高考数学复习 拓展精练3【含答案】
高考数学复习 拓展精练32【含答案】
拓展精练 （32）1．“a =3”是“直线ax －2y －1=0”与“直线6x －4y +c =0平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则目标函数y x z +=（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值3．双曲线221916x y -=的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是 . 4. 已知椭圆5522=+ky x 的一个焦点为)2,0(,则实数k 的值为_______.5．已知命题6:2≥-x x p ，Z x q ∈:，则使得“p 且q ”与“非q ”同时为假命题的所有x 组成的集合M ＝6.将一个球置于圆柱内，球与圆柱的上、下底面和侧面都相切，若球体积为1V ，圆柱体积为2V ，则1V ︰2V = 。
7.（本小题满分10分）已知命题1:03x P x +≥-，命题:|1|12x Q -<，若P 是真命题，Q 是假命题，求实数x 的取值范围。
8． （本题满分12分）已知椭圆x y 2291+=，过左焦点F 1倾斜角为π6的直线交椭圆于A B 、两点。
求：弦AB 的长。
9．（本题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．10．（本题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，AB=5，点D 是AB 的中点。
（1）求证：1BC AC ⊥；（2）求证：1AC //平面1CDB ．参考答案BB3． x y 202= 4． 1 5． {−1, 0, 1, 2} 6． 32 7由P 得31x >≤或－，由Q 得0<x<4，P 真Q 假则有31x >≤或－和04x x ≤≥或同时成立，所以41x x x ≥≤-的取值范围是或8. a b c ===3122,,∴=++-=++=+=-=∴=+-=+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥==+=-直线的方程为代入得则··A B y x xy x x x x x x A B k x x x x x M 332299041221503215411133241542233222212122212212().,||()()()() 9.解：（1）直线AB 的方程是,05x 4px 2y ),2(22222=+-=-=p px p x y 联立，从而有与 所以：4521p x x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82=第一节 由p=4，05422=+-p px x ，化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A(1,22-),B(4,24)设)24,4()22,1(),(3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+，又3238x y =，即()[]=-21222λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或10.解：（1）111C B A ABC - 为直三棱柱，⊥∴C C 1平面ABC ，⊂AC 平面ABC AC C C ⊥∴15,4,3===AB BC AC ，222BC AC AB +=∴，CB AC ⊥∴ 又C CB C C =⋂1，⊥∴AC 平面B CB C 11，⊂1BC 平面B CB C 11，1BC AC ⊥∴（2）设E BC CB =⋂11，11CBB C 为平行四边形，E ∴为B C 1的中点阶段又D 为AB 中点，1AC ∴∥DE⊂DE 平面1CDB ，⊄1AC 平面1CDB ，1AC ∴∥平面1CDB。
高考数学复习 拓展精练30【含答案】
拓展精练 （30）1、①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC ∆中，“60B =︒”是“,,A B C 三个角成等差数列”的充要条件；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件. 以上说法中，判断错误．．的有___________. 2、三角形两条边长分别为3c m ，5c m ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x -6=0的根，则此三角形的面积是__________3、等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-=4、直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是5、(12分)给定两个命题，p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围． 6、(12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC ⋅=． (1)求ABC ∆的面积； (2)若6b c +=，求a 的值．7、(14分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.(1)引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？(参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，)8、(14分)已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆的方程． 9、(14分)等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 且数列{}n a 各项均为正数. (1)求{}n a 的通项； (2)求{}n nS 的前n 项和n T .10、(14分)已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0(OA OB O +=为坐标原点)，0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于.22(1)求直线AB 的方程； (2)若2ABF ∆的面积等于24，求椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，椭圆上是否存在点M 使得MAB ∆的面积等于38？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案1. _③④______2.____ 6cm 2_____ 3.____10_____ 4. (—32, 31) 5．（12分）解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔000a a 或40<≤⇔a ； 关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ； 因为p q ∨为真，则,p q 至少一个为真，又p q ∧为假，则,p q 至少一个为假．所以,p q 一真一假，即“p 真q 假”或“p 假q 真”．p 真q 假，有44141,40<<∴><≤a a a 且； p 假q 真，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或．所以实数a 的取值范围为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-4,410, ． 6、（12分）解析：（I ）因为25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴== （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=7、（本题14分）解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，设纯收入与年数n 的关系为f(n),则f(n)=21n-[2n+(1)22n n -⨯]-25=20n-n 2-25 由f(n)>0得n 2-20n+25<0 解得1053n 1053-<<+又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 （2）年平均收入为n )n (f =20-25(n )202510n+≤-⨯= 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。
高三数学综合练习三带答案.docx
综合练习三一．选择题（共12 小题）1．设 A={x ∈Z||x|≤2} ， B={y|y=x 2+1， x∈A} ，则 B 的元素个数是（）A ． 5B ．4C．3D ．22．已知复数z 的模为 2，则 |z﹣ i|的最大值为（）A ． 1B ．2C． D ．33．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃ ）之间的关系，随机统计了四个工作用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃ ）181310﹣ 1用电量（度）24343864由表中数据得到线性回归方程=﹣ 2x+a，当气温为﹣ 4℃时，预测用电量为（）A ． 68 度B ．52 度 C．12 度 D ．28 度4．有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（）A ． 72B ．54C．48 D ．85．已知向量为非零向量，，则夹角为（）A ．B ．C． D ．6．已知函数 f （ x）=|lgx| ， a＞ b＞ 0， f （a） =f （ b），则的最小值等于（）A ． 2B ．C．2+D． 27．执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（）A ． 3B ．4C．5 D ．68．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A ． 8B ．C．12 D ．162345）9．设 f（x） =2+5x+10x +10x +5x+x ，则其反函数的解析式为（A ．B ．C． D ．10．已知函数f（ x）=，若g（x）=f（x）﹣a（x+2）的图象与x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（）A ．（ 0，） B ．（0， ） C ． [ ， ） D ． [ ， ）11．在等差数列 {a n } 中， a 2=5，a 6=21，记数列 {} 的前 n 项和为 S n ，若 S 2n+1﹣ S n ≤，? n ∈N *恒成立，则正整数 m 的最小值为（）A ． 3B ．4C ．5D ．612．椭圆 的左右焦点分别为 F 1，F 2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ，使得 △F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共 4 小题）13．抛物线 y 2=12x 的焦点为 F ，点 P 为抛物线上的动点， 点 M 为其准线上的动点，当△ FPM 为等边三角形时， 则 △ FPM的外接圆的方程为．6 0 1 （ 2x ﹣ 1） 2 2 62x ﹣ 1） 6，则=．14．设（ 3x ﹣ 2） =a +a +a （ 2x ﹣ 1） + +a （15．若直线 y=x+b 与曲线有公共点，则 b 的取值范围为．16．已知 tan （ α﹣ β） = ， tan β=﹣ ，且 α， β∈（﹣ π， 0），则 tan （ 2α﹣ β） =， 2α﹣β= ．三．解答题（共 7 小题）17．在数列 {a n } 中， a 1=2， a n+1=4a n ﹣3n+1 ， n ∈N*（ 1）证明数列 {a n ﹣ n} 为等比数列（ 2）求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ．18． △ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 ∠ BAC ， △ ABD 面积是 △ADC 面积的 2 倍．（ 1）求 ；（ 2）若 AD=1 ，DC=，求 BD 和 AC 的长．19．（ 2015?重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取（Ⅰ）求三种粽子各取到 1 个的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求3 个．X 的分布列与数学期望．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD分别是棱 CD 和 PC 的中点．中， AB ⊥ PA， AB ∥ CD，且PB=BC=BD=， CD=2AB=2，∠ PAD=120 °， E 和F （ 1）求证：平面BEF ⊥平面PCD ；（ 2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．21．已知椭圆 C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，长轴长为等于圆22的直径，过点P（ 0，1）R： x+（ y﹣ 2） =4的直线与椭圆 C 交于两点A， B，与圆 R 交于两点M ， N（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ， RB 的斜率之和等于零；（Ⅲ）求 |AB| ?|MN| 的取值范围．22．设函数f（ x）=e mx+x2﹣ mx．（1）证明： f（ x）在（﹣∞， 0）单调递减，在（ 0，+∞）单调递增；（2）若对于任意 x1， x2∈[﹣ 1， 1] ，都有 |f（ x1）﹣ f（ x2） |≤e﹣ 1，求 m 的取值范围．23．在直角坐标系的极坐标系中，曲线xOy 中，曲线C1：C2：ρ=2sin θ，C3：ρ=2（t 为参数，cosθ．t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2相交于点 A ， C1与 C3相交于点 B，求 |AB| 的最大值．2016 年 05 月 27 日综合练习三参考答案与试题解析一．选择题（共12 小题）1．（ 2016?南昌校级二模）设A={x ∈Z||x|≤2} ，B={y|y=x 2+1 ， x∈A} ，则 B 的元素个数是（）A ． 5B ．4C．3 D ．2【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】将 B 用列举法表示后，作出判断．【解答】解： A={x ∈Z||x|≤2}={ ﹣ 2，﹣ 1， 0， 1， 2} ，2B 的元素个数是3故选 C．【点评】本题考查集合的含义、表示方法．属于简单题．2．（ 2016 春 ?南阳期中）已知复数 z 的模为 2，则 |z﹣ i|的最大值为（）A ． 1B ．2C．D ．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，知 |z|=2 对应的轨迹是圆心在原点半径为 2 的圆， |z﹣ i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣ 2）到点（ 0， 1）的距离．【解答】解：∵ |z|=2，则复数z 对应的轨迹是以圆心在原点，半径为 2 的圆，而 |z﹣ i|表示的是圆上一点到点（0， 1）的距离，∴其最大值为圆上点（ 0，﹣ 2）到点（ 0，1）的距离， z=a+bi z-i=a+(b-1)i |z﹣ i|=最大的距离为3． (圆心到点距离 +半径 )故选 D ．【点评】本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．3．（ 2015?湖北模拟）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃ ）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃）181310﹣1用电量（度）24343864由表中数据得到线性回归方程=﹣ 2x+a，当气温为﹣ 4℃时，预测用电量均为（）A ． 68 度B ．52 度 C．12 度 D ．28 度【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出 a 的值，可得线性回归方程，根据所给的x 的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得==10 ，=40．∴（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a 中的 b=﹣ 2，∴40=10×（﹣ 2）+a，解得： a=60，∴=﹣ 2x+60 ，当x= ﹣4 时， =﹣ 2×（﹣ 4） +60=68 ．故选： A ．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．4．（ 2016?丰台区一模）有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（）A ． 72B ．54C．48 D ．8【考点】排列、组合的实际应用．【专题】整体思想；分析法；排列组合．【分析】根据分步原理求解即可．【解答】解：用分步原理：第一步：把每一对师徒看成一整体，共有3×2=6 种方法；第二步：每对师徒都有两种站法共有2×2×2=8 种；（（ A22 ） ^3*A33 ）∴总的方法为6×8=48 种．故选： C．【点评】考查了分步原理和排列组合的应用．5．（ 2016?嘉峪关校级模拟）已知向量为非零向量，，则夹角为（）A ． B ．C． D ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】由条件即可得到，这样即可得到，且，从而可以求出，这样便可得出，的夹角．【解答】解：；∴，；∴；∴；∴；∴=；()∴夹角为．故选： B ．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，以及向量夹角余弦的计算公式．6．（ 2016?平度市三模）已知函数 f （x） =|lgx|， a＞ b＞0， f（ a） =f （ b），则的最小值等于（）A ． 2B ．C．2+D． 2【考点】 对数函数图象与性质的综合应用．【专题】 不等式的解法及应用．【分析】 根据对数的运算性质，可得ab=1（ a ＞b ＞ 0），进而可将 =（ a ﹣ b ）+ ，进而根据基本不等式，可得答案．【解答】 解： ∵ f （x ） =|lgx|， a ＞ b ＞0， f （ a ） =f （ b ），则 lga=﹣ lgb ，则 a= ，即 ab=1（ a ＞ b ＞ 0）==（ a ﹣ b ）+≥2故的最小值等于2故选 A【点评】 本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到ab=1 是解答的关键．7．（ 2016?佛山一模）执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（）A ． 3B ．4C ．5D ．6【考点】 程序框图．【专题】 操作型；算法和程序框图．【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量 a 值，并输出满足条件的累乘积关于 2 的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】 解：执行循环体前， S=1， a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20， a=1， 当 S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后， S=1×21=2 1，a=211 2 3当 S=2 ， a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2 ×2 =2， a=3当 S=23， a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26， a=4当 S=26， a=4，满足退出循环的条件，则 z==6故输出结果为 6 故选： D【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： ① 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）? ② 建立数学模型， 根据第一步分析的结果， 选择恰当的数学模型③ 解模．8．（ 2016?商丘三模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（ ）A ． 8B ．C ．12D ．16【考点】 由三视图求面积、体积．【专题】 计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】 根据三视图得出该几何体是在棱长为 4 的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．【解答】 解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥 A ﹣ BCD ，且该三棱锥是放在棱长为4 的正方体中，所以，在三棱锥 A ﹣BCD 中， BD=4 ， AC=AB= =， AD==6，S △ABC = ×4×4=8 ． S △ ADC = =4， S △DBC =×4×4=8 ，在三角形ABC 中，作CE ⊥E ，连结 DE ，则CE==， (面积 BC*4= 面积 AB*CE)DE= = ，S △ABD = =12 ．故选： C ．【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题．9．（ 2016?闵行区一模）设 f （ x ） =2+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5，则其反函数的解析式为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 反函数．【专题】 定义法；函数的性质及应用；二项式定理．【分析】 根据二项式定理： （ 1+x ）5=1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5，原函数可写成 y=1+ （ 1+x ） 5，再求其反函数即可．【解答】 解：因为 y=f （ x ）=2+5x+10x 2 3 4 5+10x +5x +x=1+[1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5]=1+ （ 1+x ）5，即 y=1+ （ 1+x ）5，所以， 1+x=，因此， x= ﹣ 1+，再交换 x， y 得， y= ﹣ 1+，所以， f（ x）的反函数的解析式为﹣1，x∈R，f （ x）=﹣ 1+故答案为： C．【点评】本题主要考查了反函数及其解法，涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定，属于中档题．10．（ 2016?福建校级模拟）已知函数f（ x）=，若g（x）=f（x）﹣a（x+2）的图象与x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（）A ．（ 0，）B ．（0，）C．[，）D． [，）【考点】函数的图象．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】 g（ x）的图象与 x 轴有 3 个不同的交点可化为 y=f （ x）与 y=a（ x+2）有 3 个不同交点，从而作图求解．【解答】解：∵ g（ x）的图象与 x 轴有 3 个不同的交点，∴y=f （x）与 y=a（x+2 ）有 3 个不同交点，作 y=f （x）与 y=a（x+2 ）的图象如下，易知直线 y=a（ x+2）过定点 A （﹣ 2， 0），斜率为a．当直线 y=a（ x+2）与 y=ln （ x+2）相切时是一个临界状态，设切点为（ x0， y0），则，解得， x0=e﹣ 2，a=，又函数过点B（ 2， ln4 ），k AB==，故≤a＜．故选C．【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，注意临界状态的确定．11．（ 2016?岳阳校级一模）在等差数列{a n} 中， a2=5， a6=21，记数列 {} 的前 n 项和为 S n，若 S2n+1﹣ S n≤，? n∈N*恒成立，则正整数m 的最小值为（）A ． 3B ．4C．5 D ．6【考点】等差数列的前n 项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的通项公式求出数列{ } 的通项公式，证明数列{S 2n+1﹣ S n} （ n∈N *）是递减数列，可其最大值，进而可得 m 的取值范围，结合m 为正整数可得．【解答】解：∵在等差数列 {a n} 中 a2=5， a6=21 ，∴公差 d==4∴ a n=5+4（ n﹣ 2）=4n﹣ 3，∴=，∵（ S2n+1﹣ S n）﹣（ S2n+3﹣ S n+1）=（ ）﹣（ ）= ==（） +（）＞ 0，∴ 数列 {S 2n+1﹣ S n } （n ∈N *）是递减数列，∴ 数列 *）的最大项为 S={S 2n+1﹣ S n } （n ∈N3﹣S 1= ∴ 只需≤ ，变形可得 m ≥，又 ∵ m 是正整数， ∴m 的最小值为 5．故选： C ．【点评】 本题考查数列与不等式的结合，证数列{S 2n+1 n*）是递减数列并求数列 {S 2n+1 n*）的最大﹣ S }（ n ∈N ﹣ S } （ n ∈N值是解决问题的关键，属中档题．12．（ 2016?潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为 F 1， F 2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点P ，使得 △ F 1 F 2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 椭圆的简单性质．【专题】 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分等腰三角形 △ F 1F 2P 以 F 1F 2 为底和以 F 1F 2 为一腰两种情况进行讨论， 结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、 c 的不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围．【解答】 解： ① 当点 P 与短轴的顶点重合时，△ F 1 F 2P 构成以 F 1F 2 为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰 △ F 1F 2P ；② 当 △ F 1F 2P 构成以 F 1F 2 为一腰的等腰三角形时， 以 F 2P 作为等腰三角形的底边为例， ∵ F 1 F 2=F 1P ，∴ 点 P 在以 F 1 为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F 1 为圆心，半径为2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰 △ F 1F 2 P ，在 △ F 1F 2P 1 中， F 1F 2+PF 1＞ PF 2 ，即 2c+2c ＞ 2a ﹣ 2c ，由此得知 3c ＞ a ．所以离心率 e ＞ ．当 e= 时（ a=2c, PF1=2c,PF2=2a-PF1=2c ），△ F 1F 2P 是等边三角形，与 ① 中的三角形重复 (PF1=PF2)，故 e ≠ 同理，当 F 1P 为等腰三角形的底边时，在e 且 e ≠ 时也存在1 22 个满足条件的等腰 △ F F P这样，总共有 6 个不同的点 P 使得 △ F 1F 2P 为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（ ， ） ∪ （ ， 1）【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中， 共有 6 个不同点 P 使得 △ F 1F 2P 为等腰三角形， 求椭圆离心率 e 的取值范围． 着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．二．填空题（共 4 小题）13．（ 2016?杭州模拟）抛物线y2=12x 的焦点为F，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△ FPM为等边三角形时，则△ FPM的外接圆的方程为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义得出 PM 垂直于抛物线的准线，设 M （﹣ 3，m），则 P（ 9，m），求出△ PMF 的边长，写出有关点的坐标，得到外心 Q 的坐标，△FPM 的外接圆的半径，从而求出其方程．【解答】解：据题意知，△ PMF为等边三角形，PF=PM ，∴ PM⊥抛物线的准线，F（ 3， 0）设 M （﹣ 3， m），则 P（ 9， m），所以 m=正负 6，（A为MP 在直角三角形APF 中， PF=12，解得外心Q 的坐标为（ 3，±4中点）等边三角形边长为12，如图．）．则△ FPM 的外接圆的半径为4，∴则△ FPM的外接圆的方程为．故答案为：．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力14．（ 2015?合肥三模）设（60 12266，则= ﹣．3x﹣ 2）=a +a （ 2x﹣ 1）+a （ 2x﹣ 1） + +a （ 2x﹣ 1）【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在所给的等式中，分别令 x=1 、 x= ﹣1，可得 2 个式子，相加、相减，即可得到要求式子的值．【解答】解：由题意，令 x=1 ，可得 a0+a1+a2+ +a6=1，令 x=0，可得 a0﹣ a1+a2+ +a6=64，两式相减可得，a1+a3+a5=﹣，两式相加可得a0+a2+a4+a6=，∴=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．15．（ 2016 春 ?浦东新区期中）若直线y=x+b 与曲线有公共点，则 b 的取值范围为[ ﹣1，]．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】 确定曲线所对应的图象，求出两个极端位置，即可求得结论．【解答】 解：依题意可知曲线可整理成 y 2+x 2=1（ y ≥0），图象如图所示直线与半圆相切时，原点到直线的距离为 1，即 =1， ∴ b=直线过半圆的右顶点时，1+b=0 ，∴ b= ﹣ 1∴ 直线y=x+b与曲线有公共点时，b 的取值范围为[﹣ 1，]故答案为： [ ﹣ 1，]【点评】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．16．已知 tan （ α﹣ β） = ， tan β=﹣ ，且 α， β∈（﹣ π， 0），则 tan （ 2α﹣ β） = 1， 2α﹣ β=﹣ ．【考点】 两角和与差的正切函数．【专题】 计算题；压轴题．【分析】 先根据 tan α=tan （ α﹣ β+β）利用正切的两角和公式求得 tan α的值，然后利用 tan （ 2α﹣ β） =tan （ α﹣ β+α），根据正切的两角和公式求得 tan （ 2α﹣ β）的值，进而根据 α， β的范围求得 2α﹣β的值．【解答】 解： tan α=tan （ α﹣β+β） = = ∴ tan （ 2α﹣β）=tan （ α﹣ β+α） ==1∵ tan β=﹣ ＜ 0，即﹣ 1＜ tan β＜0， ∴ β∈（﹣ ， 0）， ∵ tan α= ＞ 0，即 0＜ tan α＜ 1， ∴α∈（﹣ π，﹣ ），∴ 2α﹣β∈（﹣ 2π，﹣）∴ 2α﹣β=﹣故答案为： 1；﹣【点评】 本题主要考查了两角和与差的正切函数．考查了基础知识的熟练记忆和应用．三．解答题（共 7 小题）17．（ 2016?金凤区校级二模）在数列 {a n } 中， a 1=2， a n+1=4a n ﹣ 3n+1， n ∈N *（ 1）证明数列 {a n ﹣ n} 为等比数列（ 2）求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ．【考点】 等比数列的前 n 项和；等差数列的前 n 项和；等比关系的确定．【专题】 计算题．【分析】（ 1）由 a n+1=4a n ﹣ 3n+1 可得 a n+1﹣（ n+1） =4a n ﹣ 3n+1﹣（ n+1） =4a n ﹣ 4n=4（ a n ﹣ n ），从而可证（ 2）由（ 1）可求 a n ，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求 S n【解答】 解：（ 1） ∵ a n+1 n * ，=4a ﹣ 3n+1， n ∈N∴ a n+1﹣（ n+1 ）=4a n ﹣ 3n+1 ﹣（ n+1 ），4a n ﹣ 4n=4（ a n ﹣ n ）．∴ {a n ﹣ n} 为首项 a 1﹣ 1=1，公比 q=4 的等比数列；（ 2）∵ a n ﹣ n=4n ﹣1，∴ a n =n+4n ﹣1，S n=1+2+ +n+（ 1+4++4n﹣ 1）==．【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列的通项公式的求解及分组求和方法的应用，等差数列及等比数列的求和公式的应用．18．（ 2015?新课标 II ）△ ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC ，△ ABD 面积是△ ADC 面积的 2 倍．（ 1）求；（ 2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】（ 1）如图，过 A 作 AE ⊥ BC 于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠ BAC及正弦定理可得sin∠ B=， sin∠ C=，从而得解．（2）由（ 1）可求 BD=．过D作DM⊥ AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则 AB=2x ，利用余弦定理即可解得BD 和 AC 的长．【解答】解：（ 1）如图，过A 作 AE ⊥ BC 于 E，∵==2∴BD=2DC ，∵AD 平分∠ BAC∴ ∠BAD= ∠DAC在△ABD中，=，∴sin ∠ B=在△ADC中，=，∴sin ∠ C=；∴= = ． 6 分（ 2）由（ 1）知， BD=2DC=2 ×=．过D 作 DM ⊥ AB 于 M ，作 DN ⊥ AC 于 N，∵ AD 平分∠ BAC ，∴ DM=DN ，∴==2，∴AB=2AC ，令AC=x ，则 AB=2x ，∵ ∠BAD= ∠DAC ，∴cos∠ BAD=cos ∠DAC ，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1 ，∴ BD 的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．19．（ 2015?重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．（Ⅰ ）求三种粽子各取到 1 个的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量 X 的取值为： 0， 1， 2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ ）令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率公式有P（ A ） ==．（Ⅱ）随机变量X 的取值为： 0， 1， 2，则 P（X=0 ） ==，P（X=1）==，P（X=2）==，X012PEX=0 ×+1 ×+2×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20（． 2016?衡水一模）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，AB ⊥ PA，AB ∥ CD，且 PB=BC=BD=E 和F 分别是棱CD 和 PC 的中点．（ 1）求证：平面BEF ⊥平面 PCD ；（ 2）求直线PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值．，CD=2AB=2，∠PAD=120 °，【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（ 1）先推导出四边形ABED 是矩形，从而 AB ⊥平面 PAD，进而 CD⊥PD ，CD⊥ EF，CD⊥ BE ，由此得到平面 BEF ，由此能证明平面BEF ⊥平面 PCD．（ 2）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，建立空间直角坐标角系，利用向量法能求出直线PD 与平面 PBC 角的正弦值．CD⊥所成的【解答】证明：（ 1）∵ BC=BD ， E 为 CD 中点，∴BE⊥ CD ，∵AB ∥CD ，∴ CD=2AB ，∴AB ∥DE ，且 AB=DE ，∴ 四边形 ABED 是矩形，∴BE∥ AD ，BE=AD ， AB ⊥ AD ，∵AB ⊥PA，又 PA∩AD=A ，∴ AB ⊥平面 PAD，∴ CD⊥PD ，且 CD ⊥ AD ，又∵在平面 PCD 中， EF∥ PD，∴ CD⊥EF，∵EF∩BE=E ，∴EF? 平面 BEF ， BE? 平面 BEF ，又 CD ⊥BE ，∴ CD ⊥平面 BEF ，∵CD? 平面 PCD，∴ 平面 BEF ⊥平面 PCD．解：（ 2）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，建立空间直角坐标角系，∵ PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠ PAD=120°，∴ PA===2， AD=BE==2，（三角形BDE中）BC===2 ，则 P（0，﹣ 1，），（因为PAD=120°， Z 垂直AB ，PA、 AD垂直AB ，所以∠PAZ=30 °由P 向Z 做垂线）， D （0，2， 0），B（），C（2，2，0），=（ 0， 3，﹣），=（﹣），=（），设平面 PBC 的法向量=（ x， y， z），则，取x=，得=（，），设直线PD与平面PBC 所成的角为θ，sinθ=|cos＜＞ |=||=||=．∴ 直线PD与平面PBC 所成的角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（ 2016?天津一模）已知椭圆 C ： + =1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，长轴长为等于圆R ： x 2 +（ y ﹣ 2）2=4 的直径，过点 P （ 0， 1）的直线与椭圆 C 交于两点 A ， B ，与圆 R 交于两点 M ， N（ Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；（ Ⅱ ）求证：直线 RA ， RB 的斜率之和等于零； （ Ⅲ ）求 |AB| ?|MN| 的取值范围．【考点】 圆锥曲线的实际背景及作用；椭圆的标准方程．【专题】 综合题；数形结合；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（ Ⅰ ）根据椭圆的简单几何性质，求出 a 、 b 的值即可；（ Ⅱ ）讨论直线 l 的斜率是否存在，求出直线RA 、RB 的斜率之和即可证明结论成立；（ Ⅲ ）讨论直线 l 的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出|AB| ?|MN| 的取值范围．【解答】 解：（Ⅰ ）因为椭圆 C 长轴长等于圆R ： x 2+（ y ﹣ 2） 2=4 的直径， 所以 2a=4， a=2； （ 1 分）由离心率为，得 e 2= == ，所以 == ，得 b 2=2； （ 2 分）所以椭圆 C 的方程为 + =1； （3 分）（ Ⅱ ）当直线 l 的斜率不存在时， ∠ ARP= ∠ BRP=0，符合题意；（ 4 分）当直线 l 的斜率存在时（包含平行），设 l 的方程为 y=kx+1 ，与 + =1 联立，消去 y ，得（ 1+2k 2） x 2+4kx ﹣ 2=0；设 A （ x 1， y 1）， B （x 2， y 2），则 x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣， （ 5 分）由 R （ 0， 2），得k RA +k RB =+=+=2k ﹣（+ ）=2k ﹣=2k ﹣=0． （ 7 分）所以 k RA =﹣ k RB ，即 ∠ ARP= ∠ BRP ；综上， ∠ ARP= ∠BRP 成立； （ 8 分）（ Ⅲ ）当直线 l 的斜率不存在时，当直线 l 的斜率存在时，|AB|=2， |MN|=4 ， |AB| ?|MN|=8； （ 9 分）|AB|==?|x 1﹣ x 2|=? = ? = ? ，|MN|=2 =2 ， （ 11 分）所以 |AB| ?|MN|= ? ×2 =4 ? ；因为直线 l 过点 P （0， 1），所以直线 l 与椭圆 C 和圆 R 均交于两点，令 1+2k 2=t ，则 t ≥1，所以 |AB| ?|MN|=4? =4 ? ＜ 8 ，又 y=4?在 t ≥1 时单调递增，所以 |AB| ?|MN|=4≥4 ，当且仅当 t=1 ， k=0 等号成立； （ 13 分） 综上， |AB|?|MN| 的取值范围是 [4， 8 ] ． （14 分）【点评】 本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．22．（ 2015?新课标 II ）设函数 f （x ） =e mx +x 2﹣ mx ．（ 1）证明： f （ x ）在（﹣ ∞， 0）单调递减，在（ 0，+∞）单调递增；（ 2）若对于任意 x 1， x 2∈[﹣ 1， 1] ，都有 |f （ x 1）﹣ f （ x 2） |≤e ﹣ 1，求 m 的取值范围．【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】 创新题型；导数的概念及应用．【分析】（ 1）利用 f ′（ x ） ≥0 说明函数为增函数，利用 f ′（x ） ≤0 说明函数为减函数．注意参数 m 的讨论； （ 2）由（ 1）知，对任意的 m ， f （ x ）在 [﹣ 1， 0] 单调递减，在 [0， 1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得 m 的取值范围．【解答】 解：（ 1）证明： f ′（ x ）=m （e mx﹣ 1） +2x ．若 m ≥0，则当 x ∈（﹣ ∞，0）时， e mx ﹣ 1≤0， f ′（x ）＜ 0；当 x ∈（ 0，+∞）时， e mx﹣ 1≥0，f ′（ x ）＞ 0．若 m ＜ 0，则当 x ∈（﹣ ∞， 0）时， e mx ﹣ 1＞ 0， f ′（ x ）＜ 0；当 x ∈（0， +∞）时， e mx﹣ 1＜0， f ′（ x ）＞ 0． 所以， f （ x ）在（﹣ ∞，0）时单调递减，在（ 0， +∞）单调递增．（ 2）由（ 1）知，对任意的 m ， f （ x ）在 [﹣ 1， 0] 单调递减，在 [0， 1]单调递增，故 f （ x ）在 x=0 处取得最小值．所以对于任意 x 1 ，x 2∈[﹣ 1， 1] ， |f （ x 1）﹣ f （ x 2） |≤e ﹣ 1 的充要条件是即设函数 g （ t ） =e t ﹣ t ﹣ e+1，则 g ′（t ） =e t﹣1．当 t ＜ 0 时， g ′（ t ）＜ 0；当 t ＞ 0 时， g ′（ t ）＞ 0．故 g （ t ）在（﹣ ∞， 0）单调递减，在（ 0， +∞）单调递增．﹣1时， g （ t ）≤0．又 g （1） =0 ， g （﹣ 1） =e +2﹣ e ＜ 0，故当 t ∈[﹣ 1， 1]当 m ∈[﹣ 1， 1] 时， g （ m ） ≤0， g （﹣ m ） ≤0，即合式成立；当 m ＞ 1 时，由 g （t ）的单调性， g （ m ）＞ 0，即 e m﹣ m ＞ e ﹣ 1．当 m ＜﹣ 1 时， g （﹣ m ）＞ 0，即 e ﹣ m+m ＞e ﹣ 1．综上， m 的取值范围是 [﹣ 1， 1]【点评】 本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．23．（ 2015?新课标 II ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1：（ t 为参数， t ≠0），其中 0≤α≤π，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2： ρ=2sin θ， C 3： ρ=2cos θ．（ 1）求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标；（ 2）若 C 1 与 C 2 相交于点 A ， C 1 与 C 3 相交于点 B ，求 |AB| 的最大值．【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】 坐标系和参数方程．2ρsin θ，把代入可得直角坐标方程． 同理由 C 3：ρ=2 cos θ．可【分析】（I ）由曲线 C 2：ρ=2sin θ，化为 ρ=2得直角坐标方程，联立解出可得 C 2 与 C 3 交点的直角坐标．（ 2）由曲线 C 1 的参数方程，消去参数 t ，化为普通方程： y=xtan α，其中 0≤α≤π，其极坐标方程为： θ=α（ ρ∈R ， ρ≠0），利用 |AB|= 即可得出．2【解答】 解：（ I ）由曲线 C 2： ρ=2sin θ，化为 ρ=2ρsin θ，22∴ x +y =2y ．同理由 C 3： ρ=2cos θ．可得直角坐标方程： ，联立 ，解得，，∴ C2与C3交点的直角坐标为（0， 0），．（ 2）曲线C1：（ t 为参数， t≠0），化为普通方程：y=xtan α，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵ A ， B 都在 C1上，∴ A （ 2sinα，α）， B．∴ |AB|==4，当时， |AB| 取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
高考数学复习 拓展精练33【含答案】
拓展精练 （33）1.命题“022,2≤++∈∃x x R x ”的否定是：_______________ 2．若x 、y ∈R +, x +4y =20,则xy 的最大值为 ．3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块.4.过抛物线X 2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交与A,B 两点，A,B 在x 轴上的正射影分别为C,D,若梯形的面积为212则p=______5.曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)与F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：（1）曲线C 过坐标原点；（2）曲线C 关于坐标原点对称；（3）若点p 在曲线C 上，则三角形F 1PF 2的面积不大于221a 。
其中所有正确结论的序号是______ 6．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．7（本题满分12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台.每批都购入x 台（x∈N *），且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论，并说明理由.8. （本题满分12分） 命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题q ：函数x a x f )23()(-=是增函数，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围；9．（本题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1， ∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .10．（本题满分13分）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式。
高考数学冲刺复习 精练3
数学冲刺复习数学精练（3）1 ． 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边(2,),(cos ,cos )m a c b n B C =+=，且0.m n ⋅=（1）求角B 的大小；（2）设函数x C A x x x f 2cos 23)cos(cos sin 2)(-+=，求函数)(x f 的最小正周期，最大值及当)(x f 取得最大值时x 的值.【解析】（1）由0=⋅n m ，得0cos cos )2(=++C b B c a 0cos cos cos 2=++∴C b B c B a 由正弦定理，得 0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A 2分即0)sin(cos sin 2=++B C B A ，0)1cos 2(sin =+∴B A ， 4分在ABC ∆中，0sin ≠A ，01cos 2=+∴B ，π32=∴B 6分 （2）π32=B ，3π=+∴C A )32sin(2cos 232sin 21)(π-=-=∴x x x x f 8分所以)(x f 的最小正周期为π 10分 令Z k k x ∈+=-,2232πππ，得)(125Z k k x ∈+=ππ即当)(125Z k k x ∈+=ππ时)(x f 取最大值1 12分2有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5。
同时投掷这两枚玩具一次，记m 为两个朝下的面上的数字之和.（1）求事件“m 不小于6”的概率；（2）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论。
【解析】因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5） 共16种 4分（1）事件“m 不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2），（5，3），（5，8）共8个基本事件 6分所以P(m ≥6)=21168= 8分（2）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不相等。
高等数学强化训练三参考答案
高等数学强化训练三参考答案一填空题：（3分×5=15分）1、=++++++∞→)12111(lim 222nn n n n _______ _______解析： 因为2n≤++≤+，1,2,,n =而1n n ==，1n n ==，所以，由迫敛性定理得21.n n →∞++=+2、极坐标曲线)30(0,3sin 3πθθ≤≤>=a a r 的弧长为解析：()3222330333320000sin 3sin sin 3sin cos sin cos ,3333333321cos 23sin cos 32232r a a a a s a a d a d d d a ππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθ'''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==⋅⋅=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫===- ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰33003223233cos 3sin .2332232a d a πππθθπθπ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎰3、设)0(sin 221ππ≤<=-∑∞=x nx b n n ，则3b =解析()()300002222sin 3sin 3sin 322221cos3.33b f x xdx xdx xdx x πππππππππππππ--===--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4、=⎰→xdt t xx 020cos lim____________解析: ()()2222cos cos limlimlim cos cos 0 1.xxx x x t dtt dt x xx →→→'===='⎰⎰5、∑∞=-+1)3(2n nnn x n 的收敛区间为 解析：因为()()()()()()()()111111111232311lim lim lim lim 2323212323113limlimlim ,3323232233n nn n n n n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n n a n n a n n ρ+++++→∞→∞→∞→∞++++→∞→∞→∞+-+-++==⋅=⋅+-+-⎛⎫-+ ⎪+-+-⎝⎭==-=-=-=-+-+-⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭所以，收敛半径为13.R ρ==所以，收敛区间为()3,3.- 二 单项选择题：（2分×5=10分）1、设函数)(x f 是微分方程x e y y sin ='-''的解，且0)(0='x f ，则)(x f 在点0x 处( )(A) 取得极大值 (B) 取得极小值(C) 的某个领域内单调增加 (D) 的某个领域内单调减少 解析：因()f x 是微分方程xey y sin ='-''的解，且0)(0='x f ，故()()00sin sin 000x x f x f x e e '''=+=>.由()()000,0f x f x '''=>得，()f x 在点0x 处取得极小值. 2、⎰+=πx xt tdt e x F sin )(sin ，则=)(x F （ ）（A ）为正常数 （B ）负常数 （C ）恒为零 （D ）不为常数 解析:因为0sin sin sin 0sin sin 0()sin sin sin sin sin ,x x t t t xxx x tt F x e tdt e tdt e tdtetdt etdt πππ+++==+=-⎰⎰⎰⎰⎰，所以()()()()()()()()()sin sin sin sin 0sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin /0,x xx x ttttx x x x x x F x etdt etdt etdtd etdtex x e xe x e x e e x πππππ+++--''''=-=-'=+⋅+-=--=-+≡⎰⎰⎰⎰所以，()f x 不为常数. 3、设)(x f 连续，则⎰-x dt t x tf dxd 022)( ( ) （A ）)(2x xf （B ）)(2x xf - （C ）)(22x xf （D ）)(22x xf - 解析：取特例考察.设()f x x =，则()()2222230,xxxxtf xt dt t x t dt xtdt t dt -=-=-⎰⎰⎰⎰()()()()()22230023232202,x x x x x xd tf x t dt x tdt t dt dx x tdt t dt x tdt x x x x x xf x '-=-'=-=+⋅-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故选A. 4、x C x y ysin )4(+=''+的特解形式 ( )(A)x C B Ax y sin ++= （B ）)sin cos ()(x D x C x B Ax x y +++= (C) x D x C Bx Ax y sin cos 23+++= （D ）)sin cos ()(2x D x C x B Ax x y +++= 解析：结合题目和选项，应把微分方程改为“(4)sin y y x c x ''+=+”.与非齐次方程(4)sin yy x c x ''+=+相应的齐次方程为(4)0y y ''+=其特征方程为420.r r +=因为0λ=为特征方程的二重根，所以非齐次方程(4)y y x ''+=有特解()2.y x Ax B =+因为i λ=为特征方程的单根，所以非齐次方程(4)sin y y c x ''+=有特解()cos sin .y x C x D x =+由叠加原理得，非齐次方程(4)sin y y x c x ''+=+有特解)sin cos ()(2x D x C x B Ax x y +++=.故选D. 5、设级数∑∞=1n n a 条件收敛，记),2,1()(21,)(21 =-=+=n a a v a a u n n n n n n ，则以下结论成立的是 ( )（A ）∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都收敛，且1lim11=∑∑==∞→Nn nNn nN vu（B ）∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都收敛，但∑∑==∞→Nn nNn nN vu 11lim不存在（C ）∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都发散，但1lim11=∑∑==∞→Nn nNn nN vu（D ）∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都发散，且1lim11=∑∑==∞→Nn nNn nN vu 不存在（附记：应该把选项（D ）中的“1lim11=∑∑==∞→Nn nNn nN vu ”改为“∑∑==∞→Nn nNn nN vu 11lim”.）解析：因为级数∑∞=1n na条件收敛，所以级数1nn a∞=∑收敛，而级数1nn a∞=∑发散.由此可知级数()1n n n a a ∞=+∑和()1n n n a a ∞=-∑都发散，从而级数()112n n n a a ∞=+∑和()112n n n a a ∞=-∑都发散.故∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都发散.因为级数1nn a∞=∑收敛，所以极限1limNnN n a→∞=∑存在.设1NN nn A a==∑，易知数列{}N A 是单调递增数列.若数列{}N A 有上界，则数列{}N A 有极限，这与级数级数1nn a∞=∑发散矛盾.故数列{}N A 无上界，故lim N N A →∞=+∞，即1li m .Nn N n a →∞==+∞∑ 于是，1111111111111111112lim lim lim 121lim 1limlim1lim 1limN N NN Nn n n n n n n n n n N N N NN N N N n n n n n n n n n n NNnnn n N N nnn n N NN nnn n N N nn a a u a a v a a a a a aaa aaaa=====→∞→∞→∞=======→∞→∞==→∞==→∞→∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭++==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑1101.10nn =+==-∑故选C.三、定积分计算（5分×4=20分） 1、⎰-2ln 01dx e x解 设21x e t -=，则()2ln 1x t =+，221tdx dt t =+，22ln112200021111222 0000122111112212211122arctan2202.42t tdt dtt tt dtdt dt dtt t ttππ==+++-⎛⎫==-=-⎪+++⎝⎭⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2、⎰+∞+1`2)1(xxdx解()()()()()222222 11122222222112211211111111221111ln ln2.212dx xdx dxx x x x x xx xdx dxx xx xxx+∞+∞+∞+∞+∞+∞==++++-⎛⎫==-⎪++⎝⎭==+⎰⎰⎰⎰⎰3、dxxx⎰-+102)2()1ln(解()()()()()()()()()11120011111ln(1)ln12(2)ln111221211ln2321111ln23121ln2ln1ln232ln2ln231ln2.3xdx x d xxxdxx x xx xdxx xdxx xx x-+=+--+=---+-++=--+⎛⎫=-+⎪+-⎝⎭=-+--⎡⎤⎣⎦=-=⎰⎰⎰⎰⎰4、设⎩⎨⎧≥<+=-001)(2x ex x x f x ，求⎰-31`)2(dx x f解 令2x t -=，则2x t =+，dx dt =，于是()()()()()()()31101111111231110012117111.333x xf x dx f t dt f x dx f x dx f x dxx dx e dx x x ee e ----------===+⎛⎫=++=++-=+-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、 解下列微分方程（5分+7分+10分=22分） 1.21x xydx dy += 解21dy x dx y x =+ 两边积分()211ln ln 1,2y x C =++y =2. 1,122==+'=x y y xy y x解 原方程可改写为2y y y x x ⎛⎫⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此是齐次方程.令yu x=，则 ,,dy du y ux u x dx dx==+于是原方程变为2,duu xu u dx +=- 即22.dux u u dx =- 分离变量，得2.2du dxu u x=-两端积分，得111ln 2ln ln 22u u x C --=+，22u Cx u-=， 2222,20,2.1y x Cx y xCx y y x x y Cx-=-+==-因为11x y==，所以2211, 1.11C C ⋅==--⋅ 于是22.1x y x =+3. x e x x y y y )(22+=+'-'' 解 特征方程为2210r r -+=，()210r -=，特征根12 1.r r ==齐次方程20y y y '''-+=的通解为()12.xy C C x e =+1λ=为特征方程的二重根，故非齐次方程（即原方程）有特解()22x y x ax bx c e =++，()()()()()432432432,8126642.xxy ax a b x b c x cx e y ax a b x a b c x b c x c e '⎡⎤=+++++⎣⎦''⎡⎤=++++++++⎣⎦所以，()()22221262,1262,121,61,20.x x axbx c e x x e ax bx c x x a b c ++=+++=+=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，11,,0.126a b c ===所以非齐次方程（即原方程）有特解2211.126x y x x x e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，原方程的通解为()221211126x x y C C x e x x x e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，即()31211.126x x y C C x e x x e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭五、判断)0(11>⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=a n an nn 的敛散性（5分）解 因为0a >，所以lim lim .111n n n an a a n n→∞→∞===++由根值判别法，当01a <<时，级数收敛；当1a >时，级数发散.当1a =时，级数成为1.1nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑因为11lim lim 0111nn n n n n e n →∞→∞⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以由级数收敛的必要条件得，级数1.1nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散.综上所述，当01a <<时，级数收敛；当1a ≥时，级数发散.六、将函数321)(2--=x x x f 在2=x 处展开成x 的幂级数（8分） 解()()()()()()()213112313413111.431x x f x x x x x x x x x +--===--+-+-⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭函数()123x +-即11x -在0x =处的幂级数展开式. ()[)00111,1,1.11nn n n x x x x x ∞∞===-=-=-∈---∑∑ 故13x -在2x =处的幂级数展开式为 ()()()[)01112,1,3.321nn x x x x ∞===--∈---∑因为函数11x+在0x =处的展开式为 ()(]011,1,11nn n x x x ∞==-∈-+∑， 所以函数()121x ++即13x +在0x =处的幂级数展开式.()()[)100111111,3,3.3333313nnn n n n n x x x x x ∞∞+==-⎛⎫=⋅=⋅-=∈- ⎪+⎝⎭+∑∑ 所以函数11x +在2x =处的展开式为 ()()()[)101112,1,51233nnn n x x x x ∞+=-==-∈-+-+∑.所以，函数321)(2--=x x x f 在2x =处的幂级数展开式为 ()()()()()()()[)211000111111112343143411111112212,1,3.44343nnnnnn n n n n f x x x x x x x x x x x ∞∞∞++===⎛⎫==-=⋅-⋅ ⎪---+-+⎝⎭⎛⎫--=----=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑七、求n n x n n 21!12∑∞=+的收敛域及和函数，并求∑∞=+02!12n nn n 的和数（12分） 解 当0x =时，级数显然收敛.当0x ≠时，因()()()21222111!231limlim021211!n n n nn xn n x n n n x n +→∞→∞++++=⋅⋅=+++，故级数2121!nn n x n ∞=+∑收敛，从而级数n n x n n 21!12∑∞=+收敛.由此可知，该幂级数的收敛域为(),.-∞+∞因为()01,,!nx n x e x n ∞==∈-∞+∞∑，所以()2201,,,!n x n x e x n ∞==∈-∞+∞∑ （1） ()22111,,.!n x n x e x n ∞==-∈-∞+∞∑ （2） 在（1）式两端分别求导数，得 ()221122,,,!n x n n x xe x n ∞-==∈-∞+∞∑ 在上式两边同乘以x ，得 ()222122,,.!n x n n x x e x n ∞==∈-∞+∞∑ （3） 由（2）和（3）两式易得 ()()()222222*********!!!21211,,4n n n n n n x x x n n x x x n n n x e e x e x ∞∞∞===+=+=+-=+-∈-∞+∑∑∑在上式中，令x =，则121211211 1.!22n n n e n ∞=+⎛⎫=⋅+-= ⎪⎝⎭∑八、设一长为6m ，横截面半径为2.5m 的半圆形水槽内充满了水，现要将水全部抽出，问应作多少功？（8分）解O坐x 轴如图所示.取深度x （单位为m ）为积分变量，它的变化区间为[]0,2.5.相应于[]0,2.5上任意一小区间[],x x dx +的一薄层水的高度为dx ，若在力加速度g 取9.8m/s ，则这薄层水的重力为9.86⨯⨯ kN ，把这薄层水抽出需作功近似地为9.862dW =⨯⨯，此即功元素.于是所求的功为()()()2.5200 2.52222009.8629.8629.86 2.59.86 2.5245kJ .3W x x =⨯⨯=⨯=-⨯-=-⨯⨯-=⎰⎰⎰。
2022学年高三数学 拓展精练31
数学知识复习拓展精练 （31）1．已知全集为实数R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，则()R A B ∩=A {}|11x x -≤≤B {}|11x x -≤<CD {}|1x x = 2．若复数()i m iiz -+-+=111（为虚数单位）为非纯虚数，则实数不可能．．．为 A ．0B ．1C ．-1D ．23．如果过曲线4y x x P =-上点处的切线平行于直线32y x =+，那么点()0,1-()1,0-sin 2cos2y x x=+cos 2sin 2y x x =+cos 2sin 2y x x=-sin 2cos 2y x x=-cos sin y x x=8CPA x=()y f x =8 为两条不同的直线，且，m ，有如下的两个命题：①若∥，则∥m；②若⊥m，则⊥．那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题9．已知双曲线12222=-bx a x 的左焦点为，()()b B a A ,0,0,，当AB FB ⊥时，则该双曲线的离心率等于A215+ B C 51- D 51+ 10在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过*()k k ∈N 个格点，则称函数为阶格点函数对下列4个函数：①()cos()2f x x π=--；②1()()3x f x =；③2()log f x x =-；④()2()235f x x π=-+其中是一阶格点函数的有 A ．①③ B ②③ C ③④ D ①④y y y yxxxxAPBOA ．B ．C ．D ．参考答案。
2011-2012学年高三数学 拓展精练3
数学知识复习拓展精练 （3）1.设()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点2.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=_______3．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角，则B 、D 在四面体A-BCD 的外接球球面上的距离为4．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立； 当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。
给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有mf(2)=0； ②函数f(x)的值域为[0+∞，）； ③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是5.(满分12分) 在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列（Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）求22sin cos()A A C +-的范围.6.某校2012年推优班报名正在进行，甲、乙、丙、丁四名学生跃跃欲试，现有四门学科(数学、物理、化学、信息技术)可供选择，每位学生只能任选其中一科． （1）求恰有两门学科被选择的概率；（2）已知报名后,丁已指定被录取.另外甲被录取的概率为23,乙被录取的概率为34,丙被录取的概率为12.求甲、乙、丙三人中至少有两人被录取的概率。
7. (满分12分)如图，五面体ABCDE 中，正∆ABC 的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，且CD=12AE ．(I)设CE 与平面ABE 所成的角为α，AE=(0),k k >若[,],64ππα∈求k 的取值范围；(Ⅱ)在(I)和条件下，当k 取得最大值时，求平面BDE 与平面ABC 所成角的大小．8. (满分12分)设数列{}n a 满足12323...2(*).n n a a a na n N ++++=∈（I ）求数列{}n a 的通项； （II ）设2,n n b n a =求数列{}n b 的前n 项和n S .C参考答案4. ①②④ 5解:（Ⅰ）2cos cos cos b B a C c A =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=，∴1cos 2B =，∴.3B π=（Ⅱ）222222sin cos()2sin cos()2sin cos(2)33A A C A A A A A ππ+-=+-+=+-11cos 2cos 222A A A =--+113(sin 22)1)23A A A π==+-20,2333A A ππππ<<-<-<，∴sin 213A π⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤，∴212sin cos(),1.2A A C ⎛+-∈- ⎝6解：（1）恰有两门学科被选择的概率为2124442214()21644C C A A P +==（2）至少有两人被录取的概率为223123123123117(1)(1)(1)34234234234224P =⋅⋅+-⋅⋅+⋅-⋅+⋅⋅-=7 解：（Ⅰ）如图以C 为坐标原点，CA 、CD 为y 、z 轴，垂直于CA 、CD 的直线CT 为x 轴，建立空间直角坐标系（如图），则设(0,1,0)A ，(0,0,)2kD ，(0,1,)E k，1,0)2B . 取AB 的中点M ，则3,0)4M ， 易知,ABE 的一个法向量为33(,0)4CM =,由题意3sin ||||1CE CM CE CM α⋅===⋅.由[,]64αππ∈，则12sin α≤=≤，k ≤≤…………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知kkBDE 法向量为x,y,z ）n =(，则 0,30.2DE y zy BE x ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩n n 取n =， 又平面ABC 法向量为m =(0,0,1），…………10分 所以cos(,)n mBDE 与平面ABC 所成角大小……12分 8 解：（I）12323...2,n n a a a na ++++=①∴当2n ≥时，1123123...(1)2,n n a a a n a --++++-=②将①－②得1112222,(2).n nn n n n na a n n---=-=∴=≥在①中，令1,n=得12.a =12(1).2(2)n n n a n n-=⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩ （II ）由2n n b na =得12(1),2(2)n n nb n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩则当1n =时，12,S =∴当2n ≥时,12122232...2,n n S n -=+⨯+⨯++则231242232...(1)22,n n n S n n -=+⨯+⨯++-+2312(222...2)(1)22(2).n n n n S n n n -∴=-++++=-+≥又12,S =(1)22(*).n n S n n N ∴=-+∈。
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则z 的虚部是（ ） A ．B ．1C ．D ．i3．“”是“函数在上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（ ）（参考数据） A ．120个月B ．64个月C ．52个月D ．48个月6．如图，是的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．98．，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（ ）{}ln 1A x x =>{B x y ==()A B =R {}21x x -≤≤{}2x x e -≤≤{}21x x -<≤{}2x x e -<≤2i z z -=1-i -0m ≤()ln f x x mx =-(]0,122sin 2cos 3y x x =+-1-112-5-v t t v a b =⋅a b 10%20%100%lg 20.3≈AB O C D AB AB =a AC =bAD 12-a b 12-a b 12+a b 12+a b 2(0xy aa -=>1a ≠A A 221x y m n+=m n +A B C D E A C BA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列的公比为q ，其前n 项和为，前n 项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．在中，如下判断正确的是（ ） A ．若，则为等腰三角形 B ．若，则C ．若为锐角三角形，则D ．若，则11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（ ）A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条12．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ） A ．0 B ． C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少个单位． 161331035{}n a n S n T 11a >201920201a a >20192020101a a -<-20192020S S <2019202110a a -<2020T {}n T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =ABC △A B >sin sin A B >ABC △sin cos A B >sin sin A B >A B >xOy P ()1F )2F 13P E ():2l y k x =-E A B E 2213x y -=E E 2221x y AB =l ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+a 12-1-13-ˆˆˆybx a =+(),x y r ˆ20.5yx =-ˆy 0.5其中说法正确的是__________． 14．若，则被4除得的余数为__________． 15．有以下四个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线； ②是偶函数；③在上不是单调函数； ④恰有两个零点．若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式_____________．16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得， 则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则． 其中，正确结论的序号是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①，；②，，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列前项和为，数列前项和为，，，______．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．()20222202201220222x a a x a x a x +=++++0242022a a a a +++()f x R ()f x ()f x ()0,∞+()f x ()f x =()g x =()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-M 2x x e e y -+=M 8log (2)y x =+[0,]x t ∈M 510t =3sin 4x ay +=M 5a =226a b +=3311+=a b 312S =531T ={}n a {}n b {}n a n n S {}n b n n T 11a =11b ={}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n18．（12分）的内角，，的对边分别是，，． （1）求角的大小；（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积．(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)19．（12分）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．20．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E 与F 重合，如图2． （1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长．ABC △A B C a b c sin cos c B C -=B 3b =D AC 2BD =ABC △BD B D AC 202020205ˆˆˆybx a =+202012121003450ξξˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-x y ABCD ABE Rt △CDF Rt △2AB =ABE △CDF △,AB CD ABECDE l =//l CD A BE D --5AE21．（12分）已知函数，其中实数． （1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左焦点为F ，过F 的直线与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形． （1）求椭圆的方程；（2）若的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由． 答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意，，所以，因为，故，故选B ．2．【答案】A【解析】设，因为，可得， 则，可得，所以复数的虚部是，故选A ． 3．【答案】A【解析】由可得， 若在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则， ()axf x e ex =-0a ≠()f x 0x ≥()()21f x x ≥-a 22221(0)x y a b a b+=>>0x -=MFO ABC △ABC △ABC △{}{}ln 1A x x x x e =>=>{|}A x x e =≤R{{}2B x y x x ===≥-(){}2A B x x e =-≤≤R ()i ,z a b a b =+∈R 2i z z -=()i i 2i 2i z z a b a b b -=--+=-=22b -=1b =-z 1-()ln f x x mx =-1()f x m x'=-()ln f x x mx =-(]0,1()0f x '≥(]0,11m x≤(]0,11m，则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】C【解析】，因为，所以当时等号成立， 所以函数的最大值是，故选C ． 5．【答案】C【解析】依题设有，解得，， 故．令，得，故，故选C ． 6．【答案】D【解析】连接、、，如图．由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，，则、均为等边三角形，，，，同理可知，(](],0,1-∞-∞0m ≤()ln f x x mx =-(]0,1()222sin 2cos 321cos 2cos 3y x x x x =+-=-+-22112cos 2cos 12(cos )22x x x =-+-=---1cos 1x ≤≤－1cos 2x =22sin 2cos 3y x x =+-12-()()1224120.1240.2v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩1122b =0.05a =()1120.052tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭()1v t =112220t⎛⎫= ⎪⎝⎭()11212121210.3lg 201lg 2log205210.3lg 2lg 212t ⨯++===≈=CD ODOC C D AB 60BOD COD AOC ∠=∠=∠=︒OA OC OD ==AOC △COD △60OAC OCD ∴∠=∠=︒OAC BOD ∴∠=∠//OD AC ∴//CD AB所以，四边形为平行四边形，所以，， 故选D ． 7．【答案】D【解析】由于函数，且）向右平移两个单位得，且），即为函数，且），所以定点，由于点在椭圆，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故选D ． 8．【答案】B【解析】和分别站在的两边，则只能在中间3个位置，分类说明： （1）若站在左2位置，从，选一个排在左侧，剩余的3个人排在右侧， 故有种排法；（2）若站在3位置，从，选一个，从，选一个排在左侧，并排列，剩余的2个人排在右侧，故有种排法；（3）若站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法； 所以和分别站在的两边的排法总共有种排法；，，，，五个人站成一排有种排法，故和分别站在的两边的概率，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】AB【解析】当时，，不成立； 当时，，，不成立；故，且，，故，A 正确；AODC 12AD AO AC =+=+a b 1(0x y a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠21(0x y a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠2(0xy aa -=>1a ≠()2,1A A 221x y m n +=411m n +=0m >0n >()414559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4n mm n=6m =3n =A C B B B A C B B 1323C A 232112=⨯⨯⨯=B A C D E B B 11222222C C A A 222216=⨯⨯⨯=B A C B 12161240++=A B C D E 55A 54321120n ==⨯⨯⨯⨯=A C B 4011203P ==0q <22019202020190a a a q =<1q ≥20191a ≥20201a >20192020101a a -<-01q <<20191a >202001a <<20202019S S >，故B 正确；是数列中的最大值，C 、D 错误，故选AB ． 10．【答案】BCD【解析】选项A ．在中，若，则或， 所以或，所以为等腰或直角三角形，故A 不正确； 选项B ．在中，若，则，由正弦定理可得，即，故B 正确； 选项C ．若为锐角三角形，则， 所以，所以，故C 正确； 选项D ．在中，若，由正弦定理可得， 即，所以，故D 正确， 故选BCD ． 11．【答案】CD【解析】令，即得，∴A 错误；又，，即，故B 错误， 由E 的渐近线为，而圆心为，半径为1，∴到距离为，故的渐近线与圆相切，故C 正确；联立曲线E 与直线的方程，整理得，，∴，，而代入整理2201920212020110a a a -=-<2019T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=A B =2πA B +=ABC △ABC △A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >ABC △π2A B +>ππ022A B >>->πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ABC △sin sin A B >22a bR R>a b >A B >(,)P x y 13=221,3x y x -=≠a =2c =3e =y x =2221x y (2,0)(2,0)y =1d ==E 2221xy l 2222(13)123(41)0k x k x k -+-+=210Δk =+>21221231k x x k +=-21223(41)31k x x k +=-12|AB x x =-=22)|||31|k AB k +==-即有或(由与)，故，∴D 正确， 故选CD ． 12．【答案】BD【解析】画出函数的图象：函数有零点，即方程有根的问题． 对于A ：当时，，故，，故，，，， 故方程有4个不等实根； 对于B ：当时，，故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根； 对于C ：当时，， 故，，， 当时，由图象可知，有2个根， 当时，由图象可知，有2个根，21k =20k =0y =221,3xy x -=≠1k =±ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+(())0f f x a +=0a =(())0f f x =()1f x =-()1f x =0x =2x =-1=x ex e =(())0f f x a +=12a =-1(())2f f x =1()2f x =-()f x =()f x =1()2f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=1a =-(())1f f x =()0f x =()f x e =1()f x e=()0f x =()f x e =当时，由图象可知，有3个根， 故方程有7个不等实根； 对于D ：当时，， 故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根， 故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】①②④【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1， 所以是正确的；对于③中，根据平均数的计算公式可得，根据方差的计算公式，所以是不正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，所以是正确的， 故答案为①②④． 14．【答案】1【解析】由题知，时，①，时，②，由①+②，得， 1()f x e=(())0f f x a +=13a =-1(())3f f x =2()3f x =-()f x =()f x =2()3f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=ˆˆˆybx a =+(,)x y ||r 744471x ⨯+==+()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦ˆ20.5yx =-x ˆy0.51x =-0123202120221a a a a a a -+-+-+=1x =2022012320223a a a a a +++++=()2022024********a a a a ++++=+故， 所以被4除得的余数是1，故答案为1．15．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一），（答案不唯一）．16．【答案】①③【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．①函数，定义域是R ，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R ，， 当且仅当时等号成立，即值域为．对任意的，，要使得，则需，而不存在，使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为． 要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即，202210110242022111()(31)(91)488a a a a ++++=+=+()()101101011110101010110111011101110111011C 118118C 8C 8C 188⎡⎤=++=+++++⎣⎦()010*******10101101110111011118C 8884C C =++++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-10x =∈R 2x ∈R ()()121f x f x =M 2x x e e y -+=12x xe e y -+=≥=0x =[)1,+∞1>0x ()11f x >()()121f x f x ⋅=()21f x <2x ∈R ()21f x <2x xe e y -+=M ()8log 2y x =+[]0,t []0,t ()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦M []10,x t ∈()()188log 2,log 2f x t ⎡⎤∈+⎣⎦[]20,x t ∈()()()()288188111,log 2,log 2log 2log 2f x t f x t ⎡⎤⎡⎤=∈⊆+⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≥⎪+⎪⎨⎪≤+⎪⎩8888log 2log (2)1log 2log (2)1t t ⨯+≤⎧⎨⨯+≥⎩()88log 2log 21t ⨯+=故，即，故，故③正确； ④若函数具有性质，定义域是R ，使得， 一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而， 故或，在此条件下， 另一方面，的值域是值域的子集．的值域为；的值域为， 要满足题意，只需，， 时，，即； 时，，即， 故，即， 即，即，故．故④错误， 故答案为①③．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）．【解析】选择①：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）()8821log 2log log 328t +===328t +=510t =3sin 4x ay +=M []sin 1,1x ∈-3sin 0x a +≠x []3sin 3,3x ∈-3a >3a <-43sin y x a =+3sin 4x ay +=3sin 4x a y +=33,44a a -+⎡⎤⎢⎥⎣⎦43sin y x a =+44,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦3434a a -≥+3434a a +≤-3a <-441,1334334a a a a ⋅≤⋅≥+-+-44133a a ⋅=+-3a >441,1334334a a a a ⋅≥⋅≤+-+-44133a a ⋅=+-44133a a ⋅=+-()()3316a a -+=2916a -=225a =5a =±32n a n =-12n nb -=()8682nn --+{}n a d {}n b ()0q q ≠11a =11b =226a b +=3311+=a b 2161211d q d q ++=⎧⎨++=⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯（1）（2），得， 所以， 所以，所以．选择②：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）（1）（2），得， 所以， 所以，所以．18．【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：． 【解析】（1，，，，则有， 又因为，所以． -()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+{}n a d {}n b ()0q q ≠1q ≠11a =11b =312S =531T =()533121311d q q +=⎧⎨-=-⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯-()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+π3B =2ABC S =△8ABC S =△sin cos c B C -()sin sin cos B C C B B C +-=sin sin sin B C C B =sin 0C ≠tan B =()0,πB ∈π3B =（2）选择条件①为的平分线，因为为的平分线，所以， 又因为， 所以， 又根据余弦定理得，即， 则有，即，解得或(舍)， 所以． 选择②为的中点，则，，， 则有，可得， 又根据余弦定理得，解得， 则． 19．【答案】（1），万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为元． 【解析】（1）由表格数据知，，， 由回归直线经过样本点的中心可知：，，则回归直线方程为， BD B BDB π6ABD DBC ∠=∠=ABC ABD BDC S S S =+△△△1π1π1πsin 2sin 2sin 232626ac a c =⨯+⨯()2a c =+2222cos b a c ac B =+-()293a c ac =+-()23934ac ac =-()24120ac ac --=6ac =2ac =-1sin 2ABCSac B ==D AC 32AD DC ==πBDA BDC ∠=-∠cos cos BDA BDC ∠=-∠22222233222233222222c a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯22252a c +=229a c ac +-=72ac =1sin 28ABC S ac B ==△9173ˆ22yx =+140.532521234535x ++++==90951051001101005y ++++==()()515222222221519029531054100511053100ˆ12345535i ii ii x y xy b x x==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯∴==++++-⨯-∑∑459102==(),x y 9ˆ10032a =⨯+173ˆ2a ∴=9173ˆ22yx =+预测年月份该企业所获得的利润为（万元）．（2）根据题意知所有可能取值为，，，，，，，，；；；；；；；，的分布列为：，即每件产品需要修复的平均费用为元．20．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过E作于点O，则O是的中点，因为平面平面，平面，所以平面，以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，202012917312140.522⨯+=ξ050100150200250300350 ()31332432Pξ⎛⎫∴==⨯=⎪⎝⎭()3111502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()2231139100C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2231113150C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131139200C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131113250C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()31333002432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()31113502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ξ∴()05010015020025030032323232323232Eξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+135032⨯3252=3252//CD AB AB ABE CD⊂/ABE//CD ABECD⊂ECD ABE ECD l=//l CD//AB CD CD DE⊥AB DE⊥AB AE⊥AE DE E=AE⊂ADE DE⊂ADEAB⊥ADEAB ABCD ABCD⊥AED⊥EO AD ADABCD AED AD=EO⊂ADEEO⊥ABCDAB OD OEO xyz-设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量；，，设平面的法向量为，则，即，取，则，同理可求得平面的一个法向量为， 所以，解得，当时，，二面角的平面角为钝角，舍去， 所以，此时，所以．21．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1），当时，，故在上单调递减；EO h =(0,1,0)A -(0,1,0)D (2,1,0)B -(0,0,)E h (2,0,0)AB =(0,1,)AE h =(0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-ABE 1(,,)x y z =n 1100AB AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 200x y hz =⎧⎨+=⎩0,x y h ==1z =-ABE 1(0,,1)h =-n (0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-BDE 2222(,,)x y z =n 220ED BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220220y hz x y -=⎧⎨-+=⎩2x h =22,1y h z ==BDE 2(,,1)h h =n 121212cos ,⋅===⋅n n n n n n 2h =3h =21212122cos ,0-⋅====<⋅n n n n n n A BE D --2h =(0,1,2)AE =5AE =AE [)1,+∞()axf x ae e '=-0a <()0f x '<()f x (),-∞+∞当时，令，解得． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）当时，，则．下证：当时，不等式在上恒成立即可．当时，要证，即，又因为，即只需证．令，， 令，则，解得．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，故．因此存在，使得．故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，故成立．综上，的取值范围为．22．【答案】（1）；（2，理由见解析．【解析】（1）直线过左焦点F，则有， 所以且右焦点， 又，得， 代入直线方程有，所以．∴为直角三角形且，由椭圆定义，知，即， ∴椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，0a >()0f x '=1ln e x aa=()f x 1,ln e a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,e a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x =0a e e -≥1a ≥1a ≥()2(1)f x x ≥-[)0,+∞1a ≥()()21f x x ≥-2(1)0axe x ex ---≥ax x e e ≥2(1)0x e x ex ---≥2()(1)(0)xg x e x ex x =---≥()22xg x e x e '=-+-()22xh x e x e =-+-()20xh x e '=-=ln 2x =()g x '()0,ln 2()ln 2,+∞(0)30g e '=->(1)0g '=()ln 20g <()00,ln 2x ∈()00g x '=()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞(0)0g =(1)0g =()0g x ≥a [)1,+∞2214x y +=0x -=(F c =F '124OMF M S y ==△12My =M x =12M ⎫⎪⎭FMF '△90MF F '∠=︒12||||42a MF MF '=+==2a =2214x y +=BC BC 1x x =若，则，∵O 为的重心，可知，代入椭圆方程，得，， 即有A 到BC 的距离为， ∴； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，由，得，显然， ∴，， 则，∵O 为的重心，可知， 由A 在椭圆上，得，化简得，∴，由重心的性质知：A 到直线的距离d 等于O 到直线距离的3倍，即，∴， 综上得，．()11,B x y ()11,C x y -ABC △()12,0A x -211x =2134y =1||2||BC y ==3d =11||322ABC S BC d =⋅==△BC BC y kx m =+()11,B x y ()22,C x y 2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=0Δ>122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+()121222241my y k x x m k +=++=+ABC △2282,4141km m A k k -⎛⎫⎪++⎝⎭2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22441m k =+1222||||414BC x x k m =-===+BC BC d =1||2ABC S BC d =⋅=△ABC △。
2024年高考数学复习拓展考点精讲精练讲义 16 解三角形中三角形面积和周长(边)的最值问题含详解
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.基本不等式（优先用基本不等式）2a b+≤②222a b ab+≥6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
【典例1】若π3A =，3a =，求ABC S 的最大值．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式．法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．9二、题型精讲精练一、知识点梳理【典例2】若π3A=，3a=，求ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．法二：正弦定理＋辅助角公式．即ABC 周长的取值范围为(]6,9.【题型训练1-刷真题】1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c+的最小值．2．（2020·全国·统考高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【题型训练2-刷模拟】1.面积的最值（范围）问题一、解答题(1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.2.周长（边）的最值（范围）问题一、解答题【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.基本不等式（优先用基本不等式）2a b+≤②222a b ab+≥6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
2021-2022年高考数学复习 拓展精练31
2021年高考数学复习拓展精练311．命题P：.则为 .2. 高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为 .3.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中数据可知a＝。
若要从身高在[ 120 , 130），[130 ， 140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为。
4. 有以下四个命题:①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③与两定点(－1,0)、(1,0)距离之和等于2的点的轨迹为椭圆；④与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．其中真命题是。
5、我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中).如图,设点是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2是“果圆”与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a= ,b=6.（12分）如下图，给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的的值，（I）请把该程序框图对应的程序补充完整；（Ⅱ）若视为自变量，为函数值，试写出函数的解析式；（Ⅲ）若要使输入的的值与输出的的值相等,求输入的值的集合。
Input x（1） thenY=x^2ElseIfx<=5 then（2）7. （12分）（1）已知椭圆以点(-1,0)， (1,0) 为焦点且短轴长为2，求椭圆的标准方程.（2）求与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32， 2)的双曲线方程．8.（12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）（I）求x,y ;（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
2022学年高三数学复习 拓展精练36
数学知识复习拓展精练 （36）1．记集合M {}24x x =>，N {}230x x x =-≤，则=M N （ ）A ．{}23x x <≤ Ｂ．{}02x x x ><-或 C ．{}23x x -<≤ D ．{}02x x << 2．下列函数既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是（ ） A ．x x f sin )(= B ．|1|)(+-=x x f C ．)(21)(x xa a x f -+=D ．x x x f +-=22ln )(3．公差不为零的等差数列{a n }中，13521=++a a a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{a n }的公差等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知曲线31433y x =+，则曲线在点()2,4P 处的切线方程为 （ ）A ．4120x y +-=B ．440x y --=C ．280x y +-=D ．20x y -=5．若等比数列{}n a 的公比为q ，则“1q >”是“*1()n n a a n N +>∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6设椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+的离心率为e =12，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x xA ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能7．在ABC ∆中，oA b a 60,10,15===，则=B cosA ．322-B ．322C ．36-D ．368．当(0,)x π∈时，函数21cos 23sin ()sin x xf x x++=的最小值为（ ）A．．3 C．．49．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033m y x y x y x ，且y x + 的最大值为9，则实数=m （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则 （ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<参考答案。
2021年高考数学复习 拓展精练36
2021年高考数学复习 拓展精练361.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。
【解析】2．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为 ．【解析】3．已知非零向量与满足()·=0且= 12，则△ABC 的形状为___________． 【解析】等边三角形4. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数等于 .解析：由题意可知：抛物线的准线方程为，则点，双曲线的左顶点为，所以直线的斜率为，由题意可知：. 5. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，，，设是底面内一点，定义，其中分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 解析：依题意可知，111()()()112a a y xa x y a a x y x y x y+=++=+++≥++， 又恒成立，，解得，或.故的最小值为1.6、已知命题p ：向量=（1，1，）与向量=（-1，-1，）平行。
命题q ：方程表示双曲线。
若“”和“”都为真，求m 的取值范围。
()0,3121)(3)0,362""091"-3,20,312p m q m m m p p m p q q m ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅--<-<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⌝∴∴>⋅⋅⋅⋅⋅⋅∨∴∴<<∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅解：若为真，则分若为真，则（得分为真，为假，分又“为真，只能为真，所求m 的取值范围为分 7.（本题满分12分） 已知函数（1）若函数在处的切线平行于直线，求值。
（2）设函数，且在上单调递增，求实数的取值范围。
解：（1）又……………………4分 （2）x x e b x x e x x g ⋅+--+⋅--='∴)()12()(2=，……………………8分又在上单调递增，在上恒成立 即在上恒成立。
高三数学 拓展精练33 试题
数学知识复习制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
拓展精练 〔33〕1 〔此题满分是12分〕己知在锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222tan .abC a b c =+-〔Ⅰ〕求角C 大小；〔Ⅱ〕当1c =时，求22a b +的取值范围.2〔此题满分是12分〕 数列}{n a 是首项114a =的等比数列，其前n 项和n S 中3S ，4S ，2S 成等差数列， 〔1〕求数列}{n a 的通项公式； 〔2〕设12log n n b a =，假设12231111n n n T b b b b b b +=+++，求证：1162n T ≤<． 3如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60,90,A C ∠=︒∠=︒2CD =。
把ABD ∆沿BD 折起〔如图二〕，使二面角C BD A --的余弦值等于33。
对于图二， 〔Ⅰ〕求AC ；〔Ⅱ〕证明：⊥AC 平面BCD ； 〔Ⅲ〕求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值。
4〔本小题满分是12分〕设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点。
〔1〕求ABF ∆的重心G 的轨迹方程； 〔2〕假如2,m ABF =-∆求的外接圆的方程。
5． (此题满分是12分) 设函数2)ln()(x a x x f -+=，〔1〕假设(]0,0,a m =求f(x)在(0)m >上的最大值().g m 〔2〕假设()f x 在区间[1，2]上为减函数，求a 的取值范围。
〔3〕假设直线y x =为函数()f x 的图象的一条切线，求a 的值。
6〔本小题满分是10分〕选修4－1：几何证明选讲∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧AC 弧上的点〔不与点A,C 重合〕，延长BD 至E 。
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拓展精练 （3）
1. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若854,18S a a 则-=等于（ ）
A ．72
B ．54
C ． 36
D ．18
2．在等比数列{}n a ，37232a a ==，，则q =（ ）
A. 2
B. －2
C. ±2
D. 4
3．在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C=（ ）
A. 60°
B. 90°
C. 150°
D. 120°
4．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（ ）
A ．4
B ．34
C ．9
D ．18
5.已知0<<b a ，则下列式子中恒成立的是（ ）
A ．b a 1
1
< B ．b a 1
1> C ．22b a < D ． 1<b a
6. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）
A ．a=7，b=14，A=300有两解
B ．a=30，b=25，A=1500有一解
C ．a=6，b=9，A=450有两解
D ．a=9，c=10，B=600无解
7. 在首项为81，公差为-7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 ( ) 项
A . 11
B . 12 C. 13 D . 14
8．不等式x 2-ax-b<0的解为2<x<3，则a,b 值分别为（ ）
A.a=2,b=3
B.a=-2，b=3
C.a=5,b=-6
D.a=-5，b=6
9.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C
B A x x 有一个根为1，则△AB
C 一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
10．已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（
） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
11．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤0
B ．a <-4
C ．-<<40a
D ．-<≤40a
12.如果正数,,,a b c d 满足4a b cd +==，那么（ ）
A. ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一
B. ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一
C. ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一
D. ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.D
5.B
6.B
7.C
8.C
9.A 10.B 11.D 12.A。