四川省2015年高三“联测促改”活动第二轮测试数学【理】试题及答案
四川省乐山市高中2015届高三第二次调查研究考试数学(理工农医类)(理科) 含答案
乐山市高中2015届第二次调查研究考试数 学（理工农医类)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷。
草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
参考公式:参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A ,B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p P C k P kn k k nn⋅⋅⋅=-=-台体的体积公式:)(312211S S S S h V ++=其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。
柱体的体积公式:Sh V =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。
锥体的体积公式:hS V 31=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
球的表面积公式：24RS π=球的体积公式:334R V π=其中R 表示球的半径。
第一部分(选择题 共50分)注意事项:1．选择题必须用B 2铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。
2．第一部分共12小题,每小题5分,共60分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设全集为R ，函数24)(x x f -=的定义域为M ,则M CR为)(D)(A []2,2-)(B )2,2(- )(C (][)+∞-∞-,22,)(D ()+∞--∞,2)2,(2、62)2(xx -展开式中的常数项为)(A )(A 60)(B 60-)(C 30)(D 30-3、已知点),1(0y P 在抛物线x y82=上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为)(C)(A 1)(B 2 )(C 3)(D 44、已知向量)3,2(-=p ,)6,(x q =,且p ∥q+的值为)(C)(A 13)(B 14 )(C 13)(D 145、已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)10()(≠>=a a a x f x且 ， 且3)4(log5.0-=f ，则a 的值为)(A)(A 3)(B 3 )(C 9)(D 236、已知函数1)(-=kx x f ，其中实数k 随机选自区间[]2,1-．则对任意的[]1,1-∈x ，0)(≤x f 的概率是)(A 31)(B 21)(C 32)(D 43 7、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点,则><N D CM 1,sin 的值为)(B1)(A )(B 954)(C)(D8、如果执行如图的框图，输入4=N ，则输出的数等于)(D )(A 34 )(B 43)(C 45)(D 549、已知A ，B ，C ，D 是函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 一个周期内的图象上的四个点,如图所示，)0,6(πA ,B 为y 轴上的点,D 为图象上的最低点,C 为该函数图象的一个对称中心，B 与E 关于点E 对称,ED 在x 轴上的投影为错误!, 则)6(π-f 的值为)(A 21)(B 23)(C 21-)(D 23-10、函数f （x ）的定义域为D ，若满足：①f (x ）在D 内是单调函数;②存在⊆D 使得f （x )在上的值域为错误!，则称函数f （x ）为“成功函数"．若函数f （x )＝log c （c x ＋t ） （c 〉0，c ≠1）是“成功函数"，则t 的取值范围为)(A ()+∞,0)(B ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,)(C ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41)(D ⎪⎭⎫⎝⎛41,0乐山市高中2015届第二次调查研究考试数 学（理工农医类） 第二部分（非选择题 100分）注意事项:1．考生须用0。
2015年高考理科数学四川卷及答案
数学试卷 第1页（共24页）数学试卷 第2页（共24页）数学试卷 第3页（共24页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2．设i 是虚数单位，则复数32i i-=（ ）A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．32- B ．32 C ．12-D ．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+5．过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．433B ．23C ．6D ．436．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．设四边形ABCD 为平行四边形，||=6AB ，||=4AD .若点M ，N 满足=3BM MC ，DN=2NC ，则AM NM = （ ）A ．20B ．15C ．9D ．68．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --（≥，≥）在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．81210．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是_________（用数字填写答案）. 12．sin15+sin75的值是_________.13．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y =e kx b +（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ 的最大值为_________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）. 2213y x -=---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共24页）数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1| 1 000n T -<成立的n 的最小值.17．（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. （Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值.19．（本小题满分12分）如图A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （Ⅰ）证明：1cos tan2sin A AA-=； （Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan 22A B++tantan 22C D+的值. 20．（本小题满分13分）2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学答案解析【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足3BM MC=，2DN NC=，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD=+=+，2233AN AD DC AD AB=+=+，∴NM AM AN=-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN=-=-，22239216AM AB AB AD AD=++，22233342AM AN AB AD AB AD=++，||6AB=，||4AD=，∴22131239316AM NM AB AD=-=-=故选；C【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD=+=+，2233AN AD DC AD AB=+=+，2()AM NM AM AM AN AM AM AN=-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．数学试卷第7页（共24页）数学试卷第8页（共24页）数学试卷第9页（共24页）。
2015年四川高考数学试卷试卷及参考答案(理科)word版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（ ）A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3} 2.设i 是虚数单位，则复数32ii- =（ ） A.-i B.-3i C.i. D.3i3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ）A.2-B.2C.-12D.124.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+C. sin 2cos 2y x x =+ D sin cos y x x =+5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）（Ａ） （B ） （C ）6 （D ）6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则.AM NM =（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81210.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年高考理科数学四川卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2．设i 是虚数单位，则复数32i i-= （ ）A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A． BC ．12-D ．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 （ ）A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+5．过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）A．3B． C ．6D．6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．设四边形ABCD 为平行四边形，||=6AB ，||=4AD .若点M ，N 满足=3BM MC ，DN =2NC ，则AM NM =（ ）A ．20B ．15C ．9D ．68．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --（≥，≥）在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．81210．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是_________（用数字填写答案）. 12．sin15+sin75的值是_________.13．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y =e kx b +（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ 的最大值为_________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）.2213y x -=---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1| 1 000n T -<成立的n 的最小值.17．（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. （Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值.19．（本小题满分12分）如图A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（Ⅰ）证明：1cos tan 2sin A AA-=；（Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan 22A B++tantan 22C D+的值. 20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b=>>，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a ＞. （Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】∵集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合B={x|1＜x ＜3}，∴集合{|12}A x x =-<<， ∵A ∪B={x|﹣1＜x ＜3}，故选：A【提示】求解不等式得出集合{|12}A x x =-<<，根据集合的并集可求解答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵i 是虚数单位，则复数32i i -，∴4i 2121i i i i--==-=，故选：C【提示】通分得出4i 2i-，利用i 的性质运算即可【考点】复数代数形式的乘除运算 3.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得1k =，2k = 不满足条件4k >，3k = 不满足条件4k >，4k = 不满足条件4k >，5k =满足条件4k >，5π1sin62S ==，输出S 的值为12． 故选：D ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当5k =时满足条件4k >，计算并输出S 的值为12【考点】程序框图 4.【答案】A【解析】解：πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 πsin 2cos22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；πsin 2cos224y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．【提示】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可 【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法 5.【答案】D【解析】解：双曲线2213yx -=的右焦点（2，0），渐近线方程为y =，过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，2x =，可得A y =，B y =-，∴||AB =故选：D ．【提示】求出双曲线的渐近线方程，求出AB 的方程，得到AB 坐标，即可求解||AB ． 【考点】双曲线的简单性质 6.【答案】B【解析】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有32472⨯=个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有22448⨯=个，共有7248120+=个．故选：B【提示】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 【考点】排列、组合及简单计数问题 7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足3BM MC =，2DN NC =，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，∴NM AM AN =-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，22239216AM AB AB AD AD =++， 22233342AM AN AB AD AB AD =++，||6AB =，||4AD =，∴22131239316AM NM AB AD =-=-=故选；C【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+， 2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】B【解析】解：A 、B 都是不等于1的正数，∵333a b >>，∴1a b >>，∵l og 3l og 3a b <，∴3311log log a b <，即lg lg 0lg lg b a a b -<，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩ 求解得出：1a b >>,10a b >>>或1b >，01a <<根据充分必要条件定义得出：“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选：B ．【提示】求解333a b >>，得出1a b >>，log 3log 3a b <，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 9.【答案】B【解析】解：∵函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴①2m =，8n <对称轴82n x m -=--， ②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩即22120m m n >⎧⎨+-≤⎩ ③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩即22180m n m <⎧⎨+-≤⎩ 设22120x x y >⎧⎨+-≤⎩,22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩设k y x =，2ky x '=-，当切点为00()x y ,，k 取最大值． ①202k x -=-，202k x =，00212y x +=-，2000022x y x x ==，可得03x =，06y =，∵32x =>∴k 的最大值为3618⨯=②2012k x =，10200012x y x x ==，002180y x -+=，解得：09x =，092y =∵02x < ∴不符合题意．③2m =，8n =，16k mn ==综合得出：3m =，6n =时k 最大值18k mn ==，故选；B【提示】根据二次函数的单调性得出①2m =，8n <对称轴82n x m -=--，②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩构造函数22120x x y >⎧⎨+-≤⎩或22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩运用导数，结合线性规划求解最大值．【考点】二次函数的性质10.【答案】D【解析】解：设11()A x y ,，22()B x y ,，00()M x y ,，则斜率存在时，设斜率为k ，则2114y x =，2224y x =，利用点差法可得02ky =，因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，所以03x =，即M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±所以交点与圆心(50),的距离为4，所以24r <<时，直线l 有2条；斜率不存在时，直线l 有2条；所以直线l 恰有4条，24r <<，故选：D ．【提示】先确定M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±(50),的距离为4，即可得出结论．【考点】抛物线的简单性质，直线与圆的位置关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】40-【解析】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，515(2)(1)rrr r T C x -+=-；要求2x 的项的系数，∴52r -=，∴3r =，∴2x 的项的系数是2335()2140C =--． 故答案为：40-．【提示】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r +项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果 【考点】二项式定理的应用 12.【解析】解：sin15sin 75sin15cos15cos45cos15sin 45)60︒+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒=．． 【提示】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值． 13.【答案】24【解析】解：由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =． 代入函数e kx by +=，可得e 192b =，22e 48k b +=，即有111e 2k =，e 192b =，则当33x =时，331e 192248k b y +==⨯=． 故答案为：24．【提示】由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =．代入函数e kx by +=，解方程，可得k ，b ，再由33x =，代入即可得到结论． 【考点】函数与方程的综合运用 14.【答案】25【解析】解：根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直接坐标系，设2AB =，则：(000)A ,,，(100)E ,,，(210)F ,,；M 在线段PQ 上，设(0,,2)M y ，02y ≤≤；∴(1,,2)EM y =-，(2,1,0)AF =；∴cos |cos ,55EMAF θ==；数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）∴22244cos =5(y 5)y y θ-++，设22445(y 5)y y t -+=+，整理得：2(51)42540t y y t -++-=①，将该式看成关于y 的方程；（1）若15t =，则14y =-，不符合02y ≤≤，即这种情况不存在；（2）若15t ≠，①便是关于y 的一元二次方程，该方程有解；∴164(51)(254)0t t =---≥△；解得4025t ≤≤；∴t 的最大值为425；∴2cos θ的最大值为425，cos θ最大值为25．故答案为：25．【提示】首先以AB ，AD ，AQ 三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，(02)M y ,,，从而可求出向量EM ，AF 的坐标，由cos cos ,EM AF θ=得到22244cos 5(5)y y y θ-+=+，可设22445(5)y y t y -+=+，可整理成关于y 的方程，根据方程有解即可求出t 的最大值，从而求出cos θ的最大值． 【考点】异面直线及其所成的角 15.【答案】①④【解析】解：对于①，由于21>，由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增，即有0m >，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得()g x 在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,递减，则0n >不恒成立，则②错误；对于③，由m n =，可得1212()()()()f x f x g x g x -=-，考查函数2()2x h x x ax =+-，()22ln 2xh x x a '=+-，当a →-∞，()h x '小于0，()h x 单调递减，则③错误；对于④，由m n =-，可得1212[()()()(])f x f x g x g x -=--，考查函数2()2xh x x ax =++，()22ln 2x h x x a '=++，对于任意的a ，()h x '不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【提示】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数2()2xh x x ax =+-，求出导数判断单调性，即可判断③； 通过函数2()2xh x x ax =++，求出导数判断单调性，即可判断④．【考点】命题的真假判断与应用 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2n na = （Ⅱ）10【解析】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a -=，有1122(2)n n n n n a S S a a n ≥-==﹣﹣﹣，即12(2)n n a a n ≥=﹣， 从而212a a =，32124a a a ==，又∵1a ，21a +，3a 成等差数列，∴11142(21)a a a ++=，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n na =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =，∴1122212[1()]1111122212nn n n T -=+++==--． 由1|1|1000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．∵9102512100010242=<<=，∴10n ≥． 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10． 【提示】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n ≥=﹣，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值． 【考点】数列的求和． 17.【答案】（Ⅰ）99100（Ⅱ）2【解析】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生个有6人，参赛学生全从B 中抽出（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为：333433661100C C C C =，因此A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数，则X 的可能取值为：1，2，3，2333461(1)5C C P X C ===，2333463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===．则数学期望11232555EX =⨯+⨯+⨯=．【提示】（Ⅰ）求出A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（Ⅱ）求出X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X 的分布列，然后求解数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列 18.【答案】（Ⅰ）如图 （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）3【解析】解：（Ⅰ）F 、G 、H 的位置如图；证明：（Ⅱ）连接BD ，设O 是BD 的中点，∵BC 的中点为M 、GH 的中点为N ，∴数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）OM CD ∥，12OM CD =，HN CD ∥，12HN CD =，∴OM HN ∥，OM HN =，即四边形MNHO 是平行四边形，∴MN OH ∥，∵MN BDH ⊄平面；OH BDH ⊂面，∴MN BDH 直线∥平面；（Ⅲ）方法一：连接AC ，过M 作MH AC ⊥于P ，则正方体ABCD EFGH -中，AC EG ∥，∴MP EG ⊥，过P 作PK EG ⊥于K ，连接KM ，∴KM PKM ⊥平面则KM EG ⊥，则PKM ∠是二面角A EG M --的平面角，设2AD =，则1CM =，2PK =，在Rt CMP △中，sin 45PM CM =︒=，在R t P K M △中，KM ，∴cos 3PK PKM KM ∠==，即二面角A EG M --的余弦值为3． 方法二：以D 为坐标原点，分别为DA ，DC ，DH 方向为x ，y ，z 轴建立空间坐标系如图：设2AD =，则(120)M ,,，(0,2,2)G ，(2,0,2)E ，(1,1,0)O ，则(2,2,0)GE =-，(1,0,2)MG =-，设平面EGM 的法向量为(x,y,z)n =，则00n GE n MG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22020x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2x =，得(2,2,1)n =，在正方体中，DO AEGC ⊥平面，则(1,1,0)n DO ==是平面AEG 的一个法向量，则cos ,3||||9m n m n m n ====⨯．二面角A EG M --．【提示】（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可； （Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN BDH ∥平面； （Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解． 法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定． 19.【答案】（Ⅰ）见解析 【解析】证明：（Ⅰ）222222sin 2sin 1cos tan cos2sin cos sin A AA A AAA A -===．等式成立．（Ⅱ）由180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，由（Ⅰ）可知：tantan tan tan 2222A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ---︒--︒-=+++︒-︒-22sin sin A B =+连结BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A -=+，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C -=+，所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD C +=-+-，则：2222222265343cos 2(AB AD BCCD)2(6534)7AB AD BC CD A +--+--===+⨯+÷． 于是sin A ==AC ， 同理可得：2222222263542(AB CD)2(63541)1cos 9AB BCAD CD BC ADF B +--+--==+⨯+÷=， 于是sin B=所以tan tantan tan2222A B C D +++22sin sin A B =+=【提示】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．（Ⅱ）通过180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，利用（Ⅰ）化简22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，连结BD ，在ABD △中，利用余弦定理求出sin A ，连结AC ，求出sin B ，然后求解即可【考点】三角函数恒等式的证明20.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得QA PA QBPB=恒成立【解析】解：（Ⅰ）∵直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 ∴点在椭圆E ， ∴22222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a =，b =，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，如果存在定点Q 满足条件，数学试卷 第19页（共21页）数学试卷 第20页（共21页）数学试卷 第21页（共21页）则有||||||||QA PA QB PB =，即||||QC QD =． ∴Q 点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，则M 、N的坐标分别为、(0,，又∵||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为11)(,A x y 、22)(,B x y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=，∵22(4)8(12)0k k =++>△， ∴122412k x x k +=-+，122212x x k-=+， ∴121212112x x k x x x x ++==， 已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为22(,)x y -， 又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111OB y kx k k K x x x x --===-+=---， ∴AO QB k k =，即Q 、A 、B '三点共线，∴12QAQA x PA QB QB x PB==='． 故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得QA PA QBPB=恒成立．【提示】（Ⅰ）通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E截得的线段长为，2，计算即得结论；（Ⅱ）通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(02),．然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l ，均有QA PAQB PB=即可． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()2()2ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，∴21124222()2()22()2x a a g x x x x -+-'=-+=． 当104a <<时，()g x在10,2⎛ ⎝⎭，12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间⎝⎭上单调递减；当14a ≥时，()g x 在(0,)+∞上单调递增． （Ⅱ）由()2()2ln 210a f x x a x x ⎛⎫'=---+= ⎪⎝⎭，解得11ln 1x x a x ---=+，令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则(1)10ϕ=>，211(2)2()2011e e e e e e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭． 故存在0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，由1()10u x x '=-≥知，函数()u x 在(1,)+∞上单调递增．∴0011100()(1)()20111111u x u u e e a x e x ----=<=<=<++++． 即0(0,1)a ∈，当0a a =时，有0()0f x '=，00()()0f x x ϕ==．由（Ⅰ）知，()f x '在(1,)+∞上单调递增，故当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，从而0()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，从而0()()0f x f x >=． ∴当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥．综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【提示】（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域，把函数()f x 求导得到()g x 再对()g x 求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数()g x 的单调期间； （Ⅱ）由()f x 的导函数等于0把a 用含有x 的代数式表示，然后构造函数2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在定理得到0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，利用导数求得0(0,1)a ∈，然后进一步利用导数说明当0a a =时，若(1,)x ∈+∞，有()0f x ≥，即可得到存在(01)a ∈,，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值。
2015年普通高中高三第二次联合考试理科数学附答案
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若函数 存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
（Ⅰ）设函数 .证明： ；
（Ⅱ）若实数 满足 ,求证: ．
理科数学（答案）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
（1）A（2）B（3）B（4）C（5）D（6）B
（7）C（8）C（9）C（10）D（11）B（12）B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13) (14)-2(15) (16)k＝或k＝
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若复数 为纯虚数，则 的值为
（14）设 ， ，则 ．
（15）当输入的实数 时，执行如图所示的程序框图，则输出的
（
（
（
（
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 =2.
（Ⅰ）分别写出 的普通方程， 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M，N分别为曲线 的上、下顶点，点P为曲线 上任意一点，求 的最大值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲.
（Ⅰ）求 的值;
（Ⅱ）若 ，求sin( + )的值
2015年四川高考数学试卷试卷及参考答案(理科)word版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB （ ）A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3} 2.设i 是虚数单位，则复数32i i- =（ ） A.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ） A.32 B.3212D.124.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+C. sin 2cos 2y x x =+ D sin cos y x x =+5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）（Ａ） （B ） （C ）6 （D ）6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则.AM NM =（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81210.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年全国高中数学联赛(四川)答案
2
2
又因为
g (0)
=
a
+1，
g(π
)
=
a
−
−π
e2
，
g ( 3π
)
=
a
+
− 3π
e2
，
g (2π
)
=
a
+
e−2π
．
2
2
一方面，显然 g(0) > g(3π ) > g(2π ) > g(π ) ．
2
2
………10 分
① 若 g(π ) ≥ 0 ，则 f '(x) > 0 ，故 f (x) 在 (0, 2π ) 内单调递增，从而 f (x) 在 (0, 2π ) 内 2
所以，数列{an} 的通项公式为 an = 3n−1 − 2n ．
………20 分
参考答案及评分标准 （第 1 页 共 4 页）
Hale Waihona Puke 14、已知函数 f (x) = sin4 x ，
（1）记 g(x) = f (x) + f (π − x) ，求 g(x) 在[π , 3π ] 上的最大值与最小值；
2
68
=
1
．………10
分
68
84
42
（2）注意到 f ( π ) + f ( 2π ) + f ( 3π ) +" + f (88π ) + f (89π )
180 180 180
180 180
= g( π ) + g( 2π ) +" + g( 44π ) + sin4 ( 45π )
南充市2015届二诊数学答案
…………12 分
{ }
…………4 分
高三数学二诊( 理科) 第摇2 页( 共 4 页)
2(1-2 n ) 1 -1-( n - ) ·2 n+1 1-2 2 = -3-(2 n -3) ·2 n 亦 S n = 3+(2 n -3) ·2 n( n沂N * ) 2 ( 芋) 由( 域) 知 b n = (2 n -3) ( ) n( n沂N * ) 3 b n+1 2 2 n -1 而 = · b n 3 2 n -3 b n+1 设 >1 解得 1臆n臆3 bn b n+1 b n+1 设 <1 解得 n逸4摇 又 屹1 bn bn 亦 数列{ b n } 中,b1 <b2 <b3 <b4 >b5 >n6 …… 80 故数列{ b n } 中的最大项为 b4 = 81 4 2 + =1 a2 = 8 20 . 解:( 玉) 由题疫 a2 b2 摇 解得 2 b =4 a2 - b2 = 4 x2 y2 亦 椭圆 T 的方程为 + = 1 8 4 x2 y2 ( 域) 将 y = kx +m 代入 + = 1 整理得 8 4 (1+2 k2 ) x2 +4 kmx +2 m2 -8 = 0 当吟 = 16 k2 m2 -4(1+2 k2 ) (2 m2 -8) >0 即 8 k2 +4>m2 时 设 A ( x 1 ,y 1 ) ,B ( x 2 ,y 2 ) 4 km 2 m2 -8 亦 x1 + x2 = , x x = 1 2 1+2 k2 1+2 k2 则 y1 y2 = ( kx1 +m) ( kx2 +m) = k2 x1 x2 +km( x1 +x2 ) +m2 m2 -8 k2 = 1+2 k2 2 疫 椭圆 T 的离心率 e = 2 y1 y2 y1 y2 1 亦 k OA k OB = · = =x1 x2 x1 x2 2 m2 -8 k2 1 即 2 = - 得 m2 = 4 k2 +2 2 2 m -8 寅 寅 3 m2 -8 k2 -8 淤OA·OB = x1 x2 +y1 y2 = 1+2 k2 2 4 k -2 4 = = 2- 2 1+2 k2 2 k +1 寅 寅 亦 k2 逸0摇 亦 OA·OB 的取值范围为[ -2,2) 1 |m| 于证明:吟AOB 的面积 S = | x1 y2 -x2 y1 | = | x1 - x2 | 2 2 |m| 8(8 k2 +4-m2 ) 2(8 k2 +4-m2 ) m2 = · = 2 1+2 k2 1+2 k2 =
2015年高考理科数学四川卷-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)满足3BM MC =，2DN NC =，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，∴NM AM AN =-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，22239216AM AB AB AD AD =++，22233342AM AN AB AD AB AD =++，||6AB =，||4AD =，∴221312316AM NM AB AD =-=-【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．k kM 在线段PQ 上，设(0,,2)M y ∴(1,EM =-，(2,1,0)AF =,55y EM AF y =；2445)y ++，设25)t =+，整理得：5EM AF得到从而可求出向量EM，AF的坐标，,【考点】异面直线及其所成的角112++=2n>．1000方法二：以D 为坐标原点，轴建立空间坐标系如图：则(2,2,0)GE =-，(1,0,2)MG =-的法向量为(x,y,z)n =0n GE n MG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，得(2,2,1)n =，AEGC ，则(1,1,0)n DO ==224,3||||92m n m n m n +==⨯M -的余弦值为2222sin 1cos sin A A-=cos AB AD A ，cos BC CD C ，22cos 2cos AB AD A BC CD BC CD C =+-，226532(AB AD BC CD)2(6534)7AD BC CD --+--=+⨯+÷7A =，连结AC 632(AB CD)2(6BC AD CD BC ADF +--+=+⨯。
绵阳市高中2015级第二次诊断性考试(数学理)
数学（理工类）答案第1页（共6页）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DBBCA CDDCA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．93 14．-5 15．116．①③④ 16题提示：③设|BM |=|BO |=m ，|CN |=|CO |=n ，由①得|PM |=|PN |=9．由题知圆E 与x 轴相切，于是圆E ：x 2+(y -2)2=4是△PBC 的内切圆， 根据公式S △PBC =)(21c b a r ++(其中r 为内切圆半径，a ，b ，c 为△PBC 的边长)得：21|BC |•y 0=21×2×2(|PM |+|BO |+|CO |),即21(m +n )×9=2(9+m +n )，解得536=+n m ，故S △PBC 5162953621=⨯⨯=． ④同③可得21(m +n )•y 0=2(y 0+m +n )， 解得4400-=+y y n m ， 故S △PBC ]8)4(16)4[(24421)(21000200+-+-⋅=-⋅=+=y y y y y n m ≥32． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）已知C B A t an 31t an 21t an ==， ∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ，在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=AA A CBC B 2t an 61t an 3t an 2t an t an 1t an t an -+-=-+-，………3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1．……………………………………4分 若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =4π．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，数学（理工类）答案第2页（共6页）在△ABC 中，由B b A a sin sin =，得b =a a a A B 51022252sin sin ==， …………11分 于是S △ABC =21ab sin C =253103510221a a a =⨯⨯， ∴253a =15，解得a =5．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25， ∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分 ∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关．……5分 （Ⅱ）根据题意，抽取的9人中，年轻人有=⨯960406，中老年人=⨯960203人． 于是X =0，1，2，3，∴ 8420)0(3936===C C X P ，8445)1(391326===C C C X P ， 8418)2(392316===C C C X P ，841)3(3933===C C X P ， ∴ X 的分布列为：………………………………………………………10分 ∴ X 的数学期望18413841828445184200)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ， ∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分数学（理工类）答案第3页（共6页）于是(-1)n kb n <2S n +n +4等价于(-1)n kn <n 2+2n +4，即等价于(-1)n 24++<nn k ．……………………………………………………7分 ①当n 为偶数时，原式变为24++<nn k ， ∵ 24++n n ≥242+⋅n n =6（当且仅当n =n4，即n =2时“=”成立） ∴ n =2时，24++nn 取最小值6， 故k <6． …………………………………………………………………………9分②当n 为奇数时，原式变为2)4(-+->nn k ， 令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x >0，则222)2)(2(4)(xx x x x x f +--=-='， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f ，当x ∈(2，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，由f (1)=-7<f (3)=319-，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >319-． ……………………………………………………………………11分 综上所述，k 的取值范围为(319-，6)． ……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，∴ =(0，y 0)，DM =(x -x 0，y )，由=，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，∴ 曲线C 的方程为：14822=+y x ． …………………………………………4分数学（理工类）答案第4页（共6页）②当直线AB 斜率存在时，假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ．可设方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组得：⎩⎨⎧=-+-=，，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=12822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分 ∵ ∠AQO=∠BQO ，∴ k QA +k Q B =0，即02211=-+-QQ x x y x x y ， …………………………………10分 将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得：2 x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+x Q =0， 即12161622+-k k -(x Q +2)×12822+k k +4x Q =0， 化简得x Q =4，故此时存在点Q (4，0)，使得∠AQO=∠BQO ．……………………………12分21．解：（Ⅰ）由已知可得a e x f x -=')(．当a <0时，)(x f '>0，∴ )(x f 在R 上单调递增，且当+∞→-∞→)(x f x ，，不合题意．当a =0时，11)(->-=x e x f ，而-1<1-2ln2，不合题意．…………………3分 当a >0时，由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <，∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增，∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a ．要使)(x f ≥2ln 21-恒成立，则须使1ln --a a a ≥2ln 21-恒成立，令1ln )(--=a a a a g ，则a a g ln )(-='，显然当0<a <1时，)(a g '>0，当a >1时，)(a g '<0，于是函数)(a g 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减，∵ )1(g =0，)2(g =2ln 21-，∴ a 的最大值是2．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ，数学（理工类）答案第5页（共6页） 存在x 0>1，使得h (x 0)<0成立，即h (x )min <0．………………………………8分 又x e k x x h )21(21)(-+='， 当k =1时，)(x h '>0，h (x )在(1，+∞)上单调递增， 而h (1)= 521+-e >0不合题意． 当k ≥2时，由)(x h '>0解得x >2k -1，由)(x h '<0解得1<x <2k -1，即h (x )在(2k -1，+∞)上单调递增，在(1，2k -1)上单调递减，∴ h (x )min =h (2k -1)=322112++--k e k ． ……………………………………10分 令=)(k ϕ322112++--k e k ， 则02)(12<+-='-k e k ϕ， ∴ )(k ϕ在)2[∞+，上单调递减，∵ )(k ϕ≤0721)2(3<+-=e ϕ， ∴ 正整数k 的最小值为2．……………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）将直线l 的参数方程消去参数得31=+xy ， 即l 的普通方程为013=--y x ．将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y +1=0． …………5分 （Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==，，t y t x 23121代入C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0中， 整理得04)132(2=++-t t ， 由韦达定理：41322121=⋅+=+t t t t ，， ……………………………………8分 16534)(2)(11112212122122212221222122+=-+=⋅+=+=+t t t t t t t t t t t t PB PA故165341122+=+PB PA ． …………………………………………………10分数学（理工类）答案第6页（共6页） 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <35， 所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分 （Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1． 当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m 解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2． y =-x 2+x +1在x =21时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根， 则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23．……………………………………10分。
四川省泸州市2015届高三第二次教学质量诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案
泸州市高2012级第二次教学质量检测数 学（理工类）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分. 第一部分1至2页，第二部分3至4页.共150分.考试时间120分钟. 第一部分的答案涂在机读卡上，第二部分的答案写在答题卡上.第一部分（选择题 共50分）注意事项：1. 答第一部分前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在机读卡上.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把机题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在草稿子、试题卷上.3．本部分共12个题，每小题5分共60分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求.1．已知集合{|12}A x x =-<<，2{|log 2}B x x =<，则AB =A ．(1,2)B ．(1,4)-C ．(0,2)D ．(0,4)2．计算sin 43cos13sin13sin 47-的值等于A ．12B C D 3．函数ln ||||x x y x =的图象可能是4．下列命题中，真命题是A ．0x ∃∈R ，020x ≤B ．x ∀∈R ，22x x >C ．“0a b +=”是“1ab=-”的充要条件D ．“1,1a b >>”是“1ab >”的充分条件5． 执行如图所示的程序框图，输出S 的值是A ．3B ．－6C ．10D ．－156． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π7． 不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩≥≤的解集记为D ，下列四个命题中正确的是A ．(,)x y D ∀∈，22x y +-≥B ．(,)x y D ∀∈，22x y +≥C ．(,)x yD ∀∈，23x y +≤ D ．(,)x y D ∃∈，21x y +-≤8. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投入成本为()G x ，当年产量不足80千件时，21()103G x x x =+(万元)；当年产量不小于80千件时，10000()511450G x x x=+-(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是 A ．900万元B ．950万元C ．1000万元D ．1150万元9． 已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 A ．2－3πB ．1－6πC ．2－2πD ．1－12π42侧视图俯视图正视图10．已知函数322(1),()11(1)22,0.32kx k a x f x x ax a x a a x +-⎧⎪=⎨-+--+-<⎪⎩≥0,其中a ∈R ，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数2x (12x x ≠)，使得12()()f x f x =成立，则k 的最大值为 A ．1-B ．2-C ．4-D ．3-第二部分 （非选择题 共100分）注意事项:1．用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试题卷上无效.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2．本卷共11个小题，共100分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上11．如果复数21iz =-+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为 ． 12．已知数列{}n a 为等差数列, n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则其公差为_____．13．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，AA 1⊥平面ABC ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则直线BM 与直线AN 所成角的 余弦值为 .14．已知ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，重心为G （三角形中三边中线的交点），若233aGA bGB cGC ++=0，则cos B = ．MB 1A 1C 1ACBN三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)：已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18.（Ⅰ）求,x y 的值，并用统计知识分析两组学生成绩的优劣；（Ⅱ）从两组学生中任意抽取3名，记抽到甲组的学生人数为X ，求X 的分布列和期望. 17．（本题满分12分） 在锐角ABC △中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，向量(2,1)a m =，(cos ,2)C c b -n =， 且⊥m n ．（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ）求函数2cos2()11tan Cf C C=-+的值域．18．（本题满分12分）已知函数1()lg(0)1ax f x a x +=>-为奇函数，函数22()()g x b b x=+∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域;（Ⅱ）当11[,]32x ∈时，关于x 的不等式(1)lg ()f x g x -≤有解，求b 的取值范围．19．（本题满分12分）已知数列{}n a ，满足11,21,.n n n a n a a n +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，452a =，若211(0)n n n b a b -=-≠．（Ⅰ）求1a ，并证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）令21(21)n n c n a -=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（本题满分13分）如图，在多面体111-ABC A B C 中，侧面11AA B B ⊥底面111A B C ，四边形11AA B B 是CAA 1C 1B 1B矩形，1111AC =A B ，111120B AC ∠=，11//BC B C ，112B C BC =． （Ⅰ）求证：111AC B C ⊥； （Ⅱ）当二面角11C AC B --的正切值为2时，求111AA A B 的值．21．（本题满分14分）已知函数3()3f x x x =-,()e ()x g x ax a =-∈R ．其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）求经过点2(,2)3A -与曲线()f x 相切的直线方程；（Ⅱ）若函数()()1ln ((0,2])F x g x x x x =--∈，求证：当e 1a <-时，函数()F x 无零点；（Ⅲ）已知正数m 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得000()()()g x g x mf x +-<-成立．试比较1e 1e m m --与的大小，并证明你的结论．一、选择题二、填空题11．－1； 12．12； 13； 14．112； 15. (1)(4) . 三、解答题16．解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9,12,10+x ,24,27.乙组五名学生的成绩为9，15，10+y ，18，24. 因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的众数是18，所以3x =， ········································································································ 2分8y =, ··················································································································· 4分因为甲组数据的平均数为855， ········································································ 5分 乙组数据的平均数是845， ················································································ 6分 则甲组学生成绩稍好些； ·················································································· 7分 （Ⅱ）X 的取值为0、1、2、3.353101(0)12C P X C ===， ························································································· 8分12553105(1)12C C P X C ===， ······················································································ 9分5(2)12P X ==， ································································································ 10分 1(3)12P X ==， ································································································ 11分所以X 的分布列为EX =0123,121212122⨯+⨯+⨯+⨯= ∴X 的期望为3.2·································································································· 12分17．解：(Ⅰ) ∵⊥m n ，∴2cos 20a C c b +-=， ····································································· 1分 由正弦定理得：2sin cos sin 2sin 0A C C B +-=， ····································· 2分 ∵()B A C π=-+， ··········································································· 3分 ∴2sin cos sin 2sin()0A C C A C +-+=， ················································· 5分 ∴2sin cos sin 2sin cos 2cos sin 0A C C A C A C +--=， ∴sin 2cos sin 0C A C -=，∵0C π<<，∴sin 0C >， ∴1cos 2A =，∴3A π=； ··································································· 6分 （Ⅱ）2cos 2()11tan Cf C C-=++，222(cos sin )1sin 1cos C C C C--=++， ··································································· 7分222cos (cos sin )1cos sin C C C C C--=++， ···························································· 8分 22cos 2cos sin 1C C C =-++， ······························································ 9分 sin 2cos 2C C =-， ·········································································· 10分)4C π=- ······································································································· 11分 ∵3A π=，ABC △是锐角三角形，∴62C ππ<<，∴321244C πππ<-<， ∴函数()f C的值域为． ································································ 12分 18． 解：(Ⅰ)由1()lg(0)1axf x a x+=>-为奇函数得：()()0f x f x -+=， 即222111lg lg lg 0111ax ax a x x x x -+-+==+--,···································································· 2分 所以222111a x x -=-，解得1a =， ············································································ 4分 经检验符合题意，故1()lg1xf x x+=-, ···································································· 5分所以()f x 的定义域是(1,1)-； ············································································· 6分 （Ⅱ）不等式(1)lg ()f x g x -≤等价于222x b x x-+≤， ············································· 7分 即2221b xx -+-≥在11[,]32x ∈有解， ·································································· 8分 故只需min 222(1)b xx -+-≥， ················································································ 9分 因为11[,]32x ∈，所以1[2,3]x∈， ······································································· 10分函数21112()22y x =---， ··················································································· 11分所以2min 112(3)1322y =---=-，所以13b -≥，所以b 的取值范围是[13,)-+∞. ··············································· 12分19．解：（Ⅰ）∵452a =，11,21,.n n n a n a a n +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数∴353122a =-=， ································································································· 1分 ∴23a =， ············································································································· 2分∴12a =； ············································································································· 3分∵212+12-12111121112n n n n n n a b a b a a +--===---， ······································································· 5分 故数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列； ············································ 6分（Ⅱ）由（I ）知：11()2n n b -=，且1211(21)(21)()(21)2n n n c n a n n --=-=-+-， ··········· 7分1321122n n n S --=+++， ①21113232122222n n n n n S ---=++++，② ································································· 8分 ①-②得：221111211122222n n n n S --=+++++-， ············································· 9分111()21211212n n n ---=+--2332n n +=-， ····································································· 10分 所以4662n nn S +=-． ···························································································· 11分 故[135(21)]n n T S n =+++++-24662nn n +=+-. ························································································· 12分20．解法一：(Ⅰ) 取11B C 的中点D ，连接CD 、1A D ，因为11//BC B C ，112B C BC =，所以1//CB DB ，∴1CB DB =，∴四边形1CDB B 是平行四边形， ······································································ 1分 又11AA B B 是矩形，∴1//CD AA ， ··········· 2分 因为侧面11AA B B ⊥底面111A B C ，111AA A B ⊥，∴1AA ⊥底面111A B C ，∴1AA ⊥11B C ， ······································· 3分 因为点D 是11B C 的中点，1111AC =A B ，∴111B C A D ⊥， ········································ 4分 又111A DAA A =，∴11B C ⊥平面1AA DC ， ···················································· 5分∴111AC B C ⊥； ··································································································· 6分 （Ⅱ）过点C 作CE AD ⊥于点E , 过点E 作1EF AC ⊥于点F, 连接CF ， ············· 7分由(Ⅰ)知：11B C ⊥平面1AA DC ，11B C ⊂平面11AB C , ∴平面11AB C ⊥平面1AA DC ，且交线为AD ，CE ⊥平面11AB C ，即1CE AC ⊥， ···································································· 8分 所以1AC ⊥平面CEF ， 则1CF AC ⊥所以CFE ∠为二面角11C AC B --的平面角， ·················································· 9分设111A B =，1AA λ=，则1C D ，112A D =，所以AD =，CE =， ························································· 10分∵1AFE ADC △△，又因AE =1AC ∴2214EF λ=+, ··············································································· 11分二面角11C AC B --的正切值为2, ∴tan 2CECFE EF ∠==,2214λ=+, ······························ 12分 解之得：λ111AA A B ··················································· 13分解法二：(Ⅰ) 过点1A 在平面111A B C 内作111EA A B ⊥,因为侧面11AA B B ⊥底面111A B C ， 所以1EA ⊥侧面11AA B B ，所以11A A A E ⊥，111A E A B ⊥， ··············· 2分因为11AA B B 是矩形，所以111A A A B ⊥， ·························································· 3分 以1A 为原点，射线1A E ，11A B , 1A A 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．设111A B =，1AA λ=，则1C D =，112A D=，所以1(0,1,0)B ，(0,0,)A λ，11,0)2C -，1,)4C λ． ··················· 4分 因为131(,)4AC λ=,1133(,0)2B C=-， 又111313()0042AC B C λ=+⨯-+⨯=，······································ 5分 所以111AC B C ⊥，即111AC B C ⊥; ····················································· 6分 （Ⅱ） 设平面11AB C 的一个法向量为(,,)x y z =m ，所以1C A ⊥m ，11B C ⊥m ， 因为1(0,1,)B A λ=-，1133(,0)2B C =-，则00x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1)λ=m ， ················································· 8分设平面1AC C 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以1C A ⊥n ，CA ⊥n ，C。
2015高考数学四川(理工科类)试卷真题与答案解析
2015 年四川省高考数学（理）试卷真题答案及解析一、选择题1. 设集合A { x |(x1)( x2) 0} ，集合B { x |1 x 3} ，则A BA.{ x | 1 x 3}B. { x | 1 x 1}C. {x|1 x 2}D. { x | 2 x 3} 【答案】A【解析】 A { x | 1 x 2} ，且B { x |1 x 3}A B x x ，故选A{ | 1 3}2. 设i 是虚数单位，则复数i 3 2iA. iB. 3iC. iD. 3i 【答案】C2 2i【解析】3i i i2i i，故选C3. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值是A.32B.32B. C. 12D.12【答案】D【解析】进入循环，当k 5时才能输出k 的值，则5 1S sin ，故选D6 24. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是A. y cos(2 x)B. y sin(2 x )2 2C. y sin 2x cos 2xD. y sin x cos x【答案】A【解析】1/ 20A. y cos(2 x ) sin 2x 可知其满足题意2kB. y sin(2 x ) cos 2x 可知其图像的对称中心为( ,0)( k Z)，最小正2 4 2周期为C. sin 2 cos 2 2 sin(2 )y x x x 可知其图像的对称中心为4k( ,0)( k Z)，最小正周期为2 8D. sin cos 2 sin( )y x x x 可知其图像的对称中心为(k,0)( k Z)小4 4正周期为25.过双曲线2y2 1x 的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线3于A 、B 两点，则| AB |A. 4 33B. 2 3C. 6D. 4 3【答案】D【解析】由题可知渐近线方程为y 3x ，右焦点(2,0) ，则直线x 2 与两条渐近线的交点分别为 A (2,2 3) ，B (2, 2 3) ，所以| AB | 4 36.用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有（A）144 个（B）120 个（C）96 个（D）72 个【答案】 B【解析】分类讨论2/ 20①当5 在万位时，个位可以排0、2、4 三个数，其余位置没有限制，故有 1 3C A3 4 72种。
四川省资阳市2015届高三第二次诊断性考试数学理试题 Word版含答案
资阳市高中2012级第二次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21(1)i m m -++是纯虚数，则实数m 的值为(A)－1 (B)1 (C)1±(D)2±2．集合{|(1)(2)0}M x x x =--<，{|}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)[1,)+∞(D)(1,)+∞3．“2a =”是“直线2()10a a x y -+-=和210x y ++=互相平行”的(A) 充要条件(B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件4．设抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为(A)3 (B)4 (C)5(D)65．有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是 (A)8 (B)12 (C)36(D)486．在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x ,y )满足y kx ≥的概率为34，则实数k ＝(A) 4 (B)2 (C)23(D)127．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(C) 0(D)8．已知 a 、b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为3π，a ＋b 与b 的夹角为4π，则||||=a b(A)9．已知F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好落在以F 2为圆心，|OF 2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为(C) 2(D) 310．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，231||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是 (A) (,12]-∞- (B)(,4]-∞- (C)(,8]-∞(D)31(,]2-∞第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
2015四川高考理科数学真题答案+解析
2015年四川省高考数学（理）试卷真题答案及解析一、选择题1. 设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B ⋃= A.{|13}x x -<< B. {|11}x x -<< C. {|12}x x << D. {|23}x x << 【答案】A【解析】{|12}A x x =-<< ，且{|13}B x x =<<{|13}A B x x ∴⋃=-<<，故选A2. 设i 是虚数单位，则复数32i i-= A.i - B. 3i - C. i D. 3i 【答案】C 【解析】3222ii i i i i-=--=，故选C 3. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值是A. B. C.12- D. 12【答案】D【解析】进入循环，当5k =时才能输出k 的值，则51sin62S π==，故选D 4. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是 A.cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+C. sin 2cos 2y x x =+D. sin cos y x x =+ 【答案】A 【解析】 A.cos(2)sin 22y x x π=+=-可知其满足题意B. sin(2)cos 22y x x π=+=可知其图像的对称中心为(,0)()42k k Z ππ+∈，最小正周期为πC. sin 2cos 2)4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()28k k Z ππ-∈，最小正周期为πD. sin cos )4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()4k k Z ππ-∈小正周期为2π5. 过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则||AB =A.3B. C.6 D. 【答案】D 【解析】由题可知渐近线方程为y =，右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A ，B (2,-，所以||AB =6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【解析】分类讨论① 当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数，其余位置没有限制，故有133472C A =种。
四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
1。
已知集合}sin |{x y y A ==,{|(3)(21)0}B x x x =+-≤，则=B A ( ）A ．]21,3[-B ．]21,1[-C ．)21,1[- D ．)21,3(- 【答案】B考点:1.集合的基本运算;2。
三角函数的值域及一元二次不等式的解法。
2。
在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩(单位：分）.甲组乙组9 0 9x5 1 3y87 1 2 717,则x 、y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，7D ．8，7 【答案】C考点:统计。
3。
已知复数z 满足:i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ) A ．i 2 B ．i 2- C ．2 D ．2- 【答案】D 【解析】试题分析:由2=+zi i 得,22121i z i ii+==+=-+，所以虚部为2-.选D.考点：复数的基本运算。
4。
为了得到函数2sin3y x =的图象，可以将函数x x y 3cos 3sin +=的图象（ ）A ．向右平移12π个单位长 B ．向右平移4π个单位长C ．向左平移12π个单位长 D ．向左平移4π个单位长【答案】A考点：三角恒等变换及函数图象的变换。
5.已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若b a b a -=+,则实数λ的值为( ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 【答案】C考点：平面向量。
6。
设a 、b 是实数，则“22ab >”是“0a b >>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：若0a b >>，则必有22a b >。
22a b >时，不一定有0a b >>，故为必要而不充分条件,选B 。
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四川省2015年高三“联测促改”活动第二轮测试
数学（理）试题
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题：
1.复数
5
2i
-+的共轭复数是 (A)2i -+ (B)2i -- (C)2i - (D)2i +
2.命题“2
000,2x N x x ∃∈+<”的否定是
(A) 2000,2x N x x ∃∈+≥ (B) 2000,2x N x x ∃∉+≥ (C) 2000,2x N x x ∀∈+< (D) 2000,2x N x x ∀∈+≥
3.设0.623log 0.5,log (log 8)a b ==，则
(A)1a b << (B) 1a b << (C) 1b a << (D) 1b a << 4.已知函数2
1,[1,0)()1,[0,1)
x x f x x x +∈-⎧=⎨
+∈⎩，则()f x -的大致图象是
1
－121
x
y 1
－12
1
x y 1
－121
x
y
(A) (B) (C) (D)
5.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()3a b c a b c bc ++--=-,则A = (A)
6π (B)3π (C)2
π (D)23π
6.一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A BC D -，以顶点
A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒,则
1
AC AB
=
(B)2
250≤s i <500
输出sum sum=sum+f f=p i *w i *s i *(1-d)0≤s i <250
输入p i ,w i,s i
输入n,i=1,sum=0i ≤n
d=0.2i=i+1否
是
是
是结束
开始d=0.1
d=0
7.已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，直线l 是抛物线C 的准线，点A 是l 与x 轴的交点，点P 在抛物线C 上，且点P 到l 的距离为5，则cos APF ∠= (A)
57
(B)7 (C)2935
(D)35
-
8.
根据上述资料，之间关系的是
(A)40x y =
(B)2010
x
y =
- (C)2y = (D)y =9.某物流公司运费计算框图如图所示，其中d 为按运送里程给运费打
的折扣，n 为运送物品的件数．现有顾客办理A 、B 两件物品递送，其中A 物品运送单价为p 1=0.02元/千克•千米，重量为w 1=5千克，运送里程为s 1=250千米；B 物品运送单价为p 2=0.03元/千克•千米，重量为w 2=6千克，运送里程为s 2=500千米．则按运费计算框图算出该顾客应付运费sum ＝
(A)94.5元 (B)97元 (C)103.5元 (D)106元 10.设,0,,ln ln ,a b a b a b a b >≠-=-，给出下列结论：
①01ab <<，②01a b <+<，③1a b ab +->.其中所有正确结论的序号是 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
D C
B A
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题
11.在6(1)ax +的展开式中，含3
x 项的系数是160，则a =
12.如图，在ABC ∆中，,,AB AD AD BC =⊥且1AD =，则AB AD ⋅的值是 13.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是
14.已知椭圆C 与双曲线2
2
13
y x -=的焦点相同，且与直线4y x =+有公共点，当椭圆C 的长轴最短时，椭圆C 的离心率=
15. 某学科考试共有100道单项选择题，有甲、乙两种计分法。
若某学生有道题答对，道题答错，道题未作答，则甲计分法的得分为4b X a =-
，乙计分法的得分为5
c
Y a =+，某班50名学生参加了为科考试，现有如下结论：
①同一学生的X 分数不可能大于Y 分数；②任意两个学生X 分数之差的绝对值不可能大于Y 分数之差的绝对值；③用X 分数将全班排名次的结果与用Y 分数将全班排次的结果是完全相同的；④X 分数与Y 分数是正相关的。
其中正确的有 （写出所有正确的结论的序号） 三、解答题
16.已知向量(cos ,sin(
)),(23sin ,2cos )2
m x x n x x π
=+=.（Ⅰ）若0,m m ≠∥n ，求tan 2x 的
值；（Ⅱ）设函数()f x m n =⋅，求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合。
17.在数列{}n a 中，已知奇数项依次排列构成等差数列，1281,2,16a a a ===，偶数项依次排列构成等比数列，且8a 是15a 与17a 的等差中项。
求数列{}n a 的通项公式及前项和。
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平
面ABCD，E是线段AD的中点。
（Ⅰ）试在线段AB上找一点F，使平面PCF平面PBE，并
--的余弦值。
说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角E PC F
P
D C
E
B
A
19.某校开展校园文化活动，其中一项是背诵古诗100首，在该项进行一段时间后，随机抽取40人，统计调查了他们会背古诗的首数，得到的数据如下：
20 21 22 23 24 24 25 26 26 27 28 29 29 29 30 30 30 31 31 31
32 32 33 34 35 35 36 36 37 38 38 38 40 40 41 42 42 43 46 48
（Ⅰ）根据调查数据补全如下分组为[20,25),[25,30),...,[40,45),[45,50]的频率直方图；
（Ⅱ）从会背的古诗首数在区间[30,40)内的同学中随机抽取2人，求会背的古诗首数在区间[30,35),[35,40)内各有一人的概率。
（Ⅲ）从会背的古诗首数在区间[30,40)内的同学中随机抽取2人，求会背的古诗首数在区间
[35,40)内的人数ξ的概率分布列及数学期望。
20.设函数1
()ln(1)1f x x x
=
+++. （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明：当(0,1)x ∈时，2
2
1()(ln 21)12
f x x x <-++。
21.已知抛物线2:4C y x =和直线:4l y x =+。
（Ⅰ）求抛物线C 上一点到直线l 的最短距离；
（Ⅱ）设M 为l 上任意一点，过M 作两条不平行于x 轴的直线，若这两条直线与抛物线C 都只有一个公共点，这两个公共点分别记为A,B ，求MAB ∆的面积的最小值。