高三数学-淮安市2015届高三第一次调研测试数学(理)试题

一、填空题：1.已知集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，则M N = ▲ ． 【答案】{}0,3考点：集合运算 2.若复数1i1ia +-为纯虚数，i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ． 【答案】1 【解析】 试题分析：因为1i (1i)(1)111i 222a a i a a i +++-+==+-，所以110,0 1.22a a a -+=≠⇒= 考点：纯虚数3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是 ▲ ．【答案】6考点：系统抽样4.在如图所示的算法中，输出的i 的值是 ▲ ．【答案】7考点：循环结构流程图5.已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是 ▲ ． 【答案】3 【解析】试题分析：因为7592a a a =+，所以9a 75=2=3a a - 考点：等差数列性质6.若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ▲ ． 【答案】29考点：古典概型概率7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，则该双曲线的方程是 ▲（第4题图）【答案】2214y x -=考点：双曲线渐近线8.若1cos()33απ-=，则sin(2)απ-6的值是 ▲ ． 【答案】79-【解析】 试题分析：217sin(2)sin(2())cos 2()2cos ()121.323399πααααππππ-=-+=-=--=⨯-=-6考点：给值求值9.若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ▲ ． 【答案】2考点：基本不等式求最值10.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若各条棱长均为2，且M 为11AC 的中点，则三棱锥1M AB C -的体积是 ▲ ．考点：等体积法求体积11.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()f x x x =+，则关于x 的不等式()2f x <-的解集是 ▲ ．【答案】(2,)+∞考点：解不等式12.已知光线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ， 则反射光线所在直线的方程是 ▲ ． 【答案】660x y --= 【解析】试题分析：()3,4M -关于直线l ：30x y -+=的对称点为()1,0M '，所以反射光线所在直线的方程是直线M N '的方程: 606(2)660.21y x x y --=-⇒--=- 考点：反射直线ABC1A1B1CM(第10题图)13.如图，已知ABC ∆中，4A B A C ==，90BAC ∠= ，D 是BC 的中点，若向量14A M AB m AC =+⋅ ，且AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅ 的取值范围是 ▲ ．【答案】()2,6-考点：向量数量积14.已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(],2-∞-考点：解不等式二、解答题15.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π∠=． （1）若2a =，b =c 的值；（2）若tan A=tan C的值．c=（2）tan C=【答案】（1）4考点：余弦定理，两角和正切公式16.如图，在四棱锥P ABCD=．-中，底面ABCD是菱形，且PB PD⊥；（1）求证：BD PCBC l．（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：//【答案】（1）详见解析（2）详见解析因为,AD PAD BC PAD ⊂ ⊄平面平面．所以//BC PAD 平面 ………………………………………11分 又因为BC PBC ⊂平面，平面PBC 平面PAD l =．(第16题图)所以//BC l ． ………………………………………………14分 考点：线面垂直性质定理，线面平行性质定理17.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km,O 为圆心，C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．现在准备从A经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧 AC ，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y .（１）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （２）求观光路线总长的最大值.【答案】（1）2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）6π+(第17题图)O考点：函数解析式，利用导数求最值18.已知函数()e x f x =（其中e 是自然对数的底数），2()1g x x ax =++，a ∈R ． （1）记函数()()()F x f x g x =⋅，且0a >，求()F x 的单调增区间；（2）若对任意12,x x ∈[]0,2，12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(),1a -∞--和()1,-+∞（2）[]1,22ln 2--因为e 2x x -在[]0,ln 2上递减，在[]ln 2,2上单调递增， 所以e 2x x -在[]0,2上取得最小值22ln2-，所以22ln 2a -≤， ……………………………15分所以实数a 的取值范围为[]1,22ln 2--． ………………………16分 考点：不等式恒成立问题19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :2212412x y +=,设00(,)R x y 是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆R ：()()22008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q . （1）若直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12210k k +=； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）((228x y ±+±=（2）详见解析（3）定值为36(第19题图)考点：直线与椭圆位置关系20.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，若410S =，1391S =． （1）求n S ；（2）若数列{M n }满足条件： 11t M S =，当2n ≥时，n n t M S =－1n t S -，其中数列{}n t 单调递增，且11t =，n t *∈N ．①试找出一组2t ，3t ，使得2213M M M =⋅；②证明：对于数列{}n a ，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．【答案】（1）22n n nS +=（2）①24t =，313t =②详见解析考点：求等差数列和项，归纳探求新定义问题理科附加21.A如图，已知A,B,C是圆O上的三点，BE切圆O于点B,D是CE与圆O的交点，若，，，求线段CD的长.∠===BAC BE BC6024考点：弦切角定理，余弦定理，相交弦定理21.B 已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．【答案】2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（第21—A 题图）考点：特征值与特征向量21.C 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩（α是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程． 【答案】2sin ρθ=考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程21.D 已知关于x 的不等式1ax ax a -+-≥1的解集为R ，求实数a 的取值范围 【答案】(][),02,-∞+∞考点：含绝对值不等式性质22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=o ，1AB AC ==，13AA =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且1113C F C C =，1BE BB λ=，01λ<<．（1）当13λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当直线1AA 与平面AEF时，求λ的值．【答案】（1）60 ．（2）12λ=FEB 11A CBA1C （第22题图）考点：利用空间向量求线线角、线面角23.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *，都有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明．【答案】（1）11a =，39a =（2）2n a n =由条件得()22111111212k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭，考点：归纳、猜想、证明。