重庆市南开中学2014届高三5月月考 数学文 清晰扫描版含答案
mjt-重庆市南开中学2014届高三5月月考数学试题(理)及答案
重庆南开中学高2014级高三5月月考数学试题（理）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若集合{}{}20,,1,2A mB ==，则“1m =”是“{}0,1,2AB =”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件2、设非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 、11a b>B 、2ab b <C 、0a b +>D 、a b <3、函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴为（ ） A 、3x π=-B 、3x π=C 、6x π=D 、512x π=-4、已知向量a 、b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则向量a 与b 的夹角是（ ） A 、2π B 、23π C 、34π D 、56π 5、若在区间[]0,2中随机地取两个数，则这两个数之和大于1的概率是（ ） A 、34B 、78C 、916D 、35126、执行如题（6）图所示的程序框图，则输出的S 为（ ）A 、12- B 、2 C 、13D 、3-7、已知某几何体的三视图如题（7）图所示， 则该几何体的体积为（ ）A 、8B 、83C 、4D 、128、已知,0a b >，实数,x y 满足不等式组22220,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则当2a b a b a ++取得最大值时，z bx ay =+取最大值的最优解为（ ） A 、()0,0B 、()1,0C 、()0,1D 、22,33⎛⎫⎪⎝⎭9、已知双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F ，且双曲线上存在异于顶点的一点P ，满足1221t a n 3t a n22PF F PF F ∠∠=，则该双曲线离心率为（ ） A 、2B 、3CD10、如图所示，某地有一段网格状公路，小王开车从A 处出发，选择最近的路线去往B 处。
重庆市南开中学2014届高三下学期5月月考(英语)1
重庆市南开中学2014届高三下学期5月月考（英语）1高考英语2014-06-01 1545(南开中学高2014级2014学年度高三下期5月月考试题本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷(三部分共115分)第一部分：听力(共两节，满分30分)做题时，请先将答案划在试题卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试题卷上的答案转涂或转填到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题l.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有l0秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How many children are there in the classroom?A. Seven.B. Five.C. Twelve.2. Where is the man's bike now?A. Under the stairs.B. At the gate.C. In his room.3. Why won't the woman go to town tomorrow?A. Because it will rain.B. Because it will be too hot.C. Because it will be too cold.4. What does the woman suggest?A. They don't have to go to the concert.B. They'll have to rent a car as early as possible.C. The subway is fine with her.5. Where does this conversation take place?A. At a restaurant.B. At a theatre.C. At a station.第二节(共12小题；每小题l.5分，满分18分)听下面4段对话。
重庆市南开中学2014届高三5月月考化学试卷(解析版)
重庆市南开中学2014届高三5月月考化学试卷（解析版）一、选择题1．下列说法错误的是；A．某雨水样品采集后放置一段时间，pH由4.68变为4.28，是因为水中溶解了较多的CO2 B．硅酸盐NaAlSiO4·nH2O可改写成氧化物形式为：Na2O·Al2O3·2SiO2·2nH2OC．Al65Cu23Fe12是一种拟晶，具有合金的优良物理性能，其硬度比金属Al、Cu、Fe都大D．过量铁与浓硫酸加热反应可以得到氢气【答案】A【解析】试题分析：A．某雨水样品采集后放置一段时间，pH由4.68变为4.28，是因为水中溶解了较多的SO2，发生反应：2SO2+2H2O+ O2=2H2SO4；由弱酸变为强酸，溶液中H+浓度增大，所以pH减小。
错误。
B．硅酸盐既可以用盐的形式表示，也可以用氧化物的形式表示。
在用不同的形式表示时，各种元素的原子个数比相同。
因此NaAlSiO4·nH2O也可改写成氧化物形式为：Na2O·Al2O3·2SiO2·2nH2O。
正确。
C. Al65Cu23Fe12是一种拟晶，具有合金的优良物理性能，合金具有许多优良的性能，如硬度比成分金属大，熔沸点比成分金属低等。
故其硬度比金属Al、Cu、Fe都大。
正确。
D．铁与浓硫酸加热反应得到硫酸铁、二氧化硫和水，产生的硫酸铁与过量的Fe发生反应得到硫酸亚铁。
随着反应的进行，硫酸变为稀硫酸，则是Fe与稀硫酸反应得到硫酸亚铁和氢气。
因此最终可以得到氢气。
正确。
考点：考查酸雨、硅酸盐、合金及过量的铁与热的浓硫酸反应的情况的知识。
2．下列推论正确的是：A．S(g)+O2(g)==SO2(g)△H1；S(s)+O2(g)==SO2(g) △H2，则：△H1>△H2B．C(石墨，s)=C(金刚石，S)△H=+1.9 kJ/mol，则由石墨制取金刚石的反应是吸热反应，金刚石比石墨稳定C．NaOH(aq)+HCl(aq)=NaCl(aq)+H2O(I)△H=﹣57.4 kJ/mol，则：含20 gNaOH的稀溶液与稀盐酸完全反应，放出的热量为28.7 kJD．2C(s)+O2(g)=2CO(g)△H=﹣221 kJ/mol，则碳的燃烧热等于110.5kJ/mol【答案】C【解析】试题分析：A.由于同种物质在气态时含有的能量比固态时高，所以前者放出的热量比后者高，因此△H1 <△H2。
数学理卷·2014届重庆市重庆一中高三5月月考(2014.05)
2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考 数 学 试 题（理科）2014.5【试卷综析】本卷为高三月考试卷，本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。
从考生的反映看，试题难度适中，最后两道大题考查深入，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应用，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查，注重认识能力的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能力。
注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查，充分体现了能力立意，在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上，以逻辑思维能力为核心，同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力，同时加强对思维品质的考查。
试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。
数学试题共4页，共21个小题。
满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合2{1},{M x y x N y y ==+==，则M N =（ ）A. {(0,1)}B. {1}x x ≥-C. {0}x x ≥D. {1}x x ≥【知识点】集合的概念与运算.【答案解析】C 解析：解：M R,=N ={0}x x ≥∴ M N ={0}x x ≥【思路点拨】M 是函数21y x =+的定义域，N 是函数y =. 2.设复数z 满足()(1)1,(z i i i i ++=-是虚数单位），则z =（ ）A. 1B.2C.3D. 4【知识点】复数的运算；复数的模的计算. 【答案解析】B解析：解：设z a bi=+则()()()()21111a bi i i a b a i b i i+++=+++++=-∴()()111a b b a i i --+++=-可知11,11a b a b --=++=-0,2a b ∴==-2,2z i z ∴=-=正确选项为B.【思路点拨】可用待定系数法设出复数Z ，然后求出a 与b 的值，最后求出复数的模长.3.命题“若1,x >则22x >”的否定是（ ）A.21,2x x ∀>≤B.21,2x x ∃>>C.21,2x x ∃>≤D.21,2x x ∃≤>【知识点】命题的否定命题.【答案解析】C 解析：解：命题的否定指对命题结论的否定，故1x >时，22x >不一定成立即：212x x ∃>≤，，所以选C 【思路点拨】命题的否定命题只将原命题的结论否定，而否命题是将原命题的题设和结论都否定，此题求的是命题的否定命题.4.双曲线2213y x -=上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为（ ）A. 1B.2C.3D. 1或3【知识点】双曲线的定义；双曲线的第二定义；双曲线的离心率；双曲线的性质.【答案解析】D 解析：解：设P 到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2, 2e ∴=双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为1F ，右焦点为2F ，则122PF PF -= 2226PF PF ==或 ，再根据第二定义2PF e d = 1d ∴=或d=3 .【思路点拨】设P 到右准线的距离为d,根据题意可知长轴a=1,c=2, 2e ∴=双曲线的性质可知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为2a,所以设左焦点为1F ，右焦点为2F ，则122PF PF -= 2226PF PF ==或 所以d 有两个值.5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下图，则余下部分的几何体的体积为( )A. 169πB. 169π+C. 89πD. 163π+【知识点】三视图；勾股定理；锥体的体积公式.【答案解析】B 解析：解：根据题意可求圆锥的高为2，底面圆的半径为2，截面弦所对的（第5题图）0T =2I =while I <T T I =+2I I =+EndwhilePr int T（第6题图）圆心角为120o ，所以剩余几何的体积为23倍圆锥的体积1V +三棱锥的体积2V ，211833V r h ππ==，三棱锥的体积为21233V sh ===∴余下几何体的体积为1223V V +=169π. 【思路点拨】依据三视图，对各线段的长度正确求值，注意三视图中数据与原图的对应关系，代入体积公式可求.6.根据上面的程序框图，若输出的结果600=T ，则图中横线上应填（ ）A. 48B.50C. 52D.54 【知识点】程序框图；等差数列求和. 【答案解析】B 解析：解：根据程序框图可知T 为首项为2公差为2的等差数列的前n 项和，依据数值能计算出数列的最后一项为48，再根据题意可知应填50. 【思路点拨】依据程序框图可知此程序为等差数列的求和数列，所以根据等差数列的求和公式可求出数值.7.对于集合A ，若满足：,a A ∈且1,1a A a A -∉+∉，则称a 为集合A 的“孤立元素”，则集合}10,,3,2,1{ =M 的无“孤立元素”的含4个元素的子集个数共有（ ）A. 28B.36C.49D. 175 【知识点】元素与集合关系的判断【答案解析】A 解析：解：我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案，符合条件的集合有{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,41,2,4,5,1,2,5,61,2,6,71,2,7,81,2,8,91,2,9,107个{}{}{}{}{}{}2,3,4,52,3,5,62,3,672,3,7,82,3,8,92,3,9,106个{}{}3,4,5,63,4,6,75个{}7,8,9,101个，所以7+6+5+4+3+2+1=28【思路点拨】本题在新定义的基础上考查了集合的成立的条件，利用列举法可得到所有子集个数.8.已知圆O 的半径为1，四边形ABCD 为其内接正方形，EF 为圆O 的一条直径，M 为正方形ABCD 边界上一动点，则MF ME ⋅的最小值为（ ）A.34-B.12-C.14-D.0【知识点】【答案解析】B 解析：解：由已知可画出图形，如下图所示：设M(x,y),E(-1,0),F(1,0),所以⋅=（-1-x,-y ）(1-x,-y)= 221x y +-,即当22x y +最小时，也就是正方形边界上的点到原点的距离的最小值的算术平方根;2212x y +≥,即MF ME ⋅=221x y +-12≥-，故选B.【思路点拨】向量的数量积公式；函数的最小值.9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222014,a b c +=则tan tan tan tan C CA B +=（ ）A.22013B. 12013C.22014D.12014【知识点】三角形的正、余弦定理；内角和为π定理；；两角和的正弦定理；切弦互化. 【答案解析】A 解析：解：将已知2222014a b c +=变形为22222013a b c c +-=，由余弦定理又可变形为22cos 2013ab c c =，由正弦定理得22sin 2013sinAsinBcosC C=,等式右边2sin sin tan sinAsinBcosC sinAsinB C CC=,又()C A B π=-+，所以sin()sinA cos cos sinBtan tan sinAsinB sinAsinBA B B A CC++==11tan ()tan tan C A B+tan tan ()tan tan C C A B =+， ∴tan tan 2()tan tan 2013C C A B +=，故选A.【思路点拨】利用所学过的定理实现边向角的转化.10.设,,1,a b R a b +∈+=）．A. 2B. .C 3D. 【知识点】数形结合思想；对称问题；几何法求最值. 【答案解析】D 解析：解: 可将1b a=-代入2a +可转化为数轴上的点A （a,0）到B(0,1)与C(1，2)的距离之和和最小的问题，由下图所示：最小值为(0,-1)到(1,2)【思路点拨】与求最值有关的问题一般转化成几何问题或三角问题，利用几何性质可顺利求解，也有利用三角的有界性求解，不同问题不同的应用是关键.二．填空题.(本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分)11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2:3:4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n = ； 【知识点】分层抽样的概念【答案解析】54解析：解：由分层抽样的概念可知所抽样本中甲、乙、丙三种商品的数量之比也为2:3:4,故可设乙、丙两商品分别有3k 、4k 件，由题意得12：3k ：4k=2:3:4，所以k=6，故乙、丙两商品分别有18、24件，故n=12+18+24=54【思路点拨】分层抽样中样本中不同类别个体数量之比与总体中它们的比例相同.12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对R x ∈∀恒有)2()1()1(f x f x f --=+，且当)2,1(∈x 时，2()31,f x x x =-+则1()2f =；【知识点】奇函数的定义；函数的周期性；求函数的解析式.【答案解析】54解析：解：因为()f x 是奇函数，所以()00f =，令x=1有()()()()()111122200f f f f f +=--⇒==()20f ∴=()()11f x f x ∴+=-令12x =，3122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=54-又11152224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】本题先根据特殊值求出()20f =，然后再利用奇函数的性质求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S，若123,3S S 成公比为q 的等比数列，则q = ；【知识点】等差数列前n 和的概念，等比中项公式.【答案解析】2123,3S S 成公比为q 的等比数列即112123)a )a +a +a 、3(a +a 成公比为q 的等比数列，又1322+=a a a即1122)a a +a 、9a 成公比为q 的等比数列，所以120a ≠a ，2121229a =（a +a ）a，且211q )==+aa ，整理2121229a =（a +a ）a 得：221212225a a a +=a 即1221225+=a a a a ，设21a a =x,则22x 520x -+=，解得122x =或所以q 2=【思路点拨】先利用等比中项公式得到2121229a =（a +a ）a ，再利用1322+=a a a ；两式联立解出21a a，最后得到q 2=特别提醒：14~16题，考生只能从中选做两题；若三道题都做的，则只计前两题的得分．14.已知A B C ∆的中线,A D B E 交于,K AB =且,,,K D C E 四点共圆，则CK=；【知识点】三角形的中位线；勾股定理；射影定理；特殊值法；弦长公式.【答案解析】1解析：解：可用特殊值法设BCAC2DF∴=，EC＝2，DC＝，设KC与DE交于M点，由弦心距可求CM=34，MK=14，1CK∴=.【思路点拨】适合用特殊值的问题，在选择、填空题中要用特殊值法，是一种省时省力的数学方法.15.在直角坐标系yOx--中，极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴非负半轴重合建立极坐标系，若曲线2sin,(sin,xyθθθ=⎧⎨=⎩为参数）与曲线sin aρθ=有两个公共点，则实数a的取值范围是；【知识点】【答案解析】(0,1]解析：解：曲线2sin,(sin,xyθθθ=⎧⎨=⎩为参数）转化为普通方程为：2(11)y x x=-≤≤；曲线sin aρθ=转化为普通方程为：y a=,有两个公共点,画图形如上图可得：a∈(0,1].【思路点拨】数形结合的思想方法；16.若关于x的不等式232|2|4x x x ax+-≥-在[]10,1∈x内恒成立,则实数a的取值范围是．【知识点】不等式；函数的图像；组合函数的性质. 【答案解析】(],4-∞解析：解：2124,2y x y x x x =+=-⇒23224x x x ax +-+≥[]1,10x ∈为正数，所以不等式转化为242x x x x ++-，设2124,2y x y x xx =+=-，两个函数在[]1,2上都为减函数，在[]2,10上都为增函数，依据组合函数的性质可得24242905x x x x ≤++-≤+242x x x x ∴++-的最小值为4，224x x x ax ∴+-≥-在[]1,10x ∈上恒成立，a 应该小于等于最小值4.【思路点拨】本题首先根据取值范围分离出常数a,然后依据组合函数的性质求出242x x x x ++-的取值范围，最后依据恒成立问题最到a 的范围.三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17.（13分） 已知()2s i n c o s(f x x x ωωϕωπϕπ=+>-<<的单増区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-+∈．（1）求,ωϕ的值；（2）在ABC ∆中，若()f A <求角A 的取值范围．【知识点】两角和的余弦公式；降次公式；三角函数的最值、周期；三角不等式.【答案解析】（1）1,.3πωϕ==-（2）0,,32A πππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：解：（1）()2sin (cos cos sin sin )sin 2cos (1cos 2)sin f x x x x x x ωωϕωϕωϕωϕ=-=-- =sin(2)sin x ωϕϕ+-，由已知可得，, 1.T πω=∴=即()sin(2)sin .f x x ϕϕ=+-又当512x k ππ=+时，()f x 取最大值，即52()2,(,)122k m k m Z πππϕπ++=+∈解得2,()3n n Z πϕπ=-+∈，由于,.3ππϕπϕ-<<∴=-故1,.3πωϕ==-（2）()sin(2)32f x x π=-+由()f A <得sin(2)32A π-< 而52,333A πππ-<-<由正弦函数图象得，252(,)(,),(0,)(,).3333332A A ππππππππ-∈-∴∈【思路点拨】（1）先利用两角和的余弦公式、降次公式把函数化简，然后求出T 、ω的值，再利用最值的情况解得φ；（2）由()f A <得sin(2),32A π-<得到52,333A πππ-<-<再解出A 即可.18.（13分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234,,,T T T T ，已知每个元件正常工作的概率均为32，且各元件相互独立．（1）求电流能在M 与N 之间通过的概率； （2）记随机变量ξ表示1234,,,T T T T 这四个元件中正常工作的元件个数，求ξ的分布列及数学期望．【知识点】互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；分布列；数学期望.【答案解析】(1) 7081（2）38)(=ξE .解析：解：(1) 记事件i A 为“元件i T 正常工作”，4,3,2,1=i ，事件B 表示“电流能在M 与MBSN 之间通过”，则32)(=i A P ， 由于4321,,,A A A A 相互独立，所以32142144A A A A A A A A B ++=，法一：)()()()()(3214214432142144A A A A P A A A P A P A A A A A A A A P B P ++=++=81703232313132323132=⋅⋅⋅+⋅⋅+=；法二：从反面考虑：[]))(1()(1)(1)(2134A A P A P A P B P -⋅-⋅-=817081111))31(1(3213112=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅-=；(2)由题ξ～)32,4(B ，4,0,)31()32()(44===-k C k P kk k ξ，易得ξ的分布列如右，期望38)(=ξE .【思路点拨】记事件i A 为“元件i T 正常工作，相互独立每一个事件的概率等于它所有基本事件概率的和，根据二项分布先求随机变量相应结果的概率，再利用数学期望公式求期望.19.（13分）如图，多面体ABCDS 中，四边形ABCD 为矩形，,SD AD ⊥22,,AB AD M N ==分别为,AB CD 中点．（1）求异面直线,SM AN 所成的角；（2）若二面角A SC D --大小为60，求SD 的长．【知识点】法一（几何法）:线面垂直的性质定理；三垂线定理；二的作法.法二: （向量法）: 向量语言表述线线的垂直、平行关系;用空间向量求平面间的夹角.【答案解析】（1）090.(2) SD =y解析：解：法一（几何法）:（1）,,.SD AD SD AB SD ABCD ⊥⊥∴⊥面连MN ,则由已知,AMND 为正方形,连,DM 则,DM AN ⊥又DM 是SM 在面ABCD 上的射影,由三垂线定理得,SM AN ⊥.所以直线SM 与AN 所成的角为090.(2),,AD CD AD SD AD ⊥⊥∴⊥面SCD ,过D 作DE SC ⊥于E ,连AE ,则AED ∠为所求二面角A SC D --的平面角060.则在ADE Rt ∆中易得3DE =设SD a =，在SDC Rt ∆中，311DE SD a ==∴==法二: （向量法）(1) 以D 为原点，分别以,,DS DA DC 为,,x y z 轴建系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,2)A N M C ，设)0,0,(a S ，则(0,1,1),(,1,1),AN SM a =-=-0=⋅，故SM 与AN 成 90角；(2) 设平面ASC 的一个法向量为1(,,),(,1,0),(0,1,2)n x y z AS a AC ==-=-,由),2,2(00111a a n n AS n =⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,又显然平面SDC的一个法向量为2(0,1,0)n =, 由题有：012cos60cos ,11n n SD a ====【思路点拨】法一（几何法）: （1）先利用线面垂直的性质定理得到,DM AN ⊥；再利用三垂线定理得SM AN ⊥；然后得出结论. （2）作出二面角，然后在SDC Rt ∆中得出结论. 法二: （向量法）（1）建立空间直角坐标系，分别求出SM ，AN 的方向向量，进而根据向量垂直的充要条件，得到结论；（2）分别求出平面ASC 的法向量和平面SDC 的一个法向量，代入向量夹角公式可和答案． 20.（12分）在数列{}n a 中，n n S a ,0>为其前n 项和，向量2(,),(1,1)n n AB S p a CD p =-=-，且,//其中0>p 且1≠p ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12p =，数列{}n b 满足对任意n N *∈，都有12111...212nn n n b a b a b a n -+++=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【知识点】共线向量；前n 项和与通项公式的关系；特殊数列的求和方法.【答案解析】（1）21(),().n n a n N p -*=∈（2）2)1(+=n n T n 解析：解：（1）2//(1).n n AB CD p S p a ⇒-=-由21111,(1),n p a p a a p =-=-∴=又由2211(1)(1)n n n n p S p a p S p a ++⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，两式相减得：1111(1),.n n n n n p a a a a a p +++-=-∴= 所以数列{}n a 是以首项为p ，公比为1p 的等比数列，21(),().n n a n N p -*=∈（2）法一：当21=p 时，*2,2N n a n n ∈=-，在12111 (21)2n n n n b a b a b a n -+++=--中，令1,n =则111111121,, 1.222b a a b =--==∴=因为1211211 (21)2n n n n n b a b a b a b a n --++++=--， ()a 所以11122221111...2,(2)22n n n n n b a b a b a b a n n -----++++=--≥，将上式两边同乘公比12p =得，12112...21,(2)nn n n b a b a b a n n --+++=--≥， ()b ()a 减去()b 得，1,.(2)2n n nb a b n n =∴=≥，又11,b =所以)(,*N n n b n ∈= 所以{}n b 的前n 项和2)1(+=n n T n 。
2024年南开中学高三数学第五次月考检测试卷附答案解析
2024年南开中学高三数学第五次月考检测试卷考试时间：120分钟试卷分共150分第I 卷一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,4,5,6,1,3,5,7U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{}2,4B ．{}2,6C ．{}4,6D ．{}2,4,5,62．“2112x x -≤+”是“1522x -≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．如图，下列能表达这条曲线的函数是（）A ．()sin522x x xf x -=-B ．()cos 22x x x f x -=-C ．()cos522x xx f x -=-D ．()sin522x xx f x -=-4．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，若342n n S n T n +=+，则58211a ab b +=+（）A ．1713B ．3713C ．207D ．3775．某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）①a 的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A ．1B ．2C ．3D ．46．已知21log 333,10,6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b>>D ．b c a>>7．三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的简型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（）A ．39π27cm4⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．37π27cm4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3π27cm 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．33π27cm4⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中π,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π,224B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则以下五个说法正确的个数为（）①函数()f x 的最小正周期是π；②函数()f x 在3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③函数()f x 的图象关于直线1124πx =对称；④将函数()f x 的图象向右平移π24个单位长度后关于y 轴对称；⑤当5ππ,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2f x ∈.A ．0B ．1C ．2D ．39．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交双曲线的左支于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，2BF A ∠的角平分线为2F M 交AB 于M ，且2:2:1F I IM =，若22:3:5= IAF IBF S S ，则该双曲线的离心率是（）A ．2B ．43C D ．2第II 卷二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）10．若()3i 3i z -=，则z 的共轭复数为.11．在53x ⎫-⎪⎭的展开式中，1x 的系数为.（结果用数字表示）12．已知直线50x y +-=与圆22:420C x y x y m +-+-=相交于,A B 两点，且AB 4=，则实数m =13．某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为.14．已知ABC 中，6,3AB AC ==，且()()22AB AC λλλ+-∈R的最小值为B =，若P 为边AB 上任意一点，则PB PC ⋅的最小值是.15．对任意x R ∈，不等式()22x a x a x x a +-+≥--恒成立，则a 的取值范围是.三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos +=ac B b C A.(1)求角A 的大小；(2)若cos B =()sin 2B A +的值；(3)若ABC 3a =，求ABC 的周长和外接圆的面积.17．如图，棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，60DAB ∠= ，所有棱长都为2，AC BD O = ，1A O ⊥平面,ABCD F 为1DC 的中点.(1)证明：//OF 平面11BCC B ；(2)求二面角1D AA C --的余弦值；(3)求点F 到直线1DA 的距离.18．已知{}n a 是公比为q 的等比数列．对于给定的(1,2,3)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列{}n a ，记()k T 的第i 项为()k i b ．若(1)(2)(2)112b b b +=，且(1)(2)23b b =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求(2)(2)111ni i i b b =+∑；(3)求()1i ink b =∑．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>63，直线l 与Γ相切，与圆O ：2223+=x y a 相交于A ，B 两点.当l 垂直于x 轴时，||26AB =(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M ，N ，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为,()d M N .（ⅰ）若M ，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当PAB 的面积最大时，求,()d M N ；（ⅱ）若,()d M N ，(,)d N M 均存在，记两者中的较大者为(,)H M N .已知(,)H X Y ，(,)H Y Z ，(,)H X Z 均存在，证明：(,)(,)(,)≥+H X Z H Y Z H X Y .20．已知函数()()e ,0,xf x mx x ∞=-∈+．(1)证明：当e m ≤时，()0f x ≥；(2)若函数()()ln 1g x f x x x =--有两个零点12,x x ．①求m 的取值范围；②证明：122ln 2x x m +<．1．C【分析】直接由交集补集的定义求解即可【详解】因为{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,4,5,6,1,3,5,7U A B ===，所以{}2,4,6U B =ð，所以(){}4,6U A B = ð，故选：C.2．A【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式2112x x -≤+，可得302x x -≤+，所以()()32020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得23x -<≤，又由1522x -≤，可得515222x -≤-≤，解得23x -≤≤，因为{}23x x -<≤是{}23x x -≤≤的真子集，所以“2112x x -≤+”是“1522x -≤”的充分不必要条件.故选：A.3．C【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，即可得出结果.【详解】解：观察图象可知，函数的图象关于y 轴对称，应是偶函数，而选项B ，()()()cos 22o 2c 2s x x x xx f x f x x----===---，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意，选项D ，()()()sin5sin52222x xx xx xf x f x ---==-=---，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意，对选项A 而言，当0,5x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题.4．C【分析】由等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质，即可求解结果．【详解】因为,n n S T 是等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，()()11211212121212,22a a b b S T ++==，又342n nS n T n +=+所以5811212211112123124201227a a a a Sb b b b T ++⨯+====+++故选：C.5．D【分析】利用频率分布直方图的性质判断①，利用众数、百分位数的求法判断②③，根据频率分布直方图计算可估计总体判断④.【详解】由频率分布直方图可知()10233651a a a a a a ⨯+++++=，解得0.005a =，①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间[)70,80，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确；前两组频率之和为()0.010.015100.25+⨯=，所以这组数据的下四分位数为60，③正确；成绩高于80分的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，所以估计总体成绩高于80分的有10000.3300⨯=人，④正确；综上①②③④正确，故选：D 6．A【分析】对,a b 同时6次方后比较大小，即可判断,a b 大小；对,a c ，根据6a c <<，即可比较大小.【详解】由题可得133231,101a b =>=>，则6962310a b =>=，故a b >；又2log 32log 31,66a >=<<，故c a >，综上所述：c a b >>.故选：A.7．B【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可.【详解】圆筒体积为底面半径32，高度为4的圆柱体的体积减去底面半径为1，高度为4的圆柱体的体积，故其体积22313π4π1452V cm π⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭；中间部分的体积为棱长为3的长方体的体积减去底面半径为32，高为3的圆柱体的体积，故其体积232327π27π327cm 24V ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故玉琮的体积327π7275π27πcm 44V ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.故选：B.8．C【分析】根据函数图象求出()f x 的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由图像可知3ππ4324T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解得π2T =，①说法错误，所以2ππ2ω=，解得4ω=，将π,224B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()()2sin 4f x x ϕ=+得πsin 16ϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ-=-+，Z k ∈，即π2π3k ϕ=-+，Z k ∈，又因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，()2sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π8π11π4,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先单调递减，再单调递增，②说法错误；当1124πx =时，π3π432x -=，()2f x =-，所以()f x 的图象关于直线1124πx =对称，③说法正确；将函数()f x 的图象向右平移π24个单位长度后得到ππππ2sin 42sin 42cos 4242432f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其图象关于y 轴对称，④说法正确；当5ππ,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π11π14π4,333x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则πsin 4,132x ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x ⎤∈⎦，⑤说法错误；综上③④说法正确，故选：C 9．A【分析】根据内切圆于22:3:5= IAF IBF S S ，可设2||3AF t =，进而得2||5BF t =，结合2:2:1F I IM =，可得2||1||2MB BF =，进而得||||||484AB AM BM t t a =+==-，求得t a =，判断出2AB AF ⊥，由焦点三角形求得2c ，即可求解.【详解】设内切圆的半径为r ，由22:3:5= IAF IBF S S ，即221||3215||2AF r BF r ⋅⋅=⋅⋅，则22||3||5AF BF =,设2||3AF t =，则2||5BF t =，则11||32,||52AF t a BF t a =-=-，由2:|2:1=|F I |IM |，即2:|3:1=|F M |IM |，则213MBI MBF S S =，则212MBI BIF S S = ，21||1212||2MB r BF r ⋅⋅=⋅⋅，则2||1||2MB BF =，故5||2t MB =，同理得3||2t MA =，故||||||484AB AM BM t t a =+==-，故t a =，则22222||||||AB AF BF +=，故2AB AF ⊥，则2c =，则c e a =.故选：A【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值．10．39i 1010--【分析】利用复数除法运算求得z ，再求其共轭复数即可.【详解】根据题意可得()3i 3i 3i 39i 39i 3i 10101010z +-+====-+-，故其共轭复数为39i 1010--.故答案为：39i 1010--.11．90【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对53x ⎫⎪⎭，有()()()1545333155C 33C k k k k k k k k T x x x ---+=⋅⋅-⋅=-，令54133k -=-，解得2k =，有()2211353C 90T x x --=-=.故答案为：90.12．7【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.【详解】根据题意，圆22420x y x y m +-+-=，即22(2)(1)5x y m -++=+，其圆心为(2,1)-，半径5r m =>-，若||4AB =，则圆心到直线l 即AB的距离d =又由圆心到直线50x y +-=的距离d ===7m =.故答案为：7.13．58##0.6250.66##3350【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率.【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有211337C C C 24+=种，选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况1135C C 15=种，故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为155248=；任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为311,,1052，而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为3110.90.70.50.661052⨯+⨯+⨯=，故答案为：58，0.6614．π68116-【分析】设BAC θ∠=，则()22AB AC λλ+-== ，计算得到1cos 2θ=，建立直角坐标系，则22151********PB PC x x x ⎛⎫⋅=-+=-- ⎪⎝⎭ ，计算得到答案.【详解】设BAC θ∠=，由题意()22AB AC λλ+-==当且仅当12λ=时等号成立，又因为()22AB AC λλ+-的最小值为=，解得1cos 2θ=，即1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =，因为ABC 中，6,3AB AC ==，所以2222cos BC AB ACAB AC A =+-⋅⋅，解得BC =所以222AC BC AB +=，所以π2C =，所以ππ6B AC =--=，如图所示建立直角坐标系，则(0,0)A ，(6,0)B ，32C ⎛ ⎝⎭，(0),P x ，(06),x ∈，所以()223151581816,0,92241616PB PC x x x x x ⎛⎛⎫⋅=-⋅=-+=--≥- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当154x =时等号成立，所以PB PC ⋅ 的最小值为8116-．故答案为：π6；8116-.15．[)1,+∞【分析】把不等式()22x a x a x x a +-+≥--转化为()2()2x a x a x a x x x +-+++≥-+，记()2f x x x x =-+，则原不等式转化为()()f x a f x +≥恒成立，画出()f x 的图像，然后用数形结合和图像变换的思想来解题即可.【详解】解：不等式()22x a x a x x a +-+≥--等价于()2()2x a x a x a x x x +-+++≥-+，记()2f x x x x =-+，则原不等式等价于()()f x a f x +≥.所以，不等式()22x a x a x x a +-+≥--恒成立等价于不等式()()f x a f x +≥恒成立.而()223,2,2x x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，且图像如下图所示：()f x a +可以看作是()f x 向左或向右平移a 个单位，不等式()()f x a f x +≥恒成立可以看作是()f x a +的图像在()f x 的上方或函数值相等.所以要使()f x a +的图像在()f x 的上方或函数值相等只能把()f x 的图像向左平移至少1个单位得到()f x a +，如下图所示：所以：1a ≥.故答案为：[)1,+∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、图像变换、数形结合的思想，属于综合性题目.16．(1)π3(3)8，3π【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；（3）由三角形面积公式及余弦定理求出b c +，再由正弦定理求外接圆半径即可.【详解】（1）由cos cos 2cos +=ac B b C A ，由正弦定理sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A，从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos A AB C A A A +=⇒=，sin 0A ≠ ，1cos 2A ∴=，0πA << ，π3A ∴=.（2）因为sin B =所以23,221sin 22sin cos cos 22cos 13B B B B B ===-=-，πππsin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.（3）因为11sin 2223S bc A bc ===，所以163bc =，由余弦定理得：()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即()216933b c =+-⨯，解得5b c +=，所以ABC 的周长为8a b c ++=，由32πsin sin 3a R A ===所以外接圆的面积2π3πS R ==.17．(1)证明见解析(2)7【分析】（1）连接1BC ，即可得到1//OF BC ，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；（3）令a DF = ，11DA u DA = ，再根据距离公式d =计算可得.【详解】（1）连接1BC ，因为F 为1DC 的中点，O 为DB 的中点，所以1//OF BC ，且1BC ⊂平面11BCC B ，OF ⊄平面11BCC B ，所以//OF 平面11BCC B .（2）因为1A O ⊥平面ABCD ，且ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，如图，以点O 为坐标原点，分别以1,,OA OB OA的方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.又60DAB ∠= ，所以ABD △为等边三角形，所以2BD =，则OA ==在1Rt AOA中，11OA ==，可知())()()()10,0,0,,0,0,1,,0,1,0O AA C D -，则()()11,0,AD AA =-=，设平面1DAA 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100n AA n AD ⎛⋅= ⋅=⎝，即00y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得(1,n =，取平面1AA C 的一个法向量为()0,1,0m =，所以cos ,n mn m n m ⋅===⋅设二面角1D AA C --为θ，显然二面角1D AA C --为锐二面角，则cos cos ,7n m θ==，即二面角1D AA C --的余弦值为7.（3）又()1B，所以()1AB =-，所以()11DC AB ==-，所以1111,222DF DC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，()10,1,1DA = ，所以1DA =，所以11,22a DF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，)110,1,1DA u DA ⎛=== ⎝⎭，所以11022a u ⋅=+⨯⨯，所以点F 到直线1DA 的距离d ===18．(1)123(3n n a -=⨯；(2)64nn +；(3)212(1)3()32k n n n --⋅-.【分析】（1）根据给定定义，可得()(21)(1)k ik k b a a i =+--，再列出方程求出12,a a 作答.（2）由（1）的信息，利用裂项相消法求和作答.（3）利用（1）的结论，结合分组求和法及等差数列前n 项和公式求解作答.【详解】（1）依题意，()(21)(1N ),(1,2,3,),k ik k b k a a i n i ==+--∈ ，(1)(2)(1)11221111,,(21)31b b a b a a a a =+-===-，(2)(2)23222222(212)3,(211)25b b a a a a a a -⨯=+-=-==-+，由(1)(2)(2)112b b b +=及(1)(2)23b b =，得12212313152a a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，解得123,2a a ==，于是2123a q a ==，所以{}n a 的通项公式是11123()3n n n a a q --==⨯.（2）由（1）知，(2)22(21)(1)23(1)31ib a a i i i =+--=+-=-，(2)132i b i +=+，(2)(2)131)()32)313211111((3i i i i i i b b +--+-+==，所以(2)(2)1111111111111[()()43133()]()3255832622ni i i n n n nb bn =+-+=-+-++-==+-+∑.（3）由（1）知，()(21)(1)(21)(1)k i k k k b a a i i a i =+--=---，1(1,2,3,,)23(,3k k a k n -⨯== ，所以()1111(21)(1)](21)(11(21)0(1)22)[nnnnk k i i i k ik i n n ba n n i a i a i i ====+----=--+-=-=⋅⋅-⋅∑∑∑∑221(1)2(1)3()232k k n n n n n a n ---=-=⋅-.【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.19．(1)2213x y +=；(2)（ⅰ）32；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出a ，再结合离心率求出b 即得.（2）（ⅰ）在直线l 的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心O 到l 距离，列出PAB 的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得.【详解】（1）因为当l 垂直于x轴时，||AB =:l x a =±与Γ相切，则=得a =又椭圆Γ，则椭圆Γ的半焦距c =1b ==，所以Γ的方程为2213x y +=.（2）（i ）当l 的斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+，由2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：222(31)6330k x kmx m +++-=，由直线l 与椭圆Γ相切，得222(6)4(31)(33)0km k m ∆=-+-=，整理得2231m k =+，于是圆心O 到直线l的距离[1,3)d =，则PAB的面积为11(3)||(3)22PAB S d AB d ≤+⋅=+⋅=设3()(3)(3),1f d d d d =-+≤<，求导得2()2(3)(32)f d d d '=+-，当312d ≤<时，()0f d '>，函数()f d单调递增，当32d <<()0f d '<，函数()f d 单调递减，因此当32d =时，()f d 取得最大值，此时max ()PAB S =当l 的斜率不存在时，由（1）知，13)2S ≤⨯⨯=由2293115()4740416-=-，得2734>+，则32d =.对于线段AB 上任意点E ，连接OE 并延长与圆O 交于点F ，则F 是圆上与E 最近的点，当E 为线段AB 的中点时，EF 取得最大值32，所以3(,)2d M N =.（ii ）因为(,),(,),(,)H X Y H Y Z H X Z 均存在，设点121212,,,,,X X X Y Y Y Z Z Z ∈∈∈，且111222(,),(,),(,)H X Z X Z H Y Z Y Z H X Y X Y ===，设2Y 是集合Y 中到2X 的最近点，根据对称性，不妨设22(,)(,)H X Y d X Y X Y ==，令点2X 到集合Z 的最近点为3Z ，点3Z 到集合Y 的最近点为3Y ，因为11X Z 是集合X 中所有点到集合Z 最近点距离的最大值，则1123X Z X Z ≥，因为12Y Z 是集合Y 中所有点到集合Z 最近点距离的最大值，则1233Y Z Y Z ≥，因此11122333(,)(,)H X Z H Y Z X Z Y Z X Z Y Z +=+≥+，而在坐标平面中，233323X Z Y Z X Y +≥，又点2Y 是集合Y 中到点2X 的最近点，则2322X Y X Y ≥，所以(,)(,)(,)≥+H X Z H Y Z H X Y .【点睛】关键点睛：本题第（2）问涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.20．(1)证明见解析(2)①()e 1,-+∞；②证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论判断()f x 的单调性，结合单调性和最值分析证明；（2）①令()0g x =，整理可得e 1ln 0x m x x x ---=，设()e 1ln ,0x h x m x x x x=--->，求导，利用导数判断单调性，结合单调性分析零点问题；②分析可知原不等式等价于()112111e 1ln 2x x x x x x <---，构建函数证明()112111e 1ln 02x x x x x x <<---即可.【详解】（1）由题意可得：函数()e xf x m '=-，且0x >，e m ≤，若1m ≤，则()e 10xf x m m '=->-≥在()0,∞+内恒成立，可知()f x 在()0,∞+内单调递增，可得()()010f x f m >=-≥；若1e m <≤，令()0f x '>，解得ln x m >；令()0f x '<，解得0ln x m <<；可知()f x 在()0,ln m 内单调递减，在()ln ,m ∞+内单调递增，可得()()()ln 1ln f x f m m m ≥=-，且1e m <≤，则ln 1m ≤，则()()1ln 0f x m m ≥-≥；综上所述：当e m ≤时，()0f x ≥.（2）①由题意可得：()e ln 1xg x mx x x =---，令()0g x =，整理可得e 1ln 0x m x x x---=，设()e 1ln ,0x h x m x x x x =--->，则()()()()221e 11e 11xx x x h x x x x x---=-+='，且0x >，可知e 10x ->，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；则()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，由题意可知：()h x 有两个零点，则()1e 10h m =--<，解得e 1m >-，若e 10m >->，令()e0,1mt -=∈，则e 10t ->则()e 1ln ln ln e 0t m h t t m t m m t--=-->--=--=，可知()h x 在(),1t 内有且仅有一个零点；且当x 趋近于+∞，()h x 趋近于+∞，可知()1,∞+内有且仅有一个零点；即e 1m >-，符合题意，综上所述：m 的取值范围为()e 1,∞-+；②由①可知：()11111e 1ln 0x h x m x x x =---=，即1111e 1ln x m x x x =--，若12ln 2x x m +<，等价于112111e 12ln ln 2x x x x x x +<---，等价于()112111e 1ln 2x x x x x x <---，令()e 12,02x F x x x x x =--->，则()()()21e 1x x x F x x ---='，令()e 1,0x x x x ϕ=-->，则()e 10xx ϕ='->在()0,∞+内恒成立，可知()x ϕ在()0,∞+内单调递增，则()()00x ϕϕ>=，即e 10,0x x x -->>，令()0F x '>，解得1x >；令()0F x '<，解得01x <<；可知()F x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可得()()1e 202F x F ≥=->；令()()1,1G x h x h x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()()()1221e e 111x xx x x G x h x h x x x ⎛⎫--+- ⎪⎛⎫⎝⎭='''+=⎪⎝⎭，令()1e e 1,1x xn x x x x =-+->，则()111e e e 1xxx n x x x='-++，因为1x >，则()1111111e e e 1e e e 1e 10xxx x x n x x x x x x x=-++≥-++=+>'，可知()n x 在()1,∞+内单调递增，则()()10n x n >=，可得()0G x '>在()1,∞+内恒成立，可知()G x 在()1,∞+内单调递增，则()()10G x G >=，即()1,1h x h x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，不妨设1201x x <<<，则()()1221h x h x h x ⎛⎫=>⎪⎝⎭，且2101x <<，()h x 在()0,1内单调递减，可得121x x <，即1201x x <<，可得()12ln 0x x <；即()112111e 1ln 02x x x x x x <<---，所以122ln 2x x m +<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
重庆市南开中学2014_2015学年高三数学上学期一诊模拟试卷文(含解析)
2014-2015学年重庆市南开中学高三（上）一诊模拟数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分．在给出的四个选项中只有一项是正确的．1．集合A={x|≥2，x∈Z}的子集个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 52．已知m∈R，复数的实部和虚部相等，则m的值为（）A．B． 0 C． 1 D．﹣13．下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0B．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C．样本的中位数一定在样本中D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率（）A．均不相等B．都相等，且为C．不全相等D．都相等，且为5．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．7．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0，在区间[﹣4，6]上任取整数m，则直线l：x+y+m=0与圆C 相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC满足|AB|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足==，且+=λ，λ∈R，则•=（）A． 8B． 8 C． 4D． 49．已知实数x，y满足可行域D：，曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣4C．﹣6 D． 2﹣8 10．已知实数a，b，c，d满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．﹣1 B． 2﹣C． 3﹣2D． 1﹣二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．二项式（﹣x2）5展开式中的第四项的系数为．12．已知x，y∈R+，且+=1，则x+2y的最小值为．13．设点p是椭圆（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是．14、15、16为选做题．请从中任选两题作答．若三题全做，则按前两题给分．14．（几何证明选做题）如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O 的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为．15．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以O为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为psin（θ+）=2，C1与C2的交点为A、B，则|AB|= ．1013•南昌二模）设f（x）=|2x﹣1|，若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是．三、解答题：本大题共6小蹶．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sinwxcoswx+2cos2wx﹣1的周期为．（1）求w的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠ABC的对边，f（）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．18．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．19．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣p，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）当p=2时，数列{a n}满足b1=2，b n+1=b n+a n（n∈N+），求数列{nb n}的前项n和T n．20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．22．设数列{a n}满足a1=1，a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+）；（1）证明：a n+1＞a n；（2）若b n=（1﹣），证明：0＜b k＜2．2014-2015学年重庆市南开中学高三（上）一诊模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在给出的四个选项中只有一项是正确的．1．集合A={x|≥2，x∈Z}的子集个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据条件求出集合A，利用子集的关系即可得到结论．解答：解：∵A={x|≥2，x∈Z}，∴A={﹣3，﹣2}∴集合A={x|≥2，x∈Z}的子集为{﹣3}，{﹣2}，{﹣3，﹣2}，∅共4个，故选：C点评：本题主要考查集合子集个数的判断，比较基础．2．已知m∈R，复数的实部和虚部相等，则m的值为（）A．B． 0 C． 1 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部和虚部的定义即可得出．解答：解：∵复数==+的实部和虚部相等，∴m+1=1﹣m，解得m=0．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、实部和虚部的定义，属于基础题．3．下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+2≤0B．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C．样本的中位数一定在样本中D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∃x∈R，x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≤0，不正确，其否定“∀x∈R，x2﹣2x+2≥0”，即可判断出；B．只有一个平面四边形的内对角互补的四个顶点共圆，即可判断出；C．样本的中位数一定在样本中，不正确，即可判断出；D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）正确，即可判断出．解答：解：A．∃x∈R，x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≤0，不正确，其否定“∀x∈R，x2﹣2x+2≥0”，正确；B．任意一个平面四边形的四个顶点共圆，不正确，其否定正确；C．样本的中位数一定在样本中，不正确，其否定正确；D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）正确，其否定不正确．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定、实数的性质、四点共圆的性质、概率统计，考查了推理能力，属于基础题．4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率（）A．均不相等B．都相等，且为C．不全相等D．都相等，且为考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据抽样的定义进行判断即可．解答：解：在各种抽样中，为了保证抽样的公平性，每个个体被抽到的概率都是相同的，都为=，故选：B点评：本题主要考查抽样的定义和理解，比较基础．5．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+），令x﹣=kπ+，k∈z，求得x的值，即可得到函数图象的一条对称轴方程．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+﹣）=2sin（x﹣）．由x﹣=kπ+，k∈z，可得 x=kπ+，故所得函数图象的一条对称轴是，故选C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的对称轴的求法，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i 的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．7．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0，在区间[﹣4，6]上任取整数m，则直线l：x+y+m=0与圆C 相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式；圆的一般方程．专题：应用题；概率与统计．分析：直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形，可得圆心到直线的距离d=＜×2且m≠1，即﹣1＜m＜3且m≠1，从而在区间[﹣4，6]上任取整数m，有基本事件11个，﹣1＜m＜3且m≠1，有基本事件2个，即可求得结论．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x+4y+1=0∴化成标准形式得（x﹣1）2+（y+2）2=4，得圆心为C（1，﹣2），半径为2∵直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形，∴圆心到直线的距离d=＜×2且m≠1，∴﹣1＜m＜3且m≠1，在区间[﹣4，6]上任取整数m，有基本事件11个，﹣1＜m＜3且m≠1，有基本事件2个，∴所求概率为，故选：B．点评：本题考查概率的计算，考查直线与圆的位置关系，求得基本事件的个数是关键．8．已知△ABC满足|AB|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足==，且+=λ，λ∈R，则•=（）A． 8B． 8 C． 4D． 4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：O是△ABC所在平面内一点，满足==，可得O是△ABC的外心．设AB边的中点为D．可得OD⊥AB．由于+=λ，可得AC∥OD．∠A=90°．即可得出．解答：解：∵O是△ABC所在平面内一点，满足==，∴O是△ABC的外心．设AB边的中点为D．则OD⊥AB．∵+=λ，∴AC∥OD．∴∠A=90°．∴•===8．故选：B．点评：本题考查了三角形外心的性质、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知实数x，y满足可行域D：，曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣4C．﹣6 D． 2﹣8考点：简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，确定x，y的取值范围将曲线进行化简，利用面积关系进行转化求即可即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，1），C（3，0），由，解得，即B（2，3），则x≥0且0≤y≤3，则曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，等价为x﹣y+5+a=0，则曲线x﹣y+5+a=0与直线AB：x﹣y+1=0平行，则C到AB：x﹣y+1=0的距离d AB==2，|AB|=，则△ABC的面积S==4．∵T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，∴设C到x﹣y+5+a=0的距离d，则，即，即d==，则d==2，即|a+8|=2，解得a+8=2，或a+8=﹣2，即a=2﹣8或a=﹣2﹣8（舍）．故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据图象将曲线进行化简是解决本题的关键，考查学生的运算和推理能力．10．已知实数a，b，c，d满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．﹣1 B． 2﹣C． 3﹣2D． 1﹣考点：曲线与方程；基本不等式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：实数a，b，c，d满足==1，可得b=lna，（d﹣1）2+c2=1．考查函数y=lnx 与圆的方程x2+（y﹣1）2=1的图象及其性质．设直线l与函数y=lnx相切于点P（x0，lnx0），利用导数的几何意义可得切线l的方程为：y﹣lnx0=，由于EP⊥l，可得k EP•k l=﹣1，解得切点为P（1，0）．即可得出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（|EP|﹣r）2．解答：解：∵实数a，b，c，d满足==1，∴b=lna，（d﹣1）2+c2=1．考查函数y=lnx，与圆的方程x2+（y﹣1）2=1．设直线l与函数y=lnx相切于点P（x0，lnx0），∵，∴切线l的方程为：y﹣lnx0=，∵EP⊥l，∴k EP•k l==﹣1，∴，当x0=1时，上述方程成立；当x0＞1或0＜x0＜1时，上述方程不成立．因此切点为P（1，0）．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（|EP|﹣r）2==3﹣2．故选；C．点评：本题考查了对数函数与圆的图象及其性质、导数的几何意义、切线的性质、两点之间的距离公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．二项式（﹣x2）5展开式中的第四项的系数为﹣40 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：先求得二项式（﹣x2）5的通项公式，再令r=3，即可求得第四项的系数．解答：解：∵二项式（﹣x2）5的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•25﹣r•x r﹣5，∴第四项的系数为﹣•22=﹣40，故答案为：﹣40．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．已知x，y∈R+，且+=1，则x+2y的最小值为15 ．考点：基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：由x，y∈R+，且+=1，变形x+2y=x+1+2y﹣1=﹣1=9+，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x，y∈R+，且+=1，∴x+2y=x+1+2y﹣1=﹣1=9+≥9+2=9+6=15，当且仅当x+1=6y=12时取等号．∴x+2y的最小值为15．故答案为：15．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13．设点p是椭圆（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设△PF1F2的内切圆半径为r，根据内心的性质，结合三角形面积公式将S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2化简整理，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．由此结合椭圆离心率公式，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则S△IPF1=|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=|F1F2|•r，∵S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，∴|PF1|•r+|PF2|•r=|F1F2|•r，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．∴椭圆的离心率e====故答案为：点评：本题已知椭圆的焦点三角形的一个面积关系式，求椭圆的离心率．着重考查了三角形内切圆的性质、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．14、15、16为选做题．请从中任选两题作答．若三题全做，则按前两题给分．14．（几何证明选做题）如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O 的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为 4 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题；选作题．分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠DAC=30°，从而得到三角形AOC是一个等腰三角形，得到半径的长度，在含有30°角的直角三角形中，做出OD的长．解答：解：∵AD是圆O的切线，∠B=30°∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=2，在直角三角形AOD中，OD=2AO=4，故答案为：4．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．15．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在以O为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为psin（θ+）=2，C1与C2的交点为A、B，则|AB|= 6．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：把曲线C1的参数方程化为普通方程，得方程①；曲线C2的极坐标方程化为普通方程，得方程②；由①②组成方程组，求出x，利用弦长公式，即可得出结论．解答：解：把曲线C1的参数方程（t为参数），化为普通方程，得y=x2①；曲线C2的极坐标方程ρsin（θ+）=2，化为普通方程，得x+y=4②；由①②联立，消去y，得x2+2x﹣8=0，∴x=2，或x=﹣4，∴|AB|=•|2+4|=6．故答案为：6．点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时先把参数方程、极坐标方程化为普通方程，再解答问题，是基础题．1013•南昌二模）设f（x）=|2x﹣1|，若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是{x|x≤﹣1或x≥2}．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：把f（x）看作是一个参数，问题转化为求的最大值，再把此式看作是关于a的函数，通过分段处理的方式，可获得最值．解答：解：∵不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，∴f（x）大于或等于的最大值，令g（a）=，则当a≤﹣1时，g（a）=；当﹣1＜a＜0时，g（a）=﹣3；当0＜a＜时，g（a）=3；当a时，g（a）=，即g（a）=∴g（a）有最大值g（）=．∴f（x）≥3，即|2x﹣1|≥3，解得x≤﹣1或x≥2．故答案为{x|x≤﹣1或x≥2}．点评：本题属于恒成立问题，解决本题的关键有两个：（1）弄清谁是参数我们习惯上把a当作参数，但由于本题是“对任意实数a≠0恒成立”，所以不等式f（x）≥应看作是关于a的不等式；（2）如何去绝对值符号求函数g（a）=的最大值时，采用了分段处理的方法，分段的依据是以三个临界点﹣1，0，为准则进行讨论，从而顺利地去掉了绝对值符号．三、解答题：本大题共6小蹶．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2sinwxcoswx+2cos2wx﹣1的周期为．（1）求w的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠ABC的对边，f（）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换求得函数f（x）=2sin（2wx+），再根据f（x）的周期为T==，求得w的值．（2）由f（）=2sin（4×+）=1，求得sin（2A+）=，求得A=．再根据a=2，b+c=4，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积为bc•sinA 的值．解答：解：（1）由于函数f（x）=2sinwxcoswx+2cos2wx﹣1=sin2wx+cos2wx=2sin （2wx+）的周期为T==，∴w=2，f（x）=2sin（4x+）．（2）∵f（）=2sin（4×+）=1，∴sin（2A+）=，∴2A+=，求得A=．再根据a=2，b+c=4，利用余弦定理可得a2=4=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc，∴bc=4，∴△ABC的面积为bc•sinA=×4×=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性，余弦定理，属于基础题．18．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．解答：解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=[（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：X 2 3 4 5PEX=2×+3×+4×+5×=．点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．19．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣p，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）当p=2时，数列{a n}满足b1=2，b n+1=b n+a n（n∈N+），求数列{nb n}的前项n和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=2a n﹣p，得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，a1=2a1﹣p，由此能证明{a n}是首项为p，公比为2的等比数列．（2）当p=2时，a n=2n，从而b n+1﹣b n=2n，由此利用累加法能求出b n=2n．从而nb n=n•2n，由此利用错位相减法能求出T n=（n﹣1）•2n﹣1+2．解答：（1）证明：因为S n=2a n﹣p（n∈N*），则S n﹣1=2a n﹣1﹣p（n∈N*，n≥2），所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，整理得a n=2a n﹣1由S n=2a n﹣p，令n=1，得a1=2a1﹣p，解得a1=p，所以{a n}是首项为p，公比为2的等比数列．（2）解：当p=2时，a n=2n，∵满足b1=2，b n+1=b n+a n=，∴b n+1﹣b n=2n，∴b n=b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+b n﹣b n﹣1=2+2+22+23+…+2n﹣1=2+=2n．∴nb n=n•2n，∴T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①2T n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n﹣1+2．点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意累加法和错位相减法的合理运用．20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：（1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间；（2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．解答：解：（1）求导函数，可得（x＞0）若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1﹣a=0，解得a=1∴f（x）=x﹣lnx∴f（x）+2x=x2+b，即x﹣lnx+2x=x2+b，亦即x2﹣3x+lnx+b=0设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0）则g'（x）=2x﹣3+==当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表x （0，）（，1） 1 （1，2） 2g'（x）+ 0 ﹣0 +G（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b﹣2，g（）=b﹣﹣ln2，g（2）=b﹣2+ln2∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴g（）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0∴b﹣﹣ln2≥0，b﹣2＜0，b﹣2+ln2≥0∴+ln2≤b＜2点评：本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．考点：圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，得：，解得p=2，∴抛物线C1：y2=4x；由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上，可得：a2=1，c2=1，∴a=c=1，则b==，∴椭圆C2：；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），直线与抛物线联立，消元可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵，∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2，∴，，∴λ1+λ2==﹣1为定值；（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），∵，∴S（x3+x4，y3+y4），∵，∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①，∵P，Q在椭圆上，∴②，③，由①+②+③得（x3+x4）2+=1．∴点S在椭圆C2上．点评：本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．22．设数列{a n}满足a1=1，a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+）；（1）证明：a n+1＞a n；（2）若b n=（1﹣），证明：0＜b k＜2．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+），化为，作差比较即可证明．（2）由a1=1＞0，a n+1＞a n，可得∀n∈N*，a n＞0，＞0，可得b n＞0，0＜b k．另一方面：b n=＜=，利用“累加求和”即可证明．解答：证明：（1）∵a n3+a n2（1﹣a n+1）+1=a n+1（n∈N+），化为，∴a n+1﹣a n==＞0，∴a n+1＞a n；（2）∵a1=1＞0，a n+1＞a n，∴∀n∈N*，a n＞0，∴＞0，∴b n=（1﹣）＞0，∴0＜b k．另一方面：b n=（1﹣）=＜=，∴b k ＜+…+=2＜2．∴0＜b k＜2．点评：本题考查了“累加求和”、“放缩法”、数列的单调性，考查了数列的变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21。
重庆南开中学高级高三5月月考.docx
重庆南开中学高2013级高三5月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设全集为R ，集合{}12,01A x x B xx ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则R A C B =（ ） A 、[)2,1- B 、[]2,1-C 、[]2,2-D 、[)2,-+∞ 2、若复数()()2232m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A 、0或2B 、2C 、0D 、1或2 3、已知()tan :,:log 42p q f x x αππα<<=在()0,+∞内是增函数，则p q 是的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41a a 等于（ ） A 、3 B 、4 C 、6 D 、75、执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为27，则输入的x 值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、56、已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆22240x y x y m +--+=的周长，则25a b a b +++的最大值为（ ）A 、6B 、4C 、3D 、37、定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数()3cos 21sin 2x f x x=的图象向左平移m 个单位()0m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A 、6πB 、56π C 、3π D 、23π 8、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为A ，延长FA 交双曲线右支于点P ，若A 为线段PF 靠近F 的三等分点，则该双曲线的离心率为（ ）A 、52B 、133C 、5D 、1329、某车队将选派5辆车赴灾区的,,A B C 三地运送救援物资，每地至少派一辆车，其中甲车不派往A 地，则不同的分配方案有（ ）A 、120种B 、112种C 、100种D 、72种 10、设集合()11,()11A x y xy x y x y ⎧⎫⎪⎪=+++-≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，(){}22,1B x y x y =+≤，则在同一直角坐标平面内，A B 所形成区域的面积为（ ） A 、2132π+ B 、12π+ C 、23π+ D 、223π+第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
2014年重庆市南开中学高三高考前最后一模数学文试题
2014年重庆市南开中学高三高考前最后一模数学文试题满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数1i i+（为虚数单位）的模等于（ ）A B 、2C D 、12 2、已知全集{}{},21,ln 0x U R A y y B x x ===+=<，则()U C A B =（ ） A 、φ B 、112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C 、{}1x x < D 、{}01x x << 3、在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则6a =（ ） A 、10 B 、11 C 、12 D 、134、若函数()f x 为偶函数，0x >时，()f x 单调递增，()(),,P f Q f e R fπ=-==，则,,P Q R 的大小为（ ）A 、R Q P >>B 、P Q R >>C 、P R Q >>D 、Q R P >>5、已知三棱锥的三视图如题（5）图所示，则它的体积为（ ）ABCD6、执行如题（6）图所示程序框图，则输出的S 的值为（ ）A 、21B 、25C 、45D 、937、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、[)2ln 22,-+∞B 、(],2ln 22-∞-C 、[)2ln 2,+∞D 、[]2ln 22,2ln 2-8、已知(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA 是圆22:20C x y y +-=的一条切线，A 是切点，若PA 长度最小值为2，则k 的值为（ ）A 、3BC 、D 、29、已知ABC ∆三个内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，且满足2,2cos 2a b C c a =+=，3sin 2cos 262A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则ABC S ∆=（ ）A 、BCD 、210、已知点A 、B 、C 为椭圆2214x y +=上三点，其中A ⎛ ⎝，且ABC ∆的内切圆圆心在直线1x =上，则ABC ∆三边斜率和为（ ）A 、BC 、 D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
重庆南开中学2014届高三数学(文科)9月月考
重庆南开中学高2 01 4级高三9月月考数学试题（文科）本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，第1卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集u =R ，集合A={x|2x>1}，B={x|x 2-3x-4>0}，如题(1)图所示，黑色部分所表示的集合B A ⋂，则阴影部分所表示的集合是() A ．{x|x>0} B .{x|x<-1或x>0} c. {x|-1≤x ≤4} D. {x|0≤x ≤4}2．曲线y= x 3-x+1在点(1，1)处的切线方程为( ) A. y = x-1 B. y = -x+1 C. y = 2x-l D. y = 2x-2 3．函数43)1ln(2+--+=x x x y 定义域为( )A. (-4,-1)B. (-4,1)C. (-1,1)D. (-1,1]4．设x ，y ∈R ，向量)4,2(),,2(),1,(-===→→→c y b x a ，6=(2，y)且→→→→→+⊥c b a c a //)(,，则x+y=( )A ．-7B ．-9C ．5D ．115．已知α为第二象限角，β为第三象限角，且sin α=135,cos β=53-，则 cos(α+β)的值为( ) A ．6516 B ．6556 C ． 6516- D ．6556-6．已知O<a<b<1<c,m=log a c ，n=log b c ，r=a c，则m ，n ，r ，的大小关系是( ) A ．m<n<r B ．m<r<n C ．r<m<n D ．n<m<r7．已知x=l 是函数f(x)=21nx+ ax 2的一个极值点，则f(x)在[21，2]上的最大值和最小值之和为( ) A.2ln 245--B.21n2-5 c.417- D.815- 8：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A, 16+8π B. 8+8π C. 16+16π D. 8+16π9．已知奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当x ∈(1,2)时，f (x)=|11|log 21xx+-，则函数f(x)在区间(2012，2013)上( )A ．是递增的，f(x)<0B ．是递增的，f(x)>0 C. 是递减的，f(x)<0 D ．是递减的，且f(x)>010.已知函数⎩⎨⎧<<+-<<-+=31,1)2(11|,)1(log |)(2x x f x x x f ,若关于x 的方程f 2(x)-af(x)=0有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A. (O,1)B. (1,2)C. [1,2)D. [1,2]第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．函数y=xx 22)31(-的递增区间为 .12．函数11)(2++=x x x f (0≤x ≤2)的值域为 .13．设∆ABC 的内甬A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若b+c=2a ，且3sinA=5sinB 则角C=____．14.已知命题p:幂函数y=122-+m m x 在(0，+∞)上递减．命题q:函数f(x)=333+-mx x在(0，1)上有极小值，若“⌝p 或⌝q ”是假命题，则实数m 取值范围为____． 15．已知函数f(x)= x 2+2x ，若存在实数t ，使得不等式f(x+t)≤4x-l 对任意的 x ∈[1，m]（m>1）恒成立，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题13分）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i ，j)分别表示甲、乙抽到的牌，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况． (2)甲乙约定：若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜。