2014-2015年江西省抚州市临川一中高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2014-2015学年江西省抚州市临川一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A{x|y=lg（2﹣x）}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2} 2．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C．D．3．（5分）若坐标原点到抛物线y=mx2的准线距离为2，则m=（）A．8B．±8C．D．±4．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题B．若命题p：＞0，则￢p：≤0C．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±5．（5分）一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．6πB．24πC．6πD．π6．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）7．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4B．（x﹣3）2+y2=1C．（2x﹣3）2+4y2=1D．（x+3）2+y2=8．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③9．（5分）若方程ae x﹣x=0有两个不相等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞）D．（﹣∞，1）10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为11．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．若函数y=﹣x2+x[m，n]⊆D是3型函数，则m+n的值为（）A．0B．8C．﹣4D．﹣4或8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1+a3=8，a5+a7=4，则a9+a11+a13+a15=．14．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A：两个点数互不相同，事件B：出现一个4点，则P（B|A）等于．15．（5分）已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．16．（5分）给出如下五个结论：①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0③函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函数⑤y=|sin（2x+）|最小正周期为π其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人．（1）求样本容量n的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（2）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率．18．（10分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．20．（12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFGH材料切割成三棱锥HACF．（1）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；（2）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？21．（13分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x和g（x）=kx3﹣x﹣2．（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P（﹣1，）是椭圆内一点，椭圆的内接梯形ABCD，（AB∥CD）的对角线AC与BD交于点P，设直线AB在y轴上的截距为m，记f（m）=S，求△PAB f（m）的表达式（3）求g（m）=[f（m）]2﹣m3+4m﹣3的最大值．2014-2015学年江西省抚州市临川一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A{x|y=lg（2﹣x）}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}【解答】解：∵集合A{x|y=lg（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜2}．故选：C．2．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|+|=|﹣|=2||，∴，且||=||，∴cos＜（），＞==﹣=﹣=﹣，∴向量﹣与的夹角为．故选：A．3．（5分）若坐标原点到抛物线y=mx2的准线距离为2，则m=（）A．8B．±8C．D．±【解答】解：抛物线y=mx2即x2=准线方程为y=﹣，由题意可得||=2，解得m=±．故选：D．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题B．若命题p：＞0，则￢p：≤0C．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±【解答】解：对于A．命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的逆命题为“若f′（x0）=0则函数f（x）在x=x0处有极值．”为假命题，比如f（x）=x3，f′（0）=0，则x=0不为极值点，由于否命题和逆命题互为等价命题，则否命题也为假命题，则A 错误；对于B．命题p：＞0，即为x＞1，则￢p：x≤1，则B错误；对于C．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，则C正确；对于D．方程ax2+x+a=0有唯一解，则a=0，或△=1﹣4a2=0，即有a=0或a=±，则D错误．故选：C．5．（5分）一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．6πB．24πC．6πD．π【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则∵正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，∴ac=，bc=，ab=，∴a=，b=1，c=，∴长方体的外接球的直径为=，∴长方体的外接球的表面积为4=6π．故选：A．6．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．7．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4B．（x﹣3）2+y2=1C．（2x﹣3）2+4y2=1D．（x+3）2+y2=【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选：C．8．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是正确的；众数是83，②是不正确的；=85，∴③是正确的．极差是91﹣78=13，④不正确的．故选：D．9．（5分）若方程ae x﹣x=0有两个不相等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：令函数f（x）=ae x ﹣x，则由题意可得f（x）有2个不同的零点．∴由函数f（x）=ae x﹣x=0，求得a=，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，求得x=1，在（﹣∞，1）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数；在（1，+∞）上g′（x）＜0，g（x）为减函数，故g（1）=为g（x）的最大值．且=﹣∞，=0．再根据f（x）有2个不同的零点，可得0＜a＜，故选：B．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为【解答】解：如图，连接B1D1，交A1C1于N，则可证明OD1∥BN，由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O∥面A1BC1，A正确；由三垂线定理的逆定理可得OD1⊥AC，设正方体棱长为2，可求得OM2=3，，，则，有OD1⊥OM，由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，B 正确；由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，C正确；设点B到平面AMC的距离为d，正方体的棱长为2a，则，=V A﹣BCM，得，由V B﹣AMC，即，解得：d=，D错误．故选：D．11．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，故选：B．12．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．若函数y=﹣x2+x[m，n]⊆D是3型函数，则m+n的值为（）A．0B．8C．﹣4D．﹣4或8【解答】解：由y=﹣x2+x≤，得3n，则n，∴y=﹣x2+x在[m，n]上为增函数，再由y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，则m+n=﹣4+0=﹣4．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1+a3=8，a5+a7=4，则a9+a11+a13+a15=3．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1+a3=8，a5+a7=4，且，得，再由，得．∴a9+a11+a13+a15=2+1=3．故答案为：3．14．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A：两个点数互不相同，事件B：出现一个4点，则P（B|A）等于．【解答】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6=30事件B：出现一个4点，有10种，∴P（B|A）==，故答案为：．15．（5分）已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．【解答】解：求导函数，可得∵函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1∴∴∴∴∴tanx0=故答案为：16．（5分）给出如下五个结论：①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0③函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函数⑤y=|sin（2x+）|最小正周期为π其中正确结论的序号是③④．【解答】解：对于①，若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，则sinA＞cosB，即①错；对于②，由于区间（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）为y=cosx的减区间，但sinx＞0，即②错；对于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，则函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称，即③对；对于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，则cosx=﹣时，f（x）取得最小值，cosx=1时，f（x）取得最大值2，且为偶函数，即④对；对于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），则最小正周期为，即⑤错．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人．（1）求样本容量n的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（2）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得=，解得n=19，从“诗雨文学社”社团抽取的同学240×=6人；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“诗雨文学社”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F，则从这6位同学中任选2人，不同的结果有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种，从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1﹣=．18．（10分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，∴=2，∴=2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n=2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）=+=n2+2n﹣1．19．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）20．（12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFGH材料切割成三棱锥HACF．（1）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；（2）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？【解答】解：（1）证明：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴MK∥平面ACF，同理可证MN∥平面ACF，∵MN，MK⊂平面MNK，且MK∩MN=M，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF．（2）由程序框图可知a=CF，b=AC，c=AF，∴d===cos∠CAF，．∴e=bc=AC•AF•sin∠CAF=S△ACF=V三棱锥HACF．又h=，∴t=he=h•S△ACF∵三棱锥HACF为将长方体ABCDEFGH切掉4个体积相等的小三棱锥所得，=2×3×1﹣4×××3×2×1=6﹣4=2，∴V三棱锥HACF故t=2．21．（13分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x和g（x）=kx3﹣x﹣2．（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．【解答】解：（1）g'（x）=3kx2﹣1…（1分）①当k≤0时，g'（x）=3kx2﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…（2分）②当k＞0时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以1＜＜2，解得＜k＜…（4分）综上k的取值范围是＜k＜．…（5分）（2）由已知k≤，令h（x）=，则h′（x）=＞0，∴h（x）在x∈[1，+∞）单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣e∴k≤﹣e，∴k的最大值为﹣e．．…（12分）22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P（﹣1，）是椭圆内一点，椭圆的内接梯形ABCD，（AB∥CD）的对角，求线AC与BD交于点P，设直线AB在y轴上的截距为m，记f（m）=S△PAB f（m）的表达式（3）求g（m）=[f（m）]2﹣m3+4m﹣3的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），∴，又∵离心率为，∴e===，即：a2=2b2，∴a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：；（2）由已知得AB、CD不垂直于x轴（否则由对称性，点P在x轴上），设直线AB的方程为y=kx+m，直线CD的方程为y=kx+n（m≠n），将y=kx+m代入得：（1+2k2）x2+4kmx+2（m2﹣2）=0，△=4（8k2﹣2m2+4）＞0，设点A（x A，y A），B（x B，y B），由韦达定理得，同理设点C（x C，y C），D（x D，y D），由韦达定理得，由A、C、P三点共线可知：（﹣1﹣x A）•（﹣y C）=（﹣1﹣x C）•（﹣y A），化简得：﹣x A+2y C+2x A y C=﹣x C+2y A+2x C y A，同理B、D、P三点共线可知：﹣x B+2y D+2x B y D=﹣x D+2y B+2x D y B，两式相加结合AB、CD的方程y=kx+m，y=kx+n（m≠n）得：﹣（x A+x B）+2k（x C+x D）+2x B y D+4n+2x A（kx C+n）+2x B（kx D+n）=﹣（x C+x D）+2k（x A+x B）+2x B y D+4m+2x C（kx A+m）+2x D（kx B+m）﹣（x A+x B）+2k （x C+x D）+4n+2n（x A+x B）=﹣（x C+x D）+2k（x A+x B）+4m+2m（x C+x D），利用n（x A+x B）=m（x C+x D）得：（1+2k）（x C+x D）﹣（x A+x B）+4（n﹣m）=0，+4（n﹣m）=0，由m≠n可知k=1，由△及直线不过点P（﹣1，）得：﹣＜m＜且m≠，又点P（﹣1，）到直线x﹣y+m=0的距离是d=，故f（m）=S=×=|2m﹣3|（﹣＜m＜△PAB且m≠）；（3）g（m）=[f（m）]2﹣m3+4m﹣3=﹣m 4+m 2=•4m 2（15﹣4m 2）≤[]2=，当且仅当4m 2=15﹣4m 2即m=±∈（﹣，）∪（，）时，上式等号成立，故g （m ）的最大值为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。