材料力学 第五章 弯曲应力

1
EyM My s EI z Iz
My s Iz
s
截面上距中性轴为y一点的正应力
M:所求应力截面上的弯矩
Y:所求应力点到中性轴的铅垂距离
I z A y dA
2
是综合反映截面形状、尺寸的量，
称为截面对于中性轴的惯性矩
M EI z
1
1

称为（中性层）挠 曲线的曲率
曲率：是反映曲线弯曲程度的量
M max s WZ
s max [s ]
强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
校核强度： 、校核强度：
M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
设计载荷： M max Wz [s ]; [ P] f (M max )
图示木梁，F=10kN，a=1.2m， 木材的许用应力 [s ] 10MP a
hb Iy 12
3
2、圆形与圆环截面
实心：
Iz I y
空心圆环
d
4
64
Iz I y

64
D
4
d
4

Iz I y
D 4
64
1
4
d D
三、组合截面（由一些规则简单截面组成）惯性矩
1、叠加原理： 总图形对Z轴的惯性矩，等于各简单图形对于Z轴的惯性 矩的和
I x 2dA
A
称：对轴线的极惯性矩
I x dA ( x y )dA I z I y
2 2 2 A A
对x的极惯性矩
I P A dA
2
对z轴的惯性矩
I Z A y dA
2
对y轴的惯性矩
I y Az dA
2
I P A dA
2
属于不同概念，但 他们之间有关联：
4
5-3 梁的强度条件
一、梁的最大正应力
• 梁的危险截面
梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上
危险截面位于梁中部
危险截面位于梁根部
• 梁的最大正应力
梁的最大正应力发生在危 险截面上离中性轴最远处
s max
M max ymax IZ
二、抗弯截面模量
中性轴Z是对称轴时：
s

max
s

max
s max
I z y dA y dA I zΙ I zII
2 2 A1 A2
2、平行移轴公式
（图形对通过形心轴Z<形心轴>的惯性矩一般已知，求对于另 一根与z轴平行的轴Z1的惯性矩，通过平行移轴公式计算）
I z1

2 y1 dA
A
I z1 ( y a ) 2 dA
2 63 2 I zI I z 1 I a I AI 2 2 12 84cm4 12 6 23 2 I zII I z 2 II a II AII 2 2 12 52cm4 12
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
I z I zI I zII 84 52 136cm
4
P1=9kN A C 1m
弯 矩 图 反 了
P2=4kN B D 1m
-4kNm x
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
目录
解：
（1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）根据 s max
M max
M max s 计算 Wz
Wz
s
(6.7 50) 103 9.5 4 140106
962106 m3 962cm3
（4）选择工字钢型号
3 36c工字钢 Wz 962cm
（5）讨论 q 67.6kg/m 载荷合力布置
3.推论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
4、变形的几何关系：
中性层弯曲前后的长度不变： 距中性层为y的一层ab原长：
O1O2 dx d ab dx d
距中性层为y的一层ab变形后的长度
a1b1 ( y)d
sAL
3
M B y1 Iz
M B y2 Iz

4 52 27.2MPa 8 76310
4 88 46.2MPa 8 76310
sA y
4

G
y1
y2
校核强度
A2
A3 y2
A4
s L max 28.2 s L
s y max 46.2 s y
第五章
弯曲应力
5-1 梁弯曲时的正应力
剪力Q
剪应力t 正应力s
内力
弯矩M
从重要性或方便性而言，主要研究正应力
a A
P
P
B
一、纯弯曲(Pure Bending):
a 某段梁的内力只有弯矩 常量）没有剪力时，该段
Q x
梁的变形称为纯弯曲。如
AB段。
x M 各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲
A

A
y 2 dA 2a ydA a 2 dA
A A
因为中性轴 通过形心

A
ydA 0
I z1 I Z a A
2
I z1 I Z a A
2
图形对Z1轴的惯性矩等于： 图形对Z轴的惯性矩+图形面积与两轴距离平方的乘积
四、型钢的几何量：查表
例5-2
求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.
假设：纵向纤维互不挤压。任意一点均处于单项应力状态
弯曲正应力分布规律
y s E E
M
M
四、静力学关系分析
横截面上没有轴向力
s A dA 0
s E E
y

E
A

ydA
E

A
ydA 0
所以

A
ydA 0
质心坐标

A
ydA yc A S z yc 0
公式说明，梁弯曲的程度，与弯矩成正比
EI Z
称为截面抗弯刚度
说明：
My s Iz
适合于平面弯曲（具有纵对称面）的任 何截面的梁，如圆形、T形、工字形
公式是纯弯曲条件推导出来的，也可以用剪切弯曲
弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲 正应力公式对于横力弯曲近似成立。
同一截面上，既有拉应力也有压应力。一般不区分正负， 可由弯矩的方向决定。
例5-1 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布
载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面 的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。
（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的弯矩图如图5-8b 所示， 由图知梁在固定端横截面上 的弯矩最大，其值为
Ab的应变为：
a1b1 ab ( y)d d y ab d
梁横截面上各点的应变，与到中性轴的距离y成正比
三、应力和变形的关系（物理关系）
由虎克定律
s E
y 应用到梁： s E E
与中性轴距离相等的点，正应力相等 正应力大小与其到中性轴距离成正比
横截面高宽比： h
b
2
求b，h。
1、做弯矩图确定危险截面
M max 12k Nm
2、由强度条件确定抗弯 截面系数
M max 12 106 Nmm Wz 12 105 mm3 N [s ] 10 mm2
3、确定尺寸
bh WZ 12 105 6
2
b( 2b) 12 10 5 6
静矩，面积矩 中性轴必然通过横 截面的形心
yc A 0 A0
正应力的合成等于截面上的弯矩M


A
A
ysdA M
y s E E
E
y(
E

y )dA

2

A
y 2 dA M
令：
I z A y dA
EI z
于是

M
再由
y s E E
Ey
得：
即
M EI z
A ( y z )dA
2 2
A y dA A z dA I z I y
2 2
二、简单截面的惯性矩 1、矩形截面
h 3 2 h 2
y I z y dA h y bdy b 2 3 A
2 2
h 2
bh 12
3
bh Iz 12
3
同理：
T字头在上面合理。
G
y1 A4
（1） 确定总形心和中性轴的位置
将截面划分为Ⅰ 、Ⅱ两矩形，取 与截面底边相重合的z 轴为参考 轴
yC
Ai yi
A
AI y AII y I II AI AII
12 5 121 3cm 12 12
即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。
（2）求各组合部分对中性轴z的惯性矩
M
max
ql 2 600012 3000 N m 2 2
（2）求最大应力