高中数学必修一必修四综合测试题二
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考考点训练
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考考点训练单选题1、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A2、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN )，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg2≈0.3010） A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 将信噪比SN 从1000提升至5000时，C 大约增加了Wlog 2(1+5000)−Wlog 2(1+1000)Wlog 2(1+1000)=log 25001−log 21001log 21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B.3、设函数f (x )=lg (x 2+1)，则使得f (3x −2)>f (x −4)成立的x 的取值范围为（ ）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x<−1或x>32，故选：D．4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69答案：C分析：将t=t∗代入函数I(t)=K1+e−0.23(t−53)结合I(t∗)=0.95K求得t∗即可得解.∵I(t)=K1+e−0.23(t−53)，所以I(t∗)=K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K，则e0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t∗−53)=ln19≈3，解得t∗≈30.23+53≈66.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5、若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（ ） A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2D ．a <b 2 答案：B分析：设f(x)=2x +log 2x ，利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.设f(x)=2x +log 2x ，则f(x)为增函数，因为2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b所以f(a)−f(2b)= 2a +log 2a −(22b +log 22b)= 22b +log 2b −(22b +log 22b) =log 212=−1<0，所以f(a)<f(2b)，所以a <2b .f(a)−f(b 2)= 2a +log 2a −(2b 2+log 2b 2)= 22b +log 2b −(2b 2+log 2b 2)= 22b −2b 2−log 2b ， 当b =1时，f(a)−f(b 2)=2>0，此时f(a)>f(b 2)，有a >b 2当b =2时，f(a)−f(b 2)=−1<0，此时f(a)<f(b 2)，有a <b 2，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 6、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43， 所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).7、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a−(14)b=(12)a−(12)b，即[(12)a−(12)b][(12)a+(12)b]=(12)a−(12)b≠0， 所以(12)a+(12)b=1，故选：B ．8、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ） A ．7B ．10C ．12D ．34 答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12， 故选：C9、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1 x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.填空题11、已知a=lg5，用a表示lg20=__________.答案：2−a分析：直接利用对数的运算性质求解因为a=lg5，所以lg20=lg1005=lg100−lg5=2−a，所以答案是：2−a12、函数y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点___________．答案：(−1,1)分析：利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.当x+1=0，即x=−1时，y=a0=1，所以y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点(−1,1).所以答案是：(−1,1)13、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题14、已知a 12+a−12=3，求下列各式的值.(1)a+a−1；(2)a2+a−2；(3)a 32+a−32+2a2+a−2+3.答案：(1)7(2)47(3)25分析：(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a+a−1的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a2+a−2的值；(3)首先利用立方差公式可得a 32+a−32=(a12+a−12)(a−1+a−1)，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.（1）将a 12+a−12=3两边平方，得a +a −1+2=9，所以a +a −1=7． （2）将a +a −1=7两边平方，得a 2+a −2+2=49， 所以a 2+a 2=47． （3）∵a 12+a −12=3，a +a −1=7，a 2+a 2=47， ∴a 32+a−32=(a 12)3+(a −12)3=(a 12+a −12)(a −1+a −1)=3×(7−1)=18，∴a 32+a−32+2a 2+a −2+3=18+247+3=25．15、已知函数f (x )=log a (a x −1)（a >0，a ≠1） （1）当a =12时，求函数f (x )的定义域；（2）当a =2时，存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）(−∞,0)；（2）m <log 279,.分析：（1）利用真数大于0，即可求解定义域；（2）令g (x )=f (x )−log 2(1+2x )=log 2(2x −12x +1)，由题意可知m <g (x )max ，令t =2x −12x +1，求解t 的取值范围，然后可求g (x )max ，从而求出m 的取值范围.（1）当a =12时，f (x )=log 12(12x −1)，故：12x −1>0，解得：x <0，故函数f (x )的定义域为(−∞,0)；（2）由题意知，f (x )=log 2(2x −1)（a >1），定义域为x ∈(0,+∞)，易知f (x )为x ∈(0,+∞)上的增函数， 设g (x )=f (x )−log 2(1+2x )=log 2(2x −12x +1)，x ∈[1,3]，设t =2x −12x +1=1−22x +1，x ∈[1,3]，故2x +1∈[3,9]，t =1−22x +1∈[13,79]，因为g (x )=log 2t 单调递增，则g (x )∈[log 213,log 279].因为存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立故：m <g (x )max ,即m <log 279.。
高中数学必修一、必修四、必修二综合练习(含答案)
高中数学必修一、必修四、必修二综合练习一． 选择题：1．函数()12x f x =-的定义域是 （ ）A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,)-∞+∞2．下列四个命题中正确的是（ ）A ．lg 2lg3lg5⋅=B ．mn n m a a a =⋅C ．a a n n =D ．yxy x aa a log log log =- 3. cos300︒= （ ）(A)32-(B)-12 (C)12(D) 32 4．正三角形ABC 的边长为1，设=u u u rAB c ，=u u u r BC a ，=u u u r CA b ，那么a b b c c a ++g g g 的值是（ ） A ．32 B ．12 C ．32- D ．12- 5．在正项等比数列{}n a 中，若232a a +=，458a a +=，则56a a += （ ）A.16B. 32C. 36D. 646. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝40，那么判断框中应填入 A ．6k ≤ B ．5k ≤ C ．6k ≥ D ．5k ≥ 7．已知1x > ，则11y x x =+-的最小值为 （ ） A.1 B. 2 C. 22 D. 38.已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是 （ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--9．已知全集{}0,1,2U =，且{}2U C A =，则集合A 的子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度二、填空题（每小题5分，共20分）11．已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．12. 满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________． 13．已知3cos()25πα-=，则cos2α= 14．对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f gf g f Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(,若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，则=+)2()1(h h 。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,D(2,0)-， 由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494． 【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解． 【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==， 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒， 在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。
人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试卷
《第四章 指数函数与对数函数》测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）=log 2 (x 2-3x -4)的单调递减区间为（ ） A ．（-∞，-1）B ．（-∞，-1.5）C ．（1.5，+∞）D ．（4，+∞）2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ） A ．且 B ．且 C ．且 D ． 3．函数为增函数的区间是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知函数y =log a (3-ax )在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，3） C ．（0，3）D ．[3，+∞]5．若实数满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在（-∞，0]上单调递减，且f ( ) = 2，则不等式f (log 4x )>2的解集为（ ）A ．（0， ）∪（2，+∞）B .（2，+∞）C ．（0， ）∪（ ， + ∞ ）D ．（0， ）7．三个数，，之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．()21xy a =-x a 0a >1a ≠0a ≥1a ≠12a >1a ≠12a ≥2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,-+∞(],1-∞-[)1,+∞(],1-∞,a b 3412a b ==11a b+=121516120.3a =0.32b =2log 0.3c =a c b <<c a b <<c b a <<b c a <<2121222228．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）A ．当时，的定义域为B ．一定有最小值C ．当时，的值域为D ．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ． B ．CD10．已知函数，下面说法正确的有（ ）A ．的图像关于原点对称B ．的图像关于轴对称C ．的值域为D ．对于任意的，且，恒成立11．若，，则（ ） A ． B ． C ．D ．12．已知函数f (x )=x 2-2x+a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是（ ） A ．a ＜1 B ．若x 1≠x 2，则= C ．f （-1）=f （3） D ．函数y=f （∣x ∣）有四个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．()()2lg 1f x x ax a =+--0a =()f x R ()f x 0a =()f x R ()f x [)2,+∞a {}4|a a ≥-347a a a ⋅=()326a a -=a =π=-()2121x x f x -=+()f x ()f x y ()f x ()1,1-12,x x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-104a =1025b =2a b +=1b a -=281g 2ab >lg 6b a ->2x 11x 1+a213．当_________． 14．函数的值域是________．15．若，则________．16．函数的定义域为______，最小值为______．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解下列方程．（1）； （2（3）．18．（12分）求下列函数的定义域、值域．（1）； （2）．19．（12分）（1）求函数的单调区间；（2）求函数的单调区间．2x <3=23x y -=1232494log 7log 9log log a ⋅⋅=a =()()212log 23f x x x =--+32381x -=256550x x -⨯+=313x xy =+421x xy =-+261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20． 已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若有零点，求的取值范围。
人教A版高中数学必修1全册练习题
人教A版高中数学必修1全册练习题高中数学必修1练习题集第一章、集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示例1.用符号和填空。
⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，________A，______A；⑵设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+______B；⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。
⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵1，，，，这些数组成的集合有五个元素；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。
例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。
例4.用列举法和描述法表示方程组的解集。
典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x{1，0，x}，求实数x的值。
题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。
若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。
2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。
3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。
⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。
题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.题型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。
高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)
高一数学必修一综合测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或02、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ )A 、奇函数，且在(0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数3。
已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射,若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是（ ）A .3B .4C 。
5D .6 4。
下列各组函数中表示同一函数的是( ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(, ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x fA 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸5．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,,且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ）A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)252(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)252(2++a a f6。
设⎪⎩⎪⎨⎧-=-)1(log 2)(231x ex f x )2()2(≥<x x 则[])2(f f =（ ） A 。
2 B .3 C .9 D 。
187．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）8。
人教版高中数学选择性必修第一册-综合检测卷(含解析)
人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π32．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋cD ．－12a ＋b －12c4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 26．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝07.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427B.77C.33D.638．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为111．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为25512．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知点F2为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝2π3，S△AF2B＝23，则双曲线C的虚轴长为________．16．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0<k≤3，则e的取值范围为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．(1)求直线AC的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．(1)求圆C的方程；(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝22，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.(1)求证：BD⊥平面AA1C1；(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.542．已知四面体顶点A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)和D (－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为()A ．8B ．9C ．10D ．113.如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2.下列结论中正确的是()A.SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0B.SA →－SB →＋SC →－SD →＝0C.SA →·SB →＋SC →·SD →＝0D.SA →·SC →＝04．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．56．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．167．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．228．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为411．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π312．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足|PA||PB|＝12.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是()A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝1 2C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P的轨迹方程为________．15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是22318.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC ∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离．20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋ 3.过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若m＝1，OM→＋3OD→＝0，求k的值；(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案A解析设直线的倾斜角为α，则tan α＝3＋3－34－1＝33，∴α＝π6.故选A.2．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案B 解析椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2.故选B.3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋c D ．－12a ＋b －12c答案A解析OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋12AC →＝OA →＋12(OC →－OA →)＝12OA →＋12OC →，因此BD →＝OD →－OB →＝12OA→－OB →＋12OC →＝12a －b ＋12c .4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)答案B解析设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝6，则x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2，所以所求点的坐标为(3，2)．故选B.5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 2答案B解析在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE →＝AB →＋BE →，AF →＝12AD →，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·12→＝12AB →·AD →＋12BE →·AD →.因为ABCD 是正四面体，所以BE ⊥AD ，∠BAD ＝π3，即BE →·AD →＝0，AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos π3＝12a 2，所以AE →·AF →＝14a 2.故选B.6．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案D解析由题意设圆心坐标为C (a ，0)(a >0)，∵圆C 与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，∴|3a ＋0＋4|9＋16＝2，解得a ＝2.∴圆心为C (2，0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选D.7.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427 B.77C.33D.63答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，3，0)．PB →＝(2，0，－2)，CD →＝(－2，1，0)，PD →＝(0，3，－2)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，2x ＋y ＝0，y －2z ＝0.取x ＝1得n ＝(1，2，3)．cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－422×14＝－77，可得PB 与平面PCD 所成角的正弦值为77.故选B.8．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5答案A解析如图，由题意知以OF ＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝由|PQ |＝|OF |，得c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya ＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)答案BD 解析对于A ，若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为零，故不能用方程x a ＋ya＝1表示，所以A 错误；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 错误；对于D y ＝x ＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以D 正确．故选BD.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为1答案AC解析对于A ，因为E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，所以EF ∥A 1C 1，且EF ⊂平面CEF ，故A 1C 1∥平面CEF 成立，A 正确；对于B ，以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，A (2，0，0，)，B 1(2，2，2)，D 1(0，0，2)，E (1，0，2)，F (0，1，2)，B 1D →＝(－2，－2，－2)，FC →＝(0，1，－2)，因为B 1D →·FC →＝0－2＋4＝2≠0，所以B 1D →与FC →不垂直，又CF ⊂平面CEF ，所以B 1D 与平面CEF 不垂直，B 错误；对于C ，12DA →＋DD 1→－DC →＝12(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，又CE →＝(1，－2，2)，所以CE →＝12DA→＋DD 1→－DC →成立，C 正确；对于D ，连接B 1E ，EF →＝(－1，1，0)，EC →＝(－1，2，－2)，设平面EFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·n ＝0，·n ＝0，x ＋y ＝0，x ＋2y －2z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，2，1)，又B 1E →＝(－1，－2，0)，所以点B 1到平面CEF 的距离d ＝|B 1E →·n ||n |＝63＝2，D 错误．故选AC.11．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为255答案BC解析∵x 26＋y 2＝1，∴a ＝6，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝6－1＝5，则C 的焦距为25，e ＝ca＝56＝306.设P (x ，y )(－6≤x ≤6)，则|PD |2＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋1－x 26＝＋45≥45>15，可知圆D 在C 的内部，且|PQ |的最小值为45－15＝55.故选BC.12．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内答案BCD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由题意可得（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16.对于A ，将原点坐标(0，0)代入方程得2×2＝4≠16，故A 错误；对于B ，设点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 1(x ，－y )，P 2(－x ，y )，因为（x ＋2）2＋（－y ）2·（x －2）2＋（－y ）2＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16，（－x ＋2）2＋y 2·（－x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋y 2·（x ＋2）2＋y 2＝16，所以点P 1，P 2都在曲线C 上，所以曲线C 关于x 轴、y 轴对称，故B 正确；对于C ，设|PM |＝a ，|PN |＝b ，∠MPN ＝θ(0<θ<π)，则ab ＝16，由余弦定理得cos θ＝a 2＋b 2－162ab ＝a 2＋b 2－1632≥2ab －1632＝12，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，则θ，π3，所以sin θ≤32，则△MPN 的面积S △MPN ＝12ab sin θ≤12×16×32＝43，故C正确；对于D ，由16＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2≥（x ＋2）2·（x －2）2＝|x 2－4|，可得－16≤x 2－4≤16，得0≤x 2≤20，解得－25≤x ≤25，由C 知，S △MPN ＝12|MN |·|y |＝12×4×|y |≤43，得|y |≤23，因为45×43＝1615<64，所以曲线C 在一个面积为64的矩形内，故D 正确．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．答案23a －13b ＋23c 解析PG →＝PB →＋BG→＝PB →＋23BD→＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23[(PA →－PB →)＋(PC →－PB →)]＝PB →＋23(PA →－2PB →＋PC →)＝23PA →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)答案(x －2)2＋(y －1)2＝12x ＋y －4＝0解析设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，＝x 1＋42，＝y 1＋22，1＝2x －4，1＝2y －2.因为x 12＋y 12＝4，所以(2x －4)2＋(2y －2)2＝4.整理得(x －2)2＋(y －1)2＝1.①又圆C ：x 2＋y 2＝4，②由①－②得2x ＋y －4＝0，即为所求直线方程．15．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx 交双曲线C 于A ，B两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则双曲线C 的虚轴长为________．答案22解析由题意知点B 与点A 关于原点对称，设双曲线的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以∠F 1AF 2＝π3，设|AF 2|＝m ，不妨设点A 在点B 右侧，则|AF 1|＝2a ＋m .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝m 2＋(m ＋2a )2－m (m ＋2a )，化简得4c 2－4a 2＝m 2＋2ma ，即4b 2＝m (m ＋2a )．又S △AF 2B ＝12m (m ＋2a )·32＝23，所以b 2＝2，所以2b ＝2 2.16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．答案[3－1，1)解析设A (m ，n )，则B (－m ，－n )，则k ＝nm，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点，所以OM ∥BF 1，同理ON ∥AF 1，所以四边形OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，而AF 1→＝(1－m ，－n )，BF 1→＝(1＋m ，n )，所以(1－m )(1＋m )－n 2＝0，即m 2＋n 2＝1，又m 2a 2＋n 2b 2＝1，于是有m 2a 2＋n 2b 2＝m 2＋n 2，从而1a 2－11－1b 2＝n 2m 2＝k 2≤3，即1a 2＋3b2≥4，将b 2＝a 2－1代入上式，整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32，又a >c ＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e <1.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三角形的顶点A (2，3)，B (0，－1)，C (－2，1)．(1)求直线AC 的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B 关于直线AC 的对称点D 的坐标．②若直线l 过点B 且与直线AC 交于点E ，|BE |＝3，求直线l 的方程．思路分析(1)由A (2，3)，C (－2，1)，可求出直线AC 的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；(2)选①由对称点的性质即可求出；选②设出E ，12t ＋t 的值，根据B ，E 两点的坐标即可求出直线的方程．解析(1)因为直线AC 的斜率为k AC ＝12，所以直线AC 的方程为y －3＝12(x －2)，即直线AC 的方程为x －2y ＋4＝0.(2)选择问题①：设D 的坐标为(m ，n )，·12＝－1，2·n －12＋4＝0，＝－125，＝195.所以点D －125，选择问题②：设E，12t ＋|BE |＝33，解得t ＝0或t ＝－125.所以E 的坐标为(0，2)－125，所以直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＋4＝0.18．(12分)已知圆C 经过三点O (0，0)，A (1，3)，B (4，0)．(1)求圆C 的方程；(2)求过点P (3，6)且被圆C 截得弦长为4的直线的方程．解析(1)由题意，设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＝0，＋9＋D ＋3E ＋F ＝0＋4D ＋F ＝0，＝－4，＝－2，＝0.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由(1)知圆心坐标为C (2，1)，半径为5，弦长为4时，圆心C 到直线的距离为1.①若直线斜率不存在，则直线方程为x ＝3，经检验符合题意；②若直线斜率存在，设直线斜率为k ，则直线方程为y －6＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋6＝0，则|5－k |1＋k 2＝1，解得k ＝125，所以直线方程为y －6＝125(x －3)，即12x －5y －6＝0.综上可知，直线方程为x ＝3或12x －5y －6＝0.19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解析(1)若△POF 2为等边三角形，则P ，±32c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得c 24a2＋3c 24b2＝1，解得e 2＝4±23，所以e ＝3－1(3＋1已舍去)．(2)由题意可得|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，所以(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|＝4c 2，所以2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1→|·|PF 2→|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝b 2＝16，解得b ＝4.因为(|PF 1→|＋|PF 2→|)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即(2a )2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即a 2≥|PF 1→|·|PF 2→|，所以a 2≥32，所以a ≥42，即a 的取值范围为[42，＋∞)．20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且△PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，BC ＝22，M 为BC 的中点．(1)求证：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离．解析以点D 为原点，分别以直线DA ，DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D (0，0，0)，P (0，1，3)，A (22，0，0)，M (2，2，0)，PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2，0)．(1)证明：∵PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .(2)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAM 的法向量，·PM →＝0，·AM →＝0，y －3z ＝0，＋2y ＝0，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．取p ＝(0，0，1)，显然p 为平面ABCD 的一个法向量，∵cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝36＝22，∴二面角P －AM －D 的大小为45°.(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ，由(2)可知n ＝(2，1，3)为平面AMP 的一个法向量，∴d ＝|DA →·n ||n |＝|22×2|2＋1＋3＝263，即点D 到平面AMP 的距离为263.21．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠AA 1C 1＝60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D .(1)求证：BD ⊥平面AA 1C 1；(2)设点E 是直线B 1C 1上一点，且DE ∥平面AA 1B 1B ，求平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值．解析(1)证明：由已知得侧面AA 1C 1C 是菱形，D 是AC 1的中点．∵BA ＝BC 1，∴BD ⊥AC 1.∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面AA 1C 1C ＝AC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)设点F 是A 1C 1的中点，连接DF ，EF ，∵点D 是AC 1的中点，∴DF ∥平面AA 1B 1B .又∵DE ∥平面AA 1B 1B ，∴平面DEF ∥平面AA 1B 1B .又∵平面DEF ∩平面A 1B 1C 1＝EF ，平面AA 1B 1B ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1.∴点E 是B 1C 1的中点．如图，以D 为原点，以DA 1，DA ，DB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC 1＝2，AD ＝1，BD ＝A 1D ＝DC ＝3，BC ＝6，∴D (0，0，0)，A (0，1，0)，A 1(3，0，0)，B (0，0，3)，C 1(0，－1，0)．设平面EBD 的法向量是m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥DB →，得3z ＝0⇒z ＝0.又DE →＝12(DC 1→＋DB 1→)＝12(DC 1→＋DB →＋AA 1→)1由m ⊥DE →，得(x ，y ，z10⇒32x －y ＝0.令x ＝1，得y ＝32，∴m ，32，∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，DA 1⊥AC 1，∴DA 1⊥平面ABC 1.∴DA 1→是平面ABC 1的一个法向量，DA 1→＝(3，0，0)．∴cos 〈m ，DA 1→〉＝31＋34×3＝277，∴平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值是277.22．(12分)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析(1)由题意知P 为线段MN 的中点，设N (x ，y )，则M (－x ，0)，由PM →·PF →＝0x，∴(－x )·10，∴y 2＝4x (x ＞0)，∴点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．(2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当l 与x 轴垂直时，则由OA →·OB →＝－4，得y 1＝22，y 2＝－22，|AB |＝42<46，不合题意．故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝－4.由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上有y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又2＝4x ，＝kx ＋b ，联立消x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.∴4bk ＝－8，b ＝－2k.∴Δ＝16(1＋2k 2)，|AB |2y1－y 2)2∵46≤|AB |≤430，∴96480.解得直线l的斜率取值范围为－1，－12∪12，1.1．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54答案B2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC的距离为()A．8B．9C．10D．11答案D解析设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则·AB→＝0，·AC→＝0，x，y，z）·（2，－2，－3）＝0，x，y，z）·（4，0，6）＝0.x－2y－3z＝0，x＋6z＝0＝2x，＝－23x，令x＝1，则n，2AD→＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD→·n||n|＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是()A.SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0B.SA→－SB→＋SC→－SD→＝0C.SA→·SB→＋SC→·SD→＝0D.SA→·SC→＝0答案B解析本题考查空间向量的加减运算和数量积．由题意易知A错误；因为SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以B正确；因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →≠0，所以C 错误；连接AC ，在△SAC 中，SA ＝SC ＝2，AC ＝2，所以∠ASC ≠90°，所以cos ∠ASC ≠0，又SA →·SC →＝2×2×cos ∠ASC ，所以SA →·SC →≠0，所以D 错误．故选B.4．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)答案B解析由题意得，A (－a ，0)，F (－2a ，0)，不妨设0，ba x AP →⊥FP →，得AP →·FP →＝0⇒0＋a ，b a x 0＋2a ，ba x 0⇒c 2a 2x 02＋3ax 0＋2a 2＝0.因为在双曲线E 的渐近线上存在点P ，所以Δ≥0，即9a 2－4×2a 2×c 2a 2≥0，9a 2≥8c 2⇒e 2≤98⇒－324≤e ≤324，又因为E 为双曲线，所以1<e ≤324.故选B.5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析连接AC 交BD 于点O ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝2，则A (2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2)，0B (0，2，0)，∴BD →＝(0，－22，0)，设N (0，b ，0)，则BN →＝(0，b －2，0)．∵BD＝λBN →，∴－22＝λ(b －2)，∴b ＝2λ－22λ，∴N，2λ－22λ，，→－22，2λ－22λ，－AD →＝(－2，－2，0)，∵AD ⊥MN ，∴AD →·MN →＝1－2λ－4λ＝0，解得λ＝4.故选C.6．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．16答案B解析设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2.∵F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，∴F 1D 是△MAN 的中位线，∴|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)．∵点D 在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知，|DF 1|＋|DF 2|＝4，∴|AN |＋|BN |＝8.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．22答案A解析设点P (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝2，所以|PB |2|PA |2＝（x 0－1）2＋（y 0＋1）2x 02＋（y 0＋2）2＝x 02＋y 02－2x 0＋2y 0＋2x 02＋y 02＋4y 0＋4＝－2x 0＋2y 0＋44y 0＋6＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，令λ＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，则λ≠0，x 0＋(2λ－1)y 0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以|PB ||PA |的最大值为2.8．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面答案BCD解析易知b ＋c ，b －c ，a 不共面；因为2b ＝(b ＋c )＋(b －c )，所以b ＋c ，b －c ，2b 共面；因为a ＋b ＋c ＝(b ＋c )＋a ，所以b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面；因为a ＋c ＝(a －2c )＋3c ，所以a ＋c ，a －2c ，c 共面．故选BCD.9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP答案ACD解析在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接AC ，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，所以AD ＝AA 1＝1，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，C (0，3，0)，C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，D (0，0，0)，B (1，3，0)，则A 1C →＝(－1，3，－1)，D 1A →＝(1，0，－1)，DC 1→＝(0，3，1)，DB →＝(1，3，0)，A 1D 1→＝(－1，0，0)．当A 1C →＝2A 1P →时，P 为A 1C 的中点，根据长方体结构特征，可知P 为体对角线的中点，因此P 也为B 1D 的中点，所以B 1，P ，D 三点共线，故A 正确；当AP →⊥A 1C →时，AP ⊥A 1C ，由题意可得A 1C ＝1＋1＋3＝5，AC ＝1＋3＝2，因为S △A 1AC ＝12AA 1·AC ＝12A 1C ·AP ，所以AP ＝255，所以A 1P ＝55，即点P 为靠近点A 1的五等分点，所以，35，D 1P →，35，－AP →＝－15，35，D 1P →·AP →＝－425＋325－425＝－15≠0，所以AP →与D 1P →不垂直，故B 错误；当A 1C →＝3A 1P →时，A 1P →＝13A 1C →－13，33，－BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC 1→＝0，·DB →＝0，＋z ＝0，＋3y ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－3，1，－3)，又D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→＝，33，－D 1P →·n ＝0，因此D 1P →⊥n ，所以D 1P →∥平面BDC 1，故C 正确；当A 1C →＝5A 1P →时，A 1P →＝15A 1C →－15，35，－所以D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→，35，－所以A 1C →·D 1P →＝0，A 1C →·D 1A →＝0，因此A 1C ⊥D 1P ，A 1C ⊥D 1A ，又D 1P ∩D 1A ＝D 1，所以A 1C ⊥平面D 1AP ，故D 正确．故选ACD.10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为4答案AC解析如图，过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＝|AC |，所以∠AFC ＝∠ACF ，又因为∠OFC ＝∠ACF ，所以∠OFC ＝∠AFC ，所以FC 平分∠OFA ，同理可知FD 平分∠OFB ，所以∠CFD ＝90°，故A 正确；假设△CMD 为等腰直角三角形，则∠CFD ＝∠CMD ＝90°，则C ，D ，F ，M 四点共圆且圆的半径为12|CD |＝|MN |，又因为|AF |＝3|BF |，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|MN |＝2|BF |，所以|CD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|CD |＝|AB |，显然不成立，故B 错误；设直线AB的方程为x ＝my ＋12＝4x ，＋1，所以y 2－4my －4＝01＋y 2＝4m ，1y 2＝－4，又因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 22y 2＝4m ，3y 22＝－4，所以m 2＝13，所以1m ＝±3，所以直线AB 的斜率为±3，故C 正确；取m ＝331＋y 2＝433，1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝833，所以S △AOB ＝12·|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×833＝433D 错误．故选AC.11．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π3答案AD解析由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，BC 长为半径的圆，设CB 旋转到直线a 上时为CE ，旋转到直线b 上时为CD ，以C 为坐标原点，以CD 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则D (1，0，0)，A (0，0，1)，设B 点在运动过程中的坐标为(cos θ，sin θ，0)，其中θ为射线CD 绕端点C 旋转到CB 形成的角，θ∈[0，2π)，∴AB 在运动过程中对应的向量AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝2，设AB 与a 所成的角为α，α∈0，π2，则cos α＝22|sin θ|∈0，22，∴α∈π4，π2，故A 正确，B错误；设AB 与b 所成的角为β，β∈0，π2，则cos β＝22|cos θ|，当AB 与a 所成的角为π3，即α＝π3时，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝22，∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴cos β＝22|cos θ|＝12，∵β∈0，π2，∴β＝π3，此时AB 与b所成的角为π3，故D 正确，C 错误．故选AD.12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A (－2，0)，B (4，0)，点P 满足|PA ||PB |＝12.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是()A ．轨迹C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |答案BC解析设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －4）2＋y 2＝12，化简得(x ＋4)2＋y 2＝16，所以A 错误；假设在x轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12，设D (m ，0)，E (n ，0)，则（x －n ）2＋y 2＝2（x －m ）2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－(8m －2n )x ＋4m 2－n 2＝0，由轨迹C 的方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得8m －2n ＝－24，4m 2－n 2＝0，解得m ＝－6，n ＝－12或m ＝－2，n ＝4(舍去)，即在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使|PD ||PE |＝12，所以B 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由|OA ||OB |＝12＝|PA ||PB |，可得射线PO 是∠APB 的平分线，所以C 正确；假设在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |，可设M (x ，y )，则有x 2＋y 2＝2（x ＋2）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋163x ＋163＝0，与x 2＋y 2＋8x ＝0联立，得x ＝2，不合题意，故不存在点M ，所以D 错误．故选BC.13．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________，动直线l 被圆C ：x 2＋y 2＋2x －24＝0截得弦长的最小值为________．答案－1223解析由题得m ×(－m )－(－1)×1＝0，所以m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，舍去，故m ＝－1.因为圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －24＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝25，所以圆心为C (－1，0)，半径为5.由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)，所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2×52－（2）2＝223.14．已知M (－2，0)，N (2，0)，点P (x ，y )为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P 的轨迹方程为________．答案y 2＝－8x 解析由题意，知MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理，得y 2＝－8x .15．已知直线l ：4x －3y ＋6＝0，抛物线C ：y 2＝4x 上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为________，P 到直线l 距离的最小值为________．答案134解析设抛物线C ：y 2＝4x 上的点P 到直线4x －3y ＋6＝0的距离为d 1，到准线的距离为d 2，到y 轴的距离为d 3，由抛物线方程可得焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，则d 3＝d 2－1，|PF |＝d 2，因此d 1＋d 3＝d 1＋d 2－1＝d 1＋|PF |－1，因为d 1＋|PF |的最小值是焦点F 到直线4x －3y ＋6＝0的距离，即|4＋6|42＋（－3）2＝2，所以d 1＋d 3＝d 1＋|PF |－1的最小值为2－1＝1；设平行于直线l 且与抛物线C ：y 2＝4x 相切的直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由x －3y ＋m ＝0，2＝4x ，得y 2－3y ＋m ＝0，因为直线4x －3y ＋m ＝0与抛物线C ：y 2＝4x 相切，所以Δ＝(－3)2－4m ＝0，解得m ＝94，因此该切线方程为4x －3y ＋94＝0，所以两平行线间的距离为6－9442＋（－3）2＝34，即P 到直线l 距离的最小值为34.16．已知直线l ：y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝5上，求此椭圆的方程．解析(1)x ＋1，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，∴Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0⇒a 2＋b 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2a 2b 2＋a 2.∵线段AB ，∴2a 2b 2＋a 2＝43，得a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2c 2，∴e ＝22.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则点F 关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为P (1，1－c )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝5上，∴1＋(1－c )2＝5，即c 2－2c －3＝0.∵c >0，∴c ＝3，又a 2＝2c 2且a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝32，b ＝3，∴椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223解析(1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE .因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE .(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (0，0，0)，F (2，2，0)，C (2，0，2)，P (1，－h ，1)，AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，AP →＝(1，－h ，1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h )．因为二面角C －AF －P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ·n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|1＋1＋1＋h |3×2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P －ABCD 的高h ＝1.18.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.。
重庆市高中数学必修一必修四综合试题二(含答案)
高一数学必修一必修四综合测试二一、选择题（每小题4分）1．已知集合{}1,0,1-=A ，{}11<≤-=x x B 则AB 等于（ ）A ．{}0B ．{}1-C ．{}0,1-D ．{}1,0,1-2. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．－322D ．－31523．若,54cos ,53sin -==αα则在角α终边上的点是（ ） A ．)3,4(- B ．)4,3(- C ．)3,4(- D ．)4,3(- 4．为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度5．若平面向量b 与a ＝(1，－2)的夹角为180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)6．已知)(x f 是偶函数，且0>x 时，ax x x f +=2)(，若2)1(=-f ，则)2(f 的值是（ ）A ．1-B ． 1C ． 3D ． 67．设平面上有4个互异的点,,,A B C D 已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=,则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．若函数)1(log )(++=x a x f a x在[]1,0上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值是（ ）A ．4B ．41C ．2D ．219．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线,AB AC于不同的两点,M N ，若,,AB mAM AC nAN ==则m n +的值为（ ）． A ．1 B ．2C ．2-D ．9410．已知函数xxm x f sin 3sin log )(2+-=在R 上的值域为[]1,1-，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题4分） 11．对于函数()m f x x =，若21)41(=f ，则m =________. 12.已知向量2411a b ()()，，，==．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是．13．已知31)4cos(-=-απ，则)43cos(απ+的值为____ ____. 14．在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-；④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是52[2][2]33ππππ--，，. 其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都．填上）。
高中数学习题必修4及答案
高中数学习题必修4及答案篇一：人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)高一数学考试（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4第1章三角函数（1）一、选择题：1.如果a={第一象限角}，B={锐角}，C={角度小于90°}，那么a，B和C之间的关系是（）a．b=a∩cb．b∪c=cc．acd．a=b=c2sin21200等于（）?133c?d22223.已知sin??2cos?3sin??5cos5,那么tan?的值为b．2c．（）16164.在下列函数中，最小正周期为π的偶数函数为（）A.-223D.-23x1?tan2xa.y=sin2xb.y=cosc.sin2x+cos2xd.y=21?tan2x5.转角600的端边是否有点？？4，a那么a的值是（）04b?43c?43d6.得到函数y=cos(a．向左平移x?x?)的图象，只需将y=sin的图象（）242??个单位b.同右平移个单位22c、将装置向左移动D.将装置向右移动447．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移?1个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象22Y=f（x）是（）a．y=1?1?sin(2x?)?1b.y=sin(2x?)?122221.1.c、 y=sin（2x？）？1d。
罪（2x？）？一万二千四百二十四8.函数y=sin(2x+5?)的图像的一条对轴方程是（）25.a、 x=-b.x=-c.x=d.x=42481，则下列结论中一定成立的是229.如果罪？？余弦？？（）罪恶？？2b.罪22罪？？余弦？？1d.罪？？余弦？？0c。
（）10.函数y?2sin(2x??3）形象a．关于原点对称b．关于点（－11.功能y？罪（x？a．[，0）对称c．关于y轴对称d．关于直线x=对称66?2x?r是（）??,]上是增函数b．[0,?]上是减函数22c、 [？，0]是减法函数D.[？，？]上限是一个减法函数12.功能y？（）3,2k？？a、 2k b、 2k？？，2k？？（k？z）（k？z）3.66??2??3.c、 2k3,2k（k？Z）d？2k23,2k2(kz)3二、填空：13.函数y?cos(x2)(x?[,?])的最小值是.863和2002年相同端边的最小正角度为_________015.已知sin??cos??1??,且,则cos??sin??.842如果设置一个？？x | kx?k???,k?z?，b??x|?2?x?2?，3?然后是a？b=_______________________________________三、解答题：17.认识辛克斯吗？Coxx？1和0？x？？。
人教版高中数学必修第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式综合检测基础卷(含详细解析)
第2章一元二次函数、方程和不等式（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的是A ．若ac bc >．则a b >B ．若22a b >，则a b>C ．若a b >，则11a b<D ．若c d >，a c b d ->-，则a b>2．已知242,65,M x x N x x R =+-=-∈，下列关系正确的是A ．M N ≤B ．M N <C ．M N=D ．M N>3．已知正数a，b ，满足2a b +=A ．最小值1BC D ．最大值14．已知关于x 的不等式220ax ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()(),08,-∞+∞B ．(][),08,-∞+∞C ．[)0,8D ．()0,85．已知0a >，0b >，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为A ．2B ．C ．4D ．66．不等式()4421m m >-，则实数m 的取值范围是A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知0x >，0y >且141x y+=，若不等式246x y m m +≥-对任意正数x ，y 恒成立，则实数m 的取值集合为A ．{|28}m m -≤≤B ．{|82}m m -≤≤C ．{|8m m ≤-或2}m ≥D ．{|2m m ≤-或8}m ≥8．若关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是A ．(4,)-+∞B ．(,4)-∞-C ．(12,)-+∞D ．(,12)-∞-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知23x <<，23y <<，则下列说法正确的是A ．2x y +的取值范围为(6,9)B ．2x y -的取值范围为(2,3)C ．x y的取值范围为23(,)32D ．xy 的取值范围为(4,9)10．不等式20ax bx c ++≥的解集是122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，对于系数a ，b ，c ，下列结论正确的是A ．0a b c -+>B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．现有以下结论①函数1y x x=+的最小值是2②若,a b ∈R 且0ab >，则2b a a b+≥③y =2④函数423(0)y x x x =-->的最小值为2-其中，不正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是A ．6B ．7C ．8D ．9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程()200ax bx c a ++=>有唯一的实数根－2，则不等式20ax bx c ++>的解集为________．14．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是________．15．若关于x 的不等式223x x a -≥-+无解，则实数a 的取值范围是________．16．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式()0f x <的解集是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．18．（12分）已知二次函数2()3f x ax bx =++，且1,3-是函数()f x 的零点．（1）求()f x 的解析式；（2）解不等式()3f x ≤．19．（12分）求解下列各题：（1）求()23402x x y x x ++=<的最大值；（2）求()2811x y x x +=>-的最小值．20．（12分）今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元．（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值．21．（12分）已知实数0,0x y >>，且()()222,,R xy x y a x y b a b =++++∈．（1）当0,0a b ==时，求4x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值：（2）当0,3a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值（3）当1,02a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值．22．（12分）若()0,a b ∈+∞，则2223a b a b a b +≤++．（1）若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数a ，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；（2）证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++．第2章一元二次函数、方程和不等式（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
人教版A版(2019)高中数学必修第一册： 第四章 指数函数与对数函数 综合测试(附答案与解析)
第四章综合测试
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1.已知集合 M = x | x ＜3 ， N = x | log3 x＜1 ，则 M N 等于（ ）
A.
B.x | 0＜x＜3
在
R
上有最大值，则
a
的
取值范围为（ ）
A.
−
2 2
,
−
1 2
B.
−1,
−
1 2
C.
−
2 2
,
−
1 2
D.
−
2 2
,
0
0,
1 2
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 ）（ ）
【解析】 Q f (x) = log2 (ax −1) 在 (−3, −2) 上为减函数，
a＜0 且 ax −1＞0 在 (−3, −2) 上恒成立，−2a −1≥0 ，
a≤ − 1 . 2
又
g(
x)
在
R
上有最大值，且
g
(x)
在
−,
1 2
上单调递增，
g
(
x)
在
1 2
,
+
上单调递减，且
log
，当
log z
x
=
北师大版高中数学必修四：第一、二章综合测试题(含答案)
阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝12×4×1＝2.4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A ；若sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z )，排除B ；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C ，故选D.5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23B ．43C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →， ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.6．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →等于( )A ．0B ．4MD →C ．4MF →D ．4ME →[答案] C [解析] 如图，由已知得，MA →＋MB →＝2MF →，又∵M 为△ABC 的重心， ∴|MC |＝2|MF |，∴－MC →＝CM →＝2MF →， ∴MA →＋MB →－MC →＝4MF →.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )A ．32B ．－32 C ．12D ．－12[答案] C[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π[答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零 点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3.10．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫π3，0 C ．⎝⎛⎭⎫5π18，0 D ．⎝⎛⎭⎫π2，0[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3， 令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.11．已知向量OA →＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于( ) A ．(－37，27)B ．(－27，421)C ．(37，－27)D ．(27，－421)[答案] D[解析] 设OC →＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x －4，y －6)．∵OC →⊥OA →，AC →∥OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝0x －43＝y －65，解得⎩⎨⎧x ＝27y ＝－421.∴OC →＝(27，－421)．12．△ABC 为等边三角形，且边长为2，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．6 B ．3 C ．15 D ．12[答案] A [解析] 如图，∵BM →＝2AM →，∴AB ＝AM ＝2， 又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，即∠CAM ＝120°.又AM ＝AC ，∴∠AMC ＝∠ACM ＝30°，∴∠BCM ＝90°. ∴CM ＝BM 2－BC 2＝16－4＝2 3. ∴CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos30°＝23×2×32＝6.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝34时满足方程2x 2－x －m ＝0有两根．14．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a ＋b 同向的单位向量为(31010，1010)．(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·(b －3a )|a |·|b －3a |＝(1，0)·(－2，1)5＝－255.15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m ⊥b 知m ·b ＝0，即2x －y ＝0①，又由m 为单位向量，所以|m |＝1，即x 2＋y 2＝1 ②，由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝55y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14)，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)已知|a |＝2，|b |＝3，(a －2b )·(2a ＋b )＝－1，求a 与b 的夹角． [解析] (1)AB →＝(2,3)，AC →＝(8,12)， ∴AC →＝4AB →， ∴AC →与AB →共线． 又∵AC →与AB →有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ，则(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2×4－3×2×3×cos θ－2×9＝－10－18cos θ＝－1，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p 、q ，如果存在不为零的常数α、β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．向量a 、b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210. (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ， 则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称， 令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。
2020-2021学年高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析
③b＞a＞1
④0＜a＜b＜1
⑤a＝b
其中不可能成立的关系有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：∵实数 a，b 满足 th a th b，
hh 即
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ ；
h
h 对于①，当 a＝3，b＝2 时， h
h h ，即 th 3
th 2，∴①不成立；
对于②，当 a ，b 时， th
∴
；
使
∴使
使
使
x＝y＝3 时取等号．
故选：B．
使 使
使
，当且仅当
，即
使
6．已知 3m＝2n＝k 且
，则 k 的值为（ ）
A．15
B．
C．
【解答】解：∵3m＝2n＝k，∴m＝log3k，n＝log2k，
D．6
∴
th
th
th
th logk6＝2，
∴k2＝6，∴
，
故选：C．
7．设 a＝30.7，b＝（ ）﹣0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
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∴ thh
，
∴f（6t）﹣f（3t）＝loga6t﹣loga3t＝loga2 ．
故答案为： ． 四．解答题（共 6 小题）
14．（1）计算： ୠ
⺁
ୠ；
（2）已知 x+x﹣1＝4，求 x2﹣x﹣2 的值．
【解答】解：（1） ୠ
⺁
ୠ
ୠ
⺁
；
ୠ
（2）由 x+x﹣1＝4，两边平方并整理得 x2+x﹣2＝14，
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()102xx f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则a b +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()24xf x =-，()()()1g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．(-3，-1)D ．(-3，-1]3．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20174．设,m n R ∈，定义在区间[],m n 上的函数()()2log 4f x x =-的值域是[]0,2，若关于t 的方程||1102t m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()t R ∈有实数解，则m n +的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．(]3,2--C ．[]3,1--D ．[)1,25．已知函数24,?0()7,?0x f x xx x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(﹣4，0] B ．(-∞，﹣9) C ．(-∞，﹣9)(﹣4，0]D ．(﹣9，0]6．已知函数21,1()1,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3[4，1]B ．3(4，1)C ．(0,1)D ．3(4，)+∞7．已知函数1,0(),0x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，关于x 的方程23()(23)()20mf x m f x -++=有以下结论：①存在实数m ，使方程有2个解；②当方程有3个解时，这3个解的和为0；③不存在实数m ，使方程有4个解；④当方程有5个解时，实数m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①9．若函数()af x x x=+(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．310．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[]P Q 、是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]P Q 、与[]Q P 、看作同一对“友好点对”）．已知函数22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则此函数的“友好点对”有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对11．函数121()()2x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞二、填空题13．函数()e |ln |2x f x x =-的零点个数为______________.14．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.15．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．16．若方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ，且110x -<<，201x <<，则实数k 的取值范围是__________.17．已知函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是______.18．已知函数()2f x x ax b =++的两个零点为1x ，2x ，且满足1202x x <<<，记()()f x x R ∈的最小值为m ，则m 的取值范围是______.19．对于实数a b ，，定义运算“*”：22*a ab a ba b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设()()2*1f x x x =+，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 20．函数13()3log 1xf x x =-的零点个数为______三、解答题21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生产生活造成严重影响．为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+万元）．当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完． （1）写出年利率()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 22．有A 、B 两城相距120km ，某天然气公司计划修建一条管道为两城供气，并在两城之间设立供气站点D （如图），为保证城市安全，规定站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．又已知A 城一边有段10km 长的旧管道AC ，准备改造利用，改造费用为5万元//km ，其余地段都要新建，新建的费用（含站点D ）与站点D 到A 、B 两城方向上新修建的长度的平方和成正比．．．．．．．．．，并且当站点D 距A 城距离为40km 时，新建的费用为1825万元．设站点D 距A 城的距离为km x ，A ，B 两城之间天然气管道的建设总费用为y 万元．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出其定义域；（2）天然气站点D 距A 城多远时，建设总费用最小？最小总费用多少？23．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.（1）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x 为多少吨时可使亏损量最小？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？24．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg ，时间单位：天）．25．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()161,04815,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？26．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(,0)x ∈-∞时，1()1f x x x=++． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()224g x f x x x =+-，证明：函数()g x 的图像在区间1,内与x 轴恰有一个交点．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，可知函数()h x 的零点为1b -，令()0f x =，可得出102x x =-，令()0h x =可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10x y =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，利用函数10x y =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，并求出直线y x =、2y x =-的交点坐标，进而可求得+a b 的值. 【详解】设()()1lg 2h x g x x x =+=+-，由于函数()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则函数()h x 的零点为1b -.令()0f x =，可得102x x =-，令()0h x =，可得出lg 2x x =-，在同一平面直角坐标系中作出函数10xy =、lg y x =、y x =、2y x =-的图象，如下图所示：由于函数10xy =、lg y x =的图象关于直线y x =的对称，直线2y x =-与直线y x =垂直，设直线2y x =-与函数10xy =的交点为点A ，直线2y x =-与函数lg y x =的图象的交点为点B ，易知点A 、B 关于直线y x =对称，直线2y x =-与直线y x =的交点为点()1,1C ，且C 为线段AB 的中点，所以12a b +-=，因此，3a b +=. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查函数零点之和，解题的关键在于利用函数10x y =、lg y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线y x =对称，结合对称性来求解.2．C解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.3．D解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.4．D解析：D 【分析】首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定m ，n 的关系，然后结合指数函数的性质整理计算即可求得最终结果． 【详解】函数2()log (4||)f x x =-的值域是[0，2]，14||4x ∴-， 0||3x ∴，3m ∴=-，03n ，或30m -，3n =；又关于t 的方程||1()10()2t m t R ++=∈ 有实数解，∴||1()12t m =--有解，||11()122t <+，21m ∴-<-，则3n =， 则12m n +<， 故选：D 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解5．C解析：C 【分析】令()()0g x f x x a =+-=，将()g x 存在两个零点，转化为两函数24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令()()0g x f x x a =+-=，得24,?06,?0x x a x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，令24,?0,6,?0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：因为()g x存在两个零点，由图象可得：a<﹣9或﹣4<a≤0，故选：C【点睛】方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．6．B解析：B【分析】画出函数21,1 ()1,1x x xf xxx⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象，函数()y f x a=-有三个零点等价于()y f x=与y a=的图象有3个不同交点，数形结合得答案.【详解】作出函数21,1()1,1x x xf xxx⎧-+<⎪=⎨⎪⎩的图象如图，函数()y f x a=-有三个零点，即()y f x=与y a=的图象有3个不同交点，由图可知，实数a的取值范围为3(4，1).故选：B. 【点睛】方法点睛：由零点求参数范围：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．7．C解析：C 【分析】将方程的解的个数转化为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数，数形结合即可得解. 【详解】由题意，23()(23)()20[3()2][()1]0mf x m f x f x mf x -++=⇒--=， 解得2()3f x =或1()f x m=， 则方程解的个数即为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数， 作出函数()f x 的图象，如图，由()f x 的图象可知，2()3f x =有两个非零解， 由1(0)f m =得1()f x m=至少有一个解0，故①错； 当方程有3个解时，10m <或11m ≥或123m =，由函数的对称性可得这3个解的和为0， 故②对；不存在实数m ，使方程有4个解，故③对； 当方程有5个解时，则函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=共有五个交点，所以直线1y m=与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可得101123mm ⎧<<⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得331,,22m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④对.故正确结论有3个. 故选：C ． 【点睛】方法点睛：解决函数零点(方程的根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论9．A解析：A 【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案. 【详解】 函数()af x x x=+()a R ∈的图象在()12，上是连续不断的，逐个选项代入验证，当2a ＝－时，()()112022110f f ＝－＜，＝－＝＞，.故()f x 在区间()12，上有零点，同理，其他选项不符合， 故选A. 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题．10．C解析：C 【分析】由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，结合22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数，从而作图解答 【详解】解：由题意，设点(,)P x y ，则Q 的坐标为(,)x y --，因为22(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以此函数的“友好点对”的个数即方程222x x x --=-在0x >时的解的个数， 作2x y -=-与22y x x =-的图像如图所示，两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对 故选：C 【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题11．B解析：B 【解析】 函数()12(12)f x xx =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得12(12)xx=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数12y x=和指数函数(12)y x=的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数12．D解析：D 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、填空题13．2【分析】令可得可将函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题进而画出函数的图象可得出答案【详解】令可得所以函数的零点可以转化为：函数和的图象的交点问题函数和的图象如下图所示：根据图象可得有两个交解析：2 【分析】令()e |ln |20xf x x =-=，可得2ln ex x =，可将函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2ex y =的图象的交点问题，进而画出函数的图象，可得出答案. 【详解】令()e |ln |20xf x x =-=，可得2ln ex x =， 所以函数()f x 的零点可以转化为：函数ln y x =和2ex y =的图象的交点问题. 函数ln y x =和2e xy =的图象，如下图所示：根据图象可得有两个交点，故原函数有两个零点. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点的个数（方程解的个数）问题.常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数； （2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数.14．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】函数()2log ,02sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k ====，则()0,1k ∈， 因为1234x x x x <<<，3x 与4x 关于6x =对称， 则2122log log x x =，3412x x +=，且4810x <<， 去绝对值化简可得2122log log x x -=，即2122log log 0x x +=，由对数运算可得()212log 0x x ⋅= 所以121x x ⋅=，则()()()3434343412222420x x x xx x x x x x --=-=++-()23444442012201220x x x x x x =-=--=-+-，令21220y x x =-+-，()8,10x ∈，因为21220y x x =-+-是开口向下，对称轴为6x =的二次函数， 所以21220y x x =-+-在()8,10x ∈上单调递减，所以10012020649620y -+-<<-+-， 即012y <<； 即()()()34244122212200,12x x x xx x --=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.15．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2 【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.16．【分析】将方程的根转化为函数零点问题再利用零点存在性定理求解【详解】由题知方程的两根为且故设则有故答案为:【点睛】本题考查二次函数根的分布问题需要学生熟悉二次函数的图像性质解决此类问题时常结合零点存解析：3(,1)4【分析】将方程的根转化为函数零点问题,再利用零点存在性定理求解. 【详解】由题知方程22(1)10kx k x k +-+-=(0)k >的两根为12,x x ,且110x -<<,201x <<,故设()f x =22(1)1kx k x k +-+-,(0)k >则有(1)2210103(0)10114(1)221034f k k k f k k k f k k k k ⎧⎪-=-++->>⎧⎪⎪=-<⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪=+-+->⎩⎪>⎩, 故答案为:3(,1)4. 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题,需要学生熟悉二次函数的图像性质,解决此类问题时常结合零点存在性定理解决.17．且【分析】先化简函数再由过定点（02）在同一坐标系中作出两个函数的图象利用数形结合法求解【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示:因为函数的图像与函数的图像恰有两个交点所以且故答案为：且【点解析：04k <≤ 且1k ≠【分析】 先化简函数()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，再由()2g x kx =+过定点（0,2），在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】()211,1111,11x x x x f x x x x --≥<-⎧==⎨+--<<⎩或，()2g x kx =+， 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示:因为函数211x y x -=+的图像与函数2y kx =+的图像恰有两个交点，所以04k <≤ 且1k ≠，故答案为：04k <≤ 且1k ≠，【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.18．【分析】根据二次方程根的分布得出满足的关系在坐标系中作出这个关系式表示的平面区域求出的最小值平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围【详解】由题意即在直角坐标系中作出此不等式组表示的平面区域如图 解析：()1,0-【分析】根据二次方程根的分布得出,a b 满足的关系，在坐标系O ab -中作出这个关系式表示的平面区域，求出()f x 的最小值，平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围． 【详解】由题意240(0)0(2)420 022a bfbf a ba⎧->⎪=>⎪⎪⎨=++>⎪⎪<-<⎪⎩，即24040420a bbaa b⎧->⎪>⎪⎨-<<⎪⎪++>⎩，在直角坐标系O ab-中作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分（不含边界），()f x的最小值为24az b=-，作出曲线24ab-=，它正好是图象阴影部分的一个曲边边界，把这个曲线向下平移，24az b=-在减小，当它在阴影部分边界时，0z=，当它过点(2,0)-时，1z=-，所以(1,0)z∈-．故答案为：(1,0)-．【点睛】本题考查二次方程根的分布，考查非线性平面区域的非线性规划问题（仿照简单的线性规划处理方法），解题时根据二次方程根的分布求出条件，再求出最小值的表达式，然后仿照简单的线性规划问题求解，考查了学生的创新意识．19．【分析】根据对运算的定义将写成分段函数画出该函数的图像将问题转化为直线与函数的图像有3个交点求参数的范围问题【详解】根据题意在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知当时由最小值故数形结合可知解析：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据对运算的定义，将()f x写成分段函数，画出该函数的图像，将问题转化为直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点求参数的范围问题.【详解】根据题意()()221,11,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知，当()0,1x ∈时，由最小值1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 故数形结合可知，当1,02m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点，即()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，本题中采用数形结合的方法，将问题转化为函数图像交点的问题进行处理.20．2【分析】化简得到画出函数图像根据图像得到答案【详解】取则即画出函数图像如图所示：根据图像知有两个交点故函数有两个零点故答案为：【点睛】本题考查了函数零点问题画出函数图像是解题的关键解析：2 【分析】化简得到131log =3xx ⎛⎫⎪⎝⎭，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】取13()3log 1=0x f x x =-，则133log =1xx ，即131log =3xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭，画出函数图像，如图所示：根据图像知有两个交点，故函数有两个零点. 故答案为：2.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.三、解答题21．（1）2130200,0802()10000400,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）30千件；250万元．【分析】（1）可得销售额为0.051000x ⨯万元，分080x <<和80x ≥即可求出；（2）当080x <<时，利用二次函数性质求出最大值，当80x ≥，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出. 【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x 千件商品销售额50x 万元 当080x <<时，2211()50202003020022L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭当80x 时，1000010000()5051600200400L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2130200,0802()10000400,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(30)2502L x x =--+ 此时，当30x =时，即()(30)250L x L =万元当80x 时，1000010000()4004002L x x x x x⎛⎫=-+≤-⋅ ⎪⎝⎭400200200=-=此时10000x x=，即100x =，则()(100)200L x L =万元 由于250200>所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元． 【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.22．（1）y 21(1307350)2x x =-+，定义域为[15,105]（2）天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元. 【分析】（1）根据站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．可求得15105x ≤≤，设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，根据当40x =时，1825501875y =+=，求出k ，从而可得y 与x 之间的函数关系式； （2）根据二次函数知识可求得最值. 【详解】（1）因为站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．所以1512015x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得15105x ≤≤，设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，15105x ≤≤，当40x =时，1825501875y =+=，所以22(3080)501875k ++=，解得14k =， 所以221[(10)(120)]5104y x x =-+-+⨯21(1307350)2x x =-+，15105x ≤≤. （2）y 21(1307350)2x x =-+21(65)1562.52x =-+， 所以当65x =时，min 1562.5y =万元.所以当天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元. 【点睛】关键点点睛：理解题意，建立正确的数学模型是解决函数应用题的关键.23．（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【分析】（1）设项目获利为S ，根据二次函数知识可知，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000；（2）根据题意可知，[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩，分段求出最小值，比较可得答案. 【详解】（1）当[]200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()2221112002008000040080000400222S x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=-- ⎪⎝⎭，当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利：当300x =时，S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240，当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥=， 当且仅当1800002x x =时等号成立，即400x =时，yx取得最小值200， ∵200240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 24．（Ⅰ）300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤；（Ⅱ）从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大. 【分析】（Ⅰ）根据图①的图象可知：是由一次函数构成的分段函数由点()()()0,300,200,100,300,300写出函数解析式；根据图②的图象是二次函数；由顶点()150,100和过点()250,150，写出函数解析式；（Ⅱ）设纯收益为h ，市场售价减去种植成本为纯收益，得到()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩求解.【详解】（Ⅰ）当0200t ≤≤时，设()111()0f t k t b k =+≠，则111300200100b k b =⎧⎨+=⎩，解得113001b k =⎧⎨=-⎩，所以()300f t t =-.当200300t <≤时，设()222()0f t k t b k =+≠，则2222300300200100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得223002b k =-⎧⎨=⎩，所以()2300f t t =-.综上市场售价与时间的函数关系式300,0200()2300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩；设()2()150100g t a t =-+，则()2150250150100a =-+，解得1200a =， 所以种植成本与时间的函数关系式()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤； （Ⅱ）设纯收益为h ，因为 若记市场售价减去种植成本为纯收益，所以()()2211175+,020020022171025+,20030020022t t t h f t g t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=-=⎨⎪--<≤⎪⎩，当0200t ≤≤时，()22111751+50+10020022200h t t t =-+=--， 所以当50t =时，纯收益h 取得最大值100； 当200300t <≤时，()221710251+350+10020022200h t t t =-+=-- 当300t =时，纯收益h 取得最大值87.5， 因为10087.5>，所以当50t =即从二月一日开始的第50天上市的西红柿收益最大. 【点睛】结论点睛：函数模型的应用一般分为三类：（1）已知函数的图象，可根据图象得到函数类型利用待定系数法建立模型； （2）已知函数有关数表，可根据数据分析函数类型利用待定系数法建立模型； （3）已知函数模型的定义，可根据其定义建立模型. 25．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3 【分析】（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间. 【详解】（1）因为()644,0448202,410x y f x x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，令64448x-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤， 所以有效治污时间能持续8小时；（2）设在第x 个小时达到最小值，则610x ≤≤，所以()116162511928614y x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⋅-=-+⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦， 所以()161455314y x x =-+-≥=-， 取等号时161414x x-=-，即10x =， 所以10小时的时候浓度达到最小值，最小值为3. 【点睛】易错点睛：实际问题中求解函数解析式以及采用基本不等式求最值需要注意的事项： （1）函数应用类型的问题，写函数解析式时一定要注意函数的定义域不能丢； （2）利用基本不等式求解最值的时候，注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.26．（1）()11,00,011,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪+->⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）当(0,)x ∈+∞时，(,0)x -∈-∞，利用()()f x f x =-- 求当(0,)x ∈+∞时的解析式，结合(0)(0)f f =-即可得答案；。
(人教版A版)高中数学必修第一册 第四章综合测试试卷03及答案
第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）A B C .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ）A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ）A .12a a b-+B .12a a b -+C .12a a b++D .12a a b++4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A .a b c ＜＜B .b c a＜＜C .c a b＜＜D .a c b＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-¹＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ì-£=í->î，a R Î，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A .(,1)-¥-B .(,1]-¥-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-¥上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+¥D .[2,)+¥8.已知函数()|lg |f x x =。
若0a b ＜＜，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A .)+¥B .)+¥C .(3,)+¥D .[3,)+¥二、多项选择题9.（多选）下列计算正确的是（）A .=B .21log 3223-=C =D .233log (4)4log 2-=10.对于函数()f x 定义域内的任意()1212,x x x x ¹，当()lg f x x =时，下述结论中正确的是（ ）A .(0)1f =B .()()()1212f x x f x f x +=×C .()()()1212f x x f x f x -=+D .()()1212f x f x x x --E .()()121222f x f x x x f ++æöç÷èø＜11.下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）A .() 3 1f x x =-B .2()21f x x x =-+C .4()log f x x=D .()2x f x e =-12.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y （单位：千克）与时间x （单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ）A .在前三小时内，每小时的产量逐步增加B .在前三小时内，每小时的产量逐步减少C .最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D .最后两小时内，该车间没有生产该产品三、填空题13.已知函数6()log (1)f x x =+，则(1)(2)f f +=________，()0f x ＞的解集为________。
22版新教材高中数学A版必修第一册练习--全书综合测评
全书综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“∃x∈R,使得x2+2x<0”的否定是()A.∃x∈R,使得x2+2x≥0B.∃x∈R,使得x2+2x>0C.∀x∈R,都有x2+2x≥0D.∀x∈R,都有x2+2x<02.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|1<2x<4},Q={y|y=2+sin x,x ∈R},那么P-Q= ()A.{x|0<x≤1}B.{x|0≤x<2}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<1}3.有一组试验数据如下表所示:t1.9 3.0 4.0 5.1 6.1v1.5 4.0 7.5 12.0 18.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.v=2t-2B.v=t 2-1 2C.v=log0.5tD.v=log3t4.已知角θ的终边经过点(-35,45),则sin2θ2的值为()A.110B.15C.45 D.9105.若函数y=f(x)的定义域是(0,4],则函数g(x)=f(x)+f(x2)的定义域是()A.(0,2]B.(0,4]C.(0,16]D.[-16,0)∪(0,16]6.设函数f(x)={|2x-1|,x≤2,-x+7,x>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(8,9)B.(65,129)C.(64,128)D.(66,130)7.若不等式1x +11-4x-m ≥0对x ∈(0,14)恒成立,则实数m 的最大值为( )A.7B.8C.9D.108.将函数y =sin x 的图象向右平移π6个单位长度,再将横坐标缩短为原来的1ω(ω>0)得到函数y =f (x )的图象,若y =f (x )在[0,π6]上的最大值为ω5,则ω的取值个数为 ( )A.1B.2C.3D.4二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列命题是真命题的是 ( )A.若幂函数f (x )=x α的图象过点(12,4),则α=-12 B.∃x ∈(0,1),(12)x>lo g 12xC.∀x ∈(0,+∞),lo g 12x >lo g 13xD.命题“∃x ∈R,sin x +cos x <1”的否定是“∀x ∈R,sin x +cos x ≥1” 10.已知函数f (x )=√3sin x +cos x ,下列说法正确的是 ( ) A. f (x )的最小正周期为2π B. f (x )的最大值为√3+1 C. f (x )在区间[π3,2π3]上为减函数D.5π6为f (x )的一个零点11.设0<a <b ,a +b =1,则下列结论正确的是 ( )A.a 2+b 2<bB.a <a 2+b 2C.a <2ab <12 D.14<a 2+b 2<1212.若函数f (x )满足:在定义域D 内存在实数x 0,使得f (x 0+1)=f (x 0)+f (1)成立,则称函数f (x )为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数,其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有( )A. f (x )=1xB. f (x )=e xC. f (x )=lg(x 2+2)D. f (x )=cos πx三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知函数g (x )=f (x )+x 2是奇函数,当x >0时,函数f (x )的图象与函数y =log 2x 的部分图象关于直线y =x 对称,则g (-1)+g (-2)= . 14.sin 50°(1+√3tan 10°)= . 15.若不等式5-4x+x 22-x≥a 对x <2恒成立,则a 的最大值为 .16.当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过 5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A ,按照上述变化规律,生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是 ,x ∈[0,+∞);考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究,发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%,则可以推测该生物的死亡时间距今约 年.(参考数据:lg 2≈0.3) (本小题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)(1)计算:(2+1027)-23+2log 32-log 349-5log 259; (2)已知角α的终边经过点M (1,-2),求sin(π2+α)·cos(5π2-α)cos (π+α)的值.18.(本小题满分12分)现有三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x-2;②不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2};③函数y=f(x)的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中,并求解.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足(填所选条件的序号).(1)求函数f(x)的解析式;(2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin x cos x+2√3cos2x-√3.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在(-π12,π8)上的值域.20.(本小题满分12分)某工厂进行废气回收再利用,把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品.已知该工厂每月的处理量最少为200吨,最多为500吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =14x 2-50x +40 000,且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该工厂每月处理量为多少吨时,才能使每吨的月平均处理成本最低?(2)该工厂每月进行废气回收再利用能否获利?如果获利,求月最大利润;如果不获利,求月最大亏损额.21.(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数f (x )=2x -a ·2-x (a ∈R). (1)当a >0时,试判断f (x )在(1,+∞)上的单调性,并给予证明; (2)当a =1时,试求g (x )=[f (x )]2+4f (x )(1≤x ≤2)的最小值.)的部分图象如图所22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2示.(1)求函数f(x)的单调递增区间;个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标伸长到原来的2 (2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6倍,纵坐标不变,得到的曲线对应的函数记作y=g(x).)g(x)的最大值;(i)求函数h(x)=f(x2(ii)若函数F(x)=g(π-2x)+mg(x)(m∈R)在(0,nπ)(n∈N+)内恰有2 015个零点,求m、n的值.2答案全解全析一、单项选择题1.C 命题“∃x ∈R,使得x 2+2x <0”的否定是“∀x ∈R,都有x 2+2x ≥0”,故选C .2.D 依题意得,P ={x |0<x <2},Q ={y |1≤y ≤3}, ∴P -Q ={x |0<x <1}.故选D .3.B 由题表中数据可知v 随t 的增大而增大,且增加的速度越来越快,分析选项可知B 符合.故选B .4.C 由题意知cos θ=-35, 则sin 2θ2=1-cosθ2=1-(-35)2=45,故选C .5.A ∵函数f (x )的定义域为(0,4],∴{0<x ≤4,0<x 2≤4,得{0<x ≤4,0<x ≤2或-2≤x <0, 即0<x ≤2,则函数g (x )的定义域为(0,2],故选A .6.D 作出函数f (x )={|2x -1|,x ≤2,-x +7,x >2的图象如图,不妨设a <b <c ,则由f (a )=f (b )=f (c )及图象得a <0,0<b <2,6<c <7. ∴f (a )=|2a -1|=1-2a , f (b )=|2b -1|=2b -1, 由f (a )=f (b ),得1-2a =2b -1,则2a +2b =2. 由c ∈(6,7),得64<2c <128,∴66<2a +2b +2c <130, 即2a +2b +2c 的取值范围是(66,130).故选D . 7.C 根据题意,x ∈(0,14),则1-4x >0,则1x +11-4x =44x +11-4x =[4x +(1-4x )](44x +11-4x ) =5+4(1-4x )4x+4x1-4x≥5+2×√4(1-4x )4x×4x1-4x =9,当且仅当1-4x =2x ,即x =16时等号成立,因此1x +11-4x的最小值为9,若不等式1x +11-4x -m ≥0对x ∈(0,14)恒成立,则必有m ≤9恒成立, 故实数m 的最大值为9.故选C .8.B 将函数y =sin x 的图象向右平移π6个单位长度,可得y =sin (x -π6)的图象. 再将横坐标缩短为原来的1ω(ω>0)得到函数y =f (x )=sin (ωx -π6)的图象, ∵x ∈[0,π6], ∴ωx -π6∈[-π6,ω-16π],当ω-16π≥π2,即ω≥4时,ω5=1,求得ω=5.当ω-16π<π2,即0<ω<4时,y =f (x )在[0,π6]上是增函数,因此sinω-16π=ω5,作出函数y =sin [π6(x -1)]与y =x5的图象如图:由图可知,在(0,4)上,函数y =sin π6(x -1)与y =x5的图象有唯一交点, 则sinω-16π=ω5有唯一解.综上,ω的取值个数为2.故选B . 二、多项选择题9.BD 选项A 中,4=(12)α⇒2-α=22⇒α=-2,A 错误;选项B 中,在同一平面直角坐标系中作出y =(12)x与y =lo g 12x 的图象,设两图象交点的横坐标为x 0,则当x 0<x <1时,(12)x>lo g 12x ,B 正确;选项C 中,取x =2,lo g 122=-1,lo g 132=-log 32>-1,C 错误;选项D显然正确.故选BD.10.ACD f(x)=√3sin x+cos x=2sin(x+π6).对选项A, f(x)的最小正周期为2π,故A正确;对选项B,当sin(x+π6)=1时, f(x)取得最大值,为2,故B错误;对选项C,当x∈[π3,2π3]时,x+π6∈[π2,5π6]⊆[π2,3π2],所以f(x)在区间[π3,2π3]上为减函数,故C正确;对选项D, f(5π6)=2sin(5π6+π6)=2sin π=0,所以5π6为f(x)的一个零点,故D正确.故选ACD.11.ABC∵0<a<b,a+b=1,∴0<a<b<1,易得a<a+b2<b,∴a<12<b,2a<1<2b,∵a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=2b2-3b+1=(2b-1)(b-1)<0,∴a2+b2<b,A正确;∵a2+b2-a=a2+(1-a)2-a=2a2-3a+1=(2a-1)(a-1)>0,∴a<a2+b2,B正确;易得ab<(a+b2)2=14,∴a<2ab<12,C正确;易得a2+b2>(a+b)22=12,a2+b2<a+b=1,∴12<a2+b2<1,D不正确.12.BD在选项A中, f(x)=1x ,若f(x)=1x是“1阶马格丁香小花花”函数,则1x+1=1x+1有解,变形可得x2+x+1=0,而该方程无实数解,故f(x)=1x不是“1阶马格丁香小花花”函数;在选项B中, f(x)=e x,其定义域为R,若f(x)是“1阶马格丁香小花花”函数,则方程e x+1=e x+e有解,变形得(e-1)e x=e,解得x=ln ee-1,故函数f(x)=e x是“1阶马格丁香小花花”函数;在选项C中, f(x)=lg(x2+2),若存在x,使f(x+1)=f(x)+f(1),则lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg 3,即2x2-2x+3=0,而Δ=4-24=-20<0,故方程无解,故f(x)=lg(x2+2)不是“1阶马格丁香小花花”函数;在选项D 中, f (x )=cos πx ,存在x =13,使f (x +1)=f (x )+f (1)成立,故f (x )=cos πx 是“1阶马格丁香小花花”函数. 故选BD . 三、填空题 13.答案 -11解析 ∵当x >0时, f (x )的图象与函数y =log 2x 的部分图象关于直线y =x 对称, ∴当x >0时, f (x )=2x , ∴当x >0时,g (x )=2x +x 2, 又g (x )是奇函数,∴g (-1)+g (-2)=-[g (1)+g (2)]=-(2+1+4+4)=-11. 14.答案 1解析 sin 50°(1+√3tan 10°) =sin 50°(1+√3·sin10°cos10°) =sin 50°×cos10°+√3sin10°cos10° =sin 50°×2(12cos10°+√32sin10°)cos10°=2sin50°sin (10°+30°)cos10°=2sin50°·cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1. 15.答案 2 解析 因为x <2,所以5-4x+x 22-x=12-x +2-x ≥2√12-x ·(2-x )=2,当且仅当12-x =2-x ,即x =1时取等号,所以2≥a ,即a 的最大值为2. 16.答案 y =A ·(12)x5 730;3 820解析由题意知,y =A ·(12)x5 730,当y =62.5%A 时,有62.5%A =A ·(12)x5 730,即58=(12)x5 730, ∴x5 730=lo g 1258=log 285=log 28-log 25=3-lg102lg2=3-1-lg2lg2≈23,∴x ≈3 820,∴可以推测该生物的死亡时间距今约3 820年. 四、解答题 17.解析(1)原式=(6427)-23+2log 32-2log 323-5log 53=(34)2+2-3=-716.(5分)(2)∵角α的终边经过点M (1,-2), ∴sin α=√1+4=-2√55, (7分)∴sin(π2+α)·cos(5π2-α)cos (π+α)=cosα·sinα-cosα=-sin α=2√55. (10分)18.解析 (1)解法一:选择条件①②.由条件①可得f (x +1)-f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c -(ax 2+bx +c )=2ax +a +b =2x -2, 所以{2a =2,a +b =-2,解得{a =1,b =-3.(2分)由条件②可得{a >0,-ba =1+2,ca =1×2,所以{a >0,b =-3a ,c =2a . (4分)故由条件①②可得a =1,b =-3,c =2. (5分) 所以f (x )=x 2-3x +2. (6分) 解法二:选择条件①③.同解法一由条件①得a =1,b =-3. (2分) 由条件③可得f (3)=9a +3b +c =2. (4分) 故由条件①③可得a =1,b =-3,c =2. (5分) 所以f (x )=x 2-3x +2. (6分) 解法三:选择条件②③.同解法一由条件②得{a >0,b =-3a ,c =2a , (2分)同解法二由条件③得9a +3b +c =2, (4分)所以a =1,b =-3,c =2.(5分)所以f (x )=x 2-3x +2. (6分)(2)由(1)知g (x )=x 2-(m +3)x +2,其图象的对称轴为直线x =m+32. (8分)①当m+32≤1,即m ≤-1时,g (x )min =g (1)=3-(m +3)=-m =3,解得m =-3;(9分)②当m+32≥2,即m ≥1时,g (x )min =g (2)=6-(2m +6)=-2m =3,解得m =-32(舍去);(10分)③当1<m+32<2,即-1<m <1时,g (x )min =g (m+32)=-(m+3)24+2=3,无解. (11分)综上所述,所求实数m 的值为-3. (12分)19.解析 (1)f (x )=2sin x cos x +2√3cos 2x -√3=sin 2x +√3cos 2x =2sin (2x +π3), (3分)令2k π+π2≤2x +π3≤2k π+3π2,k ∈Z, 解得k π+π12≤x ≤k π+7π12,k ∈Z,因此,函数f (x )的单调递减区间为[kπ+π12,7π12+kπ](k ∈Z). (6分) (2)由(1)知,将函数y =f (x )的图象向左平移π6个单位长度,可得y =2sin (2x +2π3)的图象,(8分)再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )=2sin (4x +2π3)的图象, (10分) ∵x ∈(-π12,π8), ∴4x +2π3∈(π3,7π6),∴sin (4x +2π3)∈(-12,1],∴2sin (4x +2π3)∈(-1,2].∴y =g (x )在(-π12,π8)上的值域为(-1,2]. (12分)20.解析 (1)由题意可知,二氧化硫每吨的月平均处理成本为yx ,即y x =14x +40 000x-50≥2√14x ·40 000x -50=150, (3分)当且仅当14x =40 000x,即x =400时,等号成立, (5分)所以该工厂每月处理量为400吨时,才能使每吨的月平均处理成本最低,最低成本为150元.(6分)(2)不获利,理由如下: (7分) 设该工厂每月获利为W 元,则W =100x -y =100x -(14x 2-50x +40 000) (8分)=-14x 2+150x -40 000=-14(x -300)2-17 500, (10分)∵x ∈[200,500],∴W ∈[-27 500,-17 500],故该工厂每月进行废气回收再利用不获利,月最大亏损额为27 500元. (12分) 21.解析 (1)f (x )在(1,+∞)上单调递增,证明如下:任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=(2x 1-a ·2-x 1)-(2x 2-a ·2-x 2) =(2x 1-2x 2)+a (2-x 2-2-x 1)=(2x 1-2x 2)+a ·2x 1-2x 22x 1+x 2=(2x 1-2x 2)(1+a2x 1+x 2). (3分)∵1<x 1<x 2,a >0,∴2x 1-2x 2<0, 1+a2x 1+x 2>0,(5分)∴(2x 1-2x 2)(1+a2x 1+x 2)<0, 即f (x 1)-f (x 2)<0,∴f (x )在区间(1,+∞)上单调递增. (6分) (2)设f (x )=t ,则问题转化为求y =t +4t 在[1,2]上的最小值,由(1)知, 当a =1时, f (x )=2x -2-x 在(1,+∞)上单调递增,∴当1≤x ≤2时,t ∈[32,154]. (9分) ∵y =t +4t 在区间[32,2]上单调递减,在区间[2,154]上单调递增,∴当t =2, 即2x -12x =2,即x =log 2(√2+1)时,g (x )取得最小值,g (x )min =4. (12分) 22.解析 (1)由题图可得A =1, (1分) 最小正周期T =2×(7π12-π12)=π,则ω=2πT =2. 因为f (7π12)=sin (2×7π12+φ)=-1, 所以φ=-5π3+2k π,k ∈Z,又|φ|≤π2,所以易得φ=π3, (2分) 所以f (x )=sin (2x +π3), 由-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π,k ∈Z, 得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z,所以函数f (x )的单调递增区间为[-5π12+kπ,π12+kπ],k ∈Z . (4分) (2)(i)由题意得g (x )=sin x , (5分)h (x )=f (x 2)g (x )=sin (x +π3)sin x =√34sin 2x -14cos 2x +14=12sin (2x -π6)+14,所以h (x )=f (x 2)g (x )的最大值为34. (7分)(ii)令F (x )=0,可得2sin 2x -m sin x -1=0,令t =sin x ∈[-1,1],则2t 2-mt -1=0. 对于方程2t 2-mt -1=0(t ∈R),易知Δ>0,方程必有两个不同的实数根t 1、t 2, 由t 1t 2=-12,知t 1、t 2异号,不妨设t 2<t 1. (8分)①当t 1>1且-1<t 2<0,或0<t 1<1且t 2<-1时,方程sin x =t 1和sin x =t 2在区间(0,n π)共有偶数个根;②当0<|t 1|<1且0<|t 2|<1时,方程sin x =t 1和sin x =t 2在区间(0,n π)共有偶数个根; ③当t 1=1时,t 2=-12,在区间(0,2π)上,方程sin x =t 1只有一个根,sin x =t 2有两个根; ④当t 1=12时,t 2=-1,在区间(0,2π)上,方程sin x =t 2只有一个根,sin x =t 1有两个根. 综上所述,若F (x )在(0,n π)(n ∈N +)内恰有2 015个零点,则F (x )=0在(0,2π)上有三个根.(10分)由于2 015=3×671+2,所以方程2sin 2x -m sin x -1=0在(0,1 342π)上有2 013个根, 所以若F (x )在(0,n π)(n ∈N +)内恰有2 015个零点, 则方程2t 2-mt -1=0(t ∈[-1,1])的根为t =12或t =-1, 因此,n =1 343,2×(12)2-m ×(12)-1=0,解得m =-1. 故m =-1,n =1 343. (12分)。
新教材2021高中人教A版数学必修第一册跟踪训练：第一～第四章综合练
第一～第四章综合练一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝()A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}解析：由补集的定义，得∁U A＝{2,4,7}．故选C.答案：C2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]，故选A.答案：A3．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a＞2，则a2＞2a成立，反之不成立，所以“a＞2”是“a2＞2a”成立的充分不必要条件．答案：A4．已知命题p：对任意x＞0，总有e x≥1，则綈p为()A．存在x≤0，使得e x＜1B．存在x＞0，使得e x＜1C．对任意x＞0，总有e x＜1D．对任意x≤0，总有e x＜1解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题p：对任意x＞0，总有e x≥1的否定綈p为：存在x＞0，使得e x＜1.故选B.答案：B5．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |解析：y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x |在(0，＋∞)上都是减函数，故选B. 答案：B6．命题p ：对∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0解析：∵∀x ∈R,3x ＞0，∴3x ＋1＞1，∴log(3x ＋1)＞0.∴p 是假命题，故綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)＞0.答案：B7．已知x ∈R ，则“x 2－3x ＞0”是“x －4＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 2－3x ＞0⇔x ＜0或x ＞3，x －4＞0⇔x ＞4.由x 2－3x ＞0不能得出x －4＞0；反过来，由x －4＞0可得出x 2－3x ＞0，因此“x 2－3x ＞0”是“x －4＞0”的必要不充分条件．故选B.答案：B8．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3 B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 答案：D9．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b ( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：因为1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.答案：B10．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数且f (x )＜0B ．是增函数且f (x )＞0C ．是减函数且f (x )＜0D ．是减函数且f (x )＞0解析：设－1＜x ＜0，则0＜－x ＜1，f (－x )＝log 12(1＋x )＝f (x )＞0，故函数f (x )在(－1,0)上单调递减．又因为f (x )以2为周期，所以函数f (x )在(1,2)上也单调递减且有f (x )＞0.答案：D11．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,1}D ．{1}解析：f (x )＝2x 1＋2x －12＝12－11＋2x ，∵2x ＞0， ∴1＋2x ＞1,0＜11＋2x ＜1，∴－1＜－11＋2x＜0， ∴－12＜12－11＋2x ＜12，即－12＜f (x )＜12，∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，故选B. 答案：B12．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c 答案：D二、填空题(把答案填在题中横线上，每小题5分，共20分) 13．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg(ab )＝2. 答案：214．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋3(x ＞0)，x 2＋1(x ≤0)，若f (a )＝5，则a ＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＋3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＋1＝5，解得a ＝4或－2.答案：4或－215．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.结合图象知函数f (x )＝2|x －1|在[1，＋∞)上单调递增，故实数m 的最小值为1.答案：116．关于函数，给出下列命题：①若函数f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋3)＝f (x )且满足f (1)＝1，则f (2)－f (－4)＝0；②若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，f (x )，x ＜0是偶函数，则f (x )＝x ＋1；③函数y ＝log 13|2x －3|的定义域为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①因为f (x ＋3)＝f (x )且f (－x )＝f (x )，所以f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝f (1)＝1，f (－4)＝f (－1)＝f (1)＝1，故f (2)－f (－4)＝0，①正确．②令x ＜0，则－x ＞0，g (－x )＝－x －1.又g (x )为偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－x －1.即f (x )＝－x －1，②不正确．③要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 13|2x －3|≥0，|2x －3|＞0，即0＜|2x －3|≤1，所以1≤x ≤2，且x ≠32，即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫1，32∪⎝⎛⎦⎤32，2，③不正确． 答案：①三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁R M)∩N；(2)记集合A＝(∁R M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解析：(1)因为M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，所以∁R M＝{x|x ∈R且x≠－3}，所以(∁R M)∩N＝{2}．(2)由(1)知A＝(∁R M)∩N＝{2}，所以B＝∅或B＝{2}，当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；当B＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a－1＝2，5－a＝2，解得a＝3.综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．18.(12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．解析：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H(图略)．因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.当点F在BG上时，即x∈[0,2]时，y＝12x2；当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，y＝2＋2(x－2)＝2x－2；当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，y＝12×(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综上，得左边部分的面积y关于x的函数解析式为y＝⎩⎨⎧12x2，x∈[0，2]2x－2，x∈(2，5]－12(x－7)2＋10，x∈(5，7].其大致图象如图所示．19．(12分)(2019·成都七中调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )＜f (2)的x 的范围． 解析：(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)∵f (x )的定义域为R ， ∴任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2)，∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1＜x 2， ∴0＜2x 1＜2x 2，∴2x 1－2x 2＜0,2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在R 上单调递增．(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1(或用f (0)＝0去解)． ∴f (ax )＜f (2)即为f (x )＜f (2)， 又∵f (x )在R 上单调递增，∴x ＜2. ∴不等式的解集为(－∞，2)．20．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]．故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 设2x ＝m ＞0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1＜0，不成立． 当a ＜0时，开口向下，对称轴m ＝14a ＜0，过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a ＞0.21．(12分)(2019·天津一中月考)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解析：(1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝ log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数，当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.22．(12分)(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)∵a ＞0，且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax ＞0恒成立． ∴3－2a ＞0，∴a ＜32.又a ＞0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪(1，32)．(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数， ∴a ＞1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.。
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高中数学必修一必修四综合测试题二一.填空题1.已知集合{13}A x =，,，2{1}B x =，，{13}A B x =，，，则这样的x 的不同值有 个.2.已知39()[(4)]9x x f x f f x x -⎧=⎨+<⎩， ≥，，则(5)f 的值为 .3.已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(8.5)f 等于 .6aa -等于 .5．若lg2a =，lg3b =，则5log 12等于 .6.若log 2log 20a b >>，那么有,,1a b 三者关系为 .7.函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 .8. 122333111,,225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下列大小关系为 . 9.设角α是第四象限角,且|cos|cos2αα=-,则2α是第 象限角. 10.函数()lg sin f x x =+的定义域是 .11.已知1sin 1,cos 2x x +=-那么cos sin 1x x -的值是 . 12.在锐角ABC ∆中,cos A 与sin B 的大小关系为 .13.函数()tan ()43f x x x ππ=-≤<的值域是 .14.将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的13得到图象1C ,再将1C 上每一点的横坐标变为原来的12得到图象2C ,再将2C 上的每一点向右平移3π个长度单位得到图象3C ,若3C 的表达式为sin y x =,则()y f x =的解析式为 .15.已知tanx=6，那么21sin 2x+31cos 2x=_______________.16.已知(,),(,),tan 2222ππππαβα∈-∈-与tan β是方程240x ++=的两个实根,则__________.αβ+=二.解答题17.设集合{|2135}A x a x a =+-≤≤，{|322}B x x =≤≤，求能使A A B ⊆成立的a 值的集合．18.设函数2()log ()x xf x a b =-，且(1)1f =，2(2)log 12f =． （1）求 a b ，的值； （2）当[12]x ∈，时，求()f x 的最大值．19.已知1211log 21x f x x ⎛⎫-=⎪+⎝⎭． （1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 的奇偶性；（3）判断()f x 的单调性并证明．20.已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x ∈R .(1)求它的振幅、周期和初相；(2)用五点法作出它的简图；(3)该函数的图象是由y=sinx(x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？ 21．某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床价每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲． 为了获得较好的效益，该宾馆要给床位订一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好． 若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入） （1）把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？22.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤在R 上是偶函数,其图象关于点3(,0)4M π对称,且在区间[0,]2π上是单调函数,求ϕ和ω的值.高中数学必修一必修四综合测试题二答案一.填空题1． 3个 2． 6 3． 0.54．5．21a ba+- 6． 1a b << 7． (15)， 8． 221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．二10．[2,2)()3k k k Z ππππ++∈ 11．1212．cos A <sin B13．[- 14．1()3sin()23f x x π=+15．111551363136211tan 31tan 21cos sin cos 31sin 21222222=++⨯=++=++x x x x x . 16．23π- 二.解答题17．解：由A AB ⊆，得A B ⊆，则21352133522a a a a +-⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≥，≤，或2135a a +>-．解得69a ≤≤或6a <．即9a ≤． ∴使A A B ⊆成立的a 值的集合为{9}a a ≤．18．解：由已知，得22222log ()1log log 12a b a b -=⎧⎨-=⎩，，22212a b a b -=⎧∴⎨-=⎩，，解得42a b ==，． 19．解：（1）令121log 2t x =，则21124ttt x ⎛⎫⎛⎫∈== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，，11144().1411414()().14tt t txxf t f x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭-∴=∈+R （2）x ∈R ，且1441()()4141x x xx f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数． （3）2()114xf x =-++， ()f x ∴在()-∞+∞，上是减函数． 证明：任取12x x ∈R ，，且12x x <，则21121212222(44)()()111414(14)(14)x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=-+---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 4x y =在()-∞+∞，上是增函数，且12x x <， 1244x x ∴<． 12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >．14()14x xf x -∴=+在()-∞+∞，上是减函数．20．解：y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41cos2x+23sin2x+45=21sin(2x+6π)+45. (1)y=21cos 2x+23sinxcosx+1的振幅为A=21，周期为T=22π=π，初相为φ=6π.(2)令x 1=2x+6π，则y=21sin(2x+6π)+45=21sinx 1+45，列出下表，并描出如下图象：x12π- 6π 125π 32π1211π x 1 0 2π π 32π 2π y=sinx 11-1y=21sin(2x+6π)+454547 45 43 45(3)解法一：将函数图象依次作如下变换：函数y=sinx 的图象−−−−−→−个单位向左平移6π函数y=sin(x+6π)的图象 −−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数y=sin(2x+6π)的图象 −−−−−−−−−−→−)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=21sin(2x+6π)的图象−−−−−→−个单位向上平移45函数y=21sin(2x+6π)+45的图象.即得函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象.解法二：函数y=sinx 的图象−−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数y=sin2x 的图象−−−−−→−个单位向左平移12π函数y=sin(2x+6π)的图象 −−−−−→−个单位向上平移25函数y=sin(2x+6π)+25的图象 −−−−−−−−−−→−)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=21sin(2x+6π)+45的图象.即得函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象.21．解：（1）由已知有10057510(1303)57510x x y x x x x *-⎧=∈⎨-->⎩N ， ≤，， ，，令0y >．由100575010x x ->⎧⎨⎩，≤，得610x ≤≤，x *∈N又由(1303)57500x x x -->⎧⎨>⎩，，得1038x x *<∈N ≤，所以函数为210057561031305751038x x x y x x x x **⎧-∈⎪=⎨-+-<∈⎪⎩NN， ≤≤，且， ≤，且 函数的定义域为{638}x x x *∈N ≤≤，．（2）当10x ≤时，显然，当10x =时，y 取得最大值为425（元）； 当0x >时，23130575y x x =-+-， 仅当130652(3)3x =-=⨯-时，y 取最大值，又x *∈N ，∴当22x =时，y 取得最大值，此时max 833y =（元） 比较两种情况的最大值，833（元）>425（元） ∴当床位定价为22元时净收入最多．22.解:2,23πϕω==或2。