高一数学必修4_两角和与差的正弦、余弦、正切公式_ppt1
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 人若有志，万事可为。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
类型二 给值求值问题
【典例】1.(益阳高一检测)已知 cos( ) 4
65
(α为锐角),则sinα= ( )
A. 3 3 4 10
B. 3 4 3 10
C. 3 4 3 10
D. 3 3 4 10
2.(永州高一检测)已知P,Q是圆心在坐标原点O
的单位圆上的两点,且分别位于第一象限和第四象限,
3
5
所以 3 sin 3 cos 4 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 4 ,
2
2
5
所以 cos( ) 4 ,
35
所以 cos( 2 ) cos[ ( )] cos( )
3
3
3
4.
5
2.f(x)= 12 22 sin(x+φ) = 5 sin(x+φ)≤ 5 . 答案: 5
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和的余弦、正弦,两角差的正弦公式
两角和 的余弦
两角和 的正弦
两角差 的正弦
展开式
记法
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ C(α+β)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ S(α+β)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ S(α-β)
提醒:诱导公式在给值求值中的应用
当所求角=已知角1+已知角2+π或所求角=已知角1+已
知角2+ 时,应借助诱导公式求值.
2
类型三 辅助角公式的应用
【典例】1.(洛阳高一检测)已知 sin( ) sin
3
4 3 , ＜＜0, 则 cos( 2 ) 等于 (
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学必修4三角函数优质课件：两角和与差的正弦、余弦公式
s_i_n_α_c_o_s_β_－__co_s_α_s_in__β_____ S(α－β) __
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项 求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变 用公式．
(2)原式 ＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项 求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变 用公式．
(2)原式 ＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
高中数学必修四《两角和与差的正弦、余弦》PPT
解：(2sin 3sin )2 (2 cos 3cos )2 25
13 12(cos cos sin sin ) 25
cos( ) 1
证明：
左边 sin(A B) A 2cos(A B)sinA
sinA
sin(A B)cosA cos(A B)sinA 2cos(A B)sinA
(2)对公式C 与S 要能正确、 熟练、 灵活地
进行三角变换, 力求在运用公式时做到"三会",
即会正用、 会逆用、 会变用
作业：
X
课本：P33 练习 4 、 6 、 7
<课课练>第十一课
把下列各式化为一个角的三角函数形式
（1） 3 sin 1 cos
2
2
（2）sin cos
解：原式
2cos（30o 20o ) cos20o
sin20o
2(cos30o cos20o
sin30o sin20o ) sin20o cos20o
2( 3 cos20o 1 sin20o ) sin20o
2
2 cos20o
3
分析：tan sincos , 能否由已知条件分别求出
tan cossin sincos及cossin的值呢？
解：将已知条件中的两个式子展开得
sincos cossin 2
3
sincos 7
30
sincos cossin 1
5
cossin 13
30
tan sincos 7 30 7 tan cossin 30 13 13
小结
(1)公式C 、S 的作用: 均用单角 , 的正弦、 余弦来分别表达复角 , 的正余弦.可于 三角函数式的化简、 计算和证明
13 12(cos cos sin sin ) 25
cos( ) 1
证明：
左边 sin(A B) A 2cos(A B)sinA
sinA
sin(A B)cosA cos(A B)sinA 2cos(A B)sinA
(2)对公式C 与S 要能正确、 熟练、 灵活地
进行三角变换, 力求在运用公式时做到"三会",
即会正用、 会逆用、 会变用
作业：
X
课本：P33 练习 4 、 6 、 7
<课课练>第十一课
把下列各式化为一个角的三角函数形式
（1） 3 sin 1 cos
2
2
（2）sin cos
解：原式
2cos（30o 20o ) cos20o
sin20o
2(cos30o cos20o
sin30o sin20o ) sin20o cos20o
2( 3 cos20o 1 sin20o ) sin20o
2
2 cos20o
3
分析：tan sincos , 能否由已知条件分别求出
tan cossin sincos及cossin的值呢？
解：将已知条件中的两个式子展开得
sincos cossin 2
3
sincos 7
30
sincos cossin 1
5
cossin 13
30
tan sincos 7 30 7 tan cossin 30 13 13
小结
(1)公式C 、S 的作用: 均用单角 , 的正弦、 余弦来分别表达复角 , 的正余弦.可于 三角函数式的化简、 计算和证明
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
高中数学必修四课件3-1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件
提示 由两角和的正弦公式知结论正确.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计 算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以 及角的变换的常用方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 两角和的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_in__β_ _C__(α_＋_β_)
α，β都是_任__意__角__
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
.
解析 因为 cos α＝－153，sin α＝1123，
所以 cosα＋π6＝cos αcos
π6－s12＝－5
3＋12 26 .
题型二 给值求值
例 2 已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β).
两角和与差的正弦公式应用
典例 ＝
定义运算ca π
3.
db＝ad－bc.若
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计 算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以 及角的变换的常用方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 两角和的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_in__β_ _C__(α_＋_β_)
α，β都是_任__意__角__
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
.
解析 因为 cos α＝－153，sin α＝1123，
所以 cosα＋π6＝cos αcos
π6－s12＝－5
3＋12 26 .
题型二 给值求值
例 2 已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β).
两角和与差的正弦公式应用
典例 ＝
定义运算ca π
3.
db＝ad－bc.若
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
• 二、两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
两角和 的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数 更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更 好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差 的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算．
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)优秀课件ppt
探 究
你能根据 C( ) , C( )及诱导公式,推 导出用任意角 , 的正弦、余弦值 ),sin( ) 的公式吗? 表示 sin(
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ cos[( -α )+β ] cos( )cos sin( )sin 2 2 2 称为差角的正弦公式。 简记为Sα -β sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ 换元
由以上解答可以看到，在本题的条件下 有 sin ( ) cos( ) 。那么对于任意角，此 4 4 等式成立吗？若成立，你会用几种方法证明？
练习： 3 1,已知cos= 5 , ∈( 2,), 4 3 3 10 求 sin(+ 3 )的值。 12 2,已知sin＝ 13 ,是第三象限角， 12 5 3 求cos( 6 +)的值。
2sin x
③ 2 cos x
6 3 6 sin x 2 2 sin x 2 2 cos x 6 3
2 cos x
化简:
①
②
2 2 2(sin x cos x) 2( 2 sin x 2 cos x) 2sin( x ) 2cos x 4 4
⑵
α sin α cosα tan α
6 2 6 2 6 2 4 4 4 00 300 450 600 900 1800 2700
cos75 ⑶ sin75° ⑷ tan15
2 3
150 750
例题讲解
3 例1 已 知si n , 是 第 四 象 限 角 , 5 求 si n ( ), cos( ), tan ( )的 值. 4 4 4
高中数学必修四 3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 苏教版30精品公开PPT课件
tan sin cos
练习：
小结
c o s ( ) c o sc o s s i n s i n c o s ( ) c o sc o s s i n s i n s i n ( ) s i n c o s c o ss i n
s i n ( ) s i n c o s c o ss i n
r2 rb2 b
r b
rr rr r r r r r r r r (a b )2(a b )2 |ab|2 |ab|2 |ab||ab|
(2) " "
r r r r rr rr |ab||ab| |ab|2 |ab|2
r 2r 2 r rr 2r 2 r r r r
rr
a b 2 a b a b 2 a b ab0ab
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
作业讲评 P134 B2
rrrrrr 2 . 求 证 ： a b |a b | |a b |
证 明 ： (1)" "
r
r r rr
a
rr ab r r
ab
((a r a r b r b r)a )2 2 b a r a r2 2 b r a b r2 2b 2 2 a r a r 0 b r b rarar22
换 元
换为
2
S : s i n ( ) sin c o s c o ssin
cos( )sin
2
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : c o s ( ) c o sc o s s i n s i n
换 元
换为
2
S : s i n ( ) sin c o s c o ssin
几 何 意 义 ： 矩 形 的 对 角 线 相 等
练习：
小结
c o s ( ) c o sc o s s i n s i n c o s ( ) c o sc o s s i n s i n s i n ( ) s i n c o s c o ss i n
s i n ( ) s i n c o s c o ss i n
r2 rb2 b
r b
rr rr r r r r r r r r (a b )2(a b )2 |ab|2 |ab|2 |ab||ab|
(2) " "
r r r r rr rr |ab||ab| |ab|2 |ab|2
r 2r 2 r rr 2r 2 r r r r
rr
a b 2 a b a b 2 a b ab0ab
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
作业讲评 P134 B2
rrrrrr 2 . 求 证 ： a b |a b | |a b |
证 明 ： (1)" "
r
r r rr
a
rr ab r r
ab
((a r a r b r b r)a )2 2 b a r a r2 2 b r a b r2 2b 2 2 a r a r 0 b r b rarar22
换 元
换为
2
S : s i n ( ) sin c o s c o ssin
cos( )sin
2
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : c o s ( ) c o sc o s s i n s i n
换 元
换为
2
S : s i n ( ) sin c o s c o ssin
几 何 意 义 ： 矩 形 的 对 角 线 相 等
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cos(α ＋β )＝cosα cosβ －sinα sinβ .
sin(α -β )＝sinα cosβ －cosα sinβ . sin(α ＋β )＝sinα cosβ +cosα sinβ .
这四个公式的关系
C (α －β ) C (α ＋β )
S (α －β )
S (α ＋β )
探究二：理论迁移
例1、已知sinα
3 = 5
,α 是第四象限角，求
sin( 4 -α ),cos( 3 +α )的值。
例2、化简下列各式：
（1） （2） （3）
sin 72 o cos 42 o cos72 o sin 42 o
cos 20 o cos 70 o sin 20 o sin 70 o
sin 70 o cos 70 o sin 20 o cos 20 o
o o o o cos( x 27 ) cos( x 18 ) sin( x 27 ) sin( x 18 ) （4）
1 3 sin cos （5） 2 2
（6）
2 2 sin cos 2 2
思考题
2 5 10 • 1、 , 为锐角， sin , cos , 求 。 5 10
பைடு நூலகம் 小结:
1、四个公式 cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin 2、能够正用和反用公式解决化简、求值问题，并注意角的范围。 3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形. 4、学会应用数学思想解决问题。
两角和与差的三角函数
• 高一数学组 • 陈曦
问题提出
1、两角差的余弦公式是什么？
cos( ) coscos sin sin
2、如何解决类似
cos 75o , sin15o , sin 75o
问题？
3、我们还需要什么公式以简化计算？
探究（一）：两角和与差的正弦余弦公式
结论：结合两角差的余弦公式及诱导公 式得到