截断傅里叶级数的计算机图形化研究
傅里叶变换实验的算法原理
傅里叶变换实验的算法原理引言傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时间域转换到频率域。
它在信号处理、图像处理、通信等领域中得到广泛应用。
傅里叶变换实验是通过计算机程序模拟傅里叶变换的过程，以便更好地理解其基本原理。
基本概念在介绍傅里叶变换的具体算法之前，我们先了解一些基本概念。
时域和频域时域是指信号在时间上的变化情况，例如音频信号的波形图就是时域表示。
频域是指信号在频率上的分布情况，可以通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号。
周期信号和非周期信号周期信号是指具有重复性质的信号，例如正弦波、方波等。
非周期信号则没有明显的重复性质。
频谱频谱表示了一个信号在不同频率上的能量分布情况。
对于周期信号，它的频谱是离散的；对于非周期信号，它的频谱是连续的。
傅里叶变换的基本原理傅里叶变换的基本原理是将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
具体而言，傅里叶变换将一个函数f(t)分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，得到该函数在频域上的表示。
傅里叶级数展开对于周期信号f(t)，可以使用傅里叶级数展开来表示。
傅里叶级数展开将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数展开公式如下：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0是直流分量，an和bn是信号在频率为nω处的幅度，ω是基频（最低频率）。
连续傅里叶变换对于非周期信号f(t)，可以使用连续傅里叶变换来表示。
连续傅里叶变换将非周期信号表示为一个连续的频谱。
连续傅里叶变换公式如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)是信号在频率为ω处的幅度。
离散傅里叶变换实际应用中，我们通常处理的是离散的信号序列。
离散傅里叶变换可以将离散信号表示为一个离散的频谱。
离散傅里叶变换公式如下：X[k] = Σ[x[n]*e^(-j2πnk/N)]其中，X[k]是信号在频率为k/N处的幅度，x[n]是输入信号的离散采样值，N是采样点数。
傅里叶在c语言中的使用
傅里叶在c语言中的使用傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理等领域具有重要应用的算法。
它可以帮助我们将复杂的信号分解成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加，从而更好地分析信号的频率特性。
在C语言中，傅里叶变换有着广泛的应用，下面我们将介绍傅里叶变换的基本概念、实现方法以及应用场景。
一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将时间域或空间域的信号转换为频域信号的数学方法。
其基本原理是将一个复杂的信号分解成无数个简单的正弦和余弦函数的叠加，这种叠加称为傅里叶级数。
在实际应用中，为了减少计算量，通常只取级数的前几项进行计算。
傅里叶变换的数学表达式如下：X(f) = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) dt其中，x(t)表示时域信号，X(f)表示频域信号，ω表示角频率，j表示虚数单位。
二、傅里叶变换在C语言中的实现方法1.离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是傅里叶变换的一种离散形式，适用于离散信号的处理。
在C语言中，可以使用以下步骤实现DFT：（1）预处理：对输入信号进行窗函数处理，以减少频谱泄漏和旁瓣干扰。
（2）计算：按照DFT的计算公式，对输入信号的每个样本进行傅里叶变换。
（3）后处理：对变换结果进行幅度谱和相位谱的计算，并进行归一化处理。
2.快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效计算离散傅里叶变换的方法，其时间复杂度为O(n log n)。
在C语言中，可以使用以下步骤实现FFT：（1）初始化：根据输入信号的长度，构建FFT递归函数。
（2）基2递归：按照FFT递归函数，对输入信号进行分组，并计算每组的傅里叶变换结果。
（3）合并：将每组的傅里叶变换结果合并，得到最终的傅里叶变换结果。
三、傅里叶变换的应用场景傅里叶变换在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用，如音频信号分析、图像滤波、模式识别等。
通过傅里叶变换，我们可以更好地分析信号的频率特性，从而为后续的处理和分析提供便利。
四、C语言实现傅里叶变换的实战案例以下是一个简单的C语言实现离散傅里叶变换的示例：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>void fft(float *in, float *out, int n) {// 基2递归实现FFT}int main() {int n = 8; // 采样点数float x[] = {1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0}; // 输入信号float x_fft[n]; // 傅里叶变换结果fft(x, x_fft, n);// 输出傅里叶变换结果for (int i = 0; i < n; i++) {printf("x[%d] = %f", i, x_fft[i]);}return 0;}```五、总结与展望本文介绍了傅里叶变换在C语言中的基本概念、实现方法和应用场景。
傅里叶级数的应用
傅里叶级数的应用傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期性函数的方法，常应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。
下面是傅里叶级数在几个不同领域的应用：1. 信号处理傅里叶级数在信号处理中广泛应用。
信号可以被看作是一个周期性函数，通过分解为傅里叶级数，可以将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，每一个函数的幅值和相位角分别代表了信号中不同频率分量的强度和相位信息。
这种方法可以帮助我们把一个信号转换成频域表示，便于频域分析，比如滤波、降噪等。
2. 图像处理在图像处理中，傅里叶级数同样是非常常用的方法。
通过将图像转换为一维信号，如从左到右、从上到下扫描，将其分解为傅里叶级数，并将系数转换为频域显示，可以更好地理解图像的频域特征，从而实现图像处理中的滤波、增强等操作。
傅里叶级数还可以用于图像压缩中，通过压缩高频分量来减少图像的存储空间而不影响其主要特征。
3. 物理学傅里叶级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在电子学中，可以通过傅里叶级数将变化的电流和电压表示为一组正弦和余弦波，方便分析。
在声学中，傅里叶级数可以将声波分解为不同频率的正弦和余弦波，并可以通过变换频域的系数来实现滤波、降噪等处理。
在光学中，傅里叶级数可以将复杂的光场分解为不同频率的光波，便于成像和分析。
4. 数学傅里叶级数是一种表示周期函数的方法，因此在数学领域中也有着广泛的应用。
例如，可以用傅里叶级数表示周期为 $2\pi$ 的函数，通过分解不同频率的正弦和余弦波来求解函数的性质。
傅里叶级数还可以用于求解偏微分方程等数学问题，通过将问题转化为求解一组傅里叶级数系数的问题来解决。
总之，傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，在信号处理、图像处理、物理学等各个领域中都有着广泛的应用，为我们研究和解决问题提供了有效的数学工具和方法。
傅里叶变换在数字图像处理中的应用课件
• 由欧拉公 式
f (t)
F (n1 )e jn1t
• 其中 n
F (0) a0
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
引入了负频率
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
10
非周期信号的频谱分析
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成 了非周期信号的单脉冲信号
T1
频率也变成连续变量
1
2
T1
0 d
n1
11
非周期函数傅立叶变换分析式
F (w) f (t )e jwt dt f(t) Nhomakorabea1
2
F ().e jtd
频谱演变的定性观察
1
2
T1
F (n1)
-T/2
T/2
F (n1) 1
F (n1 )
-T/2
T/2
1
2
2
13
三.从物理意义来讨论FT
(a) F(ω)是一个密度函数的概念 (b) F(ω)是一个连续谱 (c) F(ω)包含了从零到无限高
傅里叶变换
连续时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期 性
离散时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期
性
连续函数的 傅立叶变换
一、三角函数的傅里叶级数:
f1(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
直流 分量
基波分量 n =1
谐波分量 n>1
N 1
j 2 mn
X (m) x(n)e N , m 0,1, 2,3, 4,...N 1
傅里叶级数cesaro和 -回复
傅里叶级数cesaro和-回复傅里叶级数是数学中的一个重要概念，可以用来表示周期函数。
而Cesàro 求和则是对一般序列的求和方法。
现在我们将重点讨论傅里叶级数和Ces àro求和的相关性质以及它们的应用。
首先，让我们回顾一下傅里叶级数的定义。
对于一个周期为2π的函数f(x)，我们可以将其表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
具体地说，傅里叶级数可以写成以下形式：f(x) = a₀+ Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))其中a₀、aₙ和bₙ是函数f(x)的系数，n为正整数。
这个级数可以收敛到函数f(x)本身，只要函数f(x)满足一定的条件。
这个结果被称为傅里叶级数的收敛定理。
然而，在实际计算中，傅里叶级数的求和往往会遇到一些困难，特别是在级数边界上。
为了克服这个问题，我们可以考虑使用Cesàro求和。
Cesàro求和最早由意大利数学家Ernesto Cesàro在19世纪末引入。
对于一个一般的序列{aₙ}，其Cesàro求和可以通过以下方式计算得到：SN = (a₀+ a₁+ ... + aₙ)/n其中SN表示前n项的求和，n为正整数。
Cesàro求和的关键思想是通过取序列的部分和的平均值来获得更好的近似结果。
现在，让我们来探讨傅里叶级数和Cesàro求和之间的关系。
事实上，对于一个收敛的傅里叶级数，其Cesàro求和也会收敛到同一个函数。
这一点可以通过数学上的严格证明得到。
具体来说，如果函数f(x)的傅里叶级数收敛到L，在某个点x处。
那么对于Cesàro求和SN来说，它也会收敛到L在那个点的函数值。
这意味着Cesàro求和是傅里叶级数收敛的一种更强形式。
这个结果被称为Cesàro 定理。
在实际应用中，Cesàro求和在处理傅里叶级数的发散问题上具有重要意义。
傅里叶变换及C语言实现
傅里叶变换及C语言实现傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它是由法国数学家傅里叶（Joseph Fourier）在19世纪提出的，被广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
F(k)=∫[f(x)e^(-2πikx)]dx其中，F(k)是频域中的复数值表示，k表示频率，f(x)是时域信号。
在计算机中，我们通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT），用于处理离散的时域信号。
离散傅里叶变换可以表示为：X(k)=∑[x(n)e^(-2πikn/N)]其中，X(k)是频域中的复数值表示，k表示频率，x(n)是时域信号，N表示信号的长度。
C语言是一种广泛应用于嵌入式系统、操作系统、驱动程序等领域的编程语言。
在C语言中，我们可以通过编写代码来实现傅里叶变换。
以下是一个简单的C语言程序，用于实现离散傅里叶变换（DFT）：```C#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 8 // 信号长度typedef structdouble real;double imag;int k, n;double angle;for(k = 0; k < N; k++)output[k].real = 0;output[k].imag = 0;for(n = 0; n < N; n++)angle = 2 * M_PI * k * n / N;output[k].real += input[n].real * cos(angle) + input[n].imag * sin(angle);output[k].imag += input[n].imag * cos(angle) - input[n].real * sin(angle);}}int main(void)int k;dft(input, output);for(k = 0; k < N; k++)printf("X(%d) = %f + %fi\n", k, output[k].real,output[k].imag);}return 0;```该程序中的信号长度N为8，可以根据实际需求进行修改。
《傅里叶级数》课件
傅里叶系数： a_n和b_n，可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性：对于满足 一定条件的函数， 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例：计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤：确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义：将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
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实例：计算余弦函数的傅里 叶级数
实例：计算三角函数的傅里 叶级数
实例：计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计：傅里叶级数可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析：傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分，如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理：傅里叶级数可以用于处理信号，如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义：将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式：f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域
《高数-傅里叶级数》课件
02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和，便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开，得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn，可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域，傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分，以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛， 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅， 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中， 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中，得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式，对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有 助于信号的频谱分析和特征提取。
傅里叶级数与信号处理技术
傅里叶级数与信号处理技术傅里叶级数是一种分析信号的数学工具，它广泛应用于信号处理领域。
本文将介绍傅里叶级数的基本概念、原理以及在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是将一个周期函数表示成若干个正弦和余弦函数的和的形式。
对于一个周期为T的函数f(t)，傅里叶级数展开可以表示为：f(t) = a0 + Σ [an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是函数f(t)的直流分量，an和bn是f(t)的交流分量，ω0 = 2π/T是角频率。
二、傅里叶级数的原理傅里叶级数的基本原理是根据任意周期函数可以展开成一系列三角函数的和。
这是因为正弦和余弦函数是完备函数集，可以表示任意形状的周期函数。
傅里叶级数的计算方法基于欧拉公式和欧拉恒等式，通过将周期函数展开成正弦和余弦函数的和，可以求得函数的频谱信息，包括频率和振幅。
三、傅里叶级数在信号处理中的应用1. 信号分析：傅里叶级数可以将信号分解成不同频率的分量，通过分析这些分量的变化可以获得信号的频域信息，包括频率分量和振幅分量。
这对于识别和分析信号非常有用，例如在音频处理中可以通过傅里叶级数将声音信号分解成不同频率的音调。
2. 信号合成：傅里叶级数可以将不同频率的分量合成成一个周期函数，从而生成各种复杂的信号。
这在信号合成和信号模拟中广泛应用，例如在通信系统中利用傅里叶级数合成正弦信号作为载波信号进行调制。
3. 滤波器设计：傅里叶级数可以用来描述滤波器的频率响应。
通过对滤波器的输入信号进行傅里叶级数展开，可以得到滤波器对不同频率分量的响应情况，从而进行滤波器的设计和优化。
4. 压缩与编码：傅里叶级数可以用于信号的数据压缩和编码。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号在时域上的波形转化为频域上的频谱图，从而去除冗余信息并实现信号的压缩。
四、总结傅里叶级数是一种非常重要的信号处理技术，它可以将信号在时域和频域之间进行转换。
通过傅里叶级数的分析和合成，可以获取信号的频率分量和振幅信息，实现信号的分析、合成、滤波和压缩等操作。
《傅里叶变换》课件
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
傅里叶级数理论
傅里叶级数理论
傅里叶级数理论是19世纪法国数学家Joseph Fourier提出的一种函数分析理论，它提出了任何一个连续的波形都可以用无穷高次的正弦函数和余弦函数的和来表示。
该理论可以用来表示图像、声音、热力学及其他科学领域的函数。
例如，单个的正弦波可以用 sin (x/T) 来表示，而余弦波可以用 cos (x/T) 来表示，其中T是一个实数，表示一个全周期内实际上重复的次数。
傅里叶级数理论描述了一般函数可以用正弦函数和余弦函数来表示，这是由傅里叶级数定理可以得出的结果，它证明了函数将正弦函数和余弦函数的无穷级数作为参数，可以以这种形式来描述关于函数的基本性质。
此外，它还提出了一种特殊类型的级数，称为傅里叶数列或傅里叶分析，它可以用来表示任何一个连续的或可计算的函数，而不仅限于正弦和余弦波。
傅里叶级数理论在许多科学领域中都有广泛的应用，它可以用来模拟常见的热力学行为，也可以用来准确地表示时间和频率特性，以及物体直线动态和三维行为的形状及其物理性质的变化。
比如传统的自然现象，如正弦曲线、矩形曲线、平坦曲线、抛物线、菱形曲线和锥形曲线，它们都可以通过傅里叶级数理论模拟出来。
它的应用涉及到各种类型的函数，例如电磁学、信号处理、调制解调、系统分析、电子技术、计算机图形学等等。
此外，傅里叶级数理论也可以用来解释熵的变化、地震学、色谱分析、电机调节、声像学以及许多其他复杂问题。
在总结傅里叶级数理论时，可以说它是利用正弦函数和余弦函数来表示任何一个连续或可计算的函数的一种函数分析理论，它的应用渗透到了多个领域，并且在这些领域中有着广泛而重要的应用，甚至影响了很多现象解释的结果。
傅里叶级数与离散傅里叶变换
傅里叶级数与离散傅里叶变换傅里叶级数和离散傅里叶变换是信号处理领域中重要的数学工具，它们在信号分析、滤波、频谱分析等方面有着广泛应用。
本文将介绍傅里叶级数和离散傅里叶变换的原理及其应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将周期函数分解为多个正弦和余弦函数的和的方法，它基于傅里叶分析的思想，将一个周期T的函数f(t)展开为如下级数: f(t)= a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an、bn为系数，ω为角频率，n为谐波次数。
傅里叶级数的核心思想是，对于一个周期函数，我们可以通过调整不同频率的正弦和余弦函数的振幅和相位，将其准确地表示出来。
傅里叶级数展开使得我们能够分析周期信号的复杂性质，并且可以实现信号的合成和分解。
在实际应用中，傅里叶级数常常被用于信号的频谱分析。
通过计算每个谐波的振幅和相位，我们可以得到信号在频域上的分布情况，进而得到信号的频谱特征。
这对于识别信号的频率成分、滤波、信号合成等都有着重要作用。
二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶级数在离散信号分析中的推广，它适用于一般的非周期信号和有限序列的频谱分析。
离散傅里叶变换将一个有限长N的离散序列x(n)变换为一个频域上的离散序列X(k)，变换过程如下所示：X(k) = Σ(x(n) * e^(-j*2πkn/N))其中，x(n)为原始序列，X(k)为变换后的频域序列，e为自然对数的底。
离散傅里叶变换为我们提供了一种在计算机上进行信号分析的有效方法。
通过对信号进行离散采样，我们可以得到一个离散序列，再通过离散傅里叶变换，我们可以获得信号的频域特征。
在数字音频、图像处理、通信系统等领域中，离散傅里叶变换得到了广泛应用。
三、傅里叶级数与离散傅里叶变换的应用傅里叶级数和离散傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是它们在几个典型领域中的应用示例：1.频谱分析：通过傅里叶级数和离散傅里叶变换，我们可以将一个信号分解为不同频率的谐波成分，并得到信号的频谱特征。
截尾傅里叶级数-解释说明
截尾傅里叶级数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分傅里叶级数是数学中一种重要的分析工具，它可以将一个周期函数分解成一系列基本的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶级数的应用十分广泛，尤其在信号处理、图像处理、物理学以及工程领域具有重要作用。
然而，在实际应用中，我们通常只能获得一个周期函数的有限个采样点，而无法得到其完整的函数表达式。
在这种情况下，截尾傅里叶级数应运而生。
截尾傅里叶级数是对傅里叶级数的一种近似表示，它只考虑了截取周期函数部分的信息。
通常我们会截取一个适当的周期函数区间，然后通过计算该区间内的有限个采样点来构造截尾傅里叶级数。
虽然只使用了有限个采样点，但截尾傅里叶级数仍然能够近似地表示原始函数，并且在实际应用中具有很高的效用。
本文将首先介绍傅里叶级数的基本概念，包括傅里叶级数的定义、性质以及其在周期函数分解中的重要性。
随后，我们将详细讨论截尾傅里叶级数的定义以及其性质。
最后，通过总结截尾傅里叶级数的应用和展望未来的研究方向，我们给出了本文的结论。
在接下来的文章中，我们将对傅里叶级数和截尾傅里叶级数进行深入的研究，探索它们在不同领域中的应用，并展示它们的重要性和灵活性。
希望通过本文的阐述，读者能够对截尾傅里叶级数有更深入的理解，并能够将其灵活运用于实际问题的求解中。
1.2 文章结构2.正文2.1 傅里叶级数的基本概念2.2 截尾傅里叶级数的定义2.3 截尾傅里叶级数的性质文章结构部分内容：本文主要围绕截尾傅里叶级数展开讨论。
在正文部分，将从傅里叶级数的基本概念开始介绍，包括傅里叶级数的定义、性质等内容，为读者建立起必要的理论基础。
接着，重点讨论截尾傅里叶级数的定义，通过探究截尾傅里叶级数在数学中的具体应用，揭示其重要性和特点。
此外，还将分析截尾傅里叶级数的性质，从数学角度全面解读其特殊性质及作用。
通过本文的研究，读者将了解到截尾傅里叶级数在数学领域的重要意义，它不仅为我们提供了一种数学工具和计算方法，还在物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。
数学拓扑学与傅里叶级数
两者结合的研究方向和前景展望
拓扑学与傅里叶级数在数学领域的应用 两者结合在物理、工程等领域的应用前景 未来研究方向：拓扑学与傅里叶级数的交叉研究 未来展望：拓扑学与傅里叶级数在科技领域的重要作用
计算机科学：拓扑数 据分析用于处理大规 模数据集，拓扑排序 用于解决图论问题
生物学：研究生物 系统的拓扑结构， 如神经网络、蛋白 质折叠等
社会科学：研究社 会现象的拓扑结构 ，如社交网络、城 市规划等
傅里叶级数简介
傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法 它由正弦函数和余弦函数组成 每个函数项的系数是原函数的傅里叶系数 傅里叶级数在信号处理、量子力学等领域有广泛应用
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数学拓扑学与傅里叶级 数
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目录
添加目录标题 数学拓扑学概述 傅里叶级数简介
01 02 03
数学拓扑学与傅里叶级数 的联系
04
数学拓扑学与傅里叶级数 的实例分析
05
数学拓扑学与傅里叶级数 的发展趋势和未来展望
06
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数学拓扑学概述
拓扑学的定义和起源
定义：数学拓扑学是 研究几何图形或空间 在连续变换下保持不 变的性质的学科。
对未来研究的建议和展望
深入研究拓扑学与傅里叶级数的内在联系，以揭示更多数学规律。 探索拓扑学与傅里叶级数在物理、工程等领域的应用，推动交叉学科发展。 利用现代计算技术，开发高效算法，以解决拓扑学与傅里叶级数中的复杂问题。 加强国际合作与交流，共同推进数学拓扑学与傅里叶级数的发展。
傅里叶级数图案设计初探
傅里叶级数图案设计初探李雪枫;袁涛【摘要】随着计算机美术的产生,数学的公式、定理中蕴含的美逐渐在艺术领域里为人们所发现和利用.将傅里叶级数与图案纹样的构成形式相结合,对图案纹样的创新设计进行研究和实践.傅里叶级数形成具有数理关系和非人为因素的图形,为图案纹样设计提供了新的理性创作工具,也为设计师提供更广阔的形态创造空间.【期刊名称】《湖南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(020)001【总页数】3页(P21-23)【关键词】数学;艺术;傅里叶级数;图案;设计【作者】李雪枫;袁涛【作者单位】昆明理工大学,机电工程学院,昆明,650093;昆明理工大学,机电工程学院,昆明,650093【正文语种】中文【中图分类】O174.2;J206艺术与数学有着极其丰富的普遍意义和极其深刻的美妙联系.多少世纪以来,艺术家在进行艺术的创作中,利用数学原理和数学方法而使画面充满了和谐与美感.古希腊雕塑家们曾把黄金分割用在他们的许多作品的比例中.伟大的达◦芬奇在其绘画研究中运用黄金矩形、比例和射影几何,取得了非凡的成就.今天,数学在为艺术家提供创造和传达他们思想的灵感和工具方面仍然起着积极的作用.艺术家利用数学思想创造更深邃的艺术.事实上,有很多艺术家正在进行与数学思想——多维空间和计算机再现技术的数学思想有关的艺术探索.数学(特别是现代数学)的研究对象在很大程度上可以被看成是“思维的自由想象和创造”.因此,美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位,以致在一定程度上数学就可被看成一种艺术.数学理论以逻辑的严密性和规律性,在艺术的领域里借助于直觉、想象等非逻辑思维.提出新的概念和理论.所以,数学不仅有利于发展人们的逻辑思维,而且也有利于在人们的创造活动中对审美、直觉的发展.近代计算机技术更是将数学与美术这两者紧密地结合起来,形成了一门崭新的边缘学科--数学美术学.1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候,数学公式所具有的美学价值被曼德布尔鲁斯所发现①,这就打开了数学美术宝库的大门,使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵.由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品,可以用电脑根据实物自行改变大小进行组合形成局部图案,再自动拓展设计出复杂的图案,广泛用于印染、针织、装潢.许多复杂的绘制过程和难以得到的视觉效果,在电脑中变得轻而易举.1 傅里叶级数及其展开图的绘制1.1 傅里叶级数的概念傅里叶级数原来主要应用于信号分析.自然界中周期现象的数学描述构成周期函数.傅里叶级数反映了一个周期函数可以分解为有限或无限多个不同频率的正弦(或余弦)信号之加权这样的一个基本事实,同时也说明了无限多个不同频率的正弦(或余弦)信号可以合成某一指定的周期信号.下面是傅里叶级数的概念:如果公式中的积分都存在,这时它们定出的系数叫做函数 f(x)的傅里叶系数,将这些系数代入(1)式右端,所得的三角级数叫做函数 f(x)的傅里叶级数.将一个周期函数展开为傅里叶级数的公式依赖于三角函数组的正交性.1.2 傅里叶级数图形的绘制图2 是以上代码中在区间上的傅里叶展开图.图1 级数图形图2 不同区间的级数图形通过以上一个简单的例子,我们可以看出:傅里叶级数图形非常具有节奏韵律感,并且,当改变变量的取值范围,就可以生成重复的、变化的图案,由此得到变化的单元及重复的有节奏的构图.2 傅里叶级数图形在图案设计中的应用2.1 傅里叶级数图形的形态特征由于三角级数的周期性,傅里叶级数图形具有反复出现的形态特征,并且在反复的同时兼有大小的变化、高低的起伏,因而傅里叶级数图形具有强烈的节奏与韵律感,如图3所示;傅里叶级数图形在构图上是对称、平衡的图形.如图4,这是一个完全对称、平衡的图形,结构规则,平稳统一,在视觉心理上偏于严谨和理性.我们在图案设计中采用这些形式能使图案产生安静、平稳和庄重之感.图3 级数图形的节奏韵律图4 级数图形的对称平衡2.2 应用傅里叶级数进行图案设计图案纹样的构成形式可分为独立式和连续式两类.独立式受外形左右,分为单独纹样和适合纹样;连续式多分为二方连续和四方连续等综合纹样.(1)单独纹样图案的设计单独纹样是图案组织中最基本的形式,由它进行组合、排列或者发展、衍生,可构成丰富的图案变化.当然,它可以进行正负形态的变化、或者比例变形.因此,又被称为基本形.单独纹样的应用范围很广泛:室内的装饰浮雕、壁饰、椅子背、服装的前身、领角、领带及皮包、发卡等;纺织品的床单、毛巾、手绢等以及在器物上.图5 基本形1图6 单独纹样1图7 单独纹样2图5 是傅里叶级数基本形.图6 是将此基本形导入CorelDRAW软件中经90°旋转变化得到的单独纹样.图7 是同一基本形在CorelDRAW软件中经逻辑运算设计得到的单独纹样. (2)二方连续图案的设计二方连续纹样是通过基本形的线型排列所形成的,是一种具有连续性的纹样图形.通常连续展开于左右(横)或上下(纵)两个方向.二方连续纹样主要应用在:地毯、瓷砖、墙线装饰、铁艺栏杆;纺织品桌布、床单边饰及各种装饰布边;盆边、碗边、碟边,还有服装衣摆、围巾边饰、挂包等等.图8 是由与图5相同的基本形1创作出的二方连续纹样.将傅里叶级数基本形导入CorelDRAW软件中经旋转、拼接、翻转设计变化而来.图8 二方连续纹样(3)四方连续图案的设计四方连续纹样是通过基本形的面型排列所形成的连续纹样.四方连续纹样适合于大面装饰,如纺织品、壁纸、建筑纹样、地砖等.图11是由基本形2(图9)和单独纹样3(图10)共同创作出的四方连续纹样.3 结语通过以上设计实例可以看出:傅里叶级数图形本身就具有很强的节奏性和美感.应用傅里叶级数的基本形、变体和其组合,创作出的图案体现出对称与平衡、节奏与韵律、变化与统一等形态特征.通过不同的构图方法,相同的基本形可以产生出多种纹样图形,并且创作出的图案形象丰富,图为形,地亦为形,图地互换,形成正负形态.傅里叶级数形成的图形具有强烈的数理关系和非人为的因素,其原始图形揭示了设计艺术形式规则中的数理内涵,也为设计艺术增添了理性化的表达方式,并在形态的创造方面赋予设计师更广阔的空间.参考文献【相关文献】[1]张维忠.文化视野中的数学与数学教育[M].北京:人民教育出版社,2006:31-33.[2]徐人平.设计数学[M].北京:化学工业出版社,2006:152-153.[3]何洁.数字图形构成[M].北京:清华大学出版社,2006:32-35.[4][日]雨宫好文,佐藤幸男.信号处理入门[M].北京:科学出版社,2000:11-12.。
被截断的余弦函数的傅里叶变换
被截断的余弦函数的傅里叶变换余弦函数是数学中常见的一种周期函数，它在信号处理、图像处理以及物理学等领域有着广泛的应用。
而傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，从而分解和分析复杂的波形。
本文将讨论被截断的余弦函数的傅里叶变换及其在实际应用中的意义。
我们来了解一下余弦函数及其特性。
余弦函数是以周期为2π的方式在实数轴上重复的函数，可以表示为f(x) = cos(x)。
它具有以下特点：在每个周期内，余弦函数的值在-1到1之间变化；在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1；余弦函数是偶函数，即f(x) = f(-x)。
然而，在实际应用中，我们经常会遇到被截断的余弦函数。
这意味着余弦函数在某个范围内被截取或截断，只保留其中的一部分。
这种截断可以通过限制余弦函数的定义域或通过乘以一个窗函数来实现。
被截断的余弦函数在信号处理中有着重要的作用，可以用于产生特定频率的信号或滤波等应用。
接下来，我们将讨论被截断的余弦函数的傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的数学方法。
对于被截断的余弦函数，其傅里叶变换可以通过积分计算得到。
然而，由于本文要求不得包含数学公式或计算公式，我们将以文字的形式来描述被截断的余弦函数的傅里叶变换。
被截断的余弦函数的傅里叶变换是一个复数函数，表示被截断的余弦函数在频域内的分布情况。
傅里叶变换将余弦函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的和，而被截断的余弦函数的傅里叶变换则表示了在截断范围内不同频率成分的贡献程度。
当截断范围越大时，傅里叶变换中的频率成分越多，反之亦然。
被截断的余弦函数的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的意义。
首先，它可以用于信号合成。
通过调整截断范围和截断位置，我们可以生成具有特定频率成分的信号。
这在通信领域中尤为重要，可以用于产生不同频率的载波信号或调制信号。
其次，在滤波应用中，被截断的余弦函数的傅里叶变换可以用于设计数字滤波器。
被截断的余弦函数的傅里叶变换
被截断的余弦函数的傅里叶变换
被截断的余弦函数的傅里叶变换是一种常见的信号处理技术，它可以将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而更好地理解和处理信号。
在信号处理中，余弦函数是一种常见的周期函数，它可以表示许多不同类型的信号，包括音频、图像和视频等。
然而，在实际应用中，我们往往只需要处理信号的一部分，而不是整个信号。
这时，就需要使用被截断的余弦函数的傅里叶变换。
被截断的余弦函数的傅里叶变换是指将一个信号在一定时间范围内进行傅里叶变换，而不是在整个时间范围内进行变换。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率，同时还可以避免一些信号处理中的问题，如频谱泄漏等。
具体来说，被截断的余弦函数的傅里叶变换可以通过将信号乘以一个窗函数来实现。
窗函数是一种在一定时间范围内为1，在其他时间范围内为0的函数，它可以将信号限制在一定的时间范围内，从而实现信号的截断。
常见的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
不同的窗函数有不同的特点和应用场景，选择合适的窗函数可以提高信号处理的效果。
被截断的余弦函数的傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，如音频处理、图像处理、视频处理等。
在音频处理中，它可以用于音频
压缩、降噪、滤波等；在图像处理中，它可以用于图像增强、边缘检测、模糊处理等；在视频处理中，它可以用于视频压缩、运动估计、帧间预测等。
被截断的余弦函数的傅里叶变换是一种重要的信号处理技术，它可以将信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而更好地理解和处理信号。
在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的窗函数和截断时间，以达到最佳的信号处理效果。
被截断的余弦函数的傅里叶变换
被截断的余弦函数的傅里叶变换在数学中，傅里叶变换在各种领域中都有广泛的应用，其中包括信号处理、图像处理、物理学等等。
在这些应用中，经常需要处理被截断的信号或函数。
在本篇文章中，我们将讨论被截断的余弦函数的傅里叶变换。
首先，让我们回顾一下余弦函数的定义：$$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$余弦函数是一个周期为$2\pi$的函数，其从$- \infty$到$+ \infty$可表示为：其中，$C_n$为系数，其计算公式为：现在，假设我们有一个被截断的余弦函数$f(x)$，其定义为：其中，$rect(\frac{x}{\pi})$是一个矩形函数，其为：$$rect(\frac{x}{\pi}) = \begin{cases} 1 & -\pi/2 < x < \pi/2 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$简单来说，$rect(\frac{x}{\pi})$就是在区间$[-\pi/2, \pi/2]$内为常数$1$，在其他区间内为常数$0$的一个函数。
这个函数的作用是将原始的余弦函数$f(x)$进行截断，使之在一个有限的区间内才有值。
现在，我们要计算这个被截断的余弦函数的傅里叶变换$F(\omega)$。
根据傅里叶变换的定义，我们可以写出其表达式：将$f(x)$代入上式，得到：在这个积分中，$rect(\frac{x}{\pi})$的值在$[-\pi/2, \pi/2]$之外都为$0$，因此我们可以将积分的范围缩小为$[-\pi/2, \pi/2]$：现在，我们需要计算这个积分的值。
由于$\cos(x)$是偶函数，因此：我们可以使用公式$\cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$将上式展开为两个积分：$$F(\omega) = \frac{1}{2} (\frac{2\sin(\frac{3\pi}{4}\omega)}{1+\omega} +\frac{2\sin(\frac{\pi}{4}\omega)}{1-\omega})$$进一步化简，得到：至此，我们得到了被截断的余弦函数的傅里叶变换表达式。
傅里叶级数的ai应用
傅里叶级数的ai应用
傅里叶级数在ai应用中有重要作用。
首先，傅里叶变换提供了一种从空域到频率自由转换的途径，能够将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。
在AI应用中，这有助于分析和处理图像、音频等信号，提取出其中的关键信息。
其次，傅里叶变换在信号处理中也有广泛的应用。
例如，在无线通信中，傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而更容易地分析和处理信号。
此外，在音频处理中，傅里叶变换也被用于音频的压缩、降噪等。
最后，傅里叶变换还在机器学习中发挥了重要作用。
例如，在卷积神经网络（CNN）
中，傅里叶变换被用于加速卷积运算，提高了模型的训练速度。
此外，傅里叶变换还被用于图像识别、语音识别等领域，帮助提高模型的性能。
总之，傅里叶级数在AI应用中具有重要的作用，它提供了一种从空域到频率自由转换的途径，能够分析和处理各种信号，提高模型的性能。
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参 考 文献 １ ４ １ 的构 造 Ｐ ｌ 对 称 动 力 系统 的迭 代 映
（ 分 别为 ｌ ８和 ９ ８ ） 表示。 采用 前述 方法 构造 了 ２族 迭 代 映射 相 应 的动 力 系统 ， 并 进 行 了相 应 的 图形 化 研 究 。首 先利用 蒙特 卡 罗搜索 法 随机搜 索 ２族 动力 系统 对 应 的参 数 ，判 定 选 定 参 数 下 的 动 力系 统 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ ｎ矩 阵行 列式 值 为 零 的 动力 平 面上 的极 值 点
重要作用 ； 另一方面 ， 计 算 机 的应 用 也 大 大 推 动 了 分形 理论 的发 展 。因此 科技 的进 步 带来计 算 机技 术 的普 及 和 图像 处 理 能力 的 提升 ， 使 得 艺术 数 字 化 不 再 是 一 个 梦想 。利用 分 形 、 混 沌等 概 念 大量 构 造 的 混 沌 吸 引 子 图 案 和 各 种 分 形 图案 的 研 究 工 作 吸 引 了从 事 数 学 、 计算机 、 艺 术设 计 各个 领 域 的 研 究 人
截 断傅 里 叶级 数 对 应 的迭 代 映射 的平 面对 称 的动 力 系统 ， 生 成 大量 的平 面等距 排 列 的混 沌 吸 引子 图
案。
一
科之一 。 公元前 三世纪 ， Ｅ ｕ ｃ ｌ ｉ ｄ 集前人几何学研究之 大成 ， 撰写了共十三卷的《 几何原本） ） （ Ｅ ｌ ｅ ｍ ｅ ｍ ｔ ｓ ） 。 但 是欧式几何 的研究对象过于简单 ，直至 ２ Ｏ 世纪 ７ ０
） ＝ ＋ ∑（ ｃ 。 ｓ ｎ ｘ ＋ ｂ ． ｓ ｉ ｎ ｎ ｘ ）
厶 ｎ：１
（ １ ）
其中％ ＝ 旦 Ｉ． ３ ） ｃ ｏ ｓ ｎ
一
（ ｎ ＝ ０ ， １ ， ２ ， ３ ， Ｌ ） ； （ ２ ）
６ 盟 ｆ ｘ ） ｓ ｉ ｎ ｎ ｘ ｄ ￣（ ｎ ＝ ０ ， １ ， ２ ， ３ ， ￡ ）
１ ７
孙艳 玲 ， 徐启程 ， 孙 丽 华
丽数 ） 的傅里 叶系 数 。
（ 二） 截 断傅 里叶级数 的迭代 映射
公式 （ ３ ） 和（ ４ ） 分别 含有 １ ８个 参 数 和 ９ ８个 参
数 。将 系 数矩 阵 Ａ （ ＝ １ ， ２ ） 用 向量 ＝ （ ｆ ｚ ２ ， Ｌ， ） ’
７ ｒ Ｊ
公式 （ １ ） 和（ ２ ） 中 所 表 示 的傅 里 叶 正 弦级 数 是
傅里叶级数的特殊形式 ，傅里 叶级数是周期 函数 。 公式（ １ ） 叫做 函数ｆ （ ｘ ） 的傅里叶级数 ， 公式 （ ２ ） 叫做
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ４ — ０ ２
基金项 目： 国家 自然 科学 基金项 目（ ６ １ ２ ７ ２ ２ ５ ３ ） ， 辽宁省教育厅 基金项 目（ Ｌ ２ ０ １ １ ０ ９ １ ） ， 辽 宁省科技 厅基金项 目（ ２ ０ １ ３ ０ ２ ０ ０ １ ３ ） ， 沈 阳市科技局基金 项 目（ Ｆ １ ２ — ２ ７ ７ — １ — ０ ８ ） ， 沈阳建筑大学青 年基金 项 目（ ２ ０ １ ２ ４ ７） ０ 作者简介 ： 孙艳玲（ １ ９ ７ ９ 一 ） ， 女， 辽宁辽 阳人 。讲师 ， 硕士 ， 研究方 向： 非线性动力系统的计 算机图形化。
年代 Ｊ ｕ ｌ ｉ ａ的学 生 Ｂ ． Ｂ ． Ｍａ ｎ ｄ ｅ ｌ ｂ ｒ ｏ ｔ 在 计 算 机 上 构 造
出了以他 的名字命名的 Ｍ ａ ｎ ｄ ｅ ｌ ｂ ｒ ｏ ｔ 集， ［ １ － ２ １ 极其复杂 的混沌分形现象引起 了世界科学的震惊 。同时 ， 随
着 计 算 机软 硬件 技 术 的迅 速 提 高 ， 使 动力 系 统 图形 化 方 面 的研 究 工作 得 以深入 开展 。分 形理 论 与计算
、
傅 里 叶级 数
（ 一） 傅 里 叶级数 的定 义
设， （ ） 是周期为 ２ 盯的周期函数 ， 且 能展开成
三角级 数 ：
机科学理论相结合 ， 一方面 ， 分形理论 推动了计算 机可视化图形方法的迅速发展 ， 使计算机在信息压 缩、 储存及模拟 自然现象 中的各种奇妙图形发挥了
襄 阳职 业技 术 学 院学报
第 １ ３卷
双 月 刊
第 ５１ ３ ． ３ ９ ６ ９ ６ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ２ ０ ９ ５ － ６ ５ ８ ４ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ５ ． ０ １ ７
截断傅里叶级数的计算机图形化研究
孙艳玲 ， 徐 启程 ， 孙 丽 华
（ 沈 阳建 筑大 学 理 学院 ， 沈 阳 １ １ ０ １ ６ ８ ）
摘
要： 分析傅 里叶 级数 迭 代 映射 的特 点 ， 以矩 阵乘 积 的运 算形 式 为工 具 ， 构 造截 断傅 里 叶 级数 对 应 的
平面动力 系统。运用蒙特卡罗搜索法选定参数向量 ， 并通过李雅普诺夫指数确定动力系统的动力学特性 ， 构
中图分 类 号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ４ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ２ ０ ９ ５ — ６ ５ ８ ４ （ ２ ０ １ ４） ０ ５ — ０ ０ １ ７ — ０ ３
几 何 学 是 数 学 乃 至 整 个 科 学 中 最 为 古 老 的学
员 的研究兴趣。 本文分析 Ｃ ｌ ｉ ｆ ｆ ｏ ｒ ｄ Ａ ． Ｒ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ 提出的 标准平面结 晶体群 映射函数 的特点 ， 构造 出不同的
造 出周 期 窗 口 内的 混沌 吸 引子 。 任 意周期 窗 口间相 应 点之 间 的对应 关 系是线 性 的 ， 因此 构造 出的 图案 是连 续
的且结构相 同的。 选用任 意的周期窗口作为基本计算区域 ， 提 出构造 出平面排列图案的算法。 实验结果表明 ，
采 用文 中算法 可 以生成 大量 的平 面等 距排 列 的混 沌吸 引子 图案 。 关 键词 ： 动力 系统 ； 周期 窗 口 ； 截 断傅 里 叶级数 ； 混沌 吸 引子