河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(三)数学(理)试题 Word版含答案

信阳高中2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（三）理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知{}{}222|,|2M y R y x N x R x y =∈==∈+=，则MN =（ ）.A ．{}(1,1),(1,1)-B ．⎡⎣C ．[]0,1D ．{}12. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B.sin y x =-C ．21y x =+ D ．cos y x=4．在下图算法框图中，若a=6，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是 A.B.C.D.5.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92 B.97 C.61 D.566. 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为( )A. B. C.D.或7. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）. A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-+∞C ．[33-D ．2[,0]3-8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为，则几何体的高为A. B. C. D.9.已知ABC 中， sin A ， sin B ， sin C 成等比数列，则sin2sin cos BB B+的取值范围是( )A. ⎛-∞ ⎝⎦B. ⎛ ⎝⎦C. (- D. ⎛ ⎝⎦10.已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是（ ）. A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）3212.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( ) A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,+∞本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题—第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，则每个房间恰好进入一人的概率是 .14.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(AC =,()BD =,则AB CD ⋅的最小值是15.．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图为一个“堑堵”，即三棱柱，其中，已知该“堑堵”的高为，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为___________.16.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则S 2018= ___________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈，设()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．18.如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．19．依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元． 现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．20.已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅．若点P 满足+=2． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线 a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21.已知函数（1）若，讨论的单调性；（2）若，为在上的最小值，求证：．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请涂黑题号。

22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为221x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(2cos sin )6ρθθ-=.（1）将曲线1C2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程； （2）设P 为曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离. 23． 已知，不等式的解集是.（1）求集合； （2）设，证明：.理科数学参考答案1.B 2C 3. B 4 B 5．D 6.C 7.A 8D 9.B10.A ()()()22()2e e [2]x x x f x x a x ax b x a x a b e '=++++=++++,因为函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，所以()0f x '≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，即()2[2]0x x a x a b e ++++≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，令2()(2)h x x a x a b =++++，则()0h x ≥在(),2-∞-，()1,+∞上恒成立，所以有2(2)(2)(2)(2)h a a b -=-++⨯-++=0a b -+≥，(1)1(2)230h a a b a b =++++=++≥，2212a +-≤-≤,即,a b 满足0230142a b a b b a -+≥⎧⎪++≥⎪⎨<⎪⎪-≤≤⎩, 在直角坐标系内作出可行域，2221222a b a b b a a a +-+++==+---，其中22b k a +=-表示的几何意义为点(2,2)P -与可行域内的点(,)Q a b 两点连线的斜率，由图可知<3-k 31-≤，所以<-2k +132≤，即2a b a +-的取值范围为2(2,]3-.11 D 显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，,P 2()a ab c c ， ,所以2222()()()a aba c a c c-+=-,222222()()()()()a aa c c a c a c c⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a +⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=-解得 2e =.故选D.12 B 设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t -'=,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得110e ea a <<⇒> ,故选B. 13.62524依题意可知，每一个人入住的方法都是5种，所以5人入住的方法总数为553152=种，而每个房间恰好进入一人的方法数是55120A =种，因此，每个房间恰好进入一人的概率是5551202453125625A ==.142- 取(0,0)A ,则C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则2121 1.x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,1AB x y x y ==-,(221,CD x y =-,求得2222((22AB CD x y ⋅=+--≥-,当11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅取到最小值2-。

15. 设，，又，且该“堑堵”的高，所以“堑堵”的体积，解得，“堑堵”外接球的直径，其半径为，当且仅当时，等号成立，所以该“堑堵”的外接球体积的最小值为，故答案为.16 -2523由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,2018=12×168+2组循环结构,故S 2018=-15×168-1-2=-2523．17.解：（1）211()3cos cos 2cos 222f x m n sinx x x x x =⋅=+=++ 1sin(2)62x π++=，由Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ 可得ππππk x k +≤≤+-63，所以函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. （2）21)62sin(,1)(=+∴=πA A f ，130,2666A A ππππ<<∴<+<， 52,663A A πππ∴+=∴=.由,cos 2222A bc c b a -+=得1,343cos2122=∴-=-+=bc bc bc c b π，43sin 21==∴∆A bc S ABC . 18（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM -．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =， 因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=，所以EM n ⊥， 又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且B C A B ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且12OM PB =． 又因为AE ∥PB ，且12AE PB =， 所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅22225)59λ===⋅． 所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）．因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25．19.（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：()()()()120.020.050.0650.65,0.040.0250.30P A P A =++⨯==+⨯=， ()30.0150.05P A =⨯=．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ， 所以()()()1230.1,0.2,0.6P B P B P B ===． 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B ．则()()()()()()()()()()112233112233P B P AB P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155． （2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为： 500,100,1000--，由（1）知()()115000.650.90.300.750.0500.81,1000.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= ()110000.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=． 1X 的分布列为则该企业在8月份的利润期望()()()15000.811000.15510000.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）． 选择方案二，则2X （万元）的取值为： 460,1040-，由（1）知，()()224600.810.1550.965,10400.035P X P X ==+==-=， 2X 的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望()()24600.96510400.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元） 选择方案三，则该企业在8月份的利润为： ()3500100400E X =-=（万元）由于()()()231E X E X E X >>，因此企业应选方案二．20（1） 椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，∴由0=⋅，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由+=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==ax x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．21.解：（1），，若，即时，则由得， 当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增．若，则由，得或，构造函数（），则，由，得，所以在单调递减，在单调递增，，所以（当且仅当时等号成立）．①若，，在单调递增；②若或，当时，；当时，；所以在单调递减，在，单调递增． （2）若，在单调递减，在单调递增．， ∴，则，令，则，在单调递减，，，所以存在唯一的使得，所以在单调递增，在单调递减，而，又，所以，所以当时，．22（1）由题意知，直线l 的直角坐标方程为： 260x y --=曲线2C的直角坐标方程为：22()12y +=，即22134x y += ∴曲线2C的参数方程为：2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （2）设点P的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==∴当cos()16πθ+=-时，max d ==23：（Ⅰ）当时，.由，得，所以.当时，. 由，得，所以综上可知，.（Ⅱ）因为，，所以，， 即，.所以，故.。