新版高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换3-2-1(1)
高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4
π 2
(k∈Z)，且
α≠kπ＋4π(k≠Z)．当α＝kπ＋π2时，求tan2α应使用诱导公式．请
读者自己寻求tan2α＝2tanα的条件．
3．使用二倍角公式应注意的问题
(1)对“二倍角”应该有广义上的理解，不仅局限于2α是α
的2倍．只要公式中等号左边的角是右边角的2倍，就可以使用
二倍角公式，如3α与
自 (1)2sinαcosα S2α 我 (2)cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α C2α
校
2tanα
对 (3)1－tan2α T2α
思考探究 上述公式如何推导得到？ 提示 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可 得到．
名师点拨 1.对“倍角”的理解 (1)本节所说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字不能省略． (2)“倍”是描述两个数量关系的，2α是α的二倍，4α是2α 的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
变式训练2 求下列各式的值：(1)cos215°－sin215°； (2)cos1π2cos152π；(3)sin150°＋cos530°.
解
(1)原式＝cos(2×15°)＝cos30°＝
3 2.
(2)原式＝cos1π2sin1π2＝12sin6π＝14.
(3)原式＝coss5in05°＋0°co3ss5i0n°50°
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 求值、证明.
高一数学必修4同步练习：3-2-1三角恒等变换
3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2[答案] C[解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cos α2<0，∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2＝－cos α2. 2．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105B.105C ．－155D.155[答案] D[解析] ∵π2<α<π，∴π2<α2<π2，则sin α2＝1－cos α2＝155. 3.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12[答案] B[解析] 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2αtan2α.4．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )A.13 B.23 C.63D.16[答案] C[解析] ∵α为钝角，∴sin α2∴sin α2＝1－cos α2＝1＋132＝63. 5．化简cos2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin2αD ．1－sin2α[答案] D[解析] 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－sin2α. 6．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )A.12－32sin2x B.12＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x[答案] A[解析] f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋12－12cos2x ＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x＝12－32sin2x . 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( ) A ．2 B.32 C.2＋12D.1＋222[答案] C[解析] f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos x ·2(22cos x ＋22sin x )＝2cos x sin(x ＋π4)＝22[sin(2x ＋π4)＋sin π4]＝22sin(2x ＋π4)＋12∴当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )取得最大值即f (x )max ＝22×1＋12＝2＋12.8．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C.法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·cos π4－cos α·sinπ4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，故选C. 9．(2012·全国高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74 D.34[答案] D[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D 。
【新】版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】 由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 －79[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24·cos π12＝12sin π12·cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12·cos π12＝14sin π6＝18.∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33.∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°；(3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝－2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A.2 B.－2 C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C.－79D.－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值.【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α；(2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α)――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系⎩⎨⎧cos α或sin α，tan α――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值. 【导学号：70512043】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】 －45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式； 证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋A ＋2B2－1－A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边. 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【导学号：00680072】 【证明】 左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α＝α＋cos α22cos αα＋cos α＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α ＝12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 请利用倍角公式化简：2＋2＋2cos α(2π<α<3π). 【提示】 ∵2π<α<3π， ∴π<α2<3π2，π2<α4<3π4，∴2＋2＋2cos α＝2＋4cos2α2＝2－2cos α2＝4sin2α4＝2sin α4. 探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3×(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】 化简f x 的解析式→f x ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝Aωx ＋φ的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】 原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】 因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) 【导学号：00680073】 A.－32B.－12C.12D.32【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 11 【答案】 －565.求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8. 【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。
高中数学必修四 第三章三角恒等变换 3.2.1三角恒等变换
<
0.
∴tan
������ 2
=
−
1-cos������ 1+cos������
=
−
1-
3 3
1+
3 3
=
−
2-
3
=−
1 2
8-4
3
=
−
1 2
( 6- 2)2 =
22
6.
解法二:
用
tan
������ 2
=
1-cos������ sin������
来处理
∵α 为第四象限角,∴sin α<0.
∴sin α=−
(2)y=sin
x(cos
x-sin
x)+
1 2
=sin
xcos
x-sin2x+
1 2
=
1 2
sin
2x−
1-cos2������ 2
+
1 2
=
1 2
sin
2x+
1 2
cos
2x−
1 2
+
1 2
22
2
= 2 2 sin2������ + 2 cos2������
2
π
= 2 sin 2������ + 4 .
������ 2
的值为
()
A.
6 3
B.
−
6 3
C.
±
6 3
D.
±
3 3
解析:∵α∈(0,π),∴
������ 2
∈
0,
π 2
,
∴cos
������ 2
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A必修4 (1)
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
高中数学 第三章 三角恒等变换 3_1-3_1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式练习 新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级 基础巩固一、选择题1．sin 15°sin 75° 的值为( ) A.12 B.32 C.14 D.34解析：原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14. 答案：C2．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53 解析：因为sin α＝23， 所以cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 答案：B3.1－sin 24°等于( )A.2cos 12° B ．2cos 12° C ．cos 12°－sin 12° D ．sin 12°－cos 12°解析：1－sin 24°＝sin 2 12°－2sin 12°cos12°＋cos 212°＝ （sin 12°－cos 12°）2＝|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为( )A.78 B ．－78 C.34 D ．－34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－116×2＝78.答案：A5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于()A.22 B.33 C. 2 D.3解析：因为sin 2 α＋cos 2α＝14，所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝14所以cos α＝±12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝12，sin α＝32.所以tan α＝ 3.答案：D二、填空题 6．已知tan α＝－13，则sin 2α －cos 2 α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2 α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2 α1＋2cos 2α－1＝ 2sin αcos α－cos 2 α2cos 2 α＝tan α－12＝－56. 答案：－56 7．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________． 解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13， 所以cos 2θ＝1－2sin 2 θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：13 798．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________． 解析：法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， 所以 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725. 答案：725三、解答题9．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 解：原式sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin （－10°）cos 20°＝ －sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 10．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α、 β均为锐角，求α＋2 β的值． 解：因为tan β＝13，所以tan 2 β＝2tan β1－tan 2 β＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34，所以tan(α＋2 β )＝tan α＋tan 2 β1－tan αtan 2 β＝17＋341－17×34＝1. 0＜tan α＝17＜1，0＜tan β＝13＜1， 又已知α， β均为锐角，所以0＜α＜π4，0＜ β ＜π4，0＜2 β ＜π2， 所以0＜α＋2 β ＜3π4. 又tan(α＋2 β )＝1，所以α＋2 β＝π4. B 级 能力提升1．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝ 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝ 22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12. 因为x ∈R，所以2x －π4∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈[－1，1]， 所以函数y 的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12.答案：C2．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为 β，则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：24253．(2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解：(1)由题意知cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝－255， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝ 22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45， cos 2α＝2cos 2 α－1＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－33＋410.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
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1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
【2020】最新高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-2第1课时两角和与差的正
(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sinβ成立．(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A．0 B．12C．32D．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4＝________.－210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.][合 作 探 究·攻 重 难]给角求值问题(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( ) A．－32B．－12C．12D．32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513， ∴cos θ＝－1－sin2θ＝－1213， ∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513 ＝－12＋5326. (3)原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin －50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.][规律方法] 解决给角求值问题的策略 1对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.2一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.[跟踪训练] 1．化简求值： (1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin20°＋30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题(1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值.[思路探究](1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sinα，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [(1)由题意可得，cos∠xOP ＝45，所以sin ∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513， 可得sin∠xOQ ＝－1213， 所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·si n ∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.(2)①因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2， 所以sin α＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.][规律方法] 给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. 2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.[跟踪训练]2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2， 所以－π2＜α－β＜π2， 因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55， 所以sin β＝s in[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cosx (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a2＋b2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式．提示：a sin x ＋b cos x＝a2＋b2⎝⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin x ＋b a2＋b2cos x ， 令cos φ＝a a2＋b2，sin φ＝ba2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a2＋b2(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝a2＋b2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a2＋b2和cos φ＝aa2＋b2共同确定)． (1)sinπ12－3cos π12＝________. (2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cosx )，x ∈R ，f (x )＝a·b ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间.[思路探究]解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [(1)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－si n π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－co s π12sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2.法二：(化余弦)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－co s π6cos π12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2kπ，π4＋2kπ，k ∈Z .[规律方法] 辅助角公式及其运用 1公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin α＋φ或a sin α＋b cos α＝a2＋b2cosα－φ将形如a sinα＋b cosαa ，b 不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A．－32B．－12C．12D．32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°， ∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.]2．化简2cos x －6sin x 等于( ) A．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xD．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋xD [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x－si n π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .]。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.知识与技能以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程,培养学生发现数学规律的思维方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,并体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习,培养学生的探索精神和应用意识,体会数学的科学价值和应用价值,不断提高自身的文化修养.重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点:二倍角的理解及其灵活运用.1.+2的化简结果是()A.2cos 4-4sin 4B.2sin 4C.2sin 4-4cos 4D.-2sin 4解析:原式=+2+2=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.∵sin 4<0,sin 4<cos 4,∴原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.答案:A2.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是.解析:f(x)=sin-2sin2x=sin 2x-cos 2x-2=sin 2x+cos 2x-=sin,故该函数的最小周期为=π.答案:π3.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,已知点P的坐标为.(1)求的值;(2)若=0,求sin(α+β).解:(1)由三角函数定义得cos α=-,sin α=,∴原式===2cos2α=2×.(2)∵=0,∴α-β=.∴β=α-.∴sin β=sin=-cos α=,cos β=cos=sin α=.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.。
人教A版数学必修四培优教程练习：第3章 三角恒等变换3-1-2-1a
A 级：基础巩固练一、选择题1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin x D ．－sin x答案 D解析 cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x . 2．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值为( )A ．－235B ．235C ．－45D ．45答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋12sin α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.3．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析 由根与系数的关系可知tan α＋tan β＝3， tan αtan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32答案 B解析 因为f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，所以f (x )的值域为[－3，3]．5．△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定答案 B解析 ∵0<tan A ·tan B <1， ∴tan A >0，tan B >0，tan(A ＋B )＝－tan C ＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B >0.∴tan C <0，又∵0<C <π，∴π2<C <π. 二、填空题6.cos23°＋sin15°sin8°sin23°－cos15°sin8°的值为________．答案 2＋ 3解析 原式＝cos (15°＋8°)＋sin15°sin8°sin (15°＋8°)－cos15°sin8°＝cos15°cos8°sin15°cos8° ＝cos15°sin15°＝cos (45°－30°)sin (45°－30°)＝22⎝⎛⎭⎪⎫32＋1222⎝⎛⎭⎪⎫32－12＝2＋ 3. 7．若点P (－3,4)在角α的终边上，点Q (－1，－2)在角β的终边上，则sin(α－β)＝________，cos(α＋β)＝________.答案 －255 11525解析 因为点P (－3,4)在角α的终边上，所以r ＝5， 故sin α＝45，cos α＝－35.又因为点Q (－1，－2)在角β的终边上， 所以r ′＝5，故sin β＝－255，cos β＝－55，则sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－255.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－45×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝11525.8．在△ABC 中，A ＝120°，则sin B ＋sin C 的最大值为________． 答案 1解析 由A ＝120°，A ＋B ＋C ＝180°，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )．显然当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α ＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α ＝sin[(α＋β)－α]sin α ＝sin βsin α.10．(1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sin π12＋cos π12；(3)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．解 (1)因为α为第一象限角，β为第二象限角， sin α＝35，cos β＝－513，所以cos α＝45，sin β＝1213，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎪⎫－513＋45×1213＝3365，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×1213＝－6365.(2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝ 2.(3)tan A ＝tan[180°－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3，而0°<A <180°，∴A ＝120°.tan C ＝tan[180°－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝tan A ＋tan Btan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B＝33，而0°<C <180°，∴C ＝30°，∴B ＝180°－120°－30°＝30°，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．B 级：能力提升练1．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( )A ．π6B ．5π6C ．π6或5π6D ．π3或2π3答案 A解析 由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sin B ＞0，所以cos A ＜13.又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3. 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6.2．已知0<α<π2<β<π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝4－3310，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．解 (1)∵0<α<π2<β<π，∴－π3<α－π3<π6，0<β－α<π. 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝4－3310，cos(β－α)＝210得 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝3＋4310，sin(β－α)＝7210. 于是sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3sin π3 ＝4－3310×12＋3＋4310×32＝45.(2)由(1)知sin α＝45且0<α<π2，所以cos α＝35.于是cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝210×35－7210×45＝－22，因为π2<β<π，所以β＝3π4.由Ruize收集整理。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习(含解析)新人教A版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习（含解析）新人教A 版必修41．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247B ．2425，725，247C ．－2425，－725，247D ．2425，－725，－247答案 A解析 因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，cos2α＝725，则cos α＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．35 答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴22sin α＋22cos α＝7210，即sin α＋cos α＝75，∵cos2α＝725，∴cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，∴cos α－sin α＝15，可得cos α＝45，故选A ．3．1－tan 215°2t an15°等于( )A ． 3B ．33C ．1D ．－1 答案 A解析 原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝3．4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( ) A ．62 B ．32 C ．54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54．5．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°等于( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2 答案 B解析 原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1．6．3－sin70°2－cos 210°的值是________． 答案 2 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2． 7．若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 由cos(75°－α)＝13，得cos(150°－2α)＝2cos 2(75°－α)－1＝－79，则cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)] ＝－cos(150°－2α)＝79．8．若α∈2，2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2 C ．2sin α2 D ．－2sin α2 答案 D解析 ∵α∈5π2，7π2，∴α2∈5π4，7π4，∴原式＝sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2． 9．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25 答案 C解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2cos2αcos π4＋sin2αsinπ4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145．10．已知sin x 2－2cos x2＝0．(1)求tan x 的值；(2)求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x 的值．解 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43．(2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x ＝cos2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin x＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x22cos x －sin x sin x＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24．对应学生用书P90一、选择题1．12－sin 215°＝( ) A ．64 B ．6－24 C ．32 D ．34答案 D解析 原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 ∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1＝－cos2x 2＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x ，∴函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是最小正周期为2π的奇函数．3．已知cos π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析 因为sin2x ＝cos π2－2x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1，所以sin2x ＝2×352－1＝1825－1＝－725．4．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1 答案 B解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．5．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12C ．12D ．72 答案 C解析 cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．二、填空题6．已知tan x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案 49解析 ∵tan x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13．∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x2＝1－192＝49． 7．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈0，π2，则 α＝________．答案π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0． ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0． ∵α∈0，π2．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．8．设a ＝12cos7°－32sin7°，b ＝2cos12°·cos78°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c >b >a解析 a ＝12cos7°－32sin7°＝sin30°cos7°－cos30°sin7°＝sin(30°－7°)＝sin23°，b ＝2cos12°cos78°＝2sin12°·cos12°＝sin24°，c ＝1－cos50°2＝1－1－2sin 225°2＝sin 225°＝sin25°，所以c >b >a ．三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan 230°； (5)求s in10°sin30°sin50°sin70°的值． 解 (1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24．(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32． (3)2cos25π12－1＝cos 5π6＝－32． (4)tan30°1－tan 230°＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32． (5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝sin20°sin50°sin70°2cos10°＝sin20°cos20°sin50°2cos10°＝sin40°sin50°4cos10°＝sin40°cos40°4cos10°＝sin80°8cos10°＝18，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝116．解法二：sin10°sin30°sin50°sin70°＝12cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116．10．已知α为钝角，且tan π4－α＝2．(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．解 (1)tan π4－α＝1－tan α1＋tan α，所以1－tan α1＋tan α＝2，1－tan α＝2＋2tan α，所以tan α＝－13．(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α．因为tan α＝－13，所以cos α＝－3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为钝角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010．。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04
，π＜2α＜ ，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜ ，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二 积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解： 由于 cos2
1 cos 1
4
2
1
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3.2简单的三角恒等变换
第1课时三角恒等变换
课时过关·能力提升
基础巩固1设5π<θ<6π,co
A.
C.
解析:若5π<θ<6π,
则si
答案:D
2y=sin x cos x+sin2x可化为()
A.y
B.y
C.y=si
D.y=2si
解析:y2x
2x2x
答案:A
3已知cos α=
A.
C.
解析:si
答案:D
A.tan α
B.tan 2α
C.1 D
解析:原2α.
答案:B
5化
A.sin α
B.cos α
C.1+sin 2α
D.1-sin 2α解析:原
=2si
=2cos
=1+co2α.
答案:D
6已知sin θ
解析:∵θ∈
∴cosθ=
∴co
答案:
7
解析:由已知
α+cosα
答案:
8已知ta
解析:∵ta
cosα
答案:
9已知sin θ+cos θ=2sin α,sin2β=sin θcos θ,求证:2cos 2α=cos 2β.
分析观察已知条件和要证的结论,发现要证的等式中不含角θ,因此从已知条件中消去角θ,问题即可得证.证明由题意,
①2-②×2,得4sin2α-2sin2β=1.
∴1-2sin2β=2-4sin2α,
则有cos2β=2cos2α.
10已知函数f(x)=2sin(π-x)cos x.
(1)将f(x)化为A sin(ωx+φ)的形式(A>0,ω>0);
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)在区
解(1)f(x)=2sin(π-x)cos x
=2sin x cos x=sin2x.
(2)由(1)知函数f(x)的最小正周期为T
(3)≤x≤≤2x≤π,。