平面应力问题
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位移与形变间的关系； —— 几何方程
（3）物理学关系： 应力与应变间的关系。 —— 物理方程 （1）应力边界条件； 建立边界条件： （2）位移边界条件； （3）混合边界条件；
平衡微分方程
下面讨论物体处于平衡状态 o 时，各点应力及体力的相互 关系，并由此导出平衡微分 方程。从图所示的薄板中取 出一个微小的单元体PACB ， 它在z方向的尺寸取为一个 y 单位长度，在x方向和y方向 上的长度分别为dx和dy。
应力特征
如图选取坐标系，以 板的中面为xy 平面，垂直 于中面的任一直线为 z 轴， 板厚为δ 。由于板面上不 受力，有
z z 2 zx z
0 0
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板上 的各点都有：
2
zy z 2
0
z 0 zx 0 zy 0
x
2
1
P A
n lm ( 2 1 )
l m 1
2 2
y
2
n l 1 l ( 2 1 )
B
n
n
n
n l l ( 2 1 )
2 4
2
n lp y mpx
lm( y x )
1 1 2 n l ( 2 1 ) (l 2 m 2 ) xy 4 2
主应力所在的平面 —— 称为主平面；
主应力所在平面的法线方向 — 称为应力主向；
设σ1 与 x 轴的夹角为 1， σ1与坐标轴正向 的方向余弦为 l1、m1，则
设σ2 与 x 轴的夹角为 2 ， P xy σ2与坐标轴正向的方向余弦 x fy 为 l2、m2，则 B y
cos(90 1 ) m1 tan 1 cos 1 l1 xy 1 x (或 ) xy 1 y
得，
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
几何方程
x 在平面问题中，弹性 o 体中各点都可能产生 u P A 任意方向的位移。通 v P 过弹性体内的任一点 A P，取垂线PA和PB， y B 如图2-5所示，PA和 B PB的长度分别为dx 和dy 。弹性体受力 后P、A、B分别移动 假设点P产生的位移分 别为u和v。 到P′、A′、B′。
1 1 2 n l ( 2 1 ) 4 2
2
O
x
2
1
P A
显然，当 1 2 1 l 0 (l ) 2 2 时，τn为最大、最小值：
y
B
n
n
n
max 1 2 min 2
1 由 l 2
平面内的最大切应力
1 x ( 2 y )
显然有
tan 1 tan 2 1
xy tan 2 1 x
表明： σ1 与 σ2 的方向互相垂直。 结论: 任一点P一定存在两相互垂直的主应力。
最大、最小切应力 将x、y轴分别放在两个主 应力的方向 由
O
2
p
p x l x m yx p y m y l xy
—— 平面问题中主应力的计算公式
由上式易得：
x y 1 2
应力主向
1 x y x y 2 xy 2 2 2
2
—— 平面问题中应力第一不变量
x xy xz 共六个应 力分量 yx y yz zx zy z z 0
y
yx
x
xy
zx 0 zy 0
y yx
y
xy
x
x
结论：
平面应力问题只剩 下三个应力分量： 应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数， 与 z 无关。
y
y
dy
y y
y xy dy 1 f y dx dy 1 0
dy ) dx 1 y dx 1 ( xy
xy x
dx) dy 1
y y
xy x
fy 0
x yx fx 0 x y 即得平衡微分方程： y xy fy 0 y x
o
P
u
P
u u dx x A
x
v v dx x
y
v
B
B
v v dy y
A
u u dy y
PA和PB的线应变
o
P
u
u v P (u dx) u y x B x v dx v dy y B u u x u dy
x
P
D
fx
A
B
fy
C
o
P
x
x
y
fy
B
D
fx
A
设作用在单元体左侧面上 的正应力是 x x ( x, y) 。 右侧面上坐标x得到增量 dx，该面上的正应力为
C
x ( x, y ) x ( x dx, y ) x ( x, y ) dx x 2 n 1 x ( x, y ) 1 x ( x, y ) 2 n (dx) (dx) 2 n 2! x n! x
p x l x m yx p y m y l xy
m x 求解得： l yx yx m l y
2 2 xy
o
xy
x
y
B
P
yx
y
A
px
x
n
n
n
py
( x y ) ( x y ) 0
1 x y x y 2 xy 2 2 2
o
xy
x
y
B P
yx
fy
y
fx
x
A
n
设n为该面的外法线方向，其方向余弦分别 为：
cos l ,cos m
设平面AB在xy平面内的长度为ds，厚度还 是为1个单位。
o
xy
x
y
B P
yx
y
fx
x
A
wenku.baidu.com
px fy
py
n
则斜面AB的面 积为ds，PA和 PB的面积分别 为mds 和lds
x x ( x, y ) y y ( x, y ) xy yx xy ( x , y )
特征： 1) 长、宽尺寸远大于厚度。 2) 沿板边受有平 行板面的面力，且 沿厚度均布，体力 也平行于板面且不 沿厚度变化，在平 板的前后表面上无 外力作用。 注意：平面应力问题z =0，但
下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单 元体列平衡方程： Fx 0
o
x yx fx 0 x y
xy
P
yx
D
y
A
x
x x dx x xy
x dx
Fy 0
( y y
x
B
fx
C
fy
yx
dy
xy
yx y
o
m x l yx yx m l y
yx
y
fx
py
x
A
px
n
cos(90 2 ) m2 2 x xy tan 2 (或 ) cos 2 l2 xy 2 y
1 x tan 1 xy 应力主向的计算公式： xy tan 2 2 y 由 x y 1 2 得
这两个微分方程中包含着三个未知函 数 x , y , xy yx 。因此决定应力分量的问题是超静 定的，还必须考虑形变和位移，才能解出问题。
平面问题中一点的应力状态
o
一、斜截面上的应力
y
xy
x
P
yx
y
A
x
fx
fy
B
已知弹性体内任一点P 处的应力分 量 x , y , xy yx ，求经过该点任意斜截面上的 应力。为此在点P 附近取一个平面AB，它平行 于上述斜面，并与经过点P而垂直于x轴和y轴 的两个平面画出一个微小的三角板或三棱柱 PAB。当平面AB与点P无限接近时，平面AB上 的平均应力就成为上述斜截面上的应力。
x ( x dx, y)，将上式展开 为泰勒级数：
略去二阶及二阶以上的微量后便得 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状 同样 y 、 态。
x ( x, y )
x ( x, y ) dx x
o
xy
P
yx
D
y
A
x
x
B
fx
C
yx
x x dx x
y
u u dx x A
v
A
x
v dx x
此处位移v引起的PA的伸缩是高一阶的微量，可 忽略不计。
v 同理可求得： y y
P点的切应变
o
P
u
P
u u dx x A
x
v v dx x
线段PA的转角：
v (v dx) v v x dx x
设斜面AB上应力沿x轴及y轴的投影分别为 px和py。由PAB的平衡条件 Fx 0 可得：
除以ds后然后令ds趋于0，即得： px l x m yx 同样由 Fy 0 得出： py m y l xy
ldsmds px ds x lds yx mds f x 0 2
xy
xy x dx
fy
y
y
yx dy y y
y dy
o
xy
P
yx
D
y
A
x
x
xy
yx y
x
B
fx
C
fy
yx
dy
x dx x xy
x dx
y
y
dy
y y
yx x ( x dx) dy 1 x dy 1 ( yx dy ) dx 1 x y yx dx 1 f x d x dy 1 0
y
v
B
B
v v dy y
A
u
u 同理可得线段PB的转角： y v u 所以 xy x y
u dy y
因此得到平面问题的几何方程
u x x v y y v u xy x y
设斜面AB上的正应力 为 n ，由投影可得：
o
xy
x
y
B P
yx
fy
y
fx
x
A
px
n lpx mpy
l x m y 2lm xy
2 2
n
py
n
N
p
设斜面AB上的切应力为 n ，由投影可得：
n lpy mpx lm( y x ) (l m ) xy
z 0
二、平面问题的求解 已知：外力（体力、面力）、边界条 问题： 件，求： x , y , xy x , y , xy u , v —— 仅为 x、 y 的函数 需建立三个方面的关系：
（1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系； —— 平衡微分方程 （2）几何学关系：
在实际问题中，任何一个弹性体严 格地说都是空间物体，它所受的外力一 般都是空间力系。但是，当所考察的弹 性体的形状和受力情况具有一定特点时， 如果经过适当的简化和抽象处理，可以 简化为弹性力学平面问题，将使计算工 作量大为减少。
平面应力问题
一、平面应力问题
等厚度薄板，只在板边受到平行于板面并 且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行 于板面并且不沿厚度变化。
2 2
一点的主应力与应力主向
若某一斜面上 n 0 ， 则该斜面上的正应力称为该 点一个主应力。 当
o
xy
x
y
B
P
yx y
x
A
px
n
n
n 0
时，有
n
py
px l p m y l x m yx l
m y l xy m
由几何方程可见，当物体的位移分量完全 确定时，形变分量即可完全确定。反之，当形 变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
物理方程 在完全弹性的各向同性体内，应变分量与 应力分量之间的关系根据胡克定律建立如下：
（3）物理学关系： 应力与应变间的关系。 —— 物理方程 （1）应力边界条件； 建立边界条件： （2）位移边界条件； （3）混合边界条件；
平衡微分方程
下面讨论物体处于平衡状态 o 时，各点应力及体力的相互 关系，并由此导出平衡微分 方程。从图所示的薄板中取 出一个微小的单元体PACB ， 它在z方向的尺寸取为一个 y 单位长度，在x方向和y方向 上的长度分别为dx和dy。
应力特征
如图选取坐标系，以 板的中面为xy 平面，垂直 于中面的任一直线为 z 轴， 板厚为δ 。由于板面上不 受力，有
z z 2 zx z
0 0
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板上 的各点都有：
2
zy z 2
0
z 0 zx 0 zy 0
x
2
1
P A
n lm ( 2 1 )
l m 1
2 2
y
2
n l 1 l ( 2 1 )
B
n
n
n
n l l ( 2 1 )
2 4
2
n lp y mpx
lm( y x )
1 1 2 n l ( 2 1 ) (l 2 m 2 ) xy 4 2
主应力所在的平面 —— 称为主平面；
主应力所在平面的法线方向 — 称为应力主向；
设σ1 与 x 轴的夹角为 1， σ1与坐标轴正向 的方向余弦为 l1、m1，则
设σ2 与 x 轴的夹角为 2 ， P xy σ2与坐标轴正向的方向余弦 x fy 为 l2、m2，则 B y
cos(90 1 ) m1 tan 1 cos 1 l1 xy 1 x (或 ) xy 1 y
得，
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
几何方程
x 在平面问题中，弹性 o 体中各点都可能产生 u P A 任意方向的位移。通 v P 过弹性体内的任一点 A P，取垂线PA和PB， y B 如图2-5所示，PA和 B PB的长度分别为dx 和dy 。弹性体受力 后P、A、B分别移动 假设点P产生的位移分 别为u和v。 到P′、A′、B′。
1 1 2 n l ( 2 1 ) 4 2
2
O
x
2
1
P A
显然，当 1 2 1 l 0 (l ) 2 2 时，τn为最大、最小值：
y
B
n
n
n
max 1 2 min 2
1 由 l 2
平面内的最大切应力
1 x ( 2 y )
显然有
tan 1 tan 2 1
xy tan 2 1 x
表明： σ1 与 σ2 的方向互相垂直。 结论: 任一点P一定存在两相互垂直的主应力。
最大、最小切应力 将x、y轴分别放在两个主 应力的方向 由
O
2
p
p x l x m yx p y m y l xy
—— 平面问题中主应力的计算公式
由上式易得：
x y 1 2
应力主向
1 x y x y 2 xy 2 2 2
2
—— 平面问题中应力第一不变量
x xy xz 共六个应 力分量 yx y yz zx zy z z 0
y
yx
x
xy
zx 0 zy 0
y yx
y
xy
x
x
结论：
平面应力问题只剩 下三个应力分量： 应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数， 与 z 无关。
y
y
dy
y y
y xy dy 1 f y dx dy 1 0
dy ) dx 1 y dx 1 ( xy
xy x
dx) dy 1
y y
xy x
fy 0
x yx fx 0 x y 即得平衡微分方程： y xy fy 0 y x
o
P
u
P
u u dx x A
x
v v dx x
y
v
B
B
v v dy y
A
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PA和PB的线应变
o
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u
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x
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D
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A
B
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C
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x
x
y
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B
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A
设作用在单元体左侧面上 的正应力是 x x ( x, y) 。 右侧面上坐标x得到增量 dx，该面上的正应力为
C
x ( x, y ) x ( x dx, y ) x ( x, y ) dx x 2 n 1 x ( x, y ) 1 x ( x, y ) 2 n (dx) (dx) 2 n 2! x n! x
p x l x m yx p y m y l xy
m x 求解得： l yx yx m l y
2 2 xy
o
xy
x
y
B
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n
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( x y ) ( x y ) 0
1 x y x y 2 xy 2 2 2
o
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y
B P
yx
fy
y
fx
x
A
n
设n为该面的外法线方向，其方向余弦分别 为：
cos l ,cos m
设平面AB在xy平面内的长度为ds，厚度还 是为1个单位。
o
xy
x
y
B P
yx
y
fx
x
A
wenku.baidu.com
px fy
py
n
则斜面AB的面 积为ds，PA和 PB的面积分别 为mds 和lds
x x ( x, y ) y y ( x, y ) xy yx xy ( x , y )
特征： 1) 长、宽尺寸远大于厚度。 2) 沿板边受有平 行板面的面力，且 沿厚度均布，体力 也平行于板面且不 沿厚度变化，在平 板的前后表面上无 外力作用。 注意：平面应力问题z =0，但
下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单 元体列平衡方程： Fx 0
o
x yx fx 0 x y
xy
P
yx
D
y
A
x
x x dx x xy
x dx
Fy 0
( y y
x
B
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C
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o
m x l yx yx m l y
yx
y
fx
py
x
A
px
n
cos(90 2 ) m2 2 x xy tan 2 (或 ) cos 2 l2 xy 2 y
1 x tan 1 xy 应力主向的计算公式： xy tan 2 2 y 由 x y 1 2 得
这两个微分方程中包含着三个未知函 数 x , y , xy yx 。因此决定应力分量的问题是超静 定的，还必须考虑形变和位移，才能解出问题。
平面问题中一点的应力状态
o
一、斜截面上的应力
y
xy
x
P
yx
y
A
x
fx
fy
B
已知弹性体内任一点P 处的应力分 量 x , y , xy yx ，求经过该点任意斜截面上的 应力。为此在点P 附近取一个平面AB，它平行 于上述斜面，并与经过点P而垂直于x轴和y轴 的两个平面画出一个微小的三角板或三棱柱 PAB。当平面AB与点P无限接近时，平面AB上 的平均应力就成为上述斜截面上的应力。
x ( x dx, y)，将上式展开 为泰勒级数：
略去二阶及二阶以上的微量后便得 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状 同样 y 、 态。
x ( x, y )
x ( x, y ) dx x
o
xy
P
yx
D
y
A
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x
B
fx
C
yx
x x dx x
y
u u dx x A
v
A
x
v dx x
此处位移v引起的PA的伸缩是高一阶的微量，可 忽略不计。
v 同理可求得： y y
P点的切应变
o
P
u
P
u u dx x A
x
v v dx x
线段PA的转角：
v (v dx) v v x dx x
设斜面AB上应力沿x轴及y轴的投影分别为 px和py。由PAB的平衡条件 Fx 0 可得：
除以ds后然后令ds趋于0，即得： px l x m yx 同样由 Fy 0 得出： py m y l xy
ldsmds px ds x lds yx mds f x 0 2
xy
xy x dx
fy
y
y
yx dy y y
y dy
o
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P
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x
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yx y
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C
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yx
dy
x dx x xy
x dx
y
y
dy
y y
yx x ( x dx) dy 1 x dy 1 ( yx dy ) dx 1 x y yx dx 1 f x d x dy 1 0
y
v
B
B
v v dy y
A
u
u 同理可得线段PB的转角： y v u 所以 xy x y
u dy y
因此得到平面问题的几何方程
u x x v y y v u xy x y
设斜面AB上的正应力 为 n ，由投影可得：
o
xy
x
y
B P
yx
fy
y
fx
x
A
px
n lpx mpy
l x m y 2lm xy
2 2
n
py
n
N
p
设斜面AB上的切应力为 n ，由投影可得：
n lpy mpx lm( y x ) (l m ) xy
z 0
二、平面问题的求解 已知：外力（体力、面力）、边界条 问题： 件，求： x , y , xy x , y , xy u , v —— 仅为 x、 y 的函数 需建立三个方面的关系：
（1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系； —— 平衡微分方程 （2）几何学关系：
在实际问题中，任何一个弹性体严 格地说都是空间物体，它所受的外力一 般都是空间力系。但是，当所考察的弹 性体的形状和受力情况具有一定特点时， 如果经过适当的简化和抽象处理，可以 简化为弹性力学平面问题，将使计算工 作量大为减少。
平面应力问题
一、平面应力问题
等厚度薄板，只在板边受到平行于板面并 且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行 于板面并且不沿厚度变化。
2 2
一点的主应力与应力主向
若某一斜面上 n 0 ， 则该斜面上的正应力称为该 点一个主应力。 当
o
xy
x
y
B
P
yx y
x
A
px
n
n
n 0
时，有
n
py
px l p m y l x m yx l
m y l xy m
由几何方程可见，当物体的位移分量完全 确定时，形变分量即可完全确定。反之，当形 变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
物理方程 在完全弹性的各向同性体内，应变分量与 应力分量之间的关系根据胡克定律建立如下：