【金版学案】高考数学总复习 第二章 第五节指数与指数函数课时精练试题 文(含解析)
第5节 指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。
2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数I第五节指数与指数函数学案理含解析.doc
第五节指数与指数函数[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，分值为5分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算‖知识梳理‖1．根式的性质(1)(na)n＝1a(a使na有意义)．(2)当n是奇数时，na n＝2a；当n是偶数时，na n＝3|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，4－a，a<0.2．分数指数幂的意义(1)amn＝5na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)a－mn＝61amn＝71na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝8a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝9a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝10a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0且a≠1)图象a>10<a<1(1)画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．(4)指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位长度后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数. ( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、走进教材2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．3答案：C3．(必修1P 59A 6改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( )A ．y ＝a (1＋p %)x (0<x <m )B ．y ＝a (1＋p %)x (0<x ≤m ，x ∈N )C ．y ＝a (1＋xp %)(0<x <m )D ．y ＝a (1＋xp %)(0<x ≤m ，x ∈N ) 答案：B 三、易错自纠4．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝26×12－1＝23－1＝7.故选B ．5．当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点________． 解析：令x －2＝0，则x ＝2， 此时f (x )＝1－3＝－2，故函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)6．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数， ∴0<a －2<1，即2<a <3. 答案：(2，3)考点 指数幂的运算|题组突破|1．求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5.解：原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. 2．化简：56a 13×b －2×(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.3．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)． 解：原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a32+16－1+13b1+13－2－13＝ab －1＝a b.►名师点津考点一 指数函数图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)已知f (x )＝|2x －1|，当a <b <c 时，有f (a )>f (c )>f (b )，则必有( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b >0，c >0 C ．2－a <2cD ．1<2a ＋2c <2[解析] (1)由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；又当x ＝0时，f (x )＝0，排除C ．(2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a <b <c ，且有f (a )>f (c )>f (b )，所以必有a <0，0<c <1，且|2a －1|>|2c －1|，所以1－2a >2c －1，则2a ＋2c <2，且2a ＋2c >1.故选D ．[答案] (1)A (2)D ►名师点津有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．|跟踪训练|1．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，所以A项错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，D 项正确．故选D ．2．(2019届唐山模拟)当x ∈[1，2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤12，2B ．⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2] C ．⎣⎡⎦⎤14，2D ．⎣⎡⎦⎤14，2解析：选B 当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2]．故选B ．考点二 指数函数的性质及应用——多维探究高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．●命题角度一 比较指数式的大小【例2】 (2019届大连模拟)设y 1＝0.90.2，y 2＝0.90.4，y 3＝1.20.1，则( ) A ．y 2>y 1>y 3 B ．y 3>y 1>y 2 C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2[解析] 对于y 1＝0.90.2，y 2＝0.90.4，y 3＝1.20.1，∵y ＝0.9x 在R 上是减函数，故有1>y 1>y 2. ∵y ＝1.2x 在R 上是增函数，y 3＝1.20.1>1.20＝1， ∴y 3>y 1>y 2，故选B ． [答案] B ►名师点津比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．●命题角度二 与指数函数有关的函数值域问题 【例3】 已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．[解析] 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.[答案] 52►名师点津形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0且a ≠1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令t ＝a x 转化为y＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．●命题角度三 探究指数型函数的性质【例4】 (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．[解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B ．(2)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．[答案] (1)B (2)(－∞，4] ►名师点津与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．|跟踪训练|3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c .故选C ．4．(2019届福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x >0，则满足f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是______________．解析：由题意知，当x >0时，f (x )单调递增，故f (x )>f (0)＝0，而x ≤0时，x ＝0， 故由f (x 2－2)>f (x )，则x 2－2>x ，且x 2－2>0， 解得x >2或x <－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点 指数函数性质的创新应用【例】 设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1[解析] 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D ．[答案] D ►名师点津根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解．|跟踪训练|(2019届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数f (x )的图象上；②点A ，B 关于坐标原点对称，则(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“姊妹点对”有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 依题意知，“姊妹点对”(A ，B )满足：点A ，B 都在函数f (x )的图象上，且点A ，B 关于坐标原点对称．作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可．当x ＝1时，0<2e x <1，观察图象可得它们有2个交点，即f (x )的“姊妹点对”有2个，故选C ．。
【高考数学总复习】(第5讲)指数及指数函数(33页)
1
22
2． 2
2．定义域为[1,1]，由单调性可知
( 1 )1 ≤ ( 1 ) 1x2 ≤ ( 1 )0，即 1 ≤ y ≤ 1.
33
3
3
3．（1）函数的定义域为 R.函数的值域为（0, 1 ]. 256
（2）函数 y ( 1 )x26 x17在[3, )上是减函数. 2
同理可知 y ( 1 )x26 x17在(, 3]上是增函数. 2
(2)由图象指出其单调区间.
解 (2)由图象知函数 y (1)|x1|在 , 1上是增
3
函数,在 1, 上是减函数.
数形结合思想
21
回顾反思
（1）思想方法：指数型函数的作图一般从最基本的 （2）指知数能函提数升入：手带,有通绝过对平值移的,伸函缩数,图对象称，变一换般得有到两. 种方法，一是去掉绝对值作图，二是不去绝对值, 如 y f ( x )可依据函数是偶函数，先作出函数 f ( x)( x ≥ 0)的图象； x 0时的图象只需将函数 f ( x)( x ≥ 0)的图象关于 y 轴对称即可；又如函数 y f ( x) 的图象，可先作出函数 y f ( x)的图 象，然后保留 x 轴上方图象，将下方图象关于 x 轴 对称即可得函数 y f ( x) 的图象.
1
1
3
2
14
解 原式 [(2 3)2 ]2 - (33 )6 (24 )4 - 2 (23 )3 25 25
2
3
1
32
23
2 22
14
25 5
2 3 3 8 8 2 4.
(2
1
高考数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数课时作业文(含解析)
第五节指数与指数函数_121.(0.027) — 3——7 + 29 2—(护—1)。
=()A. 45 B . 40 C.— 45 D . — 4025 110 59 2— 1= 3 — 49+ 3— 1 = — 45.故选 C.答案：C 2.已知全集 U = R, A = {x|y = ,：2x — 1}，则？iA =()A. [0 ,+s )B. (— a, 0)C. (0，+a )D. ( —a, 0]解析：集合A 即函数y = 2x— 1的定义域，由2x—1>0,求得x >0,即卩A = [0，+a ), 故?U A =( 一a, 0)，故选B.答案：B 3. （2013 •北京东城区模拟）在同一坐标系中，函数y = 2x与y = 2 %的图象之间的关系 是（）A. 关于y 轴对称B. 关于x 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y = x 对称1 x解析：因为y = 2 = 2—x,所以它与函数 y = 2x的图象关于y 轴对称.故选 A.答案：A27解析：原式=1 000 3— 724.答案：C已知函数y = 2x-a x（a 丰2）是奇函数，则函数 y = log a x 是（）解析：因为函数y = 2x- a x（a 工2）是奇函数，所以必有 2x-a x=-（2-x -a -x）,化简可得(2x-a x) 1 -2^ = 0，因为a z 2,所以2x-a — 0,所以必有1 - J x = 0,2 a 2 a1解得a = 2，故y = log a x = log 1x 是减函数.故选2 答案：B设函数 f(x) = a -|x|(a>0 且 1), f(2) = 4,2 1解析：因为f （2） = 4,即a -2= 4，所以a = 2，所以f （x ） 1），故选A.答案： A7.已知函数f(x) = a x+ a -x(a >0 且 a z 1)，且 f(1) = 3,解析： ••• f(1) 1=a + =a3, f(0) = 2,f(2)= 2 -二 a + a-2 z=(a + a 丫— 2= 7, ••• f(1)+ f(0) + f(2)= 12. 答案： 12&若x > 0, 13 13 , 1则(2x 4 + 32)(2x 4 - 32) - 4x —二(x - x2)=答案： -232f(0) + f(1) + f(2)的值是则 5. A . 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 增函数或减函数B.6. A. f( - 2)>f( - 1) B. f( - 1)>f( - 2) C. f(1)>f(2)D. f( - 2)>f(2)1 - l xl2=2|x|，所以 f( — 2)>f(—标是9. （2014 •徐州模拟）已知过点O的直线与函数y= 3的图象交于A, B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y= 9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐解析：设点A B 的横坐标分别为 x i , X 2，则点A 、B 的纵坐标为3x i , 3x 2,•••点 C(x i , 9x i )，且 BC//x 轴， 9x i = 3X 2,「. 2x i = X 2.匚3x i 3x 2小 将 2x i = X 2 代入—= ，得 x i = log 32.x i X 2答案：log 32a x- 110.已知函数 f(x) = (a>1). a + 1(1)判断函数的奇偶性； ⑵求该函数的值域；⑶证明：f(x)是R 上的增函数.—XXa 一 1 1 一 a解析：(1)解析：T 定义域为 R,且 f( — x) = -x= , x =— f(x)，二 f(x)a 十I I 十aXa 十 1 — 2 2 ⑵解析：f(X) = X 「= 1— v 存a 十1a 十12••，十 1>1,「. 0< x 丄 <2,即 f(x)的值域为(—1 , 1).a 十1 、十卄 r 厂ax 1 — 1 ax 2 — 12ax 1⑶证明：设 X1, X 2€R且 X1<X2,f(x 1)—f(X2)= a — 1 - ax 2+ 1= (ax 1+1)<0(分母大于零，且 ax 1<ax 2),••• f(x)是R 上的增函数.11. 已知函数f(x) = a ・2 x+ b ・3 %，其中常数a , b 满足ab ^ 0.(1) 若ab>0,判断函数f(x)的单调性； (2) 若ab<0,求f(x 十1)>f(x)时x 的取值范围.解析：⑴ 当a>0, b>0时，任意X 1, X 2^ R, X 1<X 2，贝U f(x 1) — f(x 2) = a(2x 1 — 2x 2)十 b(3x 1 — 3x 2). ■/ 2x 1<2x 2, a>0? a(2x 1 — 2x 2)<0 , 3x 1<3x 2, b>0? b(3x 1 — 3x 2)<0 ,• f(x 1) — f(x 2)<0，函数f(x)在R 上是增函数. 当a<0, b<0时，同理，函数f(x)在R 上是减函数.•/ A B 在过点0的直线上,3x i 3x 2X i — X 2是奇函数.2ax 2(ax 2+ 1)(2) f(x 十1) —f(x) = a・2X十2b ^3 x>0.当a<0, b>0 时,3 x a2 >—2b，则x>log 1.5a2b；3 x a2 <-2b ，贝V x<l°g 1.5当 a>0, b<0 时, a2b -。
《金版新学案》2020高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第5课时指数与指数函数精品练习 理 北师大版
第2章 第5课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1 D ．y ＝1－2x解析： ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域是正实数， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x 的值域是正实数． 答案： B2.⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋－13372964的值为( ) A ．0 B.89C.43D.29 解析： ⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋－13372964＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23323－13⎝ ⎛⎭⎪⎫943 ＝49－49＝0. 答案： A3．函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于下列哪种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．原点中心对称 解析： 由y ＝－3－x 得－y ＝3－x ，(x ，y )→(－x ，－y )，即关于原点中心对称．答案： D4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域是( ) A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析： ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥12. 答案： D5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( ) A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 解析： y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＝21.5， ∵y ＝2x 在R 上是增函数，∴y 1＞y 3＞y 2.答案： D 6．(2020·山东青岛一模)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交于函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D ．(0,1)解析： 设点A 的横坐标为x 0，则A (x 0,2x 0)，C (x 0,4x 0)，B (2x 0,22x 0)．∵A 、B 两点在过原点的同一条直线上，∴2x 0x 0＝22x 02x 0，解得x 0＝1.∴A (1,2)． 答案： A二、填空题7．函数f (x )＝a x (0＜a ＜1)，x ∈[1,2]的最大值比最小值大a2，则a 的值为________． 解析： 由已知可得a 2＝a －a 2(0＜a ＜1)，解得a ＝12. 答案： 128．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x x ≥0x －2 x ＜0，若f (x 0)＜1，则x 0的取值范围是________．解析： 当x 0≥0时，由f (x 0)＜1，可得2－x 0＜1，解得x 0＞0； 当x 0＜0时，同理可得x 0－2＜1，解得x 0＜－1.综上可得x 0的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．答案： (－∞，－1)∪(0，＋∞)9．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析： [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.答案： 1三、解答题10．若函数y ＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域．【解析方法代码108001016】解析： ∵函数y ＝a ·2x －1－a2x －1，∴y ＝a －12x－1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0， ∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0. ∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}． 11．已知2x 2＋x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域． 【解析方法代码108001017】解析： ∵2x 2＋x ≤2－2(x －2)，∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1.又∵y ＝2x －2－x在[－4,1]上为增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1. 故所求函数y 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25516，32. 12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)，(1)试确定f (x )； (2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ·a ＝6 ①b ·a 3＝24 ② ②÷①得a 2＝4，又a ＞0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56， 故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.。
2021年高考数学一轮复习 第二章 第五节 指数与指数函数演练知能检测 文
2021年高考数学一轮复习 第二章 第五节 指数与指数函数演练知能检测文1．化简a 23·b －1－f(12·a －12·b 13,6a ·b 5)(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a解析：选D 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .2．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C D解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0， 所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)， 结合选项可知选C.3．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0}，N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1) 解析：选D ∵f (g (x ))>0， ∴g 2(x )－4g (x )＋3＞0，∴g (x )＞3或g (x )＜1，∴M ∩N ＝{x |g (x )<1}． ∴3x－2＜1,3x＜3， 即x <1.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a ＞c ，故a ＞c ＞b . 5．(xx·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －8x ＜0，x 2＋x －1x ≥0，若f (a )＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 解析：选B 由f (a )＞1知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a－8＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋a －1＞1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ＜－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＜－2或a ＞1，即a ＜－2或a ＞1.6．(xx·荆州模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.7．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x 1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.答案：－238．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.答案：529．(xx·金华模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x 1，y 2＝3x 2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x 132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32 10．函数f (x )＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝B 的实数a 的取值范围．解：由2＋xx －1≥0，解得x ≤－2或x ＞1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋x ⇔2x ＜a ＋x ⇔x ＜a ，所以B ＝(－∞，a )． 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2， 即a 的取值范围是(－∞，－2]．11．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e －2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e－(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，故g x ＋yg x －y＝3.12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.[冲击名校]1．若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1)解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．2．对于函数f(x)，如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)＝2x，g(x)＝2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m－n|的最大值为________．解析：因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，[m，n]⊆[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1.答案：1[高频滚动]1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，且当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( ) A．(－1,0) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选C 由题意f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1,1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜－1.2．已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若存在实数a，b，使得f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋ 2.32226 7DE2 緢-20617 5089 傉• 40178 9CF2 鳲ql35267 89C3 觃 6O34012 84DC 蓜。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第5节指数与指数函数教师用书
第五节 指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．( × )(2)(－1)＝(－1)＝．( × )(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × )(4)函数y ＝2x 是指数函数．( √ )(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．( × )2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________． 解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－ 解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1 指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D 解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD 解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________． 解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－ 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2 指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A 解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1) 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD 解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1] 解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤ 解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3 指数函数的性质及应用——应用性考向1 比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A 解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2 解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0} 解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3 指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1] 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞) 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4 指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－ 解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1 解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B 解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C 解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A 解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A 解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A 解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。
高考数学复习指数与指数函数-重难点题型精练(解析)
专题2.12 指数与指数函数—重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题(共8小题，满分40分,每小题5分）1．（5分)（2020秋•绍兴期末）设m ，n 都是正整数，且n ＞1，若a ＞0,则不正确的是（ ）A ．a mn=√a m nB ．(a 12+a −12)2=a +a −1C ．a−m n=1√a mnD ．a 0＝1【解题思路】利用根式与有理指数幂的互化可判断选项A ，C ,利用完全平方式展开可判断选项B ，利用a 0恒为1可判断选项D ． 【解答过程】解：对于选项A ，根据根式与有理指数幂的互化可得a mn=√a m n，故选项A 正确；对于选项B ，(a 12+a−12)2=a +a −1+2,故选项B 错误;对于选项C ，根据根式与有理指数幂的互化可得a −m n=√a mn，故选项C 正确； 对于选项D ，a 0＝1,故选项D 正确． 故选:B ．2．(5分）（2021•西安模拟）已知3a ﹣1+3a ﹣2+3a ﹣3＝117，则（a +1)（a +2)(a +3）＝( ）A ．120B ．210C ．336D ．504【解题思路】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答过程】解：∵3a ﹣1+3a ﹣2+3a ﹣3＝117，∴3a 3+3a 9+3a 27=117，∴9•3a +3•3a +3a ＝117×27，∴13•3a ＝117×27，∴3a ＝9×27，∴a ＝5， ∴(a +1)（a +2）（a +3）＝6×7×8＝336． 故选：C ．3．(5分）(2021•丰台区模拟）已知函数f (x ）＝2x ，下列说法正确的是（ ) A ．f （mn )＝f （m ）f （n ） B ．f （mn ）＝f (m )+f （n ）C ．f (m +n ）＝f (m ）+f （n ）D ．f （m ）f （n ）＝f （m +n ）【解题思路】利用函数解析式的含义以及指数的运算性质进行判断即可．【解答过程】解：因为f（x）＝2x，所以f（mn）＝2mn，而f(m）f（n）＝2m•2n＝2m+n＝f（m+n)，故选项A,B错误，选项D正确；f(m+n）＝2m+n,f（m）+f（n)＝2m+2n，故选项C错误．故选：D．4．（5分)（2021•淮南一模）设a=(47)37，b=(37)47，c=(47)47,则a,b，c的大小关系是（（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【解题思路】由题意利用幂函数、指数函数的单调性,判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：设a=(47)37，b=(37)47，c=(47)47,∵函数y=x 47是（0,+∞)的增函数，37＜47，∴b＜c．∵当0＜a＜1时,函数y=(47)x是R上的减函数，37＜47，∴(47)37＞(47)47，即a＞c，则a，b,c的大小关系为a＞c＞b,故选：A．5．（5分)（2020秋•安徽期末）已知函数y＝a x﹣b（a＞0,a≠1)的图象如图所示,则以下结论不正确的是（）A．a b＞1B．ln（a+b）＞0C．2b﹣a＜1D．b a＞1【解题思路】根据函数y＝a x﹣b（a＞0，a≠1）的图象与性质，得出a＞1且0＜b＜1,再判断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】解：根据函数y＝a x﹣b（a＞0,a≠1）的图象知，函数y＝a x﹣b是单调增函数,所以a＞1，又x＝0时，y＝1﹣b，所以0＜1﹣b＜1,解得0＜b＜1．所以y＝a x是单调增函数,a b＞a0＝1,选项A正确；由a+b＞1，得ln(a+b）＞0,选项B正确；由b﹣a＜0，得2b﹣a＜20＝1，选项C正确;y＝b x是单调减函数,b a＜b0＝1，选项D错误．故选:D．6．（5分）（2020秋•玉林期末）已知函数f（x）＝a x﹣3+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（m，n），则（）A．log m n＞log n m B．2m＜3nC．2log2m＜3log3n D．m m＜n n【解题思路】根据指数函数的图象与性质求出f（x)的图象所过定点坐标，得出m、n的值,再判断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】解：函数f（x)＝a x﹣3+1中,令x﹣3＝0，解得x＝3，所以y＝f（3）＝a0+1＝2，所以f(x）的图象恒过定点（3，2），所以m＝3，n＝2，对于A，log m n＝log32＜log23＝log n m，所以A错误；对于B,2m＝8,3n＝9，所以2m＜3n，选项B正确；对于C,2log2m＝2log23＝log29＞3log3n＝log323，所以C错误；对于D，m m＝33＞22＝n n，所以D错误．故选：B．7．(5分）（2020秋•罗湖区期末）已知f（x）＝｜2x﹣1|，若f（a）＝f（b）（a≠b)，则a+b的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0,+∞）D．（1，+∞)【解题思路】根据对a，b范围进行讨论,结合基本不等式即可求解．【解答过程】解：函数f(x）＝｜2x﹣1｜．若f（a）＝f（b)（a≠b），不妨设a＜b；①当a＜b＜0时，由f（a）＝f（b），可得1﹣2a＝1﹣2b，即a＝b,不成立②当0＜a＜b时，由f（a）＝f(b），可得2a﹣1＝2b﹣1，即a＝b，不成立②当a＜0＜b时,由f（a)＝f（b)，可得1﹣2a＝2b﹣1,那么2a+2b＝2．∴2＝2a+2b≥2 √2a⋅2b=2√2a+b．（当且仅当a＝b取等号）∴2a+b＜1 （等号不成立)，∴a+b＜0．故选：B．8．(5分)(2021•洛阳模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数"为：设x∈R，用［x］表示不超过x的最大整数，则y＝［x］称为高斯函数,也称取整函数，如：[﹣3。
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用1课时 函数及其表示精品课件 文 北师大版
)
B．(－∞，2) D．[1,2)
x－1≥0 x≥1 要使函数有意义，只须 ，即 ， 2 － x ＞ 0 x ＜ 2
∴1≤x＜2.
答案： D
• 2．函数y＝x2－2x的定义域是{0,1,2}，则该 函数的值域为( ) • A．{－1,0} B．{0,1,2} • C．{y|－1≤y≤0} D．{y|0≤y≤2} • 解析： 代入求解． • 答案： A
• 2．函数的定义域、值域 集合 A • 在函数 y ＝ f(x) ， x∈A 中， x 叫做自变量， 叫做函数的定义域；与 x 函数值的集合{ f(的值相对 x)|x∈A} 应的y值叫做函数值， 叫 做函数的值域． 定义域 对应关系 值域 • 3．函数的构成要素为： 、 定义域 和 ．由于值域是由定义域和对应关 对应关系 相等 系决定的，所以，如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这 两个函数 ．
知识 点
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实 指数 数指数幂的意义，掌握幂的运算． 与指 3.理解指数函数的概念，理解指数函 数函 数的单调性与指数函数图象通过的特 数 殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模 型． 1.理解对数的概念及其运算性质，知
知识 点
任意 元素x 都有 如果按某一个确 唯一确定 元素y 集合
定的对应关系f， f：A→B 使对于集合A中的 一个 ，在 集合B中
• 【思考探究】 1.映射与函数有什么区别？ • 提示： 函数是特殊的映射，二者区别在 于映射定义中的两个集合是非空集合，可 以不是数集，而函数中的两个集合必须是 非空数集．
3．下列各组函数中表示同一函数的是( A．f(x)＝x与g(x)＝( x)2 B．f(x)＝|x|与g(x)＝ x3
2020年高考数学一轮复习教案：第2章 第5节 指数与指数函数(含解析)
第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n ＞1，n ∈N *表示 当n 是奇数时，a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作n0＝0根式概念 式子n a 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时，na n ＝a当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜0(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(0,1) 过定点当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4. ()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1. ()(3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2C.14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题.易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)已知函数f (x )＝3＋a 2x －4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (3)若曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 只有一个公共点，则实数k 的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )A B C D(3)已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1，故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到，故选B. (3)①当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜3a ＜2，即0＜a ＜23； ②当a ＞1时，如图②，而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343，b ＝925，c ＝12113，则( ) A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ，c ＝12113＝1123＞923＝a ，所以c ＞a ＞b .故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略数的性质 等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u ＝－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a ≥6.(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则0＜y ≤2. 即函数y ＝2－x 2＋2x 的值域为(0,2]．]。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.5 指数与指数函数学案(文,含解析)新人教A版
学习资料2.5指数与指数函数必备知识预案自诊知识梳理1.根式(1)根式的概念x n=a ⇒(2)根式的性质①(）n=a（n∈N*)。
②2。
实数指数幂(1）分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是（a>0,m，n∈N*,n>1）。
②正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N＊,n>1)。
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义。
(2）有理数指数幂的运算性质①a r a s=(a〉0，r，s∈Q)。
②(a r）s=(a>0，r，s∈Q)。
③（ab)r=(a〉0，b〉0，r∈Q）。
(3）无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a〉0,α为无理数）是一个的实数.整数指数幂的运算性质于实数指数幂。
3.指数函数的图象和性质函数y=a x（a>0，且a≠1)0〈a〈1a〉1图象图象特征在x轴，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升续表性质定义域值域单调性在R上在R 上函数值变化规律当x=0时，当x<0时,;当x>0时,当x〈0时,；当x〉0时,1。
指数函数y=a x(a〉0,且a≠1)的图象过三个定点：(1,a）,（0,1）,。
2。
指数函数y=a x与y=b x的图象特征，在第一象限内，图象越高,底数越大;在第二象限内,图象越高,底数越小。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√",错误的画“×”.(1）=π-4.（）（2)与(）n都等于a（n∈N*)。
（) （3)(—1=(-1。
(）（4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.（）(5)若a m>a n,则m〉n.()2。
（2020山东实验中学月考，3)已知m<n<1,则有()A。
m>n〉0 B.0〉m〉nC.n〉m〉0D.0>n>m3。
（2020广东广州模拟，4)已知函数f（x)=x,则不等式f（a2-4)〉f(3a)的解集为()A.(-4,1）B。
高考数学一轮复习第2章第5节指数与指数函数课时分层训练文北师大版34
课时分层训练(八) 指数与指数函数A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图像是( )A B C DB [f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.所以f (x )的图像在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．]A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aD [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数，35＞25，∴b ＜c . 又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35＞25， ∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ，故选D.]3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上为减函数， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.] 5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482056】A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3， 因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0； 当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．]二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.] 7．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________.【导学号：66482057】(1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]8．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．m ＞n [∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n .]三、解答题9．求不等式a 2x －7＞a 4x －1(a ＞0，且a ≠1)中x 的取值范围．[解] 设y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，若0＜a ＜1，则y ＝a x 为减函数，∴a 2x －7＞a 4x －1⇔2x －7＜4x －1，解得x ＞－3；5分若a ＞1，则y ＝a x 为增函数，∴a 2x －7＞a 4x －1⇔2x －7＞4x －1，解得x ＜－3. 9分综上，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－3，＋∞)；当a ＞1时，x 的取值范围是(－∞，－3). 12分10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数． (1)求a 的值和函数f (x )的定义域；(2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0.[解] (1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x－a ，即1－a 2x ＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a 1－2x ，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12. 3分 又2x －1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 5分(2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3). 8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞). 12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.【导学号：66482058】e [由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x ＜1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x ＜1时，f (x )＞e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.]3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[解] (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 2分对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数. 5分(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况． 当x ＞0时，要使f (x )＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0， 即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12a x －1＞0，9分 即a x －1＞0，a x ＞1，a x ＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a ＞1时，f (x )＞0. 12分。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第5课时 指数与指数函数学案(含解析)(1)(20
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指数与指数函数1．根式：（1) 定义：若a x n=，则x 称为a 的n 次方根① 当n 为奇数时，n a 的次方根记作__________;② 当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作________（a >0)。
(2） 性质： ① aa n n=)(;② 当n 为奇数时，a a n n=;③ 当n 为偶数时,=n n a _______＝ ⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 2．指数： （1） 规定:① a 0＝ （a ≠0); ② a —p＝ ； ③ (0,mn mnaa a m => 。
（2） 运算性质： ① a a a as r s r,0(>=⋅+ (a 〉0, r 、∈s Q ）② a a as r sr ,0()(>=⋅ （a>0, r 、∈s Q )③ >>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( (a〉0, r 、∈s Q ） 注:上述性质对r 、∈s R 均适用. 3．指数函数：① 定义:函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域基础过为 ；3） 当________时函数为减函数，当_______时为增函数. ② 函数图像：1） 过点 ，图象在 ；2） 指数函数以 为渐近线(当10<<a 时,图象向 无限接近x 轴，当1>a 时，图象向 无限接近x 轴）；3）函数x xa y a y -==与的图象关于 对称。
2022届《金版学案》高考数学总复习 第五节 指数与指数函数
3 2÷
3)6；
1
23
(2)[(0.0645)－2.5]3－
338－π0；
1
2
1
(3)56a3·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a3·b－3)2；
(4)
a3b22
11
ab2
1(a>0，b>0)．
1
（a4b2）4a－3b3
1
1
解
：
3－ (1)38 3
＋
160.25
－
(
3 2÷
3
)6＝
27
8
命 角度
考向预测
1.指数幂的运算 2.指数函数的图 象及应用 3.指数函数的性 质及应用
核心 数学运算、直观 素养 想象
1．指数与指数运算 (1)根式的性质． ①(n a)n＝a(a 使n a有意义)． 提示：负数没有偶次方根．
②当 n 是奇数时，n an＝a；
当 n 是偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0. (2)分数指数幂的意义．
注意 与 a 的取值有关，应分 a>1 与 0<a<1 来研
究
1．指数函数图象的画法． 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个 关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a. 2.指数函数的图象与底数大小的比较． 如图是指数函数：(1)y＝ax，(2)y＝bx， (3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以 下规律：在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图 象越高，底数越大．
解析：3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4＝1＋ 2＋|1－ 2|＝2 2.
最新高考数学(文)一轮教学案：第二章第5讲 指数与指数函数 Word版含解析
第5讲指数与指数函数考纲展示命题探究考点指数与指数函数1根式的概念根式符号表示备注若x n＝a，则x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数na0的n次方根是0当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根(1)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝2k －1(k ∈Z )，|a |， n ＝2k (k ∈Z ).(2)(n a )n ＝a (a 必须使na 有意义)． 2 分数指数幂的意义(1)a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，n >1)； (2)a － m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m 、n ∈N *，n >1)．3 有理数指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．4 指数函数概念及性质(1)指数函数的概念函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．说明：形如y＝ka x，y＝a x＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．(2)指数函数的图象和性质底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数(1)当指数函数的底数大于1时，底数越大，图象上升越快；当底数大于0且小于1时，底数越小，图象下降越快．(2)指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.1．思维辨析(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．()(2)2a·2b＝2ab.()(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．()(4)若a m<a n(a>0且a≠1)，则m<n.()(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．()(6)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×2．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的关系为()A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m<n答案 D解析∵0<5－12<1，∴f(x)＝ax＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫5－12x，且f(x)在R上单调递减，又∵f(m)>f(n)，∴m<n，故选D.3．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案 D解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.[考法综述]高考中考查内容多以指数函数的图象和性质为主，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现．命题法指数的运算性质，指数函数的图象及性质典例(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝log x(x2＋0.3)(x>1)，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．b<c<a(2)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝a x＋k的图象可能是()(3)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________．[解析](1)∵x>1，∴c>log x x2＝2，又1<a＝20.3<2,0<b＝0.32<1，则b<a<c.故选B.(2)由函数y＝kx＋a的图象可得k<0,0<a<1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1<k<0.函数y＝a x＋k的图象可以看成把y＝a x的图象向右平移－k个单位得到的，且函数y＝a x＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B.(3)曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0<k<1.[答案](1)B(2)B(3)(0,1)【解题法】与指数函数有关问题的解题思路(1)利用指数函数性质时，一般应画出指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象，抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)指数函数的单调性是由底数a 决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a答案 C解析 由指数函数及对数函数的单调性易知0<2－13 <1，log 213<log 21＝0，log 12 13>log 1212＝1, 故选C.2.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)答案 C解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )答案 B解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.4．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案10解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lg x ＝12，得x ＝10 12＝10.5．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析由题意得⎩⎨⎧e b＝192e 22k ＋b ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192e 11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e33k ＋b＝(e11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．已知函数y ＝b ＋a x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－1,0]上有y max ＝3，y min ＝52.试求a ，b 的值．[错解][错因分析] 错误地认为函数在区间上的最大(小)值就是区间端点的值．[正解] 当a >1时，函数y ＝b ＋a x 在区间[－1,0]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋a －1＝52，b＋a 0＝3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.当0<a <1时，函数y ＝b ＋a x 在区间[－1,0]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋a －1＝3，b ＋a 0＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．[2021·冀州中学热身]下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x答案 B解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的值域是正实数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数．故选B.2. [2021·枣强中学热身]已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 ，b ＝2－43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B解析 把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 ，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ，即b <a <c .3．[2021·冀州中学周测]设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 若a <0，则由f (a )<1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，所以－3<a <0，若a ≥0，则由f (a )<1得a <1，所以0≤a <1.综上，a 的取值范围是－3<a <1，即(－3,1)．4．[2021·衡水二中一轮检测]已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11答案 B解析 ∵f (x )＝2x ＋2－x ，f (a )＝3，∴2a ＋2－a ＝3.∴f (2a )＝22a ＋2－2a ＝(2a ＋2－a )2－2＝9－2＝7.5．[2021·衡水二中猜题]若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．6．[2021·枣强中学月考]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 答案 D解析 由－x 2＋x ＋2≥0知，函数定义域为[－1,2]，－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.当x ≥12时，u (x )＝－x 2＋x ＋2递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域上递减，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.7．[2021·衡水二中预测]不等式2－x 2＋2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 答案 {x |－1<x <4}解析 不等式2－x 2＋2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于不等式x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4，所以解集为{x |－1<x <4}．8．[2021·武邑中学期末]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－13，43解析 由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43.9．[2021·衡水二中热身]已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．答案 52解析 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.10．[2021·衡水中学热身]函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解 当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时， f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.11．[2021·武邑中学月考]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]．(2)由f (x )－g (x )＝0，得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，即只有x >0时满足2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．12．[2021·武邑中学一轮检测]已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)因为f (x )的图象过点A (1,6)，B (3,24)，则⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，则b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在x ∈(－∞，1]时恒成立．又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.能力组13. [2021·冀州中学一轮检测]已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c；④2a＋2c<2.答案④解析由图示可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故①②错；∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，∴|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a ＋2c <2，④成立．又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立．14．[2021·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝12的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2解析 当x ≤0时，解2x＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2.15. [2021·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，若a >b ≥0，且f (a )＝f (b )，则bf (a )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2 解析 如图，f (x )在[0,1)，[1，＋∞)上均单调递增，由a >b ≥0及f (a )＝f (b )知a ≥1>b ≥12.bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ，∵12≤b <1，∴34≤bf (a )<2.16．[2021·冀州中学期中]求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及单调区间．解 依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．∵x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x 2－5x ＋4≥30＝1，∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)．令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，∴由复合函数的单调性可知，f (x )＝3x 2－5x ＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．。
【金版学案】2021届高考数学总温习 第二章 第五节指数与指数函数课时精练试题 文（含解析）(1)
第五节 指数与指数函数 题号 1 2 3 4 5 6 答案1.(0.027)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0＝( ) A ．45 B ．40 C ．－45 D ．－40解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.应选C. 答案：C2．(2021·揭阳二模)已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝2x －1}，那么∁U A ＝( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]解析：集合A 即函数y ＝2x －1的概念域，由2x －1≥0，求得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)，故∁U A ＝(－∞，0)，应选B.答案：B3．(2021·北京东城区模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x ，因此它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称．应选A. 答案：A4．函数F (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1·f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，那么 f (x )( ) A ．是奇函数B ．可能是奇函数，也可能是偶函数C ．是偶函数D ．不是奇函数，也不是偶函数解析：设g (x )＝1＋22x －1，那么g (x )＋g (－x )＝1＋22x －1＋1＋22－x －1＝2＋22x －1＋2×2x1－2x ＝2－22x －12x －1＝0.∴g (x )是奇函数．又F (x )＝g (x )·f (x )(x ≠0)为偶函数，∴f (x )为奇函数．应选A.答案：A5．(2021·广东汕尾二模)已知函数y ＝2x －a x (a ≠2)是奇函数，那么函数y ＝l og a x 是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．增函数或减函数解析：因为函数y ＝2x －a x (a ≠2)是奇函数，因此必有2x －a x ＝－(2－x －a －x )， 化简可得(2x －a x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x a x ＝0，因为a ≠2，因此2x －a x ≠0，因此必有1－12x a x ＝0， 解得a ＝12，故y ＝log a x ＝log 12x 是减函数．应选B. 答案：B6．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，f (2)＝4，那么( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：因为f (2)＝4，即a －2＝4，因此a ＝12，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，因此f (－2)>f (－1)，应选A. 答案：A7．已知函数f (x )＝a x ＋a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝3，那么f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．解析：∵f (1)＝a ＋1a＝3，f (0)＝2， f (2)＝a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7，∴f (1)＋f (0)＋f (2)＝12.答案：128．(2021·北京西城区一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 12，0≤x ≤9，x 2＋x ，－2≤x ＜0.则f (x )的零点是________；f (x )的值域是________．解析：当0≤x ≤9时，由x 12＝0得，x ＝0；当－2≤x ＜0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，因此函数零点为－1和0.当0≤x ≤9时，f (x )＝x 12，因此0≤f (x )≤3；当－2≤x ＜0，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，因此现在－14≤f (x )≤2，综上－14≤f (x )≤3，即函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，3. 答案：－1和0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，3 9．函数f (x )的概念域为A ，假设x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，那么称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．以下命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③假设f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，那么f (x 1)≠f (x 2)； ④在概念域上具有单调性的函数必然是单函数．其中的真命题是____________(写出所有真命题的序号)．解析：关于①，假设f (x 1)＝f (x 2)，那么x 1＝±x 2，不知足；②是单函数；命题③事实上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；依照概念，命题④知足条件．答案：②③④10．已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >1)，(1)判定函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明：f (x )是R 上的增函数．(1)解析：∵概念域为R ，且f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)解析：f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2a x ＋1， ∵a x ＋1>1，∴0<2a x ＋1<2，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1－1ax 1＋1－ax 2－1ax 2＋1＝2ax 1－2ax 2ax 1＋1ax 2＋1<0(∵分母大于零，且ax 1<ax 2), ∴f (x )是R 上的增函数．11．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 知足ab ≠0.(1)假设ab >0，判定函数f (x )的单调性；(2)假设ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围． 解析：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，那么 f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0，3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，那么x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，那么x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b。
《金版学案》2016届高考数学文科一轮复习课时作业2-5指数与指数函数
第五节 指数与指数函数1.(0.027)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0＝( ) A ．45 B ．40C ．－45D ．－40解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.故选C.答案：C 2．已知全集U ＝R ，A ＝{x|y ＝2x －1}，则∁U A ＝( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]解析：集合A 即函数y ＝2x －1的定义域，由2x －1≥0，求得x≥0，即A ＝[0，＋∞)，故∁U A ＝(－∞，0)，故选B.答案：B3．(2013·北京东城区模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x ，所以它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称．故选A.答案：A4．函数y ＝a x －a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )答案：C5．已知函数y ＝2x －a x (a ≠2)是奇函数，则函数y ＝log a x 是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．增函数或减函数解析：因为函数y ＝2x －a x (a≠2)是奇函数，所以必有2x －a x ＝－(2－x －a －x )，化简可得(2x －a x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x a x ＝0，因为a≠2，所以2x －a x ≠0，所以必有1－12x a x ＝0，解得a ＝12，故y ＝log a x ＝log 12x 是减函数．故选B. 答案：B6．设函数f(x)＝a －|x|(a>0且a ≠1)，f(2)＝4，则( )A ．f(－2)>f(－1)B ．f(－1)>f(－2)C ．f(1)>f(2)D ．f(－2)>f(2)解析：因为f(2)＝4，即a －2＝4，所以a ＝12，所以f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x|＝2|x|，所以f(－2)>f(－1)，故选A.答案：A7．已知函数f(x)＝a x ＋a －x (a ＞0且a ≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是________．解析：∵f(1)＝a ＋1a＝3，f(0)＝2， f(2)＝a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7，∴f(1)＋f(0)＋f(2)＝12.答案：128．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝______． 答案：－239．(2014·徐州模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设点A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，则点A 、B 的纵坐标为3x 1，3x 2，∵A 、B 在过点O 的直线上，∴3x 1x 1＝3x 2x 2. ∵点C(x 1，9x 1)，且BC ∥x 轴，∴9x 1＝3x 2，∴2x 1＝x 2.将2x 1＝x 2代入3x 1x 1＝3x 2x 2，得x 1＝log 32.答案：log3210．已知函数f(x)＝a x－1a x＋1(a>1)．(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明：f(x)是R上的增函数．解析：(1)解析：∵定义域为R，且f(－x)＝a－x－1a－x＋1＝1－a x1＋a x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)解析：f(x)＝a x＋1－2a x＋1＝1－2a x＋1，∵a x＋1>1，∴0<2a x＋1<2，即f(x)的值域为(－1，1)．(3)证明：设x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ax1－1ax1＋1－ax2－1ax2＋1＝2ax1－2ax2（ax1＋1）（ax2＋1）<0(分母大于零，且ax1<ax2)，∴f(x)是R上的增函数．11．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．解析：(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．∵2x1<2x2，a>0⇒a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0⇒b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x >0.当a<0，b>0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x>log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a>0，b<0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x<log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。
《金新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第5课时 指数与指数函数课件 理 北师大
e2x＋1 e2x－1
＝1＋
2 e2x－1
，当x＞0时，e2x－1＞0，且随着x的增
大而增大，故y＝1＋
2 e2x－1
＞1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)
上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数． • 答案： A
2．(2009·江苏卷)已知a＝
5－1 2
，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足
• 答案： C
得a＝2.
2．将指数函数f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图所示的g(x) 的图象，则f(x)＝( )
A．2x C.21x
B．3x D.13x
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
• 1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 • (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； • (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝af(x)
《金版新学案》高考数学一轮复习 第2章第1课时 函数及其表示课时作业 文 北师大版
《金版新学案》高考数学一轮复习第2章第1课时函数及其表示课时作业文北师大版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )x 0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x≤20y 234 5C．(0,20] D．{2,3,4,5}解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．答案： D2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x 12 3f(x)23 1x 12 3g(x)32 1则方程g[f(x)]＝x的解集为( )A．{1} B．{2}C．{3} D．∅解析：当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不合题意；当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不合题意；当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，符合题意．答案： C3．若f (x )对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析： ∵2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，① 用－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，② ①×2＋②得，3f (x )＝3x ＋3， ∴f (x )＝x ＋1. 答案： B4．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析： ∵A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12，得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素．答案： B5．(2010·广东汕头模拟)已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2解析： 根据题意知x ＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案： B6．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )解析： 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.答案： B 二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________. 解析： 令2x ＋1＝t (t ＞1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． 答案： lg2x －1(x ＞1) 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t xx ＜2log t x 2－1 x ≥2.且f (2)＝1，则f (f (5))的值为________．解析： 由f (2)＝log t (22－1)＝log t 3＝1， ∴t ＝3，又5＞2，所以f (f (5))＝f (log 3(5－1))＝f (log 34)＝2×3log 34 ＝2×4＝8. 答案： 89．(2010·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5,1]． 答案： [－5,1] 三、解答题10．已知f (x )＝x 2＋x ＋1. (1)求f (2x )的解析式； (2)求f (f (x ))的解析式；(3)证明：对任意x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x 总成立． 【解析方法代码108001007】解析： (1)f (2x )＝(2x )2＋(2x )＋1＝4x 2＋2x ＋1. (2)f (f (x ))＝(f (x ))2＋f (x )＋1 ＝(x 2＋x ＋1)2＋(x 2＋x ＋1)＋1 ＝x 4＋2x 3＋4x 2＋3x ＋3.(3)证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＋1 ＝x 2＋34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ＋1＝x 2＋34.故对任意x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x 总成立．11．已知某人在2010年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1 000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y (元)与月份序号x 的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．解析： 列表：x 1 2 3 4 5 6 y1 0002 0004 0008 00016 00032 000图象：解析式：y ＝1 000·2x －1(x ∈{1,2,3,4,5,6})．其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1 000,2 000,4 000,8 000,16 000,32 000}． 对应法则f ：x →y ＝1 000·2x －1.12．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，2x ＋10，10＜x ≤100，1.5x ，x ＞100，其中，x 是录用人数，y 是应聘人数．若第一天录用9人，第二天的应聘人数为60人，第三天未被录用的人数为120人．求这三天参加应聘的总人数和录用的总人数．【解析方法代码108001008】解析： 由1＜9＜10，得 第一天应聘人数为4×9＝36(人)． 由4x ＝60，得x ＝15∉[1,10]； 由2x ＋10＝60，得x ＝25∈(10,100]； 由1.5x ＝60，得x ＝40＜100. 所以第二天录用人数为25人．设第三天录用x 人，则第三天的应聘人数为120＋x . 由4x ＝120＋x ，得x ＝40∉[1,10]；由2x＋10＝120＋x，得x＝110∉(10,100]；由1.5x＝120＋x，得x＝240＞100.所以第三天录用240人，应聘人数为360人．综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456人，录用的总人数为9＋25＋240＝274人。
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1.(0.027)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912
－(2－1)0
＝( )
A ．45
B ．40
C ．－45
D ．－40
解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫25912
－1＝103－49＋53－1＝－45.故选C.
答案：C
2．(2013·揭阳二模)已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝2x
－1}，则∁U A ＝( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0]
解析：集合A 即函数y ＝2x －1的定义域，由2x
－1≥0，求得x ≥0，即A ＝[0，＋∞)，故∁U A ＝(－∞，0)，故选B.
答案：B
3．(2013·北京东城区模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象之间的关系
是( )
A ．关于y 轴对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＝2－x ，所以它与函数y ＝2x
的图象关于y 轴对称．故选A.
答案：A
4．函数F (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋22x －1·f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，则 f (x )( ) A ．是奇函数
B ．可能是奇函数，也可能是偶函数
C ．是偶函数
D ．不是奇函数，也不是偶函数
解析：设g (x )＝1＋22x －1，则g (x )＋g (－x )＝1＋22x －1＋1＋22－x －1＝2＋22x －1＋2×2
x
1－2
x ＝
2－x －
2x
－1＝0.∴g (x )是奇函数．又F (x )＝g (x )·f (x )(x ≠0)为偶函数，∴f (x )为奇函数．故选A.
答案：A
5．(2013·广东汕尾二模)已知函数y ＝2x －a x
(a ≠2)是奇函数，则函数y ＝log a x 是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数函数
D ．增函数或减函数
解析：因为函数y ＝2x －a x (a ≠2)是奇函数，所以必有2x －a x ＝－(2－x －a －x
)，
化简可得(2x －a x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12x a x ＝0，因为a ≠2，所以2x －a x
≠0，所以必有1－12x a x ＝0，
解得a ＝12，故y ＝log a x ＝log 1
2
x 是减函数．故选B.
答案：B
6．设函数f (x )＝a －|x |
(a >0且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2)
解析：因为f (2)＝4，即a －2
＝4，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－|x |＝2|x |，
所以f (－2)>f (－1)，故选A.
答案：A
7．已知函数f (x )＝a x ＋a －x
(a ＞0且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．
解析：∵f (1)＝a ＋1
a
＝3，f (0)＝2，
f (2)＝a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7， ∴f (1)＋f (0)＋f (2)＝12.
答案：12
8．(2013·北京西城区一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 12
，0≤x ≤9，
x 2＋x ，－2≤x ＜0.
则f (x )的零点是
________；f (x )的值域是________．
解析：当0≤x ≤9时，由x 12
＝0得，x ＝0；当－2≤x ＜0时，由x 2
＋x ＝0，得x ＝－1，
所以函数零点为－1和0.当0≤x ≤9时，f (x )＝x 1
2
，所以0≤f (x )≤3；当－2≤x ＜0，f (x )
＝x 2
＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14
，所以此时－14≤f (x )≤2，综上－14≤f (x )≤3，即函数的值域为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，3. 答案：－1和0 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，3
9．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：
①函数f (x )＝x 2
(x ∈R )是单函数；
②指数函数f (x )＝2x
(x ∈R )是单函数；
③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是____________(写出所有真命题的序号)．
解析：对于①，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝±x 2，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．
答案：②③④
10．已知函数f (x )＝a x －1
a x ＋1
(a >1)，
(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；
(3)证明：f (x )是R 上的增函数．
(1)解析：∵定义域为R ，且f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x
1＋a x
＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．
(2)解析：f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2
a x ＋1，
∵a x
＋1>1，∴0<2a x ＋1
<2，即f (x )的值域为(－1,1)．
(3)证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1－1ax 1＋1－ax 2－1ax 2＋1＝
2ax 1－2ax 2
ax 1＋ax 2＋
<0
(∵分母大于零，且ax 1<ax 2), ∴f (x )是R 上的增函数．
11．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x
，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．
解析：(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．
(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x
>0.
当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b
，则x <log 1.5
⎝⎛⎭⎫－a 2b。