质点运动微分方程
第二讲 质点的运动微分方程
钢丝
y
x2 = 4ay
小环
x 例：钢丝为抛物线，小环作约束运动，约束方程 2 = 4ay 。
x
（3） 约束反力——约束物（钢丝）对被约束的质点所施加的作用力。
O
注：
（1）约束反力不仅取决于约束本身，还与作用在质点上的其他力及质点本身的运动状态有 关（举例）；
=
0
方程通解 x = A cos (w0t + j ) ——振子的运动方程
×
×
设初始条件为 t = 0 时， x = x0 , x = x0
e0
×
由运动方程可得 x = - Aw0 sin (w0t + j ) 代入初始条件得
A=
x02
+
æ ç
ç è
×
x0
w
ö2 ÷
÷ ø
， tanj
=
-
×
x0
w x0
（2）单靠约束反力不能引起质点的任何运动，∴称约束反力为被动力（一般未知）， 而像：万有引力、电磁力等为主动力；
（3）摩擦力为被动力，因此也属于约束反力。 2、 求质点约束运动的方法——去掉约束，代之以约束反力（隔离体法） 3、 质点约束运动的微分方程
设质点所受主动力的合力为
ur F
æ ç
r r,
r× r
第二讲 质点的运动微分方程及有关应用
教学时间
教学目的要求：
1 使学生深刻理解牛顿运动三定律的内涵和伽利略力学相对性原理的意义。 2 使学生熟练运用牛顿运动定律，列出有关实际问题的运动微分方程并能进行求解。 重点：质点运动微分方程的建立，初始条件的确立。
理论力学 第11章 质点运动微分方程
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
质点运动微分方程
质点运动微分方程
质点运动微分方程是描述质点在运动中位置、速度和加速度之间关系的微分方程。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与作用在质点上的合力成正比，与质点的质量成反比。
因此，可以得到质点的运动微分方程为 F = ma，即 F(x(t), v(t), t) = m * v'(t)，其中 F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，v(t)表示质点的速度，x(t)表示质点的位移。
解决质点运动微分方程可以得到质点的速度和位移的函数表达式，从而可以进一步分析质点的运动规律和特性。
质点运动微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛应用，例如在运动学、力学、电学、热学等方面，都需要使用微分方程来研究质点的运动。
- 1 -。
§1.5 质点运动微分方程
§1.5质点运动微分方程a m F = ),,(t rr F F = ⇒质点动力学内容⎩⎨⎧）已知力求运动规律（）已知运动规律求力（21 或二者兼而有之1、自由质点运动微分方程自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 由r m F= 得⎪⎩⎪⎨⎧===),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(t z y xz y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x（※） （※）是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次积分，存在六个积分常数，满足（※）式的解有若干个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置和速度，通过0=t 时的000000,,;,,z y x z y x 确定积分常数，定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动规律。
直线运动 ),,(t x x F xm = 平面运动 ⎩⎨⎧==),,;,(),,;,(t y x y x F y m t y x y x F x m y x ⎩⎨⎧=+=-),,;,()2(),,;,()(2t r r F rr m t rr F r r m r θθθθθθθθ2、非自由质点的运动微分方程（1）约束 质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点约束的数学表达式⇒约束方程 ，如0),,,(=t z y x f ；质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反作用力；约束⇒约束反作用力 非自由质点⇒自由质点约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受的其它力和运动状态有关 例如 曲面约束⎩⎪⎨⎧+=+=+=z z y y x x R t z y x z y x F z m R t z y x z y x F y m R t z y x z y x F x m ),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(0),,,(=t z y x f （约束方程） 两个自由度 四个方程（2）内禀方程约束力处于法向平面内（,29p 图1.5.1），这时0=b a ，（)n b⨯=τa 在密切平面内 选用自然坐标系 对理性约束 0=τR ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==)3(0)2()1(2b b n n R F R F vm F dt dv m ρτ注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分开求！由（1）式求出运动规律 （),,,z y x v ⇒将v 代入（2）式，利用232)1(1y y '+''=ρnR ⇒；由（3）b R ⇒ 运动规律和约束反作用力全部求出！ 〖以平面约束为例证明232)1(1y y '+''=ρ)(x f y = dxy dydxds 2221'+=+=αtg y =' dxy y d '''+=232)1(1α ∴232)1(1y y '+''=ρ〗对非理想约束，即有摩擦存在时，切向方程中增加R f μ=一项，这时运动规律和约束反作用力不能分开求了！ 3、运动微分方程的解理论力学中，常见变力，)t ,r,r (F形式复杂；求解二阶微分方程组，则 （1）隔离物体，具体分析（受力，已知，未知）；（2）选取坐标系，建立微分方程组（力学问题⇒数学问题）； （3）根据初始条件求解方程组； （4）分析结果，阐明物理意义。
质点的运动微分方程例题
质点的运动微分方程例题当涉及到质点的运动微分方程时，我们通常考虑质点在空间中的位置、速度和加速度之间的关系。
下面我将给出一个质点的运动微分方程的例题，并从多个角度进行回答。
例题，一个质点在直角坐标系中的运动满足以下条件，质点的位置矢量为r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，其中t为时间，求质点的速度和加速度。
从向量的角度回答：质点的速度可以通过对位置矢量求导得到。
对r(t) = (3t^2, 2t, t^3)关于时间t求导，得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)。
质点的加速度可以通过对速度矢量求导得到。
对v(t) = (6t, 2, 3t^2)关于时间t求导，得到加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
从微分方程的角度回答：质点的速度可以表示为位置矢量对时间的导数，即v(t) =dr(t)/dt。
根据给定的位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，对其分别对时间求导，得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)。
质点的加速度可以表示为速度矢量对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
根据给定的速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)，对其分别对时间求导，得到加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
从运动学的角度回答：根据质点的位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，我们可以计算质点在各个方向上的速度和加速度。
在x方向上，质点的速度v_x(t) = d(3t^2)/dt = 6t，加速度a_x(t) = d(6t)/dt = 6。
在y方向上，质点的速度v_y(t) = d(2t)/dt = 2，加速度a_y(t) = d(2)/dt = 0。
在z方向上，质点的速度v_z(t) = d(t^3)/dt = 3t^2，加速度a_z(t) = d(3t^2)/dt = 6t。
从微分方程的角度回答：根据位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，我们可以得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)和加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
理论力学动力学
二、四种特例
• 动系作平动。 J Fc = 0 •动系作匀速直线平动。
F
J e
ma r = F + F
J c
J e
= F
= 0
ma r = F
•相对平衡——43; F eJ + F cJ = 0
•相对静止——质点在动系中保持静止。
ar = 0
vr = 0
F + FeJ = 0
ac = 0
FeJ
T
θ
a a
P
例一： （书例6-7）
ω T M G φP
θ
F+F =0
J e
FeJ
T+G+F = 0
J e
T + P = 0 ——牵连 惯性力与万有引力之和为重力。 即重力不指向地球中心，而是有一微 小偏角θ。
又 dv x dt = (dv x dx ) (dx dt ) = v x dv x dx
N
∫
vx
0
v x dv x = ∫ （
x b
− Px m x +h
2 2
dx ）
v 2 2 = P b 2 + h2 − x 2 + h2 m x
(
)
令 x = c，v = v x = 2 P（ b 2 + h2 − x 2 + h2）m
§9-3 质点在非惯性坐标系中的运动
一、相对运动微分方程 对静系： ma = F
由于 a = ar+ ae+ ac 有 m ( ar+ ae+ ac) = F
Z’
z
O’ X’
M a F
Y’
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
w11 质点的运动微分方程
d2y dt 2
Y
m
d2y dt 2
Z
x x(t)
(
式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
3. 自然坐标形式的质点运动微分方程
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
0
mg
dx dt
dy dt
c1 gtc2
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
微分方程 积分一次
再积分一次
16
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
则运动方程为 os0 ,
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G v2 T Gcos
gl
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
dy dt
eA mk
sin
kt
25
已知: m , v0 , E Acos kt, v0 E, F eE,不计重力
求:质点的运动轨迹。
由 t 0时 x y 0,积分
x
(导学)10质点运动微分方程
g e
。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
20
8 战斗机重力为P1=29.4kN,引擎的推进力为F1=14.7kN，其 起飞速度为v=36.1m/s。空气阻力与速度的平方成正比，为 FR=kv2，单位为N，阻力方向与速度方向相反，其中，k=1.96。 为使战斗机能在舰船上起飞，采用弹射器以减少飞机的滑行路 程，假定弹射器的附加推力等于F2＝4.9kN,试问战斗机起飞跑 道的长度可缩短多少？
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
4
2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
（自然法）
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
答案
Fmax=102kN，F=99kN。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
17
5 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速度转动， OA=AB=l，石料与筛盘间的摩擦因数为fs，为使碎石料在筛盘 中来回运动。试求曲柄OA的角速度至少应多大？
答案
gf s 2l
。
工程力学导学 动力学
切线方向：
mq r mg sin q
q g sin q / r
积分（注意分离变量）：
dq dq dq dq q q dt d q d t dq
质点运动微分方程
x
ay
d2y dt 2
d 2
sin
t
2 y
2、求质点所受的力
由
d2x m dt 2
d2y Fxi , m dt 2
Fyi 得
Fx max m2x, Fy may m2 y
Fx max m2x, Fy may m2 y
讨论： 求质点的轨迹方程：
从运动方程中消去 t，得
x2 y2 b2 d 2 1
动力学的理论基础： 牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律
牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速 度不能太大。
动力学分为质点动力学和质点系动力学： 质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质 点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体 系统） 本课程重点放在质点系动力学。
§9-2 质点的运动微分方程
根据牛顿第二定律，若质点M的质量z 为m，受n个力F1 , F2 ,…., Fn作用，
则有
n
m a Fi 或 m a FR
i 1
k
Fi
F1
M Fn
FR
r
aa
而
d 2r a dt 2
i oj
y
x
则
d 2r
m dt 2
n i 1
Fi
矢量形式的质点运动微分方程。
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
FR
dt
运动的起始条件为：t = 0时，v0 = 0，x0 = 0
v dv
t
dt
0 g bv 0
v g 1 ebt b
x dx
10 质点的运动微分方程
dy 1 2 = gt + c3 , y = gt + c3t + c4 dt 2
再积分式（2），有 v y =
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第十章 质点运动微分方程
当t=0时， y = y 0 = 0, v y = v0 y = v0 sin α 代入上式得：
1 2 于是有 y = v 0 t sin α gt （4） 2 式（3）、（4）为所求的炮弹运动方程。
2
b
an
Fn
n
a
M
F
aτ
Fτ
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
τ
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第十章 质点运动微分方程
§10－ 3质点动力学两类基本问题 10－
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解 题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。 包括两类问题 ①已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅 用到微分运算，故又称为微分问题。 ②已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需 对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。 第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还 须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平面曲线运 动，速度为v。试问下列各式是否正确？
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第十章 质点运动微分方程
dv dv a.m = Fτ , b.m = F dt dt
A．a、b都正确。 B．a、b都不正确。 C．a正确，b不正确。 D．a不正确，b正确。
第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式 1.直角坐标系的投影式 将（3）式投影至固定的直角坐标系oxyz坐标轴上：
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
关于质点系运动微分方程的应用
应用质点系运动微分方程的研究技术一、质点系运动微分方程的定义质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程。
它是一种描述物体运动的微分方程，可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
它是一种描述物体运动轨迹的一般微分方程，可以用来解决质点系的运动问题，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
质点系运动微分方程的定义是：当物体处于一定的空间中，它的运动轨迹可以用一个特殊的微分方程来描述，这个微分方程就是质点系运动微分方程。
它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，这些函数可以是时间函数、位置函数或速度函数等，只要它们满足物体运动的物理规律。
例如，用质点系运动微分方程来描述一个抛物运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-g，其中，g表示重力加速度。
又如，用质点系运动微分方程来描述一个摆动运动的物体，可以得到一个如下的微分方程：\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin(x)，其中，g表示重力加速度，l表示摆的长度。
总之，质点系运动微分方程是一种描述物体在特定的空间内的运动轨迹的数学方程，它由一个或多个未知函数的求导与一个或多个已知函数的乘积组成，它可以用来求解物体在特定条件下的运动轨迹。
二、质点系运动微分方程的常见形式质点系运动微分方程是一组常见的微分方程，它们描述了质点系的运动。
它们的形式是一般的欧拉方程，也就是一阶微分方程组，其中有n个未知函数，每个函数有m个变量。
它们的具体形式是：$$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$$其中，$\mathbf{x}$ 是质点系的状态变量，$\mathbf{f}$ 是质点系的动力学方程，描述了质点系的运动规律。
质点系运动微分方程有许多不同的形式，比如牛顿运动方程，描述了质点受到外力时的运动规律：$$m \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, t)$$这里，$m$ 是质量，$\mathbf{F}$ 是外力。
质点运动微分方程
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
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质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
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质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
第十一章 质点运动微分方程理论力学
第十一章 质点运动微分方程 该定律表明：
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1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时 对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表 现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向 可以完全不同于作用力的方向。 2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点 上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越 大。 这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越 强，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点惯 性大小的度量。
Fmax
2 v0 = P(1 + ) gl
第十一章 质点运动微分方程
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※ 刚才介绍的是动力学第一类问题，其要点是运动方程的 建立，基本数学方法是求导 ※ 动力学第二类问题，是已知力求运动。基本数学方法是 积分。积分的难易取决于载荷的复杂程度。通常有： F=F（c、t、v、r） ※ 目前要求掌握： F=c F=F（v） F=F（t） F=F（r） 须将积分 变量作变换 dv dv dx m = m ⋅ = F ( x) dt dx dt
第十一章 质点运动微分方程 第二定律（力与加速度关系定律）
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质点受力作用时所获得的加速度的大小与作 用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速 度的方向与力的方向相同。 即：
F a= m
或
ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常 称上式为动力学基本方程。 当质点同时受几个力的作用时上式中的F 应理解 为这些力的合力。
α ω α B
l
M
F F N1 N2 an FN2 α mg M
a
a
l
第十一章 质点运动微分方程
A α ω α B l M a FN 1 sin α + FN 2 sin α ρ
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则该一阶微分方程称为质点运动微分方程的运动
积分, 积分常数 C 由初始条件确定. 从 数学 上看 , 找 到运动积分 使 运动微分方程 由二阶微分方程降为一阶微分方程, 有利于求解. 从物理上看 , 第一积分 对 应 着某 个运动 守恒 量, 可能有明确的物理意义. 我 们常 利 用 物理意义明 确的第一积分 , 如动 量守恒、 角动量守恒和机械能守恒等, 以达到简 化问题求解过程的目的. 三、约束 牛顿力学中力的分类 1. 约束的概念和约束方程. 约束是预先给定的、 由约束物给出的对力学 系统 (目前指质点) 运动的限制. 有关约束, 读者应注意以下三点: (1) 约束是预先给定的并由约束物给出. (2) 我 们 抛 出一个质点 , 忽略空气阻 力时 , 它 必沿某 一 抛物 线运动 , 这 是由动力学 规 律和运 动初始条件 决 定的 , 质点不 受约束 , 运动是 自 由 的. (3) 约束既 包括 对 质点位置的 限制 , 又 包括 对质点速度的限制. 用数学方 法表述约束 条件的方程称为 约束 方 程. 质点受到约束, 其自由度减少. 自由质点和非自由质点.
x 2 + y 2 = l 2 z = 0
质 点 受 约 束 力 FR = FT F = W = mg .
r = l 或 z = 0
( 绳 张 力 ), 主 动 力
(2)约束方程为
y = 0 z = 0
质点受约束力 FR = FN + F f , 注意支撑力 FN 和摩擦力 F f
未知函数即为运动学方程 r = r(t). 相当于 3 个标量
的二阶微分方程,如
= Fx ( x, y, z, x , y , z m , t ) x = Fy ( x, y, z, x , y , z , t ) y m , y , z , t ) mz = Fz ( x, y, z, x
2. 约束力和主动力. 约束 是通 过约束物实现 的 , 为 强制 质点 满足 约束 条件 , 约束物与 质点 间 有力的相 互 作用 , 我 们称 约束物对 质点 施加 的力为 约束 力 ( 或 称为 约 束反力, 约束反作用力). 我 们 把 质点 所受 的 , 除约束 力 之外 的其他力 称为主动力 (叫非约束力可能更准确). ,t 主 动力的 主要 特点是 已 知的 ( 已 知作为 r , r 的函数关系). 约束力是未知的力. 下面 作为 例子对弹 性力作一个分析 . 弹簧弹 性力和 绳 的 张 力 、 面 的 支撑 力同 属 弹 性力 范围 , 但在牛顿力学中弹簧和绳、 面是两种不同的模型. 3. 在牛顿第二定律中主动力和约束力的地位 是平等的
, t) mr = F ( r , r
和 t 的函数关系, 所以 由于已知主动力 F 与 r 、 r
不 管采 用何种坐标系 , 未知的运动学方程都只包
含 3 个未知量, 而上式可提供 3 个标量方程, 即为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ自由质点完备(封闭)的动力学方程组. 例题 2 研究考虑空气阻力情况下的抛体运动. 设 空气阻 力 与抛 体 运动速度的一次方 成正比 , 即
§3-2 质点运动微分方程
一、质点运动微分方程 任何质点动力学问题都只是一种近似和简化.
F = F ( r , r , t ) 即力 F 的函数中不包括其他质点的位
置和速度. 根据牛顿第二定律建立质点的运动微分方程,
, t) mr = F ( r , r
mr = F ( r , r , t ) + FR
例题 1 试分析下面两情况中质量为 m 的质点 所受约束及约束方程, 所受的约束力和主动力. (1) 在平 面 内摆 动的 摆长 为 l 的 单摆 . (2) 在 沿 x 轴 的 水平直线轨道上运动的弹簧振子, 坐标原点 O 为劲 度系数为 k 的弹簧自由伸张时质点的位置. 解（1）约束方程为
线性和非线性. 如果能求出解析解, 其通解中应有 6 个积分常 r = r v t = 0 时 数, 它们由初始条件 0 和 = v 0 确定. 根据问题的特点选用不同的坐标系. 二、质点运动微分方程的运动积分(初积分或第一 积分) 将运动微分方程作一次积分 , 得到一阶微分 方程
, t) = C G (r , r
实 际 上 是 轨道 施 于质点的 约束 力 FR 的 两 个分力 .
质点受两个主动力 F = W + F1 = mg − kxi .
由于 空气阻 力不是 约束物施与 质点的力 , 且 已知 F = −bv 或 F = −b ′vv , 所以空气阻力是主动 力. 四、自由质点的动力学方程组及例题 自 由质点不 受约束 , 只 受主 动力作用 , 则其 运动微分方程为
′ F = − b v v 对于阻力与速度平方成正比情况, ,
根据重力与阻力平衡可求出终极速率 v Z = mg / b′ .
3 抛体尺度 l , m ∝ ρl , b ′ ∝ S ∝ l 2 .
F = −bv , b 为正值常量.
从中世纪抛体图说起. 阻力模型. 水平与竖直运动独立吗? 水平与竖直能量独立吗? 定性分析. 由于 抛 体在水平 方 向 只 受阻 力的 水平 分力作 用 , 所以 水平 速度不 断 减 小而趋 于 零 . 在竖直 方 向 抛 体 受 重 力和 阻 力的 竖直 分力作用 , 上 升 阶 段 竖直 速度 减 小至零 , 下降 阶 段 的初 期重 力 大 于 阻 力分力而使竖直速率增加. 速率增加则阻力增大, 直 到 重 力 与阻 力 大小 相 等 且 方 向 相 反 , 速 率 达 到 一 极 限 值——终极 速 率 vZ = mg / b , 并以 终极 速 率 匀速下降.