2018年高三最新高中数学必修内容复习(1)--集合与简易逻辑精品

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高三第一轮复习一集合与简易逻辑

第一章――集合与简易逻辑一、本章知识结构：二、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

三、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

③文氏图法（韦恩图法）注：列举法最好不用于表示无限集2、两类关系：∈或∉表示；（1）元素与集合的关系，用（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论常见结论：一．1.∅⊆ A 特别地∅⊆∅ 2. A⊆A 3.传递性：A⊆B B⊆C 则A⊆C 二．1.A≠⊂B , B≠⊂C, 则A≠⊂C 2.若A≠∅，则∅≠⊂A（但∅≠⊂∅错误）三．若集合A中有N个（N属于N+）则A的子集有2∧N个，真子集2∧N-1个，非空真子集为2∧N-2个四．1.∅∈｛∅｝或者∅⊆｛∅｝是正确的。

集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习

知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。

18版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算课件理

补集
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
知识拓展 1.若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为 2n ，真子集的个数为 2n－1 . 2.A⊆B⇔A∩B＝ A ⇔A∪B＝ B . 3.A∩∁UA＝ ∅ ；A∪∁UA＝ U ；∁U(∁UA)＝ A .
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( × ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}.( √ ) (5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ ) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )
*(或N ) N ＋ _________
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
2.集合间的基本关系关系子集自然语言集合A中所有元素都在集合B 符号语言 Venn图
中(即若x∈A，则x∈B)
集合A是集合B的子集，且集
A⊆B(或B⊇A)
真子集
合B中至少有一个元素不在集
合A中
A B(或B A)
集合相等
跟踪训练3 (1)(2016· 山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，
则A∪B等于答案
解析
A.(－1,1)
C.(－1，＋∞)
B.(0,1)
D.(0，＋∞)
∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，
∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.
(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为 A.[－1,2) C.[2，＋∞)

高考数学必修1总复习《集合与简易逻辑》

具体化（具体求出相关的集合,
Venn 图、
函数的图像等，即数形结合的思想）.
考点三集合的运算
【例3】 (2010·全国)设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则 ∁U(A∪B)＝( )
A. {1,4} B. {1,5} C. {2,4} D. {2,5}
解 ∵A＝{1,3}，B＝{3,5}，∴A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}，故选C.
考点二集合之间的关系【例2】已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A M⊆B，则满足上述条件的集合M有________个．解 ∵A M， ∴M中一定含有A的全部元素1,2，且至少含有一个不属于A的元素．又∵M⊆B， ∴M中的元素除了含有A的元素1,2外，还有元素3,4,5中的1个、2个或3 个．故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题，显然所求集合M有23－1＝7个．
正整数集
整数集
有理数集
实数集复数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
(4)集合的表示法： __列__举__法__、 __描__述__法__、 V__e_n_n_图_法__ 、 __区__间____、 __不__等__式__． 2. 集合间的基本关系
表示关系
文字语言
符号语言
子集相等真子集
A中任意一个元素均为B中的元素
(1)若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________；
(2)若A∩B≠A，则实数a的取值范围是________；
(3)若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．
解析：A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，将集合A、B表示在数轴上(注：集合B表示的范围随着a值的变化而在移动)，如图所示，要注意的就是对于端点值的取舍．

高考数学专题1 集合与简易逻辑

专题1 集合与简易逻辑一.知识网络以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.二．高考考点1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4．充分条件与必要条件的判定与应用.三．知识要点（一）集合1.集合的基本概念（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.（2）集合的表示方法集合的一般表示方法主要有（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.②认知集合的过程：认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例：认知以下集合：; ；; ，其中M=｛0，1｝.分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x∈R)点（x,y）在抛物线y=x2－1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范围集合B 是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域，故B=｛y|y≥－1｝.对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域，即C=R.对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝｝.（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.2．集合间的关系（1）子集（I）子集的定义（符号语言）：若x∈A x∈B,则A B（注意：符号的方向性）规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φ A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即A A.（II）集合的相等：若A B且B A，则A=B.（III）真子集定义：若A B且A≠B；则A B（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.（2）全集，补集（I）定义设I是一个集合，A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作A，即A=｛x|x∈I,且x A｝.在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.（II）性质：φ=U；U=φ；（A）=A（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.（3）交集，并集（I）定义：①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x ∈A,且x∈B｝;②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x ∈A,或x∈B｝.（II）认知：上面定义①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三种情形：x∈A且x B；x∈B且x A；x∈A且x∈B.（III）基本运算性质①“交”的运算性质A∩A=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩ A =φ；（A∩B）∩C= C∩（A∩B）= A∩B∩C②“并”的运算性质A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B∪C）= A∪B∪C③交.并混合运算性质A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）=AA∪（A∩B）=A（ IV ）重要性质①A∩B=A A B； A∪B=B A B；②A∩B=（A∪B）；A∪B=（A∩B）上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.（二）简易逻辑1.命题（1）定义（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（2）复合命题的真假判断（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；（III）“非p”与p的真假相反.（3）认知（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”来定义的：A∪B=｛x| x∈A或x∈B｝.“p或q”成立的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B中的A∩ B；B∩ A；A∩B.不过，A∪B强调的是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q”p或q.它们类似于集合中的（A∪B）=（A）∩（B），(A∩B）=（A）∪（B）（4）四种命题（I）四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为原命题：若p则q；逆命题：若q则p;否命题：若p则q逆否命题：若q则p.（II）四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件（I）定义：若p q则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q则说p 是q的充分必要条件（充要条件）.（II）认知：①关注前后顺序：若p q则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.②辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.③充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1．判断下列命题是否正确.（1）方程组的解集为｛（x,y）|x=－1或y=2｝;（2）设P=｛x|y=x2｝,Q=｛(x,y)|y=x2｝,则p Q;（3）设，则M N；（4）设，，则集合等于M∪N；分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序实数对（-1，2），而－1或2不是有序实数对，故命题为假.正确解题：方程组解集应为（初始形式）==｛（-1，2）｝（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为P∩Q=φ.（3）为认知集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素表达式实施通分，对于集合M，其代表元素，2k+1为任意奇数；对于集合N，其代表元素，k+2为任意整数.由此便知M N，故命题正确.（4）不正确.反例：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，，则f(x)·g(x)=1(x≠－3且x≠1)，此时f(x)g(x)=0无解.揭示：一般地，设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q，且，，则有例2．设集合A=｛x|x2+4x=0｝,B=｛x|x2+2(a+1)x+a2－1=0｝（1）若A∩B=B，求a的值；（2）若A∪B=B，求a的值.解：集合A=｛－4，0｝（1）A∩B=B B A即B｛－4，0｝由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.（I）若0∈B，则有a2－1=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.又当a=－1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2=0x=0此时B=｛0｝符合条件；当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.（II）若－4∈B，则有16+2（a+1）(－4)+a2－1=0a2－8a+7=0(a－1)(a－7）=0 a=1或a=7 当a=1时，由（I）知B=A符合条件；当a=7时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0x=－12或x=－4此时B=｛－12，－4｝ A.（III）注意到B A，考察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）2－4(a2－1)<0 a<－1,此时集合B显然满足条件.于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.（2）集合B中至少有两个元素①而方程x2+2(a+1)x+a2－1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②∴由①、②得集合B中只含两个元素 B=A此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3．已知A=｛x|x2-4x+3<0,x∈R｝,B=｛x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若A B，试求实数a的取值范围.解：A=｛x|1<x<3｝=(1,3)注意A B，故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2－2(a+7)x+5≤0总成立.（1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x2－2(a+7)x+5≤0总成立，f(x)=0有两实根，且一根不大于1，而另一根不小于3①（2）令g(x)=－21－x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，21－x+a≤0总成立.a≤g(x)总成立a≤g min(x) a≤－1 ②∴将①.②联立得－4≤a≤－1.∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝.点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化：（1）当f(x)在给定区间上有最值时a≤f(x)恒成立a≤f min(x)a≥f(x)恒成立a≥f max(x)（2）当f(x)在给定区间上没有最值时a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的上确界例4．已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.解：由已知得：x<-2或x>10；q：x<1-m或x>1+m(m>0).令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝,则由是q的必要而不充分条件B A或m9∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略.例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点；Q:不等式恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2]B.[2,＋∞)C.[-2,2]D.(-2,2)分析：（ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点，△＝－2＜a＜2∴P: －2＜a＜2 ①又不等式恒成立a小于的最小值②＋≥＝2 ③∴由②、③得 a﹤2即Q: a﹤2（ⅱ）分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2 ④“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤－2或a≥2 ⑤于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a≤－2∴实数a的取值范围为（－∞，－2].例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：△＝又由韦达定理得∴当0﹤﹤1时，由②得－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1即 q p ③另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式△＝＝＝1－3﹤0，从而方程无实根∴p q ④于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件.点评：若令f（x）＝，则借助二次函数y＝的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为：方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1．设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面判断正确的是（）A．S1∩（S2∪S3）=φ B. S1（S2∩S3）C．S1∩S2∩S3=φ D. S1（S2∪S3）分析：对于比较复杂的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一（直接法）：注意到A∩B=（A∪B），A∪B=（A∩B）及其延伸，∴S1∩S2∩S3=（S1∪S2∪S3）=I=φ，故选C解法二（特取法）：令S1=｛1，2｝，S2=｛2，3｝，S3=｛1，3｝I=｛1，2，3｝则S1=｛3｝S2=｛1｝S3=｛2｝由此否定A、B；又令S1=S2=S3=｛a｝，则I=｛a｝，S2=S3=φ，由此否定D.故本题应选C2．已知向量集合，则M∩N等于（）A．｛（1，1）｝ B. ｛（1，1），（-2，-2）｝ C .｛（-2，-2）｝ D.φ分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得，又令=(x,y)，则有，消去λ得4x－3y+2=0,∴M=｛(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R｝.同理=｛(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R｝∴M∩N==｛（－2，－2）｝，∴本题应选C点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.3．设集合I=｛(x,y)|x∈R,y∈R｝,A=｛(x,y)|2x－y+m>0｝,B=｛(x,y)|x+y－n≤0｝,那么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是（）A． m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5分析：由题设知P(2,3) ∈A，且P（2，3）∈ B （※）又B=｛(x,y)|x+y-n>0｝,∴由（※）得，故本题应选A4．设函数，区间M=[a,b](a<b)，集合N=｛y|y=f(x),x∈M｝,则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B 1个 C 2个 D 无数多个分析：从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达式中含有|x|，为求f(x)的值域，先将f(x)化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析.∴当x>0时，f(x)<0;当x=0时，f(x)=0；当x<0时，f(x)>0.由此可知，当x≠0时，f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等；又当x=0时，f(x)的定义域为｛0｝，故不存在a<b使区间[a,b]仅含元素0，因此，本题应选A.点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在.5．函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=｛y|y=f(x),x∈P｝f(M)=｛y|y=f(x),x∈M｝,给出下列四个判断：①若P∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ；②若P∩M≠φ，则f(P)∩f(M)≠φ；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)= R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠ R其中正确判断有（）A． 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域；f(M)为函数y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=｛x|x≥0｝,M=｛x|x<0｝,则f(P)=｛x|x≥0｝, f(M)=｛x|x>0｝此时P∩M=φ，P∪M=R，但f(P)∩f(M) ≠φ，f(P) ∪f(M)≠ R由此判断①.③不正确（2）当P∩M≠φ时，则由函数f(x)的定义知P∩M=｛0｝（否则便由f(x)的解析式导出矛盾），所以0∈f(P)，0∈f(M)，从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.（3）当P∪M≠R时，若0P∪M，则由函数f(x)的定义知，0f(P) ∪f(M)若存在非零x0P∪M, (※),易知x0f(P)当x0f(M)时，有x0f(P)∪f(M)；当x0∈f(M)时，则易知－x0∈M.注意到这里－x0≠0，所以－x0P，从而－x0f(P).又∵x0M，∴－x0f(M)，∴－x0f(P)∪f(M) （※※）∴由①.②知当P∪M≠R时，一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.点评：认知f(P).f(M)的本质与特殊性，是本题推理和筛选的基础与保障.6．设全集I=R，（1）解关于x的不等式|x－1|+a－1>0(a∈R);（2）设A为（1）中不等式的解集，集合，若（A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.分析：（1）原不等式|x－1|>1－a，运用公式求解须讨论1－a的符号.（2）从确定 A与化简B切入，进而考虑由已知条件导出关于a的不等式（组），归结为不等式（组）的求解问题.解：（1）原不等式|x－1|>1－a当1－a<0，即a>1时，原不等式对任意x∈R成立；当1－a=0，即a=1时，原不等式|x－1|>0x≠1;当1－a>0，即a<1时，原不等式x－1<a－1或x－1>1－ax<a或x>2－a于是综合上述讨论可知，当a>1时，原不等式的解集为R；当a≤1时，原不等式的解集为（－∞，a）∪（2－a,+ ∞）（2）由（1）知，当a>1时，A=φ；当a≤1时, A=｛x|a≤x≤2－a｝注意到==∴∴（A）∩B恰有3个元素A恰含三个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=[a,2－a]的右端点的限制)(对A=[a,2－a]的左端点的限制)故得－1<a≤0,∴所求a的取值范围为.点评：不被集合B的表象所迷惑，坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含三个整数时，寻觅等价的不等式组，既要考虑A含有三个整数的必要条件（宏观的范围控制），又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件（微观的左右“卡位”），两方结合导出已知条件的等价不等式组.。

2018年版高考数学第1轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算课件文新人教A版

条件(A1⊆)由 C⊆Bx的2-3集x合+C2的=0个得数为x(=1 或) x=2, A.故 1 AB=.2{1,C2}.3. D.4 (2)由已知题集意合知A=B{x=|x{2-12,021,73x,+42},016<0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值
范围因是此满足 A⊆C⊆B. 的集合 C 有 {1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个.
Δ=a2-4a=0,解得 a=4(a=0 不合题意舍去). (2)由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,即 m=1 或 m=-32. 当 m=1 时,m+2=3,2m2+m=3,
根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
(1)A 当(2m)-=32 -32时,m+2=12,2m2+m=3,满足题意;故 m=-32.
所以 a+b=0,所以��=-1,
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(1)B所以(2a)2=-1,b=1,所以 b-a=2.解析来自答-案15-考点1
考点2
考点3
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略: (1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
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考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )
A.4 B.2 C.0 D.0或4
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为

2018届高三(新课标)数学(理)第一章集合与常用逻辑用语

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集合突破点(一) 集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN *或N ＋ZQR考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数)或已知元素个数求参数[例1]( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98[解析] (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念； 2.集合间的基本关系； 3.集合的基本运算.(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故a ＝0或98.[答案] (1)C (2)D [方法技巧]求元素(个数)的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A ，B ，求集合C ＝{z |z ＝x *y ，x ∈A ，y ∈B }(或集合C 的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x ，y 的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z 的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．元素与集合的关系[例2] (1)设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6(2)(2017·成都诊断)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [解析] (1)因为x ∈A ，且x ∉B ，故x ＝3. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.[答案] (1)B (2)－32[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法： (1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值． (2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]设集合P ＝{x |x 2－2x ≤0}，m ＝30.5，则下列关系正确的是( ) A ．m P B ．m ∈P C ．m ∉PD ．m ⊆P解析：选C 易知P ＝{x |0≤x ≤2}，而m ＝30.5＝3>2，∴m ∉P ，故选C.2．[考点一]已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．9解析：选D 集合B 中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．3．[考点二](2017·杭州模拟)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.4．[考点一]已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(5,6]5．[考点一]若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 解析：当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故符合题意的a 的值为4.答案：4突破点(二) 集合间的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅考点贯通抓高考命题的“形”与“神”集合子集个数的判定含有n个元素的集合，其子集的个数为2n；真子集的个数为2n－1(除集合本身)；非空真子集的个数为2n－2(除空集和集合本身，此时n≥1)．[例1]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案] D[易错提醒](1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．集合间的关系考法(一)[例2]已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A[解析] 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .故选B. [答案] B [方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．考法(二) 根据集合间的关系求参数[例3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (－∞，3] [易错提醒]将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A．3 B．4C．7 D．8解析：选C因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.2．[考点二·考法(一)](2017·长沙模拟)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：选C因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，所以∁R P＝{y|y>1}，又Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁R P⊆Q，故选C.3．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝() A．1 B．0 C．－2 D．－3解析：选C∵A⊆B，∴a＋3＝1，解得a＝－2.故选C.4．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]突破点(三)集合的基本运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 并集集合的A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 交集集合的补集若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A . (2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求交集或并集[例1] (1)(2016·全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3[解析] (1)因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．(2)∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32＝⎝⎛⎭⎫32，3. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]求集合的交集或并集时，应先化简集合，再利用交集、并集的定义求解．交、并、补的混合运算[例2] (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}[解析] (1)因为∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． (2)∵A ∪B ＝{x |x ≤0}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≤0或x ≥1}， ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． [答案] (1)A (2)D[方法技巧]集合混合运算的解题思路进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．集合的新定义问题[例3] (2017·合肥模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A.⎝⎛⎦⎤－94，0 B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [解析] 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y <0}，所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥0或y <－94. 故选C. [答案] C [方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．1．[考点一](2016·北京高考)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝()A．{0,1} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}解析：选C集合A＝{x|－2<x<2}，集合B＝{－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{－1,0,1}．2．[考点一](2017·长春模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.3．[考点二](2017·贵阳模拟)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁B)＝()RA．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：选B由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故选B.4．[考点三]定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素之和为()A．5 B．6 C．7 D．9解析：选C∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B ＝{1,2,4}，故A*B中的所有元素之和为1＋2＋4＝7.5．[考点二]设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}．答案：{x|－1≤x<0}[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝()A．[2,3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B ＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.3．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3 B．6 C．8 D．10解析：选D列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1， 2}解析：选D∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}，故选D.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：选A因为x＝n2，所以当n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，所以集合B＝{1,4,9,16}，所以A∩B＝{1,4}．[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 的真子集的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．3解析：选D 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3.选D. 2．若集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1}D ．{0，－1}解析：选C 因为B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }＝{0,1}，所以A ∩B ＝{0,1}．3．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析：选C 由题A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B . 4．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 5．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.6．已知全集为整数集Z.若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z}，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z}，则A ∩(∁Z B )＝( )A ．{－2}B ．{－1}C ．[－2,0]D ．{－2，－1,0}解析：选D 由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z}，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z}，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1,0}，故选D.7．(2017·成都模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，1]∩(2，＋∞)B ．(－1,0)∪[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，A ∩B ＝{x |0≤x <1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－1,0)∪[1,2]．8．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1]C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2]解析：选C 由|x |≤1，得－1≤x ≤1，由log 2x ≤1，得0<x ≤2，所以∁U A ＝{x |x >1或x <－1}，则(∁U A )∩B ＝(1,2]．9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}解析：选D 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．10．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.11．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.12．(2017·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.二、填空题13．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N}的元素的个数是________．解析：由定义可知A ×B 中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使log x y ∈N 的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析：∵集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，∴∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}15．集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}．∴A ∩(∁R B )＝[－3,0)．答案：[－3,0)16．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3，2]．答案：(－∞，－ 3 ]∪[3，2] 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点： 1.命题及其关系； 2.充分条件与必要条件.突破点(一)命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1]下列命题中为真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x<y，则x2<y2[解析]取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝－2，y＝－1，排除D.[答案] A[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2](1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是()A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0[解析](1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[答案](1)C(2)C[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．1．[考点一]下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点C ．互相包含的两个集合相等D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．[考点二]命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0 B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0，其否定是x ≠0或y ≠0.故原命题的逆否命题是“若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0”．3．[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一个内角为π3”，它是真命题．故选D.4．[考点二]有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二)充分条件与必要条件基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p 2.p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”充分条件与必要条件的判断[例1]x，y满足x＋y ＞2，则p是q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．(2)当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．[答案] (1)A (2)C [方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．充分条件与必要条件的应用[例2] (1)命题“对任意x ∈[1,2)，x ( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≥4D ．a >4(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1)命题可化为∀x ∈[1,2)，a ≥x 2恒成立． ∵x ∈[1,2)，∴x 2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a ≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a >4，故选D. (2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] (1)D (2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x －1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由log 2(x －1)<0得0<x －1<1，即1<x <2，故“x >1”是“log 2(x －1)<0”的必要不充分条件，选B.2．[考点二]已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，解得x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．4．[考点二]已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.5．[考点一]已知函数f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x－1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0， ∴13－x－1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，所以f (x )＝13x－1＋12，f (－x ) ＝13－x－1＋12＝－13x －1－12＝－f (x )，故f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p，则q是一个假命题，由极值的定义可得若q，则p是一个真命题．故选C.2．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：选C∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．[课时达标检测]基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若(2x－1)x＝0，则x＝12或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．3．“a <0，b <0”的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C.ab >1D.ab <－1解析：选A 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.4．已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( ) A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2” C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ”解析：选C 命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”，故C 正确，D 错误．5．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2.故选A.6．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．7．“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “a ＝2”可以推出“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不能推出．故“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．8．(2017·杭州模拟)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．10．(2017·烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选A p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a]，即a≥2.11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④解析：选D只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．12．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0,1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立．二、填空题13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：②③15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词本节主要包括2个知识点：1.简单的逻辑联结词；2.全称量词与存在量词.突破点(一)简单的逻辑联结词基础联通抓主干知识的“源”与“流”命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；綈p与p真假相反”．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”含逻辑联结词命题的真假判断[例1](2017·大连模拟)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的序号是() A．①③B．①④C．②③D．②④[解析]依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题，则綈p为假命题，綈q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．[答案] C[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数[例2] <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________．[解析] 由关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12，即a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案] ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)[方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．。

高中数学重点手册1——集合、简易逻辑

1．集合、简易逻辑「集合」把某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，简称集。

集合中每个对象叫做这个集合的元素。

集合通常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示集合，用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示集合的元素。

「集合的特征」集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

「集合的类型」① 有限集：含有有限个元素的集合叫有限集。

② 无限集：含有无限个元素的集合叫无限集。

③ 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

「集合的表示方法」①列举法把一个集合的元素逐个列举出来，写在大括号内，这一表示法叫做列举法。

②特征性质描述法用该集合所含元素的共有特征性质来描述，这一表示法叫做特征性质描述法，具体作法是：在大括号内先写上表示该集合元素的一般符号及其取值范围，再画一条竖线（或一个冒号或分号），再写出这一集合中的元素所具有的一个特征性质。

特征性质必须绝对明确，必须是集合中所有元素共有的特征性质。

「元素与集合的从属关系」如果元素a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果元素a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉或A a ∈或a ∈.A 。

「集合与集合的容量关系」对于两个集合,,B A 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。

如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ØB 或B ÙＡ。

当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，记作A B ⊂或 .B A ⊃显然，空集是任何集合A 的子集，即A ∅⊆，空集是任何非空集合B 的真子集，即∅ ØB若,,A B B C ⊆⊆则;A C ⊆若,,A B B A ⊆⊆则.A B =「常用数集的符号」 N 非负整数集；自然数集*N 或+N 正整数集Z 整数集-+Z Z 整数集Z 内排除0的集Q 有理数集。

高三数学-2018高考数学复习资料全集第01章集合与简易逻辑有答案2018425 精品

第一章集合与简易逻辑1、[文]已知全集U= {a , b , c , d , e}，A={c , d , e}，B={a , b , e}，则集合{a , b}可表示为（）A 、A ∩B B 、(C ∪A)∩B C 、(C ∪B)∩AD 、C ∪(A ∪B)1、[文]B【命题分析】考查集合的概念与运算，逆向思维能力.1．设全集},9|,5|,1{},9,7,5,3,1{-==a A U 集合 U A={5，7}，则a 的值为（）A ．2B ．8C ．－2或8D ．2或8 1．.D ：丨a-5丨＝ 3 2.设集合M ={}0x x m -?,{|21,}x N y y x R ==-?,若M ∩N =f 则实数m 的取值范围是（） A ．1m ?B ．1m >-C ．1m ?D ．1m <-2、C 【思路分析】：M ={}x x m £，{|1,}N y y x R =??【命题分析】：考察集合的定义和性质以及不等式的解法的指数函数的性质3．全集I={x|x ≤4，x ∈N}，集合M={1，2，3}在映射f:x y=x-1下的象集为N ，则：（）A ．M I C 1(N)={0，3}B ．M Y N=IC ．C I (M Y N)={4}D ．C I (A I B)={3，4}3．C [思路分析]：N={0，1，2} M Y N={0,1,2,3}，∴C I (M Y N)={4}，[命题分析]：考查集合与映射的概念，集合的交、并、补运算。

4．已知函数))((b x a x f y ≤≤=，则集合}2|),{(}),(|),{(=⋂≤≤=x y x b x a x f y y x 中含有元素的个数为A ．0B ．1或0C ．1D ．1或24． B 【思路分析】：若],[2b a ∈,则集合中有一个元素,否则, 集合中没有元素.【命题分析】：考察函数的定义和集合的概念5．若P=｛2，3，4｝，Q=｛1，3，5｝，M=｛3，5，6｝，则C P （P ∩M ）∪C M （M ∩Q ）=（）A 、｛2，4｝B 、｛2，4，6｝C 、｛1，2，4，6｝D 、｛1，2，3，4，5｝5、B。

2018高三新课标·数学(理)总复习课件：第一章集合与简易逻辑1-1

基础诊断
考点突破
课堂总结
(6)如图所示，用集合 A、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是 A∩B；A∩(∁UB)；B∩(∁UA)；∁U(A∪B) 或(∁UB)∩(∁UA)．
(7)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}． (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (3)方程 x－2 016＋(y＋2 017)2＝0 的解集为{2 016，
基础诊断
考点突破
课堂总结
请注意集合的概念及运算一直是高考热点，同时近两年新课标高考试题加强了对以集合为工具与其他知识的结合的考查，一般为基础题，解题时要充分利用韦恩图、数轴的直观性迅速得解，预计今后这种考查方式不会变．
基础诊断
考点突破
课堂总结
课前自助餐
基础诊断
考点突破
课堂总结
集合的基本概念 (1)集合的概念：一组对象的全体构成一个集合； (2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
基础诊断
考点突破
课堂总结
集合的常用运算性质 (1)A∩∅＝∅；A∩A＝A； (2)A∪∅＝A；A∪A＝A； (3)A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A； (4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B； A⊆B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩∁UB＝∅． (5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
第一章集合与简易逻辑

2018高三新课标·数学(理)总复习课件：第一章集合与简易逻辑1-2

基础诊断
考点突破
课堂总结
4．(2016· 天津)设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
)
基础诊断
考点突破
课堂总结
答案 C 解析由 x>y 推不出 x>|y|，由 x>|y|能推出 x>y，所以“x>y” 是“x>|y|”的必要而不充分条件．
基础诊断
考点突破
课堂总结
充分条件与必要条件 (1)若 p⇒q 且 q (2)若 q⇒p 且 p p，则 p 是 q 的充分非必要条件． q，则 p 是 q 的必要非充分条件．
(3)若 p⇒q 且 q⇒p，则 p 是 q 的充要条件． (4)若 p q且q p，则 p 是 q 的非充分非必要条件．
基础诊断
基础诊断
考点突破
课堂总结
3． “a>0”是“|a|>0”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
)
D．既不充分也不必要条件
基础诊断
考点突破
课堂总结
答案
A a>0，
解析因为|a|>0⇔a>0 或 a<0，所以 a>0⇒|a|>0.但|a|>0 所以 a>0 是|a|>0 的充分不必要条件．故选 A.
写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假． (1)末位数字是 0 的整数是 5 的整数倍； (2)在△ABC 中，若 AB>AC，则∠C>∠B； (3)若 x2－2x－3>0，则 x<－1 或 x>3； (4)若 x2＋y2＝0，则实数 x，y 全为零．

【精品】2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点1-集合与简易逻辑(含解析)

热门题型题型1 集合的基本概念题型2 集合间的基本关系题型3 集合的运算例1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【解题技巧】利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．变式1. 已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,)|,A B x y x A y A ==∈∈，则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10题型2 集合间的基本关系例2 若{}{}{}|41,,|43,,|81,A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==-∈==+∈，则A ，B ，C 之间的关系为（）．A ．CB A 苘 B ．A BC ⊆Ü C ．C A B =ÜD ．A B C ==解析：解法一：集合B 中元素434(1)1,x n n n Z =-=-+∈，故集合A B =，而集合C 中元素421,x n n Z =⨯+∈，故C A Ü．解法二：列举{}{},7,3,1,5,9,,,7,3,1,5,9,A B =--=--，{},7,1,9,C =-．因此C A B =Ü，故选C ．【解题技巧】判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化简集合，再从表达式中寻找两集合的关系，即“求同比异”；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，即“合情推理”. 变式1.（2015重庆理1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（）.A. A B =B. A B =∅C. A B ØD. B A Ø 解析集合B 的元素2,3A A ∈∈，但是集合A 的元素B ∉1，所以B 是A 的真子集. 故选D.变式2.（2015湖南理2）设A ，B 是两个集合，则“AB A =”是“A B ⊆”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型3 集合的运算例3 已知集合{}{2|1,,|M y y x x R N x y ==+∈==，则M N ⋂=（）A ．{}|13x x <≤B ．{}|13x x ≤<C ．{}|13x x ≤≤D ．{}|14x x <<解析：{}{}2|1,|1M y y x x R y y ==+∈=≥，{{}2||90N x y x x ===-≥，即{}|33N x x =-≤≤，所以{}|13M N x x ⋂=≤≤，故选C.【解题技巧】遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合{}|(),y y f x x A =∈是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合{}(,)|(),x y y f x x A =∈是点集，表示函数()y f x =图像上所有点的集合.变式1.（2017山东理1）设函数y =的定义域A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ，则A B =（）A.()1,2B.(]1,2C.()2,1-D.[)2,1-解析：由240x -…，解得22x -剟，所以[]22A =-，.由10x ->，解得1x <，所以(),1B =-∞.从而{}{}{}=|22|1|21A B x x x x x x -<=-<剟?.故选D.变式2.（2017全国3理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）.A ．3B ．2C ．1D ．0 解析集合A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，如图所示，所以A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2.故选B.【高考真题链接】1.（2015广东理1）若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（）.A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2.（2015全国II 理1）已知集合{}2,1,0,2A =--，()(){}120B x x x =-+<，则AB =（）．A.{}1,0-B. {}0,1C.{}1,0,1-D. {}0,1,2 2.解析对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，用数轴可得{}1,0A B =-.故选A.3.(2015山东理1)已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B = （）．A.()13，B. ()14，C.()23，D.()24，3.解析由题意{}13A x x =<<，而{}24B x x =<<，所以{}23AB x x =<<．故选C ． 4.（2015陕西理1）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =…，则M N =（）．A ．[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(,1]-∞4.解析依题意{0,1}M =，{|01}N x x =<…，所以{|01}M N x x =剟.故选A ．5. (2015四川理1)设集合()(){}120A x x x =+-<，集合{}13B x x =<<，则A B =（）. A. {}13x x -<< B. {}11x x -<< C. {}12x x << D. {}23x x <<5.解析由题意可得，{}12A x x =-<<，则{}13A B x x =-<<.故选A.6.（2015天津理1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð（）.A.{}2,5B.{}3,6C. {}2,5,6D.{}2,3,5,6,87.（2015浙江理1）已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<……，则()P Q =R ð （）． A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]7.解析依题意{02}P x x x =??或，()0,2R P =ð，所以()R P Q =ð(1,2)．故选C ．8.(2016北京理1) 已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （）.A.{}0,1B.{}0,1,2C.{}1,0,1-D.{}1,0,1,2-8. C 解析由已知集合(2,2)A =-，{}1,0,1,2,3B =-，所以A B =I {}1,0,1-.故选C.9.（2016全国丙理1）设集合{}(2)(3)0S x x x =--…，{}0T x x =>，则S T =I （）.A.[]2,3B.(][),23,-∞+∞UC.[)3,+∞D.(][)0,23,+∞U9. D 解析由{}{}32,0S x x x T x x ==>或??，得S T =I {}0<23.x x x 或剠故选D.10.（2016全国甲理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （）.A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， 10. C 解析因为()(){}120B x x x x =+-<∈Z ，{}12x x x =-<<∈Z ，，所以{}01B =，，所以{}0123A B =U ，，，.故选C. 11.（2016山东理2）设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A B =U （）.A.(1,1)-B.(0,1)C.(1,)-+∞D.(0,)+∞11. C 解析由题意，0,11A B =+∞=-（，）（，），所以A B =U 1+-∞（，）.故选C. 12.（2016四川理1）设集合{|22}A x x =-剟，Z 为整数集，则A Z I 中元素的个数是（）.A.3B.4C.5D.612.解析由题意，{2,1,0,1,2}A =--Z I .故其中的元素个数为5.故选C.13.（2016天津理1）已知集合{1,2,3,4}A =，{|32}B y y x x A ==-∈，，则A B =I （）. A.{1} B.{4}C.{1,3}D.{1,4}14.（2016全国乙理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （）. A.33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭ 14.D 解析由题意可得()1,3A =，3,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，所以3,32A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I .故选D. 15.（2016浙江理1）已知集合{}13P x x =∈R ≤≤，{}24Q x x =∈R ≥，则()P Q =R U ð（）.A.[]2,3B.(]2,3-C.[)1,2D.(,2][1,)-∞-+∞U15.B 解析因为{}24Q x x =∈R …，所以{}24(2,2)Q x x =<=-R ð，所以[](]()(2,2)1,32,3Q P =-=-R U U ð.故选B.16.（2016江苏1）已知集合{}1,2,3,6A =-，{}23B x x =-<<，则A B =I .16.{}1,2- 解析由交集的运算法则可得{}1,2A B =-I .17.（2016上海理1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为 . 17.()2,4 解析由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.18.（2017江苏01）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B =，则实数a 的值为． 18.解析由题意233a +…，故由{}1A B =，得1a =．故填1．19.（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x x =∈-R 剟，则()A B C =（）. A.{}2 B.{}1,2,4 C.{}1,2,4,6 D.{}|15x x ∈-R 剟19.解析因为{1,2,6},{2,4}A B ==，所以{1,2,6}{2,4}{1,2,4,6}AB ==，从而(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A BC =-=.故选B ．20.(2017北京理1)若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则A B =（）. A.{}–2<1x x <- B.{}–2<3x x < C.{}–1<1x x < D.{}1<3x x <20.解析画出数轴图如图所示，则{}21A B x x =-<<-.故选A. 31-1-221.（2017全国1理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（）.A. {}0A B x x =<B. A B =RC. {}1A B x x =>D. A B =∅21.解析{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=<，所以{}0A B x x =<，{}1A B x x =<.故选A. 22.（2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若1A B =，则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,523.(2017浙江理1)已知集合{}11P x x =-<<，{}02Q x x =<<，那么P Q =（）. A.()1,2- B.()01， C.()1,0- D.()1,223.解析 P Q 是取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ．。

高考数学考前知识要点复习一集合与简易逻辑

高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ⊆，同时，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.AB ⊆④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （注：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②1≠x 3.1或y = 2. 1≠∴y x 且3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. . 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律（1）包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2）等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3）集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.x（自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互 R2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

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高中数学必修内容复习（1）--集合与简易逻辑
一、选择题（每题3分，共54分） 1、已知集合{}{}2,1,,0==N x M ，若{}2=⋂N M ，则=⋃N M （）
A ．{}2,1,,0x
B ．{}2,1,0,2
C ．{}2,1,0
D ．不能确定
2、不等式0)32)(1(2>+-+x x 的解集是（）
A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧23
B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23x x
C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<23x x
D ．⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
->23x x
3、已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x N y x y x M ，那么集合N M ⋂为（）
A ．1,3-==y x
B ．)1,3(-
C ．{}1,3-
D ．{})1,3(-
4、设不等式b a x <-的解集为{}
21<<-x x ，则a 与b 的值为（
）
A ．3,1==b a
B ．3,1=-=b a
C ．3,1-=-=b a
D ．2
3
,21==
b a 5、不等式
032
>-+x
x 的解集是（） A ．{}23-<>x x x 或 B ．{}32<<-x x C ．{}32<->x x x 或 D ．{}23-<<x x 6、若q p ,是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 假
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
7、已知A 与B 是两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么A ⌝
是B ⌝
的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8、⎩⎨⎧>>3321x x 是⎩⎨⎧>>+962
121x x x x 成立的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9、命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为（）
A ．若b a <，则c b c a +<+
B ．若b a ≤，则c b c a +≤+
C ．若c b c a +<+，则b a <
D ．若c b c a +≤+，则b a ≤ 10、已知全集U {}2,1,0=且{}2=A C U ，则集合A 的真子集共有（）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
11、二次函数c bx ax y ++=2中，若0<ac ，则其图象与x 轴交点个数是（）
A ．1个
B ．2个
C ．没有交点
D ．无法确定 12、设集合A {}
13≤=x x ，32=a ，那么下列关系正确的是（）
A ．A a ⊂
B ．A a ∈
C ．A a ∉
D ．{}A a ∈
13、不等式321<-x 的解集是（）
A ．{}
1<x x B ．{}
21<<-x x
C ．{}
2>x x D ．{}
21>-<x x x 或 14、下列命题为“p 或q ”的形式的是（
）
A ．25>
B ．2是4和6的公约数
C ．{}0≠Φ
D ．B A ⊆
15、已知全集U {}8,7,6,5,4,3,2,1=，集合A ={}5,4,3，B ={}6,3,1，那么集合C ={}8,7,2是（）
A ．
B
C U
B ．B A ⋂
C ．)()(B C A C U U ⋂
D ．)()(B C A C U U ⋃
16、不等式
11
>x
的解集是（） A ．{}1>x x B ．{}1<x x
C ．{}
10<<x x
D ．{}
01<>x x x 或
17、二次不等式02
>++c bx ax 的解集为全体实数的条件是（）
A ．⎩
⎨⎧>∆>00a
B ．⎩
⎨⎧<∆>00
a
C ．⎩
⎨⎧>∆<00
a
D ．⎩
⎨⎧<∆<00
a
18、下列命题为复合命题的是（
） A ．12是6的倍数
B ．12比5大
C ．四边形ABC
D 不是矩形
D ．2
2
2
c b a =+
二、填空题（每题3分，共15分）
19、若不等式02
<-ax x 的解集是{}
10<<x x ，则=a 20、抛物线16)(2+-=x x x f 的对称轴方程是
21、已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U 22、设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2
(2
1x x f +等于
23、已知{}
2
,2,1x x ∈，则实数x =
三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分）
24、解不等式723>-x
25、用反证法证明：已知R y x ∈,，且2>+y x ，则y x ,中至少有一个大于1。

26、若不等式022
>++bx ax 的解集为)3
1
,21(-
，求b a +的值 27、已知集合A {}
0652=+-=x x x ，B {}01=+mx x ，且A B A =⋃，求实数m 的值组成的集合。

参考答案
二、填空题
19、 1 20、3=x 21、{}5,3,1 22、
a
b a
c 442
- 23、0或2 三、解答题
24、3
53,723723723-<>∴-<->-⇔>-x x x x x 或或
故原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
-<>353x x x 或
25、假设y x ,均不大于1，即2,11≤+≤≤y x y x 则且，这与已知条件2>+y x 矛盾
y x ,∴中至少有一个大于1
26、由题意知方程022
=++bx ax 的两根为3
1,2121=-=x x ，
又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a x x a b x x 22121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-a
a b 2312131
21，解得⎩⎨⎧-=-=212b a ， 14-=+∴b a
27、{}
{}A B A B A x x x A ⊆∴=⋃==+-=,,3,20652
① A B B m ⊆Φ==,,0时； ② 0≠m 时，由m
x mx 1
,01-
==+得。

3
1
21,3121,1,--==-=-∴∈-∴⊆或得或m m m A m A B
所以适合题意的m 的集合为⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧--31,21,0。

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