浙江省衢州市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

浙江省衢州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．5【答案】D【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i i z i i i i -=+=+=+++-Q ，2,5z i z ∴=-∴=． 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．2．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.3．已知函数2()ln(1)f xx x-=+-,则函数(1)=-y f x的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设2()(1)ln1g x f xx x-=-=-+，由于12112ln22g-⎛⎫=>⎪⎝⎭+，排除B选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.4．已知函数()ln a f x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D ．[)1,e - 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x a x+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意.当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．5．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ） A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4] 【答案】B【解析】【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I .故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.6．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】【分析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得.【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<<， {2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B .【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．7．已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D【解析】【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小.【详解】当0x >时，'()22()2ln 220x x x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()x x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．2 【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离.【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=.所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 9．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ）A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.147 【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：22451 3.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题10．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B. 11．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=11a b a b β+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0，b>0，a+b=1， ∴211111152a b a b ab a b αβ+=+++=+≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时取“＝”号． 答案：C【点睛】 本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.12．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）A．2B．22C．23D．1【答案】C【解析】【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD故选：C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______.【答案】52 【解析】【分析】 根据流程图，运行程序即得.【详解】第一次运行15S =，1k =；第二次运行15S =，2k =；第三次运行152S =，3k =； 第四次运行532S =<；所以输出的S 的值是52. 故答案为：52【点睛】 本题考查算法流程图，是基础题.14．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则的值是 ．25 【解析】试题分析：由三角函数定义知5cos 55α==，又由诱导公式知5cos()5cos παα-=-=-，所以答案应填：．考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．15．62x x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数是__________． 【答案】240【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有3x 项的系数即可.【详解】由题意得：616(2)()r r r r T C x x -+=，只需3632r -=，可得2r =， 代回原式可得33240T x =，故答案：240.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.16．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______．【答案】1【解析】【分析】可看出2a a e ≠，这样根据AB ≠∅I 即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1．【详解】解：A B ≠∅Q I ，2a ∴=或2a a e =， 在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与2xy e =的图象，由图可知y x =与2x y e =无交点， 2a a e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1． 故答案为：1．【点睛】 考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2x x e =无解，属于基础题． 三、解答题：共70分。