公理和定理的区别

定义定理公理定律的区别

定义、定理、定律和定那么外表上看定义、定理和定律都是由一些文字性的表达加上数学表达式所组成，形式上确实差异不大，而老师上课往往会注重了它们在应用方面的讲授，忽略了其内在的区别和联系，造成很多学生从初中到高中甚至大学，尽管会用其去解决问题，但对三者之间的区别依然一知半解；甚至有局部教师在课堂教学中对此也存在着模糊的认识，滥用定义；误把定律当定理或者定理当定律的事情都常有发生。

下面笔者结合自己的体会，谈谈在高中物理教学中应如何讲清它们的一些特点和联系。

对于每一个概念，我们不妨先从词典里对它的解释入手来看问题，然后再辨析一下与它相近的概念，便于比照和理解。

1．定义：定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延确实切而简要的说明。

如果用通俗的说法，对某个概念的“定义〞告诉我们的是：“什么是〞这个量，而我们常见的“物理意义〞告诉我们的是：这个量“是什么〞。

举个最常见的例子，如速度，定义：速度表示单位时间内通过的位移，物理意义：速度表示物体运动的快慢。

在物理学中，定义是有实际用处的，定义一个量，外表上似乎有一些任意性，但如果是为了解决生产实际的问题，那就要求定义出来的量有意义，有实际用处。

所以没有人随便找几个物理量来乘乘除除，起个名字，创造个新的物理量出来。

假设我们定义一个质点的动能和动量分别为E k =mv3和P =，如果撇开动能定理和动量定理来说它是否正确，就没有什么意义了，因为离开了用到它的场合，就等于失去了检验它的标准，而成为没有实际意义的游戏。

而动能和动量为什么是我们熟知的E k =mv2和P =mv呢？原因在于我们可以通过这样的定义，寻找到某种等量关系，即动能定理和动量定理，并可以运用它来帮助我们解决实际问题。

其次定义的另一个特点在于简化公式或定理，使定理的文字表达和公式表达更易于理解和便于记忆，也使定理的物理意义更加明确。

例如：定义冲量等于力乘以力所作用时间的乘积，即I = f·t，又定义动量是物体的质量与物体速度的乘积，即P = mv，而动量定理正是I = P2 –P1，这样动量定理的表述就更加简洁明了。

高中数学八大定理和四大公理三大推论

高中数学八大定理和四大公理三大推论高中数学八大公理有：1、过两点有且只有一条直线。

2、两点之间线段最短。

3、同角或等角的补角相等。

4、同角或等角的余角相等。

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

公理是一个基本命题，它不需要根据人类理性的基本事实，经过人类长期反复实践的检验而加以证明。

在数学中，公理一词有两个相关但不同的含义，即逻辑公理和非逻辑公理。

在这两种意义上，公理都是推导其他命题的起点。

与定理不同，公理本身不是起点，而是从起点可以得到的结果，它可以简单地归类为定理，除非它是多余的，不能由其他公理推导。

补足内容：高中数学存有很多八大定理，比如立体几何八大定理、不等式八大定理、线面边线八大定理等。

直线与平面平行的认定定理：平面外的的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行。

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一一条直线都平行于另一个平面。

直线与平面横向的认定定理：一条直线旋转轴一个平面内的两条平行直线，则这条直线与这个平面横向。

两条平行直线中的一条旋转轴一个平面，则另一条也旋转轴这个平面。

如果两个平行平面都与第三个平面横向，则它们的交线旋转轴第三个平面。

两个平面横向，在其中一个平面内旋转轴交线的直线旋转轴另一个平面一条直线旋转轴两平行平面中的一个，一定旋转轴另一个。

平面与平面平行的认定定理：一个平面内的两条平行直线都平行于另一个平面，这两个平面平行。

旋转轴同一条直线的两个平面平行。

平行于同一个平面的两个平面平行：一个平面内的两条平行直线分别平行于另一个平面内的两条平行直线，那么这两个平面平行。

平面与平面横向的认定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面横向。

初中数学公理和定理

初中数学公理和定理一、公理（不需证明）1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.7、线段公理：两点之间，线段最短。

8、直线公理：过两点有且只有一条直线。

9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：一、直线与角1、两点之间，线段最短。

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。

4、对顶角相等二、平行与垂直5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

8、夹在两平行线间的平行线段相等9、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行10、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．15、轴对称的性质：（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）对应线段相等、对应角相等。

1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论

立体几何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.5. 异面直线⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.7.线面平行、面面平行⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)8.线线垂直、线面垂直、面面垂直⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(作用: 线线垂直⇒线线垂直)⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)9. 直线和平面所成的角⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]10.二面角⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.11.空间距离⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.⑵直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离.⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度.⑷异面直线的距离12. 多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.13.棱柱⑴棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.⑵棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……⑶棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.⑷平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．14.棱锥⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥…… ⑶棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． ⑸正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等。

定律定理定则公理公设原理

定律定律是为实践和事实所证明，反映事物在一定条件下发展变化的客观规律的论断。

例如牛顿运动定律、能量守恒定律、欧姆定律等。

定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。

没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况，也没有任何一种理论可能完全正确。

定理已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式。

例如几何定理。

定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论，即另一个真命题。

例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。

一般来说，在数学中，只有重要或有趣（？）的陈述才叫定理。

证明定理是数学的中心活动。

相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。

它是定理的来源，但并非唯一来源。

一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。

定则公认的一种用以表达事物间内在联系的规定或法则，其目的是帮助理解及记忆。

如右手定则等。

公理经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。

如传统形式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么，也即如果对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所断定，便是公理。

又如日常生活中人们所使用的“有生必有死”，也属于这种不证自明的判断。

原理自然科学和社会科学中具有普遍意义的基本规律。

是在大量观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得出的。

既能指导实践，又必须经受实践的检验。

公设（公理）所谓公理或公设，指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。

一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。

如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。

如著名欧几里得的《几何原本》。

周利武教学随笔：教学中应理清的关系—基本事实、公理、定理

教学随笔：教学中应理清的关系—基本事实、公理、定理海口市龙泉中学周利武“老师，老师——”放学后一个小女生拿着数学课本飞奔着来找我，“有什么问题吗？”“为什么旧书（初二旧教材）上写的是公理，而这里说是基本事实呢，它们一样吗？”我一时语塞，不知如何才能更好的回答这个细心的小女生的问题。

“嗯，这样吧……”我们边走边谈，因原是这样的……先从定义说起吧：公理：数学中有些命题是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的命题叫做公理。

公理是不需要证明的真命题．如直线公理：过两点有且只有一条直线定理：数学中有些例题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他例题真假的依据，这样的真命题叫公理。

如：对顶角相等。

这么长的定义要让学生记住，是有点困难的，更不要说是理解了，出于这样的理解，教材把公理换成了基本事实，一般人是可以理解的，即把深奥的理论换成一种大众化的表达，以便于理解及接受。

明白一些了吗，小女生点点头。

我又继续说道……公理和定理的异同:相同点:都是真命题不同点:公理不需证明，定理需要证明。

我们常用的九条基本事实有哪些呢？“数学公理”改名叫“数学基本事实”，九条基本事实如下：1、两点确定一条直线。

2、两点之间，线段最短。

3、过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。

4、同位角相等，两直线平行。

5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

6、全等三角形的对应边、对应角分别相等。

7、边边边公理(SSS) ：有三边对应相等的两个三角形全等。

8、两直线平行，同位角相等。

9、不共线三点确定一个圆。

说完这些，看着小女生满意的样子，我终于长舒了一口气。

心想：当一名老师的确不易……我加快了脚步。

怎样理解定义、定理、公理和定律？

怎样理解定义、定理、公理和定律？怎样理解定义、定理、公理和定律？对定义的理解是，对于一个名词或术语的意义的规定就是这个名词或术语的定义。

例如，“如果整数a能被自然数b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数”，这就是倍数、约数的定义。

又如，“大于直角而小于平角的角叫做钝角”，这就是钝角的定义。

把概念用文字或语言表达出来，叫做给这个概念下定义。

给概念下定义常用两种方法：一种叫做内涵法，一种叫做外延法。

用内涵法定义概念采用如下公式：被定义概念=邻近的种+类差。

例如，多边形和四边形都是平行四边形的种，而四边形就是邻近的种。

类差就是被定义的概念区别于种概念的本质属性。

例如，平行四边形区别于其他四边形的本质属性是它的两组对边分别平行，这样便得出平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。

用外延法定义概念，就是把概念所反映的具体对象一一罗列出来。

例如，有理数的定义就是采用了外延法。

即“整数和分数统称为有理数”。

定义有两个任务：（1）把被定义的对象同其他对象区别开；（2）揭示出被定义对象的本质属性。

对定理的理解是，能用推理的方法证明是正确的命题叫做定理。

例如，“如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除”。

又如，“对顶角相等”。

这些都是定理。

每个定理都包含“条件”和“结论”两个部分，条件是已知的部分，结论是从条件经过推理而得到的结果。

对公理的理解是，人们在实践中反复验证过的，并且不需要再加以证明就被公认的真理叫做公理。

例如，“经过两点可以作一条直线，并且只可以作一条直线”；“经过直线外的一点，只可以作一条直线和这条直线平行。

”对定律的理解是，在数学中，具有某种规律性的结论叫做定律。

例如，乘法对加法的分配律（a+b）c=ac+bc，就是定律。

精心整理，仅供学习参考。

公理和定理的区别原理

公理和定理的区别原理
公理和定理都是数学领域中重要的概念，二者有明确的区别。

公理一般被认为是数学上的一些基本假设或前提。

在数学领域中，公理可以引出更深刻的结论和推论。

公理在数学研究中是不可缺少的，因为它们是理解和推导数学定理的基石。

公理被认为是基于直觉或经验的，它们通常没有证明过程，而是需要被接受为真。

公理是数学中的基石，是不可证明的前提。

换句话说，公理是基础，定理是建筑。

而定理则是基于公理之上，由约束和证明过程推导出的结论。

在数学中，定理是最重要的概念之一，它是数学推理的理论基础。

定理是任何数学分支的核心产物。

定理是可以通过其他定理、定义和公理推导证明的，因此它们具有严格的证明过程。

不同于公理，定理需要证明，才能被认为是正确的。

为了更好地理解二者之间的差异，我们可以以欧几里得几何学为例。

欧几里得几何学中，公理是一组基本的假设，由这组假设可以引出许多定理，例如平行线公设，等边三角形的角相等，等腰三角形的底角相等等。

这些定理是基于公理证明出来的，它们是欧几里得几何学体系中的重要组成部分。

总的来说，公理是前提，定理是结论。

公理是所有推导过程的基础，而定理是从公理中推导出的结论，在数学研究和推理中，无论是公理还是定理，都是非常重
要的概念。

初中数学必背公理和定理

初中数学必背公理和定理一、公理（不需证明）1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.7、线段公理：两点之间，线段最短。

8、直线公理：过两点有且只有一条直线。

9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：一、直线与角1、两点之间，线段最短。

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。

4、对顶角相等二、平行与垂直5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

8、夹在两平行线间的平行线段相等9、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行10、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．15、轴对称的性质：（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）对应线段相等、对应角相等。

公理定理和原理

科学和社会科学中具有普遍意义的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得出的。既能指导实践，又必须经受实践的检验。（原理是对规律的诠释）
例：毛泽东《关于农业合作化问题》：“我们应当相信群众，我们应当相信党，这是两条根本的原理。”
对于命题：若P(条件) ，则 Q(结论)
• 如果已知p • 如果已知q q，则说p是q的充分条件； p，则说p是q的必要条件；
• 如果既有p q，又有q p，就记作 p q 则说p是q的充要条件
例：二力平衡直线上
两个力大小相等方向相反，作用在同一条
• 公理
• 定理
• 原理
• 充分、必要、充要条件
公理
公理，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。例: ①如果a=b，那么a+b=b+c ②如果a=b，那么a-c=b-c。
定理
定理：是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。定理一般都有假定——即一些条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。例：勾股定理区别： “公理”：是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识并作为判定其它命题真假的根据。 “定理”：用推理的方法得到的真命题叫做“定理”,这种推理的方法也叫 “证明”。

数学公理与定理

数学公理与定理## 数学公理与定理### 引言数学是一门基础学科，其建立在一系列公理和定理之上。

这些公理和定理构成了数学的基础框架，为我们理解和应用数学提供了坚实的基础。

本文将介绍一些重要的数学公理和定理，并讨论其在数学领域中的重要性和应用。

### 公理的作用数学公理是一组被认为是真实和不可证明的命题，它们作为数学推理的起点。

这些公理为数学领域的证明提供了基础，确保了数学推理的严谨性和准确性。

数学公理构建了数学体系中的基本概念和性质，为我们研究和理解数学现象提供了框架。

### 数学公理的例子#### 整数公理整数公理是数学中最基本的公理之一。

它声明了整数的一些基本属性，如加法和乘法的封闭性、结合律、交换律和零元素的存在等。

整数公理为我们进行整数运算提供了依据，而这些运算则是数学中其他概念和方法的基础。

#### 实数公理实数公理是描述实数系统属性的一组公理。

实数公理包括了关于实数的有序性、复合性和连续性的性质。

实数公理在分析学和几何学等领域中发挥着重要作用，为我们研究和理解实数的特性提供了依据。

### 定理的意义定理是通过逻辑推理方法从公理中得出的命题，可以被证明为真实的数学陈述。

定理是数学领域中的重要工具，它们提供了关于数学结构和关系的详细信息，帮助我们理解和应用数学。

### 数学定理的应用#### 费马大定理费马大定理是数论中的一个著名定理，它表明当n大于2时，以下方程没有正整数解：x^n + y^n = z^n费马大定理在数论和代数几何等领域有重要的应用，其证明过程曾是数学史上最经典也最困难的问题之一。

#### 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的一个定理，它表明对于任意的n 维实或复向量，以下不等式成立：|⟨u, v⟩| ≤ ||u|| · ||v||柯西-施瓦茨不等式在函数分析、概率论和信号处理等领域中广泛应用，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题中起到了至关重要的作用。

公理,原理,定理,定律的区别

公理，原理，定理，定律的区别
规律：一切物质运动所遵循的不以人类意志转移的运动方式；规律可以是未知或已知的.
定律：人类通过对自然界的不断观察和思考,总结出来的,在人类认知范围内普遍适用的物质运动规律；定律就是被人类认识了的物质运动规律.定律是人类通过对某些物质的运动方式的观察而总结出来,然后有通过推广到其他物质的运动方式检验正确而确定.定律是观察总结出来的,不需要证明,在人类认知范围内普遍适用.
公理：也是人类在认识自然和社会活动中总结出来的,在人类认知范围内普遍使用的规律,公理也是不是可以证明的.
公里是用在抛开物质具体属性的抽象概念上；比如数学上.
定律一定是与物质的某些具体属性相联系的.
定理：是在定律和公理基础上推论出来.
原理：是指特定物质（事物)的特定运动（或者工作）方式.
定律、定理、公理、原理都是被人类认识了的物质运动规律.。

初中数学知识点精讲精析公理和定理

第3节公理和定理要点精讲1. 公理就是公认的真命题，是人们在长期实践中总结出来的认定的真命题，它作为证明的原始依据。

十条公理：（1）等量加等量，和相等。

（2）等量减等量，差相等。

（3）等量代换（即：如果a＝b，且b＝c，那么a＝c）。

（4）整体大于部分。

（5）通过两点有且只有一条直线。

（6）连结两点的所有连线中，线段最短。

（7）经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（8）平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向。

（9）轴反射不改变图形的形状和大小。

（10）旋转不改变图形的形状和大小。

2. 定理是经过证明的真命题。

定理可以作为判断其他命题的真假的依据。

如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理。

典型例题【例1】如图将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A’OB’若A点的坐标为（a,b）,则B 点的坐标为（），你用到的依.据是【答案】（0，a）【解析】（0，a）,旋转不改变图形的性状和大小【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所学公理、定理、定义说明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD【答案】（1）∵AB=AD,BC=DC,AC=AC∴△ABC≌△ADC(2) 由（1）知△ABC≌△ADC ∴∠BCA=∠DCA,又∵BC=DC ∴BO=OD,AC⊥BD 【解析】（1）∵AB=AD,BC=DC,AC=AC∴△ABC≌△ADC(2) 由（1）知△ABC≌△ADC ∴∠BCA=∠DCA,又∵BC=DC ∴BO=OD,AC⊥BD。

数学中公理定理定义命题的区别

数学中的公理、定理、定义和命题是数学领域中非常重要且基础的概念。

它们在数学推理、证明和理论构建中起着至关重要的作用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这些概念的区别和联系，并就其在数学中的重要性进行全面评估。

1. 公理公理是数学体系中最基本的、不需证明的假设或命题。

它们通常是在数学体系中的起点，其他的结论和定理都是基于这些公理推导出来的。

公理是数学体系的基石，没有公理就无法建立一个完整的数学理论体系。

公理是数学体系的基本前提，它们为数学的发展提供了必要的逻辑基础。

在几何学中，欧几里德的五个公设就是著名的公理，它们被视为几何学理论的基础。

欧几里德的第一个公设是“通过两点可以作一条直线”，这一公设被视为几何学中不需要证明的基本假设。

2. 定理定理是在给定公理或已经证明的命题的基础上，通过严密的推理和证明所得到的命题。

定理通常是数学中的重要结论，它们是基于公理和已知事实推导出来的新命题。

定理在数学推理和理论构建中扮演着重要的角色，它们扩展了数学知识的边界，推动了数学领域的进步。

费马大定理是数论领域中的一个重要定理，它是由皮耶尔·德费尔玛在17世纪提出的。

这个定理在300多年来一直是数学家们苦苦追寻的目标，直到1994年由安德鲁·怀尔斯成功证明。

费马大定理的证明不仅深刻影响了数论领域，也对整个数学领域的发展产生了重要的影响。

3. 定义定义是数学中非常重要的概念，它规定了数学对象的基本性质和特征。

定义在数学中的作用是非常突出的，它们为数学领域中的各种概念和对象确立了明确的含义和范围。

没有清晰准确的定义，就无法进行深入的数学研究和推理。

在微积分中，对于导数和积分的定义是非常重要的。

导数的定义是函数在某一点的变化率，积分的定义是曲线下方的面积，这些清晰的定义为微积分的理论和应用提供了坚实的基础。

4. 命题命题是陈述形式的有关某种性质的说法，它可以是真的，也可以是假的。

命题通常是对某个问题的断言或主张，它们可以通过推理和证明来确定其真假。

定理和公理的区别

定理和公理的区别:
公理是不能被证明,是公认的客观规律，是建立整个知识系统的基础。

定理是在一定条件下,由公理推导证明出来的的结论。

例如欧几里得的五大公理：
1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。

2.线段(有限直线)可以任意地延长。

3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。

4.凡是直角都相等(角公理)。

5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线则会在该侧相交。

这五大公理是当前几何知识架构的根本，是无法被证明的，如果动
摇了任何一个公理，整个几何知识架构都要进行调整。

而定理就是以公理为基础，进行层层推导得出的结论，如：
1）过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；
2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

定律、公理和定理：数学的框架

定律、公理和定理：数学的框架数学是一门既严谨又美妙的学科，而其中的框架则由定律、公理和定理构成。

这些概念在数学中起着重要的作用，它们为数学的推理和证明提供了基础。

本文将详细介绍定律、公理和定理，并探讨它们在数学中的作用。

一、定律定律是一类被广泛接受并普遍适用的数学规则。

它们通常可以被证明或者通过实例进行验证，不会因特定条件的改变而失效。

定律是数学中的基本原理，它们的含义和适用性对于数学的发展至关重要。

例如，欧几里得几何学中的“三角形内角和定律”表明任意三角形的内角和等于180度，这一定律被广泛应用于几何证明和计算中。

定律的提出和发展是数学研究中的重要环节。

数学家通过对已有数学知识的总结和归纳，发现了许多定律。

这些定律不仅可以用于解决实际问题，还可以启发新的数学思维和理论的发展。

二、公理公理是一组基本的、不可证明的数学假设或前提，它们被视为整个数学理论体系的基础。

公理是在不需要证明的情况下被接受的，其他定理和推论都是基于公理进行推导的。

公理是数学推理的起点和根基，没有公理就无法进行任何有意义的数学推理。

公理的选择和确定是数学发展中具有挑战性的任务。

一方面，需要保证公理的一致性和独立性，即公理之间不能相互矛盾，也不能从其他公理推导出来；另一方面，公理应该能够涵盖尽可能多的数学领域，具有广泛的适用性。

典型的例子是皮亚诺公理，它为自然数的推理提供了基础。

三、定理定理是基于公理和已有定理通过推理而得出的结论。

它是数学中最重要的概念之一，通过证明定理可以为新的数学领域开辟道路，也可以揭示数学内在的美丽和联系。

定理具有严格的逻辑证明过程，它们通常以假设和结论的形式呈现，并通过逻辑推理建立二者之间的关系。

定理的证明是数学研究中的关键环节，它们要求严密的推理和逻辑思维能力。

数学家通过不断提出猜想、推演、验证和修改的过程来证明定理，这一过程不仅是数学发展的驱动力，也是数学精神的体现。

定理的重要性体现在它们为数学理论提供了坚实的基础，并对实际问题的解决起到了关键指导作用。

定义定理公理的相同点

定义定理公理的相同点
在数学中，定义、定理和公理是三个核心概念，可以帮助我们理解和推理单个问题。

它们是相关的，但又有所不同。

本文旨在探讨定义、定理和公理在数学中的相似之处。

首先，定义、定理和公理都是数学原理的一部分，它们均具有明确、可证明的性质。

例如，定义是提供一种概念的描述，定理是一种推论的结果，而公理是数学中最主要的基础原理。

它们都是数学的基石，可以帮助我们更好地理解和分析数学问题。

其次，定义、定理和公理的目的也是相似的。

这三者都是用来解决数学问题的一种有效方法，它们可以帮助我们明确问题，形成有效的结论。

只有当了解了定义、定理和公理之间的关系，才能够正确和有效地解决问题。

最后，定义、定理和公理都可以用于证明特定理论或问题的正确性。

虽然它们拥有不同的特性，但它们在数学原理中都可以作为有效的证明工具。

它们可以提供有效的解决方案，并且可以用来证明问题的正确性。

总的来说，定义、定理和公理是数学中的三个核心概念，它们在相关性、目的和用途上存在许多相似之处。

它们拥有不同的特性，但也可以结合起来，作为解决问题的有效工具。

它们的正确使用可以有效地证明某个特定的问题或理论是正确的。

因此，了解定义、定理和公理之间的关系，对于解决我们遇到的数学问题，非常有用。

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