高等数学-极限
大一高数极限知识点总结
大一高数极限知识点总结一、定义和性质高等数学中，极限是一种重要的概念，被广泛应用于微积分和数学分析。
理解和熟练掌握极限的定义和性质对于学习高等数学至关重要。
1. 无穷小量和无穷大量在研究极限时，无穷小量和无穷大量是两个常用的概念。
2. 极限的定义设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当 x 由点 x0 接近时，不等式 0 < |x-x0| < δ 总是成立，那么就称函数 f(x) 在点 x0 处极限存在，记为lim┬(x→x0)〖f(x)=A〗。
3. 极限的性质极限具有一系列重要的性质，包括唯一性、四则运算性质、和函数复合性质等。
二、极限的计算方法掌握极限的计算方法是学好高等数学的关键之一。
1. 用直接代入法计算极限当函数在极限点附近有定义时，可以通过直接将极限点代入函数来计算极限。
2. 用夹逼准则计算极限如果一个函数在某个点的附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限都为 A，那么待求函数的极限也是 A。
3. 分段函数的极限计算对于分段函数，我们可以分别计算每一段的极限，然后综合起来得到整个函数的极限。
三、常见的极限在高等数学中，有一些常见的极限形式是我们必须掌握的。
1. 无穷大与无穷小当 x 趋向于正无穷或负无穷时，函数 f(x) 的极限可能为无穷大或无穷小。
2. 0/0 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是 0/0 型，那么我们通常要进一步进行简化或者换一种计算方法来求解。
3. ∞/∞ 型极限当直接代入法计算极限时，如果得到的结果是∞/∞ 型，那么我们通常需要进行一些数学变换或者化简来求解。
四、高阶极限除了一阶极限外，高阶极限也是高等数学中的重要内容。
1. 一阶无穷小与高阶无穷小一阶无穷小是指函数 f(x) 在某一点处的极限等于 0，而高阶无穷小是指函数 f(x) 在该点的极限为 0，且比一阶无穷小更快地趋近于 0。
《高等数学极限》课件
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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
高等数学：极限的概念
极限的概念一、基本内容1. 数列极限：若当n 无限增大时，数列n x 无限接近于一个确定的常数a ，则a 就叫做数列n x 的极限，记为a x n n =∞→lim 或当∞→n 时，a x n →。
2. 函数极限：（1）函数)(x f 在点0x 处的极限及左右极限：在点0x 处的极限)(lim 0x f x x →； 左极限)(lim )0(00x f x f x x -→=-； 右极限)(lim )0(00x f x f x x +→=+。
关系：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是左、右极限均存在且相等。
（2）当∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x ∞→； 当-∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x -∞→； 当+∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x +∞→。
关系：极限)(lim x f x ∞→存在⇔)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→均存在且相等。
二、学习要求1. 理解极限的概念；2. 掌握函数极限存在的充要条件。
三、基本题型及解题方法题型1 求数列的极限解题方法：通过观察数列的项的变化，结合定义判断数列的敛散性。
【例1】 判断数列=n x 2)1(11+-+n 的敛散性。
解：由通项公式得该数列为1，0，1，0，…，2)1(11+-+n ，…，可见该数列随着n 的增大没有无限接近于一个确定的常数，所以该数列发散。
【例2】 判断数列nn x n n 1)1(--+=的敛散性。
解：由通项公式得该数列为 )1(43342121，，，，，，nn n --+，可见当n 无限增大时，表示数列nn x n n 1)1(--+=的点逐渐密集在1=x 的附近，即数列n x 无限接近于1，1)1(1lim 1=-++∞→nn n ，所以该数列收敛。
题型2 确定函数在0x 的左右极限及由此判定函数在0x 的极限解题方法：当)(x f 在0x 左右两侧的解析式不一致时，要求极限往往要根据极限存在的充要条件：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00 来确定函数的极限；当函数的解析式中有指数函数或反正、余切函数时，也需利用极限存在的充要条件。
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
高数函数极限
高数函数极限函数极限是高等数学里的一个重要概念，我们将在后面学习。
函数极限在数学中有着重要的地位，那么什么是极限呢？首先要对什么是极限进行说明：函数的极限（简称为“极限”）是指：当左极限等于右极限时，其值等于该函数值。
这里要注意的是：“左极限”和“右极限”是互为逆运算。
由于极限是“无穷大”与“无穷小”的统一，所以可以把极限看成是“无穷小”。
即：对任何自变量取值有界的函数f（ x），当其自变量趋向于无穷大或无穷小时，相应的极限也趋向于无穷大或无穷小，记作lim_f（ x）=∞，即函数值无限接近于它的极限值。
第一个需要说明的是：极限不是一个普遍的概念，它只适用于某些特殊的函数。
为什么函数会有极限呢？其实函数的极限概念是从变量的极限概念发展而来的。
我们知道，我们研究函数总是把函数视为在一个定义域上连续的有限集合，而这样的函数总存在着一个唯一的极限。
不但如此，函数的极限还是有一定范围的。
如果左右极限都存在，则表示函数在这一点处有界，这个点叫做函数的极值点。
二、极限与函数值的关系：极限与函数值是密切相关的。
换句话说，函数的极限决定了函数值。
我们设： x→∞为函数y=x-（ 1/x）的极限，则函数y=x-（ 1/x）=∞。
极限的定义为： lim_f（ x）=∞，即：函数值无限接近于它的极限值。
因此，当我们取两个正数x和y=∞时，函数的极限就是x=0，函数值也就是0。
当然，有时候两个正数x和y=∞，函数的极限却不是x=0，而是y=∞，即： lim_f（ x）=∞。
这说明函数值并不是真正的无穷大，而只是“趋近于无穷大”。
极限存在的充分必要条件是：当x →∞，即当自变量x →∞时，函数f （ x）仍然有极限。
所以说函数的极限是一个条件概念，极限的存在性是指：如果对于一个给定的自变量x，存在正数k，使得当自变量x→∞时，有lim_f（ x）=∞。
一、极限定义：通俗来讲，我们把函数最左极限和最右极限两个数称为“极限值”。
高等数学第二节 极限概念
例 5 设 函f(数 x) x2xx,x0,求limf(x).
x0
0 ,x0,
解
x 2x lim f(x ) lim li(m x 1 ) 1 .
x 0
x x 0
x 0
注意：函数在某点处的极限与函数在该点是否有 定义、函数值是多少无关.
例 3, 4 和 5 说明了下列几种重要现象：
而limf(x)A， 是指 limf(x)A，
x
x
同l时 i m f(x)A . x
例如
1 l i m0; x x
l i m 2x0;
x
1
x lxim x2 1
lim x
x
1
1 x2
0;
lia m rx c t,laia n m rx c t a , n
xx0
就是指，当 0 < | x - x 0| < d 时恒有 | f (x) - A | < e .
(4) 几何解释 . limf(x)A 是指：当 xx0
0 < |x x0| < d 时， 恒有 | f (x) A | < e . 即
A e < f (x) < A e．
作两条直线 y = A e 与
A 的 e 邻域内，而不管 e 有多么小(如图)， 形象一
点讲，数列 un 会密集在点 A 的周围.
O
Ae
A
A +e
uN+1
uN+2
x
并非所有数列都是有极限的， 例如 数 u n ( 列 1 ) n 1 :1 , 1 ,1 ,( 1 ) n 1 , 数 u n 列 n :1 ,2 ,3 , ,n , 数 u n ( 列 1 ) n 1 n 2 :1 , 4 ,9 , ,( 1 ) n 1 n 2 , 当 n →∞ 时, 它们均不与一个常数 A 无限接近， 所以这些数列没有极限 , 没有极限的数列称为发散 数列或称数列发散 . 定理1 若数列收敛，则数列有界 .
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
【高等数学】极限详解
a
的数列{xn } 均
有
lim
n
f
(xn
)
A.
注：a 可以是 ，此时条件xn a 不再必要；另外，x 的趋向也可以是单侧的.
（4）若在a
的去心邻域内
f
(x )
0
，则
lim
x afΒιβλιοθήκη (x )的充要条件为
lim
x a
f
1 (x )
0.
（5）海涅定理
lim
x a
f
(x
)
A
的充要条件是：对任一满足
lim
zn xn yn ，
且
lim
n
yn
lim
n
z
n
A ，则有
lim
n
xn
A.
（2）对数列{xn } ，若 N N ，当n N 时，{xn } 单调增加（减少）有上界（下界），
则数列{xn } 极限存在，且
5
上海交通大学数学科学学院
王健
lim
n
x
n
sup
nN
xn
(inf nN
xn
).
4. 函数极限的基本性质
n
x
n
a 且 xn a 的数
列{xn } 均有
lim
n
f
(xn
)
A.
（6）唯一性 若 lim f (x) 存在，其极限值唯一； x a
（7）局部有界性 若 lim f (x) 存在，则 0 ，当 0 | x a | 时， f (x) 有界. x a
（ 8 ） 局 部 保 序 性 若 lim f (x ) A, lim g(x) B ， 且 A B ， 则 0 ， 当
大一高等数学极限知识点
大一高等数学极限知识点在大一学习高等数学课程时，极限是一个非常重要的知识点。
它不仅应用广泛，而且是后续数学学科的基础。
下面将为大家介绍几个大一学习高等数学中的常见极限知识点。
1. 数列极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
数列极限是指当数列的项趋于无穷时，数列的极限存在。
数列极限常用的表示方法是lim(n→∞)an=a，其中an表示数列的第n项，a表示极限的值。
例如，对于数列an=1/n，当n趋于无穷时，数列的极限为0，可以表示为lim(n→∞)1/n=0。
2. 无穷大与无穷小在极限的概念中，我们还需要了解无穷大和无穷小的概念。
当x趋于无穷大时，如果函数f(x)的极限为正无穷或负无穷，则称f(x)为无穷大。
当x趋于无穷小时，如果函数f(x)的极限为0，则称f(x)为无穷小。
3. 函数极限函数极限是指当自变量x趋于某一特定值时，函数f(x)的极限存在。
函数极限常用的表示方法是lim(x→a)f(x)=L，其中x表示自变量，a表示趋近的值，L表示极限的值。
4. 极限的性质在计算极限时，我们可以利用极限的性质来简化求解过程。
常见的极限性质包括四则运算法则、极限的保号性、夹逼定理等。
对于给定的函数，我们可以通过这些性质来确定其极限的存在与计算。
5. 极限的应用极限在数学中有着广泛的应用。
它可以用来计算函数的导数和积分，研究函数的性质和图像的变化趋势。
此外，极限还可以应用于物理学、工程学、经济学等领域中的问题求解。
总结：大一高等数学中的极限知识点是我们学习数学的重中之重。
通过学习数列极限、无穷大与无穷小、函数极限以及极限的性质和应用，我们可以更好地理解数学中的各类问题，并在实际问题中运用极限知识进行求解。
希望通过本文的介绍，可以帮助大家更好地掌握和理解大一高等数学中的极限知识点。
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（2）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((3)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((4) 单调有界准则（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理）(6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况： （1）“00”“∞∞”时候直接用 (2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
高等数学-数列的极限
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
π
n
如图所示 , 可知
rR
当 n 无限增大时, 无限逼近 S .
刘徽
1、数列
定义
如果按照某一法则，对每个 n N ，对应着一个
确定的实数 xn，这些实数 xn按照下标n从小到大排列
得到的一个序列
x1, x2 , x3 , , xn ,
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
二、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
=
a,
lim
n
zn
=
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
= a.
注意: (1)利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
例如,
1 , 2 , 3 , , n ,
234
n 1 xn =
n
n 1
1
(n )
收
敛
xn
=
n
(1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn = 2n (n ) 发
散
xn = (1)n1 趋势不定
● ●
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
=11
21!(1 1n)
高等数学极限3篇
高等数学极限【高等数学极限】第一篇：极限的定义和性质一、前言极限是高等数学中极为重要的概念，在微积分中占据着核心地位。
它是许多数学定理和公式的基础，也是数学中最抽象的概念之一。
因此，对于学习高数的同学来说，理解极限的定义和性质，掌握其基本的计算方法和运用技巧，是非常必要的。
二、极限的定义在高等数学中，极限的定义是相对复杂的。
在此我们可以从直观的角度出发，来理解何为极限。
设有一个函数f(x)，当x趋近于某一点a时，f(x)的值越来越接近于一个常数L，如果说L存在，则称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记为：lim{ x→a } f(x)=L读作“x趋近于a时f(x)的极限等于L”。
其中，“lim”表示极限的符号，x→a表示x趋近于a，f(x)为被极限运算的函数，L为极限。
三、极限的性质1.极限的唯一性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限L存在，那么L是唯一的。
2.收敛性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限L存在，那么称函数f(x)是收敛于L的。
3.无界性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限不存在或无穷大，那么称函数f(x)是无界的。
4.夹逼定理：设函数g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim{ x→a } g(x)=lim{ x→a } h(x)=L，那么函数f(x)当x趋近于a时的极限也存在且为L。
5.四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)分别在点a附近有极限L和M，则：(1)lim{ x→a } (f(x)+g(x))=L+M(2)lim{ x→a } (f(x)-g(x))=L-M(3)lim{ x→a } g(x)f(x)=LM(4)如果M≠0，那么lim{ x→a } f(x)/g(x)=L/M四、常用极限1.常数函数的极限：lim{ x→a } c=c (c为常数)2.多项式函数的极限：lim{ x→a }(a0+a1x+a2x²+...+anxⁿ)=aⁿ3.指数函数的极限：lim{ x→0 } (1+x)⁽¹/ˣ⁾=e4.三角函数的极限：(1)lim{ x→0 } sinx/x=1(2)lim{ x→0 } cosx-1/x=0(3)lim{ x→0 } (1+1/x)⁽x/π⁾=e²五、极限的计算方法1.代入法：直接将x的值代入函数中计算出函数值，得到极限。
《高等数学》极限
特别地，当C = 1时，则称β与α是等价无穷小，记作 β= ~α。
由定义知，在 x→0 时，x 与2x是同阶无穷小； 是同阶无穷小； 是同阶无穷小 x²是比 高阶无穷小； 2x是比 低阶无穷小。 是比2x高阶无穷小 是比x²低阶无穷小 是比 高阶无穷小； 是比 低阶无穷小。
极限的运算 极限的四则运算法则
x →1 x →1 x →1
x <1 x ≥1
解： Q lim f ( x) = lim (2 x + 1) = 3 + + lim f ( x) = lim ( x + 2) = 3 − −
x →1 x →1
于是 ∴
x →1
lim f ( x) = lim f ( x) = 3 − + lim f ( x) = 3
x → x0 x → x0
1.如果
β lim α= 0 ， x → x0
则称β是比α高阶无穷小
（或α是比β低阶无穷小）记作 β= o(α)； β 2.如果 lim α= ∞ , 则称β是比α低阶无穷小（或α是
x → x0
比β高阶无穷小）； 3.如果
β lim α= C ≠ 0 , x → x0
则称β与α是同阶无穷小。
n →∞
lim u n = A , 或 u n → A ( n → ∞ ).
否则，称数列 { u n }发散。 观察以上数列的极限 1 n lim 3n = 0 , lim n + 1 = 1 , n →∞ n →∞
2 n 不存在 lim
n →∞
函数的极限
将自变量变化过程用下列方式表 示
：
x → ∞ 表示“当 x 无限增大时” ； x → +∞表示“当 x 无限增大时” ； ； x → −∞表示“当 x 无限减少时” x → x0 表示“当 x 从 x0 的左右两侧无限接近于 x0 时” ； x → x 表示“当 x 从 x0 的右侧无限接近于 x0 时” ； x → x 表示“当 x 从 x0 的左侧无限接近于 x0 时” ；
极限的定义高等数学
极限的定义高等数学
嘿，朋友们！今天咱来聊聊高等数学里那个超有意思的极限。
你说极限像啥呢？就好比是一场追逐游戏。
咱一直在靠近某个目标，但就是差那么一点点永远也追不上，可又能无限接近。
这多神奇呀！
比如说，你跑步的时候，想象前面有个点，你一直努力跑向它，但永远到不了，可你每一步都在靠近，这就是极限的感觉呀。
在高等数学里，极限可是个大宝贝呢！它能帮我们解决好多看似不可能的问题。
就好像你有一把神奇的钥匙，能打开那些复杂难题的大门。
想想看，有些函数的变化趋势很奇妙，一会儿高一会儿低，让人摸不着头脑。
但有了极限，我们就能抓住它的本质，看穿它到底要往哪里跑。
咱举个例子哈，有个函数就像个调皮的孩子，一会儿跑这儿一会儿跑那儿，但是当你用极限的眼光去看它，就能发现它最终的归宿。
这就好像你看着一个调皮孩子到处乱跑，但你知道他最终还是会回家一样。
而且极限这东西，还特别考验我们的耐心和细心。
就像你在解一道很难的谜题，要一点一点去分析，去琢磨。
有时候可能会觉得头疼，但当你终于搞懂的时候，那种成就感简直爆棚！
再想想，生活中不也有很多这样的“极限”吗？比如说你追求梦想，虽然可能永远也达不到最完美的状态，但你一直在努力靠近，这过程不也是很美好的吗？
高等数学里的极限，可不是那种死板的概念，它是充满活力和趣味的。
它能让我们看到数学的另一面，不是枯燥的公式和计算，而是充满了探索和发现的乐趣。
所以啊，可别小看了极限，它就像隐藏在高等数学里的一个宝藏，等待着我们去挖掘呢！咱得好好对待它，和它成为好朋友，一起在数学的海洋里畅游，发现更多的奇妙之处，难道不是吗？。
高等数学极限的概念
高等数学极限的概念
微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A 不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A）的过程中。
此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
1、简介
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值或极小值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
2、解决问题的极限思想
“极限思想”方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。
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《高等数学》极限运算技巧
(2009-06-02 22:29:52)
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分类：数学问题解答
标签：
杂谈
知识/探索
【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。
然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。
本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。
希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学极限技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。
是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
一，极限的概念
从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。
通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！
从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。
这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。
二，极限的运算技巧
我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。
现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。
我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!
我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。
这基本上时可以直接套用的。
1，连续函数的极限
这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。
2，不定型
我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。
那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。
等价代换的公式主要有六个：
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：
等等。
特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。
当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。
这需要变通的看问题。
在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。
比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。
(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。
第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：
（1），“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。
比如：
，这道题中，可以看到提出最高次x（注
意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。
当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。
比如上面的例子，可以直接写1/2。
如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。
需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。
但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。
（2），“∞-∞ ”形式
“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。
比如：
这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。
（3）“”形式
这也是需要转换的一种基本形式。
因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。
转换之后的形式也是“∞/∞ ”或
“0/0 ”的形式。
第三，“”
这种形式的解决思路主要有两种。
第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。
比如：这
道题的基本接替思路是，检验形式是“”，然后选用公式，再凑出公式的形式，最后直接套用公式。
第二种是取对数消指数。
简单来说，“ ”形式指数的存在是我们解题的主要
困难。
那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。
比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：
可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。
三，极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。
掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。
而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。
如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。
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）。