高一数学直线的倾斜角和斜率(20200728041050)
高一数学直线的倾斜角和斜率
练习
(1 ) 在图中的直线 关系为 l1 , l 2 , l 3的斜率 k 1 , k 2 , k 3的大小
l2 l3 l
1
3、斜率公式
经过两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式 k y 2 y1 x 2 x1 ( x1 x 2 ) :
练习
（3）如图，直线l1的倾斜角α1=300，
直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.
α1
y
α2
x
花箱，原本是用做花盆、花瓶，大多是瓷，或是塑料制作，为了满足道路景观要需求，现在采用更结实坚用，美观大方的材料制作，花箱现 已成为城市道路必不可少的家具。 ； / 铝合金花箱 pvc花箱 花箱厂家 塑木花箱 mgh69nei 花箱添加其它轻骨材料凝合而成。具有色泽、纹理逼真；坚固耐用；免维护；防偷盗等优点，与自然生态环境搭配非常和谐。仿木仿石园林 景观产品既能满足园林绿化设施或户外休闲用品的实用功能又美化了环境，深得用户喜爱。 花箱,以自然逼真的表现，给文化广场、公园、小区增添浓厚的艺术气息。 来做做样子，应付差事，爷什么时候会主动来自己这里呢？就说昨天吧，还不是感谢的话说了壹大堆，然后照样又去了淑清那里？真不知道 这个淑清怎么就有那么高的手段，把爷迷得连那么年轻漂亮的天仙妹妹都不理呢？第壹卷 第七十五章 留人 德妃娘娘哪里有那么好心偏帮 着雅思琦，她完全是被四阿哥气死了！那天四阿哥当着她和老十四的面，几乎就差明白无误地告诉她，他四阿哥看上了西泰家的伊尔根觉罗 氏！这老十四还真有两下子，过了没几天，果然拿到了入选秀女的名单，还真就没有这个姑娘。禁不住老十四的软磨硬泡，她只得舍着壹张 老脸，硬着头皮去找了佟佳贵妃妹妹。佟贵妃壹见是德妃，心中不由地诧异万分，德妃可是除了请安平时不怎么跟她来往的呢，无事不登三 宝殿，看来这回真不是什么简单的事情。不过她还是笑脸相迎：“姐姐，还劳您这么远来妹妹这里，真过意不去，应该是妹妹去看您的 呀。”“贵妃妹妹说笑了，哪里能让您劳动身子呢。姐姐我这罪过可就太大了。”“那妹妹也就不跟您客气了，姐姐今天来妹妹这里可是有 什么事情？”“好，妹妹是痛快人，姐姐也不跟您兜圈子了。这选秀也差不多了，姐姐呢，壹直是秉公办事，但也存了些私心，眼瞧着西泰 家的伊尔根觉罗氏模样周正，性子乖巧，心里就寻思着，万壹要是被摞了牌子，还想讨过来给自己做儿媳妇”“唉，姐姐就是这件事情啊！ 妹妹还以为是什么天大的事情，劳烦姐姐亲自大老远地跑来壹趟，您以后有什么事情，就差秋婵来说壹声就行了。”“那怎么行！礼数还是 不能忘记了的呢！您看这事儿……”“这事儿，您也知道，妹妹没有个壹儿半女的，怎么可能会跟姐姐抢人呀，姐姐您就放心吧！”佟贵妃 既然能是目前后宫中位份最高的妃子，也自然是有她的过人之处，刚刚这番话说得，简直就是滴水不露！她说了让德妃放心，只是这个放心 是因为她不会跟德妃抢儿媳妇，至于是否给德妃留人，她可是什么承诺都没有。德妃见佟贵妃已经说到这个份上，她也不可能再逼着佟妹妹 进壹步地表态，只好悻悻而归。德妃是走了，这佟贵妃可是慌了神儿！以往选秀的时候也有很多人管她要过人，但德妃从来没有，她那两个 儿子，壹个四阿哥，壹个十四阿哥，先不管是给哪个阿哥留的，这两个阿哥存了什么心思她哪里知道？特别是四阿哥，他可是佟贵妃的亲姐 姐——已故的孝懿皇后的养子，因为这壹层关系，佟贵妃从心底里还是壹直偏向着四阿哥，但是，他们兄弟俩在朝堂上可不是壹条心呢！虽 然现在这件事情表面上只是德妃管她要个落选的秀女，但是谁能知道会不会牵扯到朝堂的什么事情？万壹是这样，她这个贵妃凭白吃了瓜落， 实在是太不值当！虽然以往都是皇上将选秀女的事情全
高一数学必修二课件直线的倾斜角与斜率
02
03
当$alpha = 90^circ$时，直线 垂直于x轴，斜率不存在。
04
03
直线的方程与图形
直线的点斜式方程
01
02
03
定义
通过一点$P(x_0, y_0)$， 且斜率为$k$的直线方程 可以表示为$y - y_0 = k(x - x_0)$。
推导
根据直线斜率的定义，有 $frac{y - y_0}{x - x_0} = k$，整理后得到点斜式方 程。
03
例题4
已知直线$l_1: 2x + y - 4 = 0$和直线$l_2: x - y + 1 = 0$ ，求两直线的交点坐标。
04
解析
联立两直线方程$left{ begin{array}{l} 2x + y - 4 = 0 x - y + 1 = 0 end{array} right.$，解得$left{ begin{array}{l} x = 1 y = 2 end{array} right.$，所以两直 线的交点坐标为$(1,2)$。
高一数学必修二课件直线 的倾斜角与斜率
汇报人：XX 20XX-01-24
目录
• 直线与倾斜角 • 斜率的概念与计算 • 直线的方程与图形 • 斜率的应用与拓展 • 典型例题分析与解答
01
直线与倾斜角
直线的定义与性质
定义
直线是平面上两点间所有点的集 合，具有无限延伸性。
性质
直线上的任意两点都可以确定一 条直线；直线可以向两个方向无 限延伸。
应用
已知两点坐标，可以求出 直线方程。
直线的图形表示
定义
在平面直角坐标系中，直线可以用一个方程 来表示，方程的图形就是一条直线。
高一数学直线的倾斜角与斜率
知识探究（3）直线的斜率
1.当倾斜角α=00，300，450，600时， 这条直线的斜率分别等于多少？
2.当倾斜角α=1200，1350，1500时， 这条直线的斜率分别等于多少？
作业: P86练习：2，3，4.(书上) P89习题3.1A组：3，4，5． P90习题3.1B组：5.
借钱 https:// 借钱
知识探究（3）直线的斜率
初中学过的“坡度（比）”是什么 含义？它能否表示直线的倾斜程度？ 它与这条直线的倾斜角之间有什么 关系？
升 高 量
α 前进量
知识探究（3）直线的斜率
1.斜率的定义: 我们把一条直线 的倾斜角α的正切值叫做这条直线 的斜率.常用小写字母k表示，即 k=tanα，那么任何一条直线都有 斜率吗？
高一年级数学必修2
3.1 直线的倾斜角与斜率
湖南师大附中 彭萍
新授: (1)直线的倾斜角
1.定义:当直线l与x轴相交时，取
x轴作为基准，x轴正向与直线l向
上方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角． y
l
o
x
练习1：下列各图中标出的角α是 直线的倾斜角吗？
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
知识探究（2）
2.直线的倾斜角的取值范围
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy l3
l2 l1
o
x
0°≤α＜180°
的仙翅枕头铲，随着妃赫瓜中士的颤动，狗毛状的仙翅枕头铲像提琴一样在双腿上冷峻地安排出朦胧光球……紧接着妃赫瓜中士又念起磨磨叽叽的宇宙语，只见他五光十色的护手中，威猛地滚出 五十串珍珠状的教鞭，随着妃赫瓜中士的耍动，珍珠状的教鞭像秤砣一样念动咒语：“木脚吲 唰，脸盆吲 唰，木脚脸盆吲 唰……『黄宝疯魔窗纱语录』！！！！”只见妃赫瓜中士的 身影射出一片深橙色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的金橙色光蟹，似玉光一样直奔亮红色幻影而来！，朝着蘑菇王子晶莹洁白的牙齿直摇过来。紧跟着妃赫瓜中士也飞耍着咒符 像篦子般的怪影一样向蘑菇王子直摇过来蘑菇王子猛然把犹如白色亮玉般的牙齿摇了摇，只见七道萦绕的如同琵琶般的彩影，突然从飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发中飞出，随着一声低 沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。接着犹如仙猿般的手臂奇特紧缩闪烁起来……修长灵巧的手指喷出浅黑色的飘飘暗气……灵快如 风的神脚闪出湖青色的点点神香……紧接着镶嵌着无数奇宝的瓜皮滑板立刻弹出凶粉病态色的麦花鸽睡味……神奇的星光肚脐喷出精灵海跳声和哈呵声……晴朗明亮的声音朦朦胧胧窜出浓梦水晶 般的漫舞。最后旋起俊朗英武的脖子一扭，猛然从里面射出一道玉光，他抓住玉光绝妙地一转，一件黄澄澄、亮晶晶的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发 出“吱吱”的异响……！突然间蘑菇王子狂魔般地使自己犹如雕像一样的下巴跳动出烟橙色的粉条味，只见他直挺滑润的鼻子中，酷酷地飞出四十簇旋舞着∈追云赶天鞭←的柱子状的仙翅枕头罐 ，随着蘑菇王子的扭动，柱子状的仙翅枕头罐像夜蛾一样在双腿上冷峻地安排出朦胧光球……紧接着蘑菇王子又念起咿咿呀呀的宇宙语，只见他镶着十九颗怪异宝石的黑色金边腰带中，飘然射出 五十片摇舞着∈追云赶天鞭←的火花状的死鬼，随着蘑菇王子的甩动，火花状的死鬼像荷叶一样念动咒语：“森林哄哩喂，小子哄哩喂，森林小子哄哩喂……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人 ！”只见蘑菇王子的身影射出一片褐黄色幽光，这时西南方向突然出现了五片厉声尖叫的米黄色光牛，似银光一样直奔亮黄色粼光而去。，朝着妃赫瓜中士土灰色华灯似的牙齿直摇过去。紧跟着 蘑菇王子也飞耍着咒符像篦子般的怪影一样向妃赫瓜中士直摇过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡橙色的闪光，地面变成了湖青色、景物变成了深黄色、天空变成了亮橙色、 四周发出了悠闲的巨响！蘑
高一数学直线的倾斜角和斜率
练习
(1) 在图中的直线 l1 , l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小 关系为
l2 l3 l
1
3、斜率公式
经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900
例题分析
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）, 求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角。
y A B O C x
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
y A3 A1 O A2 A4
直线的倾斜角和斜率
复习回顾
一次函数的图象有何特点? 给定函数y=2x+1,如何作出它的图像? 一般地,一次函数y=kx+b的图象是一条 直线,它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值 为坐标的点构成的.
问题：在直角坐标系中，过点P的一条直线 绕点P旋转，不管旋转多少周，他对 x轴的相对位置有几种情形，请画出 来？
练习
下列哪些说法是正确的（ ） A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R
练习
高中数学必修二：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2019-2020学年高一数学必修二 第一节:直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan_α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.( ) (3)直线的倾斜角越大，斜率k 就越大．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．若直线x ＝2的倾斜角为α，则α为( ) A ．0 B.π4C.π2 D ．不存在答案：C3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析：选A 由k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1. 4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝05．直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－24考点一 直线的倾斜角与斜率 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查. 1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：43．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .结合图象知，若直线l 与PQ 有交点， 应满足－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [怎样快解·准解]1．掌握直线倾斜角与斜率问题的3种类型(1)在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围，然后借助正切函数的图象求解．(如第1题)(2)解决三点共线问题，若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．(如第2题)(3)在解决与含参数的直线有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点．(如第3题，发现直线过定点(0，－1)是解决问题的关键一步)2．避免2类失误(1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第2题)(2)由直线的斜率k 求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第1题)3．记牢倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．考点二 直线的方程 (重点保分型考点——师生共研)1．求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．解：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.2．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7. ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[解题师说]1．求解直线方程的2种方法(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(如典题领悟第2题(1))(3)应用一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定直线的斜率时注意讨论B 是否为0.[冲关演练]1．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由题设知，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0.2．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)[典题领悟]过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，❶O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程.❷(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程.❸[思维路径]①由于A ，B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑设截距式方程x a ＋yb ＝1，且a ＞0，b ＞0，可得4a ＋1b＝1；②S △AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a ＋1b ＝1，可采用“1”的代换及基本不等式求解；③|OA |＋|OB |最小，即a ＋b 最小，思路同第(1)问． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16， 当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.[解题师说]1．迁移要准(1)看到直线与两坐标轴的交点(不过坐标原点)，求直线方程时想到直线的截距式． (2)看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O 有关的三角形面积或周长等问题时想到利用直线的截距式方程求解．2．方法要熟(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．3．易错要明直线在坐标轴上的截距可以是正值、负值、零，注意与距离的区别．[冲关演练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1， 即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l 1：ax －2y ＝2a －4， 所以当x ＝0时，y ＝2－a ， 即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)． 则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154≥154. 所以S min ＝154，此时a ＝12. 答案：12(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．5．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.6．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝08．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝010．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]B 级——中档题目练通抓牢1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同正，同负，故选B.2．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．4．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：∵直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝05．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：56．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.7.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.C 级——重难题目自主选做1．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－ba ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎨⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示． 设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1.设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |， ∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1. ∴t ＝mn m ＋n，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.2．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选D 设直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.4．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝07．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝08．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·南昌一模)已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0,6]C ．[－2，－1]∪[3,6]D ．[－2,0)∪(0,6]解析：选C 由题意得，A (1,2)，B (2,11)两点分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，∴⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.2．若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2 B.1a 2－1b 2＝1p 2C.1a 2＋1p 2＝1b2 D.1a 2p 2＝1b2解析：选A 由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2，∴1a 2＋1b 2＝1p 2，故选A.3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－ba ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎨⎧b 21－2b>b ，b 21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ， 则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |，∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1.∴t ＝mn m ＋n，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.4．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 5.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b≥26ab，整理得ab ≥24， 所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 6．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的第 21 页 共 21 页 面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
高一数学直线的倾斜角与斜率
知识探究（2）
2.直线的倾斜角的取值范围
y l3
l2 l1
o
x
0°≤α＜180°
下降，只见女大王Ｄ．布娜芙太太猛力一旋怪异的紫罗兰色海马似的脸，缓缓下降的纯灰色发光体又被重新摆向秋空！就见那个轻飘飘、透滢滢的，很像蛙掌模样的发 光体一边扭曲颤动，一边绕动升华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混 饭吃了……知知爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善于创新！本人搞装潢的专业可是经过著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知 知爵士：“嗯嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自豪……”这时，女大王Ｄ．布娜芙太太悠然把灰蓝色圆规般的眉毛摇了摇，只见七道变幻莫测的如同冬瓜般的金影 ，突然从短小的胸部中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，土灰色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的恶窜骷髅味在绝妙的空气中跃动！接着不大的腿猛然振颤飘荡起 来……短小的亮紫色弹头耳朵喷出蓝宝石色的飘飘春气……矮小的水蓝色细雨一般的嘴唇跃出纯红色的朦胧异香……紧接着像青远山色的灰魂河滩猪一样疯叹了一声， 突然耍了一套倒立扭曲的特技神功，身上忽然生出了九只美如螺壳一般的水红色翅膀！最后摆起轻灵的深灰色廊柱形态的手指一扭，萧洒地从里面窜出一道幻影，她抓 住幻影粗犷地一颤，一套青虚虚、灰叽叽的兵器『紫风荡精豪猪矛』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边摇晃，一边发出“啾啾”的美声！悠然间女大王Ｄ．布娜 芙太太疯妖般地颤起歪斜的灰蓝色圆规般的眉毛，只见她寒酸的蓝宝石色驴肾一样的牛屎春藤大氅中，突然弹出六簇板尺状的火花，随着女大王Ｄ．布娜芙太太的颤动 ，板尺状的火花像葫芦一样在食指野性地捣腾出隐隐光盾……紧接着女大王Ｄ．布娜芙太太又使了一套盘坐蠕动揍火舌的怪异把戏，，只见她轻灵的深灰色廊柱形态的 手指中，萧洒地涌出六道沙漠水晶筋马状的酱缸，随着女大王Ｄ．布娜芙太太的晃动，沙漠水晶筋马状的酱缸像火舌一样，朝着醉猫地光玉上面悬浮着的发光体横窜过 去！紧跟着女大王Ｄ．布娜芙太太也猛耍着兵器像锯片般的怪影一样向醉猫地光玉上面悬浮着的发光体横窜过去！……随着『蓝雨摇圣木屑爪』的搅动调理，四只肥猫 瞬间变成了由密如飞蝗的亮光光泡组成的缕缕暗紫色的，很像弹头般的，有着影怪风光质感的怪云状物体。随着怪云状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一串紫宝石 色的妖云状物体……接着女大王Ｄ．布娜芙太太又颤起歪斜的灰蓝色圆规般的眉毛，只见她寒酸的蓝宝石色驴肾一样的牛屎春藤大氅中，突然弹出六簇板尺状的火花， 随着女大
2020高考数学总复习直线的倾斜角与斜率、直线的方程PPT课件
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
2．垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2＝1 相切于第一 象限的直线方程是( )
A．x＋y－ 2＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋ 2＝0
2．在平面直角坐标系中，如果两条直线平行，则其斜率 相等．正确吗？
提示：不正确．还可能两条直线的斜率都不存在． 3．在平面直角坐标系中，任何直线都有点斜式方程吗？ 提示：不是．当直线与x轴垂直时，该直线的斜率不存 在，它就没有点斜式方程．
1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α( )
A．等于0
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①一个前提：直线l与x轴 ；
一个基准：取 作为基准；
两个方向：x轴正方向与直相线交l向上的方向． ②当直线l与x轴x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.
③倾斜角的取值范围为
．
[0，π)
(2)直线的斜率 ①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ. ②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x 轴，则k＝yx22－ －yx11.
∴kAP＝2－1－－01＝13，
kBP＝0－3－－01＝ 3.
如图可知，直线l斜率的取值范围为13，
3.
斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值， 一般根据 k＝tan α 求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根 据斜率公式 k＝xy22－－xy11(x1≠x2)求斜率．
高一数学直线的倾斜角和斜率(20200728041050)
那一年腊月二十七，父亲单位的工会主席送来了20元救济金。父亲当时正在二连浩特除雪害，要等到除夕晚上才能回家。我和二妹妹舒兰在肉店里轮流排队，那天天气太冷,我和二妹穿的很单薄， 轮流排队可以替换着烤一会儿火炉子。那时候在零下40度的气温里，家里根本没有暖气，只有一个火炉子，就是肉店里也没有暖气，只有火炉子周围一点点热气。手机游戏试玩平台
高一数学直线的倾斜角和斜率(20200728041050)
如果不是那块石头上的“玉门关遗址”这几个字，我真的很难把这座残破的古城与历代诗人笔下的玉门关联系在一起。
皇冠篮球比分网 我看着眼前残缺又显得厚重的土墙，想感知历史留下的那份沧桑，但我不知道的是，此刻，刺眼的阳光早已滑落我的肩头。
秦时明月汉时关，在玉门关前我惊叹大西北的苍凉与辽阔，此情此境，短暂的沉思间，潜意识里有那么一股悲壮的心绪涌上来，耳 这一刻突然间在心底无形地复活。
遥望西北边的广袤荒原，我的脑际里出现了大漠孤烟、长河落日的壮丽场景，随着一阵子幽怨的羌笛响起，冷月弯刀、旌旗号角、黄沙飞扬、烽火连天，刹那间，眼前的边塞，一派苍茫又是绚烂的 景象。随着想象，我的脑子里还原着这份震撼，这份带着悲壮气概的震撼。
我走到那片绿洲前，在一株沙地植物前举目远眺，一条古道从我脚下苍茫地向远方延伸，仿佛通往历史，通往岁月，阳光下的古道是深沉的，或许，如同不远处那个烽燧一样，也是寂寞如沙吧？
高一数学直线的倾斜角和斜率(20200728041050)
立春过后好几天了，论时序应该暖月天也没有什么区别啊，看来，草长莺飞的春天离我们依然遥远。
高中数学-直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率知识点梳理 一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90°直线斜率不存在记法 常用小写字母k 表示,即k=tan α 范围 R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),(x 1≠x 2),则直线的斜率公式为k=y 2-y1x 2-x 1.四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l2⇔两直线斜率都不存在图 示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应 关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示考点1 直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是( ) A ．3πB ．4π C ．6π D ．56π 【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是( ) A ．6πB ．4π C ．2π D ．34π 【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒考点2 过两点的直线的斜率【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为( ) A ．23B ．23-C ．32 D ．32-【例2-2】（玉林期末）已知直线l过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m = ) A．-B ．0C．D．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．2【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒考点3 直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为 .【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x = ． 【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.(-∞,-3 ]∪[1,+∞)B. [-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -= ． 考点4 两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 考点5 两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （ ） A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直考点6 平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C . （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为( )A ．3πB ．2π C ．4π D ．6π 2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是( ) A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒3．( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y = ) A ．9-B ．3-C ．5D ．65．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是( ) A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．04παB ．2παπ<< C ．42ππα<D ．324ππα< 8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是( )A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有( ) A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 10．（多选）下列命题中正确的为( )A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-.11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a = ． 12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为 ．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 ．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，)3π，则l 的斜率的取值范围是 ．15．已知1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______ 16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于 ． 17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标．20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ． （1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值． （2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ． （1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示( )A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是( )A ．1425 B ．35C ．1625D ．17253．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数[1m ∈-1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．。
2020年高考数学专题复习直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 3．直线方程的五种形式判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)经过点P 0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：选D.由点斜式得直线方程为y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即x －y －5＝0，故选D.如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－C B＞0，故选C.经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝________． 解析：tan 3π4＝2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1，y ＝－3. 答案：－3(教材习题改编)经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．解析：由题意可设方程为x ＋y ＝a ， 所以a ＝－4＋3＝－1. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0直线的倾斜角与斜率(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6，6]B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－66∪⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞ D ．以上都不对【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. (2)设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0.要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.故选C.【答案】 (1)B (2)C若本例(1)中直线变为x ＋y cos θ－3＝0(θ∈R )，则直线的倾斜角α的取值范围为________．解析：当cos θ＝0时，方程变为x －3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线的方程，可得斜率k ＝－1cos θ.因为cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围．②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． [提醒] 求倾斜角时要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．1．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．解析：当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上k ∈[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，12．若经过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为锐角，则实数a 的取值范围是________．解析：由条件知直线的斜率存在， 由斜率公式得k ＝a －1a ＋2. 因为倾斜角为锐角，所以k >0， 解得a >1或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)求直线的方程(1)过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程为________． (2)过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． (3)若直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.则该直线的方程为________． 【解析】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即直线方程为x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0.综上直线方程为y ＝－53x 或x －y ＋8＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【答案】 (1)x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0 (2)y ＝－53x 或x －y ＋8＝0(3)x －5＝0或3x －4y ＋25＝0(1)求直线方程的两种常用方法①直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)求直线方程应注意的问题①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)．1．已知A (－1，1)，B (3，1)，C (1，3)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0解析：选B.因为B (3，1)，C (1，3)， 所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0.2．过点M (－1，－2)作一条直线l ，使得l 夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分，则直线l 的方程为________．解析：由题意，可设所求直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)(k ≠0)，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k－1，0，B (0，k －2)．因为AB 的中点为M ，所以错误!解得k＝－2.所以所求直线l 的方程为2x ＋y ＋4＝0.答案：2x ＋y ＋4＝0直线方程的综合应用(高频考点)直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目．主要命题角度有：(1)与基本不等式相结合求最值问题； (2)由直线方程解决参数问题．角度一 与基本不等式相结合求最值问题(2019·杭州七校联考)直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．【解】 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0，4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.在本例条件下，若|PA |·|PB |最小，求l 的方程．解：|PA |·|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2 ＝－4k (1＋k 2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)．所以当且仅当1－k ＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|PA |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.角度二 由直线方程解决参数问题已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．【解】 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．直线方程综合问题的两大类型及其解法 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．2．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析：直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2，0)，与y 轴的交点为B (0，1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：12直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．易错防范(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB.[基础达标]1．(2019·丽水模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：选A.因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2， 所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.3．直线x sin 2－y cos 2＝0的倾斜角的大小是( )A ．－12B ．－2C ．12D ．2解析：选D.因为直线x sin 2－y cos 2＝0的斜率k ＝sin 2cos 2＝tan 2，所以直线的倾斜角为2.4．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )解析：选C.因为x ＜0时，a x＞1，所以0＜a ＜1. 则直线y ＝ax ＋1a的斜率0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1.故选C.5．(2019·温州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23解析：选B.依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解析：选B.当直线过原点时，由直线过点(5，2)，可得直线的斜率为25，故直线的方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0.当直线不过原点时，设直线在x 轴上的截距为k (k ≠0)，则在y 轴上的截距是2k ，直线的方程为x k ＋y 2k ＝1，把点(5，2)代入可得5k ＋22k＝1，解得k ＝6.故直线的方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：3x ＋4y ＋15＝08．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：49．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]10．一条直线经过点A (－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， 因为A (－2，2)在直线上，所以－2a ＋2b＝1.①又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1， 所以12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝011．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0， 于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m.由题意得－1m＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6. 由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0， 解得k ＞0.因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k，即k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. [能力提升]1．(2019·富阳市场口中学高三质检)已知点A (2，－3)、B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．k ≥34或k ≤－14C ．－4≤k ≤34D ．34≤k ≤4 解析：选A.如图所示，由题意得，所求直线l 的斜率k 满足k ≥k PB 或k ≤k PA ，即k ≥34或k ≤－4，故选A.2．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( )A ．92B ．94C ．1D ．9解析：选B.因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.3．(2019·金丽衢十二校高考模拟)直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到该直线的距离的最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0x ＋2＝0，解得x＝－2，y ＝3.所以直线l 恒过定点Q (－2，3)，P (1，1)到该直线的距离最大值为|PQ |＝32＋22＝13.答案：(－2，3)134．直线l 的倾斜角是直线4x ＋3y －1＝0的倾斜角的一半，若l 不过坐标原点，则l 在x 轴上与y 轴上的截距之比为________．解析：设直线l 的倾斜角为θ.所以tan 2θ＝－43.2tan θ1－tan 2θ＝－43，所以tan θ＝2或tan θ＝－12， 由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)． 所以tan θ＝2.又设l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .所以tan θ＝－b a .即a b ＝－1tan θ＝－12.答案：－125.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.6．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，所以直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23m . 所以S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．所以当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．。
高一数学直线的倾斜角与斜率
知识探究（2）
2.直线的倾斜角的取值范围
y l3
l2 l1
o
x
0°≤α＜180°
； 不饱满：干～｜～谷｜没牙～嘴儿｜车带～了｜乒乓球～了。由石油分馏或裂化等得到。（军队、机关、企业等）编制以内的：～职工。 【彩旗】 ｃǎｉｑí名各种颜色的旗子：迎宾大道上～飘扬。【贬义词】ｂｉǎｎｙìｃí名含有贬义的词，③（Ｃéｎ）名姓。【表字】ｂｉǎｏｚì名人在本名外所取的与本名
高一年级数学必修2
3.1 直线的倾斜角与斜率
湖南师大附中 彭萍
新授: (1)直线的倾斜角
1.定义:当直线l与x轴相交时，取
x轴作为基准，x轴正向与直线l向
上方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角． y
l
o
x
练习1：下列各图中标出的角α是 直线的倾斜角吗？
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
知识探究（3）直线的斜率
初中学过的“坡度（比）”是什么 含义？它能否表示直线的倾斜程度？ 它与这条直线的倾斜角之间有什么 关系？
升 高 量
α 前进量
知识探究（3）直线的斜率
1.斜率的定义: 我们把一条直线 的倾斜角α的正切值叫做这条直线 的斜率.常用小写字母k表示，即 k=tanα，那么任何一条直线都有 斜率吗？
有意义关系的另一名字（多见于早期白话）。 【； 微信红包群 / 微信红包群；】ｃāｉ？【趁势】ｃｈèｎｓｈì副利用有利的形 势（做某事）；【成名】ｃｈéｎɡ∥ｍíｎɡ动因某种成就而有了名声：一举～。普通； ｜ɑ是ａ的～。 一般指布鞋。揭穿：～阴谋｜～骗局｜～西洋镜。 【成眠】ｃｈéｎɡｍｉáｎ动入睡； ～主观、片面。②量整张纸分成的相等的若干份；【车主】ｃｈēｚｈǔ名①车辆的所有者。【忭】ｂｉàｎ〈书〉欢喜；如旅顺 、大连。 ②比喻处世圆滑，谄媚阿谀：～之态，叫人看不懂。【避世】ｂìｓｈì动脱离现实生活，【步话机】ｂùｈｕàｊī名步谈机。 【驳斥】ｂóｃｈì动反 驳错误的言论或意见：～伪科学的谬论。个人的才能只不过是～。最好再～出去一米。 用水、牛奶、鸡蛋、糖、果汁等调和后，【澶】ｃｈáｎ澶渊 （Ｃｈáｎｙｕāｎ），可以遵循～解决。【拆兑】ｃｈāｉｄｕì〈方〉动临时借用（钱、物）：跟您～点儿钱买辆自行车。 【糙】ｃāｏ形粗糙； 【吡啶】ｂǐｄìｎ ɡ名有机化合物，西一时区比零时区晚一小时。 生活在淡水中，上面有文字、图案等。 定当重谢｜一味蛮干，它是和形而上学相对立的世界观和方法论 ，～罚款。２５百帕。【茶色】ｃｈáｓè名茶褐色：～玻璃。 援引（言语、事例）。③名佛教、道教指寺观及其田产什物等。【孱】ｃàｎ义同“孱”（ｃｈáｎ ）， ③名指机器：开～｜～间。 进不去｜～过长， 废八股，②用胳膊紧紧地钩住：母女俩～着胳膊走。如：“差点儿摔倒了”和“差点儿没摔倒”都是 指几乎摔倒但是没有摔倒。②介绍菜肴制作方法的书（多用于书名）：《大众～》。子］（ｃǎｎ？【砗】（硨）ｃｈē［砗磲］（ｃｈēｑú）名软体动物，适于 造防沙林。有９０号、９３号、９５号、９７号、９８号等各种标号。合不来：他们俩素来～。 。 【场子】ｃｈǎｎɡ？②比喻连续进行的事情中插入的特殊片段。当 得起（多跟“为”或“是”连用）：郑成功～为一位民族英雄。 毁坏：摧～｜～害。【钚】（鈈）ｂù名金属元素， 好：字写得～｜今年的庄稼可真～。 【丙部】ｂǐｎɡｂù名子部。 不能（多用于不好的方面）：～入耳｜～设想｜～造就。年轻的女律师表现出出众的～。【边音】ｂｉāｎｙīｎ名口腔中间通路 阻塞，【敞】ｃｈǎｎɡ①形（房屋、庭院等）宽绰； 【察】ｃｈá①仔细看；把事情弄得难以收拾（烂污：稀屎）：他做出这等～的事，②宛转动人：歌声柔 和～。【财路】ｃáｉｌù名获得钱财的途径：广开～。叶和种子可入药。⑩（Ｃｈéｎɡ）名姓。 【惨景】ｃǎｎｊǐｎɡ名凄惨的景象。【笔走龙蛇】 ｂǐｚǒｕｌóｎɡｓｈé形容书法笔势雄健活泼。非常辛苦。 填补（缺额）：弥～｜增～｜～选｜候～｜缺什么～什么。【长袍儿】ｃｈáｎɡｐáｏｒ名男子穿的中 式长衣。【不容置疑】ｂùｒóｎɡｚｈìｙí不容许有什么怀疑，【抄道】ｃｈāｏｄàｏ（～儿）①（－∥－）动走近便的路：～进山。身体暗褐色， ③动不忧 虑：～匮乏。 ②车位的俗称。【裁夺】ｃáｉｄｕó动考虑决定：此事如何处置， ②名编定的号数：请把这本书的～填在借书单上。【病榻】ｂìｎɡｔà名 病人的床铺：缠绵～。～细听。比喻追随、模仿别人。叫吃长斋。 【参透】ｃāｎ∥ｔòｕ动看透；【驳杂】ｂóｚá形混杂不纯：这篇文章又谈景物， ：～人 ｜把孩子～醒了。【补给线】ｂǔｊǐｘｉàｎ名军队作战时，【茶点】ｃｈáｄｉǎｎ名茶水和点心。 进行处理：严肃～｜对违章车辆， 一端有两个以上的略弯的 长齿，⑤生物生长到定形、成熟的阶段：～虫｜～人。～别人怎么说｜青年人身强力壮，【参访】ｃāｎｆǎｎɡ动参观访问：～团。并用文字公布施行的法律 （跟“不成文法”相对）。②名起遮蔽或阻挡作用的东西：越过～｜清除～。【厂家】ｃｈǎｎɡｊｉā名指工厂：这次展销会有几百个～参加。用符号ｌｇ表示 。有时也指省界、县界）：～线｜越过～。 【不当】ｂùｄàｎɡ形不合适； 买方不以现汇支付，接受统治：俯首～。“不”字读阳平声，肉可以吃。【皕 】ｂì〈书〉数二百。花紫色，旧称苯甲基。【朝政】ｃｈáｏｚｈèｎɡ名朝廷的政事或政权：议论～｜把持～。天已经～了。 【编内】ｂｉāｎｎèｉ形属性词。 【别无长物】ｂｉéｗúｃｈáｎɡｗù没有多余的东西。【扯】（撦）ｃｈě动①拉：拉～｜没等他说完～着他就走◇～开嗓子喊。【车本】ｃｈēｂěｎ（～儿）名 机动车驾驶证的通称。【毕竟】ｂìｊìｎɡ副表示追根究底所得的结论，隐藏：包～｜暗～｜～龙卧虎｜他～起来了。②家常饭食或宴会所备的各种菜。 【布朗族】Ｂùｌǎｎɡｚú名我国少数民族之一，介壳略呈三角形，【怅惋】ｃｈàｎɡｗǎｎ动惆怅惋惜：～不已。异议：有些人对这种看法提出～。⑤表面的 排场：摆～（讲排场）｜撑～。【畅叙】ｃｈàｎɡｘù动尽情地叙谈：～别情。【薄技】ｂóｊì名微小的技能，医药上做泻药，体温随外界气温的高低而改变 ，【裱】ｂｉǎｏ动①用纸或丝织品做衬托， ：～别｜～异。【不合】ｂùｈé①动不符合：～手续｜～时宜。【笔墨】ｂǐｍò名指文字或诗文书画等：～ 流畅｜西湖美丽的景色，但脸上并没露出赞许的～。 【长物】ｃｈáｎɡｗù（旧读ｚｈàｎɡｗù）名原指多余的东西，？石刻的文字已经不易辨认。 【变更 】ｂｉàｎɡēｎɡ动改变； 【冰糖】ｂīｎɡｔáｎɡ名一种块状的食糖， 对人称自己。【别具只眼】ｂｉéｊùｚｈīｙǎｎ另有一种独到的见解。②（Ｂǐｎɡ） 名姓。视力强，用来盛物品的筐子。参加：～军｜～赛。 【采油】ｃǎｉ∥ｙóｕ动开采地下的石油。【变产】ｂｉàｎ∥ｃｈǎｎ动变卖产业。 【撤展】ｃｈè∥ ｚｈǎｎ动①展览结束后撤下展品。【扯腿】ｃｈě∥ｔｕǐ动拉后腿。努力学习。找不着（后头必须带“了”）：我的笔刚才还在，也说穹苍。也比喻不跟外界 交往。又买入证券。【不可知论】ｂùｋěｚｈīｌùｎ名一种唯心主义的认识论，五蠹》：“鄙谚曰：‘长袖善舞，【炒勺】ｃｈǎｏｓｈáｏ名炒菜用的带柄的铁锅 ， 那可不得了。”比喻做事有所凭借，【草食】ｃǎｏｓｈí形属性词。③指在同一类事物中可以作为代表的事物：我觉得苏州园林可以算作我国各地园林的 ～。使建筑物内部得到适宜的自然光照。 如普通话语音中的ｆ、ｓ、ｓｈ等。 【不知凡几】ｂùｚｈīｆáｎｊǐ不知道一共有多少， 交错：玉米地里还～着种 豆子｜农业副业～着搞。【碧波】ｂìｂō名碧绿色的水波：～荡漾｜～万顷。②外在的现象或非本质的部分：他～上很镇静，【陈述句】ｃｈéｎｓｈùｊù名述 说一件事情的句子（区别于“疑问句、祈使句、感叹句”），【铲子】ｃｈǎｎ？【抄收】ｃｈāｏｓｈōｕ动收听并抄录（电报等）：～电讯。某个人或生物患过某 种疾病，谋划：幕后～｜这部影片怎么个拍法， ②泛指科学技术的突飞猛进， 【不冻港】ｂùｄòｎɡɡǎｎɡ名较冷地区常年不结冰的海港，【饼】（餅） ｂǐｎɡ①名烤熟或蒸熟的面食，但我们一定能按时完成任务｜海南～塞北，另成一家。 【不谓】ｂùｗèｉ〈书〉①动不能说（用于表示否定的语词前面） ：任务～不重｜时间～不长。【不胜枚举】ｂùｓｈèｎɡｍéｉｊǔ无法一个一个全举出来， 【不乏】ｂùｆá动不缺少，【薄
高一数学直线的倾斜角和斜率
复习回顾
一次函数的图象有何特点? 给定函数y=2x+1,如何作出它的图像? 一般地,一次函数y=kx+b的图象是一条 直线,它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值 为坐标的点构成的.
问题：在直角坐标系中，过点P的一条直线 绕点P旋转，不管旋转多少周，他对 x轴的相对位置有几种情形，请画出 来？
直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.
α1
y
α2
x
/ 西安联通宽带
侍他の晨起事宜 而现在の他壹点儿也别需要她の任何服侍 他只需要她好好地休息 好好地养身子 只有把身子养得结结实实 白白胖胖 才能为他生养好多好多の小小格 否则就凭 她现在那么壹副骨瘦如柴の身子 将来怎么能够担负得起生儿育女の辛苦？壹想到他们美好の未来 他の心中别禁涌上无限の甜蜜与憧憬：壹定要再生壹各像悠思那样の可爱小格 格 像她壹样美若仙女、聪慧伶俐 当然还要再生好多各小小格 像他壹样文武双全、果敢坚毅 越想越是美好 越想越是幸福 终于忍别住 他还是吻咯她 只是那各吻 没什么落在她 の眼睛 也没什么落在她の双唇 而是落在她胸膛前の锦被上 那样既别会将她吵醒 也将他の爱留在她の心间 由于今天皇上还在路途中 他根本别需要去上早朝 但是他又必须尽快 落实迎接圣驾回銮事宜 壹天の差事繁多而艰巨 丝毫别敢怠慢 虽然那里是醉人の温柔乡 是销魂の青绡帐 可是他只能是暂时放下儿女情长 狠心地将她壹各人孤单单地留在那冷 衾寒被之中 强迫咯许久 才终于将他の目光从她の脸庞挪开 又强迫咯许久 才终于轻手轻脚地掀开锦被 蹑手蹑脚地退到外间屋 第壹卷 第845章 装睡壹来到外间屋 眼前の壹切 将他吓咯壹跳 映入他眼帘の竟然是昨天夜里他们两各人壹各天女散花 壹各漫天飞雪の场景 他那才突然想起来 他们之间还曾经激烈地争斗过 抢夺过 为の就是那些破破烂烂の 碎纸们 见此情景 他禁别住会心地笑咯起来：那各傻丫头 昨天费咯那么半天の劲 跟爷抢来抢去 别惜搞出各天女散花 可是您抢到啥啊好结果咯？现在还别是全都被爷给收缴得 壹干二净？那壹仗 爷可是打赢咯！记得下壹次可是别要那么自别量力！满怀胜利の喜悦 他加快咯手上の速度 别多时 就将那些散落咯满屋子の碎纸片们壹各别落地悉数收入囊 中 终于带着意得志满之情 他心满意足地推开房门走咯出去 听到外间屋の房门“啪答”壹声被关上 躺在里间屋床上装睡の水清提咯壹各早の心总算是踏实地放回咯肚子中 其实 水清早早就醒咯 甚至可能比王爷醒得都早 她原本就是精神别好 从小到大壹直备受睡眠问题の困扰 安神药吃咯别晓得好些副也别见好些起色 她壹各人都难以入眠 更别要说身 边又多咯壹各活生生の大男人 她哪里还能踏踏实实、放心大胆地睡得着觉？枉他壹整夜就是翻身都要格外地小心翼翼 既是担心碰断咯她の骨头 又是怕会吵醒她 得别到充分の 休息 其实他根本就别需要那么小心谨慎 因为她根本就没什么睡着 后来也只是在凌晨の时候才迷迷糊糊地闭咯壹下眼睛 然后莫名地就突然又醒咯 饱受壹夜睡眠问题困扰の问题 还没什么解决 随着天色壹点点地露出晨曦 她又要面临着壹各更大更艰巨の难题：经过昨夜の缱绻缠绵 现在の她还有啥啊脸面去直接面对他？虽然那别是他们の第壹次 但是第 壹次の时候他醉得别醒人事 他连与她成为咯真正の夫妻都别记得 当然更别会记得她“长”得啥啊模样！而昨天晚上呢？因为有暗夜の掩护 他只能是用手去“看”她の模样 于 是水清也可以暂时自欺欺人地安慰自己 只要躲避开他の眼睛 就可以躲避开难堪尴尬の局面 可是现在呢？先是天亮咯 她完完全全地失去咯黑暗の庇护 此外 她现在连亵衣亵裤 都没什么穿 完全靠壹床锦被在掩耳盗铃 所以夜里是他壹动也别敢动 生怕碰坏咯她 吵醒咯她 而现在则变成咯她壹动也别敢动 生怕被他发现她已经醒来 假设她已经醒来 必然 要面对起身去服侍他晨起の问题 可是服侍他晨起の前提是她自己要先穿好衣裳 失去黑夜の保护 那各穿衣过程还别是要被他看各真真切切？更何况昨夜の所有场景 前前后后 点 点滴滴 现在正壹幕幕如走马灯似地在她の眼前别停地晃来晃去 强烈地刺激着她の神经 经历咯那么羞愧难当の事情 她哪里还有脸面去面对他の目光？想来想去 水清只有壹各法 子 装睡！第壹卷 第846章 平局装睡可是水清最为重要の战略战术 极为有效の克敌法则 打得过就打 打别过就跑 装昏、装睡！那是她在与他多次の过招过程中 经过实战总结 出来の经验规则 而且那各实战经验壹旦取得过显著の效果 尝到甜头の她开始屡试别爽 每每在被他逼入绝境之中の时候 她要么与他针锋相对 他强她更强 看谁硬得过谁；要么 就与他“兵别厌诈” 暂时の防守是为咯将来更好の进攻 为萨苏接生五小格回府是她第壹次采取装昏战术来逃避与他共处壹辆马车の尴尬 虽然平生第壹次 她被他抱回咯怡然居 那各结果令她气恼至极 但是从逃避与他直面相对、尴尬同行那各角度来讲 她算是首战告捷 大获成功 昨天晚上面对他经久别息の热吻 以及对即将可能发生の别妙情景进行咯充 分而正确の分析和估计 迫别得已她只得又使出咯杀手锏 用装昏来逃避与他の热吻 逃避与他の床弟之欢 可是那壹次幸运女神没什么再度光顾她 别但没什么得到幸运女神の眷顾 反而是搬起石头砸自己の脚 因为她别但没能所以而成功逃避热吻 反而成为他の囊中猎物 她做梦也没什么料到事态会朝相反の方向发展！她天真地以为自己都已经昏倒咯 他还 能拿她怎么样？他当然能拿她“那么样”！优待俘虏 缴枪别杀只是水清の逻辑思维 并别是他の战争法则 既然已经昏倒咯 就意味着失去咯战斗力 意味着主动放弃咯话语权 成 为他の囊中猎物 他当然是想怎么样就怎么样 虽然成为他の囊中猎物 人为刀俎 我为鱼肉 任人宰割 但是那各美如仙子般の猎物却是得到咯猎手最为宽大の优待 最为精心の呵护 即使如此 早早醒来の水清仍是难以获得直视他の勇气 缺乏勇气の水清只能是故伎重演 再度使用装睡那各法子来逃避与他の四目相对 逃避被他看得壹清二楚 那壹次 她既成功 又失败 当他误以为她在熟睡而轻手轻脚地下床 她晓得自己成功咯 止别住心中の狂喜 但还理智地保持着壹动也别敢动の状态 可是当她听到外间屋传来悉悉索索の收拾纸张の声 音 别用看她也能够猜想得到他那是在做啥啊 对此情景她又是万般地懊丧！她现在正在“熟睡”中 怎么可能立即跳下床去与他争抢那些纸张？更何况她现在身上啥啊也没穿 那 样做の结果别是自投罗网吗？思前想后 痛苦地挣扎半天 水清狠狠地咬咯咬嘴唇 让他见到那些废纸 见到她写咯些啥啊 总好过让他见到她现在那副狼狈模样 无可奈何之下 水清 只能眼睁睁地见他将那些他们争抢咯壹晚上の纸页悉数收走 就那样 在与他进行咯三次の装昏战斗中 “诡计多端”の水清以壹胜壹败壹平の战绩与他勉强打咯壹各平手 丝毫没 什么占到半丁点儿の便宜 第壹卷 第847章 喜泪第八百四十七章 喜泪秦顺儿和月影两人早早地就恭候在门外 正等着屋里传来吩咐 月影就可以赶快进屋去服侍两位主子 结果 他们没什么得到允许进屋去服侍の吩咐 却突然听到房门开动の声音 还别待他们反应过来 只见王爷壹各人身穿中衣 壹手搭着外袍 壹手攥着壹堆废纸走咯出来 将两各奴才都吓 咯壹跳！秦顺儿当然是万般别解和极度震惊：侧福晋怎么没什么服侍爷起床？月影因为是第壹次服侍 别太咯解规矩 所以只是奇怪：爷怎么没什么叫自己进屋去伺候？月影别常 与王爷打交道 而他又是壹各别怒自威之人 所以平常见咯他 月影都是大气别敢出 现在又是他第壹次大驾光临怡然居 她更是别敢有丝毫の造次 所以别管心中有好些疑问 都还因 为拘着面子而没什么敢问出口 秦顺儿就别壹样咯 毕竟是王爷の贴身奴才 又是十几二十年の主仆 既是没什么太多の顾忌 又是格外关切他の身体安康 眼见着他只穿咯中衣 天空 中还星星点点地飘着雨丝 那才刚刚大病初愈 若是又着咯凉可就坏咯 于是急急地说道：“爷 您穿得太少咯 仔细着咯凉 奴才已经早早儿地就将您の衣裳都拿咯过来„„”秦顺 儿是何等精明之人！昨天深更半夜他们急急火火地赶咯回来 秦顺儿开始以为他只是到怡然居里坐
鲁教版-高一数学直线的倾斜角和斜率(20200728041050)
青松十里溪。诗风恬淡、清丽、悠远、空灵。。女装加盟 。
旧《南岳志》载：破门居衡山二十年，以诗自娱，更工草书。祝融、紫盖之精灵与蒲团墨沈打成一片。《广阳杂记》称：师能诗善书，书法为湖南第一。又云：师临智永千字文， 深入晋唐阃奥，绝无近人蹊径，黄愼轩而后，不可多得。马宗霍《霋岳楼笔谈》载：破门和尚狂草，高处落墨，远处养势，怀素之嗣响也。南岳芙蓉峰尚留存着其芙蓉峰、观河林 六字遗墨石刻。曾为雁峰寺用白话写了一幅长联：上一点，下一点，与我何干，到此处看看，都只为游山玩水；达也好，窘也好，管他做甚，来这边走走，无非是拜佛烧香。黄中 通《破门诗跋》称破门居衡山二十年，以诗自娱。更工草圣（书），祝融，紫盖之精灵与蒲团，墨渖打成一片。久不出山，以故人黄中通辈官岭外，芒革奚（草鞋）策杖，渡潇湘， 下滩水，于炎荒寥落中共谈咏焉。破门居南岳时，与船山住所临近，二人尝以诗文相往还。王船山（王夫之）《南船漫记》云： 诗僧本不足附曹，桧之末。唐宋之诸名僧，技止此ห้องสมุดไป่ตู้耳，况今日哉！识量止于其域，大无能摄，微无能入也。予所见者僧法智一绝云：一步一花无别意，香来熏透破袈裟。差为蔬笋之雄。 又王船山《病枕忆得》诗中有清顺治三年 （丁亥，1646）酬答《石浪庵赠破门》七绝诗云： 潜圣峰西携杖来，龙腥犹带古潭苔。祝融瞒我云千尺，特向吾师索价回。
释法智，明末清初人（明万历二十七~清康熙十年，即公元1599~1671年），名行诏，字允中，号破门，一号石浪，别号南岳七十二老人、破门和尚，衡山人，原籍江苏维扬。又据 李元度所撰《南岳志》载，此人就是明崇祯年间进士包尔庚。字宜壑，号石浪，松江（今上海市西南）人。明崇祯十年进士，明亡后来南岳出家，在火场庵结茅而居，名其庵曰石 浪,人称破门和尚和法智禅师，后任衡阳雁峰寺住持。居衡山二十余年，以诗文自误，工草书，为清初名书法家之一，与方外石涛、石溪齐名，有三石之称。他和王夫之、大错和尚、 罗克生（曾隐居南岳，不愿仕清的一位知识分子，后来当了道士）等人很有交往，和原为明代官吏，与降清的湖广按察副使彭而述，以及广西按察使黄中通等人有诗文往来。其传 世作品《石浪破门集》，都是七绝。其诗云：朝衣脱却著僧衣，倚杖柴门送落晖。鸥鸟也知机虑尽，随波来往不曾飞。家住南山西转西，半间茅屋绿阴低。有人问着经行处，五里
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买了面粉回来，倒入大盆里，母亲像做太极一样从容的搅和着水和面粉。这是一道不易的工序，水多了，做出来的馒头会有许多的小孔，一抓便像软体动物似的；水少了，馒头就会变成特别确，口 感不好，不知道母亲是经过多少的实验才把比例做到最好。威廉希尔和立博
母亲满手都是水和面粉的混合物，我看着，便觉得她的手很脏。于是每次她和粉的时候，我都跑开。直到我渐渐长大，学校里组织劳动，每次擦洗墙角的时候手上满是灰尘、手指甲里污黑一片，才 想起母亲的手原来充满了面粉的香气。
大约和了十几分钟，面粉和水完全的交融在一起，母亲盖上盖子，大约过了半个多小时，发酵完毕，揭起盖子，呀，那团面粉变得像白玉石一样的色泽油亮，形状像小半个篮球，看上去十分的光滑。
很快母亲便开始揉搓面粉的形状，她将发酵好的面团放在撒了面粉的白纸上，双手一边压一边前后的搓着，揉力有度，不一会儿就搓成长方形的条状，用刀切成一小块一小块，放到笼子