第章近似算法

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第11章 近似算法
11.2.1 顶点覆盖问题 11.2.2 TSP问题
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Dlgorithm
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11.2.1 顶点覆盖问题
问题描述：
无向图G=(V,E)的顶点覆盖问题：指是它的顶点集V 的一个
子集V’V，使得:若(u,v) 是G的一条边，则v∈V’ 或u∈V’。顶
= max
c c*
,
c *
c
在通常情况下， 是问题输入规模n的一个函数ρ(n)，即：
max
c c*
,
c *
c
≤ρ(n)
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与近似比率相关的问题
对最小化问题，有：C≥C* 对最大化问题，有：C≤C* 近似算法 C 的近似比率 ρ(n) 总大于或等于1 近似算法的近似比率越小，则算法的性能越好 近似算法的近似比率越大，则算法的性能越差
FF 算法
算法12.3 装箱问题的首次适宜算法 输入：n 个物体的体积 s[], 箱子的容量 C 输出：装入箱子的个数 k ,每个箱子中装入的物体累计体积 b[]
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例如，有10个物品，其体积分别为S＝(4, 2, 7, 3, 5, 4,
/* 箱子初始化为空 */
6. b[i] = 0;
7. for (i=0;i<n;i++) {
/* 按物体顺序装入 */
8. j = 0;
9. while ((C-b[j])<s[i])) /* 检索能容纳物体i的下标最小的箱子j */
10.
j++;
11. b[j] += s[i];
12. k = max(k,j);
图(a)～(e)说明 了算法的运行过程 及结果。(e)表示 算法产生的近似最 优顶点覆盖cset， 它由顶点 b,c,d,e,f,g所组 成。(f)是图G的一 个最小顶点覆盖， 它只含有3个顶点： b,d和e。
算法approxVertexCover的性能比为2。
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/* 已装入物体的箱子最大下标 */
13. }
14. k++;
ε(n)≤ρ(n)-1
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第11章 近似算法
11.1 概 述
11.2 图问题中的近似法 11.3 组合问题中的近似法 *11.4 实验项目——TSP问题的近似法
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return c
cset用来存储顶点 覆盖中的各顶点。初
始为空，不断从边集 e1中选取一边(u,v)， 将边的端点加入cset 中，并将e1中已被u 和v覆盖的边删去， 直至cset已覆盖所有 边。即e1为空。
}
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11.2.1 顶点覆盖问题
2, 3, 6, 2)，若干个容量为10的箱子，采用首次适宜法得 到的装箱结果如图11.3所示。
0.3(s4) 0.2(s2) 0.4(s1)
0.2(s7) 0.7(s3)
0.4(s6) 0.5(s5)
0.6(s9) 0.3(s8)
(a) 箱子1
(b) 箱子2 (c) 箱子3 (d) 箱子4 (e) 箱子5 图11.3 首次适宜法求解装箱问题示例（阴影表示闲置部分）
成树T，如图(b)所示，图中粗线表示最小生成树中的边， 然后对T进行深度优先遍历，经过的路线为 a→b→c→b→h→b→a→d→e→f→e→g→e→d→a ， 得 到 遍 历序列L=(a, b, c, h, d, e, f, g)，由序列L得到哈密顿
回 路 ， 即 近 似 最 优 解 ， 如 图 (d) 所 示 ， 其 路 径 长 度 约 为 19.074 ， 图 (e) 所 示 是 (a) 的 最 优 解 ， 其 路 径 长 度 约 为 16.084。
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11.3.1 装箱问题
装箱问题描述
给定n个物体u1,u2,…,un ，体积分别为s1,s2,…,sn ，容量为
C的箱子b1,b2,…,bk ,…，满足 si≤ C, i=1,2,…,n。要求物体
不能分割，把所有物体装进箱子，使所装入的箱子尽可 能少。
装箱问题的四种算法
First Fit（首次适宜FF）算法 把箱子按下标标记，所有的箱子初始化为空；按物体 顺序装入箱子。装入过程如下： 把第一个物体u1装入第一个箱子
对于给定的无向图G，可以利用找图G的最小生成树的算 法设计找近似最优的旅行售货员回路的算法。
void approxTSP (Graph g) {
(1)选择 G的任一顶点 r； (2)用 Prim 算法找出带权图 G 的一棵以r 为根的最小生成树 T； (3)对生成树T从顶点r出发进行深度优先遍历，得遍历序列 L； (4)将r 加到表 L 的末尾，按表 L 中顶点次序组成回路H，作为
近似算法性能的两个重要指标
对于规模为n 的问题 算法能在多项式时间内完成 算法的近似解满足一定的精度，即近似最优解的近似程度
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11.1 概 述
近似算法的性能
近似比
若一个问题的最优值为c*，该问题的一个近似最优解的 目标函数值为c，则近似算法的性能比可定义为：
点覆盖V’ 的大小是它所包含的顶点个数 |V’|。
VertexSet approxVertexCover ( Graph g )
{ cset=； e1=g.e； while (e1 != ) {
从e1中任取一条边(u,v)；
cset=cset∪{u,v}；
从e1 中删去与u 和v 相关联的所有边；
}
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11.2.1 顶点覆盖问题
时间复杂性：
cset可用数组来存储各顶点，则初始化cset需要执行n次， 设图G含有n个顶点e条边，则算法的时间复杂性为 O(n+e)
近似比
若用A表示算法在“从e1中任取一条边(u,v)”步骤中选取 的边的集合，则A中任何两条边没公共顶点。算法结束时， cset中的顶点数|V’|=2|A|。
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11.2.2 一般的旅行售货员问题
在费用函数不一定满足三角不等式的一般情况下， 不存在具有常数性能比的解TSP问题的多项式时间 近似算法，除非P=NP。换句话说，若P≠NP，则对 任意常数ρ>1，不存在性能比为ρ的解旅行售货员问 题的多项式时间近似算法。
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第11章 近似算法
11.1 概 述
11.2 图问题中的近似法 11.3 组合问题中的近似法 *11.4 实验项目——TSP问题的近似法
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首次适宜法求解装箱问题的算法如下：
0.2(s10)
11.3.1 装箱问题
算法11.3——FF 算法
1. void first_fit(float s[],int n,float C,float b[],int &k)
2. {
3. int i,j;
4. k = 0;
/* 装入物体的箱子下标 */
5. for (i=0;i<n;i++)
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11.2.2 旅行售货员问题
问题描述：
给定一个完全无向图G=(V,E)，其每一边(u,v)∈E有一非负
整数费用 c(u,v)。要找出G 的最小费用哈密顿回路。
TSP 问题的一些特殊性质：
比如，费用函数c 往往具有三角不等式性质，即对任意
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11.1 概 述
近似算法的相对误差与相对误差界ε(n) = c c *
c*
若对问题的输入规模n，有一函数ε(n)使得:
c c*
c * ≤ε(n) 则称ε(n)为该近似算法的相对误差界。 近似比ρ(n)与相对误差ε(n)间关系 ρ(n)与ε(n)之间显然有如下关系：
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11.1 概 述
近似算法的依据
输入数据本身就是近似的，如测量数据 很多问题的最优解，允许有一定程度的近似 采用近似算法可以在很短的时间内得到问题的解（特别是
与指数时间相比较）
其思想是用近似最优解代替最优解，是在计算量和精确解 间的一个折中
11.2.2 具有三角不等式性质的 旅行售货员问题举例
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(b)表示找到的最小生成 树T；(c)表示对T作深度 优先遍历的次序；(d)表 示L产生的哈密顿回路H； (e)是G的一个最小费用 旅行售货员回路。
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11.2.2 具有三角不等式性质的 旅行售货员问题
的3个顶点u,v,w∈V，有：c(u,w)≤c(u,v)+c(v,w)。当图G中的