2015--2016度高二数学第二学期期末试题
2015─2016学年下学期高二期末考试数学试卷(文科含答案)
2015─2016学年高二下学期期末考试文科数学注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效． 4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}4,3{=B ，则B A C U )(=( ） A ．}3{ B ．}4{ C ．}4,32{， D ．}5,4,31{， 2．若复数z 满足i i z 2)1(=-（i 为虚数单位），则||z =（ ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．一个球的体积是π36，那么这个球的表面积为（ ） A ．π8 B ．π12 C ．π16 D ．π36 4．设抛物线的顶点在原点,准线方程为x =2,则抛物线的方程是（ ） A ．x y 82-= B ．x y 42-= C ．x y 42= D ．x y 82=5．若R y x ∈,，且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥x y y x x 0321，则y x z -=2的最小值等于 ( ）A ．1-B ．0C ．1D ．36．将两个数5=a ，12=b 交换,使12=a ，5=b ,下面语句正确一组是 ( ）7．某三棱锥的三视图如右图示，则该三棱锥的体积是( )A ．8B ．332C ．340D ． 328．已知下表是x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为a bx y+=ˆ必过点（ ) A ．）（3,23 B ．）（4,23C ．)3,2(D ． ）（4,29．已知某函数图象的一部分如右图示，则函数的解析式可能是( ）A ．y ＝cos(2x －错误!)B ．y ＝sin （2x －错误!）C ．y ＝cos(4x －错误!)D ．y ＝sin （x ＋错误!)10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则其渐近线方程为（ ）A ．x y 21±= B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ． x y 2±= 11．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个,为了获得最大利润,每个售价应定为( ） A ．95元 B ．100元 C ．105元 D ． 110元 12．已知数列}{n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ,且对任意*N n ∈都有n n pa p S p -=-)1(的常数）为大于（1p ，则n a = ( ）A ．1)12(--n p p B ．1)12(--n pp p C ．1-n p D ．n p 第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．圆042422=-+-+y x y x 的圆心和半径分别是____________________；14．在等比数列}{n a 中，若2a ，10a 是方程091132=+-x x 的两根,则6a 的值是______； 15．已知向量),4(m a =,)2,1(-=b ,若b a ⊥，则=-||b a ____________； 16．己知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ,那么不等式01)(2<-x f 的解集是______________．三、解答题：(本大题共6小题， 17～21题每题12分，22题10分，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分）已知a 、b 、c 是△ABC 中A 、B 、C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5， S ＝53，求c 的长度．18．（本小题满分12分)为了了解云南各景点在大众人群中的熟知度，随机对15~65岁的人群抽取了n 人回答问题“云南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表所示．（1）分别求出表中a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3，4组每组各抽取多少人？(3）在(2）抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.组号分组回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率第1组 ［15，25) a 0。
20152016学年第二学期期末质量检测高二数学(理科)
理科数学·第 1 页 共 4 页2015-2016学年第二学期期末质量检测高二数学(理科)本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z 满足(1i)1i z -=+，则z =( )A ．12B ．1 CD ．22．下列求导运算正确的是( ) A ．()'11xx e e --= B ．()'cos3sin 3x x =-C．'=D ．()'ln 1ln x x x =+ 3．设()()221122,,,X N u Y N u s s ::，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>4．“0>x ”是“0342>++x x ”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件理科数学·第 2 页 共 4 页5．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为12，椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，抛物线的准线与椭圆相交于,A B 两点，则AB =（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．126．在四面体OABC 中，点,M N 分别是,OA BC 的中点，记OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =u u u r r，则MN =uuu r（ ）A ．311222a b c --r r rB ．111222a b c --r r rC ．111222a b c -++r r rD ．111222a b c -+r r r7．先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为） A ．14 B ．13C ．12D ．238．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是（ ） A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++C ．2)1(+kD ．]1)1(2)[1(312+++k k9．以下命题正确的个数为（ ）(1)命题“x R ∀∈，012>+-x x ” 的否定．．为真命题； (2)命题“若b a >，则22b a >”的逆命题．．．为真命题； (3)命题“若A B =，则sin sin A B =”的否命题．．．为真命题； (4)命题“若0>>b a ，则ba 11<”的逆否命题．．．．为真命题. A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 右支交于点A ，若OF OA =，则C 的离心率为（ ） AB ．2CD ．511．设S =,则S 的值等于理科数学·第 3 页 共 4 页A ．120152015-B ．120162015-C ．120152016-D ．120162016-12．若点P 在曲线21y x =+上，点Q在曲线y =PQ 最小值是（ ）AB．2 C．4 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．曲线2y x =与直线y x =围成的图形的面积是________．14．已知()()()21010012103111()x a a x a x a x +++⋯+＝＋＋＋＋，则8a = ． 15．将4本不同的书送给3名同学，每人至少1本，则不同的送法有________种．（用数字作答） 16．已知直线:l y x a =-经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 与C 交于A B 、两点．若6AB =，则p 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，34C π=， （Ⅰ）求证：()()1tan 1tan 2A B ++=；（Ⅱ）若b =，求证：3tan 2tan A B =.18.（本小题满分12分）已知函数()ln (,)f x a x bx a b R =+∈的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线的方程为2y x =-. （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的极值.19.（本小题满分12分）已知四棱锥中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2BAD PA ∠== ． （Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若G 为PC 的中点，求二面角C BG D --的平面角的余弦值.CB理科数学·第 4 页 共 4 页20.（本小题满分12分）甲乙两支篮球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一． （Ⅰ）求甲队以4:1战胜乙队获得总决赛冠军的概率；（Ⅱ）据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入50万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值()E X ．21.（本小题满分12分）已知圆(22:16M x y +=，动圆P 与圆M内切并且经过定点)N，圆心P的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设过点()0,2-的直线l 与曲线E 相交于,A B 两点，当OAB ∆的面积最大时，求l 的方程.22.（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数()()e 1xf x a x =-+的图象与x 轴相切．（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0x >时，2()f x mx >，求实数m 的取值范围．。
2015～2016学年高二第二学期期末调研测试数学(理)试题(含附加题)带答案
2015～2016学年高二期末调研测试数 学（理科） 2016．06参考公式：圆锥侧面积公式：S rl p =，其中r 是圆锥底面半径，l 是圆锥母线长．数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置．．．．．上．．1．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定是 ▲ ．2．已知复数2(34i)5iz +=（i 为虚数单位），则|z|＝ ▲ ．3．四位男生一位女生站成一排，女生站中间的排法共有 ▲ 种．(用数字作答)4．双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a ＝ ▲ ．5．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：(a ＋2)x －3y －2＝0垂直”的 ▲ 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)6．已知函数()e 2xf x x =+（e 是自然对数的底）在点(0,1)处的切线方程为 ▲ ．7．设某批产品合格率为23，不合格率为13，现对该批产品进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X=3)= ▲ ．8．若圆C 过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心C 在直线x －2y －2＝0上，则圆C 的标准方程 为 ▲ ． 9．若65()(1)(1)f x x x =+--的展开式为260126()f x a a x a x a x =++++，则125a a a +++的值为 ▲ ．(用数字作答) 10．从0，1，2，3组成没有重复数字的三位数中任取一个数，恰好是偶数的概率为 ▲ ． 11．已知点A (－3,－2)在抛物线C ：x 2＝2py 的准线上，过点A 的直线与抛物线C 在第二象限相切于点B ，记抛物线C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ▲ ．12．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0<p <1)．现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是58，则p 的值为 ▲ ． 13．若函数2()2e 3x f x a x =-+（a 为常数，e 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．若实数a ，b满足a =a 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球.（1）从中取1个小球，求取到白球的概率；（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 16．（本小题满分14分）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点F 为A 1D 的中点．（1）求证：A 1B ∥平面AFC ；（2）求证：平面A 1B 1CD ⊥平面AFC ．17．（本小题满分14分）如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已第16题图知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y 百元．（1）按下列要求写出函数关系式：①设OO 1h =(米)，将y 表示成h 的函数关系式； ②设∠SDO 1q =(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．18．（本小题满分16分）在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，,E F 分别是11,BC A C 的中点．（1）求直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）设D 是边11B C 上的动点，当直线BD 与EF 所成角最小时,求线段BD 的长．19．（本小题满分16分）如图，已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点(2,1)P ．第18题图 第17题图（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设点1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆M 上异于顶点的任意两点，直线OA ，OB 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-． ①求2212x x +的值；②设点B 关于x 轴的对称点为C ，试求直线 AC 的斜率．20．（本小题满分16分）已知函数()e x f x cx c =--(c 为常数,e 是自然对数的底)，()f x '是函数()y f x =的导函数．（1）求()f x 的单调区间； （2）当1c >时，试证明：①对任意的0x >，(ln )(ln )f c x f c x +>-恒成立； ②函数()y f x =有两个相异的零点．第19题图2015～2016学年苏州市高二期末调研测试数 学（理科） 2016．06数学Ⅱ试题注意事项：1．答题前务必要将选做题的前面标记框涂黑，以表示选做该题，不涂作无效答题． 2．请在答题卷上答题，在本试卷上答题无效．请从以下4组题中选做2组题，如果多做，则按所做的前两组题记分．每小题10分，共40分． A 组（选修4－1：几何证明选讲）A 1．如图，在△ABC 中，AB AC =，△ABC 的外接圆为⊙O ，D 是劣弧AC 上的一点，弦AD ，BC 的延长线交于点E ，连结BD 并延长到点F ，连结CD . （1）求证：DE 平分CDF Ð； （2）求证：2AB AD AE =?．A 2．设AD ，CF 是△ABC 的两条高，AD ，CF 交于点H ， AD 的延长线交△ABC 的外接圆⊙O 于点G ，AE 是 ⊙O 的直径，求证：（1）AB AC AD AE ??； （2）DG DH =.B 组（选修4－2：矩阵与变换）B 1．已知矩阵A ＝2143⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.（1）求A 的逆矩阵A －1；（2）求矩阵C ，使得AC ＝B .B 2．已知矩阵A ＝111a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及特征向量．C 组（选修4－4：坐标系与参数方程）C 1．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的极坐标方程为3)4pr q =-，曲线2C 的参数方程为8cos ,3sin x y q q ì=ïïíï=ïî（θ为参数）．（1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线2C 的参数方程化为普通方程；（2）若P 为曲线2C 上的动点，求点P 到直线:l 32,(2x t t y t ì=+ïïíï=-+ïî为参数）的距离的最大值．C 2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线l ：y kx =(0)x ≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．D 组（选修4－5：不等式选讲）D 1．已知关于x 的不等式111ax a x ≥-+-（0a >）. （1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．D 2．已知a ，b ，c 均为正数，求证：（1）114a b a b ++≥；（2）111111222a b c a b b c c a +++++++≥．2015～2016学年高二期末调研测试理科数学参考答案一、填空题1．∃x ≥1，x 2<1 2．5 3．24 4．1 5．充分不必要 6．310x y -+= 7．2278．22(4)(1)25x y -+-= 9．61 10．59 11．34- 12．1213．1(0,)e14．20 二、解答题15．解：（1）记从中取一个小球，取到白球为事件A ,………………………………2分1216C 1()3C P A ==．………………………………………………………………4分所以中取一个小球，取到白球的概率13．……………………………………5分（2）X 的取值为0，1，2 ．…………………………………………………6分2426C 2(0)5C P X ===，112426C C 8(1)15C P X ===，2226C 1(2)15C P X === 所以………………………………………………………………12分数学期望2812()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………14分16．证明：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接FO ，则点O 是BD 的中点．∵点F 为A 1D 的中点，∴A 1B ∥FO ． ………………………3分 又1A B ⊄平面AFC ，FO ⊂平面AFC ，A 1B ∥平面AFC ． …………………………7分（2）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵CD ⊥平面A 1ADD 1，AF ⊂平面A 1ADD 1，∴CD ⊥AF ． …………………………10分 又∵AF ⊥A 1D ，∴AF ⊥平面A 1B 1CD ． ………………………12分 又AF ⊂面AFC ，∴平面A 1B 1CD ⊥平面AFC ． ………………………14分17．解：（1）① S 圆柱侧=2πrh =8πh ，S 圆锥侧=πrl=4 ……………………2分y =2S 底面+ 2S 圆柱侧+4 S 圆锥侧=32π+16πh+16 = 32π+16(h p ，（48h ≤<）；………………………4分 （注：定义域不写扣1分） ② 4=cos SD θ，=84tan h θ-. y =2S 底面+ 2S 圆柱侧+4 S 圆锥侧=32π+24(84tan )2θ⨯⨯-⨯p +444cos p θ⨯⨯⨯=32π+64(2tan )p θ-+64cos p θ=160π+64π1sin cos θθ-(04p≤θ<). ………………………6分（注：定义域不写扣1分） （2）选方案①由（1）知y =32π+16(h p ，（48h ≤<）.BCOADB 1C 1D 1A 1F设8h t -=，则y = 32π+16(8t p -=32π+16(8p ， …………9分y =32π+16(8p 在(04],上单调递减，………………………11分所以，当4t =时，y 取到最小值(96p +．………………………13分选方案②由（1）知y=160π+64π1sin cos θθ-(04p≤θ<)， 设1sin ()cos θϕθθ-=，2sin 1'()cos θϕθθ-=，………………………8分因为，04p≤θ<，所以，'()0ϕθ<， 所以，()ϕθ在(0,]4p上单调递减，………………………11分所以，当4pθ=时，y 取到最小值(96p +． ………………………13分答：制作该存储设备总费用的最小值为(96p +百元． ……………………14分18．解：如图所示，以{1,,AB AC AA }为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -．则1(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(0,1,2)B C A E F ，（1）所以(1,0,2)EF =-，………………………2分平面ABC 的一个法向量为1(0,0,2)AA =，………………………4分设直线EF 与平面ABC 所成角为α，则1sin cos ,|α=|EF AA <>=11||2||||EF AA EF AA ⋅=⋅． ………………………7分（2）法一 因为D 在11B C 上,设(,2,2)D x x -,(2,2,2)BD x x =-- 所以|||1B DBBD⋅<>==， 设6t x =-因为[0,2],x ∈所以[4,6]t ∈, |c o s ,8)B D E F <>==．当129t =即9[4,6]2t =∈时取等号． …………………………12分此时|cos ,|BD EF <>最大,所以BD 与EF 所成角最小． 此时32x =．…………………………14分所以11(,,2)22BD =-,所以232()22BD ==． ………………………16分 法二 设111(2,2,0)B D λB C λλ==-,11(2,2,2)BD BB B D λλ=+=-，其中01λ≤≤，（第18题图）|||c o s ,|||||1B D E F B D E F B D E F ⋅<>==…………………………………9分设2[2,3]λt +=∈ |co s ,BD EF<>==． …………………………12分当9[2,3]4t =∈时取等号,此时|cos ,|BD EF <>最大,所以BD 与EF 所成角最小．所以124λ=t -=,所以11(2,2,2)(,,2)22BD λλ=-=-,BD ==．……………………………………………16分19．解（1）由题意c a =，所以2222222314c a b b a a a -==-=，即224a b =， 所以椭圆M 的方程为22244x y b +=，………………………2分又因为椭圆M 过点(2,1)P ，所以2444b +=，即222,8b a ==．所以所求椭圆M 的标准方程为22182x y +=．………………………4分（2）①设直线OA 的方程为1y k x =，2211,82,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 化简得221(14)8k x +=，解得2121814x k =+，………………………6分 因为1214k k =-，故2114k k =-，同理可得222112222211218163288114164141416k k x k k k k ⨯====++++⨯，………………………8分所以22221112222111328(14)88141414k k x x k k k ++=+==+++．………………………10分②由题意，点B 关于x 轴的对称点为C 的坐标为22(,)x y -， 又点1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆M 上异于顶点的任意两点，所以2222112248,48y x y x =-=-，故222212124()16()1688y y x x +=-+=-=，即22122y y +=．………………………12分设直线AC 的斜率为k ，则1212y y k x x +=-， 因为1214k k =-，即121214y y x x =-，故12124x x y y =-，所以222121212122212121212222221282884y y y y y y y y k x x x x x x y y ++++====+--+， ………………………15分 所以直线AC 的斜率为k 为常数，即12k =或12k =-． ………………………16分20．解：（1）()e x f x c '=-，若0c ≤，则()e 0x f x c '=->恒成立，此时函数()f x 的增区间为(,)-??； …………………………2分若0c >，令()0f x '=，得ln x c =，…………………………3分…………………………5分 （2）①令()(ln )(ln )(e e )2x x g x f c x f c x c cx -=+--=--． ………………………6分则()(e e )2220x x g x c c c c ≥-'=+--=，且()0g x '=仅在0x =时成立，所以()g x 在R上单调递增．……………8分所以当0x >时,()(0)0g x g >=，即(l n f c x f c x +>-． …………………9分②因为1c >，所以(ln )f c =ln 0c c -<． ………………………………………11分而1(1)e 0f --=>,所以(ln )(1)0f c f ⋅-<，所以()f x 在(1,ln )c -内存在一个零点，……………………………13分取2(2ln 1)e 2ln 2(e 2ln 2)f c c c c c c c c +=--=--(1c >)， 设()e 2ln 2c c c ϕ=--(1c >),2()e 0c cϕ'=->， 所以()c ϕ在(1,)+∞上单调递增,所以()(1)e 20c ϕϕ>=->． 从而(2ln 1)()0f c c c ϕ+=⋅>，所以(l n )(2l n f c f c ⋅+<,所以()f x 在(ln ,2ln 1)c c +内存在一个零点． ……………16分（注：也可以取(2)f c 等．）19题第2问另解：（2）111y k x =， 222y k x =，由1214k k =-得12124x x y y =-①， 1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆22182x y +=上，所以有22112(1)8x y =-、22222(1)8x y =-， 222222212121212()4(1)(1)4(1)88864x x x x x x y y +⋅∴=--=-+②，①代入②得22128x x +=.2015～2016学年苏州市高二期末调研测试理科数学（附加题）参考答案A 组（选修4－1：几何证明选讲）A1 证明：（1）因为四边形ABCD 内接于圆O ， 所以∠CDE ＝∠ABC ．…………………………2分由AB ＝AC 得∠ACB ＝∠ABC ． 所以∠CDE ＝∠ACB ．又∠ACB与∠ADB是同弧所以的圆周角；所以∠ACB＝∠ADB．所以∠CDE＝∠ADB． (4)分又∠ADB＝∠FDE，所以∠CDE＝∠FDE，即DE平分CDFÐ．…………………………5分（2）由（1）∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，在△ABD和△AEB中，因为∠ADB＝∠ABC，∠BAD＝∠EAB，所以△ABD∽△AEB，…………………………8分所以AB AEAD AB=，即2AB AD AE=?．…………………………10分A2 证明：（1）连结BE，因为∠E，∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠E＝∠ACB，…………………………2分又AE是圆O的直径，所以∠ABE＝π2，…………………………3分在Rt△ABE和Rt△ADC中，∠E＝∠ACB，∠ABE＝∠AD C＝π2，所以Rt△ABE∽Rt△ADC，…………………………4分所以AB AEAD AC=，即AB AC AD AE??．…………………………5分(2)连结CG，则∠CGD=∠ABC，…………………………6分在四边形BDHF中，因为∠BDH＝∠BFH＝π2，∠AHF是四边形BDHF的一个外角，所以∠ABC＝∠AHF，又∠AHF＝∠CHD，所以∠CHD＝∠CGD．…………………………7分所以Rt△CDH≌Rt△CDG，…………………………9分又CD ＝CD ， 所以DH ＝DG ．…………………………10分B 组（选修4－2：矩阵与变换）B1解（1）因为|A |＝2×3－1×4＝2，…………………………2分所以A －1＝31224222⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦＝312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (5)分（2）由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，…………………………7分故C ＝A －1B ＝312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝32223⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.…………………………10分B2解：（1）由题意得111a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝03⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，…………………………2分所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.…………………………5分（2）由（1）知A ＝1141-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. (3)分解得A 的特征值为λ＝－1或3.…………………………6分当λ＝－1时，由20,420x y x y -+=⎧⎨-=⎩得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………8分当λ＝3时，由20,420x y x y +=⎧⎨+=⎩得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.…………………………10分C 组（选修4－4：坐标系与参数方程）C1解：（1）由3()4pr q =-，得8c o s 8s i n r q q =-+，………………2分所以28cos 8sin r r q r q =-+，…………………………3分故曲线1C 的直角坐标方程为2288x y x y +=-+，即22(4)(4)32x y ++-=， 由8cos ,3sin x y q qì=ïïíï=ïî消去参数q得2C 的普通方程为221649x y +=. …………………………5分 （2）设(8c o s ,3s i n )P q q ，直线l 的普通方程为270x y --=， ………………………6分故点P 到直线l 的距离为)7d q j =+-（其中43cos ,sin 55j j ==）， …………………………8分因此m a x 155d =，故点P 到直线l 的距离的最大值为5．………………………10分C2 （1）由1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=， …………………1分所以1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． …………………………3分由2cos sin ρθθ=得22cos sin ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．…………………………5分（2）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为θα=，且tan k α=∈，联立2cos ,ρθθα=⎧⎨=⎩得12cos OA ρα==，…………………………7分联立2cos sin ,ρθθθα⎧=⎨=⎩得22sin cos OB αρα==，…………………………9分所以122sin 2cos 2tan 2cos OA OB k αρρααα⋅=⋅=⋅==∈， ………………10分D 组（选修4－5：不等式选讲）D1 解：（1）当1a=时，原不等式为211x ≥-，……………………………2分所以112x -≥或112x --≤， 故不等式解集为13{|}22x x x ≤或≥．……………………………5分（2）因为0a >，所以原不等式可转化为111x x a a≥-+-， 因为1111x x a a-+--≥，……………………………8分所以只需111a a≥-， 解得2a ≥．……………………………10分D2 证明：（1）因为11()224b a a b a b a b 骣琪+?=+++琪桫≥，………………………3分所以114a b a b++≥．……………………………4分当且仅当b aa b=时，取“＝”，即a b=时取“＝”．……………………………5分（2）由（1）11144a b a b++≥，11144b c b c++≥，11144c a c a++≥，……………………8分三式相加得：111111 222a b c a b b c c a+++++++≥，……………………………9分当且仅当a b c==时取“＝”．……………………………10分。
高二年级2015至2016第二学期期末考试文科数学试题
高二年级2015至2016第二学期期末考试文科数学试题一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案，每题5分，共60分） 1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则=b （）A. -2B. 2C. -1D. 1 2. 若命题“且”为假，且“”为假，则A. “或”为假B. 假C. 真D.假 3. “成立”是“成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若向量，，则=（）A ．B ．C ．D ． 5．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A ．7B ．6C ．5D ．46.的内角的对边分别是,若,,,则（）A ．B ．2C ．D ．17．函数的图象大致为（）8. 已知大于零，，求的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．69. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ． 10. 若函数|||1|)(a x x x f -+-=的最小值是3，则实数a 的值为 ( ) A.2或-4 B.4或-2 C.2或4 D.-2或-4R b a ∈,i i a -bi +2p q p ⌝p q q q p 21<-x 0)3(<-x x (2,4)AB = (1,3)AC =BC (1,1)(1,1)--(3,7)(3,7)--()2sin 1xf x x =+b a ,ab b a =+b a +8π203π223π283π11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，焦距为2c , 直线与双曲线的一个交点M 满足, 则双曲 线的离心率为（）A.2C.12+12．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 己知数列}{n a 满足1,111=-=+n na a a ，则数列}{n a 的通项公式为n a =．14. 已知不等式组表示的平面区域为.若直线与区域有公共点，则实数a 的取值范围是. 15. 已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.16. 如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点B A 、分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c a >.已知3,31cos ,2===⋅b B .求：(1)a 和c 的值； (2))cos(C B -的值．18.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A 、B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长； （Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过的数据记为，从B 班的样本数据中随机抽取一个不22221,(0,0)x y a b a b-=>>12,F F )y x c =+12212MF F MF F ∠=∠1()(ln )f x x x ax =-a (,0)-∞1(0,)2(0,1)(0,)+∞0,,290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩D ()1y a x =+D 19aAC超过的数据记为，求的概率．19.（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，，，正方形，且面面． （I ）求证：平面． （II ）求点到面的距离．20.(本小题满分12分）已知椭圆的焦点分别为. （Ⅰ）求以线段为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分) 设函数a x a e a x x f x +-+-=)1()()(，R a ∈。
2015～2016学年度第二学期高二年级期末考试数学理科试卷
4．某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试，若这 4 人中必须既 有男生又有女生，则不同的选法共有 ( A．14
5．某四面体的三视图如图所示．该四面 体的六条棱的长度中，最大的是（ A. 2 5 B. 2 6 C. 2 7 ）
9 1 , 2] (0, ] 4 2 9 2 C. ( , 2] (0, ] 4 3
A. (
11 1 , 2] (0, ] 4 2 11 2 D. ( , 2] (0, ] 4 3
B. (
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为 91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清，若 记分员计算无误，则数字 x 应该是__________． 12．花园小区内有一块三边长分别是 5 m，5 m，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其 内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距 离均超过 2 m 的概率是________． 13．某班级有一个 7 人小组，现任选其中 3 人相互调整座位，其余 4 人座位不变，则不同的 调整方案的种数为________． 14．已知 a b ，且 ab 1 ，则
19． （本小题满分 12 分） 某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级 800 名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的 有 60 人， 数学成绩优秀但物理不优秀的有 140 人， 物理成绩优秀但数学不优秀的有 100 人． （1）能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取 3 名学生的成绩，记抽取的 3 个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为 X，
2015-2016学年浙江省台州市高二(下)期末数学试卷(解析版)
3． （3 分）设空间向量 ＝（1，2，1） ， ＝（2，2，3） ，则 • ＝（ A． （2，4，3） 4． （3 分）函数 y＝ A． B． （3，4，4） 的导数为（ B． ） C． C．9
D．
5． （3 分）用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于 90°”时，首先要作出 的假设是（ ）
k﹣1
成立，则下列命题为真命题的是（
n n n
）
A．若 f（1）≥2，则 f（n）≥2
B．若 f（4）＜16，则 f（n）＜2
C．若 f（4）≥16，则当 n≥4 时，f（n）≥2 D．若 f（1）＜2，则 f（n）＜2
n
13． （3 分）已知 a，b 为正实数，若直线 y＝x+a 与曲线 y＝e 底数） ，则 A． （0， ） 的取值范围为（ B． （0，1） ）
15． （3 分）设 i 为虚数单位，若 ω＝﹣ +
i，则|ω|＝
．
16． （3 分） 现有两本相同的数学书， 两本相同的英语书 （记 a， b 分别表示数学书和英语书） ， 从中取出两本书送给小朋友，则所有不同的选法为 17． （3 分）设 a≥0，若 P＝ “ “＝“符号填） 18． （3 分）设函数 f（x）＝x +ax +b（a，b∈R） ，当 x＝ 时，f（x）取极小值 0，则实数 b ＝ ．
9． （3 分）在（1+x+x ） （1﹣x） 展开式中，x 的系数为（ A．C B．C C．C D．C +C ﹣C +C ﹣C +C ﹣C
10． （3 分）在空间直角坐标系中，A（1，1，﹣2） ，B（1，2，﹣3） ，C（﹣1，3，0） ，D（x， y，z） （x，y，z∈R） ，若四点 A，B，C，D 共面，则（ A．2x+y+z＝1 B．x+y+z＝0 ） D．x+y﹣z＝0
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。
10、 4sinα cosα cos 2α =
。
11、P
为椭圆 x2 +
25
y2 24
= 1 上一点，且
PF1
= 2 ,则
PF2
=
。
12、双曲线 x2 − y2 = 1 的渐近线方程为
9
13、抛物线 x = 4 y2 的准线方程是
。 。
14、焦点在 x 轴上，焦距为 14，两个顶点间的距离为 12 的双曲线的标准方
36 9
标和离心率。
19、（10 分）求函数 y = sin 3x cos 3x 的最大值、最小值和最小正周期。
20、（8 分）6 个人站成一排照相， （1）、甲乙二人必须站在两端，共有多少种排法？
（2）、甲乙二人不相邻，共有多少种排法？
21、（8 分）求直线 x = − 3 + y 被抛物线 y = 1 x2 所截的弦的中点坐标。
2
2
x2 + y2 = 1
22、（10 分）求以椭圆 25 9 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线 方程。
2015-2016 学年度第二学期期末考试题（卷） 高二数学
姓名
班级
成绩
说明：本试卷满分 100 分，时间 100 分钟。
一、 选择题：（每小题 3 分，共 10 小题 24 分）
1、 sin 700 cos 250 − cos 700 sin 250 = （
）
A、 2
2
B、 − 2
2
C、 3
2
2、函数 y = 3sin(ω x + π ) 的最小正周期是 π ，则ω =（
5
3
D、 − 3
2
）
A、3
B、6
C、 3
2
D、 2
3
3、 F1 ， F2 是椭圆 x2 + 4 y2 = 1 的两个焦点，M 是椭圆上任意一点， MF1 的
延长线交椭圆于 N，则 ΔMNF2 的周长为（
）
A、4
B、3
C、2
D、1
4、椭圆 x2 + 9 y2 = 36 的离心率为（
）
5
A、 1
3
B、 2
3
C、 1
2
5、焦点在 y 轴上的双曲线是（
）
D、 3
4
A、 x2 − y2 = −1
15 12
B、 x2 − y2 = 1
5 10
C、 x2 − y2 = 1
5
D、 y2 − x2 = −1
5 12
6、准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是（
）
A、 y2 = −8x
B、 y2 = 8x
C、 x2 = −8 y
D、 x2 = 8 y
7、计算： A75 − A66 的值为（
）
7!+ 6!
A、 1
2
B、 1
3
C、 3
16
D、 5
16
8、用 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，得到的奇数有（
）
A、36 个
B、48 个
C、72 个
D、120 个
二、填空题：（每空 3 分，共 8 小题 24 分）
9、在 ΔABC 中，若 b=8，
15、已知 An2 = 56 ，则 n=
。
16、计算： C70
+
C
1 7
+
C72
+
C73
+
C
4 7
+
C75
+
C76
+
C77
=
。
三、解答题：（共 52 分）
17、（8 分）已知 ΔABC 中，AB=5，AC=4，面积是 8，求 BC 的长（结果保
留根号）。
18、（8 分）求椭圆 x2 + y2 = 1 的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐