二次函数定版

x y ⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎨⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩定义形状对称轴顶点坐标图像与性质开口方向图像与性质增减性极值二上下平移图像的平移次左右平移函三种表示形式:一般式、顶点式、交点式数顶点二次函数中特殊的点与轴交点与轴交点实践与探索二次函数在实际中的应用二次函数中系数与图像的关系一元二次方程二次函数与方程、不等式的关系一元二次不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩专题二 二次函数一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用1、二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. （4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。

（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式． （3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式. （6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

2、二次函数的基本图像（1）二次函数2y ax =的图像：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点。

当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

（2）二次函数2()y a x h k =-+的图像：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；对称轴是直线x =h ；顶点坐标是（h ，k ）。

（3）二次函数2()y a x h k =-+与2y ax =图像的关系：一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =形状相同，位置不同。

把抛物线2y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2()y a x h k =-+。

平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定。

（4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像：一般地，我们可以用配方法求抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点与对称轴。

a b ac a b x a c bx ax y 4422222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，因此，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--。

三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k （a ≠0）时1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k =a （x-m-h)2+k两解析式比较可得出图像向右平移m 个单位，括号内减去m ，同理可推出向左平移m 个单位括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k.2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h ，k ）变为（h ，k+n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k 变为y=a(x-h)2+k+n.比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n ，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k-n.二.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)时 1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位.因为 y=ax 2+bx+c=a （x+a 2b ）2+ab4-ac 42有前面的规律可知。

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位y=a(x+a 2b -m)2+ab4-ac 42=ax 2+a 4b 2+am ²+bx-2amx-bm+c-a4b 2=ax 2-2amx+am ²+bx-bx+c=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向右平移m 个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m 个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c2.向上或向下平移时,解析式的变化规律. 将抛物线向上平移n 个单位,因为 y=ax 2+bx+c=a(x+ a 2b )2+ab 4-ac 42由前面的规律可知y=a(x+a 2b )2+ab 4-ac 42+n=ax 2+bx+c+n两式比较:可得抛物线向上平移n 个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n 个单位,自变量上减去n ，即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.例题1：把抛物线y =3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（） A 、y =3(x +3)2－2B 、y =3(x +3)2+2C 、y =3(x －3)2－2D 、.y =3(x －3)2+2例题2：已知函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，那么函数解析式为（）A 、y =－x 2+2x +3B 、y =x 2－2x －3C 、y =－x 2－2x+3D 、y =－x 2－2x －3例题3：已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A 、(－2,1)B 、(2，1)C 、(2，－1)D 、(1，2)3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y轴的正半轴上，二次函数y=c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图像探索：当y >0时x 的取值范围。

3、二次函数的增减性及其最值 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a- 例题2：设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2(1)y x m =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A 、123y y y >>B 、132y y y >>C 、321y y y >>D 、213y y y >> 随堂练习：已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( ) A 、y 1＞y 2＞y 3B 、 y 1＜y 2＜y 3C 、y 2＞y 3＞y 1D 、 y 2＜y 3＜y 14、二次函数中三大参数的和函数图像的关系（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧。

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点； ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴。

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab。

例题1：已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例题2：已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②abc ＞0；③8a +c ＞0；④9a +3b +c ＜0。