（2）y=x+3 与 y=3x+1；
相交
（3）y=-4x 与 y=-4x-7； 平行
（4）y=-3x-1与 y=3x+1． 相交
规律
一次函数y=kx+b的图象是一条直 线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看 作由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到 （当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向 下平移）．
m__=_4_____ ．
注意:正比例函数是一次函数.但是, 一次函数不一定是正比例函数.
练一 练
一次函数的图象经过点（0，2）和点（4，6）． （1）求这个函数的解析式． （2）画出这个一次函数的图象．
解：（1）设这个一次函数的解析式为y=kx +b (k≠0)
根据题意： K×0+b=2 解得： k=1
讨论：这些函数从情势上看有什么特点？
这些函数的情势都是自变量x的k （常数）倍与一个常数的和的情势．
知识要 点
一般地，形如y=kx+b（k、b是 常数，k≠0•）的函数， 叫做一次函 数．
当b=0时，y=kx+b=kx，即 y=kx，所以说正比例函数是一种特 殊的一次函数．
想一想
（1）若y=(m－3)x＋5是一次函数，则m___≠_3__． （2）若y=3x m2－8－7是一次函数，则 m_=_±__3__． （3）若y=(m＋4)x m2－15 ＋ 4是一次函数，则
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数是数学中一种基本的函数类型，也称为线性函数。
它的特点是函数图像为一条直线，表现出一种简单而直接的变化规律。
一次函数通常以 y = ax + b 的形式表示，其中 a 和 b 都是常数。
一次函数的性质有很多，接下来我们将逐一介绍。
1. 变化趋势：一次函数的图像为一条斜率恒定的直线，斜率的值决定了函数图像的变化趋势。
当斜率 a > 0 时，函数图像为上升的直线；当斜率 a < 0 时，函数图像为下降的直线；当斜率 a = 0 时，函数图像为水平直线。
2. 截距：一次函数的图像在 x 轴上与 y 轴相交的点分别称为 x 轴截距和 y 轴截距。
x 轴截距为负数的情况下，函数的图像位于 y 轴的左侧；x 轴截距为正数的情况下，函数的图像位于 y 轴的右侧。
3. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，即该函数对于任意实数值的 x 都有定义。
一次函数的值域是所有实数，即该函数可以取到任意实数值的 y。
4. 求解交点：一次函数与 x 轴的交点称为根，也就是函数图像与 x轴的交点；与 y 轴的交点称为解，也就是函数图像与 y 轴的交点。
求解根的方法是令 y = 0，并解出 x 的值；求解解的方法是令 x = 0，并解出 y 的值。
5. 判断与关系：对于两个不同的一次函数 f(x) = ax + b 和 g(x) = cx + d，若 a = c 且 b = d，则两个函数是相等的；若 a = c 且b ≠ d，则两个函数是平行的，它们的图像永远不会相交；若a ≠ c，则两个函数是相交的，它们会有一个交点。
6. 性质推广：一次函数的性质可以推广到更高维度的情况。
对于二维空间中的直线，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有两个变量。
对于三维空间中的平面，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有三个变量。
在实际应用中，一次函数常常被用于描述变化的趋势和规律。
鲁教版七年级上册数学一次函数
鲁教版七年级上册数学一次函数
一次函数，也称线性函数，是中学数学中的重要概念，在鲁教版七年级上册数学中因其简单易懂受到学生的欢迎，其以比较简单的图形让学生快速掌握函数的一般性质，有效拓宽了学生的视野，将线性函数巩固熟悉。
一次函数具有明显的特点：函数图像全部是切线，两点式表示：y=kx+b，其中k为斜率，b为函数图像与x轴的交点。
由此得出，函数表明固定的x值对应的y 值，只要给定一个x值，就可以算出对应的y值。
一般来说，在鲁教版七年级上册数学一次函数一章中，采用直观图形法，进行计算练习。
学生容易根据函数图形分析函数性质，找出斜率、截距、函數图像上某点的坐标。
有效利用一次函数，学生可以采用多种方法来探究，可以运用图形的性质获得性质的对应，也可以通过函数的表示式来求解式子，更可以将函数变换成求根题解答，牢牢把握函数的表达形式，从而把握函数的变化规律，直观的深入地理解函数的特征，形成完整的概念认知。
综上所述，鲁教版能够帮助学生掌握一次函数，运用简单易懂的示例，使学生对课堂上学习的知识轻松运用、灵活运用，提高数学能力。
七年级数学一次函数2鲁教版
一次函数【目标预设】一、知识与能力。
了解一次函数的性质，会用性质解决有关问题。
二、过程与方法。
结合一次函数的图象，理解一次函数的性质。
三、情感、态度、价值观。
培养学生的观察、归纳的能力，进一步向学生进行数形结合的思想方法的教育。
【教学重难点】重点：一次函数的性质。
难点：由函数图象归纳得出函数的性质及对性质的理解。
【预习导学】预习书本P30 得出具体性质如下：当k>0 时，y随x的增大而。
当k<0时，y随x的增大而。
【教学过程】一、创设情景，谈话导入。
前面我们在学习正比例函数的性质时，知道当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，那么在一次函数中，该结论是否仍成立呢？二、精讲点拨、质疑问难。
1、直线所经过的象限与k、b的关系。
（若首先根据给定的函数关系式中b值的正、负确定出直线与y轴交点的大致位置。
b>0,则直线与y轴交点在y轴正半轴；若b<0，则交点在y轴负半轴）。
之后根据k 值的正、负确定出直线的倾斜状态，画出大致图象，这样就能迅速确定出直线所经过的象限。
（1） k>0b>0（2） k>0b=0（3） k>0b<0（4） k>0b>0（5） k<0b=0（6） k<0b<02.一次函数y=kx+b (k≠0)的增减性当k>0 时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
三、课堂活动、强化训练。
例1．当k取的实数时，函数y=(1–2k)x+5 随x的增大而减小。
例2. 如果一次函数y=kx+(k–1)的图象经过第一、三、四象限，求k的取值范围。
四、延伸拓展、巩固内化。
例3．已知一次函数y=(1–a)x+4a–1的图象与y轴交于正半轴，且随x的增大而增大，求a的取值范围。
鲁教版初中教科书七年级上册《一次函数》教学设计
鲁教版初中教科书七年级上册《一次函数》教学设计一、教学分析（一）教材分析本节课是鲁教版初中教科书七年级上册第六章一次函数的第二节一次函数。
一次函数是初中阶段研究的第一个函数,它的研究方法具有-般性和代表性,所以一次函数是初中阶段数学学习的一个重要内容,它是研究现实世界变化规律的-个重要模型。
一次函数学习为后继学习提供经验与知识基础。
通过探究一次函数，使学生了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识世界的意识和能力，也为后续进一步学习反比例函数和二次函数等做好铺垫。
同时,在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不等式都存在于一次函数中。
三者相互依存,紧密联系，也为方程、不等式、函数解法的补充提供了新的途径。
(二)学情分析学生第一次系统地对一类特殊函数进行研究，在认知方式和思维上对学生都有较高的要求。
所以学生对实际问题中的数量关系不易理顺，比较难以完成实际问题中变量之间的关系。
通过本课学习，可以进一步提高学生归纳能力，函数建模能力，促进学生函数应用意识的形成。
（三）学习目标知识目标：1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间关系。
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
能力目标：1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
情感目标：1、通过函数与变量之间的关系的联系，发展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
（三）学习重点理解一次函数和正比例函数的概念，在探索过程中感受建模思想,感悟一次函数的本质.学习难点观察、发现并抽象概括一次函数概念的过程.（四）学法指导探究----归纳法二、教学过程（一）创设情境展示罗山公园图片，引出本节所要探索问题。
出发前的准备:加油枪给汽车加油的流量是25升/分钟.假设加油前油箱里没有油，在加油过程中，油箱里的油量y(升)与加油时间x(分钟)之间有怎样的函数关系? 如果加油前油箱里有6升油呢？教师板书学生答案。
七年级数学一次函数的图象鲁教版
一次函数的图象
〖教学目标〗
◆1、使学生掌握一次函数的性质．
◆2、通过画一次函数，探究一次函数的性质，体验学习的乐趣．
◆3、培养学生的观察、比较、归纳能力．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：一次函数的性质．
◆教学难点：例2的问题情境及函数的图象和性质等多方面知识的应用．
〖设计理念〗
◆从画一次函数图象着手，理解一次函数的性质：函数y=Kx+b(k≠0),当k>0时，函数值随自变量的增加而增大；当k<0时，函数值随自变量的增加而减小。
并运用这一性质判别函数的增减变化．
〖教学过程〗。
七年级数学上册 6.3 一次函数的图象教案 鲁教版五四制
七年级数学上册 6.3 一次函数的图象教案 鲁教版五四制一、教学目标知识目标使学生掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象； 和结合图象，使学生理解掌握一次函数的性质； 能力目标探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力。
思想方法目标 初步了解数形结合 二、教学重点与难点教学重点一次函数的图象与性质 教学难点对一次函数)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数中b k ,的数与形的联系的理解 三、教学方法“实践探究、启发引导、归纳概括” 的引导探究法 四、辅助教学手段1、 教师、学生每人一台电脑、网络平台及大屏幕投影设备2、 课前制作的多媒体辅助教学软件及资料3、 运行环境：win98以上操作系统及几何画板工具 五、教学过程 创设情境，引入课题 【】前面我们己学习了一次函数的概念，一般地，如果)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数，那么y 叫x 的一次函数。
特别地：当0=b 时，一次函数就变成了正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数。
在同一直角坐标系中投影出13,1,3,+=+===x y x y x y x y 的函数图象，让学生观察它们的图象都是直线并引入课题。
所有的一次函数的图象都是直线。
因此要画一次函数的图象——一条直线，就没有必要把所有的点都描出来，只要描出两个点就可以了，因为两个点确定一条直线。
利用这个结论，我们可以更快地作出一次函数的图象，并对它的性质进行研究。
描点画图，归纳画法【过渡】下面我们一起来画首先共同画出正比例函数x y 5.0=与x y 5.0-=的图象。
并由此归纳出正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数的图象为过)0,0(和),1(k 两点的直线。
观察图象、研究性质然后提出问题1：让学生自己画图，研究正比例函数有何性质？即正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数中，k 对函数图象有何影响？并填写实验报告（课前印好发给学生，或者学生在网络上填写）。
七年级数学一次函数 第2课时鲁教版
一次函数第二课时教学目标：【知识目标】1．经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象．2．探索一次函数图象的特点以及同正比例函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力。
2、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
3、探索一次函数作图过程。
【能力目标】1、探索一次函数作图过程。
2、掌握一次函数y＝kx＋b的性质。
【情感目标】探索一次函数图象观察、分析等过程，提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力。
教学重点：探索一次函数作图过程。
教学难点：掌握一次函数y＝kx＋b的性质。
教学过程设计：一、创设问题情境，导入新课师：上一节我们学习了一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的概念，当b等于0时，y=kx+b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
师：那谁知道正比例函数的画法呢？生：首先确定坐标原点，再次确定一个点（1，k），将两点用直线连接起来，就是该正比例函数的图象。
师：你能通过实例y=3x来确定点（1，k）吗？生：当x=1时，k＝y=3x＝3，确定该点坐标值为（1，3）师：很好。
你很聪明！师：那常规画法主要分为几步呢？生：三步：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
师：如果将上面的正比例函数改为的y=3x+5（或y=3x-5），就成为一个普通的一次函数。
那么这个图象如何画呢？小组合作讨论交流，共同完成任务。
总结画一次函数图象的方法。
生：很简单，同样可以利用正比例函数图象的常规画法，列表，描出几个特定的点，用直线连接起来。
师：那么在正比例函数中利用原点和某一点，最少需要确定几点呢？生：一点就可以。
过渡：在一次函数中，应该确定几点呢？大家先画一下（要求将两个函数图象画在一个坐标内）二、动动手学生带着疑点去思考，动手画正比例函数y=3x与一次函数y=3x+5、y=3x-5的图象。
过程假设：（一）、列表x+5 …y=3 x-5-5-2……（二）、画图（描点、连线）：三、明察秋毫在投影仪上投放正确的图象，来校验同学们的图象是否正确。
鲁教版版七年级数学上册：函数性质用途多多
鲁教版活学实用函数性质用途多多山东苗伟一次函数y=kx+b（k≠0）有如下性质：当k＞0时，y的值随着x的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x的增大而减小.利用一次函数的性质可以帮助我们解决许多问题.一、求字母的取值范围例1已知一次函数y=kx-m的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜0，m＞0 B．k＜1，m＜0 C．k＞0，m＞0 D．k＜0，m＜0解析：因为一次函数y=kx-m的图象与y轴的负半轴相交，所以-m＜0，即m＞0.因为函数值y随自变量x的增大而减小，所以k＜0．故选A.二、确定函数图象例2 （2017年沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y=x-1的图象是（）A ．B ．C ．D ．解析：在一次函数y=x-1中，k=1＞0，所以y随着x的增大而增大，排除选项A，C.因为-1＜0，即函数图象与y轴交于负半轴，所以选项D错误.故选B.三、确定函数的表达式例3某一次函数的图象经过点（-1，3），且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数表达式：_____.解析：因为函数y随x的增大而减小，所以k为负数，所以k的取值不唯一，如取-1.设y=-x+b，将点（-1，3）代入，得3=-（-1）+b，解得b=2.所以一次函数的表达式可以为y=-x+2.故填y=-x+2.四、比较大小例4 （2017年海南）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x-1的图象经过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1 ____ y2.（填“＞” “＜”或“=”）解析：在一次函数y=x-1中，k=1＞0，所以y随x的增大而增大．因为x1＜x2，所以y1＜y2．故填＜.1。
七年级数学一次函数鲁教版
一次函数教学目标1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律重点一次函数解析式特点一次函数图象特征与解析式的联系规律难点1、一次函数与正比例函数关系2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学过程问题与情境（一）设置问题情境某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，试用解析式表示y与x的关系．分析结果：y随x变化的规律是，从大本营向上当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃．因此y与x的函数关系为y＝5－6x．这个函数也可以写为y＝－6x＋5．当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置的气温就是x＝0．5时函数y＝－6x＋5的值，即y＝－6×0．5同学们来观察式子y＝－6x＋5，观察、讨论y与x有怎样的关系．再来考虑以下问题：（二）思考下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点? （1）有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差；（2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值；（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费按0．01元／分收取；（4）把一个长10cm、宽5 cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化．可以得出上面问题中的函数解析式分别为：（1）c＝7t－35；（2）G＝h－105；（3）y ＝0．01x ＋22；（4）y ＝－5x ＋50．＋5＝2（℃）．观察以上几个函数，观察y 与x 之间是怎样的函数关系，有什么共同点？与正比例函数有什么异同？归纳总结出结论．答：对于一个特定的函数式，k ，b 的值是固定的（三）归纳正如函数y ＝－6x ＋5一样，上面这些函数的形式都是自变量x 的k （常数）倍与一个常数的和．一般地，形如y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数（1inear function ）．当b ＝0时，y ＝kx ＋b 即y ＝kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．提问：k ，b 是常数的含义是什么？（四）练习1．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数?（1）y ＝－8x ；（2）y ＝8x ；（3）y=5x2＋6；（4）y ＝－0．5x －1．2．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米．（1）求小球速度v 随时间t 变化的函数关系式，它是一次函数吗?（2）求第2．5秒时小球的速度．3．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．y 是x 的一次函数吗?（五）小结引导学生总结出一次函数的概念．作业练习册上的相关练习板书设计一次函数（一）问题的提出问题的思考归纳出一次函数的概念练习。
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动手做一做 探索发现规律
y=2x+3
. . . . . . . . . . . . . . .
直线y=kx+b
3
·
y
y=2x+3
b+3
·
y=2x+0 y=2x-3
y=2x +0
b-3 y=2x-3
. . . . . . . . . . . . . . . 1 0
经过画图你 发现一次函 数图象的什 么规律?
4
探索发现 直线y=kx+b y=-4x+1
y
1
. . . . . . . . . . . . . . .
· · · ·
x y=-1x+1
y=-2x+1 y=-x+1
. . . . . . . . . . . . . . . 0 1
经过画图你发现
直线与x轴所成的
y=-2x+1
y=-4x+1
5
锐角大小与什么有关?
经过画图你发现 一次函数值的变 化有什么规律?
y y
k＜0
x 的 值 着 增 y=-1x+1 大 而 时 X的值增大 减 小
7
y
想一想
y=2x+6 和 y=5x . . . . . . . . . . . . . . .
· ·
x 从 0 开始逐渐 增大时,哪个函数 的值y 先达到20? 这说明了说明?
· ·
x
6
. . . . . .0 . . . . . . . . . x y=2x+6 y=5x
8
想一想 直线y=-2.5x+6 与y=-2.5x-0.2 的位置关系如何?
直线y=2 x+6 与 y= -7x-8 的位置关系如何?
一次函数y=10x-9中, y的值随x的值增大而 一次函数y=(k-3)x+5中, 若y的值随x的值增大而减少,则 k 若直线y=1.6x -(2n+6) 经过原点,则n= .
·
·
当k= -1 时 y=(1-3k)x+2k-1 =4x-3
y
y=4x-3
y= 5 x -2 2
当k= -1/2 时
y=(1-3k)x+2k-1 = 5 x -2 2 y1=4x1-3 ∵
0
x
·
A (( x12 y,1)- 1 ) A , 3 3
y1= 5 x1 -2 2 x1= 2 3 1 ∴ y1= 3
·
A(-5,-4 )
·
10
巩固知识
y
y=-3x-7
·
x=? 直线y=-3x-7上点 B的横坐标是2.3,你 能求出点B的纵坐 标 y=?
A
3
2.3
直线y=-3x-7上点 A的纵坐标是3,你 能求出点A的横坐标 吗?
x
0
·
B
11
吗?
巩固知识
· y=-5x-16 在y=-5x-16中: x 取哪些数时 · y 的值都是正数(y＞)0? · · A x ·0 · 你能求出直线 ( , ) 在y=-5x-16中: ·B y=-5x-16与坐标轴 ( , ) · 的交点坐标吗? x 取哪些数时 · y 的值都是负数(y＜0)? ·
1 7).直线y=1- 2 x, y=-0.1x, y=1- 10 x都是互相平行吗?
8).在直线y=-3x 中x 取什么值时, y＞0?
17
2
· · ·
-3
x
·
探索发现
. . . . . . . . . . . . . . .
直线y=kx+b
k＜0 y= -4x-2
y= -4x-2
y k＞0
y= 4x-2
. . . . . . . . . . . . . . . 1 0 y= 4x-2
·
·
x
经过画图你有发现
k值的正负与直线
3
-2
· 有什么关系?
15
本课件由魏老师创意制作 04.12.5
16
测试题(时间4分钟) 1).一次函数y=1.2x+6的图象经过y轴的哪一点? 2).x取什么值时,函数y=0.5x+1的值等于0? 3).函数y=2x-b+6是正比例函数,b等于多少? 4).在函数y=6 -0.5x中,y的值是随x的值怎么变化的? 5). k是何值时,函数y=(k-5)x+1的值y随x的值增大而增大? 6).A点(-1,4),B点(3,4)是否都在直线y=1- 3x 外?
-3.2yຫໍສະໝຸດ 00-16
12
. . . . . . . . . . . . . . .
巩 固 知 识
y
如直线y=(1-3k)x+2k-1与x轴 交于A点(3/4,0), 则k的值是 多少? ∵0=(1-3k)(3/4)+2k-1
∴k= -1 . . . . . . . . . A(3/4,0). . . x . . . 1 0 如直线y=(1-3k)x+2k-1与y轴 交于B点(0,-2), 则k的值是多 少? ∵-2=(1-3k)(0)+2k-1 -2 B(0,-2) ∴k= - 1 13 2
.
.
9
6
巩固知识
y
·
. . . . . . . . . . . . . . .
不画出直线y=-2x+3, C(-1,5) 判断这直线经过下列 点A、B、C、D、E D(1,1) 中的哪些点? B(-4,0) . . . . . . . . . . . . . . . x 0 E(5 , -1)
·
·
这两条直线的交点A 的坐标是多少?
14
一次函数的性质
在y=kx+b中: 当k＞0时,y的值随x值的增大而增大; 当k＜0时,y的值随x值的增大而减少.
正比列函数的性质
正比列函数y=kx的图象是经过原点（ 0,0）的一条直线.
在正比列函数y=kx的图象中，
当k的绝对值值越大时，
函数图象与x轴所成的锐角越大。
探索发现 直线y=kx+b y=4 x+1
y 1
y=2 x+1
. . . . . . . . . . . . . . . 1 0 y=x+1 y=2x+1
·· ·
. . . . . . . . . . . . . . .
·
x
y= 1 x+1
y=4x+1
经过画图你发现
直线与x轴所成的 锐角大小与什么有关?
直线y=kx+b
探索发现
y
1
y=1x+1
y y 的 y 值 y x. x . . . . . . . . . . . 也 . . . x x x x 随 0 y 着 y 增 大 经过画图你发现 k＞0时 X的值增大
在y= x+1中 x取-3,-2, -1, 0, 1, 2, 3时 y的值是否也增大?
·
. . . . . . . . . . . . . . .
y
·
x
一次函数值的变 化有什么规律?
6
探索发现 直线y=kx+b . . . . . . . . . . . . . . . 1
y
y y
y=-1x+1
y
· ·
y
y 的 值 随 x
x . . . . . . . . . . . . x. . . x x0 x x