数学建模—方程与函数
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
08 第八节 数学建模——微分方程的应用
第八节 数学建模——微分方程的应用举例微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.分布图示★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题内容要点：一、衰变问题镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量.用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为.kx dtdx-= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少.解方程(8.1)得通解.ktCex -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭(Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21k H t H C k H t e C e hH h==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt Ce H e C He C t h -+=+=其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112H C e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-=(8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCe Nt x -+=1)((8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dtxd 当2)(*N t x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)( (8.6)其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将(8.6)代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ (8.7) 其中常数,0)(>+=k b βλ方程(8.7)的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= (8.8) 212)1(x x dtdx δβα--= (8.9) 方程(8.8)有通解t e C x )(11δαβ-=(8.10)若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解tex x )(101δαβ-= (8.11) 将(8.11)代入(8.9)方程变为te x x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ (8.12) 求解方程(8.12)得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+= (8.13)若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ββ于是得特解 tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (8.14) (8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.建立如图8-8-2所示的坐标系, 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ (8.15) 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入(8.15), 得.11)1(02⎰'+=+'-xdx y n y y x两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' (8.16) 两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (8.17)(8.16)与(8.17)式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n n y nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+- 代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n n y 即乙行走至离A 点12-n n 个单位距离时被甲追到.。
数学建模常用方法
数学建模常用方法建模常用算法,仅供参考：1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用L i n d o、L i n g o软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理）一、在数学建模中常用的方法：1.类比法2.二分法3.量纲分析法4.差分法5.变分法6.图论法7.层次分析法8.数据拟合法9.回归分析法10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）11.机理分析12.排队方法13.对策方法14.决策方法15.模糊评判方法、16.时间序列方法17.灰色理论方法18.现代优化算法（禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)二、用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
数学建模常用方法
数学建模常用方法建模常用算法,仅供参考：1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用L i n d o、L i n g o软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理）一、在数学建模中常用的方法：1.类比法2.二分法3.量纲分析法4.差分法5.变分法6.图论法7.层次分析法8.数据拟合法9.回归分析法10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）11.机理分析12.排队方法13.对策方法14.决策方法15.模糊评判方法、16.时间序列方法17.灰色理论方法18.现代优化算法（禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)二、用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
曲线方程的数学建模
曲线方程的数学建模
曲线方程的数学建模是通过数学语言和符号，将实际问题中的曲线关系用数学公式来描述和表示。
具体步骤如下：
1. 确定变量和参数：首先确定需要考虑的变量和参数，将其用符号表示出来，比如x、y是常用的表示自变量和因变量的符号。
2. 确定曲线类型：根据实际问题的要求和特点，确定曲线的类型，比如直线、抛物线、指数函数等。
3. 建立方程模型：根据所选择的曲线类型，选择合适的方程形式，通过对变量和参数的定义，建立数学方程模型来描述曲线。
可以使用常见的数学函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等来表示曲线。
4. 确定参数值：根据具体问题的条件和数据，确定参数的具体值。
这可以通过实验数据的拟合、变量的测量或者特定条件的设定来实现。
5. 解方程求解：根据所建立的方程模型，通过数学方法解方程，求解出曲线上的点的具体坐标。
6. 模型验证：通过与实际数据对比，验证所建立的数学模型的准确性和有效性。
总之，曲线方程的数学建模可以把实际问题转化为数学问题，
并通过建立方程模型来揭示其中的关系和规律，从而为问题的定量分析和解决提供数学工具和方法。
数学建模在高中数学中的运用
数学建模在高中数学中的运用数学建模是将数学方法和技巧应用到实际问题中，通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。
在高中数学教学中，数学建模的运用能够提高学生对数学知识的理解和运用能力，增强学生的实际问题解决能力，并培养学生的创新思维和团队合作精神。
下面将以几个具体的例子介绍数学建模在高中数学中的应用。
首先，数学建模在概率与统计中的运用。
概率与统计是高中数学的重要内容，学生学习概率与统计时往往感到抽象和缺乏实际应用。
通过数学建模，可以将概率与统计的知识与实际问题相结合，使学生更好地理解和应用。
例如，可以让学生通过调查班级同学的身高数据，建立一个身高分布模型，并利用这个模型预测班级的平均身高。
这种实际问题的建模过程可以激发学生的思维，培养学生的统计思维和数据分析能力。
其次，数学建模在函数与方程中的运用。
函数与方程是高中数学的核心内容，数学建模可以使学生更深入地理解函数与方程的概念和性质。
例如，可以让学生通过测量小球在不同高度自由落体的时间，建立一个时间和高度的关系模型，并利用这个模型解决实际问题，比如计算小球从某个高度落地所需的时间。
这种实际问题的建模过程可以使学生更加直观地理解函数与方程，并且培养学生的观察能力和实际问题解决能力。
另外，数学建模在几何中的运用也是非常重要的。
几何是高中数学的重要分支，但学生学习几何时往往感到抽象和缺乏实际应用。
通过数学建模，可以将几何知识与实际问题相结合，使学生更好地理解和应用几何知识。
例如，可以让学生通过测量校园某个区域的面积和建筑物的数量，建立一个面积和建筑物数量的关系模型，并利用这个模型计算校园其他区域的建筑物数量。
这种实际问题的建模过程可以激发学生的几何思维和创新能力，培养学生的空间观念和问题解决能力。
最后，数学建模在数学解题中的运用也是非常重要的。
数学解题是高中数学教学的核心目标，通过数学建模，可以使学生更好地理解和应用解题方法和技巧。
例如，可以让学生通过建立一个数学模型，解决某个实际问题，比如计算某个矩形区域的最大面积或者最小周长。
数学建模简介及数学建模常用方法
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。
他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。
而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。
特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。
可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。
你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。
其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。
也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型。
数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。
通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。
数学模型的另一个特征是经济性。
用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。
高中数学数学建模的基本步骤和应用
高中数学数学建模的基本步骤和应用在高中数学学习中，数学建模是一项重要的技能，它将已学知识应用于实际问题的解决过程中。
本文将介绍高中数学数学建模的基本步骤和应用。
一、基本步骤1. 问题理解与分析：首先，我们需要理解和分析给定的问题。
明确问题的背景、条件和目标，确保对问题有全面的理解，并能提炼出关键信息。
2. 建立数学模型：在理解问题基础上，我们需要建立数学模型来描述问题。
数学模型是对实际问题的抽象与简化，通常由数学方程、函数或图形表示。
选择合适的模型是解决问题的关键。
3. 模型求解：一旦建立了数学模型，我们就需要求解模型以得到问题的解。
根据具体情况，可以采用解析方法、数值方法或计算机模拟等方式进行求解。
4. 模型验证与优化：完成模型求解后，我们应该对模型进行验证和优化。
验证是指根据问题的实际情况，对模型的可靠性和实用性进行检验。
优化是指对模型进行修改和改进，以得到更准确和可行的结果。
5. 模型分析与应用：最后，我们需要对求解结果进行分析和应用。
分析是指对结果进行解释和说明，找出问题的规律和特点。
应用是指利用结果解决实际问题，为决策提供科学依据。
二、应用案例1. 食品配送问题：假设一家餐厅需要将食品从仓库送到不同的客户处，每个客户对食品的需求量不同，仓库到客户的距离也不同。
我们可以建立数学模型，将餐厅、仓库和客户看作点，建立起点、路径和终点间的数学关系。
通过模型求解，确定最佳配送路径，以提高配送效率和降低成本。
2. 疫情传播模型：在疫情爆发时，我们可以利用数学建模来研究疫情的传播规律和控制策略。
例如，可以建立传染病传播的差分方程模型，通过调整模型中的参数，预测疫情的传播趋势，评估防控措施的效果，为疫情防控提供科学依据。
3. 人口增长模型：人口增长是一个复杂而重要的问题。
通过建立人口增长的微分方程模型，我们可以研究人口数量的变化趋势和影响因素，了解人口增长与资源分配、环境保护等问题之间的关系，以制定科学的人口政策。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。
我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。
为了建立一个数学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。
假设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微分方程：dN/dt = rN - dN这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌的死亡速率。
如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则上述方程可以进一步简化为：dN/dt = (r-d)N解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：N(t) = N0 * exp((r-d)t)上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。
这与我们的基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。
常见的数值方法包括欧拉法、改进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法基于近似计算的原理，通过迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随时间的变化。
我们可以选择欧拉法，它是一种简单而直观的数值方法。
欧拉法的迭代公式为：N(t+h)=N(t)+h*(r-d)N(t)其中，N(t)是在时间t时刻的细菌数量，N(t+h)是在时间(t+h)时刻的细菌数量，h是时间间隔。
我们可以选择一个足够小的时间间隔h，并迭代使用欧拉法来计算细菌数量的近似解。
数学建模中的差分方程算法
数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。
它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。
差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。
本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。
一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。
它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。
这些离散节点通常是等间距的。
通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。
一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。
这个式子就是一个一阶差分方程。
二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。
下面将介绍几个常见的应用。
(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。
假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。
将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。
每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。
(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。
假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。
数学建模中的差分方程与微分方程
数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在现代科学、工程技术以及社会经济领域中扮演着重要的角色。
在数学建模的过程中，我们经常会遇到需要描述连续或离散变化的问题，而差分方程与微分方程则成为了解决这类问题的有力工具。
差分方程是描述离散变化的方程，它将一个变量与它在前一时刻或前几个时刻的取值联系起来。
在数学建模中，差分方程常常被用来描述离散的时间或空间变化，比如物种数量的变化、金融市场的波动等。
差分方程最简单的形式是递推式，它用一个前一时刻的变量的值来表示当前时刻的变量的值。
例如，一个典型的一阶差分方程可以写作：$x_{n+1}=f(x_n)$，其中$x_n$表示第$n$个时刻的变量的值，$f(x_n)$表示根据$x_n$计算出的$x_{n+1}$的函数。
通过递推式，我们可以得到变量在不同时刻的取值，进而研究它的变化规律。
微分方程是描述连续变化的方程，它涉及到变量对时间的导数或各个变量之间的关系。
微分方程在数学建模中的应用非常广泛，尤其在物理学、生物学等自然科学领域中经常被用来描述变化的物理现象。
微分方程的形式多种多样，比如一阶线性微分方程、二阶非线性微分方程等等。
一阶微分方程的一般形式可以写作：$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，其中$x$表示一个或多个变量，$t$表示时间，$f(x,t)$表示$x$和$t$的关系。
通过求解微分方程，我们可以得到变量随时间的变化规律，并进一步分析问题。
在实际问题中，差分方程与微分方程往往会相互呼应和融合，一些问题既可以用差分方程描述离散变化，也可以用微分方程描述连续变化。
这时，我们可以通过将差分方程转化为微分方程或将微分方程离散化为差分方程来求解问题。
例如，在人口增长的问题中，我们可以通过建立一个差分方程来描述每一年的人口数量，而利用微分方程的分析方法可以得到人口增长的长期行为。
又例如，在物理学中，连续介质的运动可以用微分方程描述，而粒子的运动可以用差分方程描述。
数学建模常见方法
数学建模是将实际问题抽象成数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
以下是一些常见的数学建模方法：
1.数理统计：利用概率论和统计学方法来分析数据，建立统计模型并进行参数估计、假设
检验等，从而对问题进行量化和预测。
2.最优化方法：使用最优化理论和方法，在给定约束条件下寻找最优解，如线性规划、非
线性规划、整数规划等。
3.微分方程模型：通过建立微分方程或偏微分方程描述系统的动态行为，包括常微分方程
和偏微分方程模型。
4.离散事件模拟：通过离散事件模拟方法模拟系统的运作过程，包括随机过程、排队论等。
5.图论与网络流模型：使用图论和网络流算法对复杂的关系和网络结构进行建模和分析，
如最短路径、最小生成树等。
6.时间序列分析：对时间序列数据进行建模和预测，涉及自相关函数、谱分析、回归分析
等方法。
7.近似方法：如插值、拟合、逼近等方法，通过寻找适当的函数形式来近似真实问题。
8.随机过程：通过建立随机过程来描述系统的不确定性和随机性，包括马尔可夫链、布朗
运动等。
9.图像处理与模式识别：利用数学方法和算法对图像和模式进行处理和识别，如图像滤波、
边缘检测、模式匹配等。
10.数据挖掘与机器学习：利用统计学和机器学习算法对大规模数据进行分析和挖掘，发现
隐藏的模式和关联规律。
这些方法只是数学建模中的一部分，实际应用还需根据具体问题进行选择和组合。
在数学建模过程中，常常需要结合领域知识和实际情况，并使用计算机软件和工具进行模型求解和结果分析。
数学建模中的微分方程与边界条件的应用分析
数学建模中的微分方程与边界条件的应用分析在数学建模中，微分方程是一种重要的工具，用于描述自然界和社会现象中的各种变化规律。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只涉及一个自变量的方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。
边界条件是微分方程求解过程中的重要条件，它限定了解的取值范围。
微分方程在数学建模中的应用非常广泛，我们可以通过一些具体的实例来进行分析。
首先，考虑一个经典的物理问题：自由落体运动。
假设一个物体从高处自由落下，我们想要知道它在任意时刻的位置。
根据牛顿第二定律，我们可以得到物体的运动方程：$m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg$，其中$y$表示物体的高度，$m$表示物体的质量，$g$表示重力加速度。
这是一个二阶常微分方程，我们需要给出适当的边界条件来求解它。
边界条件可以是物理上的限制，比如物体在$t=0$时刻的初始位置和初始速度。
假设物体在$t=0$时刻的位置为$y_0$，初始速度为$v_0$，那么我们可以得到边界条件$y(0) = y_0$和$\frac{dy}{dt}(0) = v_0$。
将这些边界条件代入微分方程，我们可以求解得到物体在任意时刻的位置。
另一个常见的应用是热传导问题。
假设一个杆体的两端分别与两个恒温热源接触，我们想要知道杆体上各点的温度分布。
根据热传导定律，我们可以得到杆体上的热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，其中$u(x,t)$表示杆体上某点的温度，$\alpha$表示热扩散系数。
这是一个一维的偏微分方程，我们需要给出适当的边界条件来求解它。
边界条件可以是温度的限制，比如杆体两端的温度分别为$T_1$和$T_2$。
我们可以得到边界条件$u(0,t) = T_1$和$u(L,t) = T_2$，其中$L$表示杆体的长度。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍
为偏瘦,那么现有这个地区某中学一个男生身高175 cm,体重
78 kg,他的体重是否正常?
分析数据 该地区未成年男性的体重与身高之间存在函数关
系,但没有现成的函数模型,因此可以根据给出的数据画出散
点图,利用图象直观地分析这组数据的变化规律,从而帮助我
【变式训练1】 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值
如下表:
身
高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体
重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
0.76
4
2
4
1
5
1.84
5
1.26
6
1.40
6
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,但不知投入
A,B两种商品各多少钱才最合算.请你帮助制定一个资金投入
方案,使该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营
者下月可获得的最大纯利润.(结果精确到0.1)
分析数据 由表中数据可知,该个体经营者试销A,B两种商品
们选择函数模型.
以身高x为横坐标,体重y为纵坐标,
画出散点图如图所示.
根据散点图中点的分布情况,可考虑用y=a·bx作为刻画这个地
区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
建立模型 设函数的解析式为 y=a·bx(a>0,b>0,b≠1).
不妨取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25)代入 y=a·bx,
高中数学知识点总结数学建模基本方法与步骤
高中数学知识点总结数学建模基本方法与步骤高中数学知识点总结：数学建模的基本方法与步骤数学建模是一种将数学知识应用于解决实际问题的方法论。
在高中数学学习中，我们需要掌握一些关键的数学知识点，并了解数学建模的基本方法与步骤。
本文将对这些内容进行总结和概述。
第一节：数学建模的基本概念和意义数学建模是指将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法进行问题分析和求解的过程。
它是数学与现实世界之间的桥梁，可以帮助我们理解和解决日常生活中的各种问题。
数学建模能培养学生的创新思维和实践能力，并提高他们的动手能力和问题处理能力。
第二节：数学建模的基本方法1.确定问题：在进行数学建模之前，我们首先需要明确问题的背景和需求，确定问题的范围和目标。
2.建立模型：根据问题的具体情况，我们可以选择不同的数学模型，如代数模型、几何模型、概率模型等。
建立模型需要分析问题的关键因素和变量，并确定它们之间的数学关系。
3.模型求解：根据建立的数学模型，我们可以利用数学方法进行问题求解。
这可能涉及到数学分析、计算机仿真、优化算法等各种工具和技术。
4.模型验证：在求解问题之后，我们需要对结果进行验证和评估。
这包括对模型合理性的判断，对结果的可解释性和可行性进行分析。
第三节：常见的数学建模方法1.动力系统建模：用微分方程或差分方程描述系统的演化过程，研究系统的稳定性和行为特征。
2.优化建模：通过建立数学规划模型，寻求最优解或近似最优解。
常用的方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
3.概率建模：利用概率和统计理论建立模型，分析不确定性和风险问题。
常用的方法包括统计回归、时间序列分析、蒙特卡洛模拟等。
4.图论建模：利用图论的理论和方法描述和分析网络问题、路径问题和最短路径等。
常用的方法包括最小生成树、最短路径算法和最大流最小割算法等。
第四节：高中数学知识点的应用1.代数与方程：代数方程是数学建模中常用的一种数学工具。
通过代数运算和方程求解，我们可以得到问题的解析解或近似解。
数学建模与问题解决——方程与不等式模型的综合应用
（2）设公司购进A型机器人y台，则购进B型机器 人(20－y)台，依题意得： 150y＋120(20－y)≥2800．
1 解得y≥ 13 3
因为y为整数，所以公司至少购进A型机器人14台． 答：公司至少购进A型机器人14台．
方法提炼： 本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解 答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的 等量关系和不等关系，建立方程和不等式求解．对于分 式方程的应用，解答时要注意检验；对于不等式的应用， 要注意不等式的解集不能直接作为问题的答案，应从解 集中获得符合实际问题的正整数解或其他解.
②设总的养护费用是y元，则 y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m）， ∴y=﹣0.1m+14.4． ∵﹣0.1＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴m=40时，y最小． ∵m=40时，y最小值=﹣0.1×40+14.4=10.4（万元）． 又∵10万元＜10.4万元， ∴该计划支出不能满足养护的需要．
例1. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材 料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材 料，且A型机器人搬运1000 kg材料所用的时间与B型机 器人搬运800 kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少 材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台， 要求每小时搬运材料不得少于2800 kg，则至少购进A 型机器人多少台？
解：（1）依题意得:2.5(1-n)2=1.6 解得 n1=0.2=20%，n2=1.8（不合题意，舍去）． 答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%； （2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可 购买（80﹣m）套， 依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112， 整理，得 1.6m+96﹣1.2m≤1.2， 解得m≤40， 即A型健身器材最多可购买40套.
数学建模差分方程问题
数学建模差分方程问题数学建模是运用数学方法解决现实问题的一种方法。
而差分方程是数学建模中常用的一种数学工具，用于描述离散时间的动态系统。
本文将介绍差分方程的基本概念和应用，并以一个实际问题为例进行论述。
一、差分方程概述差分方程是一种用差分代替导数的方程，适用于离散时间的动态系统建模。
差分方程常用于描述离散时间下的变量变化规律，包括时序数据和动态优化等问题。
差分方程可以通过迭代求解来获得系统的演化过程。
二、差分方程的类型差分方程可分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程的形式为：y(n+1) = a*y(n) + b*y(n-1)其中，y(n)表示第n个时间点的变量值，a和b为常数。
非线性差分方程的形式更加复杂，可以包含更多的项和参数，例如：y(n+1) = a*y(n)^2 + b*y(n-1) + c*n其中，y(n)^2表示y(n)的平方，c*n表示变量与时间的乘积。
三、差分方程的应用差分方程广泛应用于各个领域的实际问题，在科学研究、工程设计和金融市场等方面都有重要的应用价值。
下面以生态系统模型为例，来介绍差分方程的具体应用。
生态系统模型是生态学领域中的重要问题之一。
考虑一个简化的生态系统，由捕食者和被捕食者两个物种组成。
假设捕食者的数量为x，被捕食者的数量为y。
捕食者的增长速率与被捕食者的数量成正比，而被捕食者的减少速率与捕食者的数量成正比。
则可以建立如下差分方程模型：x(n+1) = x(n) + a*x(n)*y(n)y(n+1) = y(n) - b*x(n)*y(n)其中，a和b为模型的参数，表示捕食者与被捕食者之间的相互作用强度。
通过迭代求解这个差分方程模型，可以得到生态系统中捕食者和被捕食者数量的变化趋势。
四、差分方程的求解方法差分方程的求解可以通过数值方法进行。
常见的有欧拉法和龙格-库塔法等。
这些方法可以将差分方程转化为计算机程序进行求解，得到系统的近似解。
五、差分方程与其他数学工具的关系差分方程与微分方程是数学建模中常用的两种数学工具。
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专题三 ┃ 热点探究
解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每 天减少了 10 kg. (2)由题意，得 x y＝ 20(950 － 10x) － 5 － (950 － 10x) ＝ － 2x2 ＋ 40x ＋ 5 14250. (3)∵－2＜0，y＝－2x2 ＋40x＋14250＝－2(x－10)2 ＋ 14450，又 1≤x≤20 且 x 为整数， ∴当 1≤x≤10 时，y 随 x 的增大而增大； 当 10<x≤20 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＝10 时，即在第 10 天，y 取得最大值，最大值为 14450 元．
专题三 ┃数学建模——方程与函数
专题三 ┃ 考情分析
考情分析
数学与人类发展和社会进步息息相关，数学来源于生活， 又服务于生活，解决生活中的一些实际问题，往往离不开数 学建模，方程与函数是常用的数学建模，安徽中考在解答题 中常考列方程(组)解应用题和由实际问题建立函数解析式， 利 用函数的性质解决问题．列方程(组)在解应用题时，关键是分 析题中已知量和未知量之间的关系，寻找题目中的等量关系， 从而设出未知量，列出方程(组)．建立函数模型来解决问题， 关键弄清问题中变量之间关系，属于哪种函数模型，用待定 系数法求出函数解析式后，利用函数性质解答．
故所求函数关系式为 y＝－60x＋180(1.5≤x≤3)． (2)当 x＝2 时，y＝－60×2＋180＝60， ∴骑摩托车的速度为 60÷ 2＝30(千米/时)， ∴乙从 A 地到 B 地用时为 90÷ 30＝3(小时)．
专题三 ┃ 热点探究
例 5 [2010· 安徽] 春节期间某水库养殖场为适应市场需求， 连续用 20 天时间， 采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法， 对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售． 九(1)班数学建模兴趣小组根据调查， 整理出第 x 天(1≤x≤20 且 x 为整数)的捕捞与销售的相关信息如下表： 鲜鱼销售单价(元/kg) 20 x 单位捕捞成本(元/kg) 5－ 5 捕捞量(/kg) 950－10x
பைடு நூலகம்
专题三 ┃ 热点探究
解：设该品牌饮料一箱有x瓶，依题意，得 26 26 － ＝0.6， x x＋3 化简，得x2＋3x－130＝0， 解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10. 经检验：x＝10符合题意 答：该品牌饮料一箱有10瓶．
专题三 ┃ 热点探究
例4 [2012· 河南] 甲、乙两人同时从相距90千米的A地前 往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半个小时 后返回A地，如图X3－1是他们离A地的距离y(千米)与x(时) 之间的函数关系图象． (1)求甲从B地返回A地的过程中， y与x之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围； (2)若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长 时间？
图X3－1
专题三 ┃ 热点探究
【题干关键词】 甲到达 B 地停留半个小时后返回 A 地函 数关系图象． 【提示】 (1)待定系数法；(2)代入，求出距离，速度．
解：(1)设 y＝kx＋b，根据题意得
3k＋b＝0， k＝－60， 解得 1.5k＋b＝90， b＝180.
专题三 ┃ 热点探究
热考探究
例1 [2012· 南昌] 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排 骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样 菜只要36元”； 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨 了20%”； 小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分 别是多少？” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．
专题三 ┃ 热点探究
例3 [2011· 广东] 某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该 瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱 送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱 有多少瓶？
【题干关键词】 买一箱送三瓶，每瓶比原价便宜了0.6元． 【提示】 付26元钱原来可买一箱，现在买一箱多三瓶，所 以每瓶比原价便宜了0.6元．
这天萝卜的单价是(1＋50%)x＝(1＋50%)×2＝3， 这天排骨的单价是(1＋20%)y＝(1＋20%)×15＝18. 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．
专题三 ┃ 热点探究
例2 [2010· 安徽] 在国家政策的宏观调控下，某市的商品 房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元 /m2； (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？(参考数 据： 0.9≈0.95) (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月 份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明 理由．
专题三 ┃ 热点探究
【题干关键词】 共花了45元，同重量，只要36元，单价上涨． 【提示】 分别表示出两次购买两种蔬菜用去的金额之和．
解：设上月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤， 根据题意得：
3x＋2y＝36， 3（1＋50%）x＋2（1＋20%）y＝45， x＝2， 解得 y＝15.
专题三 ┃ 热点探究
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比 是如何变化的？ (2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在 当天全部售出，求第x天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系 式？(当天收入＝日销售额－日捕捞成本) (3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取 得最大值，最大值是多少？
【题干关键词】 3月至5月，两月平均每月降价的百分率． 【提示】 连续两次下降后的价格＝原价×(1－下降率)2.
专题三 ┃ 热点探究
解：(1)设4、5两月平均每月降价的百分率为x，根据 题意，得 14000(1－x)2＝12600， 化简，得(1－x)2＝0.9， 解得x1≈0.05＝5%，x2≈1.95(不合题意，舍去)， 因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%. (2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商 品房成交均价为 12600(1－x)2＝12600×0.9＝11340>10000， 由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破 10000元/m2.
【题干关键词】 捕捞与销售的相关信息如下表，当天收 入＝日销售额－日捕捞成本． 【提示】 解析式，收入计算，二次函数最值．
专题三 ┃ 热点探究
[解析] (1)可比较第x天、第x＋1天的捕捞量或直接观 察，可见捕捞量是时间天数的一次函数，且－10<0，故捕 捞量随时间(天数)的增大而减小；(2)日销售额与日捕捞成本 x 分别是：20(950－10x)元、5－ (950－10x)元；(3)二次函数 5 的增减性及求最值，可先将二次函数的解析式配方成顶点 式，再结合二次项系数的正负判断得出结果．