3.4基本不等式学案修改(第一课时)
苏教版高中数学必修五《基本不等式的证明》学案
3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立， 该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ； （2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较b a a b +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等． 已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值； （2）已知+∈R y x ，，且191=+y x ，求y x +的最小值．【学后反思】。
3.4 基本不等式ab≤a+b2 (一)
1
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探究 下面是基本不等式 ab≤
a＋b 的一种几何解释，请你补充完整． 2
如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上 半圆于点 D，连接 AD，BD.由射影定理可知，CD＝ ，而 OD＝ ， a＋b 因为 OD CD，所以 ab,当且仅当 C 与 O ，即 时,等号成立． 2 【探究点二】基本不等式的拓展 a＋b 2 问题 当 a>0，b>0 时， ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 请你给出证明．
1 1 n 例 3 a>b>c，n∈M 且 ＋ ≥ ，求 n 的最大值． a－b b－c a－c
小结 一般地，若函数 y＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则 a>f(x)，x∈D 恒成立⇔a>f(x)max； a<f(x)，x∈D 恒成立⇔a<f(x)min.
3
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鸡西市第十九中学学案
2018 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
3.4 学习 目标 重点 难点
基本不等式 ab≤ 2
a＋b
(一)
1．理解基本不等式的内容及证明． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 1．应用基本不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件，公式 a2＋b2≥2ab 只 a＋b 要求 a、b 是实数，而公式 ab≤ 强调 a、b 必须是非负数． 2
2
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例 1 已知正数 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋b，2 ab，2ab，a2＋b2，其中最大的一个 是( ) 2 A．a ＋b2 B．2 ab C．2ab D．a＋b
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2学案(含解析)新人教A版必修5-新人教A
3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab对任意实数a ，b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ，b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ，y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ，x ∈(0，π2)，两个都是正数，乘积为定值．但是由0<sin x <1，且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数，所以sin x ＋4sin x >1＋41＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手．[证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0，求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0，∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12， 当且仅当4x ＝9x，即x ＝32时，f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a >0，b >0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x >0，y >0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，且2x ＋3y ＝6时等号成立， 即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6，x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703，当且仅当130×152x ＝13x6，即x ＝4570∈[50,100]时，等号成立．故当x ＝4570千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为525703元．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab≥2解析：∵a ，b ∈R ，且ab >0， ∴b a >0，ab>0，∴b a ＋a b ≥2b a ×a b＝2. 当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号．3．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．。
基本不等式学案
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800立方米，深3 米，如果池底每平方米造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计造价 最低?最低总造价是多少?
五、课堂练习： 1、 在下列函数中， 最小值是 2 的是 x 5 A. y ( x R, 且x 0) 5 x C. y 3 x 3 x ( x R )
ab ( a 0,b 0 )。 2
时,
2、概念扩展： 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数 a,b , 且 a 0,b 0 ,
ab 是 a,b 的 2 ab 是叫做 a,b 的
，叫做 a,b 的算术平均数
，叫做 a,b 的几何平均数， 由基本不等式可得： a,b 的等差中项 ，特 a,b 的等比中项（ , ） 别的，当 a b 时， a,b 的等差中项等于 a,b 的等比中项。 3、总结： a2 b2 a 2 b 2 2ab ab ， a, b R ，当且仅当 a b 时，等号成立； 2 ab ab 2 ab ab ( ) ， a, b R * ，当且仅当 a b 时，等号成立。 2 2
责任编辑： 刘强
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liuq275@ 邮箱：
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平
市
第
一
高
级
中
学
四、典型例题： 1、基本不等式成立的条件 【例 1】不等式 m 2 1 2m 中等号成立的条件是________。 2、基本不等式求最值 【例 2】已知 0 x 1 ，则 x(1 x) 的最大值是________。 3、基本不等式的实际应用 【例 3】 （1）用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，菜园的面积最大，最大的面积是多少？
河南省伊川县实验高中人教版高中数学必修五教案：3.4
《基本不等式》教案张晓锋教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式课时：1课时一、教材分析1．本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
2．教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3．教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
二、学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.三、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.四、教学过程设计1.创设情境【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.（请学生在学案上课前完成：4S S S =+Q 大正方形直角三角形小正方形()2222142c ab a b a b ∴=⨯+-=+.） 【思考1】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？( 生1：4S S ≥大正方形直角三角形，得ab b a 222≥+；生2：0S ≥小正方形，得()02≥-b a .） 【归纳】对于两直角边a b 、，有222a b ab +≥.【思考2】上式中何时等号成立？(请学生说明：当a b =时, 222a b ab +=；当a b ≠，222a b ab +>.)【归纳】当且仅当a b =时，等号成立.【探究1】上式对正实数是成立的，那么对任意实数a b 、，上式都成立吗？（请学生自主探究，用“比较法”证明.强调a b =和a b ≠两种情况，说明“当且仅当”的含义.）【归纳】对任意实数a b 、，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.2.基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>> 【引入】当0,0a b >>a a b 代替b 即可得到：)20,0a b ab a b +≥>>【说明】通常我们把上式写作(0,0)2a b ab a b +≥>>，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）【思考3】你能否证明基本不等式？（请学生思考完成.生1：（比较法）210222a b ab a b a b ab +-=≥+∴≥Q当且仅当a b =时，等号成立； 生2：（综合法）202a b a b ab≥∴+≥Q 当且仅当a b =时，等号成立;生3：（分析法）()()()()22,a b ab a b ab a b ab a b a b ab +≥∴+≥∴+-≥∴≥∴+≥Q要证只要证只要证只要证上式显然成立。
3..4基本不等式
3．4．1基本不等式<1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理中地不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节地学习，体会数学来源于生活，提高学习数学地兴趣【教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式地几何背景：探究：如图是在北京召开地第24界国际数学家大会地会标，会标是根据中国古代数学家赵爽地弦图设计地，颜色地明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.2 合作探究<1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？<教师引导学生从面积地关系去找相等关系或不等关.系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等地直角三角形.设直角三角形地长为、，那么正方形地边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形地面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形地面积和正方形地面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：<板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立.提问5：你能给出它地证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书>证明:所以注意强调当且仅当时,(2>特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导(板书,请学生上台板演>:要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证 (->④显然, ④是成立地,当且仅当时, ④地等号成立(3>观察图形3.4-3,得到不等式①地几何解释两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆地半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b地等差中项，看作是正数a、b地等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数地等差中项不小于它们地等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：(1>＝2即≥2.(2>x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0∴<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.变式训练：Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少解读：因为Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式地用法，1正2定3相等可以具体解释每一项地意思.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值12下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数1 B 2.D 3 B 4 .A基本不等式第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理.二、预习内容一般地，对于任意实数、，我们有，当，等号成立.两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数，字母表示：.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案教学目标，不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件合作探究 1 证;强调：当且仅当时,特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导证明:结论：两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究2：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释练习1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1>≥2；( 2）Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式地性质(把握好每条性质成立地条件>，进行变形.1正2定3相等变式训练：1已知x＜错误!，则函数f<x）＝4x＋错误!地最大值是多少？2 证明：<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.分析：注意凑位法地使用.注意基本不等式地用法.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值2下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高1 已知①如果积②如果和[拓展探究]2.设a, b, c且a+b+c=1，求证：答案：1略2 提示可用a+b+c换里面地1 ，然后化简利用基本不等式.§3.4.2 基本不等式地应用【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件教学过程：一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数地算术平均数，把叫做正数地几何平均数.今天我们就生活中地实际例子研究它地重用作用.讲解：已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1、新课讲授例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：<1）设矩形菜园地长为m,宽为 m,则篱笆地长为2<）由，可得2<）等号当且仅当，因此，这个矩形地长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2>设矩形菜园地长为m,宽为 m,则2<）=36，=18，矩形菜园地面积为，由可得,可得等号当且仅当点评：此题用到了如果是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值变式训练：用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？解：设矩形地长为，则宽为，矩形面，且．由．<当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．例2<教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边地长度为，水池地总造价为元，根据题意，得当因此，当水池地底面是边长为40m地正方形时，水池地总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中地应用，应注意数学语言地应用即函数解读式地建立，又是不等式性质在求最值中地应用，应注意不等式性质地适用条件.变题：某工厂要制造一批无盖地圆柱形桶，它地容积是立方分M，用来做底地金属每平方分M价值3元，做侧面地金属每平方M价值2元，按着怎样地尺寸制造，才能使圆桶地成本最低.解：设圆桶地底半径为分M，高为分M，圆桶地成本为元，则3求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小.将代入地解读式，得=当且仅当时，取“=”号.∴当1<分M），<分M）时，圆桶地成本最低为9<元）.点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识1．求最值常用地不等式：，，．2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．3.建立不等式模型解决实际问题当堂检测：1下列函数中，最小值为4地是：<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.设地最小值是( >A. 10B.C.D.3函数地最大值为.4建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5时，有最小值，基本不等式地应用课前预习学案一、预习目标会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题二、预习内容1如果是定值，那么当时，和有最2如果和是定值，那么当时，积有最3若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.4.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b地最小值是_____.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1 用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题.2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件二、学习过程例题分析：例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：变式训练：1用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？2一份印刷品地排版面积<矩形）为它地两边都留有宽为地空白，顶部和底部都留有宽为地空白，如何选择纸张地尺寸，才能使用纸量最少？变式训练答案 1 时面积最大. 2此时纸张长和宽分别是和．例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000.变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.答案：3600当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有<3）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值2已知且满足,求地最小值.4Ａ．16Ｂ20．Ｃ．14Ｄ．183 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案:1 C 2 D 3 时，有最小值，课后复习学案1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy地最大值及此时x、y地值．2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车地购车费用是10万元，每年使用地保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元.问这种汽车使用多少年时，它地年平均费用最小？最小值是多少？3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站地距离成反比，而每月库存货物地运费y2与到车站地距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
高中数学 3.4基本不等式ab≤a+b2(一)导学案(无答案)新人教版必修5 学案
3.4 基本不等式ab ≤a ＋b 2（一） 学习目标理解基本不等式及证明；熟练运用基本不等式来比较大小；能运用基本不等式证明简单的不等式． 预习篇1．如果a ，b ∈R ，那么a2＋b22ab(当且仅当时取“＝”)．2．若a ，b 都为数，那么a ＋b 2ab(当且仅当ab 时，等号成立)，称上述不等式为不等式，其中称为a ，b 的算术平均数，称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a2＋b22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥；当x<0时，x ＋1x ≤. (3)当ab>0时，b a ＋a b ≥；当ab<0时，b a ＋a b≤.(4)a2＋b2＋c2ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)． 4．当a>0，b>0且a≠b 时，a ＋b 2，ab ，21a ＋1b ，a2＋b22按从小到大的顺序排列为. 课堂篇探究点一 基本不等式的证明问题1 利用作差法证明：a ∈R ，b ∈R ，a2＋b2≥2ab.问题2 当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab.探究 下面是基本不等式ab ≤a ＋b 2的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD.由射影定理可知，CD ＝，而OD ＝，因为ODCD ，所以 a ＋b 2ab,当且仅当C 与O ，即时,等号成立．探究点二 当a>0，b>0时，21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a2＋b22这是一条重要的基本不等式链，请证明．典型例题例1 已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a2＋b2，其中最大的一个是( ) A ．a2＋b2 B ．2abC ．2ab D ．a ＋b例2 设a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.例3 a>b>c ，n ∈M 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值巩固篇1．若0<a<b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a>a ＋b 2>ab>bB ．b>ab>a ＋b2>aC ．b>a ＋b 2>ab>a D ．b>a>a ＋b 2>ab2．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．26D ．83．若不等式x2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围是________．4．a ，b ，c ∈R ，求证：a2＋b2＋c2≥ab ＋bc ＋ca.。
3.4基本不等式(共2课时)
三、利用基本不等式解应用题
例 4 ： （ 1 ）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy x y 2 100, 2 2( x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
作业反馈
第1课时作业： 课本：P 学案：课时（24） 第2课时作业： 课本：P 学案：课时（25）
ab ab 求函数的最值 二、利用基本不等式 2 3 例2：已知x > 0，求 f ( x) x 的最小值。
x
归纳：见和想积，乘积为定值，则和有最小值。 变式1：若x < 0，求
3 f ( x) x x
的最大值。
3 变式2：若x > 2，求 f ( x ) x 的最小值。 x2
a
b
思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
a b
2
2
a 2 + b2
2ab
一、两个基本的不等式 重要不等式： a² +b² ≥2ab（ a、b∈R ）
(当且仅当a=b时取“=”号)
你能给出它的证明吗？
基本不等式： a b 2 ab (a 0, b 0) (当且仅当a=b时取“=”号) 通常我们把上式写作：
ab 利用基本不等式 2 ab求函数的最值时需要同时
满足以下三个条件：
(1)a, b均为正数； (2)a b与ab有一个为定值； (3)等号必须取到；
简称为：一正二定三相等。
练习2:
1.判断以下解题过程的正 误: 1 (1) 已知x 0,求x 的最值; x 1 1 解 : x 2 x 2, 原式有最小值 2. x x
新教材高中数学第2章基本不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：2.2 基本不等式第1课时 基本不等式学 习 目 标核 心 素 养1.了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 提示：由图可知①a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．] 3．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解【例1】 给出下面四个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2. ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4x≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4.③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. ② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x ＝1x时，即x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈R ＋，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.b a ＋a b≥2 C.a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞a ＋b24也就是a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用基本不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8. [证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．已知x ，y ，z 都是正数，求证： (x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥8xyz . [证明] ∵x ，y ，z 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ，y ＋z ≥2yz ，z ＋x ≥2zx ， ∴(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥2xy ·2yz ·2zx ＝8xyz . 当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7.[证明] 由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1(a ＞1)，则a ＋2b ＝a ＋6a a －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7≥26＋7， 当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号.1．记牢2个不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；(2)a ＋b2≥ab (a ，b 都是正数)．2．掌握2个注意点利用基本不等式证明不等式时应关注两点：(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面，当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<ab<1 C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由基本不等式知ab <a ＋b2一定成立．]2．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由基本不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12.∴a 2＋b 2最大．]4．若x ＞0，则x ＋1x________2(填“＝”“≥”“≤”“＞”“＜”)．≥ [x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。
2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.4 第1课时 基本不等式 Word版含解析
§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2第1课时 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤a ＋b2. 几何解释 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直于AB 且交圆O 于点P ，连接AP ，PB .则PO ＝AB 2＝a ＋b2.易证Rt △APQ ∽Rt △PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ ＝ab .知识点二 基本不等式常见推论由公式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )和a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)可得以下结论：①a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)； ②21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab .( √ ) 2．n ∈N *时，n ＋2n ≥2 2.( √ )3．x ≠0时，x ＋1x≥2.( × )4．a >0，b >0时，1a ＋1b ≥4a ＋b.( √ )题型一 常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究1求证a ＋b 2≥ab (a ＞0，b ＞0)．证明 方法一a ＋b 2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a ·b ]＝12·(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立． 方法二 由例1知，a 2＋b 2≥2ab .∴当a ＞0，b ＞0时有(a )2＋(b )2≥2a b ， 即a ＋b ≥2ab ， a ＋b2≥ab . 引申探究2证明不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号． 反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．(2)不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b 2成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．跟踪训练1 当a ＞0，b ＞0时，求证：21a ＋1b ≤ab .证明 ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴1a ＋b ≤12ab，∴2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab . 又∵2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，∴21a ＋1b ≤ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 题型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y >0，yx >0， ∴y x ＋x y≥2 y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数， ∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0， ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 题型三 用基本不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析 第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2. 依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎡⎦⎤(1＋a )＋(1＋b )22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．反思感悟 基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b 2，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q答案 B解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0， ∴lg a ＋lg b2＞lg a ·lg b ，即Q ＞P .① 又a ＋b2＞ab >0， ∴lga ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R ＞Q .② 综合①②，有P <Q <R .演绎：条件不等式的证明典例 (1)当x ＞0，a ＞0时，证明x ＋ax ≥2a ；(2)当x ＞－1时，证明x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.证明 (1)∵x ＞0，a ＞0，∴ax ＞0.由基本不等式可知，x ＋ax≥2x ·ax＝2a . 当且仅当x ＝a 时，等号成立． (2)x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5.∵x ＞－1，∴x ＋1＞0. ∴(x ＋1)＋4x ＋1≥24＝4，∴(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥9，即x 2＋7x ＋10x ＋1≥9.当且仅当x ＝1时，等号成立．[素养评析] 逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式．在本例中，“一般”指基本不等式a ＋b 2≥ab .当我们对a ，b 赋予特殊值．如令a ＝x ，b ＝ax ，就有x ＋ax≥2a ；①再令①中的x ＝x ＋1，a ＝4，就有x ＋1＋4x ＋1≥2 4.基本不等式的应用关键就是给a ，b 赋予什么样的值.1．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.2xx 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2答案 C解析 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立；对于C ，x 2＋1≥2x ，∴2xx 2＋1≤1恒成立．故选C. 3．若四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bcB.a ＋d2<bcC.a ＋d 2＝bcD.a ＋d 2≤bc答案 A解析 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2＝b ＋c2>bc .4．lg 9×lg 11与1的大小关系是( ) A ．lg 9×lg 11>1 B ．lg 9×lg 11＝1 C ．lg 9×lg 11<1 D ．不能确定 答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0， ∴lg 9×lg 11<⎝⎛⎭⎫lg 9＋lg 1122＝⎣⎡⎦⎤lg (9×11)22＝⎝⎛⎭⎫lg 9922<⎝⎛⎭⎫lg 10022＝1， 即lg 9×lg 11<1.5．设a >0，b >0，给出下列不等式： ①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a . 其中恒成立的是 ．(填序号)答案 ①②③解析 由于a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，故①恒成立； 由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab， 故(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立． 综上，恒成立的是①②③.1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．一、选择题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 2．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误； 对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫1222x － (x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n 答案 A解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，n ＝222x －<22＝4，∴m >n ，故选A.4．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >p D ．p ＝r >q答案 B解析 因为0<a <b ，所以a ＋b2>ab .又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q .而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ， 所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b>ab 答案 D 解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥ 22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立；∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立． 6．下列说法正确的是( )A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋4sin 2x min ＝4 B ．若a <0，则a ＋4a≥－4C ．若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a <0，b <0，则b a ＋a b ≥2答案 D解析 对于A ，x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ∈(0,1]．令t ＝sin 2x ，则y ＝t ＋4t ，函数y 在(0,1]上单调递减，所以y ≥5，即sin 2x ＋4sin 2x ≥5，当sin 2x ＝1时，等号成立．对于B ，若a <0，则－a >0，－4a >0.∴a ＋4a ＝－⎣⎡⎦⎤(－a )＋⎝⎛⎭⎫－4a ≤－4， 当且仅当a ＝4a ，即a ＝－2时，等号成立．对于C ，若a ∈(0,1)，b ∈(0,1)， 则lg a <0，lg b <0，不等式不成立． 对于D ，a <0，b <0，则b a >0，ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， 当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时，等号成立．二、填空题7．设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“<”) 答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a <－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数， 又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 8．设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是 ． 答案 ①②解析 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确； 当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确．9．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是 ．答案(a －b )(b －c )≤a －c2解析 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是 ．(用“＞”连接) 答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n . 三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 ∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a， 同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab. 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．13．设0<a <1<b ，则一定有( )A ．log a b ＋log b a ≥2B ．log a b ＋log b a ≥－2C ．log a b ＋log b a ≤－2D ．log a b ＋log b a >2答案 C解析 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2.14．设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号．。
基本不等式学案
变式4；已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
变式5；已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
变式6正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
题型二：利用基本不等式求最值
变式1：设变量x,y满足 + 1，则x+2y的最大值和最小值分别是？
变式1；在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 给定，若M(x,y)为D上的动点，点A得坐标（ ，1）则 的最大值
题型二：已知最值求参数
例1：设m>1，在约束条件 下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围
变式1：若变量x,y满足约束条件 目标函数z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围
例2：甲，已两地相距500千米，一辆货车从甲地匀速行驶到已地，规定速度不超过100千米每小时。已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01，固定部分为a元。（a>0）
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度的函数，并指出定义域
题型三：恒成立问题
例3：若对任意x>0， 恒成立，则a的取值范围
变式：已知a,b为正实数且ab=1，若不等式 对任意正实数x,y恒成立，则m的取值范围
题型四：应用
例1：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
3.4 基本不等式教案(14)2020-2021学年高一数学人教A版必修五第三章
§3.4 基本不等式（第一课时）【教材分析】基本不等式是人教版必修 5 第 3 章 第 4 节第一课时内容。
本节课的主要学习任务是通过研究赵爽“弦图”中的面积关系，寻找相等关系和不等关系为思路启发研究不等关系，培养学生直观想象能力。
并从重要不等式中观察、抽象出基本不等式, 多角度探究、理解与证明基本不等式。
探究基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,不等式的证明是本节课的核心部分,也是本节课的重点，其中利用基本不等式解决最值问题为本节课的难点。
【学情分析】网课期间，停课不停学，使用万彩动画制作和钉钉平台直播授课。
本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣，也利用了几何画板动态演示，学生可以从中直观感知猜想出不等关系。
通过基本不等式的证明中让学生感受数形统一的辩证性。
对于应用基本不等式解决最值问题中引发学生思考，及知识应用的升华。
【设计思想】基本不等式是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。
因此对于本节课的教学内容，我从在北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入新课，告诉学生会标源于中国古代数学家赵爽的“弦图”作出的设计，以个别提问为主研究基本不等式，引导学生观察“弦图”的构成，思考利用面积关系研究问题。
多角度证明重要不等式。
通过重要不等式，学生类比得到基本不等式。
引导学生分析基本不等式的几何解释，感受几何直观与代数证明的紧密结合时，让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功，享受学习的乐趣。
【教学目标】 一、知识与技能1.2a b+的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题； 2.通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题、解决问题的能力，并能进行简单应用。
《3.4.1 基本不等式的证明》教学案1
3．4.1《基本不等式的证明》教学案教学教法分析●三维目标 1.知识与技能(1)探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；(3)学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；(4)理解“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的证明以及它的几何解释.2.过程与方法(1)通过实例探究抽象基本不等式；(2)通过几个例题的研究，掌握基本不等式ab ≤a ＋b2，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；(3)运用拆项、凑项和换元的方法，创造使用基本不等式的条件． 3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；(2)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(3)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.●重点、难点重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义． 难点：理解基本不等式等号成立的条件．为了突出重点、化解难点，可在引导学生完成所提问题的基础上，从数和形等多个角度探索不等式ab ≤a ＋b2的证明过程．每一步证明过程都要给学生留出思考的空间，让他们自主探究．教学方案设计●教学建议本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．算术平均数和几何平均数是本节的第一基础概念，可结合教材中的物理问题进行理解．从生活中实际问题还原出数学本质，可积极地调动学生的学习热情．基本不等式的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案；要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．用基本不等式求最值时注意强调必须具备三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑、变形来创造利用基本不等式的条件进行求解．●教学流程创设情境引导学生理解算术平均数和几何平均数的概念，进而给出基本不等式.⇒引导学生多角度探索基本不等式的证明方法，使学生充分理解基本不等式.⇒通过例1及其变式训练使学生熟悉基本不等式的结构与应用.⇒通过例2及其互动探究使学生掌握利用基本不等式证明不等式方法.⇒通过例3及其变式训练让学生掌握利用基本不等式求函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课前自主导学对于正数a ，b ，我们把2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.1．若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？【提示】 因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥2ab .2．上述结论中，等号何时成立？ 【提示】 当且仅当a ＝b 时等号成立．3．若以a 、b 分别代替问题1中的a 、b ，可得出什么结论？等号何时成立？ 【提示】 a ＋b ≥2ab (a 、b 是正数)，当且仅当a ＝b 时等号成立．如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)，我们把不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)称为基本不等式．课堂互动探究例1 【思路探究】 先利用特殊值探究四个式子的大小，再用基本不等式证明． 【自主解答】 ∵a 、b ∈(0，＋∞)，∴1a ＋1b ≥21ab ，即21a ＋1b≤ab ，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时等号成立．又∵a 2＋b 22≥a 2＋b 2＋2ab4＝a ＋b22＝a ＋b2，∴a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤a ＋b 2，于是21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.当且仅当a ＝b 时等号成立．规律方法1．本题中对基本不等式的使用，根据条件不同采用了多种不同形式． 2．在利用a ＋b ≥2ab 时，一定要注意是否满足条件a >0，b >0.变式训练已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小，并加以证明．【解】 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg (x 1x 2)，f (x 1＋x 22)＝lgx 1＋x 22，又∵x 1，x 2∈R ＋，∴x 1x 2≤(x 1＋x 22)2.∴lg (x 1x 2)≤lg (x 1＋x 22)2.∴12lg (x 1x 2)≤lg x 1＋x 22， 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22.∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)， 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立.例求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .【思路探究】 分析不等式结构→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等号是否成立【自主解答】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ， b ＋c ≥2bc ， c ＋a ≥2ac .∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .规律方法1．本题中，由于三个不等式等号成立的条件不能同时具备，故最终不等式等号不成立．2．由基本不等式a ＋b2≥ab 可以引申出的常用结论：(1)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋ab ≤－2(a ，b 异号)；(3)21a ＋1b≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)；(4)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．互动探究若条件不变，结论改为a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac ，怎样证明？【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )． 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .例3 (1)已知x ＞2，求y ＝x ＋x －2的最小值； (2)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．【思路探究】 (1)将原式变形为y ＝x －2＋1x －2＋2，再利用基本不等式； (2)将原式变形为y ＝14·2x (1－2x )，再利用基本不等式． 【自主解答】 (1)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －1x －＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时，y min ＝4. (2)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0， ∴y ＝12x (1－2x )＝14×2x (1－2x ) ≤14(2x ＋1－2x 2)2＝14×14＝116， 当且仅当2x ＝1－2x (0＜x ＜12)， 即x ＝14时，y max ＝116.规律方法1．本例中，对要求最值的函数式，通过适当的变形，使式子变为和为定值或积为定值的式子，然后运用基本不等式求最值．2．利用基本不等式求解最值，应满足“一正、二定、三相等”三个条件． (1)“一正”，所求最值的各项都是正值．(2) “二定”，含变量的各项的和或者积必须是常数．(3)“三相等”，具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值．变式训练(1)若x ＜0，求f (x )＝4x ＋9x 的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1(x ＞0)的最小值．【解】 (1)∵x ＜0，∴－x ＞0. 则－f (x )＝－4x ＋9－x ≥2－4x9－x ＝12.即f (x )≤－12，当且仅当－4x ＝9－x 时，即x ＝－32时，f (x )取最大值－12.(2)∵y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1＝x 2＋2x ＋－x x 2＋2x ＋1＝1－x x 2＋2x ＋1，又x ＞0，∴y ＝1－1x ＋1x ＋2. ∵x ＋1x ≥2，∴x ＋1x ＋2≥4，∴0＜1x ＋1x ＋2≤14， ∴y ≥1－14＝34.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，函数取得最小值34.易错易误辨析忽略定值条件导致错误典例 设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值．【错解】 a 1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋＋b 22＝12[(a 2＋12)＋(a 2＋b 22)]＝12[(a 2＋12)＋1]≥34(a ＝0时，取等号)．【错因分析】 在a 1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋＋b 22中，4a 2＋＋b 22并非定值，这直接导致了解题的错误．【防范措施】 a ＋b 是定值或a 、b 是定值是使用基本不等式的第二个条件，当条件不具备时应对解析式变形，创造定理条件．【正解】 由a 2＋b 22＝1，得a 2＋1＋b 22＝32.∴a 1＋b 2＝2·a ·1＋b22≤2·a 2＋1＋b 222＝2×322＝324， 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 22＝1，a ＝1＋b 22，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝ 32，b ＝22时，等号成立．1．基础知识：(1)算术平均数与几何平均数； (2)基本不等式． 2．基本技能：(1)利用基本不等式比较大小； (2)利用基本不等式证明不等式； (3)利用基本不等式求函数的最值． 3．思想方法： (1)转化与化归思想； (2)分类讨论思想； (3)函数思想.当堂双基达标1．若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是________．【解析】 因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，a ≠b ，所以a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab ，所以四个数中最大的数应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，所以a ＋b 最大．【答案】 a ＋b2．若x ＞0，则f (x )＝4x ＋9x 的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞0，由基本不等式，得f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x ＝236＝12.当且仅当4x ＝9x 时，即x ＝32时，f (x )取最小值12. 【答案】 123．已知x ＞0，则y ＝2－x －4x 的最大值为________． 【解析】 ∵x ＞0，∴x ＋4x ≥4， ∴y ＝2－x －4x ＝2－(x ＋4x )≤2－4＝－2， 当且仅当x ＝4x (x ＞0)， 即x ＝2时，y max ＝－2. 【答案】 －24．求证4a －3＋a ≥7(其中a ＞3)． 【证明】 因为a ＞3，所以a －3＞0. 所以4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3≥24a －3a －＋3＝2×4＋3＝7.当且仅当4a －3＝a －3，即当a ＝5时取等号.课后知能检测一、填空题1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)①若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2；②若x ＞0，则 cos x ＋1cos x ≥2cos x ·1cos x ＝2；③若x ＜0，则x ＋4x ≤2x ·4x ＝4；④若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则b a ＋a b ＝－[(－b a )＋(－ab )]≤－2－ba －ab ＝－2.【解析】 对于①，不能确定b a 与ab 均为正数，不能使用基本不等式．同理知②也不正确．对于③，x 与4x 均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误．对于④，将负数b a 与ab 分别转化为正数－b a ，－ab ，然后再利用基本不等式求解，所以正确．故填④.【答案】 ④2．(2013·南通检测)若a ＞1，则y ＝a ＋1a －1的最小值为________． 【解析】 ∵a ＞1，∴a －1＞0，1a －1＞0， ∴y ＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2a －1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号，∴y min ＝3. 【答案】 33．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________． 【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4，当且仅当a－2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0，4)，综上易得m ＞n .【答案】 m ＞n4．已知x ＞1，则函数y ＝x ＋9xx －1的值域为________．【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1＋10≥2x －9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，y 取最小值16， ∴函数y ＝x ＋9xx －1的值域为[16，＋∞)．【答案】 [16，＋∞)5．(2013·无锡检测)已知a ，b ＞0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为________． 【解析】 由2a ＋b ＝4，∴4＝2a ＋b ≥22ab . ∴2ab ≤2，∴2ab ≤4，∴ab ≤2，即(ab )max ＝2. 【答案】 26．若x ＋2y ＝2，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】 2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝222＝4，当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【答案】 47．(2013·郑州高二检测)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1b a －b 的最小值为________．【解析】 依题意得a －b ＞0，所以代数式a 2＋1ba －b ≥a 2＋1[b ＋a －b 2]2＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b 的最小值是4.【答案】 48．(2013·衡阳六校联考)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△M BC ，△M CA ，△M AB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值为________．【解析】 依题意得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23，则|AB →|·|AC →|＝4，故S △ABC＝12|AB →|·|AC →|sin 30°＝1，即12＋x ＋y ＝1，x ＋y ＝12，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )(1x ＋4y )＝2[5＋(y x ＋4xy )]≥2(5＋2y x ·4x y )＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时，等号成立，因此1x ＋4y 的最小值为18.【答案】 18 二、解答题9．求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最小值．【解】 y ＝x －2＋x －＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.由题意知x －1＞0，∴y ≥2x －9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取“＝”，∴y min ＝8.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 【证明】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正，可分别相乘． ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．11．已知x ，y 为正数且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．【解】 由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8y y －2(y ＞2)，令t ＝x ＋y ，则t ＝8yy －2＋y ＝y －＋16y －2＋y ＝8＋16y －2＋y ＝(y －2)＋16y －2＋10≥2y －16y －2＋10＝216＋10＝18.当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时，等号成立． 所以(x ＋y )min ＝18.教师备课资源备选例题已知a ＞b ，ab ＝1，求证a 2＋b 2≥22(a －b )．【思路探究】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，所以若证a 2＋b 2≥22(a －b )，只需证a 2＋b 2a －b ≥22即可．【证明】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，又ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2＋2ab －2ab a －b ＝a －b 2＋2ab a －b＝a －b ＋2a －b ≥2a －b2a －b ＝22，所以a 2＋b 2a －b ≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b )．当且仅当a －b ＝2a －b ，即a －b ＝2时取等号．规律方法在解题过程中，把数值或代数式拆成两项或多项，或是恒等地配凑成适当的数或式子是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧．备选变式已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c . 【证明】 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＝a －b ＋b －c ＞0， ∴所证不等式等价于(1a －b ＋1b －c )(a －c )≥4. 又(1a －b ＋1b －c )(a －c )＝a －c a －b ＋a －c b －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c ＝4.∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c .拓展证明不等式的基本方法——分析法.分析法是从被证不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以判定原不等式成立．对于某些不等式(如含有根式、分式或两端较为复杂)有时由题设条件很难展开推理，这时可考虑运用分析法．用分析法证题时，要注意其语言“特色”．如用分析法论证“若A，则B” 这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，从而又……只需证命题B2为真，从而又…………只需证明A为真，今已知A为真，故B为真．可见，分析法总是执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件．写成简要的形式就是：B←B1←B2←…←B n←A.。
基本不等式教学设计
两县城A B距离20km, 现要在以A B为直径的半圆弧上 建一个垃圾处理站C，垃圾处理站C对A城和B城的 影响度与C到A、B的距离的平方成反比，比例系数 分别为1，9.要使C对A、B的影响度之和最小，求 BAC的度数.
方法感悟：
【课堂小结】
【课后演练】
考讨论展示. 例 3 估计学 生会考虑到 “1“的妙用， 同时给出方 法 2，函数思 想消元是解 决问题的通 法.
并计算.
1 的基础上
让学生加条
方法感悟：
件使得问题 正确.
例 2 学生思
例2.已知f (x） x 1 x 1,求f (x)的最小值.
x 1
方法感悟：
例3.已知x 0, y 0,且 1 9 1,求x y的最小值. xy
方法感悟：
变式.已知x 0, y 0,且2x y 1,求 1 1 的最小值. xy
x 1
2.已知f (x） x 1 ,求f (x)的值域. x
3.已知x (0,1),求代数式1 2 的最小值. x 1 x
B组
1..已知a 0,b 0, c 0,且ab a b 3,求ab的取值范围. 2..已知a 0,b 0,且ab a b 3,求a b的取值范围. 3.探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确， 有人说要让它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各 称一次，则两次所称重量和的一半就是物体的真实重量， 你觉得他说的对吗？说明你的理由.
课后演练 分为 A,B 组， A 组习题是 针对本节课 的内容进行 复习练习，B 组题目，主要 是实践作业， 丰富学生的 知识面，提高 学生的数学 思维品质，感 受数学来源 于生活并服 务于生活.
学案3.4基本不等式
学案3.42a b +≤ 一、知识梳理1，重要不等式一般地，对于任意实数,a b ，我们有 ，当且仅当 ，等号成立。
2，均值不等式 一般地，对于任意的正实数,a b ，我们有 ， 当且仅当 ，等号成立。
注：1、完整的均值不等式211a b+≤≤2a b +≤a b =时取等号） 2、我们就把a b +叫做正数a b ，的算术平均数；叫做正数a b ，的几何平均数；我们就把211+叫做正数a b ，的调和平均数；a b ，的平方平均数； 3、均值不等式的文字描述：① 两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数② 两正数的等差中项不小于它们的等比中项③ 完整的均值不等式也可以简记为下面四个字“调、几、算、平”4， 基本不等式与最值已知,x y 都是正数，则① 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值 ② 如果和x y +是定值s ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值214s 简记为：七字言“一正、二定、三相等”二、典例精析例1、 （1）已知0ab >，求证：2≥+ba ab ，并推导出式中等号成立的条件；（2）已知,,0a b c >，且1a b c ++=，求证： 111()()()10a b c a b c +++++≥；变式、 （1）已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a +++≥；（2）已知,,a b c 是三个不全相等的正数，求证：6b c a c a b a b c+++++>；（3）已知,,a b c 均为正数，求证：c b a ac c b b a ++≥++222；例2、（1）已知,0,24x y xy >=，求46x y +的最小值，并说明此时,x y 的值；（2）若01x <<，求(1)y x x =-的最大值；变式、（1）已知0>x ，求x x x f 312)(+=的最小值；（2）若102x <<，求(12)y x x =-的最大值； 例3、（1）已知0x <，求函数x x x f 2)(+=的最大值；（2）已知3<x ，求x x x f +-=34)(的最大值；（3）已知4a b +=，求22a by =+的最小值；（4）求函数2710()(1)1x x f x x x ++=>-+的最小值；变式、（1）若0x <,求9()4f x x x =+的最大值。
基本不等式
基本不等式（第一课时学案）一、 学习目标推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值；了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
二、 重难点把握重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理难点：利用均值定理求极值，了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
三、学习过程（1）知识准备1、算术平均数与几何平均数：对任意两个正数a 、b ，2a b +叫做a 、b 的算术a 、b 的几何平均数。
2、不等式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）探究重要不等式 1、不等式的证明：（分析法） 证明：要证明 ，只需证222a b ab +-≥ ，即证 ≥0，对a 、b ∈R 此不等式显然成立，∴ ，当且仅当 时，等号成立。
注：此不等式的证明也可采用教材97页介绍的利用图形间面积关系推导而出，同学们可尝试一下2、关于不等式 的几点说明：①不等式中a 、b 的取值是任意实数，它们可以是具体的某个数，也可以是一个代数式；②公式中等号成立的条件是a b =，如果a 、b 不能相等，则 中的等号不能成立；③不等式 可以变形为222a b ab +≤，()()2222a b a b +≥+，()22242ab a b ab a b ≤++=+等。
学生们可以自行证明。
（3）探究基本不等式 由（2）的结论可知，如果a, b ∈R+，那么，当且仅当a b =时，等号成立。
关于 的几点说明：①基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的正确理解应抓住两点：一是其成立的条件是a 、b 都是正数；二是等号成立的条件是“当且仅当a b =”。
②基本不等式还可以描述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它的几何平均数。
222a b ab+≥222a b ab +≥222a b ab +≥222a b ab +≥222a b ab +≥222a b ab +≥2a b +≥2a b +≥2a b +≥（4）不等式 和1、不等式和 成立的条件是不同的。
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3．4基本不等式学案（第一课时）
学案设计：从化市第三中学 黄林城老师
学习时间：2011年6月25日
一、学习目标
1．知识与技能: 探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
2. 过程与方法: 通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
3．情态与价值：通过本节的学习，体验成功的快乐，激发学习的兴趣。
二、学习重、难点
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
难点：用基本不等式求最大值和最小值。
三、知识结构
四、学习过程
1、自主探究
实例1：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．
探究1：在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,那么
①正方形ABCD 的面积S =
②4个全等的直角三角形的面积S ′=
③S 与S ′的大小关系为
思考：当a=b 时，S 与S ′的大小关系会是怎样？
重要不等式结论：
思考：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什
么条件？
基本不等式结论：
2、证明确认
思考：你能用代数方法（不等式的性质）给出这两个不等式的证明吗？
证法一（作差法）：
证法二（分析法）：
要证 ab b a ≥+2
① 只要证 ≥+b a ②
要证②，只要证 -+b a 0≥ ③
要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④
显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立.
3、获取新知
重要不等式：若R b a,∈，则2ab b a 22≥+（当且仅当b a =时，等号成立）
基本不等式：若+∈R b a,，则2
b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 其中称ab 为b a ,的几何平均数；称
2b a +为b a ,的算术平均数.所以基本不等式2
b a ab +≤的代数意义．．．．是：
4、深化认识
探究2: 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。
过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ，则 CD= ， 半径R=
你能利用这个图形得出基本不等式
2a b +≤的几何解释吗？ 基本不等式2
b a ab +≤的几何．．意义．．是：
A B
4、学以致用
例1.判断 ⑴a
a 1+的最小值为2. （ ） ⑵)2(1>+a a
a 的最小值为2. （ ） ⑶)0(12>+a a
a 的最小值为a 2. （ ）
归纳：运用基本不等式2b a ab +≤
的限制条件是：
例2. （1）若0>x ，求x
x y 123+
=的最小值. （2）若01x <<，求(1)y x x =-的最大值.
解：（1） （2）
基本不等式的变形有：
变式练习：
变式1：若3>x ，求3
1-+=x x y 的最小值.
变式2：若2
10<<x ，求)21(x x y -=的最大值.
5、尝试小结
1、公式
2、应用
3、数学思想
6、课后提高
（1）基本作业：课本P100 习题 A 组 1、2题
（2）拓展作业：请同学们课外阅读课本P98“探究”，然后到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．
（3）提高练习： ①求1
432-+
+=x x y 的最小值（其中x ＞1）. ②已知π<<x 0，求x x y sin 1sin +=的最小值． ③已知0,0>>y x ，且182
=+y
x ，求xy 的最小值． ④设R y x ∈,，且2=+y x ，求y x 33+的最值． ⑤求函数x
x x f 1)(+
=的值域.
五、学习反思。