立体几何(优秀经典公开课课件及经典练习和答案详解)

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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
∴h＝S△SS△AABB·SDD. 又 S△ABD＝12AB·DE＝12×2×2＝2，
S△SAB＝ 43AB2＝ 43×22＝ 3，SD＝1，
∴h＝S△SS△AABB·SDD＝
32×1＝
3 2.
故四棱锥
S－ABCD
的高为
3 2.
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3．如图，PA⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥ BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC，其中真命 题的序号是___①__②__④_____．
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解析 ①AE⊂平面 PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC， 故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC⇒AE⊥平面 PBC，PB⊂平 面 PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面 AEF⇒EF⊥PB，故 ②正确；③若 AF⊥BC⇒AF⊥平面 PBC，则 AF∥AE 与已知 矛盾，故③错误；由②可知④正确．
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∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝85a2＝8， ∴a＝ 5， ∴OA2＝AB2－OB2＝3，∴OA＝ 3， ∴VABCDEF＝2VA－BEFD＝23S 四边形 BEFD·OA＝2 6.
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5．[2017·全国卷Ⅲ]如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是 正三角形，AD＝CD.
4．[2018·济南模拟]已知如图，六棱锥 P－ABCDEF 的 底面是正六边形，PA⊥平面 ABCDEF.则下列结论不正确的 是( )
A．CD∥平面 PAF B．DF⊥平面 PAF C．CF∥平面 PAB D．CF⊥平面 PAD
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解析 A 中，因为 CD∥AF，AF⊂平面 PAF，CD⊄平面 PAF，所以 CD∥平面 PAF 成立；
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9．如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证：
(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
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证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴CD⊥PA. 又 CD⊥AC，PA∩AC＝A， 故 CD⊥平面 PAC，AE⊂平面 PAC. 故 CD⊥AE. (2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故 PA＝AC. ∵E 是 PC 的中点，故 AE⊥PC. 由(1)知 CD⊥AE，由于 PC∩CD＝C， 从而 AE⊥平面 PCD，故 AE⊥PD. 易知 BA⊥PD，故 PD⊥平面 ABE.
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2．[2018·河北唐山模拟]如图，在正方形 ABCD 中，E， F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三 点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有 ()
A．AG⊥平面 EFH B．AH⊥平面 EFH C．HF⊥平面 AEF D．HG⊥平面 AEF
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解析 根据折叠前、后 AH⊥HE，AH⊥HF 不变， ∴AH⊥平面 EFH，B 正确；∵过 A 只有一条直线与平 面 EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH ＝G，∴EF⊥平面 HAG，又 EF⊂平面 AEF，∴平面 HAG ⊥平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出 HG⊥平面 AEF，∴D 不正 确．故选 B.
①平面 ABC⊥平面 ABD； ②平面 ABD⊥平面 BCD； ③平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ACD⊥平面 BDE； ④平面 ABC⊥平面 ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE.
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解析 由 AB＝CB，AD＝CD 知 AC⊥DE，AC⊥BE，从 而 AC⊥平面 BDE，故③正确．
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(2)连接 EO. 由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以 DO＝AO. 在 Rt△AOB 中，BO2＋AO2＝AB2. 又 AB＝BD，所以 BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2， 故∠DOB＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以 EO＝12AC. 又△ABC 是正三角形，且 AB＝BD，所以 EO＝12BD.
解 (1)证明：如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，DB， 则四边形 BCDE 为矩形，
∴DE＝CB＝2， ∴AD＝BD＝ 5. ∵侧面 SAB 为等边三角形，AB＝2， ∴SA＝SB＝AB＝2.
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又 SD＝1， ∴SA2＋SD2＝AD2，SB2＋SD2＝BD2， ∴∠DSA＝∠DSB＝90°，即 SD⊥SA，SD⊥SB，SA∩SB ＝S， ∴SD⊥平面 SAB. (2)设四棱锥 S－ABCD 的高为 h，则 h 也是三棱锥 S－ ABD 的高． 由(1)，知 SD⊥平面 SAB. 由 VS－ABD＝VD－SAB，得13S△ABD·h＝13S△SAB·SD，
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5．已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面 β.直 线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β 且 l∥α B．α⊥β 且 l⊥β C．α 与 β 相交，且交线垂直于 l D．α 与 β 相交，且交线平行于 l
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①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确的个数是____3____．
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解析 如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P， ∴PA⊥平面 PBC.
又∵BC⊂平面 PBC，∴PA⊥BC.同理 PB⊥AC，PC⊥ AB.
但 AB 不一定垂直于 BC.
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3．[2017·天津河西模拟]设 l 是直线，α，β 是两个不同 的平面，则下列说法正确的是( )
A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
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解析 ①中 a 与 b 可能相交或异面，故不正确．②垂直 于同一直线的两平面平行，正确．③中存在 γ，使得 γ 与 α， β 都垂直．④中只需直线 l⊥α 且 l⊄β 就可以．
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8．[2018·广东模拟]如图，在三棱锥 D－ABC 中，若 AB ＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的有 ___③_____(写出全部正确命题的序号)．
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4．[2018·江西九江模拟]如图，在几何体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是菱形，BE⊥平面 ABCD，DF∥BE，且 DF ＝2BE＝2，EF＝3.
(1)证明：平面 ACF⊥平面 BEFD. (2)若 cos∠BAD＝15，求几何体 ABCDEF 的体积．
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7．设 a，b 为不重合的两条直线，α，β 为不重合的两 个平面，给出下列命题：
①若 a∥α，b∥β，且 α∥β，则 a∥b； ②若 a⊥α，且 a⊥β，则 α∥β； ③若 α⊥β，则一定存在平面 γ，使得 γ⊥α，γ⊥β； ④若 α⊥β，则一定存在直线 l，使得 l⊥α，l∥β. 上面命题中，所有真命题的序号是___②__③__④_____．
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解 (1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∵BE⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴BE⊥AC. ∴AC⊥平面 BEFD，AC⊂平面 ACF. ∴平面 ACF⊥平面 BEFD.
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(2)设 AC 与 BD 的交点为 O，AB＝a(a>0)， 由(1)得 AC⊥平面 BEFD， ∵BE⊥平面 ABCD，∴BE⊥BD， ∵DF∥BE，∴DF⊥BD， ∴BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，∴BD＝2 2， ∴S 四边形 BEFD＝12(BE＋DF)·BD＝3 2， ∵cos∠BAD＝15，
解析 对于 A，若 l∥α，l∥β，则 α∥β 或 α 与 β 相交， 故 A 错误；易知 B 正确；对于 C，若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β 或 l⊂β，故 C 错误；对于 D，若 α⊥β，l∥α，则 l 与 β 的 位置关系不确定，故 D 错误．故选 B.
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[B 级 知能提升] 1．[2018·青岛质检]设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则能得出 a⊥b 的是( ) A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
解析 对于 C 项，由 α∥β，a⊂α 可得 a∥β，又 b⊥β， 得 a⊥b.故选 C.
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板块四 模拟演练·提能增分
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