2014年湖北省枣阳市推荐招生数学试题
湖北省枣阳市2014年中考适应性考试数学试题及答案
枣阳市2014年中考适应性考试数 学 试 题(本试题共4页，满分120分，考试时间120分钟)★祝 考 试 顺 利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔。
4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交。
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答. 1．3)2(-的相反数是A ．－6B ．8C ．－8D ．6 2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行.最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是210000000人—年的口粮，将210000000用科学记数法表示为A ．2.1×109B ．0.21×109C ．2.1×108D ．21×1073．下列计算正确的是A ．4x ·4x 16x =B ．23)(a ·94a a =C ．4232)()(ab ab ab -=-÷D ．1)()(3426=÷a a 4．如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点 C 放在直线m 上，若∠1=25°，则∠2的度数为A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°5．已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差62=甲s ，乙组数据的方差222=乙s ，下列结论中正确的是A ．甲组数据比乙组数据的波动大B ．乙组数据比甲组数据的波动大C ．甲组数据与乙组数据的波动一样大D ．甲乙两组数据的波动大小不能比较 6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．一长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为 A ．3 B ．4 C ．12 D ．168.如图，一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里．渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近．同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为A ．103海里/时B ．30海里/时C ．203海里/时D ．303海里/时9．某县地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八主支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元，如果第二天、第三天、第四天的平均增长率相同，则第四天收到的捐款为：A.13150元B.13310元C. 13400元D. 14200元 10．△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是A ．80°B ．160°C ．100°D ．80°或100° 11.若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是A. 矩形B. 菱形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形12.给出下列命题及函数x y =与2x y =和xy 1=的图象： ①如果a 1＞a ＞2a ，那么0＜a ＜1；②如果2a ＞a ＞a1，那么a ＞1或-1＜a ＜0；③如果a 1＞2a ＞a ，那么-1＜a ＜0；④如果2a ＞a1＞a ，那么a ＜-1.则A.正确的命题是①④B.错误．．的命题是②③④C.正确的命题是①②D.错误．．的命题只有③ 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上. 13.计算：10245cos 2)31(|21|-+︒--+-= .14.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+<+23531)2(213x x x x 的整数解为 ． 15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为() x －y 24121=+3，由此可知铅球推出的距离 m . 16. 在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是 ．17.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在BC 上，四边形EFGB 也是正方形， 以B 为圆心，BA 长为半径画，连接AF ，CF ，则图中阴影部分面积为 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共69分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内. 18.（本题满分6分）先化简，再求值：xx x x x x -+-÷+--1144)11(22，其中x 满足022=-+x x . 19.（本题满分6分）“宜居襄阳”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）统计图共统计了 天的空气质量情况； （2）请将条形统计图补充完整；空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 ；（3）从小源所在环保兴趣小组4名同学（2名男同学，2名女同学）中，随机选取两名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到一名男同学和一名女同学的概率是 .20.（本题满分6分） 操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC 的斜边BC 与30°角的直角三角板DEF 的长直角边DE 重合. 问题解决将图①中的等腰三角板ABC 绕点B 顺时针旋转 30°，点C 落在BF 上.AC 与BD 交于点O ，连接 CD ，如图②.（1）求证：△CDO 是等腰三角形；（2）若DF=32，求AC 的长.21.（本题满分6分）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元． （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算?22.（本题满分6分） 如图，已知反比例函数xky =1的图象与一次函数b ax y +=2的图象交于点A （1，4）和点B （m ，-2）.（1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，直接写出1y ＞2y 时自变量x 的取值范围； （3）如果点C 与点A 关于x 轴对称，求△ABC 的面积.23.（本题满分7分）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ， 连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，BEF=2∠BAC . （1）求证：OE=OF ；（2）若BC=，求AB 的长.乙甲 24.（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于P.弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连结BE. （1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）探究线段PC ，PF 之间的大小关系，并加以证明； （3）若tan ∠PCB 43=,BE 25=,求PF 的长.25.（本题满分10分）在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑摩托车从B 地到A 地，到达A 地后 立即按原路返回，是甲、乙两人离．B ．地的距离．．．．)(km y 与行驶时间)(h x 之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）A 、B 两地之间的距离为 km ；（2）直接写出甲y ，乙y 与x 之间的函数关系式（不写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间的距离不超过3km 时，能够用无线对讲机保持联系，求甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x 的取值范围.26.（本题满分12分）如图，分别以菱形BCED 的对角线BE 、CD 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，抛物线a ax ax y 1662--=（a ＜0）过B 、C 两点，与x 轴的负半轴交于点A ，且∠ACB=90°．点P 是x 轴上一动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线于点Q. （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究： ①填空：MQ ＝ ；（用含m 的化简式子表示，不写过程）②当m为何值时，四边形CQBM的面积取得最大值，并求出这个最大值．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.枣阳市2014年中考适应性考试数学答案一.选择题：（每小题3分，共36分）二.填空题：，共13.2114.-1，0，1,2 15. 10 16. 75°或15° 17. π4 三、解答题：（共69分）18.解：原式＝1)1)(1(2----x x x x ·14412+--x x x …………………………1分 112--=x x ·x x x 211)12(12-=--.………………………………3分 由022=-+x x ，解得21-=x ，12=x .………………………5分 由题意，得x ≠1，将2-=x 代入，得原式=51.………………6分 19.(1) 100………………………………………1分（2）条形统计图中，空气质量为“良”的天数为100×20%=20（天），所以要补画一个高为20的长方形；条形统计图略. ………………2分 72°……………………3分 （3）共有6种等可能情况………………5分 其中符合一男一女的有4种，故所求概率为P 32=.…………………………………………6分 20.（1）证明：由图知BC=DE ，∴∠BDC=∠BCD.∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°………………………………1分∵∠ACB=45°，∴∠DOC=30°+45°=75°. ∴∠COD=∠BDC. ∴△CDO 是等腰三角形.……………………………………3分（2）在Rt △BDF 中，=BD DF tan ∠DBF 33=……………………4分∵BD 3=·=32 6.…………………………………………5分在Rt △ABC 中,=BC AB tan45°, ∴AB=22·623=.………6分 21.解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运x 2趟，根据题意得121211=+x x ，解得18=x ，则362=x . 经检验，18=x 是原方程的解.……………3分答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟. （2）设甲车每一趟的运费是a 元，则题意得：4800)200(1212=-+a a ，解得300=a .……………………5分则乙车每一趟的费用是300-200=100（元）， 单独租用甲车总费用是18×300=5400（元）， 单独租用乙车总费用是36×100=3600（元），3600＜5400，故单独租用一台车，租用乙车合算.………………6分22.（1）∵点A （1，4）在xky =1的图象上，∴4=k ， ∴xy 41=.………………1分 ∵点B 在xy 41=的图象上，∴2-=m ，∴点B （-2，-2）.……………2分又∵点A 、B 在一次函数b ax y +=2的图象上，∴⎩⎨⎧-=+-=+,22,4b a b a 解得⎩⎨⎧==,2,2b a ∴222+=x y .……………………3分∴这两个函数的表达式分别为：xy 41=，222+=x y . （2）由图象可知，当1y ＞2y 时，自变量x 的取值范围为0＜x ＜1或x ＜-2.……4分 （3）∵点C 与点A 关于x 轴对称，∴C （1，-4）.如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，作D （1，-2），于是△ABC 的高BD=|1-（-2）|=3，底AC=8.…………………………5分∴S △ABC =21AC ·BD=12.………………………………6分 23.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD.∴∠OAE=∠OCF ，∠OEA=∠OFC.……………………1分又∵AE=CF ，∴△AEO ≌△CFO （ASA ）. ∴OE=OF.………………2分 （2）连接BO.∵OE=OF ，BE=BF ，∴BO ⊥EF ，且∠EBO=∠FBO.………………3分 ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCF=90°，又∵∠BAC=2∠BAC ，∠BEF=∠BAC+∠EOA ，∴∠BAC=∠EOA ，∴AE=OE.……4分∵AE=CF ，OE=OF ，∴OF=CF.又∵BF=BF ，∴△BOF ≌△BCF （HL ）.……………………5分 ∴∠CBF=∠FBO=∠OBE. ∴∠ABC=90°，∴∠OBE=30°. ∴∠BEO=60°，∴∠BAC=30°.……………………6分∵tan ∠BAC AB BC =,∴tan30°AB 32=,即AB3233=，∴AB=6.…………7分 24. 解：（1）连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA.∵PC 是⊙O 的切线，AD ⊥CD ，∴∠OCP=∠D=90°，∴OC ∥AD.………2分 ∴∠CAD=∠OCA=∠OAC.即AC 平分∠DAB.………………………………3分 （2）PC=PF.………………………………………………………………4分 证明：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB=∠CAD=∠PCB.………………5分 又∵∠ACE=∠BCE ，∠PFC=∠CAB+∠ACE ，∠PCF=∠PCB+∠BCE. ∴∠PFC=∠PCF. ∴PC=PF.……………………………………6分（3）连接AE. ∵∠ACE=∠BCE ，∴=，∴AE=BE.又∵AB 是直径，∴∠AEB=90°. AB 102==BE ，∴OB=OC=5.……………………8分∵∠PCB=∠PAC ，∠P=∠P, ∴△PCB ∽△PAC.∴CA BCPC PB =.∵tan ∠PCB=tan ∠PCD 43=. ∴CA BC PC PB =43=.……………………9分 设PB x 3=，则PC x 4=，在Rt △POC 中，2225)4()53(+=+x x ， 解之，得01=x ，7302=x . ∵x ＞0，∴730=x ，∴PF=PC=7120.……………………10分 25. 解：（1）30；………………………………………………1分（2）甲y ＝3015+-x ; ………………………………2分=乙y ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯<<+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯≤≤分分4).21(60303),10(30x x x x令甲y =乙y ，得x x 303015=+-，解之，得32=x .…………5分 进而甲y =乙y =20，∴点M 的坐标是（32，20）.…………6分 ∴M 的坐标表示：甲、乙经过32h 第一次相遇，此时离点B 的距离是20km.……7分 （3）分三种情况讨论：①当0≤x ≤32时，即甲乙两人相遇前相距3km 以内， 甲y -乙y ≤3，得x x 303015-+-≤3，解之得 x ≥53， ∴53≤x ≤32； ……8分②当32＜x ≤1时，甲乙两人相遇后相距3km 以内 乙y -甲y ≤3，得)3015(30+--x x ≤3，解之得 x ≤1511 ∴32＜x ≤1511 (9)分③当1＜x ≤2时，即乙返回时与甲相距3km 以内乙y -甲y ≤3，得)3015()6030(+--+-x x ≤3，解之得 x ≥59 ∴59≤x ≤2综上可得：53≤x ≤1511或59≤x ≤2时，甲、乙两人能够有无线对讲机保持联系。
2014年高考数学湖北卷试题及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。
【点评】本题考查复数的运算，容易题。
2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42答案】D【解析】试题分析：因为r r r r rrr x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得42=a ，故选D 。
【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题。
3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，若C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。
得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a 【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。
【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。
5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D 。
2014年高考数学湖北卷(文科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科数学试题答案与解析1. 解析 {}{}2,4,7U A x x U x A =∈∉=且ð，故选C.2. 解析 ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2---===-++-，所以()221i i 11i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，故选B. 3. 解析 原命题的否定为1x ∃∈R ，2x x =.故选D. 4. 解析 画出可行域如图（阴影部分）设目标函数为2z x y =+，由42x y x y +=⎧⎨-=⎩解得()3,1A ，当目标函数过()3,1A 时取得最大值，所以max 2317z =⨯+=，故选C.5. 解析 随机抛掷两枚骰子，它们向上的点数之和的结果如图，则11036p =，22636p =，31836p =，所以132p p p <<，故选C. 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 66. 解析 由题中数据值，随x 增大y 减小，所以0b <，因为3456781162x +++++==，4.0 2.50.50.5 2.0 3.0164y +-+--==，所以11142b a =+，所以11142a b =-.又因为0b <，所以0a >，故选A.47. 解析 在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D ，则ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.评注 解决本题时在正方体中找到原四面体是关键.8. 解析 因为a b ≠，所以直线()222:b a AB y a x a b a--=--，即()y b a x ab =+-.又因为a ，b 是方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，所以sin cos a b θθ-+=，0ab =，所以sin cos y x θθ=-，又sin cos y x θθ=-是双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐进线，所以公共点的个数为0，故选A.评注 本题考查一元二次方程的根、直线与双曲线的位置关系，得出直线使双曲线的一条渐进线是解决本题的关键.9. 解析 当0x …时，()33f x x x =-，令()2330g x x x x =--+=，得13x =，21x =.当0x <时，0x ->，所以()()()23f x x x -=---，所以()23f x x x -=+，所以()23f x x x =--.令()2330g x x x x =---+=，得32x =-，420x =->（舍），所以函数()()3g x f x x =-+的零点的集合是{}2-，故选D.评注 本题考查奇函数的性质、一元二次方程的根等知识，忽略x 的范围会导致出错.10. 解析 设圆锥底面半径为r ，则2πr L =，2πLr =.圆锥的体积2221ππ332π12πL L hV r h h ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以7512π2≈，故选B. 11. 解析 设乙设备生产的产品总数为x 件，则4800508050x x-=-，5030480030x x =⨯-，80304800x =⨯，1800x =，故乙设备生产的产品总数为1800件.12. 解析 222AB OB OA OA OB OB OA =-=+-⋅， 因为21OA OB ===0OA OB ⋅=，所以20AB ==，故答案为13. 解析由sin sin a b A B =得1πsin sin 6B =，所以sin 2B =.又因为b a >，所以π3B =或2π3. 14. 解析 由程序框图可知1238902122232829S =+++++++++++，所以()()91292129191292224510221067212S -+=+++++++=+=+=-. 15. 解析 x ∀∈R ，()()>1f x f x -.由题图易知0a >，且61a <，所以106a <<. 16. 解析 （1）当 6.05l =时，2760001820 6.05vF v v =++⨯，所以2760007600019001211812118v F v v v v ===++++…，当且仅当121v v=，即11v =时取“=”.所以最大车流量F 为1900辆/小时. （2）当5l =时，276000760001001820518v F v v v v ==++⨯++，所以2000F =…，当且仅当100v v=，即10v =时取“=”.所以最大车流量比（1）中的最大车流量增加20001900100-=辆/小时.评注 本题考查了函数最值的求法及均值不等式的应用.17. 解析 解法一: 当M 为()1,0-时，1MA =，1MB b =+， 所以1b λ+=. ①当M 为()1,0时，3MA =，1MB b =-，所以13b λ-=. ② 由①②消去λ得311b b +=-，所以12b =-（2b =-舍去）.将12b =-代入①得12λ=. 解法二：设(),M x y ，则满足221x y +=.因为MB MA λ==()()222222x b y x y λ⎡⎤-+=++⎣⎦，即2221x bx b -++()2222441x x x x λ-=+++-，2222145bx b x λλ-++=+.故有22224,15,0,b b λλλ⎧-=⎪+=⎨⎪>⎩所以1λ=或12λ=.当1λ=时，2b =-（舍去）；当12λ=时，12b =-，所以12b =-，12λ=.18. 解析 （1）()ππ8108sin 81212f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2π2π10sin 33=-1101022⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.故实验室上午8时的温度为10C .（2）因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又024t <…，所以πππ7π31233t +<…，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟.当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 于是，()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为8C ，最大温差为4C .评注 本题考查三角函数的图像和最值，注意的取值范围.考查了学生的计算求解能力.19. 解析 （1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意2，2d +，24d +成等比数列，故有()()22224d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =.当0d =时，2n a =；当4d =时，()21442n a n n =+-⋅=-，从而得到数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（2）当2n a =时，2n S n =.显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，()224222n n n S n +-⎡⎤⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->,解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.评注 本题考查等差、等比数列的通项公式及性质，数列的求和及数列的最值问题.20. 解析 （1）连接1AD ，由1111ABCD ABC D -是正方体，知11//AD BC ，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以1//FP AD .从而1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（2）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥.又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以//MN BD ，从而1MN AC ⊥.同理可证1PN AC ⊥.又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .评注 本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质，考查学生的空间想象能力. 21. 解析 （1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.因为()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=. 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减.故函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞.（2）因为e 3π<<，所以e ln 3e ln π<，πln e πln 3<，即eeln3ln π<，ππln e ln3<. 于是根据函数ln y x =，e xy =，πxy =在定义域上单调递增，可得ee33ππ<<，3ππe e 3<<.故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e3与3e 之中. 由e 3π<<及（1）的结论，得()()()π3ef f f <<，即ln πln 3ln e π3e<<. 由ln πln 3π3<，得3πl n πl n3<，所以π33>π；由l n3l ne 3e<，得e 3ln3ln e <，所以e 33e <. 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e3.22. 解析 （I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x =+，化简整理得()221y x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ⎧=⎨<⎩…ABCD A 1B 1C 1D 1N QPM FE（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+.由方程组()2124y k x y x-=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得()244210ky y k -++=.①（1）当0k =时，此时1y =.把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫⎪⎝⎭.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为()21621k k ∆=-+-.② 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=-.③ （i ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-或12k >.即当()1,1,2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ii)若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨⎩…则由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭或102k -<….即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点. 故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（iii ）若000x ∆>⎧⎨<⎩<则由②③解得112k -<<-或102k <<. 即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 评注 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了分类讨论思想.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
a x 7 6 77 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 5 页，22 题。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：★祝考试顺利★1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1－i 21．[2014·湖北卷] i 为虚数单位， 1＋i ＝()A ．－ 1 C ．－i D ．i1－i 2 －2i1．A [解析] 1＋i ＝ ＝－1.故选 A.2i2x ＋a 7 12．[2014·湖北卷] 若二项式x 的展开式中 的系数是 84，则实数 a ＝( ) x 3A ．2 5 B. 4C ．1 D. 241 5 1 2．C [解析] 展开式中含 C 522a 5＝84，解得 a ＝1.故选 C.的项是 T ＝C 5(2x )2 x 3 ＝C 522a 5x －3，故含 的项的系数是 x 33． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ”是 “A ∩B ＝∅”的()y y A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，则可以推出 A ∩B ＝∅；若 A ∩B ＝∅， 由维思图可知，一定存在 C ＝A ，满足 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，故“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ” 是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选 C.4．[2014·得到的回归方程为＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <04．B [解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线^＝bx ＋a 的斜率 b <0，截距 a >0.故a>0，b <0.故选 B.5．[2014·湖北卷] 在如图 1-1 所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图， 则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图 1-1A ．①和②B ．①和③C ．③和②D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝 角三角形，故俯视图是②. 故选 D.－ 1－x 26．[2014·湖北卷] 若函数 f (x )，g (x )满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1， 1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝ sin 1，g(x)＝ 2cos 1 2 ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6． C [ 解析] 由题意， 要满足 f(x) ， g(x) 是区间[ － 1 ， 1] 上的正交函数， 即需满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0.①错误!f(x)g(x)d x ＝错误!sin 1 2 1x cos 2x d x ＝1 错误!sin x d x ＝ 2－1cos x 2 11＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②错误!f(x)g(x)d x ＝错误!(x ＋1)(x －1)d x ＝ 上的正交函数；x 3－x 1 －1＝－4≠0，故第②组不是区间[－1，1] 3③错误!f(x)g(x)d x ＝错误!x ·x 2d x ＝x 41 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 4综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是 2. 故选 C .x ≤0，7．[2014·湖北卷] 由不等式组 y ≥0，y －x －2≤0x ＋y ≤1，确定的平面区域记为Ω1，不等式组确x ＋y ≥－2定的平面区域记为Ω2，在Ω1 中随机取一点，则该点恰好在Ω2 内的概率为()A.1 8B.1 4C.3 4 D.7 87．D [解析] 作出Ω1，Ω2 表示的平面区域如图所示，S 1＝S 1 AOB ＝ ×2×2＝2，S 1 1 1 BCE ＝ ×1× ＝ ，则 S AOEC ＝S Ω1－S BCE ＝2－1＝7.故由Ω △ △2 2 4 7四边形 几何概型得，所求的概率 P ＝S 四边形 AOEC ＝4＝7.故选 D.S Ω1 2 88．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又 以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 V ≈ 1L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么，近似公式 V ≈363 x △4 43 e 2 Sh e 2L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) 75A.22 7B.25 8C.15750 D.355 1138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为 r ，底面积为 S ，则 L ＝2πr ，由题意得 1 L 2h ≈1，代入 S ＝πr 2 化简得π≈3；类比推理，若 V ＝ 2 L 2h ，则π≈25.故选 B.36 375 89．、[2014·湖北卷] 已知 F 1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )3 A.4 3 3 B.2 3 3C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为 a 1，双曲线的实半轴长为 a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝ 2a 2，平方得 4a 2＝r 2＋r 2＋2r 1r 2，4a 2＝r 2－2r 1r 2＋r 2.又由余弦定理得 4c 2＝r 2＋r 2－r 1r 2，消去 r 1r 2，1 12 得 a 2＋3a 2＝4c 2，2 1 2 1 2121 3 1 12 1 ＋ 1 × 21 ＋ 3 1＋1 16 即 ＋ ＝4.所以由柯西不等式得 e 1e2 ＝ e 13 ≤ e 2 e 23 ＝ .2 21 22 3 所以1 ＋ 1 ≤4 3.故选 A.e 1 e 2 310．[2014·湖北卷] 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋|x2 －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为( )－1，1 － 6， 6 －1，1 － 3， 3 A. 6 6 B. 6 6 C. 3 3 D. 3 310．B [解析] 因为当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋x －2a 2|－3a 2)，所以当 0≤x ≤a 2 时，f (x )21(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2) 2＝－x ； 当 a 2<x <2a 2 时， f (x ) 1(x －a 2＋2a 2－x －3a 2) 2 ＝ 2 当 x ≥2a 2 时， ＝－a ； f (x ) 1(x －a 2＋x －2a 2－3a 2) 2 ＝ ＝x －3a . 2－x ，0≤x ≤a 2，综上，f (x ) －a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x )在 R 上的大致图象如下，e ＝观察图象可知，要使∀x∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足 2a 2－(－4a 2)≤1，解得－ 6≤a ≤ 6.6 6故选 B.11．[2014·湖北卷] 设向量 a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝ ． 11．±3 [解析] 因为 a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )， 所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线 l 1：y ＝x ＋a 和 l 2：y ＝x ＋b 将单位圆 C ：x 2＋y 2＝1 分成长度相等的四段弧，则 a 2＋b 2＝ .12．2 [解析] 依题意得，圆心 O 到两直线 l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的1，即|a | ＝ |b | ＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故 a 2＋b 2＝2.4 2 2图 1-213．[2014·湖北卷] 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I (a )，按从大到小排成的三位数记为 D (a )(例如 a ＝815， 则 I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图 1-2 所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ， 输出的结果 b ＝ ．13．495 [解析] 取 a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由 a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由 a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495；ab－a ab－b＝，由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.14．、[2014·湖北卷]设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c，0)，则称c 为a，b 关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得M f(a，b)＝c＝a＋b，即M f(a，b)为a，b2的算术平均数．(1)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的几何平均数；(2)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的调和平均数2ab.a＋b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1) x (2)x(或填(1)k1 x；(2)k2x，其中k1，k2 为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝ab，则0－f（a）0＋f（b）c－a0－f（a）0＋f（b）＝，c－b即＝.因为a>0，b>0，所以化简得f（a）af（b），故可以选择f(x)＝x(x>0)；b(2)依题意，c＝2ab，则0－f（a）0＋f（b）f（a），因为a>0，b>0，所以化简得f（b）a＋b 2ab －a2ab －b a b故可以选择f(x)＝x(x>0)．a＋b a＋b15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C，D 两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝．图1-315．4 [解析] 由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)＝t，已知曲线C13(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是ρ＝2，则C1 与C2 交点的直角坐标为．＝＝3 （x ≥0）， ＝ 3，3 2＋y 2＝4，＝1. 故曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为( ，1).17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－ 3 π － π，t ∈[0，24)．cos t 12 sin t12(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于 11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为 f (t )＝10－π cos t ＋ 12 1sin 2 10－π π π 7π 又 0≤t <24，所以 ≤ t ＋ < 3 ，－1≤3 1.当 t ＝2 时，1；当 t ＝14 时， 1.于是 f (t )在[0，24)上取得的最大值是 12，最小值是 8.故实验室这一天的最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. (2)依题意，当 f (t )>11 时，实验室需要降温．由(1)得 f (t )＝10－故有 10－，1 即 － .2 又 0≤t <24，因此7ππ ＋π11π即 10<t <18.< t < ， 6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温．18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n}的公差为d，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得 d 2－4d ＝0，解得 d ＝0 或 d ＝4. 当 d ＝0 时，a n ＝2；当 d ＝4 时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为 a n ＝2 或 a n ＝4n －2. (2)当 a n ＝2 时，S n ＝2n ，显然 2n <60n ＋800， 此时不存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立． 当 a n ＝4n －2 时，S n ＝n [2＋（4n －2）]＝2n 2.2令 2n 2>60n ＋800，即 n 2－30n －400>0， 解得 n >40 或 n <－10(舍去)，此时存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 a n ＝2 时，不存在满足题意的正整数 n ；当 a n ＝4n －2 时，存在满足题意的正整数 n ，其最小值为 41.19．、、、[2014·湖北卷] 如图 1-4，在棱长为 2 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F ，M ，N 分别是棱 AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1 的中点，点 P ，Q 分别在棱 DD 1，BB 1 上移动，且 DP ＝BQ ＝ λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1 时，证明：直线 BC 1∥平面 EFPQ .(2)是否存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值； 若不存在，说明理由．图 1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接 AD 1，由 ABCD A 1B 1C 1D 1 是正方体，知 BC 1∥AD 1.当λ＝1 时，P 是 DD 1 的中点，又 F 是 AD 的中点，所以 FP ∥AD 1，所以 BC 1∥FP . 而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接 BD .因为 E ，F 分别是 AB ，AD 的中点，所以 EF ∥BD ，且 EF ＝1BD .2又 DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形 PQBD 是平行四边形，故 PQ ∥BD ，且 PQ ＝BD ，从而 EF ∥PQ ，且 EF ＝1PQ .22 2 在 Rt △EBQ 和 Rt △FDP 中，因为 BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是 EQ ＝FP ＝ 1＋λ2，所以四边形 EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形．分别取 EF ，PQ ，MN 的中点为 H ，O ，G ，连接 OH ，OG ，则 GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而 GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接 EM ，FN ，则由 EF ∥MN ，且 EF ＝MN 知四边形 EFNM 是平行四边形． 连接 GH ，因为 H ，G 是 EF ，MN 的中点，所以 GH ＝ME ＝2.2 2 1 在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－ 2 ＝λ2＋ ， 22 1 OG 2＝1＋(2－λ)2－ ＝(2－λ)2＋ ，2 由 OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2 1 λ2 1 4，解得λ＝1± 2， ＋ ＋ ＋ ＝ 2 2 2 故存在λ＝1± 2，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角．2方法二(向量方法)：以 D 为原点，射线 DA ，DC ，DD 1 分别为 x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得 B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③ →BC 1＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1 时，FP ＝(－1，0，1)， → 因为BC 1＝(－2，0，2)， 所以 → → BC 1＝2FP ，即 BC 1∥FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ . ·n ＝0， x ＋y ＝0， (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z ) 于是可取 n ＝(λ，－λ，1)．→ FP ·n ＝0－x ＋λz ＝0. 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角， 则 m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1± 2 2.220．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水年．入．流．量．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都 在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来 4 年中，至．多．有 1 年的年入流量超过 120 的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10＝0.2，50 p 2＝P (80≤X ≤120)＝35＝0.7，50 p 3＝P (X >120)＝ 5 ＝0.1.50由二项分布得，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p ＝C 0(1－p )4＋C 1(1－p )3p ＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.4 3 4 3 3 (2)记水电站年总利润为 Y (单位：万元)．①安装 1 台发电机的情形．由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y ＝5000，E (Y ) ＝5000×1＝5000.②安装 2 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－800＝4200，因此 P (Y ＝4200) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 X ≥80 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2＝10 000，因此 P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装 3 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－1600＝3400，因此 P (Y ＝3400) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 80≤X ≤120 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2－800＝9200， 因此 P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当 X >120 时，三台发电机运行，此时 Y ＝5000×3 ＝15 000，因此 P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得 Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F (1，0)的距离比它到 y 轴的距由②③解得－ 0<k < > 离多 1.记点 M 的轨迹为 C .(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P (－2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1|x |＋1，化简整理得 y 2＝2(|x |＋x )．故点 M 的轨迹 C 的方程为y 2x ，x ≥0， ，x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y 2＝4x ，C 2：y＝0(x <0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y －1＝k (x ＋2)． －1＝k （x ＋2），由方程组2＝4x ， 可得 ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① 当 k ＝0 时，y ＝1.把 y ＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x ＝1. 故此时直线 l ：y ＝1 与轨迹 C当 k ≠0 时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x 0，0)，则由 y －1＝k (x ＋2)，令 y ＝0，得 x 0＝－2k ＋1.③k <0， (i)由②③解得 0<0，k <－1 或 k 1. 2 即当 k ∈(－∞，－1) l 与 C 1 没有公共点，与 C 2 有一个公共点．故此 时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点．(ii)＝0， 0<0， >0， 0≥0， 由②③解得 k 11 1≤k <0.2 即当 k l 与 C 1 只有一个公共点． －1，当 k ∈ 2 l 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 没有公共点． 故当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． >0， (iii)1<k <－1或 1 0<0， 2 2 1即当 kl 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点． 综上可知，当 k ∈(－∞，－1){0}时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点； 当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k ∈1时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．.e π 22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln x 的单调区间； x (2)求 e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3 这 6 个数中的最大数与最小数； (3)将 e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 22．解：(1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为 f (x )＝ln x ，所以 f ′(x ) 1－ln x . ＝ x x 2 当 f ′(x )>0，即 0<x <e 时，函数 f (x )单调递增； 当 f ′(x )<0，即 x >e 时，函数 f (x )单调递减． 故函数 f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)因为 e<3<π，所以 eln 3<eln π，πln e<πln 3，即 ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数 y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这 6 个数的最大数在π3 与 3π之中，最小数在 3e 与 e 3 之中． 由 e<3<π及(1)的结论，得 f (π)<f (3)<f (e)，即ln π π ln 3 3 ln e < . e ln π ln 3 3 π π 3 由 < ，得 ln π <ln3 π 3 ，所以 3 >π ； 由ln 3 ln e e 3 e 3 < ，得 ln 3 <ln e ，所以 3 <e . 3 e 综上，6 个数中的最大数是 3π，最小数是 3e . (3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3. 又由(2)知，ln π π ln e < ，得π <e . e 故只需比较 e 3 与πe 和 e π与π3 的大小．由(1)知，当 0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1， e ln x 1 即 < . x e 在上式中，令 x ＝ e 2 ，又e 2 <e ，则 ln e 2 < e ，从而 2－ln π< e ，即得 ln π>2－ e .①ππ π π 由①得，eln π×(2－0.88)＝3.024>3， 即 eln π>3，亦即 ln πe >ln e 3，所以 e 3<πe . 又由①得，3ln π>6－3e >6－e>π，即 3ln π>π，π所以 e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这 6 个数从小到大的顺序为 3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π. <。
2014-2015年湖北省襄阳市枣阳市八年级(上)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年湖北省襄阳市枣阳市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选择支，其中只有一个符合题意，请将序号填入题后的括号中）1．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a2=a5B．（a3）2=a5C．（a+b）2=a2+b2D．a2•a4=a6 2．（3分）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．五边形C．四边形D．六边形3．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一腰长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm4．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（3分）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS7．（3分）下列因式分解，错误的是（）A．x2+7x+10=（x+2）（x+5）B．x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2）C．y2﹣7y+12=（y﹣3）（y﹣4）D．y2+7y﹣18=（y﹣6）（y+3）8．（3分）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）=a2﹣2ab+b2D．（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq 9．（3分）PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣5 10．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1二、填空题（每题3分，共30分）11．（3分）若x2+kx+16是完全平方式，则k的值为．12．（3分）当x=时，2（x+1）﹣1与3（x﹣2）﹣1的值相等．13．（3分）已知：x m=2，x n=3，则x3m+2n=．14．（3分）已知a+b=2，ab=7，则a2b+ab2的值为．15．（3分）在直角坐标系中，点A（﹣3，2）与点B关于x轴对称，点B与点C 关于y轴对称，则点C的坐标为．16．（3分）如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=°．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．18．（3分）如图，△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等，这说明．19．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=120°，则∠BEC=．20．（3分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km，一列动车与一列特快列车分别从A、B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C 站，则动车的平均速度是km/h．三、解答下列各题21．（6分）（1）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）；（2）（m+2+）÷．22．（6分）分解因式（1）m3﹣16m；（2）（2a﹣b）2+8ab．23．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．24．（6分）先化简，再求值：（x﹣y+）（x+y﹣）+2y2，其中x+y=5，xy=3．25．（6分）如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD=CD+AB．26．（6分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到M，N的距离相等，且到∠AOB的两边距离相等．（2）如图2，已知直线l和两点A，B，在直线l上求作一点C，使点C到点A、点B的距离之和最短．27．（6分）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点，判断BM与BN的关系，并说明理由．28．（6分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？29．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE ∥AB，EF∥AC．（1）指出图中的一个等腰三角形，并加以证明；（2）求证：BE=AF；（3）若∠ABC=60°，ED=AD，求∠A的度数．30．（6分）（1）检验下列各式是否成立．+=2，+=2，+=2，+=2．…（2）依照以上格式呈现的规律，写出它们的一般形式，并加以证明．2014-2015学年湖北省襄阳市枣阳市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选择支，其中只有一个符合题意，请将序号填入题后的括号中）1．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a2=a5B．（a3）2=a5C．（a+b）2=a2+b2D．a2•a4=a6【分析】根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a3+a2，不是同类项不能合并，故错误；B、（a3）2=a6，故错误；C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故错误；D、a2•a4=a6，故正确；故选：D．2．（3分）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．五边形C．四边形D．六边形【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°=360°，解得：n=4．故选：C．3．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一腰长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm【分析】用等腰三角形的周长减去2个腰长，列出算式计算可求等腰三角形的底边长．【解答】解：13﹣5×2=13﹣10=3（cm）．答：该等腰三角形的底边长为3cm．故选：B．4．（3分）下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形不是轴对称图形；第四个图形是轴对称图形；综上共有3个轴对称图形．故选：C．5．（3分）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】根据SSS可以判断△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS．【解答】解：由题意可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，，∴△COD≌△C′O′D′（SSS），故选：A．7．（3分）下列因式分解，错误的是（）A．x2+7x+10=（x+2）（x+5）B．x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2）C．y2﹣7y+12=（y﹣3）（y﹣4）D．y2+7y﹣18=（y﹣6）（y+3）【分析】根据提十字相乘法分解因式对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+7x+10=（x+2）（x+5），故本选项错误；B、x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2），故本选项错误；C、y2﹣7y+12=（y﹣4）（y﹣3），故本选项错误；D、y2+7y﹣18=（y﹣2）（y+9），故本选项正确．故选：D．8．（3分）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）=a2﹣2ab+b2D．（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq【分析】根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答即可．【解答】解：大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，∴能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；故选：B．9．（3分）PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：B．10．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣1=0，且x﹣1≠0，解得：x=﹣1．故选：C．二、填空题（每题3分，共30分）11．（3分）若x2+kx+16是完全平方式，则k的值为±8．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．【解答】解：∵x2+kx+16=x2+kx+42，∴kx=±2•x•4，解得k=±8．故答案为：±8．12．（3分）当x=﹣7时，2（x+1）﹣1与3（x﹣2）﹣1的值相等．【分析】由题意列方程2（x+1）﹣1=3（x﹣2）﹣1，求解即可．【解答】解：由题意得2（x+1）﹣1=3（x﹣2）﹣1，∴解得x=﹣7，经检验x=﹣7是原分式方程的根．∴当x=﹣7时，2（x+1）﹣1与3（x﹣2）﹣1的值相等．13．（3分）已知：x m=2，x n=3，则x3m+2n=72．【分析】根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．【解答】解：∵x m=2，x n=3，∴x3m+2n=x3m•x2n=（x m）3•（x n）2=8×9=72．故答案为72．14．（3分）已知a+b=2，ab=7，则a2b+ab2的值为14．【分析】利用提公因式法将多项式分解因式，再将a+b和ab的值直接代入计算即可．【解答】解：原式=ab（a+b）=7×2=14．故答案为：14．15．（3分）在直角坐标系中，点A（﹣3，2）与点B关于x轴对称，点B与点C 关于y轴对称，则点C的坐标为（3，﹣2）．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出点B的坐标，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出点C 的坐标即可．【解答】解：∵点A（﹣3，2）与点B关于x轴对称，∴点B的坐标为（﹣3，﹣2），∵点B与点C关于y轴对称，∴点C的坐标为（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．16．（3分）如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=120°．【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30°，从而求解．【解答】解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°．故答案为：120．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为45（度）．【分析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．【解答】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x ﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为：45．18．（3分）如图，△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等，这说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．【分析】根据SSA无法判定两个三角形全等即可求解．【解答】解：如图，△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等，这说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．19．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=120°，则∠BEC=150°．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠2+∠4，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠4=（180°﹣∠A），=×（180°﹣120°），=30°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣30°=150°．故答案为：150°．20．（3分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km，一列动车与一列特快列车分别从A、B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C 站，则动车的平均速度是144km/h．【分析】设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．【解答】解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，由题意，得：=，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．x+54=144．答：动车的平均速度为144km/h．故答案为：144．三、解答下列各题21．（6分）（1）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）；（2）（m+2+）÷．【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]=x2﹣（2y﹣3）2=x2﹣（4y2﹣12y+9）=x2﹣4y2+12y﹣9（2）原式=（m+2﹣）×=×==﹣2m﹣622．（6分）分解因式（1）m3﹣16m；（2）（2a﹣b）2+8ab．【分析】（1）原式提取m，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=m（m2﹣16）=m（m+4）（m﹣4）；（2）原式=4a2﹣4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=（2a+b）2．23．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠B，DF平分∠D，∴∠EBF+∠FDC=90°，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠FDC=90°，∴∠EBF=∠DFC，∴BE∥DF．24．（6分）先化简，再求值：（x﹣y+）（x+y﹣）+2y2，其中x+y=5，xy=3．【分析】先将括号内通分，然后因式分解，配方后整体代入求值．【解答】解：原式=•+2y2=•+2y2=（x+y）（x﹣y）+2y2=x2﹣y2+2y2=x2+y2=（x+y）2﹣2xy=52﹣2×3=25﹣6=19．25．（6分）如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD=CD+AB．【分析】过M作ME⊥AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C=∠DEM=90°，∠B=∠AEM=90°，∠CDM=∠EDM，CM=EM，∠EAM=∠BAM，BM=ME，根据AAS推出△MCD≌△MED，根据全等得出CD=DE，AE=AB，即可得出答案．【解答】证明：如图：过M作ME⊥AD于E，∵∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C=∠DEM=90°，∠B=∠AEM=90°，∠CDM=∠EDM，CM=EM，∠EAM=∠BAM，BM=ME，在△MCD和△MED中∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD=DE，同理：AE=AB，∴AD=AE+DE=CD+AB．26．（6分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到M，N的距离相等，且到∠AOB的两边距离相等．（2）如图2，已知直线l和两点A，B，在直线l上求作一点C，使点C到点A、点B的距离之和最短．【分析】（1）作∠AOB的平分线，线段NM的垂直平分线即可；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′交l于点C，点C即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求．（2）如图2中，点C即为所求．27．（6分）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点，判断BM与BN的关系，并说明理由．【分析】根据SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，求出∠ABD=∠DBC=90°，BM=AM=EM=AE，BN=CN=DN=CD，推出∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC即可．【解答】解：BM=BN，BM⊥BN，理由是：在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，∴∠ABD=∠DBC=90°，∵M为AE的中点，N为CD的中点，∴BM=AM=EM=AE，BN=CN=DN=CD，∴BM=BN，∠EAB=∠MBA，∠CDB=∠DBN，∠AEB=∠EBM，∠NCB=∠NBC，∵∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，∴∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC，∴∠ABC=2∠DBN+2∠EBM=180°，∴∠EBN+∠EBM=90°，∴BM⊥BN．28．（6分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；（2）根据利润=售价﹣进价，可求出结果．【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，由题意，得=2×+300，解得x=5，经检验x=5是方程的解．答：该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000=5820（元）．答：超市销售这种干果共盈利5820元．29．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE ∥AB，EF∥AC．（1）指出图中的一个等腰三角形，并加以证明；（2）求证：BE=AF；（3）若∠ABC=60°，ED=AD，求∠A的度数．【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；（2）根据已知条件得到四边形ADEF是平行四边形，得到AF=DE，根据BD是△ABC的角平分线，得到∠ABD=∠DBE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（3）根据菱形的判定定理得到四边形ADEF是菱形，根据菱形的性质得到AF=EF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BFE=60°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形；（2）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；（3）∵四边形ADEF是平行四边形，∵AD=DE，∴四边形ADEF是菱形，∴AF=EF，∵BE=AF，∴BE=EF，∵∠ABC=60°，∴△BEF是等边三角形，∴∠BFE=60°，∵EF∥AC，∴∠A=∠BFE=60°．30．（6分）（1）检验下列各式是否成立．+=2，+=2，+=2，+=2．…（2）依照以上格式呈现的规律，写出它们的一般形式，并加以证明．【分析】（1）分别计算每一个等式左边可得其值均等于2；（2）由以上四等式发现：等式左边是两分数的和，两分子和为8，分母是每个分数的分子与4的差，等式右边都为2，据此规律列式即可，再根据分式的运算可验证．【解答】解：（1）+=﹣1+3=2；+=5﹣3=2，+=﹣=2，+=+=2；（2）一般规律是：，验证：左边====2=右边，故成立．。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð（ ） （A ）{1,3,5,6} （B ）{2,3,7} （C ）{2,4,7} （D ）{2,5,7} 【答案】C【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,5,6A =，∴{}2,4,7U A =ð，故选C ．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．（2）【2014年湖北，文2，5分】i 为虚数单位，21i ()1i-=+（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】B【解析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选B ． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年湖北，文3，5分】命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（ ）（A ）x ∀∉R ，2x x ≠ （B ）x ∀∈R ，2x x = （C ）x ∃∉R ，2x x ≠ （D ）x ∃∈R ，2x x =【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：0x ∃∈R ，200x x =，故选D ．【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．（4）【2014年湖北，文4，5分】若变量x ，y 满足约束条件420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）7 （D ）8 【答案】C【解析】满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数2Z x y =+，∴0O Z =，4A Z =，7B Z =，4C Z =，故2x y +的最大值是7，故选C ．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．（5）【2014年湖北，文5，5分】随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ） （A ）123p p p << （B ）213p p p << （C ）132p p p << （D ）312p p p <<【答案】C【解析】列表得：（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6）（6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）（5，1） （6，1）∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为11053618p ==，点数之和大于5的概率记为226133618p ==，点数之和为偶数的概率记为3181362p ==，∴132p p p <<，故选C ．【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（6）【2014年湖北，文6，x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b < （B ）0a >，0b > （C ）0a <，0b < （D ）0a <，0b > 【答案】A【解析】样本平均数 5.5x =，0.25y =，∴()()6124.5i i i x x y y =--=-∑，()26117.5i i x x=-=∑，∴24.51.417.5b =-=-，∴()0.25 1.4 5.57.95a =--⋅=，故选A ．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题． （7）【2014年湖北，文7，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题． （8）【2014年湖北，文8，5分】设是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】∵a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，∴sin cos a b θθ+=-，0ab =，过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线为()222b a y a x a b a --=--，即()y b a x ab =+-，即sin cos y x θθ=-， ∵双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，∴过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与双 曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为0，故选A ．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． （9）【2014年湖北，文9，5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为（ ） （A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{27,1,3}- （D ）{27,1,3}-- 【答案】D【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -，令0x <，则0x ->，∴()()23f x x x f x -=+=-，∴2()=3f x x x --，∴()223030x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∵()()3g x f x x =-+，,a b 2(,)A a a 2(,)B b b 22221cos sin x y θθ-=∴()22430430x x x g x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令()0g x =，当0x ≥时，2430x x -+=，解得1x =，或3x =，当0x <时，2430x x --+=，解得2x =-∴函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为{21,3}-，故选D ． 【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．（10）【2014年湖北，文10，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2014年湖北，文11，5分】甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测． 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件． 【答案】1800【解析】∵样本容量为80，∴抽取的比例为801480060=，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．（12）【2014年湖北，文12，5分】若向量(1,3)OA =-u u u r ，||||OA OB =u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则||AB =u u u r ．【答案】【解析】设(),OB x y =u u u r ，∵向量()1,3OA =-u u u r ，||||OA OB =u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，∴30x y -=⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ 或31x y =-⎧⎨=-⎩．∴()3,1OB =u u u r ，()3,1--．∴()2,4AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r 或()4,2-．∴||AB =u u u r 【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．（13）【2014年湖北，文13，5分】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知π6A =，a =1，b =则B = ． 【答案】3π或23π【解析】∵在ABC ∆中，6A π=，1a=，b =sin sin a b A B=得：1sin 2sin 1b A B a ===， ∵a b <，∴A B <，∴3B π=或23π．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． （14）【2014年湖北，文14，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为_________． 【答案】1067【解析】由程序框图知：算法的功能是求1222212k S k =+++++++L L 的值，∵输入n 的值为9，∴跳出循环的k 值为10，∴输出()91291021219222129922451067122S -+=+++++++=+⨯=-+=-L L ． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是解题的关键． （15）【2014年湖北，文15，5分】如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ． 【答案】10,6⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由已知可得：0a >，且()4f a a =，()4f a a -=-，若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则()()421241a a a a ⎧-->⎪⎨=->⎪⎩，解得16a >，故正实数a 的取值范围为：10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出()()421241a a a a ⎧-->⎪⎨=->⎪⎩是解答的关键．（16）【2014年湖北，文16，5分】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、 平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（1）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（2）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时． 【答案】（1）1900；（2）100【解析】（1）2760007600020182018v F l v v lv v==++++，∵121212122v v +≥=，当11v =时取最小值，∴7600019002018F l v v=≤++， 故最大车流量为：1900辆/小时． （2）22760007600076000100182********v v F v v l v v v v===++++++，∵100210020v v +≥=，∴2000F ≤， 2000﹣1900=100（辆/小时），故最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时．【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足． （17）【2014年湖北，文17，5分】已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则（1） ；（2） ．【答案】（1）12-；（2）12【解析】（1）设(),M x y ，则∵||||MB MA λ=，∴()()2222222x b y x y λλ-+=++，由题意，取()1,0、()1,0-分别代入可得()()222112b λ-=+，()()222112b λ--=-+，∴12b =-，12λ=． （2）由（1）知12λ=． 【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （18）【2014年湖北，文18，12分】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()103cos sin 1212f t t t =--，[0,24)t ∈（1）求实验室这一天上午8时的温度； （2）求实验室这一天的最大温差．(2,0)A -M b =λ=解：（1）ππ(8)103cos 8sin 81212f =-⨯-⨯()()2π2π103cos sin 33=--13103()102=-⨯--=．故实验室上午8时的温度为10 ℃．（2）因为3π1πππ()102(cos sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤．当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-．于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．【点评】本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．（19）【2014年湖北，文19，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．（20）【2014年湖北，文20，13分】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点．求证： （1）直线1BC ∥平面EFPQ ； （2）直线1AC ⊥平面PQMN ．解：（1）连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD的中点，所以FP ∥AD 1．从而BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ， 故直线1BC ∥平面EFPQ ．（2）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥．由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥．又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面1ACC ．而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥．因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥．同理可证1PN AC ⊥． 又PN MN N =I ，所以直线1AC ⊥平面PQMN ． 【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．（21）【2014年湖北，文21，14分】π为圆周率，e 2.71828=L 为自然对数的底数．（1）求函数ln ()xf x x=的单调区间；（2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==，x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3ee<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点： （1）寻找同底的指数式或对数式；（2）分清是递增还是递减；（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．（22）【2014年湖北，文22，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -． 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+， 故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)42）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 综合1）2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 与轨迹C恰好有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．。
2014年湖北省高职统考 数学试题及参考答案(word版)
数学 第1页（共8页）机密★启用前2014年湖北省高职统考数 学本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其选出。
未选，错选 或多选均不得分。
1．集合2{9}A x x =<与{|1|2}B x x =-<之间的关系为A ．B ≠⊂A B ．A B ⊆C ．B A ∈D ．A B ∉2．若,a b ∈R ，则33log log a b >是55a b >成立的A ．充要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分条件但不是必要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件3．若2()()41f x x a x =+++为偶函数，则实数a 的值为A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．下列各点中在角5π6-终边上的是 A．(1,- B．(1)- C．(1 D．数学 第2页（共8页）5．若实数1,,,,2a b c 成等比数列，则a b c ⋅⋅=A ．4- B．- C． D ．46．直线10x y +-=的倾斜角是A ．135- B ．45-C ．45 D ．1357．过点(1,1)A -、(2,0)B 、(0,0)C 的圆的方程是A ．22(1)1x y +-=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y ++=D ．22(1)1x y ++= 8．要考察某灯泡厂生产的灯泡的使用寿命，若从该厂生产的灯泡中随机地抽取100个测量其使用寿命，则该数字100是A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量9．若向量(3,4)=-a ，则下列向量中与a 平行且为单位向量的是A ．34(,)55-B ．43(,)55- C ．(6,8)- D ．(8,6)- 10．由0～9这十个数字组成个位为奇数且十位为偶数的两位数的个数为A ．30B ．25C ．20D ．15二、填空题 （本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填在答题卡相应题号的横线上。
2014-2015年湖北省襄阳市枣阳高中高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年湖北省襄阳市枣阳高中高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）A．公差为0的等差数列是等比数列B．a，b，c成等比数列的充要条件是b2=acC．公比的等比数列是递减数列D．是a，b，c成等差数列的充分不必要条件2．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（）A．B．C．D．3．（5分）在△OAB中，sinA=，，a=1，则b=（）A．B．C．D．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S15为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（）A．a2+a13B．a2a13C．a1+a8+a15D．a1a8a155．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a n}是等差数列，且a3＜0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负6．（5分）数列{a n}为等比数列，前n项和为S n=﹣3（22n﹣1+b），则b=（）A．1B．C．﹣1D．7．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°8．（5分）在△ABC中，BC=2，AC=2，S△ABC=，则∠C等于（）A．B．C．或D．或9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则sinB﹣cosC的最大值是（）A．1B．C．D．210．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27B．81C．243D．72911．（5分）若△ABC的三边a，b，c，它的面积为，则角C等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知△ABC中，，BC=2，，则AB边长是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）13．（5分）在△ABC中，，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为．14．（5分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC最大角的值是．15．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项之和S9等于．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=．17．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则S50=．三、解答题（共65分）18．（14分）在数列中{a n}，．（1）求数列{a n}的通项；≤0对任意的正整数N恒成立，求实数λ的取值范围．（2）若λa n﹣a n+119．（14分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．20．（13分）（Ⅰ）已知数列{a n}的前n项和，求通项公式a n；（Ⅱ）已知等比数列{a n}中，，，求通项公式a n．21．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，a2=2，a4=8，等差数列{b n}中b1=a2，b2=a3，其中n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知向量=（a+c，b），=（a﹣c，b﹣a），且，其中A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边．（1）求角C的大小；（2）求sinA+sinB的取值范围．2014-2015学年湖北省襄阳市枣阳高中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）下列命题中正确的是（）A．公差为0的等差数列是等比数列B．a，b，c成等比数列的充要条件是b2=acC．公比的等比数列是递减数列D．是a，b，c成等差数列的充分不必要条件【解答】解：公差为0，首项也为0的等差数列不是等比数列，故A错误；非零实数a，b，c三数成等比数列的充要条件是b2=ac，故B错误；公比为，首项小于0的等比数列是递增数列，故C错误；由于a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c，而⇒2b=a+c，但是2b=a+c不能得到（因为b﹣c可能为零），∴是a，b，c成等差数列的充分不必要条件．故D正确；故选：D．2．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，∴由正弦定理可得b2=ac，∵c=2a，∴，∴cosB===．故选：B．3．（5分）在△OAB中，sinA=，，a=1，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△OAB中，cosB=，∴sinB==，又sinA=，a=1，∴由正弦定理=得：=，∴b=．故选：D．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S15为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（）A．a2+a13B．a2a13C．a1+a8+a15D．a1a8a15【解答】解：由S15=为一确定常数，又a1+a8+a15=3a8，故选：C．5．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a n}是等差数列，且a3＜0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，数列{a n}是等差数列，且a3＜0，∴a2+a4=2a3＜0，则a2＜﹣a4，a1+a5=2a3＜0，则a1＜﹣a5，又由x≥0，f（x）单调递减，所以在R上，f（x）都单调递减，若a2＜﹣a4，则f（a2）＞f（﹣a4）=﹣f（a4），必有f（a2）+f（a4）＞0．①同理f（a1）+f（a5）＞0，②，因为f（0）=0，所以x≥0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，∴f（a3）＞0③综合①、②、③可得f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）＞0，故选：A．6．（5分）数列{a n}为等比数列，前n项和为S n=﹣3（22n﹣1+b），则b=（）A．1B．C．﹣1D．【解答】解：由题意，数列{a n}为等比数列，前n项和为S n=﹣3（22n﹣1+b），∴S1=a1=﹣6﹣3bS2=a1+a2=﹣24﹣3b，∴a2=﹣18，S3=a1+a2+a3=﹣96﹣3d，a3=﹣72根据即（6+3b）×72=18×18可得：b=故选：B．7．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°【解答】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：，∴sinB=，∴∠B=60°或120°故选：B．8．（5分）在△ABC中，BC=2，AC=2，S△ABC=，则∠C等于（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵S=BC•AC•sinC=•2•2•sinC=，△ABC∴sinC=，∵0＜∠C＜π，∴∠C=或，故选：C．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则sinB﹣cosC的最大值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，即sinA=cosA，∴tanA=1，即A=，∴sinB﹣cosC=sinB﹣cos（﹣B）=sinB﹣cos cosB﹣sin sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵0＜B＜，即＜B+＜π，∴0≤sin（B+）≤1，则sinB﹣cosC的最大值为1．故选：A．10．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=（）A．27B．81C．243D．729【解答】解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选：C．11．（5分）若△ABC的三边a，b，c，它的面积为，则角C等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣c2=2abcosC，由三角形面积公式得：S=absinC，∴absinC=＞0，即tanC=，则角C等于30°．故选：A．12．（5分）已知△ABC中，，BC=2，，则AB边长是（）A．B．C．D．【解答】解：根据余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2×AB×AC×cosA∵，BC=2，，∴∴AB=故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）13．（5分）在△ABC中，，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为．【解答】解：∵=∴AC=1由余弦定理可知：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A即BC=故答案为：14．（5分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC最大角的值是120°．【解答】解：由sinA：sinB：sinC=3：5：7，根据正弦定理得：a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k，k＞0，可得7k为最大边，设7k所对的角，即△ABC最大角为C，根据余弦定理得：cosC===﹣，又C∈（0，180°），∴C=120°，则△ABC最大角的值是120°．故答案为：120°15．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项之和S9等于99．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，，∴数列{a n}的前9项之和S9===99．故答案为：99．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=4．【解答】解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b∵b≠0∴b=4故答案为：417．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则S50= 675．【解答】解：∵a1=1，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），当n=1时，a3﹣a1=0，得到a3=1；当n=2时，a4﹣a2=2，∴a4=4，…，得到此数列奇次项为1，偶次项是以2为首项，公差为2的等差数列，∴S50=1×25+25×2+×2=675．故答案为：675．三、解答题（共65分）18．（14分）在数列中{a n}，．（1）求数列{a n}的通项；≤0对任意的正整数N恒成立，求实数λ的取值范围．（2）若λa n﹣a n+1【解答】解：（1）由题意知数列各项不为0，由3a n a n﹣1+a n﹣a n﹣1=0，得3+﹣=0，所以，所以数列{}为等差数列，首项为1，公差为3，则=1+（n﹣1）•3=3n﹣2，所以a n=；≤0恒成立，即λ≤恒成立，整理得：λ≤=1﹣，（2）若λa n﹣a n+1设f（x）=1﹣，可知f（x）在x∈（﹣，+∞）上单调递增，所以当n=1时，[1﹣]min=，所以λ的取值范围为λ∈（﹣∞，]．19．（14分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．20．（13分）（Ⅰ）已知数列{a n}的前n项和，求通项公式a n；（Ⅱ）已知等比数列{a n}中，，，求通项公式a n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣3，故有．（Ⅱ）令，∵，，∴，两式相除化简得2q2﹣q﹣1=0，解得q=1，或q=﹣，∴，，或，．∴或．21．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，a2=2，a4=8，等差数列{b n}中b1=a2，b2=a3，其中n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）等比数列{a n}的公比q＞0，a2=2，a4=8，可得，解得， 即有，n ∈N *； 等差数列{b n }中b 1=a 2，b 2=a 3，公差设为d ，即有b 1=a 2=2，b 2=a 3=4， ∴， ∴，∴b n =2+2（n ﹣1）=2n ，n ∈N *；（2）由（1）知数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．c n =a n +b n =2n ﹣1+2n ，则T n =（1+2+4+…+2n ﹣1）+（2+4+6+…+2n ）=+n （2+2n ）=2n ﹣1+n +n 2．22．（12分）已知向量=（a +c ，b ），=（a ﹣c ，b ﹣a ），且，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．（1）求角C 的大小；（2）求sinA +sinB 的取值范围．【解答】解：（1）由⊥得•=0得（a +c ）（a ﹣c ）+b （b ﹣a ）=0⇒a 2+b 2﹣c 2=ab 由余弦定理得cosC=∵0＜C ＜π∴C=（2）∵C=∴A +B=∴sinA +sinB=sinA +sin （﹣A ）=sinA +sin cosA ﹣cos sinA=sinA +cosA=（sinA +cosA ）=sin（A+）∵0＜A＜∴＜A+＜∴＜sin（A+）≤1∴＜sin（A+）≤即＜sinA+sinB≤．。
最新枣阳市普通高中推荐招生考试数学试题
枣阳市2012年普通高中推荐招生考试数 学 试 题(满分120分，考试时间90分钟)一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号填在题前括号中）（ ）1．若a a -=，则a 的取值范围是：A ．a <0B ．a >0C ．a ≤0D ．a ≥0 （ ）2．∠1与∠2互为补角，∠1 >∠2，则∠2的余角等于： A ．)21(21∠-∠ B ．121∠ C ．)21(21∠+∠ D ．221∠ （ ）3．若关于x 的方程kx 2-2x -1=0有实数根，则k 的取值范围是：A ．k ≥-1B ．k ≥-1且k ≠ 0C ． k ≤1D ．k ≤1且k ≠0 （ ）4．如图1，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是：A ．53sin =B B ．54cos =B C ．43tan =B D ．34tan =A （ ）5．若干桶方便面放桌子上，图2是它的三视图，则这一堆方便面共有：A ．6 桶B ．7桶C ．8桶D ．9桶（ ）6．在整式乘法这一章我们学习了平方差公式和完全平方公式，现在我们由多项式乘法法则可得：（a +b ）(a 2-ab +b 2)=a 3-a 2b +ab 2+a 2b -ab 2+b 3=a 3+b 3,即（a +b ）(a 2-ab +b 2)= a 3+b 3，我们把这个等式叫做立方和公式，下列运用立方和公式进行变形，即进行整式乘法运算或因式分解，不正确的是： A ．（x +4y ）(x 2-4xy +16y 2)= x 3+64y 3 B ．（2x +y ）(4x 2-2xy +y 2)=8x 3+y 3 C ．（a +1）(a 2+a +1)= a 3+1 D ．x 3+27=（x +3）(x 2-3x +9)（ ）7．为了解某小区居民用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表，则关于这10户家庭月用水量数据组的说法，正确的是：图1 俯视图左视图主视图图2A ．中位数是5B ．众数是5C ．方差是6D ．平均数是5（ ）8.若2)(11y x x x +=-+-，则y x y x --8的值是：A ．4B ．2C ．1D ．-1 （ ）9．如图3，点A 、B 、C 的坐标分别是（0，-1）、（0，2）（3，0），从下面4个点M （3，3）、N （3，-3）、P （-3，0）Q （-3，1）中选择一个点，以A 、B 、C 与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是: A. M B. N C. P D. Q（ ）10. 已知二次函数2y a x b x c =++的图象如图4所示，则一次函数ac b bx y 42-+=与反比例函数xcb a y ++=在同一坐标系内的图象大致为：二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共2.0分，请将各题的结果填在各题的横线上）11.计算：2145cos )12()21(2502+︒--+-+-= ．12.若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+3313y x ay x 的解满足2<+y x ，则a 的取值范围是 ．13.一天晚上小伟帮妈妈洗三个只有颜色不同（颜色分别为白、红、蓝）的有盖茶杯，此时突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则颜色搭配完全正确的概率是 ．14.如图5，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到△A /B /C /，若AB =4，则线段B C 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）．图3图4图515.已知□ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC，垂足为点E，AF⊥BC，垂足为点F，若AE=3，AF=4，则CE-CF=．三、解答题：（本大题共5个小题，共60分每题要写出计算、解答及推理过程）16.（本题满分8分）先化简，再求值：)121(12222+---÷++-x x x x x x x x ，其中x 满足052)1)(1()1(22=-+-+--x x x x17.（本题满分10分）如图6，已知点C 为线段AE 上一点，AE =8cm ，△ABC 和△CDE 为AE 同侧的两个等边三角形，连接BE 交CD 于N ，连接AD 交BC 于M ，连接MN ． （1）求证：AD =BE ； （2）求证：MN ∥AE ；（3）若点C 在AE 上运动（点C 不与A 、E 重合），当点C 运动到什么位置时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？NME DC B图6某市政府为了解决该市贫困户住房问题，决定建经济适用房和廉租房共80套.某公司通过招标取得了该工程，该公司计划总投资不少于700万元，但不超过720万元，其中基础建设等前期投入费用为120万元，根据预算每套廉租房和经济适用房各种支出.费用及政府回收价如下表所示：（1）已知政府回收3套廉租房和2套经济适用房共需52万元；回收2套廉租房和3套经济适用房共需58万元，求a、b的值；（2）该公司有几种建房方案？哪种方案公司所获利润最大？（3）当基础建设完成后，政府通过核算决定将廉租房回收价提高m万元（0<m<1），面对经济适用房回收价下调10%，此时，该公司采用哪种方案建房所获利润最大？如图7（1），长方形纸片ABCD 的边长AB =2AD ，将它沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 相交于点P ，连接EP.设n ADAM=，其中0<n <1． (1)当21=n ，即M 为AD 的中点时，如图7（2），求证：EP =AE +DP ；(2)随着n 的变化，AMCFBE -的值是否发生变化？说明理由．PNM FED CBA图7（1）P NM FED CBA图7（2）20.（本题满分16分）如图8，在直角坐标系中，⊙M 与y 轴相切于点C ，与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2,0）两点，其中x 1，x 2是方程x 2-10x +16=0的两个根，且x 1<x 2，连接MC ，过A 、B 、C 三点的抛物线的顶点为N .（1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）判断直线NA 与⊙M 的位置关系，并说明理由；（3）一动点P 从点C 出发，以每秒t 个单位长的速度沿CM 向点M 运动，同时，一动点Q 从点B 出发，沿射线BA 以每秒4t 个单位长度的速度运动，当P 运动到M 点时，两动点同时停止运动，当t 为何值时，以Q 、O 、C 为顶点的三角形与△PCO 相似？图8。
湖北省襄阳市枣阳高中2014-2015学年高二下学期期末数学(文)试卷Word版含解析
湖北省襄阳市枣阳高中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2．已知条件p：x2﹣4≤0，条件q：≥0，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．曲线y=x2在点M（）的切线的倾斜角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．有如下四个结论：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；②过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直；③“x＞0”是“x＞1”的必要条件；④命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1≤0”．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．15．如果命题“￢（p∧q）”是真命题，则（）A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题6．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]7．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．命题“所有能被5整除的数都是偶数”否定形式是（）A．所有不能被5整除的数都是偶数B．所有能被5整除的数都不是偶数C．存在一个不能被5整除的数都是偶数D．存在一个能被5整除的数不是偶数9．以椭圆+=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．﹣y2=110．如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|x＜a}”，若￢p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为．13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为．14．过抛物线y2=4x焦点的直线l的倾斜角为，且l与抛物线相交于A、B两点，O为原点，那么△AOB的面积为．15．椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为．三、解答题（75分）16．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex+a 与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设=λ．（Ⅰ）证明：λ=1﹣e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．17．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，点A（0，﹣2），直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．18．已知F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，F1是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=（1）求椭圆C1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t），kt≠0交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足+=λ，求实数λ的取值范围．19．已知椭圆C 1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．20．已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=（Ⅰ）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；（Ⅱ）求证：直线MQ过定点．21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若存在实数a使f（x）在区间（）（n∈N*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．湖北省襄阳市枣阳高中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解答：解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．2．已知条件p：x2﹣4≤0，条件q：≥0，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出满足条件￢p的x的范围，和满足条件q的x的范围，判断两个范围的包含关系，进而可用集合法判断出￢p与q的充要关系．解答：解：∵条件p：x2﹣4≤0，∴条件￢p：x2﹣4＞0，即x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；∵条件q：≥0，即x∈（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）；且（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）⊊（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）；故￢p是q的充分不必要条件，故选：A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．曲线y=x2在点M（）的切线的倾斜角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：y'=2x∴当x=时，y'=1，得切线的斜率为1，所以k=；∴1=tanα，∴α=450，故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．有如下四个结论：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；②过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直；③“x＞0”是“x＞1”的必要条件；④命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1≤0”．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用两个平面内的两条直线的位置关系可判断①；利用面面垂直的判定定理可判断②；利用充分条件与必要条件的概念可判断③；利用全称命题与特称命题的关系可判断④．解答：解：①分别在两个平面内的两条直线可能平行，也可能相交、异面，故①错误；②过平面α外斜线上一点P作PO⊥α，则斜线与PO确定的平面β⊥α，故过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直，正确；③“x＞0”不能⇒“x＞1”，充分性不成立，反之“x＞1”⇒是“x＞0”，即必要性成立，故③正确；④命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”，故④错误；综上所述，其中正确结论的个数为2个．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查充分条件与必要条件的概念、全称命题与特称命题的关系及空间直线与平面的位置关系，属于中档题．5．如果命题“￢（p∧q）”是真命题，则（）A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：可知p∧q是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，进而可得答案．解答：解：由题意可知：“￢（p∧q）”是真命题，∴p∧q是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，即命题p，q中至多有一个是真命题，故选D点评：本题考查复合命题的真假，属基础题．6．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．解答：解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选B．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．7．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．8．命题“所有能被5整除的数都是偶数”否定形式是（）A．所有不能被5整除的数都是偶数B．所有能被5整除的数都不是偶数C．存在一个不能被5整除的数都是偶数D．存在一个能被5整除的数不是偶数考点：命题的否定；全称命题．专题：阅读型．分析：本题中所给的命题是一个全称命题，书写其否定要注意它的格式的变化，即量词的变化，写出它的否定命题，再对比四个选项得出正确选项解答：解：∵全称命题“所有被5整除的整数都是偶数”∴全称命题“所有被5整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个被5整除的整数不是偶数”，对比四个选项知，D选项是正确的故选D点评：本题考查命题的否定，解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写格式，结论要否定，还要把全称量词变为存在量词．9．以椭圆+=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．﹣y2=1考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定椭圆的焦点、顶点坐标，可得双曲线的顶点、焦点坐标，即可求出双曲线的方程．解答：解：椭+=1的焦点坐标为（±，0），两个顶点为（±2，0），∴双曲线的顶点为（±，0），焦点坐标为（±2，0），∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|x＜a}”，若￢p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是a≥2．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出p的等价条件，利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数a的取值范围．解答：解：由x2﹣x﹣2≥0得x≥2或x≤﹣1，即p：x≥2或x≤﹣1，￢p：﹣1＜x＜2．若￢p是q的充分不必要条件，则{x|﹣1＜x＜2}⊊{x|x＜a}，即a≥2，故答案为：a≥2．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．利用不等式的性质是解决本题的关键．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，∴；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是，而抛物线的准线方程为，因此，，联立得，解得，∴=2．故双曲线的焦距为．故答案为．点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为3．考点：函数最值的应用．专题：应用题．分析：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即，要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积=πr2+2πrh==（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径（法二）：S全面积=πr2+2πrh==，利用基本不等式可求用料最小时的r解答：解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27πS全面积=πr2+2πrh==（法一）令S=f（r），（r＞0）=令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值（法二）：S全面积=πr2+2πrh====27π当且仅当即r=3时取等号当半径为3时，S最小即用料最省故答案为：3点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．14．过抛物线y2=4x焦点的直线l的倾斜角为，且l与抛物线相交于A、B两点，O为原点，那么△AOB的面积为．考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：S△AOB=，其中d为l到AB的距离，或者把△AOB分成△OFA与OFB，设A （x1，y1），B（x2，y2），则S△AOB=OF|y1﹣y2|．解答：解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），l的方程为y=tan（x﹣1），即y=（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立消去x得y2﹣y﹣4=0，得y2﹣﹣4=0，则S△AOB=S△OFA+S△OFB=OF|y1﹣y2|=OF=×1×=．故答案为：．点评：本题三角形借助于抛物线这一特殊背景出现，因此若考虑到抛物线的定义，便会得出如上的解答过程．当然用S△AOB=，其中d为l到AB的距离也完全可以．15．椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△F1PF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．解答：解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△F1PF2的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（75分）16．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l：y=ex+a 与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设=λ．（Ⅰ）证明：λ=1﹣e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（﹣，0）（0，a）．由题设知点M的坐标是（﹣c，）．由=λ得（﹣c+，）=λ（，a）．从而解得λ=1﹣e2．（Ⅱ）因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=c．由题设知当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．解答：解：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（﹣，0）（0，a）．由得．这里c=．所以点M的坐标是（﹣c，）．由=λ得（﹣c+，）=λ（，a）．即．解得λ=1﹣e2．（Ⅱ）因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即|PF1|=c．设点F1到l的距离为d，由|PF1|═d===c，得=e．所以e2=，于是λ=1﹣e2=．即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细求解，合理地运用公式．17．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，点A（0，﹣2），直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的离心率以及直线的斜率，求出椭圆的几何量，然后求椭圆C的方程；（2）由设直线的斜率为k，方程为y=kx﹣2，联立直线与椭圆方程，通过△=16（4k2﹣3）＞0，求出k的范围，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，求出|PQ|，坐标原点O到直线的距离，得到S△OPQ的表达式，利用换元法以及基本不等式，通过面积的最大值，求出k的值，得到直线方程．解答：解：（1）设F（c，0），由题意k AF=，∴c=，又∵离心率=，∴a=2，∴b==1，椭圆C的方程为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k，方程为y=kx﹣2，联立直线与椭圆方程：，化简得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由△=16（4k2﹣3）＞0，∴k2＞，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|PQ|==，坐标原点O到直线的距离为d=，S△OPQ=••=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令t=（t＞0），则S△OPQ==，∵t+，当且仅当t=，即t=2时等号成立，∴S△OPQ≤1，故当t=2，即，k2=＞，∴k=±时，△OPQ的面积最大，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）此时直线的方程为：y=±x﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．18．已知F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，F1是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=（1）求椭圆C1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t），kt≠0交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足+=λ，求实数λ的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足+=λ，可得到λ2的表达式，进而求出实数λ的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题知F1（0，1），所以a2﹣b2=1，又由抛物线定义可知MF1=y M+1=，得y M=，于是易知M（﹣，），从而MF1==，由椭圆定义知2a=MF1+MF2=4，得a=2，故b2=3，从而椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则由+=λ知，x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，且+=1，①又直线l：y=k（x+t），kt≠0与圆x2+（y+1）2=1相切，所以有=1，由k≠0，可得k=（t≠±1，t≠0）②又联立消去y得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0，且△＞0恒成立，且x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1+y2=k（x1+x2）+2kt=，所以得P（，），代入①式得+=1，所以λ2=，又将②式代入得，λ2=，t≠0，t≠±1，易知（）2++1＞1，且（）2++1≠3，所以λ2∈（0，）∪（，4），所以λ的取值范围为{λ|﹣2＜λ＜2且λ≠0，且λ≠±}．点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．19．已知椭圆C 1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为：+x2=1．…（4分）（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…（5分）∵切点A在第一象限．∴k=1…（6分）∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…（7分）△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…（8分）又直线l交y轴于D（0，m）∴…（10分）=当，即时，．…（11分）所以，所求直线l的方程为．…（12分）点评：本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．20．已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=（Ⅰ）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；（Ⅱ）求证：直线MQ过定点．考点：三点共线；圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：（I）求出曲线C的方程，把PQ的方程x=my﹣1 （m＞0）代入曲线C的方程化简可得y2﹣4my+4=0，利用根与系数的关系及=，可得=λ++2=4m2，据λ∈[2，4]，求得直线L的斜率的范围．（II）根据﹣=0，可得M、Q、F 2三点共线，故直线MQ过定点F2 （1，0 ）．解答：解：（I）令P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，可设抛物线方程为y2=2px由椭圆的方程可得F1（﹣1，0），F2 （1，0 ）故p=2，曲线C的方程为y2=4x，由题意，可设PQ的方程x=my﹣1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲线C的方程化简可得y2﹣4my+4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=4．又=，∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，又=λ++2=4m2．λ∈[2，4]，∴2+≤λ+≤4+，≤m2≤，∴≤≤∴直线L的斜率k的取值范围为[，]．（II）由于P，M关于X轴对称，故M（x1，﹣y1），∵﹣=+==0，∴M、Q、F2三点共线，故直线MQ过定点F2 （1，0 ）．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程、简单性质，三点共线的条件，根据题意，得到2+≤λ+≤4+，是解题的关键．21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若存在实数a使f（x）在区间（）（n∈N*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的表达式，利用函数的最小值求出a的范围．（Ⅱ）通过a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数的符号，判断函数的单调性，求出极小值．（Ⅲ）判断aln2x+lnx﹣1=0在上有两个不等实根，法一：构造函数，推出，求出n的最小值．法二：利用，推出a的表达式，列出然后求解n的最小值．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ），由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴时函数t=的最小值为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）原题等价于f′（x）=0在，且n＞1）上有两个不等的实数根；由题意可知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）即aln2x+lnx﹣1=0在上有两个不等实根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法一：令，g（u）=au2+u﹣1∵g（0）=﹣1＜0，根据图象可知：，整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即，解得n＞2，∴n的最小值为3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）法二：令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由题意可知解得解得n＞2，∴n的最小值为3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．。
湖北省枣阳市2013-2014学年上学期期末考试九年级数学试卷(图片卷带答案)
2013——2014学年度上学期九年级数学期末测试题答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B D B D DCD B B A A C13.6414- 14.8315.π2 16.10 17.4或1 三.解答题18.（1）解：102-=x .（3分）原式=61048104104-+--+（5分）= 0（6分）19. 解：(1)88)1(4)1(422+-=---=∆k k k ＞0，（1分）k ＜1（2分） (2)若0是方程的一个根，则012=-k .（3分） 1±=k ，又由(1) k ＜1，所以1-=k .（5分）此时方程为042=-x x ，另一根是4．（6分） 20.证明：∵BE=DC.（1分） △AEC 都是等边三角形， ∴AE=AC ，∠EAC=60°，（2分） 同理，AB=AD ，∠BAD=60°.（3分）∴以点A 为旋转中心将△EAB 顺时针旋转60°就得到△CAD.（4分） ∴△EAB ≌△CAD.（5分）∴BE=DC.（6分） 21.（1）92；（3分） （2）31．（6分） 22.（1）解：根据题意，得200)2100)(30(=--x x .（3分）整理得01600802=+-x x ， 解得4021==x x (元)（5分） ∴P=20(件)．答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件.（6分）23.解：（1）△AFB ∽△FEC.（1分）∵四边形ABCD 是矩形，∠ABC=∠ADC=∠ECF=90°. ∴∠AFE=∠ADE=90°，∴∠EFC+∠AFB=90°， 又∵∠AFB+∠FAB=90°，∴∠FAB=∠EFC.（3分） ∴△AFB ∽△FEC.（4分） （2）设FC=x 4，∵43=FC EC ，∴EC=x 3，EF=x 5，DE=EF=x 5，AB= x 8.（5分）∵△AFB ∽△FEC ，∴43==FC EC AB BF ，∴BF=x 6.（6分） AF=x 10. ∴2222)55(==+AE EF AF∴125)5()10(22=+x x .即12=x .∵x ＞0，∴x =1.（7分）∴AB=8，BC=10，矩形ABCD 的周长为36.（8分）24.（1）如图，以抛物线对称轴为y 轴，AB 为x 轴建立直角坐标系，CD 交y 轴于N ，则A（62-，0），B （62，0），C （32-，4），D （32，4）.（2分） 设所求抛物线解析式为62)(62(-+=x x a y ）. 因过C 点，∴31-=a .（5分）8312+-=x y .（6分）∴M （0，8）.（7分） MN=4. 4÷0.5=8. ∴水过警戒线后8小时淹到拱桥顶端M 处．（8分）25. 解：（1）连结OD.∵CD ，CB 均为⊙O 的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°.（1分）∵OD=OB ，OC=OC. ∴Rt △ODC ≌Rt △OBC.（2分）∴∠COD=∠COB=21∠BOD.（3分） ∵OD=OA ，∴∠ODA=∠OAD. ∴∠COD=∠ODA=∠COB=∠OAD. ∴AD ∥OC.(4分)（2）PD 2=PA ·PB.（5分）连结BD ，则∠ADB=90°， 又∠PDO=90°，∴∠POA+∠ODA=∠PBD+∠OAD=90°. 又∵∠ODA=∠OAD ，∴∠PDA=∠PBD.（6分） 又∠DPB=∠APB. ∴△PAD ∽△PDB.∴PBPD PD PA =.∴PD 2=PA ·PB.（7分） （3）∵AD ∥OC, ∴△PAD ∽△POC. ∴CDPDAO PA =. 又PD=CD ，∴PA=OA.（8分） 设DA=x ，则OA=OB=PA=x .PD 2=PA ·PB=23x .（9分） ∴BC 2=CD 2=PD 2=23x .（10分）在△OBC 中，由勾股定理，得16322=+x x .∵x ＞0，∴x =2. ∴BC=32.（11分）26.（1）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==++=++.2,0416,0c c b a c b a （1分）解方程组，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.2,25,21c b a （2分） ∴抛物线解析式为225212+-=x x y .（3分） 经配方，得89)25(212--=x y . ∴顶点坐标为(25，89-)． （4分） (2)设对称轴右侧的抛物线上存在点P （m ，n ），m ＞25，使△PAC 为直角三角形. （Ⅰ）若∠PCA=90°时（由图像可以看出点P 在x 轴上方）， 由勾股定理，得222)2(-+=n m PC ，222)1(n m PA +-=.52=AC .又222AC PC PA +=， ∴5)2()1(2222+-+=+-n m n m . 整理得42-=n m ． ① ∵89)25(212--=m n ， ② 由①，②得 ⎩⎨⎧==20n m （舍去），⎩⎨⎧==.5,6n m ∴对称轴右侧的抛物线上存在点P(6，5)，使△PAC 为直角三角形.（6分） 易得53=PC ，5=AC .又OC=2，OA=1，∴PCAC OC OA ≠. ∴Rt △PAC 与Rt △OAC 不相似.（7分）（Ⅱ）若∠CAP=90°时，由图像可看出点P 也在x 轴上方.由勾股定理得：222)2(-+=n m PC ，222)1(n m PA +-=，52=AC . 又222AC PA PC +=，得12+=n m . 又225212+-=m m n ， 由①，②可得⎩⎨⎧==01n m （舍去），⎩⎨⎧==.2,5n m ∴在对称轴右侧存在点P(5，2)，使△PAC 为直角三角形.（9分） 易得52=PA ，5=AC ，OC=2，OA=1，∴OAAC OC PA . ∴Rt △PAC ∽Rt △COA.（10分） (Ⅲ)对称轴右侧的抛物线上任意一点P ，都不能使∠APC 为直角．因为：如果点P 在对称轴右侧，x 轴下方的任一点时，∠CAP 为钝角，所以∠APC 不可能为直角．如果点P 在对称轴右侧，x 轴上方的任一点时，∵PA ＞AB ＞AC ，，则∠PCA ＞∠APC ． ∴∠APC 不可能为直角.（11分）综不所述，在对称轴右侧的抛物线上存在点P(6，5)和(5，2)，使△PAC 为直角为三角形，且以点P （5，2）为直角顶点的Rt △PAC ∽Rt △CAO.（12分）。
枣阳市2014年中考模拟考试数学答案
枣阳市2014年中考模拟考试数学答案一.选择题：（每小题3分，共36分）二.填空题：（每小题3分，共15分）13.0 14.a ≥－1 15. 6π 16. a ≥1 17. 712或2 三、解答题：（共69分）18. 解：解：(a ＋b )(a －b )＋(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab＝a 2－b 2＋b 2－2ab …………………………2分＝a 2－2ab …………………………3分当a ＝22－3，b ＝22＋3时，原式＝（22－2)3－2（22－3）（22＋3）＝22)2－2（22）（3）＋（2)3－10…………………5分＝1－46．…………………6分19．解：（1）900.3m n ==，；…………………………………………2分（2）图略．………………………………………………………………3分（3）比赛成绩的中位数落在：70分~80分．………………………………………4分（4）获奖率为：6020100+⨯%=40%（或0.3+0.1=0.4）……………………………6分1分2分 4分 6分答：此时船C 与船B 的距离是21.解：（1）令y ＝0，则kx ＋k ＝0∵k ≠0， ∴x ＋1＝0 ， ∴x ＝－1 ……………………………1分∴点A 的坐标（－1，0）……………………………………2分（2） 过点M 作MC ⊥AB 于C∵点A 的坐标（－1，0），点B 的坐标为（3，0）∴AB ＝4 ， AO ＝1，∴S △ABM ＝12×AB ×MC ＝12×4×MC ＝8 ∴MC ＝4…………………………………3分 又∵AM ＝5， ∴AC ＝3 ，OA ＝1，∴OC ＝2∴点M 的坐标（2，4）…………………………………4分把M （2，4）代入y ＝m －5x 得 4＝m －52，则m ＝13，………………………………5分 ∴y ＝8x……………………………6分 ••∵BC=CD ，∠B=∠CDF ，BE=DF ，∴△CBE ≌△CDF （SAS ）．……………………………2分∴CE=CF ．…………………………………………………3分（2）解：由（1）得：△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE=∠DCF ，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD ，即∠ECF=∠BCD=90°，………………………4分 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．…………………………………5分∵CE=CF ，∠GCE=∠GCF ，GC=GC ，∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．………………………………6分∴GE=GF ．∴GE=DF+GD=BE+GD ＝2＋3＝5……………………………7分24. 解：依题意，甲店B 型产品有(70)x -件，乙店A 型有(40)x -件，B 型有(10)x -件，则（1）200170(70)160(40)150(10)W x x x x =+-+-+-2016800x =+．……………………………………2分由0700400100x x x x ⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≥≥≥≥，，，．解得1040x ≤≤．……………………………………4分 （2）由201680017560W x =+≥，38x ∴≥．………………………………………5分3840x ∴≤≤，38x =，39，40．……………………………6分∴共有三种不同的分配方案．…………………………………7分（3）依题意：(200)170(70)160(40)150(10)W a x x x x =-+-+-+-(20)16800a x =-+．…………………………………8分①当020a <<时，40x =，即甲店A 型40件，B 型30件，乙店A 型0件，B 型30件，能使总利润达到最大．②当20a =时，1040x ≤≤，符合题意的各种方案，使总利润都一样．③当2030a <<时，10x =，即甲店A 型10件，B 型60件，乙店A 型30件，B 型0件，能使总利润达到最大． ………………………10分25. （1）证明：连接BD ，由AD ⊥AB 可知BD 必过点O ……………………………1分∴BF 相切于⊙O ，∴∠ABD 十∠ABF ＝90º∵AD ⊥AB ，∴∠ABD ＋∠D ＝90º，∴∠ABF ＝∠D∵∠ABC ＝∠ABF ，∴∠ABC ＝∠ADB ……………………………………2分又∠C ＝∠D ，∴∠ABC ＝＝∠C ，∴AB ＝AC ……………………………3分（2）AB 2＝AD ·AE 。
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2014年湖北省枣阳市推荐招生数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的，请将其序号填在题前括号中）（ ）1．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简b a --a 的结果为：A. -b a +2 B . b - C. b D. b a --2（ ）2．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是：（ ）3．菱形的边长是2 cm ，一条对23cm ，则另一条对角线的长角线的长是是：A ．2cmB ．3 cmC ．4cmD ．23 cm（ ）4．马航MH370失联以来，中国政府高度重视，每天军方派遣多架飞机、多艘军舰进行海上联合搜寻。
某一天，从飞机C 处测得A ，B 两艘军舰的俯角分别为300，450，此时飞机C 处的高度CD 为400米，点A ，D ，B 在同一直线上，则A ，B 两艘军舰的距离是：A ．800米B ．4003米C ．1200米D ．400(3+1) 米（ ）5A ．9和10B ．9.5和10C ．10和9D ．10和9.5（ ）6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 在DC 边上且DP=1，点Q 是AC 上一动点，则DQ+PQ 的最小值为： A ．3 B ．4 C ．5 D ．6C A BD 300450A B C D P CD（ ）7．已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数y =xk 12--的图像上. 下列结论中正确的是：A ．321y y y >>B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ．132y y y >>（ ）8．期中考试结束了，张老师买了两种价格的笔记本作为奖品，奖给优秀之星和进步之星．其中甲种笔记本共花费40元，乙种笔记本共花费30元，甲种笔记本比乙种笔记本多买10本．乙种笔记本的单价是甲种笔记本单价的1.5倍，若设甲种笔记本的单价为x 元，根据题意可列方程为：A ．10305.140=-x x B ．105.13040=-x x C ．105.14030=-x x D ．10405.130=-xx （ ）9．已知⎩⎨⎧+=+=+12242k y x ky x ，且－1＜y x -＜0，则k 的取值范围是：A ．－1＜k ＜－21 B ．0＜k ＜21 C ．0＜k ＜1 D ．21＜k ＜1（ ）10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点（－1，0），有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确的结论是： A ．①② B ．③④ C ．①③④ D ．②③④二、填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的橫线上）11．计算 42·sin450—（1－2）—221-⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝___________．12．若不等式组无解，则a 的取值范围是 ．13．一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻开始4分鈡内只进 水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常量， 容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的函数关系如图所示，则出水管每分钟出水_______升． 14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt △ABC 绕点A逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图 中阴影部分的面积是__________．15．已知△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且CD 2＝AD ·BD ，∠B=200， 则 ∠BAC 的度为__________．三、解答题（本大题共有6个小题，共60分．每题要写出计算、解答及推理过程）16．（本小题满分6分）先化简，再求值：ba b ab a +++222 ÷（a 1＋b 1）·(22b a +）,其中a 21+=，21-=b ．17．（本小题满分6分）假期，市教育局组织部分教师分别到A 、B 、C 、D 四个地方进行新课程培训，教育局按省分配培训名额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，其中去C 地的车票占全部车票的30%．请根据统计图回答下列问题：（1）去C 地的车票数量是 张，补全统计图图1；（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么王老师抽到去B 地的概率是_______；（3）某校有一个去A 地的培训名额，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，名额给李老师，否则名额给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“画树形图法”分析这个规定对双方是否公平．18.（本小题满分8分）如图，四边形ABCD 是矩形，将矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连接AE ． （1）求证：AE ∥BD ；（2）若AB=4，BC=8，求AF 和AE 的长．19. （本小题满分12分）2013年起，我国农村医疗保险重点向大病转移，肺癌、胃癌等20种病全部纳入大病保障范畴.某省从2013年开始，将大病报销起付线统一为8000元，即一人一年合规医疗费用在8000元及以内的不报销，超过8000元的部分分段按比例报销，报销标准见下表：2013元，报销37000元.设患这20种大病之一的患者2013年合规医疗费用为x （x ＞8000）元，报销后个人自费额为y 元. (1) 2013年患胃癌的丙某的合规医疗费用为20000元，应该报销多少元？ (2) 求m ，n 的值；(3) 直接写出y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (4) 当x 为何值时，个人自费额低于合规医疗费用的50﹪？ ABCD20．（本小题满分12分）如图，AD 、DC 、BC 分别与⊙O 相切于点A ，E ，B （AD ＜BC ），且AB 为⊙O 的直径．连接AE 并延长AE 与直线BC 相交于点P ，连接OC ，已知AE ·OC ＝40．(1) 求证：BC ＝CP ； (2) 求AD ·BC 的值；(3) 若S △ADE ︰S △PCE ＝16︰25，求四边形ABCD 的面积．21．（本小题满分16分）如图，抛物线)0(322≠--=a a ax ax y 经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，已知DC ∥AB ，点A ，B 在x 轴上，点D 在y 轴上，且OD ＝OB ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 在线段DC 上以每秒1个单位长的速度由点D 向点C 运动，同时点N 在线段AB 上也以每秒1个单位长的速度由点B 向点A 运动，点M 运动到点C 后两点同时停止运动，经过多少时间，MN ＝DA ？（3）直线)0(2>-=k kx y 与y 轴、x 轴分别交于点E ，F ，与DC 交于点G ，若此直线把梯形ABCD 的面积平分，求k 的值；（4）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，是否存在以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标（不写过程）；若不存在，请说明理由． A B CP参考答案一. 选择题1 .C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.D 10.B 二.填空题11.－1 12.. a ≤－1 13.. 415 14 . 6π15 .700或1100 三、解答题16. 解：原式＝ba b a ++2)(·b a ab +·)(22b a +＝)(22b a ab +．………………………………………3分 ∵21+=a ，21-=b ，∴2=+b a ，1-=ab .……………………………4分当2=+b a ，1-=ab 时， 原式＝)(22b a ab +＝[]ab b a ab 2)(2-+＝－1×［22－2（－1）］＝－6．……………………………………6分 ．…………………………………………………………………………=，所以名额给李老师的概率是18.（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC,AB ∥CD,∠BAD=∠BCD ＝900，AB=CD,AD=BC.由折叠的性质可知，CD=DE=AB ，AD=BC=BE ，∠FBD=∠CBD=∠BDF.∴FB=FD ，AF=EF. ．………………………………………………………… 2分∴∠FAE=∠FEA ，∠FBD=∠FDB.∴2∠FAE=2∠FEA=1800—∠EFA ，2∠FBD=2∠FDB=1800—∠BFD. ∵∠EFA =∠BFD, ∴∠FEA=∠FBD ．∴AE ∥BD ． .……………………………………………………………………4分(2)设AF=x ，由勾股定理，得222)8(4x x -=+ . 解之，得 =x 3 .…………………………………… 5分 ∴ AF=EF =3， FD =8—3=5.……………………………………………… 6分 在Rt △BCD 中，BD ＝548422=+.∵AE ∥BD ，∴△AFE ∽△DFB .…………………………………………………………… 7分 ∴BD AE =FDAF. ∴AE=BD·FD AF =54×53=5512.……………………………………………… 8分19.（1）（20000—8000）×50%=6000（元）. …………………………………………… 2分（2）由题意，得⎩⎨⎧=⨯-+⨯-+⨯-=⨯-+⨯-+⨯-,37000%50)800030000(%)3000050000(%)5000070000(,44000%50)800030000(%)3000050000(%)5000080000(n m n m…………………………………………4分解之，得 ⎩⎨⎧==.60,70n m …………………………………………6分（3）y=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<+≤<+).50000(,120003.0)5000030000(,70004.0)300008000(,40005.0x x x x x x …………………………………………9分 （4）分三种情况讨论：①当8000＜x ≤30000时，0.5x +4000＜0.5x ，显然不成立；……………………10分②当30000＜x ≤50000时，0.4x +7000＜0.5x ，解之，得x ＞70000，不合题意，应舍去；…………………………………………11分③当x ＞50000时，0.3x +12000＜0.5x ，解之，得x ＞60000，符合题意；因此，当x ＞60000时，个人自费额低于合规医疗费用的50﹪. ………………12分20.(1)连接BE .∵CB,CE 是 ⊙O 的两条切线，∴CB=CE, ∴∠CBE=∠CEB ．……………………………………………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=900，∴∠BEP=900．………………………………… 2分 ∴∠CEP+∠CEB=900，∠P+∠CBE=900．∴∠CEP=∠P ．∴CP=CE ．………………………………… 3分 ∴ BC=CP ；…………………………………………………………4分（2）∵BC ，AD 是⊙O 的两条切线，∴∠DAB=∠CBA=900 ．∴AD ∥BP ．………………………………… 5分 ∴∠BEA=∠OBC=900． ∵OA ＝OB ，BC ＝CP ，∴OC ∥AP, ∴∠BAE=∠BOC ．∴△BAE ∽△COB ．…………………………………………6分 ∴AE OB =ABOC． 即AB∙OB=AE∙OC, ……………………………………………7分 ∵AB=2OB, AE·OC=40，∴2OB 2=40 ． ∴OB=25． …………………………………………8分 过点D 作DG ⊥BC 于点G,则四边形ABGD 为矩形， ∴GC=BC —AD ．∵AD,DC,BC 是⊙O 的三条切线， ∴DA=DE,BC=CE ．在Rt △GCD 中，CD 2=GC 2+GD 2，即 (BC —AD)2+(45)2=(BC+AD)2， ∴4BC·AD=80 ．∴ AD·BC=20 ．……………………………9分(3) ∵AD ∥BP, ∴△ADE ∽△PCE ． ∵S △ADE ︰S △PCE ＝16︰25，∴AD ︰CP=4︰5 ． 即AD ︰BC=4︰5．…………………………10分 ∴设AD=4x ，BC=5x ． 又∵AD·BC=20， ∴4x ·5x =20．∵x ＞0， ∴x =1．∴AD=4，BC=5．……………………………11分 ∴S 四边形ABCD =21(AD+BC) ·AB=21 (4+5)×45=185．.………………12分21. 解：（1）令y=0，则0322=--a ax ax ，∴0322=--x x ．解这个方程得1x ＝－1，2x ＝3，……………………2分∴ A （－1，0），B （3，0）． 又∵ OD=OB=3， ∴D （0，3），……………………3分 把点D （0，3）的坐标代入解析式中 ，得－3a=3，∴ a=－1． ∴322++-=x x y ；……………………4分（2）由题意知，DM=t ，CM=2-t ， BN=t ，AN=4-t ， 分两种情况讨论：②当以AC为对角线，且点M在x轴上方时，O N2＝2－1＝1，∴N2（1，0）．……………………14分③当以AC为边，且M在x轴下方时，点M的纵坐标为y＝－3．22。