第八章 立体几何初步第4课时 平面与平面的位置关系

第八章 立体几何初步第4课时平面与平面的位置关系1. (必修2P 50习题1改编)设a 、b 为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：① 若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；② 若a ⊥α且b ⊥α，则a ∥b ；③ 若a ∥α且a ∥β，则α∥β；④ 若a ⊥α且a ⊥β，则α∥β.其中为真命题的是________．(填序号) 答案：②④解析：①错，a ∥α，b ∥α，直线a 与b 可能相交、平行或异面；③错，若α∩β＝l ，a ∥l ，a Ëα，a Ëβ，则a ∥α，a ∥β.2. (必修2P 49练习4改编)如果平面α⊥平面β，直线l ⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系是________．答案：直线l 与平面α平行或直线l 在平面α内 解析：不要忽略直线l 在平面α内的情况．3. (必修2P 48习题12改编)已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a⊥α，a ∥β，则α、β的位置关系是________．答案：垂直解析：运用两平面垂直的判定方法．4. (必修2P 51习题16改编)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γÞβ⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是________．答案：2解析：若α、β换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γÞb ⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b Þb ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥αÞa ⊥b ”，此命题为真命题，故真命题共2个．5. (必修2P 49练习4改编)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：① ⎩⎪⎨⎪⎧a ∥c ，b ∥c Þa ∥b ；② ⎩⎪⎨⎪⎧a ∥γ，b ∥γÞa ∥b ；③ ⎩⎪⎨⎪⎧c ∥α，c ∥βÞα∥β； ④ ⎩⎪⎨⎪⎧α∥γ，β∥γÞα∥β；⑤ ⎩⎪⎨⎪⎧α∥c ，a ∥c Þα∥a ；⑥ ⎩⎪⎨⎪⎧α∥γa ∥γÞa ∥α. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①④解析：②错在a 、b 可能相交或异面．③错在α与β可能相交．⑤、⑥错在a 可能在α内．1. 两平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么我们就说这两个平面互相平行．2. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．3. 两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．4. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．[备课札记]题型1两平面的平行例1(2013·江苏)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E、G分别是棱SA、SC的中点．求证：(1) 平面EFG∥平面ABC；(2) BC⊥SA.证明：(1) ∵AS＝AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点．∵E、F分别是SA、SB的中点，∴EF∥AB.∵EFË平面ABC，ABÍ平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理FG∥平面ABC.∵EF∩FG＝F，EF、FGË平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC.(2) ∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AFÍ平面SAB，AF⊥SB，∴AF⊥平面SBC.∵BCÍ平面SBC，∴AF⊥BC.∵AB⊥BC，AB∩AF＝A，AB、AFÍ平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵SAÍ平面SAB，∴BC⊥SA.变式训练如图，在四棱锥PABCD 中，M 、N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行．证明：∵ O 、M 分别是AC 、PA 的中点，连结OM ，则OM ∥PC.∵ OM PCD ，PC 平面PCD ，∴ OM ∥平面PCD.同理，知ON ∥CD.∵ ON 平面PCD ，CD 平面PCD ，∴ ON ∥平面PCD.又OM ∩ON ＝O ，∴ OM 、ON 确定一个平面OMN.由两个平面平行的判定定理知平面OMN 与平面PCD 平行，即过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行．备选变式（教师专享）在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形. 求证：平面B 1AC ∥平面DC 1A 1. 证明：因为ABCDA 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以A 1C 1∥AC.又A 1C 1Ë平面B 1AC ，AC Ì平面B 1AC ， 所以A 1C 1∥平面B 1AC. 同理，A 1D ∥平面B 1AC.因为 A 1C 1、A 1D Ì平面DC 1A 1，A 1C 1∩A 1D ＝A 1， 所以平面B 1AC ∥平面DC 1A 1. 题型2 两平面的垂直关系例2 如图，三棱锥A-BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0＜λ＜1)．(1) 求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2) 当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD.(1) 证明：∵ AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥CD.∵ CD ⊥BC ，且AB ∩BC ＝B ，∴ CD ⊥平面ABC.∵ AE AC ＝AF AD＝λ(0＜λ＜1)，∴ 不论λ为何值，恒有EF ∥CD. ∴ EF ⊥平面ABC ，EF Ì平面BEF.∴ 不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. (2) 解：由(1)知，BE ⊥EF ，∵ 平面BEF ⊥平面ACD ，∴ BE ⊥平面ACD.∴ BE ⊥AC. ∵ BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴ BD ＝2，AB ＝2tan60°＝ 6. ∴ AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由AB 2＝AE·AC ，得AE ＝67.∴ λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD.备选变式（教师专享）(2013江宁高中期中)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2.(1) 求证： C 1E ∥平面ADF ；(2) 设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF? (1) 证明：连结CE 交AD 于O ，连结OF.因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，CF CC 1＝CO CE ＝23.从而OF//C 1E.OF Ì平面ADF ，C 1E Ë平面ADF ，所以C 1E ∥平面ADF. (2) 解： 当BM ＝1时，平面CAM ⊥平面ADF.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，由于B 1B ⊥平面ABC ，BB 1Ì平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC.由于AB ＝AC ，D 是BC 中点，所以AD ⊥BC.又平面B 1BCC 1∩平面ABC ＝BC, 所以AD ⊥平面B 1BCC 1.而CM Ì平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM.因为BM ＝CD ＝1，BC ＝ CF ＝2，所以Rt △CBM ≌Rt △FCD ，所以CM ⊥DF. DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF.CM ⊥平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF.当BM ＝1时，平面CAM ⊥平面ADF.题型3 平行与垂直的综合问题例3 如图①，E 、F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，∠B ＝90°，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角A 1EFB ，若M 为线段A 1C 中点．求证：(1) 直线FM ∥平面A 1EB ； (2) 平面A 1FC ⊥平面A 1BC.证明：(1) 取A 1B 中点N ，连结NE 、NM ，则MN ∥=12BC ，EF ∥=12BC ，所以MN ∥=FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ， 因为FM Ë平面A 1EB ，EN Ì平面A 1EB ， 所以直线FM ∥平面A 1EB.(2) 因为E 、F 分别为AB 和AC 的中点， 所以A 1F ＝FC ，所以FM ⊥A 1C. 同理，EN ⊥A 1B.由(1)知，FM ∥EN ，所以FM ⊥A 1B.因为A 1C ∩A 1B ＝A 1，所以FM ⊥平面A 1BC. 因为FM Ì平面A 1FC ， 所以平面A 1FC ⊥平面A 1BC. 备选变式（教师专享）如图①，E 、F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，∠B ＝90°，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角A 1EFB ，若M 为线段A 1C 的中点．求证：(1) 直线FM ∥平面A 1EB ； (2) 平面A 1FC ⊥平面A 1BC.证明：(1) 取A 1B 中点N ，连结NE 、NM ，则MN ∥=12BC ，EF ∥=12BC ，所以MN ∥=FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN.又FM 平面A 1EB ，EN Ì平面A 1EB ，所以直线FM ∥平面A 1EB.(2) 因为E 、F 分别为AB 和AC 的中点，所以A 1F ＝FC ，所以FM ⊥A 1C.同理，EN ⊥A 1B.由(1)知FM ∥EN ，所以FM ⊥A 1B.又A 1C ∩A 1B ＝A 1，所以FM ⊥平面A 1BC.因为FM Ì平面A 1FC ，所以平面A 1FC ⊥平面A 1BC.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，G 、H 分别为DC 、BC 的中点．(1) 求证：平面FGH ∥平面BDE ； (2) 求证：平面ACF ⊥平面BDE. 学生错解： 证明：(1) 如图，设AC 与BD 交于点O ，连结OE 、OH.由已知EF ＝12AB ，得EF ∥12AB.∵ OH ∥=12AB ，∴ EF ∥=OH ，∴ 四边形OEFH 为平行四边形，∴ FH ∥EO. ∵ G 、H 分别为DC 、BC 的中点，∴ GH ∥DB. ∴ 平面FGH ∥平面BDE.(2) 由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC. 又EF ∥AB ，∴ EF ⊥BC ， 而EF ⊥FB ，∴ EF ⊥平面BFC. ∵ FH Ì平面BFC ，∴ EF ⊥FH.∴ AB ⊥FH.又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴ FH ⊥BC ，∴ FH ⊥平面ABCD. ∴ FH ⊥AC.又FH ∥EO ，∴ AC ⊥EO. 又AC ⊥BD ，∴ AC ⊥平面BDE.又AC Ì平面ACF ，∴ 平面ACF ⊥平面BDE.审题引导： (1) 探索求解过程的关键是弄清线线平行线面平行面面平行；线线垂直线面垂直面面垂直；不要跳步造成错误，如本例(1)，易出现由线线平行直接推得面面平行，从而导致证明过程错误．(2) 正确理解运用线线、线面、面面的平行、垂直关系的判定定理和性质定理，特别注意将条件写完整，不可遗漏，如本例(2)在证明线、面垂直时，没有指出线线相交，就直接写出线面垂直，造成导致证明过程不严谨．规范解答： 证明： (1) 如图，设AC 与BD 交于点O ，连结OE 、OH ，由已知EF ＝12AB ，得EF ∥12AB.(2分)∵ OH ∥=12AB ，∴ EF ∥=OH ，∴ 四边形OEFH 为平行四边形，∴ FH ∥EO.(4分)∵ FH 平面BDE ，EO 平面BDE ，∴ FH ∥平面BDE. ∵ G 、H 分别为DC 、BC 的中点，∴ GH ∥DB.∵ GH Ë平面BDE ，DB Ì平面BDE ，∴ GH ∥平面BDE. 又∵ FH ∩GH ＝H ，∴ 平面FGH ∥平面BDE.(6分)(2) 由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC. 又EF ∥AB ，∴ EF ⊥BC ，(8分)而EF ⊥FB ，BC ∩FB ＝B ，∴ EF ⊥平面BFC. FH Ì平面BFC ，∴ EF ⊥FH.(10分)∴ AB ⊥FH ，又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴ FH ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴ FH ⊥平面ABCD. ∴ FH ⊥AC ，又FH ∥EO ，∴ AC ⊥EO.(12分) 又AC ⊥BD ，EO ∩BD ＝O ，∴ AC ⊥平面BDE. 又AC Ì平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BDE.(14分) 错因分析：证明两平面平行、垂直关系时一定要正确运用两平面平行或垂直的判定定理，并将相应的条件写全．本题(1)直接由线线平行推得面面平行，不符合面面平行的判定定理，导致证明过程不严谨．(2)在证明线、面垂直时，没有指出相交的条件；导致证题过程不正确．1. (2013·常州调研)给出下列命题：① 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；② 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③ 若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，真命题是________．(填序号) 答案：①③④ 解析：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确．因此真命题是①③④.2. 下列命题错误的是________．(填序号)① 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；② 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ③ 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ； ④ 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. 答案：④3. 如图所示，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析：由已知条件可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC属于平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.4. 如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图②，将△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC、BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．求证：(1) AE⊥BD；(2) 平面PEF⊥平面AECD.图①图②证明：(1) 取AE中点M，连结BM、DM、DE.∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形，∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM，DMÌ平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BDÌ平面BDM，∴AE⊥BD.(2) 连结CM交EF于点N，连结PN.∵ME∥FC，且ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．∵P是线段BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.∵PNÌ平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.5. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB ＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形．∴AD∥CF.又ADÌ平面ADD1A1，CFË平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1Ë平面ADD1A1，DD1Ì平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CC1、CFÌ平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.1. 在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，四边形ABDC 是菱形．(1) 求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； (2) 求该多面体的体积．(1) 证明：由正三棱柱ABCA 1B 1C 1，得BB 1⊥AD. 而四边形ABDC 是菱形，所以AD ⊥BC. 又BB 1Ì平面BB 1C 1C ，BC Ì平面BB 1C 1C ，且BC ∩BB 1＝B ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 又由AD Ì平面ADC 1，得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1. (2) 解：因为正三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为 V 1＝S △ABC ×AA 1＝23， 四棱锥DB 1C 1CB 的体积为V 2＝13S 平面BCC 1B 1×⎝⎛⎭⎫12AD ＝433， 所以该多面体的体积为V ＝1033.2. 如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直．EF ∥BD ，AB ＝2EF.求证：(1) BF ∥平面ACE ； (2) BF ⊥BD.证明： (1) AC 与BD 交于O 点，连结EO.正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ， ∴ BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ，∴ EFBO 是平行四边形 ∴ BF ∥EO ，又∵ BF Ë平面ACE ，EO Ì平面ACE ， ∴ BF ∥平面ACE.(2) 正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，BD Ì平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE ＝AC ，∴ BD ⊥平面ACE ，∵ EO Ì平面ACE∴ BD ⊥EO ，∵ EO ∥BF ，∴ BF ⊥BD.3. 如图，在正三棱柱ABCDEF中，AB＝2，AD＝1.P是CF的延长线上一点，FP＝t.过A、B、P三点的平面交FD于M，交FE于N.(1) 求证：MN∥平面CDE；(2) 当平面PAB⊥平面CDE时，求t的值．(1) 证明：因为AB∥DE，AB在平面FDE外，所以AB∥平面FDE.又MN是平面PAB 与平面FDE的交线，所以AB∥MN，故MN∥DE.因为MN平面CDE，DEÌ平面CDE，所以MN∥平面CDE.(2) 解：取AB中点G、DE中点H，连结GH，则由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PA＝PB知PG⊥AB.而与(1)同理可证AB平行于平面PAB与平面CDE的交线，因此，PG也垂直于该交线．又平面PAB⊥平面CDE，所以PG⊥平面CDE，所以PG⊥CH，于是△CGH∽△PCG，所以PCCG＝CGGH，即1＋t3＝31，解得t＝2.4. (2013·徐州三模)如图，AB、CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE.求证：(1) 平面BCEF⊥平面ACE；(2) 直线DF∥平面ACE.证明：(1) 因为CE⊥圆O所在的平面，BCÌ圆O所在的平面，所以CE⊥BC.因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC，因为AC∩CE＝C，AC，CEÌ平面ACE，所以BC⊥平面ACE，因为BCÌ平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE.(2) 由(1)AC⊥BC，又因为CD为圆O的直径，所以BD⊥BC，因为AC、BC、BD在同一平面内，所以AC∥BD，因为BDË平面ACE，ACÌ平面ACE，所以BD∥平面ACE.因为BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE，因为BD∩BF＝B，BD、BFÌ平面BDF，所以平面BDF∥平面ACE，因为DF平面BDF，所以DF∥平面ACE.1. 判断或证明面面平行的常用方法：(1) 利用两个平面平行的定义；(2) 利用两个平面平行的判定定理(aÌα，bÌα，a∩b＝A，a∥β，b∥βÞα∥β)．2. 判定面面垂直的方法：(1) 利用两个平面垂直的定义，两个平面所成的二面角是直二面角；(2) 利用平面与平面垂直的判定定理(l⊥α，lÌβÞα⊥β)．3. 平面与平面平行、垂直的性质的作用：(1) 两平面平行常常用来作为判定直线与平面平行或直线与直线平行的依据；(2) 两平面垂直常常用来作为判定直线与平面垂直的一个途径．4. 证明平行、垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行或垂直关系的相互转化，达到解题目的．。