高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题3概率与统计突破点6古典概型与几何概型学案文

突破点6 古典概型与几何概型[核心知识提炼]提炼1 古典概型问题的求解技巧(1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决.提炼2 几何度量法求解几何概型准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键，常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等.提炼3 求概率的两种常用方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．[高考真题回访]回访1 古典概型1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110B．15C.310D．25D[从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23D.56C [从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C.]3.(2014·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．23[两本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，则Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为46＝23.]回访2 几何概型4．(2017·全国卷Ⅰ)如图6­1，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )图6­1A.14B.π8C.12D.π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P＝S 黑S 正方形＝π22×2＝π8.故选B.]5．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710B.58C.38D.310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]热点题型1 古典概型题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小．【例1】 (1)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，先从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( ) A.35 B ．310 C.12D.625(2)已知M ＝{1,2,3,4}，若a ∈M ，b ∈M ，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数的概率是( )A.916B.716C.416D.316(1)B (2)A [(1)设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.故选B.(2)记事件A 为“函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数”． 因为f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3，所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋1. 因为函数f (x )在R 上为增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 又a >0，所以Δ＝(2b )2－4×3a ＝4b 2－12a ≤0在R 上恒成立，即a ≥b 23.所以当b ＝1时，有a ≥13，故a 可取1,2,3,4，共4个数；当b ＝2时，有a ≥43，故a 可取2,3,4，共3个数；当b ＝3时，有a ≥3，故a 可取3,4，共2个数； 当b ＝4时，有a ≥163，故a 无可取值．综上，事件A 包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)． 又a ，b ∈{1,2,3,4}，所以(a ，b )共有4×4＝16(种)． 故所求事件A 的概率为P (A )＝916.故选A.][方法指津]利用古典概型求事件概率的关键及注意点1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数．2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．[变式训练1] (2017·南京二模)某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一个兴趣小组的概率为________．23[设三个兴趣小组分别为a ，b ，c ，则甲、乙两名学生选择兴趣小组的可能结果有(a ，a )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，b )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(c ，c )，共9种．其中甲、乙不在同一个兴趣小组的结果有6种，故所求概率为P ＝69＝23.]热点题型2 几何概型题型分析：高考试题中几何概型主要考查线段型和面积型．求解几何概型的关键是计算线段的长度、平面图形的面积等，难度较小．【例2】(1)(2017·广州二模)在区间[－1,5]上随机地取一个实数a ，则方程x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根的概率为( ) A.23 B.12 C.38D.13(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【导学号：04024068】(1)C (2)932 [(1)因为方程x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞0，4a －3＞0，4a 2－44a －3≥0，解得34＜a ≤1或a ≥3，所以所求概率P ＝1－34＋5－35－－1＝38，故选C.(2)设小张和小王到校的时间分别为x 和y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧30≤x ≤50，30≤y ≤50，y －x ≥5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P ＝12×15×1520×20＝932.][方法指津]判断几何概型中的几何度量形式的方法1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关．2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)． 提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、直观． [变式训练2] 如图6­2，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )图6­2A ．100B ．200C ．400D ．450C [如图，设OA 与圆C 相切于点D ，连接OC ，CD ，∠AOB ＝π3，则∠COD ＝π6，设圆C 的半径为1，可得OC ＝2，所以扇形的半径为3，由几何概型可得点在圆C 内的概率为P ＝S 圆CS 扇形AOB＝π×1216×π×32＝23，故向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计为23×600＝400.]。