奉贤春季补习班,恒高教育教你立体几何、空间向量(含答案)
空间向量在立体几何中的应用答案word精品文档5页
17. 解析 (1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )夹角为θ，因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219. 18. 证明 AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD→＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0. 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12， ∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE→⊥CD →，即AE ⊥CD . (2)证法一 ∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE .AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB→＝0， ∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .证法二 ∵AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12， ∵设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ x ＝014x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∵PD→∥n ，∴PD →⊥平面ABE ， 即PD ⊥平面ABE .19.如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D －xyz . 则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH→＝(m ，m,1)(m ＞0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 (1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22， 所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC→＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.20. 解析 (1)证明 连接AB 1，与BA 1交于点O ，连接OD .∵C 1D ∥AA 1，A 1C 1＝C 1P ，∴AD ＝PD .又∵AO ＝B 1O ，∴OD ∥PB 1.又OD ⊂平面BDA 1，PB 1⊄平面BDA 1，∴PB 1∥平面BDA 1.(2)如图，过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连接BE .∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ，∴BA ⊥平面AA 1C 1C .∴BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， 又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×52·AE ，∴AE ＝255.在Rt △BAE 中，BE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝355， ∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝23.故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.21. 解析 (1)证明 ∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB .又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ⊂平面ABD ，∴平面ADB ⊥平面BDC .(2)由∠BDC ＝90°及(1)，知DA ，DB ，DC 两两垂直．不妨设|DB→|＝1，以D 为坐标原点，分别以DB→，DC →，DA →所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－3，DB →＝(1,0,0)， ∴AE→与DB →夹角的余弦值为cos 〈AE →，DB →〉 ＝AE →·DB →|AE →|·|DB →|＝121×224＝2222. 22. 解析 (1)证明 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .所以BD ⊥平面P AC .(2)设AC ∩BD ＝O ，因为∠BAD ＝60°，P A ＝AB ＝2，所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)．所以PB→＝(1，3，－2)，AC →＝(0，23，0)． 设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64. (3)由(2)知BC→＝(－1，3，0)． 设P (0，－3，t )(t ＞0)，则BP→＝(－1，－3，t )． 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则BC →·m ＝0，BP →·m ＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3，6t . 同理，平面PDC 的法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t . 因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以m ·n ＝0，即－6＋36t 2＝0， 解得t ＝ 6.所以P A ＝ 6.。
高三复习数学63_立体几何中的向量方法(有答案)
6.3 立体几何中的向量方法一、解答题。
1. 空间直角坐标系（1）为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体OABC −D ′A ′B ′C ′为载体，__________________．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中O 叫坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫坐标轴．（2）___________________叫坐标平面，分别称为________________________． （3）通常建立的直角坐标系为___________________，即___________________________________．2. 空间两点间的距离（1）若A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2)，则|AB|=________．（2）特别地，点P (x,y,z )与原点O 之间的距离为|PO|=________．3. 空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →=a ，OB →=b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作⟨a ,b ⟩，其范围是0≤⟨a ,b ⟩≤π，若⟨a ,b ⟩=π2，则称a 与b ________，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos ⟨a ,b ⟩叫做向量a ，b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b =|a ||b |cos ⟨a ,b ⟩．（2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b )； ②交换律：a ⋅b =b ⋅a ；③分配律：a ⋅(b +c )=a ⋅b +a ⋅c .4. 空间向量的坐标表示及应用 （1）数量积的坐标运算设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3)， 则a ⋅b =________．（2）共线与垂直的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3)，则a //b ⇔a =λb ⇔________，________，a 3=λb 3(λ∈R ）， a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔________（a ，b 均为非零向量）． （3）模、夹角和距离公式设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3)，则|a |=√a ⋅a =√a 12+a 22+a 32，cos ⟨a ,b ⟩=a ⋅b |a ||b |=112233√a 12+a 22+a 32⋅√b 12+b 22+b 32设A (a 1,b 1,c 1),B (a 2,b 2,c 2)，则d AB =|AB →|=√(a 2−a 1)2+(b 2−b 1)2+(c 2−c 1)2．5. 空间距离（1）点到直线的距离：指一点到它在一条直线上的________的距离． （2）两异面直线的距离：指两条异面直线的________的长度． （3）点到面的距离：指一点到它在一个平面内的________的距离．（4）平行线面间的距离：设直线l//平面α，则直线l 任意一点到平面α的距离，叫做直线l 到平面α的距离．据此可知：线面距离可转化为点面距离求解．（5）平行平面间的距离：其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离，也就是两个平行平面的公垂线段的长度．显然，面面距离可以转化为点面距离求解．6. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1各条棱长都相等．M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角大小是________．7. （文）在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30∘，则该长方体的体积为（ ） A.8 B.6√2 C.8√2 D.8√38. （理）已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A.13 B.√23C.√33D.239. （理）如图，AE ⊥平面ABCD ，CF//AE ，AD//BC ，AD ⊥AB ，AB =AD =1，AE =BC =2．求证：BF//平面ADE；求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；若二面角E−BD−F的余弦值为1，求线段CF的长．310. （文）如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4，O 为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC；若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．11. （理）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘,AB=AC=AA1=1．D 是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1//平面BDA1．求证：CD=C1D．求点C到平面B1DP的距离．12. （理）在正四面体S−ABC中，侧面SAC与底面ABC所成二面角的余弦值为（）A.1 4B.13C.√24D.√2313. （文）在正四面体S−ABC中，侧棱SA与底面ABC所成线面角的余弦值为（）A.1 2B.√32C.√33D.√6314. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=√3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A.1 5B.√56C.√55D.√2215. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘16. （理）二面角α−l−β为60∘，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α,β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为（）A.2aB.2√2aC.√5aD.√3a17. （文）已知∠ACB=90∘，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为（）A.1B.√2C.√32D.1218. （理）设三棱锥V−ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P−AC−B的平面角为γ，则（）A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β19. （文）在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC,AB= 6,BC=8,AA1=3，则V的最大值是（）A.4πB.9π2C.6π D.32π320. （理）棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为（）A.2√2B.√10C.√11D.2√321. （文）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高ℎ，计算其体积V的近似公式V≈136L2ℎ．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式V≈275L2ℎ相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A.227B.258C.15750D.35511322. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,BC=2,AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．23. （理）已知点E、F分别在正方体ABCD−A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．24. （文）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为________．25. 如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为a，且∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60∘，则下列结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①平面A1BD//平面CB1D1；②四边形BDD1B1为正方形；a；③点A到平面BDD1B1的距离为√32④点A1在平面BDC1上的射影为△BDC1的垂心；⑤平面A1BD与平面BDD1B1将四棱柱分成从小到大三部分的体积比为1:2:3．26. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．证明：AC⊥HD′；,OD′=2√2，求五棱锥D′−ABCFE体积．若AB=5,AC=6,AE=5427. 如图，在三棱台ABC−DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90∘,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3．求证：BF⊥平面ACFD；求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．28. （理）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱长和底面边长均为1，D是BC的中点．求证：A1B//平面ADC1求A1A与平面ADC1所成角的正弦值；的值；若不存在，试问线段A1B1上是否存在点E，使CE⊥平面ADC1？若存在，求AEA1B1说明理由．29. （文）如图，四棱锥P−ABCD的底面是直角梯形，AD//BC，AD=3BC=6,PB= 6√2，点M在线段AD上，且MD=4,AD⊥AB,PA⊥平面ABCD．求证：平面PCM⊥平面PAD；当四棱锥P−ABCD的体积最大时，求四棱锥P−ABCD的表面积．参考答案与试题解析6.3 立体几何中的向量方法一、解答题。
高中数学 2空间向量与立体几何(带答案)
空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案
一、利用向量处理平行与垂直问题例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。
求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。
zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析
高二数学空间向量与立体几何试题答案及解析1.已知向量与向量平行，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量与向量平行，所以，，故选C。
【考点】本题主要考查平行向量及向量的坐标运算。
点评：简单题，按向量平行的充要条件计算。
2.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则与所成的角的余弦为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0），C(0，1，0)，F(,0,1),G(,1,1),H（0，，0），所以=(－,0,1)，=（－，－，－1）=，所以与所成的角的余弦为，故选B。
【考点】本题主要考查空间向量的应用。
点评：空间向量的应用问题，通过建立空间直角坐标系，将求角、求距离问题，转化成向量的坐标运算，化繁为简。
注意向量的夹角与两直线夹角的异同。
3.正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为．【答案】【解析】因为O是A1C1的中点，求O到平面ABC1D1的距离，就是A1到平面ABC1D1的距离的一半，就是A1到AD1的距离的一半．所以，连接A1D与AD1的交点为P，则A1P的距离是：O到平面ABC1D1的距离的2倍O到平面ABC1D1的距离【考点】本题主要考查空间距离的计算。
点评：本题也可以通过建立空间直角坐标系，将求角、求距离问题，转化成向量的坐标运算，是高考典型题目。
4.已知={－4，3，0}，则与垂直的单位向量为= .【答案】（，，0）【解析】设与垂直的向量与垂直的向量=（x，y，0），则－4x+3y=0,,解得x= ,y=,所以=（，，0）。
【考点】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直的充要条件、单位向量的概念。
点评：利用向量垂直的充要条件及单位向量的概念。
5.在中，，，平面，，则点到的，距离为．【答案】【解析】由于ABC是等腰三角形，作AD垂直BC于D，由PA=PA，AB=AC，所以三角形PBC也是等腰三角形，故PD垂直BC，即PD为P到BC的距离，由PA垂直面ABC，所以PA垂直ADAD==4，PA=8所以在三角形PAD中,PD==。
空间向量立体几何含答案
立体几何一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )．A ．(－4，－8,6)B ．(－4，－8，－6)C ．(－6，－8,4)D ．(4,8，－6) 2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255-4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B ．2C ．4D ．85．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b cB ．2133++a b cC ．2133-+a b cD ．2133-+a b c6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝AB ，则二面角A －PB－C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B C D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________． 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________． 11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；周三小测（立体几何）参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C 解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝|||⋅a b a b ，知89==解方程得λ＝－2或255． 4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ． 6答案：A 解析：设P A ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面P AB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴10,||||FD d ⎛ ⋅⎝==n n ．9答案：32 解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10答案：3 解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足， 则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3．∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1， ∴cos θ＝11212ABCD AB CD⋅==⨯． 由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ． 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6．又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ．在直角△P AC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(0,0)，B (0，－3,0)，C0,0)，D (0,3,0)，P(0,)，M 322⎛-- ⎝，N 322⎛- ⎝，Q 33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM＝3,22⎛-⎝，AN＝322⎛- ⎝，知30,230.2x y x y -+=++= 取z ＝－1，得m ＝(0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛-⎝⎭， QN＝32⎛- ⎝⎭知30,230.623x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)．于是cos 〈m ，n 〉＝·||||=m n m n ．所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ． 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD ． 所以PB ＝PC ＝PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝P A ＝故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE 在直角△P AC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得2QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =得cos ∠AEQ ＝2222AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1，∴111C P C D xAC CD x==-． 由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ， ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0． 由此可得12x =，故CD ＝C 1D ． 答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭． 又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23．(3)求点C 到平面B 1DP 的距离．答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)，则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫⎪⎝⎭．又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。
高考数学专题复习《空间几何中的向量方法》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
变式1：
如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两 点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．
在 Rt△FDG 中，可得 FG＝ 6. 2
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 2，可得 EF＝3 2.
2
2
从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG. ②
又因为 AC∩FG＝G，③所以 EG⊥平面 AFC.（一）
因为 EG ⫋ 平面 AEC，（二）所以平面 AEC⊥平面 AFC.
例 1 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB＝BC＝AA1，∠
ABC＝90°，点 E，F 分别是棱 AB，BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是
()
A．30°
B．45°
C．60° D．90°
解析：选 C 以 B 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴，BB1 所 在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示． 设 AB＝BC＝AA1＝2，则 C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，∴ E→F＝(0，－1，1)，B→C1＝(2，0，2)，∴E→F·B→C1＝2，设直线 EF 与
[解] (1)证明：如图，连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC.
高中数学 6立体几何专题空间向量课后习题(带答案)
空间向量课后习题1．空间的一个基底{}，，a b c 所确定平面的个数为（ ） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个以上2．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ） Ａ．(042)，， Ｂ．(042)--，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)-，，3．已知向量111222()()x y z x y z ==，，，，，a b ，若≠a b ，设a b -=R ，则a b -与x 轴夹角的余弦值为（ ） Ａ．12x x R- Ｂ．21x x R- Ｃ．12x x R-Ｄ．12()x x R-±4．若向量MA MB MC ，，的起点与终点M A B C ，，，互不重合且无三点共线，O 是空间任一点，则能使MA MB MC ，，成为空间一组基底的关系是（ ） Ａ．111333OM OA OB OC =++Ｂ．MA MB MC ≠+ Ｃ．1233OM OA OB OC =++Ｄ．2MA MB MC =-5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 是平面11ABC D 的距离是（ ）Ｃ．126．一条长为a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（ ）Ａ．2a Ｂ．3a7．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．128．设P 是60°的二面角l αβ--内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A B ，为垂足，42PA PB ==，，则AB 的长为（ ） Ａ．42Ｂ．23Ｃ．25Ｄ．279．ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ） Ａ．22Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．710.已知()()(00)x y z a b c xyz abc ==≠≠，，，，，，p q ，若有等式2222222()()()x y z a b c ax by cz ++++=++成立，则，p q 之间的关系是（ ）Ａ．平行 Ｂ．垂直 Ｃ．相交 Ｄ．以上都可能11．已知平面α与β所成二面角为80°，P 为αβ，外一定点，过点P 一条直线与αβ，所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ）Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题13．已知(11)(2)t t t t t =--=，，，，，a b ，则-b a 的最小值是14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为1BD =，若15．如图2，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB D =，在棱1BB 上，且AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则sin α=16．已知m l ，是异面直线，那么： ①必存在平面α过m 且与l 平行； ②必存在平面β过m 且与l 垂直； ③必存在平面γ与m l ，都垂直； ④必存在平面δ与m l ，距离都相等． 其中正确命题的序号是三、解答题17．设空间两个不同的单位向量122(0)(0)x y x y ==，，，，，a b 与向量(111)=，，c 的夹角都等于π4．18．如图3，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．19．如图4，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，其中14231AB BC CC BE ====，，，． （1）求BF ；（2）求点C 到平面1AEC F 的距离．21．如图6，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O D ，分别是AC PC ，的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）求证：OD ∥平面PAB ；（2）当12k =时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；（3）当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC △的重心？22．如图7，已知向量OA OB OC ===，，a b c ，可构成空间向量的一个基底，若123()a a a =，，，a123123()()b b b c c c ==，，，，，b c ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算233231131221()a b a b a b a b a b a b ⨯=---，，a b ，显然⨯a b 的结果仍为一向量，记作p ．（1） 求证：向量p 为平面OAB 的法向量；（2） 求证：以OA OB ，为边的平行四边形OADB 的面积等于⨯a b ；(3)将四边形OADB 按向量OC =c 平移，得到一个平行六面体111OADB CA D B -，试判断平行六面体的体积V答案1.【答案】C2.【答案】Ｂ3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D 10.【答案】Ａ 11.【答案】D 12.【答案】B 13.14.【答案】120°． 15.16.【答案】①④17.解：（1）由πcos 4==ac a c 11a c =+·x y ，11+=∴x y又1==a ，222111111113()2122x y x y x y x y +=++=+=∴． 1114x y =∴． （4）同理可得222214x y x y +==， 11x y ，∴是方程2104x +=的两根，同理22x y ，也是． 又≠∵a b ，1221==，∴x y x y ．cos ==，·∴·a b a b a b a b 1212112212=+=+=x x y y x y x y ，60a b =，∴°．18.解：以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则1(012)(240)(010)C B A ，，，，，，，，． 1(232)BC =--，，∴，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成角为θ， 则11317cos 17BC CD BC CDθ==·． θ=∴． ∴异面直线1BC 与DC 所成角的大小为19.解：设AE x =，以D 为原点，直线1DA DC DD ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， 则11(101)(001)(10)(100)(020)A D E x A C ，，，，，，，，，，，，，，． 11(120)(021)(001)CE x D C DD =-=-=，，，，，，，，∴．设平面1D EC 的法向量为()a b c =，，n ， 由1020(2)00n n⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-==⎩⎪⎩，，，··D C b c a b x CE 令1b =，22c a x ==-，∴．(212)x =-，，∴n ．依题意11π2cos 42DD DD ==⇒=n n ·．2x =∴（2x =+ 2AE =∴20.解：（1）以D 为原点，DAF DC DF ，，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 1(000)(240)(200)(040)(241)(043)D B A C E C ，，，，，，，，，，，，，，，，，， 设(00)F z ，，． 由1AF EC =，得(20)(202)z -=-，，，，，2z =∴．(002)(242)F BF =--，，，，，∴．26BF =∴（2）设1n 为平面1AEC F 的法向量，1(1)x y =，，n ，由1100AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，··n n 得410220y x +=⎧⎨-+=⎩，．114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，．∴又1(003)CC =，，，设1CC 与1n 的夹角为α， 则111cos CCCC α==·n n． C ∴到平面1AEC F 的距离1cos d CC α=． 21.解：（1）证明：OP ⊥∵平面ABC OA OC AB BC ==，，， OA OB OA OP OB OP ⊥⊥⊥，，∴．以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．设AB a =，则222000000222A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 设OP h =，则(00)P h ，，．D ∵为PC 的中点，21042OD a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴． 202PA a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，12OD PA =-∴． OD PA ∴∥，OD ∴∥平面PAB ．（2）12k =，即2PA a =，72h a =∴，27022PA a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴ 可求得平面PBC 的法向量1117⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，n ． 210cos 30PA PA PA ==，·∴n n n． 设PA 与平面PBC 所成的角为θ， 则210sin cos 30PA θ==，n ． PA ∴与平面PBC 所成的角为210arcsin30． （3）PBC △的重心221663G a a h ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，221663OG a a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴， OG ⊥∵平面PBC ，OG PB ⊥∴．又202PB a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2211063OG PB a h =-=∴·． 22h a =∴． 22PA OA h a =+=∴，即1k =．反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥． O ∴在平面PBC 内的射影为PBC △的重心． （3） ()⨯·a b c 的大小． 22.解：（1）233213113212213()()()0a b a b a a b a b a a b a b a =-+-+-=p a ·，⊥p a ∴，同理⊥p b ．p ∴是平面OAB 的法向量．（2）设平行四边形OADB 的面积为S ，OA 与OB 的夹角为θ，则sin θ=S OA OB =a a b =⨯．∴结论成立．（3）设C 点到平面OAB 的距离为h ，OC 与平面OAB 所成的角为α， 则=V Sh sin α=⨯a b c ，又()cos sin α⨯=⨯⨯=⨯，·a b c a b c a b c a b c ， ∴V ()a b c =⨯·．空间向量课后习题1．空间的一个基底{}，，a b c 所确定平面的个数为（ ） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个以上2．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ） Ａ．(042)，， Ｂ．(042)--，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)-，，3．已知向量111222()()x y z x y z ==，，，，，a b ，若≠a b ，设a b -=R ，则a b -与x 轴夹角的余弦值为（ ） Ａ．12x x R- Ｂ．21x x R- Ｃ．12x x R-Ｄ．12()x x R-±4．若向量MAMB MC ，，的起点与终点M A B C ，，，互不重合且无三点共线，O 是空间任一点，则能使MA MB MC ，，成为空间一组基底的关系是（ ） Ａ．111333OM OA OB OC =++Ｂ．MA MB MC ≠+ Ｃ．1233OM OA OB OC =++ Ｄ．2MA MB MC =-5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 是平面11ABC D 的距离是（ ）Ｃ．126．一条长为a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（ ）Ａ．2a Ｂ．3a7．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．128．设P 是60°的二面角l αβ--内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，AB ，为垂足，42PA PB ==，，则AB 的长为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．9．ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）Ａ． Ｃ．210.已知()()(00)x y z a b c xyz abc ==≠≠，，，，，，p q ，若有等式2222222()()()x y z a b c ax by cz ++++=++成立，则，p q 之间的关系是（ ）11．已知平面α与β所成二面角为80°，P 为αβ，外一定点，过点P 一条直线与αβ，所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）Ａ．1条 Ｂ．2条Ｃ．3条 Ｄ．4条12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ）Ａ．直线 Ｂ．圆Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题13．已知(11)(2)t t t t t =--=，，，，，a b ，则-b a 的最小值是14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为1BD =，若15．如图2，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB D =，在棱1BB 上，且AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则sin α=16．已知m l ，是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平行；②必存在平面β过m 且与l 垂直；③必存在平面γ与m l ，都垂直；④必存在平面δ与m l ，距离都相等．其中正确命题的序号是三、解答题17．设空间两个不同的单位向量(0)(0)x y x y ==，，，，，a b 与向量(111)=，，c 的夹角都等于π．18．如图3，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．19．如图4，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，其中14231AB BC CC BE ====，，，．（1）求BF ；（2）求点C 到平面1AEC F 的距离．21．如图6，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O D ，分别是AC PC ，的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）求证：OD ∥平面PAB ；（2）当12k =时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小； （3）当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC △的重心？22．如图7，已知向量OA OB OC ===，，a b c ，可构成空间向量的一个基底，若123()a a a =，，，a123123()()b b b c c c ==，，，，，b c ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算233231131221()a b a b a b a b a b a b ⨯=---，，a b ，显然⨯a b 的结果仍为一向量，记作p ．（4） 求证：向量p 为平面OAB 的法向量；（5） 求证：以OA OB ，为边的平行四边形OADB 的面积等于⨯a b ；(3)将四边形OADB 按向量OC =c 平移，得到一个平行六面体111OADB CA D B -，试判断平行六面体的体积V答案1.【答案】C2.【答案】Ｂ3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】Ａ11.【答案】D12.【答案】B13.14.【答案】120°．15.16.【答案】①④17.解：（1）由πcos 4==ac a c 11a c =+·x y ，11+=∴x y又1==a ，222111111113()2122x y x y x y x y +=++=+=∴．1114x y =∴．（4）同理可得222214x y x y +==，11x y ，∴是方程2104x +=的两根，同理22x y ，也是．又≠∵a b ，1221==，∴x y x y ．cos ==，·∴·a ba b a b a b 1212112212=+=+=x x y y x y x y ，60a b =，∴°．则1(012)(240)(010)C B A ，，，，，，，，．1(232)BC =--，，∴，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成角为θ， 则11317cos 17BC CDBC CDθ==·． θ=∴． ∴异面直线1BC 与DC 所成角的大小为 19.解：设AE x =，以D 为原点，直线1DA DC DD ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， 则11(101)(001)(10)(100)(020)A D E x A C ，，，，，，，，，，，，，，． 11(120)(021)(001)CE x D C DD =-=-=，，，，，，，，∴． 设平面1D EC 的法向量为()a b c =，，n ， 由1020(2)00n n⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-==⎩⎪⎩，，，··D C b c a b x CE 令1b =，22c a x ==-，∴．(212)x =-，，∴n ．依题意11π2cos 42DD DD ==⇒=n n ·．2x =∴（2x =+ 2AE =∴20.解：（1）以D 为原点，DAF DC DF ，，所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(240)(200)(040)(241)(043)D B A C E C ，，，，，，，，，，，，，，，，，， 设(00)F z ，，．由1AF EC =，得(20)(202)z -=-，，，，， 2z =∴． (002)(242)F BF =--，，，，，∴．26BF =∴（2）设1n 为平面1AEC F 的法向量，1(1)x y =，，n ，由1100AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，··n n 得410220y x +=⎧⎨-+=⎩，．11x y =⎧⎪⎨=-⎪，．∴又1(003)CC =，，，设1CC 与1n 的夹角为α， 则111433cos 33CC CC α==·n n ． C ∴到平面1AEC F 的距离1433cos 11d CC α==． 21.解：（1）证明：OP ⊥∵平面ABC OA OC AB BC ==，，， OA OB OA OP OB OP ⊥⊥⊥，，∴． 以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 设AB a =，则222000000222A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 设OP h =，则(00)P h ，，．D ∵为PC 的中点，21042OD a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴． 202PA a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，12OD PA =-∴． OD PA ∴∥，OD ∴∥平面PAB ． （2）12k =，即2PA a =，72h a =∴， 27022PA a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴ 可求得平面PBC 的法向量1117⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，n ． 210cos 30PA PA PA ==，·∴nn n ． 设PA 与平面PBC 所成的角为θ， 则210sin cos 30PA θ==，n ． PA ∴与平面PBC 所成的角为210arcsin30． （3）PBC △的重心221663G a a h ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，221663OG a a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴， OG ⊥∵平面PBC ，OG PB ⊥∴．又202PB a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2211063OG PB a h =-=∴·．h =∴．PA a =∴，即1k =． 反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥． O ∴在平面PBC 内的射影为PBC △的重心．（6） ()⨯·a b c 的大小． 22.解：（1）233213113212213()()()0a b a b a a b a b a a b a b a =-+-+-=p a ·， ⊥p a ∴，同理⊥p b ．p ∴是平面OAB 的法向量．（2）设平行四边形OADB 的面积为S ，OA 与OB 的夹角为θ，则sin θ=S OA OB =a a b =⨯． ∴结论成立．（3）设C 点到平面OAB 的距离为h ，OC 与平面OAB 所成的角为α， 则=V Sh sin α=⨯a b c ， 又()cos sin α⨯=⨯⨯=⨯，·a b c a b c a b c a b c ， ∴V ()a b c =⨯·．。
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第三讲 空间向量、立体几何【知识点小结】1、空间直角坐标系的建立：2、空间点的坐标与空间向量坐标：3、空间直线与向量：4、空间平面的法向量 求平面法向量的步骤：5、异面直线夹角与空间向量夹角的关系：6、线面角与空间向量夹角的关系：7、平面夹角（二面角）与空间向量夹角的关系： 8、空间向量的投影与点面距离问题： 9、异面直线之间的距离：【热身练习】1、如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，3,1,61===AD AA AB ，E 、F 分别是AB ，C 1D 1的中点，求： （1）、A 1B 1与面A 1EF 所成的角。
（2）、B C 1到面A 1EF 的距离 。
解：如图建立空间直角坐标系，则A （3，0，0）， C （0，6，0），B （3，6，0），C 1（0，6，0）， D 1（0，0，1），A 1（3，0，1），E （3，26，0），F （0，26，1）。
（1）、设平面A 1EF 的一个法向量为n=（x,y,z ），则：1,,)(0,1)0(,,)(0,1)0n EF x y z n A E x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩（ )3,2,1()3,2,(1−−→−=∴=x x x x n 令 ，故11sin ,3n A B ==，因此，A 1B 1与面A 1EF所成的角为arcsin 3。
y【例题讲解】例1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的大小。
解析：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A （2，0，0），E （2，1，2）， B （2，2，0），C 1（0，2，2） =（0，2，0），1BC =（-2，0，2）∵•=2y = 0 且•1BC = －2x +2Z = 0 ∴可取=（1，0，1）∴sin ,5AE n AE n AE n⋅〈〉==⋅∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的大小为 小结：直线PQ 交平面α于B ，n 为的一个法向量，则直线PQ 与平面α所成的角为2n PQ πθ=-，例2、 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2， 侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小. 解析：如右图，以C 为原点建立空间直角坐标系. （Ⅰ）B （2，0，0），B 1（2，1，0），A 1（0，1，1）,C 1（0，1，0）D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,21,22，M （22，1，0）， 21,21,0,21,21,22,21,21,22 ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=则0,0=⋅=⋅ ∴CD ⊥BD ，CD ⊥DM.所以CD ⊥平面BDM.（Ⅱ）设BD 中点为G ，连结B 1G ，则 G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛41,41,423，)21,21,22(-=BD ,43,42(1--=B ∴01=⋅B ，∴G B BD 1⊥，又CD ⊥BD∴G B CD 1和的夹角θ等于所求的二面角的平面角33-==COS θ所以所求的二面角等于33arccos-π 小结：一个二面角的平面角θ与这个二面角的两个半平面的法向量1n 和2n 所成的角α相等或互补,D C A A 1BC 1 B 1M即cos cos ==αθ。
例3、如图，已知ABCD 是正方形，ABCD PD 面⊥，PD=AB=1，E 、E 分别是PB 、PD 中点，求异面直线AF 与CE 间的距离。
解析：如图建立空间直角坐标系，则： A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），P （0，0，1），E )21,21,21(，F )21,0,0(111(,,)222AE =- ，1(0,1,)2CF =- ，又设AE ，CF 的公垂线的方向向量为),,(z y x n =，则：1110222102n AE x y z n CF y z ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ⇒ 32x y z x =⎧⎨=⎩ )2,1,3()2,,3(1−−→−=∴=y y y y n 令112)(,,0)227n EF AE CF d n ⋅∴==⋅= 与间的距离小结：a 、b 为异面直线，P 、Q 分别为a 、b 上两点，n为a 、b 的公共法向量，则a 、b 间的距离n PQ d n⋅=例4、如图，ABCD 为边长为4的正方形，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，求点B 到平面EFG 的距离.解析：如图建立空间直角坐标系，则：A （4，4，0），B （0，4，0），D （4，0，0），E （4，2，0），F （2，4，0），G （0，0，2）。
设平面EFG 的一个法向量为n=（x,y,z ），则：,,)(2,2,0)0(,,)(2,4,2)0n EF x y z n GF x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩（⇒ 3x y z y =⎧⎨=⎩ )3,1,1()3,,(1−−→−=∴=y y y y n 令(2,0,0)n BF B EFG d n ⋅∴==⋅=点到平面的距离小结：P,Q 分别为平面α外和α内任意一点，n为的法向量，则P 到平面的距离为n PQ d n⋅=z例5、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (I)求AE 与D 1F 所成的角 (II)证明面AED ⊥面A 1FD 1解: 如图建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则有A （2，0，0）、1A （2，0，2） D （0，0，0）、D 1（0，0，2）、F （0，1，0）、E （2，2，1） （I ）∵AE =（0，2，1），F D 1=（0，1，－2） ∴F D AE 1⋅=（0，2，1）•（0，1，－2）= 0 ∴AE ⊥D 1F∴AE 与D 1F 所成的角为90，即直线AE 与D 1F 所成角为直（II ）设面A 1ED 1的法向量1n =（1x ，1y ，1z ）,面AED 的法向量2n =（2x ，2y ，2z ） ∵1n •11D A =－22x = 0且1n •A 1=－21x + 1y －21z = 0 ∴可取 1n =（0，2，1） ∵2n •= －22x = 0 且2n •= 22y + 2z = 0 ∴可取 2n =（0，－1，2）。
∵1n •2n =（0，2，1）•（0，－1，2）= 0， ∴1n ⊥2n ，从而面AED ⊥面11FD A 。
例6 、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求直线DA 1与AC 的距离。
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，1，0）， D （0，0，0），1=（0，0，1），1DA =（1，0，1），=（-1，1，0）设=（x,y,z ）是和这两条异面直线都垂直的一个向量 ∵•1DA = x +y = 0且•=－x +y = 0 ∴可取n =（1，1，－1） ∴33==d 例7 如图，ABCD 是边长为4的正方形，GC 面ABCD ，GC=2，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，求点B 到平面EFG 的距离。
解析：如图，建立空间直角坐标系，则G （0，0，2）， B （0，4，0），A （4，4，0），D （4，0，0）， E （4，2，0），F （2，4，0），GE =（4，2，-2），GF =（2，4，-2），GB =（0，4，-2）设=（x,y,z ）是平面EFG 的一个法向量 ∵ ⋅=4x+2y-2z=0且 ⋅=2x+4y-2z=0 ∴ 可取=（1，1，3）11112==d 例8、 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CD 上的点，且BE ＝CF ．求异面直线B 1F 与D 1E 所成的角 解：以A 为原点，分别以1AD AB 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设BE ＝x ，则有B 1(a ，0，a )，D 1(0，a ，a )， E (a ，x ，0)，F (a －x ，a ，0) ∴),,(),,(11a a x a D a a x B --=--=，∴0))(()(11=--+-+-=∙a a a x a ax D B 因此，B 1F ⊥D 1E ．即 B 1F 与D 1E 所成的角为900例9、四棱锥P - ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD = ∠ADC = 90，AB = AD = PD = 2，CD = 4，E 是PB 的中点，以DA 、DC 、DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系。
（1） 若F ∈平面ABCD ，且FE ⊥面PBC ，，求F 点坐标； （2） 求直线AB 与平面PBC 所成的角。
解：依题意，知A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，4，0）, P (0,0,2) F ∈平面ABCD ，故可设F （x ，y ，0）又E （1，1，1），∴= （x –1，y –1，–1）FE ⊥面PBC ，∴EF ⊥PB , EF ⊥PC又=（2，2，–2），=（0，4，-2） 于是 ⎩⎨⎧=-⨯-+-+-⨯=-⨯-+-+-0)1()2()1(4)1(00)1()2()1(2)1(2y x y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121y x ，故F （0,21,21）（2） 由（1）知，为平面PBC 的法向量，= （1,21,21---），又 =（0，2，0），∴cos 〉〈,=||||EF AB EF AB ⋅⋅110()2()0(1)⨯-+⨯-+⨯-2231⨯-=66-∴cos 〉〈AB FE ,=66设AB 与平面PBC 所成的角为θ, 则有sin θ= cos 〉〈,=66 即AB 与平面PBC 所成的角为arcsin66. 例10、正三棱锥ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上一点。
（1）当BC 1⊥B 1P 时，求线段AP 的长；（2）在（1）的条件下，求二面角C —B 1P —C 1的大小。
解（1）以A 为原点，以AB 为y 轴,AA 1为z 轴,过A 且与平面ABB 1A 1垂直的直线为x 轴建立空间直角坐标系，设AP = m, 则有B(0,2,0),C(0,1,3-) , C 1(2,1,3-), B 1(0,2,2) , P(0,0,m),∴1BC =(2,1,3--), P B 1=(0, -2 , m –2) BC 1⊥B 1P, ∴ P B BC 11∙= 0∴0)2(2)1()2(03=-⨯+-⨯-+⨯-m , 解得m = 1，即线段 AP 的长为1。