宁夏银川市兴庆区2020届高三上学期第五次月考数学(文)试题 含解析

数 学（文科）页数：共2页 满分：150分 答题时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}|234B x x =-<，则A B =（ ）A. {}4,8B. {}0,2,6C. {}0,2D. {}2,4,6【答案】C 【解析】 【分析】化简集合B ，进而求交集即可得到结果.【详解】由题意可得}{3.5B x x =<，又}{0,2,4,6,8,10A = ∴A B ⋂= }{0,2 故选C【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.复数12z i =-，则231z z +=-（ ）A. 2iB. -2C. 2i -D. 2【答案】D 【解析】把12z i =-代入231z z +-，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：12z i =-，∴223(12)34211212z i i z i i+-+-===----，故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算， 是基础的计算题． 3.已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（ ） A. m 与n 异面. B. m 与n 相交.C. m 与n 平行.D. m 与n 异面、相交、平行均有可能.【答案】D 【解析】解：∵空间三条直线l 、m 、n ．若l 与m 异面，且l 与n 异面，∵m 与n 可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2）， 故选D ．4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =（ ） A. 26 B. 52 C. 78 D. 104【答案】B 【解析】【设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比性质可得2774a a =，即77b a =，再结合13713S b =，即可得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵31174a a a =，∴2774a a =≠0，解得7a ＝4，数列{}n b 是等差数列，且77b a =． ∴()1131377131313522b b S b a ⨯+====故选：B ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设向量(3,4)a =-，向量b 与向量a 方向相反，且10b =，则向量b 的坐标为（ ） A. 68,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ()6,8-C. 68,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D. ()6,8-【答案】D 【解析】 【分析】设()3,4,0b a λλλλ==-<，利用10b =求出2λ=-，从而可得结果. 【详解】因为向量b 与向量a 方向相反， 所以可设()3,4,0b a λλλλ==-<，29255510b λλλλ====-=，2λ=-，()()()()32,426,8b ∴=-⨯-⨯-=-，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.6.与340x y +=垂直，且与圆22(1)4x y -+=相切的一条直线是（ ） A 436x y -=B. 436x y -=-C. 436x y +=D.436x y +=-【答案】B 【解析】 【分析】设与直线340x y +=垂直的直线方程为:430l x y m -+=，求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线l 的方程．【详解】设与直线340x y +=垂直的直线方程为:430l x y m -+=，直线与圆()2214x y -+=相切，则圆心1,0（）到直线的距离为半径2，即4265m m +=∴=或14m =-，所以4360x y -+=，或43140x y --=，由选项可知B 正确，故选B. 【点睛】本题是基础题,考查直线的垂直,直线与圆的位置关系,考查计算能力,注意直线的设法,简化解题过程.7.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A. -9B. 9C. -7D. 7【答案】C 【解析】 【分析】由不等式组表示出可行域，然后得到区域N ，继而求出结果【详解】作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点()4,1-时，z 取得最小值-7故选C【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，先画出可行域，然后改写目标函数，运用几何意义求出最值8.圆2228130+--+=x y x y 截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（ ） A. 43-B. 34-C. 3D. 2【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得a 的值. 【详解】圆2228130+--+=x y x y ,即()()22144x y -+-=则由垂径定理可得点到直线距离为()22231-=根据点到直线距离公式可知24111a d a +-==+,化简可得()2231a a +=+解得43a =- 故选:A【点睛】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题. 9.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.10.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A. 4 33 2D. 6【答案】C 【解析】 【分析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积．【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：2的正方形， 故底面的对角线长为2. 所以四棱锥的高为12×2＝1， 故四棱锥的侧面高为h 22212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6 则四棱锥的表面积为16422322S =⨯=. 故选C.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A. 16π B.323π C. 12π D. 32π【答案】A 【解析】 【分析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可.【详解】BCD 外接圆直径23sin 3CD d CBD ===∠, 故球的直径平方222222(23)16D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选A【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径D =.属于中等题型.12.设F 1、F 2是椭圆221164x y +=的两焦点，P 为椭圆上的点，若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. 8C. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和勾股定理，建立关于,m n 的方程，求得128PF PF ⋅=，结合直角三角形的面积公式，即可求得12PF F ∆的面积.【详解】由椭圆221164x y +=，可得4,2a b ==，则c =，设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义可知：28m n a +==， 因为12PF PF ⊥，得1290F PF ∠=，由勾股定理可得：222(2)m n c +=，即22()24m n mn c +-=， 可得28248mn -=，解得8mn =，即128PF PF ⋅=， 所以12PF F ∆的面积为12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的定义和焦点三角形的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义和勾股定理，求得12PF PF ⋅是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设点(P m 是角α终边上一点，若cos 2α=，则m =____.【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义，列方程求出m 的值．【详解】P （m ）是角α终边上的一点，∴r cos α=，2，解得m ＝0m >，m ∴=．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义与应用问题，属于基础题． 14.函数()2lg 2y x x =-的增区间是__________．【答案】(0,1) 【解析】 【分析】由220x x -+>可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数2lg(2)y x x =-+的单调增区间，只要求22t x x =-+在02t <<的单调增区间．【详解】由220x x -+>，得02x <<，即定义域为(0,2)x ∈． 设22(02)t x x x =-+<<， 则当(0,1)x ∈时，t 为增函数； 又lg (02)y t t =<<也为增函数， 故函数的单调递增区间为(0,1)． 故答案为(0,1)．【点睛】本题主要考查对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．15.数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6 【解析】试题分析：由题意得，因为12n n a a +=，即12n na a +=，所以数列{}n a 构成首项12a =，公比为2的等比数列，则2(12)12612n n S -==-，解得6n =． 考点：等比数列的概念及等比数列求和．16.在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB ACAA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________ 【答案】60 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC ，再利用111111,cos BA AC BA AC BA AC 即可得到所求角大小．【详解】三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,且BAC 90︒∠=∴ 以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，1AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA ==，则(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)C1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC∴11111101co 2,s 22BA AC BA AC BA AC 又异面直线所成的角在（0,90]∴ 异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60︒ ．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知6a =，1cos 8A =. （1）若5b =，求sin C 的值； （2）ABC ∆的面积为1574，求b c +的值. 【答案】（1）7sin C =（2）9b c += 【解析】 【分析】 （1）由1cos 8A =，可得 37sin A =，由正弦定理可得57sin B =，求得9cos 16B =，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；（2）由1574ABC S ∆，可得 20bc =，再利用余弦定理，配方后化简可得9b c +=. 【详解】（1）由1cos 8A =， 则02A π<<，且 37sin 8A =，由正弦定理sin sin b B A a ==， 因为b a <，所以02B A π<<<，所以9cos 16B =，()sin sin C A B =+ sin cos cos sin A B A B =+=（2）11sin 2284ABC S bc A bc ∆==⨯=，∴20bc =， 2222cos a b c bc A =+- 221220368b c =+-⨯⨯=， ∴2241b c +=，()2222b c b c bc +=++ 414081=+=， ∴9b c +=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径． 18.在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）2n a n =；（2）S n ＝212n -•3n +1+32【解析】 【分析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；（2）求得b n ＝2n •3n ，由数列的错位相减法求和即可．【详解】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 3＝6，且前7项和T 7＝56． 可得a 1+2d ＝6，7a 1+21d ＝56，解得a 1＝2，d ＝2，则a n ＝2n ； （2）b n ＝a n •3n ＝2n •3n ，前n 项和S n ＝2（1•3+2•32+3•33+…+n •3n ），3S n ＝2（1•32+2•33+3•34+…+n •3n +1），相减可得﹣2S n ＝2（3+32+33+ (3)﹣n •3n +1）＝2•（()31313n --﹣n •3n +1），化简可得S n ＝212n -•3n +1+32．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ，SA AD =.（1）求证：SC MN ⊥；（2）若2SA =，求三棱锥M ANC -的体积. 【答案】（1）见证明；（2）49【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面SCD ，再由线面垂直的性质定理可得AM ⊥SC ，已知AN SC ⊥，可证SC AMN ⊥平面，即可证明SC MN ⊥； （2）M 是SD 的中点，由（1）三知：三棱锥M ANC -的体积11122223D ANC N ACD S ACD V V V V ---===⨯，只需求解三棱锥S ACD -的体积.【详解】（1）证明：由已知，得,DC SA DC DA ⊥⊥，又SA DA A ⋂=，,SA DA ⊂平面SAD ， ∴DC ⊥平面SAD ， ∵AM ⊂平面SAD ， ∴AM DC ⊥.又∵SA AD =，M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥，又AM DC ⊥，,SD DC D DC ⋂=⊂平面SDC ， ∴AM ⊥平面SDC ，又SC ⊂平面SDC ， ∴SC AM ⊥由已知SC AN ⊥，易得SC ⊥平面AMN . ∵MN ⊂平面AMN ， ∴SC MN ⊥.（2）解：由题意可知，在Rt SAC ∆中，2,SA AC SC ===.由SA AC SC AN ⋅=⋅，可得AN ==，则3CN ==，∴23CNSC ==， 故三棱锥M ANC -的体积11122223D ANC N ACD S ACD V V V V ---===⨯ 2114222329⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论()//,a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),//a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.设椭圆()222210x y E a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若椭圆E 的离心率为2，2ABF∆的周长为. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点24P ⎛- ⎝⎭，恰好为AB 中点，求AB 的长度. 【答案】(1) 22163x y +=;(2)2【解析】 【分析】(1)根据椭圆的几何意义求解基本量与方程即可.(2)根据直线AB过P ⎛ ⎝⎭与1F 可求得AB 的斜率,进而求得直线的方程,联立直线与椭圆利用弦长公式求解即可.【详解】(1)由题意知,4a a ==又因为e c =⇒=⇒=故b ==故椭圆E 的方程为22163x y+=.(2) 由直线AB过P ⎛ ⎝⎭与()1F ,故AB的斜率0k ==. 故直线AB的方程为y x =.联立AB与椭圆方程有(221632x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2230x ⇒+-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则121232x x x x +==-.故2AB ==.即AB 的长度为2【点睛】本题主要考查了椭圆中利用定义求解方程的方法以及中点弦长的计算,属于中档题. 21.已知函数1()ln 2f x a x x x=++，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()2mf x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率可求出a ,得()1ln 2f x x x x=++，求导后解不等式即可求出单调区间. （2）原不等式可化为ln 1m x x ≤⋅+恒成立，令()ln 1?g x x x =⋅+，求导后可得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，()212a f x x x=-+'， 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行 所以()1122f a =-+='，即1a =()1ln 2f x x x x ∴=++，()()()()21210x x f x x x +-=>' 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知不等式()2m f x x x ≥+恒成立可化为1ln 22mx x x x x++≥+恒成立 即ln 1m x x ≤⋅+恒成立令()()ln 1?ln 1g x x x g x x '=⋅+=+ 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以1x e=时，函数()g x 有最小值由ln 1m x x ≤⋅+恒成立 得11m e ≤-，即实数m 的取值范围是1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：极坐标与参数方程：22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值．【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+；（2）2a =.【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线l 的普通方程，极坐标方程两边同乘以ρ利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+， 直线l 的普通方程为2y x =+.(2)将直线l的参数方程2,22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=. 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠.由根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+. 因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上.所以12PM PN t t +=+==解得2a =，此时满足0a >.且1a ≠，故2a =.．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．选修4-5：不等式选讲：23.已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()1f x x x <++的解集；（2）若函数()()()2log 32g x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭(2) 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别在2x >、12x -≤≤和1x <-三种情况下去掉绝对值符号，解不等式求得结果；（2）将问题转化为()()()32h x f x f x a =++-最小值大于0；利用绝对值三角不等式可求得()min 32h x a =-，根据320a ->求得结果.【详解】（1）由()1f x x x <++得：21x x x -<++ 当2x >时，21x x x -<++，解得：3x >-,2x ∴>当12x -≤≤时，21x x x -<++，解得：13x >,123x ∴<≤ 当1x <-时，21x x x -<--，解得：3x >,∴解集为∅综上所述，不等式的解集为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭（2）令()()()32h x f x f x a =++-，要使函数()()()2log 32g x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可，又()()()21221232h x x x a x x a a -=++---=≥+--（当且仅当[]1,2x ∈-时取等号），320a ∴->，解得：32a <∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用；涉及到根据对数型复合函数的定义域求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为函数最值的求解，利用绝对值三角不等式求得最值.。