7-1应力状态-土木

pD X 0, ' 4t pD Y 0, ' ' 2t
2
( 3 ' , ' ' )
属二向应力状态。
3 0
1 , 2 , 3 0
2、三向应力状态：
§7-2-1 平面应力状态分析 ——解析法 讨论的问题：

x y
2

x y
x

x

2 2 x y

y
2
cos 2 x sin 2
cos 2
2
sin 2 x cos 2

x
2
sin 2
450
45
0
x
2
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450 出现滑移线，是由最大切应力引起的。
解：1）外力分析
2) 内力分析(FS、M图)
RC R B
P () 70kN 2
3）A点横截面上的σ、τ
My A 146MPa IZ
* FSA S Z A 16.5MPa bIZ
4）在单元体上
x 146, xy A 16.5, 60 , y 0
0.4444
' 0 120
0 12 90 78
'' 0 0
0
5）计算τmax、τmin及其所在平面 的方位角。 2 x y 2 xy max
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
拉应力为正
x
压应力为负
x
α
n x
x

切 应 力:
使单元体或其局部 顺时针方向转动为正； 反之为负。

y
2、公式推导：
dA· cos
e
e
x

xy
y
x
xy
yx
f

b

n

f

dA· sin
yx
y

参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
0
30 60 x y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
例：图示简支梁由36a工字钢制成，P=140kN,L=4m，A点 位于集中力P左侧截面上的下翼缘与腹板的交界处，试求： 1）A点处图中指定斜截面上的应力；2）A点处的主应力 及主应力单元体。
max
45
0
x
2
例：分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说 明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。
min


x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2

max
x y
2 sin 2 x cos 2
20MPa
10MPa

30
x y
2
sin 2 x cos 2
b
c
n2
60
0
0
10 30 sin 600 20 cos 600 1.33MPa 0 2 0 10 30 0 sin 120 20 cos 120 1.33MPa 2
300

x y
2
sin2 xy cos2
100 ( 80) sin600 40cos600 2
97.64( MP a) 4）计算σmax、σmin及主平面方位角。
max
min
x y
2

x y 2
2 xy
30MPa
n1
60
0

x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2
a
3
10 30 10 30 0 10 30 10 120 20 sin 12000 42.32MPa cos 30 300 cos 600 20 sin 60 2.32MPa 2 2 2 2
在二向应力状态下，已知通过一点的某 些截面上的应力后（一般是互相垂直的截 面），如何确定通过这一点的其它斜截面上 的应力，从而确定该点的主应力和主平面。
一、斜截面上应力：
xy中的角标
第一个角标x：切应力作用平面的法线方向 第二个角标y：切应力的方向平行y轴
1、符号规定：
y
正 应 力:
α角:
若规定 x y : 则由 0 小的那个角度来确定 max 所在平面
tan 2 0
2 xy
x y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：
max
min
x y
2
1 2
1 2

则： 、 都是的函数
2
二、主平面、主应力： 2 xy d （刚好是剪应力为零的截面） tg 2 0 令 0 x y d
max
min
x y
2
x y 2
2 xy
2
若 max 0, min 0, 则 1 max , 2 min, 3 0 若 max 0, min 0, 则 1 max , 2 0, 3 min 若 max 0, min 0, 则 1 0, 2 max , 3 min
应 力
指明
哪一个面上 哪一点？
哪一点 哪个方向面？
通过受力构件内 一点不同方向截面上 应力的集合，称之为 一点的应力状态。
即：研究一点处沿各个不同方位的截 面上的应力及其变化规律。
二、主平面和主应力
主平面：剪(切)应力为零的平面。 主应力：主平面上的正应力σ。 一般来说，过受力构件的任意一点都可找到 三个互相垂直的主平面，因而每点都有三个相互 垂直的主应力（σ1≥σ2≥σ3）
2
2
100 ( 80) 100 ( 80) 3 88.5
108.5 ( MP a) 88.5
主平面方位角：
tg20
2 xy
x y 2 40 100 (80)


x
2 y 4 xy 2
x y
2
x
2 y 4 xy 2
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
三、最大剪应力： max
d 令 0 d
max
min
tg2 0
x y 2 2 xy
x y tg21 2 xy
x 100 y 80, ,
xy 40, 30
3）计算30°，
300 x y
2
30°：
x y
2
cos2 xy sin2
100 (80) 100 (80) cos600 40sin600 2 2
20.36( MP a)
3
2
1
以下单元处于何种应力状态？
轴向拉伸
σ
扭 转
σ
τ
τ
τ
σ
σ
τ
FN A
T Ip
τ σ
弯曲变形
τ σ
σ y
τy
x τ σ x
σ x
y
σ y
x
σ
τσ
x
* z

MZ y Iz
Fs S IZb
y
补充：
二向、三向应力状态实例30
1、二向应力状态：薄壁圆筒（t<<D、L)
0
5）斜截面上的60°， 60°：
600
x y
600
2 x y
2

x y
2
cos2 xy sin2 22.2MPa
sin2 xy cos2 55MPa
6）A点处的主应力及方位
max
min
x y
2
1 147.8, 2 0, 3 1.84
tg2 0
'
x y 2
2 xy
2
147.8 ( MP a) 1.84
2 xy
x y
'
0.226
0 6 22
' 0' 83 38'
例：已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应 力和σmax、σmin、τmax、τmin及主平面和最大剪应力所 在平面的方位；绘出主应力单元体 1）取坐标轴 解： 2）已知条件命名
cos 2
450 max 45
0
45
0
0
max

45 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即45 螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
0
例：某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平 面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别 与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
2
2
Mz x1 Wz
2
3
1
3
练习
l
S平面
T
y
1 4
S
F
z
x
2 3 Mz
a
1
τ T Wp