2020春冀教版数学九年级下册(JJ)中考知识点第17讲 相似三角形
初三《相似三角形》知识点总结
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a bc da b c d a d b c a c ()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a bc dadbc ②合比性质：±±a b c d a b b c d d③等比性质：……≠……a bc dm nb dn a c m bdna b()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2CF l3可得EF BC DEAB DFEF ACBC DFEF ABBC DFDE ACAB EFDE BCAB或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EBC由DE ∥BC 可得：AC AEABAD EAEC ADBD ECAE DBAD 或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似三角形，可以解决一些几何问题，如计算不可测量的长度或距离。
2. 比例与相似：比例是指两个量之间的相对关系。
在相似三角形中，对应边的长度之比等于对应角的边之比。
比例与相似问题常用于解决物体的放大缩小、图形的变换等。
3. 相似多边形：相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
相似多边形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似多边形，可以解决一些面积和体积比较的问题。
4. 黄金分割：黄金分割是指一条线段分割成两部分，较长部分与整体的比例等于整体与较短部分的比例。
黄金分割在艺术、建筑、设计等领域中广泛应用。
5. 图形的相似性变换：图形的相似性变换是指通过平移、旋转、镜像和缩放等变换操作使两个图形成为相似图形。
相似性变换常用于解决图形的构造、定位和证明问题。
6. 相似三角形的勾股定理：相似三角形的勾股定理是指在两个相似三角形中，两个直角边的平方的比等于两个斜边的平方的比。
7. 外接圆和内切圆：在相似三角形和相似多边形中，外接圆和内切圆分别是能够通过所有顶点（或顶点所在的边）的圆和能够被所有边（或边上的顶点）所切的圆。
外接圆和内切圆之间存在着一定的关系，如半径比例等。
8. 相似三角形的角平分线定理和中线定理：相似三角形的角平分线定理是指两个相似三角形中，两个对应角的角平分线也相似；相似三角形的中线定理是指两个相似三角形中，两个对应中位线也相似。
这些是九年级数学中与相似有关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学下册 相似三角形知识点总结
九年级数学下册相似三角形知识点总结第17讲相似三角形一、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例比例线段是四条线段中的两组成比例的线段，常用的比例等式是ac=bd。
在列比例等式时，需要注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱。
已知比例式的值，可以通过基本性质ad=bc（b、d≠0）来求相关字母代数式的值。
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一参数的式子表示，再求代数式的值。
另外，合比性质和等比性质也是比例线段的重要性质。
知识点二：相似三角形的性质与判定两角对应相等的两个三角形相似（AAA）。
如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形也相似（SAS）。
如果一个三角形的一个角和另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形也相似（AAS）。
如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形也相似（SSS）。
在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例，相似三角形的比值是一个定值。
知识点三：黄金分割黄金分割是指将一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
这个比例值约等于1:0.618，即黄金比。
在数学、艺术等领域中都有广泛的应用。
知识点四：平行线段成比例如果两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如果一条直线平行于三角形的一边，与另外两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。
在利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，需要注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解。
二、例题解析例1：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于多少？解析：根据题意，可以列出比例等式XXX因为DE∥AB，所以有BD/DC=BE/EA=5/2.代入比例等式中，得到BC/CD=5/3.例2：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为多少？解析：根据黄金分割的定义，设较长线段为x，较短线段为y，则有x/y=y/(x-y)=0.618.解得x=5.18cm，所以较长线段长为5(5.18-1)cm。
九年级数学相似三角知识点
九年级数学相似三角知识点数学是一门重要且有趣的学科，其中相似三角形是数学中一个重要的概念。
相似三角形的研究帮助我们理解和解决各种实际问题。
在九年级数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
本文将详细介绍九年级数学中与相似三角形相关联的几个知识点，以加深对这个概念的理解。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例也相等。
相似三角形有很多有趣的性质。
例如，如果两个三角形相似，则它们的对应边长比相等。
根据这个性质，我们可以通过已知条件推导出未知条件。
此外，两个相似三角形的高度、中线、角平分线也是成比例的。
二、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，我们需要使用一些判定方法。
最常用的判定方法有AAA（角-角-角）相似判定法、SAS（边-角-边）相似判定法和SSS（边-边-边）相似判定法等。
这些方法非常重要，可以帮助我们准确地判定两个三角形是否相似，从而在解决问题时提供正确的切入点。
三、相似三角形的比例关系相似三角形具有重要的比例关系。
在相似三角形中，我们可以根据已知条件求解未知条件以及应用比例关系解决实际问题。
例如，我们可以利用两个相似三角形的对应边长比来计算未知长度。
在解决实际问题时，掌握比例关系是非常重要的一项技能。
四、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用。
例如，我们可以使用相似三角形的原理来计算高楼、高塔的高度。
此外，相似三角形还可以应用于已知影子长度和物体高度计算等问题。
掌握了相似三角形的知识，我们可以更好地理解和解决这些实际问题。
五、相似三角形的构造在九年级数学中，我们还需要学习相似三角形的构造。
构造相似三角形时，我们可以通过已知条件构造一个相似的三角形，从而解决问题。
构造相似三角形的方法有很多，如底角平分线、相似三角形的角平分线、相似三角形的中线等。
掌握这些构造方法可以为我们解题提供更多的思路和方法。
结语：相似三角形是九年级数学中一个重要的知识点，它有广泛的应用，并能够帮助我们解决各种实际问题。
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n mb a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a bb a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。
3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。
- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。
4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。
- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。
- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。
6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。
- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。
7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。
初三相似三角形知识点
初三相似三角形知识点在初三数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
接下来，我们将介绍一些与相似三角形相关的重要概念和定理。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
对于两个相似三角形ABC和DEF来说，它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
而且，它们的对应边长之比相等，也就是AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质：- 对应角和对应边的比例相等。
即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F，以及AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的对应边长的平均数与对应角的正弦比之积。
即AB/DE = (BC + AC)/(EF + DF) = sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
3. 判断相似三角形的方法判断两个三角形是否相似的方法有几种：- AA准则：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
- SAS准则：如果两个三角形的一个角相等，两个边成比例，且不在这个角的两边上，则它们是相似的。
- SSS准则：如果两个三角形的三个边成比例，则它们是相似的。
4. 相似三角形的应用相似三角形有很多应用场景，其中一个重要的应用是解决实际问题中的长度或距离问题。
通过相似三角形定理，我们可以利用一些已知的长度或距离来求解未知的长度或距离。
例如，通过测量一个高楼的阴影长度和同一时间地面上的阴影长度，我们可以利用相似三角形的性质来计算出这个高楼的高度。
5. 相似三角形定理相似三角形定理是判断相似三角形的重要定理之一。
根据相似三角形定理，如果在两个三角形中，两个角相等，则这两个三角形相似。
根据这个定理，我们可以利用相似三角形定理来求解一些长度或角度相关的问题。
通过对初三相似三角形知识点的了解，我们可以更好地理解和运用这个概念，解决实际问题中的相关数学计算。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结在九年级的数学课堂上，我们学习了很多与几何形状有关的知识，其中一个重要的内容就是相似三角形。
相似三角形是指两个具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
如果两个三角形满足这两个条件，我们可以说它们是相似的。
2. 相似三角形的判定在判断两个三角形是否相似时，我们可以使用以下几种方法：（1）AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且有一个对应边的比例相等，则它们是相似的。
（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的三条边的比例都相等，则它们是相似的。
通过掌握这些判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
3. 相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质对于解决与相似三角形相关的问题非常有帮助。
（1）相似三角形的对应边比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有a/b=c/d=e/f。
（2）相似三角形的角度比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角度之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，那么有A/A'=B/B'=C/C'。
（3）相似三角形的高线比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应高线之间的比例相等。
具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有h(a)/h(d)=h(b)/h(e)=h(c)/h(f)，其中h(x)表示与边x相对应的高线的长度。
九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)
九年级数学相似三角形知识点汇总参考一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l 1//l 2//l 3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC ，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD ，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC. 基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB.4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.二、黄金分割 1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC 2＝AB·BC)，C 点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C.分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC 2＝AB·CB，设AB ＝，AC ＝x ，那么 CB ＝－x ， 由AC 2＝AB·CB，得：x 2＝·(－x)＝0， 根据求根公式，得：x ＝整理后，得：x 2＋x －∴(不合题意，舍去)，即AC ＝AB≈0.618AB， 则C 点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB ， 求作：线段AB 的黄金分割点C. 作法：如图：(1)过B 点作BD ⊥AB ，使BD ＝AB.(2)连结AD ，在AD 上截取DE ＝DB.(3)在AB 上截取AC ＝AE. 则点C 就是所求的黄金分割点.证明：∵AC ＝AE ＝AD －AB ，而AD ＝∴AC ＝.5-1三、相似三角形 1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC 和△DEF 相似，可以写成△ABC ∽△DEF ，也可以写成△DEF ∽△ABC ，读作△ABC 相似于△DEF. （3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. （4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.四、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 诠释：设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.n a a nn a a n -n -m a m n a mnk a ka k 0,a 0且≠≠ka ||||||ka k a =ka 0k >ka a 0k <ka a k 0,a=0=或0ka =ka k a（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A 、B 、C 三点的共线若存在实数λ，使 .要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.ka m n 、()()m na mn a =()m n a ma na +=+m （+b）=m a a mb +a 0a 0a a a =01a a a=b a m b ma =b m a=m b a a 0≠a 0=b 0=m b ma =a m b ma =b a b a m b ma =⇔AB //BC ⇔AB BC λ=12,e e a 12,λλ1122a e e λλ=+（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题 （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系.12,e e 12,e e 1122a e e λλ=+12,e e。
九年级相似三角形的知识点
九年级相似三角形的知识点相似三角形是初中数学中重要的概念之一。
它的应用广泛，并在高中数学学习中占据着重要的位置。
在九年级数学课程中，相似三角形的概念和性质是必修内容。
本文将详细介绍九年级相似三角形的知识点，并探讨其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
简单来说，当两个三角形的形状相似，但大小不同，我们就称它们为相似三角形。
二、相似三角形的判定条件1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，而另外两边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边的比值都相等，那么这两个三角形是相似的。
需要注意的是，只有满足以上判定条件，我们才能断定两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。
这是判定两个三角形相似的重要性质之一。
对应角的相等性保证了两个相似三角形的形状相似。
2. 相似三角形的对应边成比例。
这是判定两个三角形相似的另一个重要性质。
对应边的成比例性质意味着两个相似三角形的大小关系。
3. 相似三角形的高线成比例。
在相似三角形中，如果两个三角形中的高线分别与对应边垂直相交，那么这些高线也成比例。
四、相似三角形的应用相似三角形的概念和性质在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 测量高度和距离。
通过相似三角形的原理，我们可以利用测得的一边和一个角度，计算另一个边的长度。
这在测量高楼大厦的高度、测量两个点之间的距离等方面非常有用。
2. 画图和制图。
在制图过程中，我们可以利用相似三角形的性质，通过已知的线段和角度，准确地绘制复杂的图形。
3. 解决实际问题。
相似三角形的原理和性质可以帮助我们解决很多实际问题，如计算棱镜的体积、计算太阳的半径等。
总之，相似三角形是九年级数学课程中的重要知识点。
通过理解相似三角形的定义、判定条件和性质，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点相似三角形是九年级数学中的重要知识点之一，本文将详细介绍相似三角形的概念、判定方法及性质。
一、概念相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件为对应角相等，并且对应边成比例。
记作△ABC∽△DEF。
二、判定方法1.角-角-角（AA）判定法若两个三角形的三个角分别相等，则它们一定相似。
2.角-边-角（ARJ）判定法若两个三角形的一个角相等，另一个角相等，且夹在已知边之间的两边成比例，则它们一定相似。
3.边-角-边（SAS）判定法若两个三角形的两边分别成比例，夹角相等，则它们一定相似。
注意：边-边-边（SSS）判定法不能判断两个三角形是否相似，因为只有边成比例不能保证角相等。
三、性质1.对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
其中，k为比例因子，代表两个相似三角形的对应边之比。
3.周长比例性质相似三角形的周长之比等于任意一条对应边之比。
4.面积比例性质相似三角形的面积之比等于任意一条对应边平方的比。
5.高比例性质相似三角形的高之比等于任意一条对应边之比。
四、相似三角形的应用1.测量难以直接获取的长度利用相似三角形的边比例性质，可以通过测量一些直接长度，求解难以直接获取的长度，如高度、距离等。
2.解决图像与实物的相似问题在制图中，根据相似三角形的比例性质，可以将实物缩小或放大绘制，保持图像与实物相似，从而达到简化和便于研究的目的。
3.解决间接测量问题利用相似三角形的性质，可以通过测量一些已知长度和角度，间接计算出难以直接测量的距离或高度。
4.解决图形的包含和相似问题通过相似三角形的判定方法，可以判断一个三角形是否包含在另外一个三角形中，以及两个图形是否相似。
总结：相似三角形是九年级数学中的重要知识点，通过角-角-角、角-边-角和边-角-边三种判定方法，我们可以判断两个三角形是否相似。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点三角形是由同一平面内不在同始终线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
下面是我整理的九年级数学相像三角形学问点，仅供参考盼望能够关心到大家。
九年级数学相像三角形学问点一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相像预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相像三角形： 1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相像三角形。
2.性质：(1)相像三角形的对应角相等;(2)相像三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)相像三角形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比;②要留意两个图形元素的对应。
3. 判定定理：(1)两角对应相等，两三角形相像;(2)两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相像;(3)三边对应成比例，两三角形相像;(4)假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相像。
数学学习技巧1.求教与自学相结合在学习过程中，即要争取教师的指导和关心，但是又不能过分依靠教师，必需自己主动地去学习、去探究、去获取，应当在自己仔细学习和讨论的基础上去寻求教师和同学的关心。
2.学习与思索相结合在学习过程中，对课本的内容要仔细讨论，提出疑问，追本究源。
对每一个概念、公式、定理都要弄清其来龙去脉、前因后果、内在联系，以及蕴含于推导过程中的数学思想和方法。
在解决问题时，要尽量采纳不同的途径和方法，要克服那种死守书本、机械呆板、不知变通的学习方法。
数学九年级下册相似知识点
数学九年级下册相似知识点相似是数学中一个重要的概念，它在几何学中特别常见。
而数学九年级下册的内容中，相似是一个需要重点掌握的知识点。
本文将从不同角度来论述数学九年级下册的相似知识点。
一、相似三角形相似三角形是九年级下册的重要内容之一。
当两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形有一些重要的性质和定理。
首先，相似三角形的边长比例定理指出，如果两个三角形相似，那么对应边的长度之比等于它们对应角的正弦值的比。
这个定理在解决相似三角形的问题时非常有用。
其次，相似三角形的角度比例定理指出，如果两个三角形相似，那么对应角的度数之比相等。
这个定理可以用来解决一些角度相关的问题。
最后，相似三角形的高线比例定理表明，如果两个三角形相似，那么相似三角形的高线之比等于它们的对应边之比。
这个定理常常用于求解三角形的高线长度。
二、相似比相似比是相似三角形中的一个重要概念。
相似比是指两个相似三角形中对应边的长度之比，通常表示为k。
相似比具有以下性质。
首先，相似比的大小与相似三角形的对应边的长度之比相等。
这就意味着，如果相似比为k，那么两个对应边的长度之比也是k。
其次，相似比的倒数表示了对应边的长度之比的倒数。
这个性质在一些推导和运算中非常实用。
最后，相似比和对应边的比例成正比。
这意味着，如果一个三角形的边长翻倍，那么它与相似三角形的相似比也将翻倍。
三、相似多边形除了相似三角形，相似多边形也是九年级下册相似知识点的内容之一。
当两个多边形中对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形就是相似的。
相似多边形也有一些重要的性质和定理。
首先，相似多边形的周长比例定理说明了相似多边形的周长之比等于它们对应边的比例。
其次，相似多边形的面积比例定理说明了相似多边形的面积之比等于它们对应边长度之比的平方。
最后，相似多边形的高线比例定理说明了相似多边形的高线之比等于它们对应边长度之比。
相似多边形的性质可以帮助我们在解决与多边形及其面积相关的问题时，快速地得到答案。
2020年春冀教版九年级数学下册中考知识点梳理第17讲 相似三角形
知识点二：相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
(2)合比性质： ⇔ ＝ ；（b、d≠0）
(3)等比性质： ＝…＝ ＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则 .
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝= ≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
(2)如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
第17讲相似三角形
一、知识清单梳理
九年级下册数学《相似》相似三角形 知识和点整理
相似三角形一、本节学习指导本节知识虽然没有三角形全等运用广泛，但是却跟三角形全等一样重要，一样难懂。
在理解判断相似条件后，一定要多做练习。
判断三角形是否相似最常用的方法是下面列出的前面两种，同学们一定牢固掌握。
本节有配套学习视频。
二、知识要点1、相似三角形：形状相同,但大小不一样的两个三角形就称为相似三角形。
定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
注：所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）2、相似三角形的判定（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：注：两个夹角相等那么第三个角必定相等，三个角都相等的三角形必定相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
即：注：在上图中，DE∥BC，所以△ADE∽△ABC（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似即：注：如上图，8/4=6/3=2，两组对边比相等，再加上中间的夹角相等，则两个三角形相似。
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
即：注：如上图，三组对边相比8/4=6/3=5/2。
5=2，由此两个三角相似。
3、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
4、位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心。
这时的相似比又称为位似比。
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比三、经验之谈：判定三角形相似和全等的几个方法我们一定要区分开，全等要求的是边、角都相等，而相似只要求对应角相等即可。
灵活运用：相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
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第17讲 相似三角形
知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
1. 比例
线段
在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
a c
b d
=，
那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例
的基本性质
(1)基本性质：a c
b d =⇔ ad ＝b
c ；（b 、
d ≠0）
(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c d
d ±；（b 、d ≠0）
(3)等比性质：a c b d =＝…＝m
n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔
......a c m
b d n
++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若
35a b =，则a b b +=8
5
. 3.平行
线分线
段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则
AB DE
BC EF
=
. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，
要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于5
3
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB ∥CD ，则
OA OB
OD OC
=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.
4.黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC
AB ＝=5－12
≈0.618，
那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
5.相似三角
形的
判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，
AC AB DF DE
=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如
图，若AB AC BC
DE DF EF
==
，则△ABC ∽△DEF. F E D C
B A l 5
l 4
l 3l 2
l 1O
D
C
B
A
E
D C
B
A
F
E
D
C B A
F
E
D
C B
A
F
E D
C B
A
6.相似
三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长
为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF
的面积之比为9：4.
(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,
已知S△ADE:S△ABC=1:4，
则AF:AG=1：2.
7.相似三
角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结
果.。