平面应力状态
(仅供参考)平面应力状态分析-主应力主平面详细推导
平面应力状态分析--主应力主平面详细推导老和尚小方丈（storylee_dut@）大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司平面应力状态有一个主应力为0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细，在此进行详细推导，为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。
任意斜截面上的应力公式为：ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx y x --++=（1）ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（2）式中，α为斜截面外法线n 与x 轴正向的夹角。
对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为0，由（2）式得：02cos 2sin 2000=+-=ατασσταxy yx （3）即yx xyσστα--=22tan 0（4）方程（4）有两个解，主平面方位角0α与 900+α，说明两个主平面互为垂直关系。
将公式（3）的解回代公式（1），可得另外两个主应力，代数值较大的记为max σ，较小的记为min σ，则22max 22xy y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5）22min22xyy x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=（6）关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：对于方程yx xyσστα--=22tan 0更改等效形式002cos 22sin ασσταyx xy--=（7）添加方程12cos 2sin 0202=+αα（8）联立（7）、（8）求得：2220222cos xy y x y x τσσσσα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±=（9）222022sin xy y x xyτσστα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（10）注意（9）、（10）公式正负号的对应，再将（9）、（10）代入公式（3）推得主应力计算公式（5）、（6），至此，详细推导完成！。
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
材料学 平面应力状态分析
ayx
f
y
t
e
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
化简以上两个平衡方程最后得
的方位.
m
m a
l
A
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
A
1 3
因为 x < y ，所以 0= 27.5°与min对应
3
0
A
x
1
例题5 图示单元体,已知 x =-40MPa,y =60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情
况及主应力和主单元体的方位.
解:（1）求 e-f 截面上的应力
不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction）
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ） 令
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定（Sign convention）
e
平面问题中一点的应力状态
px
σN
x
PA面积=mds。
n
B
py
p
➢斜面上y应力 y分x 解为：
ppxpy
X p x d s x ld xm s y fx d ld s/s 2 0 mds
由∑Y=0得：
px xlxym py ymxyl
斜面应力
(1)求（ p x , p y）
由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
x E1 (x y) y E1(y x) （2-15）
（2）几何方程：
x
u x
y
v y
（2-9）
xy 2(1E)xy
未知量数： x, y, x,yx, y, x,yu,v
Nl21m22 l2(12)2
Nlm(21)
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 2
x
y
2
x
y
2
2
x2y
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan
2
xy 2
y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
xy l y
xy y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1 2
xy
2
x2y 2x2y
y yx
P
xy
A
y x
x
px
1 2
xy
2
x2y
2x2y
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在
B py
n
两个主应力。二者方向互相垂直。
《平面应力状态》课件
优化方法：采用 有限元分析方法， 对零部件进行应 力分析，找出应 力集中区域
优化结果：通过 优化设计，提高 了零部件的强度 和刚度，降低了 重量和成本，提 高了产品的市场 竞争力
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汇报人：PPT
纯剪切应力状态：物体在两个相互垂直的平面内受到剪切应力的作用， 应力在两个平面内是均匀分布的。
应力状态与变形关系
应力状态：物体内部受到的力与面 积的比值
应力与变形的关系：应力越大，变 形越大
添加标题
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变形：物体在外力作用下产生的形 状和尺寸变化
应力状态与变形的关系：应力状态 决定了物体的变形程度
预防措施：优化设计、选用 优质材料、改进制造工艺等
稳定性准则及判据
稳定性准则：平面应力状态下，结构在受到外力作用下保持稳定状态的条件 判据：根据应力状态、材料性质和几何形状等因素，判断结构是否满足稳定性准则 稳定性分析方法：包括能量法、变分法、有限元法等 稳定性判据的应用：在工程设计中，用于评估结构的稳定性，确保结构的安全性和可靠性
平面应力状态下的应变 分析
应变概念及测量方法
应变：物体在外力作用下产生的形变 应变类型：线应变、面应变、体应变 应变测量方法：光学测量法、机械测量法、电学测量法 应变分析：通过测量应变来研究物体的应力状态和变形规律
应变与应力关系
应变：物体在外力作用下产生的形变
应变与应力的量纲：应变的单位是长度，应力的 单位是力/面积
强度计算方法
应力状态： 平面应力状 态
强度指标： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力
强度条件： 最大主应力、 最小主应力、 剪应力均小 于材料的许 用应力
强度计算公
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
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材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
平面应力状态
14.1 平面应力状态
如图 14.1 所示，一点处 的应力状态由作用在该点 处的单元体的面上的六个 独立的正应力和切应力来 表示。
工程实践中并不经常 遇到这种应力状态。相反 的，工程师们经常会对加载 做一些简化，以便在一个平 面内分析结构件或机械零 件中的应力。若物体的表面 没有受力，则在表面的单元 体的面上应力为零。相应 的，与该面相对的面上的应 力也为零，此时，这点的材 料处于平面应力状态。
14.3 主 应 力 和 面 内 最 大切应力
由式 14.1 和 14.2 可知 σx′ 和τx′y′ 取决于θ 的值。通 常工程实践中确定最大和 最小正应力以及最大切应 力的作用面的方位角是重 要的。
59
Stress Transformation
In-Plane Principal Stresses. To determine the maximum and minimum normal stress, equation 14.1 must be differentiated with respect to θ and set the result equal to zero. Solving this equation the orientation θ = θp of the planes of maximum and minimum normal stresses can be obtained as,
σ σ
max min
⎫ ⎬ ⎭
=
σ
x+σຫໍສະໝຸດ y 2±⎜⎜⎝⎛ σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞ 2
+τ
2 xy
(14.4)
It can be seen that there is no shear stress acts on the planes on which maximum and minimum normal stresses act. The plane that has no shear stress acts on is called the principal plane. The normal stresses that act on the principal planes are called the in-plane principal stresses, namely σ1 and σ2, according to the magnitude. For a general three-dimensional case, there are three principal stresses, σ1≥σ2≥σ3.
第13章 平面应力状态分析
0
法线的面上的应力为（-40。0）， x 大切应力截面上的应力。 45 连接两点，以中点为半径，20为半 解： 1、选取杆上任一点及其 径做圆，得到应力莫尔圆。 3MP 40 MP 3 40 a a 邻域，如图，上下两截面正应 / MPa 450 4、圆上点D切应力最大，可见，是 力为-40MPa，切应力为0。纵向 由x轴逆时针转动900得到的。所以截 20 截面上无应力作用。 D 0即得到最大切应力平面。 面转动 45 450 90 2、建立σ-τ右手直角 0 20 / MP 40 5 、由图中可以得到最大切应力截面 a 坐标系，如图，选取相同比例 上的应力为： 尺（如1mm=1MPa）。
a( x , xy )
p 可见，利用Cauchy应力定理，由
p
(n)
px
(n)
(n) T
y
应用实例
如图,试确定承受内压薄壁容器内壁任
意点的应力状态.
重要应用实例
m t
p
l
Ｄ
pDl
m
m(p D)
Ｄ
pp D 2 ４
p
m
t
t (2 l )
t
重要应用实例
m
m(p D)
Ｄ
pp d 2 ４
yx
x'
x
应力的面的概念。
微元平衡分析结果表明：即使同一点不 同方向面上的应力也是各不相同的，此即
应 力
指明 哪一个面上？
哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这
一点的应力状态（State of the Stresses of a
平面问题中一点的应力状态
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 方向的正应力n为 （b）已知 那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x
( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
n
B
py
xy
2
x
xy
y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
解释平面应力和平面应变状态
1. 脆性断裂：断裂前，材料未发生明显的宏观塑性变形的断裂，或指断裂应力低于材料屈服强度的断裂2. 包申格效应：是指金属材料经预先加载产生少量塑性变形（残余应力小于4％），而后再同向加载，规定残余伸长应力（屈服强度、弹性极限）增加，反向加载，规定残余伸长（屈服强度、弹性极限）应力降低的现象。
3. 应力状态软性系数：应力状态中最大切应力和最大正应力的比值4. 刚度：在弹性变形范围内，构件抵抗变形的能力。
5.热疲劳：由周期变化的热应力或热应变引起的材料破坏称为热疲劳。
6.蠕变：材料在长时间的恒温、恒载荷作用下缓慢地产生塑性变形的现象。
7.疲劳强度：在指定疲劳寿命下，材料能承受的上限循环应力。
8.断裂韧度：裂纹失稳扩展的临界状态所对应的应力场强度因子称为材料的断裂韧度9.技术磁化：铁磁材料在外加磁场的作用下所产生的磁化称为技术磁化。
10.允带：电子可以具有的能级所组成的能带称为允带。
1. 韧性：是指材料在断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。
4.松弛稳定性：材料抵抗应力松弛的能力称为松弛稳定性。
7.低温脆性：材料随着温度下降，脆性增加，当其低于某一温度时，材料由韧性状态变为脆性状态，这种现象为低温脆性。
8.解理断裂：材料在拉应力的作用下原于间结合破坏，沿一定的结晶学平面(即所谓“解理面”)劈开的断裂过程。
6. 破损安全：构件内部即使存在裂纹也不导致断裂的情况。
7.平面应力：只在一个平面内存在应力的现象。
10. △K th ：疲劳裂纹扩展的门槛值，表征材料阻止疲劳裂纹开始扩展的能力1. 解释形变强化的概念，并阐述其工程意义。
答：材料进入塑性变形阶段后，随着变形量增大，形变应力不断提高的现象称为形变强化。
（2分）形变强化是金属材料最重要的性质之一，其工程意义在于：1）形变强化可使材料或零件具有抵抗偶然过载的能力，阻止塑性变形的继续发展，保证材料安全。
2）形变强化是工程上强化材料的重要手段，尤其对于不能进行热处理强化的材料，形变强化成为提高其强度的非常重要的手段。
平面应力状态的几何法
平面应力状态分析--几何法(1)平面应力状态分析--几何法(1)平面应力状态分析—几何法(1)cos 2sin 222sin 2cos 22x y x y xy x yxy αασσσσσατασστατα+-=+--=+一. 问题的提出mm Fq解析法22max 22min ()22()22x y x y xy x y x y xy σσσσστσσσσστ⎧+-=++⎪⎪⎨+-⎪=-+⎪⎩平面应力状态分析—几何法(1)22max 22min ()2()2x y xy x y xy σσττσσττ⎧-=+⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩1tan2=2x y xyσσατ-02tan 2x x y τασσ=--平面应力状态分析—几何法(1)解析法优点：理论严谨，使用方便！缺点：公式太多，容易记错！有没有第二种方法呢？平面应力状态分析—几何法(1)二. 应力圆cos 2sin 2 22sin 2cos 22x y x y x x yx αασσσσσατασστατα+--=--=+过受力构件任一点处某斜截面(α方位角)上的应力计算公式可改写为：平面应力状态分析—几何法(1)消去α，得到：2222()()22x yx yxαασσσσσττ+--+=+上式是一个以σα和τα为变量的圆周方程。
当斜截面随方位角α变化时，其上的应力σα,τα在σ-τ直角坐标系内的轨迹是一个圆，称为莫尔应力圆(Mohr’s circle )。
平面应力状态分析—几何法(1)1. 圆心的坐标(,0)2x y C σσ+2. 圆的半径22()2x yxR σστ-=+所谓几何法，就是通过在σ-τ坐标系内画出应力圆来对受力构件内一点应力状态进行分析的方法。
位于σ轴上应力圆平面应力状态分析—几何法(1)三. 应力圆的做法1. 给定初始单元体，建立坐标系，选定比例尺。
标准的初始单元体平面应力状态分析—几何法(1)2. 量取OA= σx，AD= τxy，得D点；3. 量取OB= σy，BD′= τyx，得D′点；平面应力状态分析—几何法(1)4. 连接DD′两点的直线与 轴相交于C点；5. 以C为圆心，CD为半径作圆，该圆就是相应于单元体的应力圆。
《平面应力状态》课件
莫尔-库仑强度准则
总结词
该理论认为当材料某个平面上的剪应力 和正应力组合达到极限值时，材料发生 屈服。
VS
详细描述
莫尔-库仑强度准则，也称为MohrCoulomb屈服准则，它认为在某个平面 上，当剪应力和正应力的组合达到某一极 限值时，材料会发生屈服。这一理论考虑 了正应力和剪应力的共同作用，因此比最 大剪应力理论更全面。该准则适用于大多 数材料，尤其是土壤和岩石等材料。
02
通过有限元分析，得到平面内的应力分布情况，为优化设计提
供依据。
结构改进
03
基于分析结果，对结构进行改进或优化，提高其承载能力和稳
定性。
桥梁结构
建筑结构
在高层建筑或大跨度结构的分析中，对楼板、梁等 构件进行平面应力分析，以优化结构设计。
在桥梁设计中，对桥面板等关键部位进行平 面应力状态分析，以确保其承载能力和稳定 性。
机械零件
在机械零件如齿轮、轴承等的设计中，通过 平面应力状态分析，确保零件的强度和疲劳 寿命。
材料力学性能的平面应力状态研究
应力状态分析方法
解析法
通过数学公式和定理推导，得出 平面应力状态下的主应力和主方
向。
数值法
通过有限元分析等数值计算方法， 得出平面应力状态下的主应力和主 方向。
实验法
通过实验测量和数据分析，得出平 面应力状态下的主应力和主方向。
CHAPTER
03
平面应力状态的应变分析
应变分量与应变状态
应变分量
要点二
临界应变
当应变达到某一特定值时，系统会发生失稳，这个特定值 即为临界应变。
失稳判据与失稳模式
失稳判据
当系统的应力或应变超过其临界值时，系统会发生失稳 。
平面应力和平面应变
平面应力和平面应变1． 平面应力在三维应力分布中，如果作下列假定无关与z 、、xy y x yz xz z τσσττσ0=== 1-1就得到了平面应力问题。
这种情况发生在薄板边界处受到平行于板面、并且沿厚度均匀分布的力作用的时候如图。
这时，在板的上下表面处，z σ、xz τ、yz τ为零（z 为板的法向），并认为沿着整个厚度方向它们也等到于零（因为厚度很小）。
应力状态只须用仅与x 、y 有关的x σ、y σ、xy τ来描述，称为平面应力情况。
此时，这三个应力分量与z 无关，即沿着板厚度保持不变。
平面应力问题的所有方程可以从相应的三维方程并结合式1-1得到：平衡方程 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y y xy x xy x f y x f y x σττσ 1-2 边界条件 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=--y xy xy x m l Y m l X σττσ 1-3 应变--位移方程 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x v y u y v x u xy y x γεε 1-4 应力--应变方程 ()()⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=G E v E v xy xy x y y y x x τγσσεσσε 1-5 这里()v E G +=12是剪切模量，在结构的矩阵分析中，常把1-5式写成矩阵形式。
即()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v E τσσγεε1201011称对 1-6 或者，反之用应变表示应力，则有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v vE γεετσσ21010112称对 或记： {}[]{}εσD = 1-7其中： []⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21010112v v v E D 称对 1-8 协调方程 y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 1-9 此外，还必须注意下面两点：1） 在平面应力状态中0=z σ，而0≠z ε，事实上有()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==+-=00yz xzy x z E v γγσσε 2）平面应力假定下，方程式1-1是违背了某些协调条件的。
应力状态的概述
材料力学
pD
2
pD
4
1
pD
2
2
pD
4Leabharlann 3 0材料力学圆杆受扭转和拉伸共同作用
材料力学
FN A
4F πd 2
T
Wt
16 π
Me d3
材料力学
材料力学
材料力学
应力状态的概述
材料力学
材料力学 材料力学
材料力学
主平面 ：切应力为零的平面
主应力：主平面上的正应力 主方向：主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个
互相
三个主应力垂用1、直的2、主平3 面。表示, 按代数值大小顺序排
序, 即
1 2 3
材料力学
材料力学
应力状态的分类： 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
材料力学
材料力学
圆筒形薄壁压力容器，平均直径为 D、壁厚为 ，承受
平面应力和平面应变
变形后：
P1N1 的方向余弦
P1N1′ 的方向余弦
化简，得：
略去二阶小量；
同理，得：
PN 与 PN′变形后的夹角改变为：
代入，并利用：
并略去高阶小量，有
（12）
从中求出变形后两线段间的夹角
进一步求出
3. 斜方向应变公式的应用
3. 斜方向应变公式的应用
（1）
（2）
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
(2) 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。
(3) 应力特征
如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。
由于板面上不受力，有
因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。
可认为整个薄板的各点都有：
由剪应力互等定理，有
例6
例5
图示楔形体，试写出其边界条件。
上侧：
下侧：
图示构件，试写出其应力边界条件。
例6
上侧：
下侧：
（3）混合边界条件
(1)
物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。
(2)
物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：
图(a)：
—— 位移边界条件
—— 应力边界条件
图(b)：
小结：
—— 平面问题的应力边界条件
（1）斜面上的应力
表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
§3.2.3 几何方程 刚体位移
建立：平面问题中应变与位移的关系
—— 几何方程
材料力学之应力状态知识讲解
1
m main =xx 2y
(x 2y)2x2y=
26MPa 96MPa
1=26 MP , a2=0, 3=96 MPa
26
例题 5 图示单元体。
已知: x =-40MPa ，y =60MPa ，xy=-50MPa 。 试求: ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。
(1) 求 ef 截面上的应力
P A
B
C
A A
A
B B C
C
C C
从A、B、C三点截取 7
例题 1 画出如图所示梁 S 截面的应力状态单元体.
F
S平面
l/2 l/2
5 4 3 2
1
8
5
S平面
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x1
1
x1 x2
2
x2
2
2
3
3
3
9
例题2 画出如图所示梁的危险截面上, 危险点的应力状态
yy
单元体。
1
4
FS
2
z
3
z2 xT 3
45°
所以 0= -45°与 max 对应
1
（2）求主应力
m m= a in x x 2y(x 2y)2x 2= y
1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 30
§8-3 平面应力状态分析-图解法
一.莫尔圆
将斜截面应力计算公式改写为
= xx 2 2yys=i2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
把上面两式等号两边平方, 然后相加便可消去 , 得
(x 2y)2 2=( x 2y)2x 2y
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解： s x 100 MPa t x 60 MPa s y 50 MPa a 30
(-100 50) MPa (-100 50) MPa cos(-60 ) 2 2 (-60 MPa)sin(-60 ) -114.5 MPa ( 100 50) MPa sin(60 ) ( 60 MPa)cos( 60 ) 35.0 MPa 2
t a (s x s y )sinacosa t x cos 2a t ysin 2a
由于tx 与 tx 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa
ta
s x s y s x s y
2 s x s y 2 2
cos2a t x sin2a
sin2a t x cos2a
2
应力圆的绘制与应用
绘制应力圆
sC
s x s y
2
－ 圆心横坐标
图解法求斜截面应力
2 2 s H OC CD cos2a 0cos2a CD sin2a 0sin2a s x s y s x s y sH cos2a t x sin2a s a 2 2 同理可证： t H t a
上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异 性、非线弹性与非弹性问题
例题
例 2-1 试计算截面 m-m 上的应力
s x s y s x s y sa cos2a t x sin2a 2 2
ta
s x s y
2
sin2a t x cos2a
s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sinacosa t a (s x s y )sinacosa t x cos 2a t ysin 2a
s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sinacosa
2
ta 0
s x s y
2
应力圆
2
sin2a t x cos2a
2
s x s y 2 s x s y 2 s t 0 t a x a 2 2 s x s y sC 2
s x s y 2 R t x 2
问题：试建立 sa, ta 与 sx, tx, sy, ty 间的关系
斜截面应力公式
Fn 0， s a dA (t x dAcosa )sina - (s x dAcosa )cosa (t ydAsina )cosa - (s ydAsina )sina 0 Ft 0， t a dA (t x dAcosa )cosa - (s x dAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina )cosa 0
材料力学（ Ⅰ） 单辉祖 编著
第 7 章 应力、应变状态分析 本章主要研究： 应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论 应力应变一般关系 应变能分析计算
第 7 章 应力、应变状态分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9
引言 平面应力状态应力分析 应力圆 平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力
sm
tm
§3 应力圆
应力圆
应力圆的绘制与应用 例题
应力圆
sa s x s y s x s y
2 2 cos2a t x sin2a
ta
s x s y
2
sin2a t x cos2a cos2a t x sin2a
sa
s x s y
2
s x s y
平面应变状态应变分析
各向同性材料的应力应变关系 复杂应力状态下的应变能
复合材料的应力应变关系简介
§1 引言
实例
应力与应变状态 平面与空间应力状态
实例
微体A
微体abcd
微体A
应力与应变状态
应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为 该点处的应力状态 应变状态 构件内一点在各个不同方位的的应变状况，称为该 点处的应变状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态 微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式
平面应力状态 的一般形式
§2 平面应力状态应力分析
斜截面应力分析 例题
斜截面应力分析
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa, ta 符号规定： 切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位用 a － 以 x 轴为始边、 者为正
t max t min
s x s y 2 t x 2
tx tx s x s min s max s y
s x s y s x s y s a s H OC CD cos(2 cos2 t)x sin2a a0 a 2 a
点、面对应关系
转向相同，转角加
例 3-1 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
s m 115 MPa
t m 35 MPa
§4 平面应力状态的极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力
主平面与主应力 纯剪切应力与扭转破坏 例题
平面应力状态的极值应力
s max s x s y s x s y 2 t x s min 2 2
2t x tan2a 0 s x s y tana 0