高中数学苏教版必修1 3.1.2第二课时 指数函数及其性质的应用 作业
3.1.2.1指数函数的图象及性质 作业 含答案 高中数学苏教版必修一
课后巩固·提能一、填空题1.函数f(x)=x 121+的值域为_______. 2.指数函数y=a x 与y=b x 的图象如图,则a,b 的取值范围分别为_______.3.函数f(x)=a x +1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点_______.4.若f(x)=x 2,x 4x 2,x 4⎧≥⎨+⎩，＜，则f(f(2))= _______.5．若点(a,9)在函数y=3x 的图象上，则y=a x 在(-∞,+∞)上为_______函数(填“增”或“减”).6．函数y=()0x x 121--的定义域为_______. 7.奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -2，且g(1)=a 2,则f(2a)等于_______.二、解答题8．求函数f(x)=.9.设f(x)=3x ,g(x)=(13)x .(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值，从中你能得到什么结论？10．已知函数f(x)=a x +b(a ＞0且a ≠1).(1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a,b 的值；(2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a,b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|=m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围.答案解析1.【解析】∵2x ＞0,∴2x +1＞1,∴0＜x 121+＜1. ∴f(x)=x 121+的值域为{y|0＜y ＜1}. 答案：{y|0＜y ＜1}2.【解题指南】利用指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的图象的单调性与底数a 的关系判定.【解析】结合指数函数的图象知b>1,0<a<1.答案：0<a<1,b>13.【解析】∵函数y=a x 的图象过定点(0，1)，∴函数y=a x +1的图象恒过定点(0，2).答案：(0，2)4.【解析】f(2)=4,所以f(f(2))=f(4)=24=16.答案:165．【解析】点(a,9)在函数y=3x 的图象上，所以3a =9,a=2，所以y=2x ，它在 (-∞,+∞)上为增函数.答案：增6．【解析】要使函数有意义，需满足x x 10x 1,x 0210-≠≠⎧⎧⎨⎨≠-≠⎩⎩即， ∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0且x ≠1}.答案：{x|x ∈R 且x ≠0且x ≠1}7.【解析】∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数且f(x)+g(x)=a x -2 ① ∴f(-x)+g(-x)=a -x -2，即-f(x)+g(x)=a -x -2 ②①+②得：2g(x)=a x +a -x -4，令x=1得：2g(1)=a+1a -4.又∵g(1)=a 2,∴a+1a -4=a ，解得：a=1.4①-②得：2f(x)=a x -a -x ，∴f(x)=12(a x -a -x )= 12(x 14-4x ). ∴f(2a)=f(12)=12(12-2)=3.4- 答案：34- 【变式备选】已知f(x)是定义域R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=3x -1，则x ＜0时，f(x)=______.【解析】设x ＜0，则-x ＞0，f(-x)=3-x -1，因为f(x)是定义域R 上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，因此f(x)=-f(-x)=1-3-x.答案:1-3-x8．【解析】若使函数有意义，需满足x-1＞0，解得：x＞1.所以函数f(x)的定义域为{x|x＞1}.＞0，f(x)=1,当x＞1即函数f(x)的值域为{y|y＞1}.【规律方法】指数型复合函数的值域的求解策略与指数函数有关的复合函数基本上都是y=a f(x)的形式，这类函数求解值域时，应当注意底数的分类，当底数不确定时需要对底数进行分类讨论.首先根据指数函数的相关性质求出复合函数的定义域,然后求出函数f(x)的值域,即指数型复合函数的指数位置的数或式子的取值范围,然后再根据指数函数的图象及相关的性质求解出该函数的值域.9.【解析】(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：)-1=3;(2)f(1)=31=3,g(-1)=(13)-π=3π;f(π)=3π,g(-π)=(13f(m)=3m,g(-m)=(1)-m=3m.3从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.【规律方法】指数函数图象的记忆口诀多个图形像束花，(0，1)这点把它扎.撇增捺减无例外，底互倒时y 轴夹.y=1为判底线，交点纵标看小大.重视数形结合法，横轴上面图象察.10．【解析】(1)由f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以20a b 0,a b 2⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得(2)从f(x)的图象可知：f(x)单调递减，所以0＜a ＜1, 又f(0)＜0,即a 0+b ＜0,所以b ＜-1.(3)由图(1)可画出|f(x)|的图象，如图，从图中可以看出，当m ≥3或m=0时，y=m 与y=|f(x)|的图象只有一个交点.∴m=0或m ≥3.。
高中学案数学(苏教版必修一)配套课时作业：3.1.2(一) -含答案
3.1.2 指数函数(一)课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号) ①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝ax ＋2(a >0且a ≠1)．2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则a 的值为________．3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x； ②y ＝b x； ③y ＝c x；④y ＝d x的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________． 6．函数y ＝(12)x－2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x－(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________． 9．函数y ＝8－23－x(x ≥0)的值域是________．二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭；(3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，并回答下列问题.(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？ (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y)＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．1．函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称． 2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y ＝f (x －a )的图象可由函数y ＝f (x )的图象向右(a >0)或向左(a <0)平移|a |个单位得到．2．2.2 指数函数(一)知识梳理1．函数y ＝a x(a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >10<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 作业设计 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x， 即－f (x )＝(13)x，∴f (x )＝－(13)x.因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x－2的图象，所以观察y ＝(12)x－2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x－(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8) 解析 y ＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x<0，从而有0≤1－(12)x<1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x. 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x在实数集R 上是单调减函数． 又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n>0，所以V ＝50 000×2n>0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0. (2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1， 当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．。
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 指数函数(二)课件 苏教版必修1.pptx
16 解答
反思与感悟
(1)af(x)＝b型通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转 化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.
17
跟踪训练1 解下列方程. (1)33x－2＝81；
解 ∵81＝34，∴33x－2＝34， ∴3x－2＝4，解得x＝2.
此原理可用于解指数方程、不等式.
9 答案
梳理
简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 单调性求解. (2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助 y＝ax的 单调性 求解. (3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解，也可化 归为( a )x>1求解.
b
10
知识点四 与指数函数复合的函数单调性
思考
y＝12
1 x
的定义域与
y＝1x的定义域是什么关系？y＝12
1 x
的单调性
与 y＝1x的单调性有什么关系？
11
梳理
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同 的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同 的单调性；当0<a<1时， 函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反 .
4
知识点一 不同底指数函数图象的相对位置
思考
y＝2x与y＝3x都是单调增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如 何确定它们两个的相对位置？ 答案 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上 方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方.
高中数学苏教版必修一学案：3.1.2 指数函数(二)
3.1.2指数函数(二)学习目标1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一不同底指数函数图象的相对位置思考y＝2x与y＝3x都是单调增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y ＝a 去记忆，如图．(2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x (a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则ax 1与ax 2(a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？梳理 一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过________来判断．知识点三 解指数方程、不等式思考 若ax 1＜ax 2，则x 1，x 2的大小关系如何？梳理 简单指数不等式的解法(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的__________求解．(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的__________求解．(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图象求解，也可化归为(a b)x >1求解． 知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 y ＝⎝⎛⎭⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝⎝⎛⎭⎫121x 的单调性与y ＝1x的单调性有什么关系？梳理 一般地，有形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有________的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有________的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性________．类型一 解指数方程例1 解下列关于x 的方程．(1)81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2；(2)22x ＋2＋3×2x －1＝0.反思与感悟(1)a f(x)＝b型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．跟踪训练1解下列方程．(1)33x－2＝81；(2)5x＝3 25；(3)52x－6×5x＋5＝0.类型二指数函数单调性的应用命题角度1比较大小例2比较下列各题中两个值的大小．(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中两个值的大小．(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1.命题角度2 解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)．反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．命题角度3 与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝26171()2x x -+的单调区间；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调区间．反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题．跟踪训练4 求下列函数的单调区间．(1)y ＝223x x a +-；(2)y ＝10.2x －1.1．若a ＝120.5，b ＝130.5，c ＝140.5，则a 、b 、c 的大小关系是________．2．方程42x －1＝16的解是________．3．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式2232x x a-+＞2223x x a +-的解集为________． 4．函数f (x )＝211()2x -的单调增区间为________．5．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c 且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝a f(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝a f(x)与f(x)的单调性相同．当0<a<1时，y＝a f(x)与f(x)的单调性相反．(2)研究y＝f(a x)型单调区间时，要注意a x属于f(u)的单调增区间还是单调减区间．★★答案★★精析问题导学知识点一思考 经描点观察，在y 轴右侧，2x ＜3x ，即y ＝3x 图象在y ＝2x 上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x 在y ＝3x 图象上方．知识点二思考 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为单调增函数，所以ax 1＜ax 2，当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为单调减函数，所以ax 1＞ax 2.梳理 (1)单调性 (2)图象 (3)中间值知识点三思考 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，ax 1＜ax 2⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，ax 1＜ax 2⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、不等式．梳理 (1)单调性 (2)单调性知识点四★★答案★★ 由于y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝⎝⎛⎭⎫121x 的定义域与y ＝1x的定义域相同，故研究y ＝⎝⎛⎭⎫121x 的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，⎝⎛⎭⎫1211x ＜⎝⎛⎭⎫1221x ，不等号方向的改变与y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝1x的单调性均有关． 梳理 (1)相同 (2)相同 相反题型探究例1 解 (1)∵81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)，∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0，解得t ＝14或t ＝－1(舍去)． ∴2x ＝14，解得x ＝－2. 跟踪训练1 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34，∴3x －2＝4，解得x ＝2.(2)∵5x ＝325，∴∴52x ＝523，∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x ，则t >0，原方程可化为t 2－6t ＋5＝0，解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x ＝1，∴x ＝1或x ＝0.例2 解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是单调增函数．∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3. (2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.跟踪训练2 解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x 在R 上是单调减函数．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1， ∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx 在R 上是单调减函数．又∵－π＜0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π＞⎝⎛⎭⎫1π0＝1，即⎝⎛⎭⎫1π－π＞1.例3 解 当0<a <1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．跟踪训练3 (12，＋∞) 解析 ∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1， ∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ⇔x >1－x ⇔x >12. ∴x ∈(12，＋∞)． 例4 解 (1)y ＝26171()2x x -+的定义域为R .∵在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是单调减函数，∴y ＝26171()2x x -+在(－∞，3]上是单调增函数． 在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是单调增函数， ∴y ＝26171()2x x -+在[3，＋∞)上是单调减函数． ∴y ＝26171()2x x -+的单调增区间是(－∞，3]，单调减区间是[3，＋∞)．(2)设t ＝1()2x ，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增， 令1()2x ≤4，得x ≥－2.∴当－2≤x 1<x 2时，4≥11()2x >21()2x ，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17. ∴y ＝21()2x －8·1()2x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得单调减区间是(－∞，－2]．跟踪训练4 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为单调减函数，在[－1，＋∞)上为单调增函数．当a >1时，y 关于u 为单调增函数；当0<a <1时，y 关于u 为单调减函数，∴当a >1时，原函数的单调增区间为[－1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1]； 当0<a <1时，原函数的单调增区间为(－∞，－1]，单调减区间为[－1，＋∞)．(2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}．设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x 为单调减函数． 而根据y ＝1u －1的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的单调减函数，∴原函数的单调增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．当堂训练1．a <b <c 2.323.(1，＋∞) 4．(－∞，0] 5.5±12。
高中数学：3.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.[知识链接]1.函数y＝a x(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减.2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.[预习导引]1.函数y＝a x与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.2.形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.3.形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：0.7-0.70.3；(1)1.9－π与1.9－3；(2)23(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.0.7-0.70.3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以23(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较. 跟踪演练1 已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析 因为函数y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c ＞a ＞b . 要点二 指数型函数的单调性 例2 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y ＝2213-⎛⎫⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a 的大小；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪演练2 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解 函数y ＝222-+xx的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数y ＝222-+x x的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞).要点三 指数函数的综合应用 例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数.(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明. (3)求f (x )的值域.(1)证明 由题知f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x(3－x ＋1)·3x＝1－3x1＋3x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.(2)解 f (x )在定义域上是增函数.证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)－f (x 1)＝32x－132x ＋1－31x－131x ＋1＝(1－232x ＋1)－(1－231x ＋1)＝2·(32x －31x)(31x ＋1)(32x＋1). ∵x 1＜x 2，∴32x －31x ＞0,31x＋1＞0，32x ＋1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )为R 上的增函数. (3)解 f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x ＞0⇒3x ＋1＞1⇒0＜23x ＋1＜2⇒－2＜－23x ＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1， 即f (x )的值域为(－1,1).规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪演练3 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解 依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立.由此得到a －1a ＝0， 即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明 设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe 12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)答案 A解析 定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数.又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)是增函数， ∴选A.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析 原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数， 所以21.8＞21.5＞21.44， 即y 1＞y 3＞y 2，故选D.4.某种细菌在培养过程中，每20 min 分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个. 答案 512解析 3 h ＝9×20 min ，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个. 5.已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数，定义域为R ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n . 2.指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，在f (x )的单调区间[m ，n ]上，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第6章 第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
() = (3 − 10) 是增函数，则 =__.
8
− = ,
= ,
[解析]当 > 时， = 在[−, ]上单调递增，所以൝
解得ቐ
此时
= ,
= .
() = ( − ×
)
= ( −
)
.因为 −
< ，所以()是减函数，不合
奇函数”.
（1）已知函数() = 2 + 2 − 4( ∈ , ≠ 0)，试判断()是否为“局部奇函数”？
并说明理由；
解由题意知，若()为“局部奇函数”，则关于的方程() + (−) = 0有解，
当() = 2 + 2 − 4时，(−) = 2 − 2 − 4，
1
2
.因为
+
A.(0, +∞)B.(0,1)C.(1, +∞)D.(0, )
[解析] =
<
+
+
=
+−
+
< ，− <
=−
−
+
< ， <
所以函数的值域为(, ).故选B.
> ，所以 + > ，所以
−
则(1 ) − (2 ) = (1 −
1
)
1
1
− (2 − )
2
因为1 ，2 ∈ (0, +∞)，且1 <
1
= (1 − 2 )(1 +
).
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江苏省高一数学苏教版必修1课后训练：3.1.2指数函数第2课时 Word版含解析
指数函数的图象及性质练习1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向右平移__________个单位长度，再向下平移__________个单位长度．2．若函数y＝a x－b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有__________．3．函数y＝－e x的图象与y＝e－x的图象关于__________对称．4．已知函数y＝4x－3·2x＋3的值域为［1,7］，则x的取值范围是__________．5．若a＞1，b＜－1，则函数y＝a x＋b的图象不经过第__________象限．6．把函数y＝e x的图象向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到图象对应的解析式是________．7．函数y＝a x－3＋3(a＞0且a≠1)恒过定点________．8．若函数f(x)＝2－|x－1|－m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是__________．9．已知函数31 ()=31xxf x-+，(1)判断该函数的奇偶性；(2)证明函数在定义域上是增函数．10．求下列函数的单调区间：(1)y＝|2x－2|；(2)y＝2－|x|．11．已知函数f(x)＝1112xa⎛⎫+⎪-⎝⎭·x3(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性．12．是否存在实数m，使得函数f(x)＝x2·33xxmm-+为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．答案：3 12．解析：根据题意作出如图所示的图象，从而0＜a＜1，且b＋1＞1，即b＞0．答案：0＜a＜1且b＞03．解析：若点(x，y)在函数y＝－e x上，则－y＝e x＝e－(－x)，说明点(－x，－y)在函数y＝e－x的图象上．答案：坐标原点4．解析：y＝(2x)2－3·2x＋3＝233224x⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以当x∈(－∞，0］时，2x∈(0,1］，此时y∈［1,3)，符合题意．当x∈［1,2］时，2x∈［2,4］，此时y∈［1,7］，符合题意．答案：(－∞，0］∪［1,2］5．解析：作出如图所示的图象，可知图象不经过第二象限．答案：二6．答案：y＝e x＋2－37．解析：令x－3＝0，即x＝3，则a x－3＋3＝a3－3＋3＝4，所以函数y＝a x－3＋3恒过定点(3,4)．答案：(3,4)8．解析：∵－|x－1|≤0，∴0＜2－|x－1|≤1．要使函数f(x)与x轴有交点，只需0＜m≤1即可．答案：(0,1］9．(1)解：因为3113()=3113x xx xf x-----=++＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．(2)证明：定义域为x∈R，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－121231313131x xx x---++＝12122(33)(31)(31)x xx x-<++，因此f(x)在R上单调递增．10．解：(1)y＝|2x－2|＝22,1,22,1,xxxx⎧-≥⎨-<⎩其图象如下图所示．由图象可得函数y＝|2x－2|的单调递增区间为［1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．(2)y ＝2－|x |＝1,0,22,0,xxx x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩其图象如下图所示．由图象可得函数y ＝2－|x |的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为［0，＋∞)．11．解：(1)由题意得a x－1≠0，x ≠0， 所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)因为f (－x )＝1112x a -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭(－x )3＝112x xa a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭(－x 3)＝1112x a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭x 3＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．12．解：因为g (x )＝x 2为R 上的偶函数，故要使f (x )为奇函数，只需h (x )＝33x x mm-+为奇函数．假设h (x )为奇函数，则h (x )＋h (－x )＝0，即33x x m m -+＋33x x m m ---+＝0，33x x m m -+＋1313x xm m -⋅+⋅＝0． 去分母，得(3x－m )(1＋m ·3x)＋(3x＋m )(1－m ·3x)＝0．整理得2·3x ·(1－m 2)＝0，解得m ＝±1． 经检验，当m ＝±1时，f (x )为奇函数． 故存在m ＝±1，使函数f (x )为奇函数．。
苏教版高中数学必修一3.1.2 指数函数(二).docx
3.1.2 指数函数(二) 课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．1．下列一定是指数函数的是________．①y ＝－3x ；②y ＝x x (x >0，且x ≠1)；③y ＝(a －2)x (a >3)；④y ＝(1－2)x .2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则0，a ，b,1的大小关系为________．3．函数y ＝πx 的值域是________．4．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩N ＝________. 5．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是______________． 6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为________．一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________．2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数；③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________．6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________． 7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性；(2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]． (1)设t ＝2x ，求t 的取值范围；(2)求函数f (x )的值域．能力提升12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1. (1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．2．2.2 指数函数(二)双基演练1．③2．0<a <1<b3．(0，＋∞)4．{－1}解析 解指数不等式12<2x ＋1<4，得－1<x ＋1<2， 所以－2<x <1，故N ＝{－1,0}， 所以M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．5．(12，＋∞) 解析 ∵函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 6．－1<a <0作业设计1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P .2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16，∴16－4x ∈[0,4)．3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12， ∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b .7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立； 当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1. 综上可知x ∈(－∞，－1)．9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)． 又由y ＝2u 的增减性得()12g x <()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增， ∴t ∈[22，2]． (2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增， 比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2，f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]．12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞，所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0， ∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517. (2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则22x >12x >0,22x －12x>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)， 又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。
苏教版数学必修1课件：第3章 3.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用
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【答案】 (－3,0] (2)y＝4－x－21－x＋1＝122x－2·12x＋1＝12x－12， ∵x∈[－3,2]，∴12x∈14，8， 令 t＝12x，得 y＝(t－1)2，其中 t∈14，8， ∴y∈[0,49]，即最大值为 49，最小值为 0.
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指数函数的应用题
某市现有人口总数为 100 万人，如果年平均增长率为 1.2%，试解答 下列问题：
(1)试写出 x 年后该城市人口总数 y 万人与 x 之间的函数关系式； (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 1 万人)． 【精彩点拨】 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为 N，年平均 增长率为 p，则对于 x 年后的人口总数 y，可以用 y＝N(1＋p)x 表示．
【精彩点拨】 (1)根据奇函数的定义，求出 a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉 f 解不等式求 k 的范围．(3)利用(2)中单调性求 f (x)的值域．
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【自主解答】 (1)∵函数 y＝f (x)是定义域 R 上的奇函数，
∴ f f
0＝0， －1＝－f
阶
阶
段
段
一
三
第2课时 指数函数的图象与性质的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问 题．(重点、难点)
2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)
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下一页Βιβλιοθήκη [基础·初探] 教材整理 指数函数 形如 y＝kax(k∈R，且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数是一种指数型 函数，这是一 种非常有用的函数模型． 设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y＝ N(1＋p) x (x∈N) ．
高中数学苏教版必修1 3.1.2第二课时 指数函数及其性质的应用 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向________平移________个单位长度．解析：y ＝3×(13)x ＝(13)x －1. 答案：右 12.若指数函数y ＝(a －2)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为________． 解析：由已知，得0<a －2<1，∴2<a <3，∴a 的取值范围是(2，3)．答案：(2，3)3.已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________．解析：令x －2＝0，得x ＝2，此时y ＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(2，3)．答案：(2，3)4．已知f (x )＝(13)|x |，则方程f (x )＝19的解集是________． 解析：由(13)|x |＝19，得|x |＝2，∴x ＝－2或2. 答案：{－2，2}5．若关于x 的方程2x ＝3a ＋1有负根，则a 的取值范围是________．解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1，所以0＜3a ＋1＜1，解得－13＜a ＜0. 答案：(－13，0) 6．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则f (13)，f (23)，f (32)的大小关系是________． 解析：由题设知，x ≤1时单调递减，x ≥1时单调递增且x ＝1为对称轴，∴f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)， ∴f (13)＞f (32)＞f (23)． 答案：f (23)＜f (32)＜f (13) 二、解答题7.对于函数y ＝(12)x 2－6x ＋17. (1)求其定义域、值域；(2)确定其单调区间．解：(1)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝(12)u 及u ＝x 2－6x ＋17的定义域都是R ， 故函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的定义域为R .因为u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以(12)u ≤(12)8，又(12)u >0， 故函数的值域为(0，1256]． (2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1、x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，有u 1<u 2，从而(12)u 1>(12)u 2， 即y 1>y 2，所以函数y ＝(12)x 2－6x ＋17在[ 3，＋∞)上是减函数，同理可知y ＝(12)x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数．综上，y ＝(12)x 2－6x ＋17的单调增区间为(－∞，3]， 单调减区间为[3，＋∞)．8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12)x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的单调区间；(4)求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(12)－x ＝－2x . 所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ， x <0，0， x ＝0，（12）x ， x >0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由函数f (x )的图象可知，f (x )的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．(4)由函数f (x )的图象可知，f (x )的值域是(－1，1)．[高考水平训练]一、填空题1.某厂2013年的产值为a 万元，预计产值每年以n %递增，则该厂到2025年的产值(单位：万元)是________．解析：2014年的产值为a (1＋n %)，2015年的产值为a (1＋n %)2，…，2025年的产值为a (1＋n %)12.答案：a (1＋n %)122.若将函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移1个单位就得出函数y ＝3x 的图象，则f (x )＝________．解析：问题即把y ＝3x 的图象向右、向上分别平移一个单位就得出函数y ＝f (x )的图象． ∴f (x )＝3x －1＋1.答案：3x －1＋1二、解答题3.利用函数f (x )＝(12)x 的图象，作出下列各函数的图象． (1)f (x －1)；(2)f (x ＋1)；(3)－f (x )；(4)f (－x )．解：图象如图所示．4.根据函数y ＝|2x －1|的图象，判断当实数m 为何值时，方程|2x －1|＝m 无解？有一解？有两解？解：函数y ＝|2x －1|的图象可由指数函数y ＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图象是与x 轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m ＜0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x －1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x －1|＝m 有一解； 当0＜m ＜1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x －1|＝m 有两解．。
3.1.2指数函数及其性质的应用学案含解析高中数学必修一苏教版
第2课时指数函数及其性质的应用课时训练15指数函数及其性质的应用1.函数f(x)=a x (a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为().(导学号51790179)A. B.1 C. D.f(x)=a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上是单调的,∴|a2-a|=,∴a2-a=或a2-a=-,∴a2-a=0或a2-=0,∴a=或a=.2.若a>1,b<-1,则函数y=a x+b的图象不经过().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,由图可知,图象不经过第二象限.3.函数y=的单调减区间是().A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.[-1,+∞)D.[0,+∞)y=3t在R上为增函数,也就是求t=2-2x2的单调减区间,即(0,+∞)(或[0,+∞)).4.(2019重庆高一期末)已知函数f(x)=3-x,对任意的x1,x2,且x1<x2,则下列四个结论不一定正确的是().(导学号51790180)A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0D.f函数f(x)=3-x=是指数函数,且在定义域R上为减函数,∴f(x1+x2)==f(x1)·f(x2),∴选项A 正确,选项B错误;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0表示函数是减函数,∴选项C正确;结合函数f(x)的图象(图略)与f表示的几何意义可知选项D正确.故选B.5.定义运算a*b=则函数f(x)=1*2x的最大值为.x≥0时, 2x≥1;当x<0时,2x<1.∴f(x)=1*2x=∴f(x)的最大值是1.6.若函数f(x)=2-|x-1|-m的图象与x轴有交点,则实数m的取值范围是.-|x-1|≤0,∴0<2-|x-1|≤1.要使函数f(x)与x轴有交点,只需0<m≤1即可.7.已知函数f(x)=a x在x∈[-2,2]上恒有f(x)<2,求a的取值范围.(导学号51790181)a>1时,函数f(x)=a x在[-2,2]上为增函数,此时f(x)≤f(2)=a2.由题意可知a2<2,即a<,所以1<a<.当0<a<1时,函数f(x)= a x在[-2,2]上为减函数,此时f(x)≤f(-2)=a-2.由题意可知a-2<2,即a>,所以<a<1.综上所述,所求a的取值范围是∪(1,).8.已知函数f(x)=.(1)判断该函数的奇偶性;(2)证明函数在定义域上是增函数.f(-x)==-f(x),所以函数f(x)是奇函数.x∈R,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=<0,因此f(x)在R上是增函数.9.求下列函数的单调区间:(导学号51790182)(1)y=|2x-2|;(2) y=2-|x|.y=|2x-2|=其图象如图所示.由图象可得函数y=|2x-2|的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(-∞,1).(2)y=2-|x|=其图象如图所示.由图象可得函数y=2-|x|的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为[0,+∞).。
2016年高中数学苏教版必修一3.1.2指数函数word教案2
3.1.2 指数函数（2）教学目标：1．进一步明白得指数函数的性质；2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；教学重点：指数函数的性质的应用；教学难点：指数函数图象的平移变换．教学进程：一、情境创设1．温习指数函数的概念、图象和性质练习：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的概念域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为 ．假设a ＞1，那么当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．假设0＜a ＜1，那么当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．2．情境问题：指数函数的性质除比较大小，还有什么作用呢？咱们明白对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象恒过(0，1)，那么对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x 1的图象恒过哪个定点呢？二、数学应用与建构例1 解不等式：（1）0.533x ≥；（2）0.225x <； （3）293x x ->；（4）34260x x ⨯-⨯>． 小结：解关于指数的不等式与判定几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．例2 说明以下函数的图象与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示用意：（1）22x y -=； （2）22x y +=； （3）22x y =-； （4）22xy =+． 小结：指数函数的平移规律：y ＝f (x )左右平移 y ＝f (x ＋k )(当k ＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移 y ＝f (x )＋h (当h ＞0时，向上平移，反之向下平移)．练习：（1）将函数f (x )＝3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，能够取得函数 的图象． （2）将函数f (x )＝3x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，能够取得函数 的图象． （3）将函数2123x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是 ．（4）对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x 1的图象恒过的定点的坐标是 ．函数y ＝a 2x －1的图象恒过的定点的坐标是 ．小结：指数函数的定点往往是解决问题的冲破口！定点与单调性相结合，就能够够构造出函数的简图，从而许多问题就能够够找到解决的冲破口．（5）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝2x 和y ＝2|x 2|的图象？ （6）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝|2x －1|的图象？小结：函数图象的对称变换规律．例3 已知函数y ＝f (x )是概念在R 上的奇函数，且x ＜0时，f (x )＝1－2x ，试画出此函数的图象．例4 求函数1421x x y -=-+的最小值和取得最小值时的x 值．小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．练习：（1）函数y ＝a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，那么a 等于 ；（2）函数y ＝2x 的值域为 ；（3）设a ＞0且a ≠1，若是y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值；（4）当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，求实数a 的取值范围．三、小结1．指数函数的性质及应用；2．指数型函数的定点问题；3．指数型函数的草图及其变换规律．四、作业：讲义P71-11，12，15题．五、课后探讨（1）函数f (x )的概念域为(0，1)，那么函数()222x x f -的概念域为 ． （2）关于任意的x 1，x 2R ，假设函数f (x )＝2x ，试比较1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫⎪⎝⎭与的大小．。
苏教版高中数学必修一课后巩固·提能：3.1.2.2指数函数及其性质的应用(必修1).docx
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课后巩固·提能一、填空题1.当-1≤x ≤1时,函数y=2x -1的最大值减去最小值等于_______.2.不等式22x 82x x 1()33--＜的解集是_______.3.已知a=1.2-0.8,b=1.2-1.2,c=0.8-0.2，则这三个数的大小关系为_______ (用“＞”连接).4.(2012·南京高一检测)已知函数()()x1(),x 42f x f x 1,x 4⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，，则f(2+log 23)= _______.5.若函数f(2x )的定义域是［-1，1］，则f(x)的定义域是_______.6.若0<a<1,b<-1，则函数f(x)=a x +b 的图象不经过_______象限.7.(2012·盐城高一检测)函数2x 2x 21y ()2-+=的单调增区间是_______. 二、解答题8.已知3x ≤(19)x-3，求函数y=(13)x 的值域.9.(2012·无锡高一检测)设函数f(x)=x x 41.41-+(1)解不等式f(x)＜13;(2)求函数f(x)的值域.10.(2012·淮安高一检测)已知指数函数y=g(x)满足：g(2)=4,定义域为R ，函数()()()g x nf x 2g x m-+=+是奇函数.(1)确定y=g(x)的解析式； (2)求m,n 的值；(3)若对任意的t ∈R,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)＜0恒成立，求实数k 的取值范围.答案解析1.【解析】由y=2x -1的单调性可知，函数的最大值为y=21-1=1,最小值为y=2-1-1=1,2-故最大值减去最小值为131().22--= 答案：322.【解析】2222x 82x x x 8x 2x 111()3,()(),333----∴＜＜ ∴x 2-8＞x 2-2x,∴-8＞-2x,∴x ＞4, ∴原不等式的解集为{x|x ＞4}. 答案:{x|x ＞4}【举一反三】将不等式改为(13)1-x ≥181·9x 呢？ 【解析】将不等式变形为3x-1≥32x-4,∴x-1≥2x-4,∴x ≤3,∴原不等式的解集为{x|x ≤3}. 答案:{x|x ≤3}3.【解析】因为1>1.20＞1.2-0.8>1.2-1.2>0, 0.8-0.2>0.80=1, 所以c>a>b. 答案：c ＞a ＞b【规律方法】比较幂的大小的方法 (1)在比较两个幂的大小时，应注意：①对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断.②对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断.③对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来比较. (2)对于三个(或三个以上)指数幂的大小比较，则应先根据指数幂的大小(特别是与0、1的大小)进行分组，再比较各组数的大小即可. 4.【解析】∵1<log 23<2,∴3<2+log 23<4，∴f(2+log 23)=f(3+log 23)=f(log 28+log 23)=f(log 224)1222log 24log 24log 24111()2224.224---===== 答案：1245.【解析】∵函数f(2x )的定义域是［-1,1］, ∴12≤2x ≤2,∴f(x)的定义域是［12，2］.答案：［12，2］【误区警示】本题易出现f(x)的定义域为［-1,1］的错误，其错误原因是对函数f(2x )的定义域理解错误.6.【解题指南】利用a,b 的范围判断出函数的单调性及与y 轴的交点位置. 【解析】∵0<a<1,所以f(x)=a x +b 为减函数，又b<-1，所以f(0)=a 0+b=1+b<0. 故函数f(x)的图象大致为如图所示，故函数f(x)=a x +b 的图象不经过第一象限.答案：第一7.【解析】函数y=2x 2x 21()2-+是一个复合函数，其外层函数是递减的指数函数，内层函数是一个二次函数,内层函数t=x 2-2x+2在(-∞,1)上是单调减函数， ∴y=2x 2x 21()2-+的单调增区间是(-∞,1). 答案:(-∞,1)8.【解题指南】先利用已知条件，求出x 的取值范围，再求函数y=(13)x 的值域. 【解析】由3x ≤(19)x-3，得3x ≤3-2x+6， 所以x ≤-2x+6，x ≤2， 所以y=(13)x ≥(13)2=19.即函数y=(13)x 的值域为{y|y ≥19}.9.【解析】(1)∵f(x)=x x 4141-+,且f(x)＜13,∴x x 4141-+＜13.又∵4x +1＞0,3＞0， ∴3(4x -1)＜4x +1,即2·4x ＜4,∴22x+1＜22.又∵y=2x 为增函数，∴2x+1＜2,∴x ＜12, ∴不等式f(x)＜13的解集为{x|x ＜12}.(2)方法一：()x x x xx 414122f x 1,414141-+--===++++ 又∵4x ＞0,∴4x +1＞1,∴-2＜x 241-+＜0, ∴-1＜x 2141-++＜1,∴f(x)的值域为(-1,1).方法二：令y=f(x)=x x 41,41-+∴4x =y 11y+-,又∵4x ＞0,∴y 11y+-＞0, y 10y 101y 01y 0,++⎧⎧∴⎨⎨--⎩⎩＞，＜，或＞，＜ 解上式得-1＜y ＜1, ∴f(x)的值域为(-1,1).10.【解析】(1)设指数函数y=g(x)=a x (a ＞0且a ≠1), ∵g(2)=4,∴a 2=4,a=2. ∴y=g(x)=2x .(2)由(1)知：f(x)=x x 12n,2m+-++ 因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0,即n 1m 2-+=0,所以n=1, ∴f(x)=xx 112,2m +-+由f(-1)=-f(1)可解得,m=2(也可以赋其他值). (3)由(2)知f(x)=x x 1x1211,22221+-=-+++易知f(x)在R上为单调减函数，因为f(x)是奇函数，所以由f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0,得f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(k-2t2),由f(x)在R上为减函数，可得t2-2t＞k-2t2,要对一切t∈R有不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，则二次函数g(t)=3t2-2t-k的判别式Δ=4+12k＜0,解得k＜1.-3【规律方法】1.指数型函数的单调性问题的求解策略(1)基本思路：利用函数单调性的定义求解.(2)解题步骤：.取值作差化简判号结论→→→→(3)注意事项：注意指数函数自身的单调性.2.指数型函数奇偶性的求解策略(1)基本思路：利用函数的奇偶性的定义求解,(2)解题步骤：①定义域是否关于原点对称;②判断f(-x)与f(x)之间的关系;③得出结论.。
数学高一- 必修1 3.3 第2课时 指数函数的图像与性质的应用 作业
3.3 第2课时 指数函数的图像与性质的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1. 已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}【解析】 N ＝{x |2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }，又y ＝2x 在R 上为增函数，所以N ＝{x |－1<x ＋1<2，x ∈Z }＝{x |－2<x <1，x ∈Z }＝{－1,0}，所以M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}，故选B.【答案】 B2. 下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53 B ．0.82<0.83 C ．π2<π 2D ．0.90.3>0.90.5【解析】 ∵y ＝0.9x 是R 上的减函数， 且0.5>0.3，∴0.90.3>0.90.5. 【答案】 D3. 函数y ＝5－|x |的图像是( )【解析】 当x >0时，y ＝5－|x |＝5－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ，又原函数为偶函数，故选D.【答案】 D4. 若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数【解析】 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，f (x )为偶函数，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．故选B.【答案】 B5. 函数y ＝22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14 D ．(－∞，＋∞)【解析】 函数的定义域为R ，令u ＝2x 2－x －3，对称轴为x ＝14， 故当x ≥14时，u 为增函数，当x ≤14时，u 为减函数． 又12<1，故函数y ＝22312x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.故选A.【答案】 A 二、填空题6. 定义运算a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1] .【解析】 因为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则f (x )＝1]1，x ≥0，2x ，x <0，作出图像如图所示：故f (x )的最大值为1.【答案】 17. 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，那么f (－1)＝________.【解析】 因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 －28. 若函数y ＝|2x －1|在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________. 【解析】 作出函数y ＝|2x －1|的图像如图所示．因为函数在(－∞，m ]上单调递减，故m ≤0. 【答案】 (－∞，0] 三、解答题9. 画出函数y ＝2|x ＋1|的图像，并根据图像指出它的单调区间． 【解】 变换作图，y ＝2x ――→右留且右往左翻y ＝2|x |――→向左平移1个单位y ＝2|x ＋1|，如图．由图可知函数y ＝2|x ＋1|在(－∞，－1]上单调递减， 在(－1，＋∞)上单调递增．10. 求函数y ＝4x －2x ＋1－3在[－1,2]上的值域． 【解】 y ＝4x －2x ＋1－3＝22x －2·2x －3. 令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，所以y ＝t 2－2t －3，对称轴t ＝1，所以当t ＝1时，y min ＝1－2－3＝－4， 当t ＝4时，y max ＝16－8－3＝5. 故函数的值域为[－4,5]．[能力提升]1. 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(4,8)C ．[4,8)D ．(1,8)【解析】 因为f (x )是R 上的增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a <8.【答案】 C2. 已知函数f (x )＝n ·3x －23x ＋1为R 上的奇函数，则n 的值为________．【解析】 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以n ·3－x －23－x ＋1＝－n ·3x ＋23x ＋1，所以－2·3x ＋n 3x＋1＝－n ·3x ＋23x＋1，所以n ＝2.【答案】 23. 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.【解】 (1)由2x －1≠0，得x ≠0. ∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)由于函数f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12·x 3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋11－2x ＋12·x 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (3)证明：当x >0时，12x－1>0，x 3>0，∴f (x )>0， 又∵f (x )为偶函数， ∴x <0时，f (x )>0.综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。
苏教版新教材高中数学必修第一册课时练习-指数函数的图象与性质的应用
课时练习(二十六) 指数函数的图象与性质的应用(建议用时：40分钟)一、选择题 1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1的值域是( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．[0,2)D ．[0,2]B [∵x 2－1≥－1，∴y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，又y >0，∴y ∈(0,2]．] 2．若函数f (x )＝的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0]C ．[－1,0)D ．[－1,0]D [依题意，2x 2＋2ax －a－1≥0对任意x ∈R 恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0．]3．已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝2x，则f (x )的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1]D ．(－∞，1]C [因为当x ≤0时，f (x )＝2x∈(0,1]，且f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x )的值域为(0,1]，故选C ．]4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．∅C [由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－13舍去， 即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|．由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．]5．函数f (x )＝12[(1＋2x )－|1－2x|]的图象大致为( )A B C DA [根据题意，由于函数f (x )＝12[(1＋2x )－|1－2x|]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，1－2x≥01，1－2x<0＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，1，x >0，根据解析式，结合分段函数的图象可知， 在y 轴右侧是常函数， 所以排除B ，D ，而在y 轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C ，因此选A ．]二、填空题6．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值为n ，则m ＋n 的值为 ．12 [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数， ∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，∴m ＋n ＝12．]7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗 次．4 [设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142；经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143；经过第四次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫144，……，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x．由题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x≤1100，4x ≥100,2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次．]8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是 ． (－∞，－1) [当x <0时，－x >0，f (－x )＝1－2x ＝－f (x )，则f (x )＝2x－1．当x ＝0时，f (0)＝0， 由f (x )<－12，解得x <－1．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在[－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴f (x )在[－2，＋∞)上是增函数， 即f (x )的单调增区间是[－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1．因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1．10．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0．3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0．08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)[解] 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0．3(1－50%)mg/mL ，…，x 小时后其酒精含量为0．3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0．3(1－50%)x≤0．08，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤415．采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12>415，x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416<415．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2．故至少要过2小时驾驶员才能驾驶．1．定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b ，a a ＜b ，则函数f (x )＝3－x ⊗3x的值域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]D [由题设可得f (x )＝＝⎩⎪⎨⎪⎧3－xx ≥0，3x x ＜0，其图象如图实线所示，由图知函数f (x )的值域为(0,1]．]2．已知f (x )＝|2x－1|，当a <b <c 时，有f (a )>f (c )>f (b )，则必有( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b >0，c >0 C ．2－a<2cD ．1<2a＋2c<2D [作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图所示，因为a <b <c ，且有f (a )>f (c )>f (b )， 所以必有a <0,0<c <1，且|2a －1|>|2c－1|，所以1－2a >2c －1，则2a ＋2c <2，且2a ＋2c>1，故选D ．]3．如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值． [解] 设t ＝a x，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2， (1)若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴－1<1a≤t ≤a ．∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上也递增，∴原函数在[－1,1]上递增． 故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1．由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． (2)若0<a <1，可得当x ＝－1时，y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，a ＝13或3．4．设函数f (x )＝1－ax1＋a x (a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)若f (x )≥12，求x 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝1－ax1＋a x (a >0且a ≠1)，定义域为R ，所以f (－x )＝1－a －x1＋a －x ＝a x－1a x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )≥12，即1－a x 1＋a x ≥12，a x >0,2－2a x ≥1＋a x ，解得a x≤13，当a >1时，x ＝log a a x≤log a 13＝－log a 3，当0<a <1时，x ＝log a a x≥log a 13＝－log a 3，综上所述：当a >1时，x ≤－log a 3，当0<a <1时，x ≥－log a 3．。
2018版高中数学苏教版必修一学案：3.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
第2课时指数函数及其性质的应用学习目标 1.会用指数函数模型刻画和解决简单的实际问题(难点)；2.会解a f(x)＝a g(x)型的指数方程(重点)；3.掌握与指数函数复合的函数单调性解决方法(重、难点)；4.了解与指数函数有关的函数奇偶性的判断方法(重点)．预习教材P68－69，完成下面问题：知识点一指数型函数y＝k·a x(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型1．指数增长模型设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．2．指数减少模型设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．【预习评价】由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为________．解析1年后价格为8 100×(1－13)＝8 100×23＝5 400(元)，2年后价格为5 400×(1－13)＝5 400×23＝3 600(元)，3年后价格为3 600×(1－13)＝3 600×23＝2 400(元)．答案 2 400元知识点二与指数函数复合的函数单调性1．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．2．当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y ＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．【预习评价】思考y＝的定义域与y＝1x的定义域是什么关系？y＝的单调性与y＝1x的单调性有什么关系？提示两者定义域相同，都是{x|x≠0}；两者单调性相反，y＝在(－∞，0)单调递增，在(0，＋∞)单调递增，y＝1x在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递减．题型一利用指数型函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.6－1.2, 0.6－1.5；(3)2.3－0.28 , 0.67－3.1.解(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的．又2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R上是减少的．因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)(中间量法)由指数型函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.规律方法(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断．(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较．(4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小．【训练1】比较下列各题中的两个值的大小：(1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)(2)3－x,0.5－x(－1<x<0)．解(1)由指数函数的性质知，y＝0.8x在R上是减函数，－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.(2)由指数函数的性质知所以(3)∵－1<x<0，∴0<－x<1.而3>1，因此有3－x>1，又0<0.5<1，∴有0<0.5－x<1，∴3－x>0.5－x(－1<x<0)．题型二 利用指数型函数的单调性解不等式 【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．解 (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0.故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x ∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)； 当a >1时，(－1,5)．规律方法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.【训练2】 (1)不等式4x <42－3x 的解集是________． (2)设0<a <1，关于x 的不等式的解集是________．解析 (1)由4x <42－3x ，得x <2－3x ，即x <12， 所以不等式的解集为{x |x <12}．(2)因为0<a <1，所以y ＝a x 在R 上是减函数． 又所以2x 2－3x ＋7<2x 2＋2x －3，解得x >2. 所以不等式的解集是{x |x >2}． 答案 (1){x |x <12} (2){x |x >2}题型三 指数函数模型及应用【例3】 某县现有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精度为0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解 (1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 当x ＝3时，y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；……故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)． (2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人．规律方法 建立函数模型时通常需要写出x ＝1,2,3，…时对应y 值以归纳规律，而模型建得对不对也可通过令x ＝1,2，…来验证．【训练3】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少要过滤几次才能使产品达到市场要求？解 每次过滤后杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，按市场要求“杂质含量不能超过0.1%”． 得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11 000， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120， 当n ＝7时，⎝ ⎛⎭⎪⎫237≈0.059＞120.当n ＝8时，⎝ ⎛⎭⎪⎫238≈0.039＜120. 即至少要过滤8次才能使产品达到市场要求．题型四 与指数函数复合的函数单调性问题 【例4】 讨论函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2的单调性．解 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2－2t ＋2(t ＞0)．又t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数，y ＝t 2－2t ＋2(t ＞0)在(0,1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数，而当t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，x ≥0；当t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥1时，x ≤0，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2在(－∞，0]上是单调减函数，在[0，＋∞)上是单调增函数．规律方法 (1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性． 【训练4】 求函数的单调区间．解 函数的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ， 则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数， 所以函数在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数， 所以函数在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．【探究14，求a 的值．解 令t ＝a x ，得y ＝t 2＋2t －1.当a ＞1时，∵x ∈[－1,1]， ∴t ∈[1a ，a ]．∵y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2， ∴y ＝t 2＋2t －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．∴y max ＝a 2＋2a －1＝14， ∴a ＝3(舍负)；当0＜a ＜1时，∵x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，∴y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上是增函数． y max ＝1a 2＋2a －1＝14， ∴1a ＝3(舍负)， ∴a ＝13.综上所述，a ＝3或a ＝13.【探究2】 已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－2,2]上的函数值总小于2，则实数a 的取值范围是________．解析 要使函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－2,2]上的函数值总小于2，只要f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－2,2]上的最大值小于2，当a ＞1时，f (x )max ＝a 2＜2， 解得1＜a ＜2； 当0＜a ＜1时，f (x )max＝a －2＜2，解得22＜a ＜1.所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)【探究3】 若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )·x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析 g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，应有1－4m ＞0，即m ＜14. 当a ＞1时，f (x )＝a x 为增函数，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a －1＝m⇒m ＝12，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，f (x )＝a x 为减函数，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ，a －1＝4⇒m ＝116，满足m ＜14；故a ＝14.答案 14【探究4】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋a2x ＋1是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)用定义证明：f (x )在R 上是减函数；(3)若对于任意x ∈[12，3]都有f (kx 2)＋f (2x －1)＞0成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)由f (x )是奇函数且定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，令f (0)＝0即 (a －1)2＝0⇒a ＝1， ∴f (x )＝1－2x 1＋2x，经检验满足题意．(2)由(1)知f (x )＝1－2x 1＋2x＝－1＋22x＋1，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x 1＋1＝2(2x 1－2x 2)(2 x ＋1)(2x 2＋1). ∵x 1＜x 2，y ＝2x 在R 上递增，∴2x 2＞2x 1＞0，∴2x 1－2x 2＜0,2x 1＋1＞1,2x 2＋1＞1， ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在R 上单调递减．(3)因f (x )是奇函数，从而不等式：f (kx 2)＋f (2x －1)＞0， 等价于f (kx 2)＞－f (2x －1)＝f (1－2x )， 因f (x )为减函数，由上式推得：kx 2＜1－2x . 即对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3有：k ＜1－2x x 2恒成立，设g (x )＝1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2·1x ，令t ＝1x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2， 则有h (t )＝t 2－2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，∴g (x )min ＝h (t )min ＝h (1)＝－1，∴k ＜－1，即k 的取值范围为(－∞，－1)．规律方法 对于形如y ＝a f (x )(a ＞0，a ≠1)的函数，有如下结论 (1)函数y ＝a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同；(2)先确定函数f (x )的值域，再由指数函数的单调性，求y ＝a f (x )的值域； (3)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与函数f (x )在相应区间上的单调性相同；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与函数f (x )在相应区间上的单调性相反．一般地，在函数y ＝f (g (x ))中，若函数u ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调增(减)函数，且函数y ＝f (u )在区间(g (a )，g (b ))[或在区间(g (b )，g (a ))]上是单调函数，那么函数y ＝f (g (x ))在区间(a ，b )上的单调性见下表：由表知，函数y ＝f (g (x ))的单调性规律为“同增异减”．即u ＝g (x )，y ＝f (x )的单调性相同时，f (g (x ))是单调增函数；单调性不同时，f (g (x ))为单调减函数．课堂达标1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系是________．解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.∵y ＝2x 是增函数，且1.8>1.5>1.44，∴21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2.答案 y 1>y 3>y 22．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析 ∵0＜a ＝5－12＜1，∴f (x )为R 上的减函数，∴由f (m )＞f (n )可知m ＜n .答案 m ＜n3．已知函数f (x )＝a －12x＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 解析 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.答案 124．函数的值域是________．解析 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝2t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝2t 为关于t 的单调增函数，所以y ＝2t ≥2－2＝14，故所求函数的值域为[14，＋∞)．答案 [14，＋∞)5．已知函数，求函数的单调区间及值域．解 令t ＝x 2－4x ＋1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t . 又t ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3在(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， ∴函数的单调递减区间为[2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，2)．y max ＝8，值域是(0,8]．课堂小结1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数型函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n .2．指数型函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数．(2)形如a x ＞a y 的不等式，当a ＞1时，a x ＞a y ⇔x ＞y ；当0＜a ＜1时，a x ＞a y ⇔x ＜y .。
2020-2021学年苏教版必修1 3.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 学案
第2课时 指数函数及其性质的应用1.了解指数函数模型解决简单的实际问题．2.理解图象的平移变换、对称变换． 3．掌握指数函数图象与性质的应用．[学生用书P44]与作函数图象相关的几种常见的变换 (1)平移变换①沿x 轴：将y ＝f (x )的图象向左(a >0)或向右(a <0)平移|a |个单位以后，得到函数y ＝f (x ＋a )，(a ≠0)的图象；②沿y 轴：将y ＝f (x )的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位以后，得到函数y ＝f (x )＋b ，(b ≠0)的图象．(2)对称变换①y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称； ②y ＝－f (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称； ③y ＝－f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称； ④y ＝f (a ＋x )的图象与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．⑤y ＝f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称，x ≥0时与y ＝f (x )图象重合，所以x <0时的图象与x ≥0时y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；⑥y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥0，－f （x ），f （x ）<0，y ＝|f (x )|的图象是y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝－f (x )(f (x )<0)图象的组合．1．已知指数函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，116，则f (－3)＝________． 解析：设f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)，则a 4＝116，所以a ＝12.所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.所以f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＝8. 答案：82．函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．解析：因为函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)过定点(0，1)，函数y ＝a x －3＋3中，令x ＝3，得y＝1＋3＝4，所以函数的图象过定点(3，4)．答案：(3，4)3．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝a x＋b的图象必定不经过第________象限．解析：过点(0，1＋b)，因为b＜－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上．故图象不经过第一象限．答案：一4．函数y＝2x＋1的图象是________．解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增．答案：①函数的图象变换[学生用书P44]根据表格回答下面的问题：xy－2－101234y＝3x 19131392781y＝3x－1127191313927(1)比较函数y＝3x，y＝3x－1的函数值之间的关系，从中你发现了什么规律？(2)在同一坐标系中作出函数y＝3x，y＝3x－1的图象，并比较这两个图象之间的关系．(3)通过上述两个问题，你发现函数y＝f(x)与y＝f(x－1)的函数值之间、图象之间有什么关系？【解】(1)函数y＝3x在x＝－2，－1，0，1，2，3时的函数值与函数y＝3x－1在x＝－1，0，1，2，3，4时的函数值对应相等，即函数y＝3x在x＝a时的函数值与函数y＝3x－1在x＝a＋1时的函数值对应相等．(2)在同一坐标系中作出函数y ＝3x ，y ＝3x－1的图象(如图所示)，函数y ＝3x－1的图象由函数y ＝3x 的图象沿着x 轴向右平移1个单位得到．(3)函数y ＝f (x )在x ＝a 时的函数值与函数y ＝f (x －1)在x ＝a ＋1时的函数值对应相等．函数y ＝f (x －1)的图象由函数y ＝f (x )的图象沿着x 轴向右平移1个单位得到．函数图象的平移是一种基本的图象变换，一般地，函数y ＝f (x －a )的图象可由函数y ＝f (x )的图象按照下列方式得到：若a >0，则向右平移a 个单位；若a <0，则向左平移－a 个单位．1.若函数y ＝a x ＋m －1(a >0，a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，求a和m 的取值范围．解：y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象经过第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下平移．当0<a <1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限或二、四象限，故只有当a >1时，图象向下平移才可能经过第一、三、四象限．当a >1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1<－1，所以m <0.与指数函数有关的单调性问题[学生用书P45]讨论函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域． 【解】 法一：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫13x 21－2x 1，f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫13x 22－2x 2.所以f （x 2）f （x 1）＝⎝⎛⎭⎫13x 22－2x 2⎝⎛⎭⎫13x 21－2x 1＝⎝⎛⎭⎫13（x 22－2x 2）－（x 21－2x 1） ＝⎝⎛⎭⎫13（x 2－x 1）（x 2＋x 1－2）.①当x 1<x 2≤1时，x 1＋x 2<2，因为x 1＋x 2－2<0，x 2－x 1>0，所以(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)<0， 则⎝⎛⎭⎫13（x 2－x 1）（x 2＋x 1－2）>1.又对于x ∈R ，f (x )>0恒成立，所以f (x 2)>f (x 1)． 所以f (x )在(－∞，1]上是增函数．②当1≤x 1<x 2时，x 1＋x 2>2，因为x 1＋x 2－2>0，x 2－x 1>0，所以(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>0， 所以0<⎝⎛⎭⎫13（x 2－x 1）（x 2＋x 1－2）<1.所以f (x 2)<f (x 1)．即f (x )在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上是增函数； 在[1，＋∞)上是减函数．因为x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，0<13<1，所以0<⎝⎛⎭⎫13x 2－2x≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3.所以函数f (x )的值域是(0，3]．法二：y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x ，由y ＝⎝⎛⎭⎫13u与u ＝x 2－2x 复合而成． 当x ∈(－∞，1]时，y ＝⎝⎛⎭⎫13u是减函数， u ＝x 2－2x 也是减函数，所以此时f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上是增函数． 当x ∈[1，＋∞)时，y ＝⎝⎛⎭⎫13u是减函数， u ＝x 2－2x 是增函数， 所以此时f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上是增函数， 在[1，＋∞)上是减函数．(求值域方法同法一)对于较复杂的函数的单调性问题既可按单调性的定义解也可按复合函数的单调性处理．在解具体问题时要视情况而定，如此题选用复合函数的单调性来解较简单．2.(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性．(2)求函数y ＝2x 2－2x －1的单调区间． 解：(1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得2g (x 1)<2g (x 2)，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y＝2x2－2x－1在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y在(－∞，1]上为减函数．即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．指数函数的应用问题[学生用书P45]某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．【解】现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．Ｋ3.截止到现在，我国人口约为14亿，若今后能将人口年平均增长率控制在1%，经过x年后我国人口为y亿．(1)求y与x之间的函数关系式y＝f(x)；(2)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出增、减的实际意义．解：(1)y＝f(x)＝14(1＋1%)x＝14×1.01x，x∈N*.(2)y＝f(x)＝14×1.01x是指数型函数，且是增函数．即只要增长率为正数，随着时间的推移，我国人口总在增长．1．函数图象变换分为平移变换与对称变换，要准确地进行变换，必须把握住图象中的关键“点”与关键“线”．2．画图象时要注意关键“点”的确定．如果图象具有对称性，要注意对称轴或对称中心的确定函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________． [解析] y ＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－ ⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x －122＋34， 因为x ∈[－3，2]，所以14≤⎝⎛⎭⎫12x≤8.当⎝⎛⎭⎫12x＝12时，y min ＝34；当⎝⎛⎭⎫12x＝8时， y max ＝57.所以函数y 的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. [答案] ⎣⎡⎦⎤34，57(1)利用换元法解题时易忽略新元的取值范围，其原因在于不注意问题的等价性． (2)解决一些由指数函数、二次函数等构成的复合函数、方程或不等式时，多采用换元法，将问题转化为简单且易于处理的函数、方程或不等式．求解时应注意新元的取值范围，如本例中把⎝⎛⎭⎫12x当成一个整体进行代换，然后配方，最后根据指数函数的性质确定⎝⎛⎭⎫12x的范围，从而得出所求函数的值域．1．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x ) 的图象大致为( )解析：选D.设某林区森林木材原有蓄积量为a (a >0)，x 年后为a (1＋0.113)x ，由题意得y ＝a （1＋0.113）xa ＝1.113x ，因为x >0，所以图象为D.2．函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于________对称． 答案：y 轴3．已知函数f (x )＝4＋a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：因为a 0＝1，所以f (1)＝4＋a 1－1＝4＋1＝5， 即f (x )的图象恒过定点(1，5)． 答案：(1，5)4．若函数y ＝2x ＋1＋b 的图象不经过第二象限，则b 应满足的条件是________． 解析：x ＝0时，y ＝b ＋2≤0.所以b ≤－2. 答案：b ≤－2[学生用书P107(单独成册)])[A 基础达标]1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)解析：选A.定义域为R .设u ＝1－x ， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12u.因为u ＝1－x 在R 上为减函数，又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以y ＝⎝⎛⎭⎫121－x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A.2．已知f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a ＜1D ．0＜a ＜1解析：选D.因为－2＞－3，f (－2)＞f (－3)， 又f (x )＝a －x＝⎝⎛⎭⎫1a x ，所以⎝⎛⎭⎫1a －2＞⎝⎛⎭⎫1a －3， 所以1a＞1，所以0＜a ＜1.3.已知函数f(x)＝2|x －a|(a 为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B .由函数f (x )＝2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≥a ，2－x ＋a ，x ＜a 可得，当x ≥a 时，函数f (x )为增函数，而已知函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．4．若定义运算f (a *b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b ，则函数f (3x *3－x )的值域是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选A .由定义可知该函数是求a ，b 中较小的那一个，所以分别画出y ＝3x 与y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x的图象，由图象很容易看出函数f (3x *3－x)的值域是(0，1]． 5.为了得到函数y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x的图象，可以把函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图象向________平移________个单位长度．解析：y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13x －1.答案：右 16．若关于x 的方程2x ＝3a ＋1有负根，则a 的取值范围是________． 解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1， 所以0＜3a ＋1＜1， 解得－13＜a ＜0.答案：⎝⎛⎭⎫－13，0 7．已知函数f (x )＝a x 在[－1，1]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为________． 解析：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上是增函数． 因为在x ∈[－1，1]上恒有f (x )＜2，所以1＜a ＜2. 当0＜a ＜1时，f (x )在[－1，1]上是减函数． 因为在x ∈[－1，1]上恒有f (x )＜2， 所以1a ＜2且0＜a ＜1，所以12＜a ＜1.综上所述，实数a 的取值范围是12＜a ＜1或1＜a ＜2.答案：⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，2)8．若指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．解析：当0＜a ＜1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12. 当a ＞1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2. 故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.答案：12或29．对于函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17. (1)求其定义域、值域； (2)确定其单调区间． 解：(1)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫12u及u ＝x 2－6x ＋17的定义域都是R ， 故函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的定义域为R . 因为u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8， 所以⎝⎛⎭⎫12u ≤⎝⎛⎭⎫128，又⎝⎛⎭⎫12u>0， 故函数的值域为⎝⎛⎦⎤0，1256. (2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1、x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，有u 1<u 2，从而⎝⎛⎭⎫12u 1>⎝⎛⎭⎫12u 2，即y 1>y 2，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17在[ 3，＋∞)上是减函数，同理可知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数．综上，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的单调增区间为(－∞，3]， 单调减区间为[3，＋∞)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0＜x ＜c ，2－x c 2＋1，c ≤x ＜1满足f ⎝⎛⎭⎫c 2＝98. (1)求常数c 的值； (2)解关于x 的不等式f (x )＞28＋1.解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫c 2＝98，得c ·c 2＋1＝98，解得c ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，0＜x ＜12，2－4x＋1，12≤x ＜1.由f (x )＞28＋1，得当0＜x ＜12时，12x ＋1＞28＋1，解得24＜x ＜12； 当12≤x ＜1时，2－4x ＋1＞28＋1，解得12≤x ＜58. 综上，不等式f (x )＞28＋1的解集为{x |24＜x ＜58}． [B 能力提升]1.预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋k )n (k 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内的年增长率，如果－1<k <0，那么在这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．先上升后下降D ．先下降后上升解析：选B .P n ＝P 0(1＋k )n 是指数型函数， 因为－1<k <0，所以0<1＋k <1.由y ＝a x (0<a <1)是(－∞，＋∞)上的减函数可知，人口数呈下降趋势．2.若将函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移1个单位就得出函数y ＝3x 的图象，则f (x )＝________．解析：问题即把y ＝3x 的图象向右、向上分别平移一个单位就得出函数y ＝f (x )的图象． 所以f (x )＝3x －1＋1. 答案：3x －1＋13．利用函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，作出下列各函数的图象． (1)f (x －1)；(2)f (x ＋1)； (3)－f (x )；(4)f (－x )． 解：图象如图所示． (1)f (x －1)＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象可由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象向右平移1个单位得到． (2)f (x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象可由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象向左平移1个单位得到．(3)－f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x的图象与f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象关于x 轴对称．(4)f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x 的图象与f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象关于y 轴对称．4．(选做题)已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞1)． (1)判断该函数的奇偶性并说明理由；(2)求该函数的值域；(3)证明f (x )是R 上的增函数．解：(1)f (x )为奇函数．理由：函数的定义域为R ， f (－x )＋f (x )＝a －x －1a －x ＋1＋a x －1a x ＋1＝（a x ＋1）（a －x －1）＋（a －x ＋1）（a x －1）（a x ＋1）（a －x ＋1）＝0. 所以函数f (x )为奇函数．(2)因为f (x )＝a x －1a x ＋1＝1－2a x ＋1(a ＞1)． 设t ＝a x ，则t ＞0，因为y ＝1－2t ＋1(t ＞0)的值域为(－1，1)， 所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(3)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a x 1－1a x 1＋1－a x 2－1a x 2＋1＝2（a x 1－a x 2）（a x 1＋1）（a x 2＋1）. 因为a ＞1，x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，所以a x 1－a x 2＜0，a x 1＋1＞0，a x 2＋1＞0， 所以2（a x 1－a x 2）（a x 1＋1）（a x 2＋1）＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是R上的增函数．。
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[学业水平训练]
一、填空题
1.为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13
)x 的图象向________平移________个单位长度．
解析：y ＝3×(13)x ＝(13
)x －1. 答案：右 1
2.若指数函数y ＝(a －2)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为________． 解析：由已知，得0<a －2<1，∴2<a <3，
∴a 的取值范围是(2，3)．
答案：(2，3)
3.已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________．
解析：令x －2＝0，得x ＝2，此时y ＝2＋1＝3，
∴图象恒过定点(2，3)．
答案：(2，3)
4．已知f (x )＝(13)|x |，则方程f (x )＝19
的解集是________． 解析：由(13)|x |＝19
，得|x |＝2，∴x ＝－2或2. 答案：{－2，2}
5．若关于x 的方程2x ＝3a ＋1有负根，则a 的取值范围是________．
解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1，所以0＜3a ＋1＜1，
解得－13
＜a ＜0. 答案：(－13
，0) 6．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x
－1，则f (13)，f (23)，f (32
)的大小关系是________． 解析：由题设知，x ≤1时单调递减，x ≥1时单调递增且x ＝1为对称轴，
∴f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12
)， ∴f (13)＞f (32)＞f (23
)． 答案：f (23)＜f (32)＜f (13
) 二、解答题
7.对于函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17. (1)求其定义域、值域；
(2)确定其单调区间．
解：(1)设u ＝x 2－6x ＋17，
由于函数y ＝(12
)u 及u ＝x 2－6x ＋17的定义域都是R ， 故函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17的定义域为R . 因为u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，
所以(12)u ≤(12)8，又(12
)u >0，
故函数的值域为(0，1256
]． (2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1、x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，
有u 1<u 2，从而(12)u 1>(12
)u 2， 即y 1>y 2，所以函数y ＝(12)x 2－6x ＋17在[ 3，＋∞)上是减函数，同理可知y ＝(12
)x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数．
综上，y ＝(12
)x 2－6x ＋17的单调增区间为(－∞，3]， 单调减区间为[3，＋∞)．
8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12
)x . (1)求函数f (x )的解析式；
(2)画出函数f (x )的图象；
(3)写出函数f (x )的单调区间；
(4)求函数f (x )的值域．
解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.当x <0时，－x >0，
f (x )＝－f (－x )＝－(12
)－x ＝－2x . 所以，函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ， x <0，0， x ＝0，（12）x ， x >0.
(2)函数f (x )的图象如图所示．
(3)由函数f (x )的图象可知，
f (x )的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
(4)由函数f (x )的图象可知，
f (x )的值域是(－1，1)．
[高考水平训练]
一、填空题
1.某厂2013年的产值为a 万元，预计产值每年以n %递增，则该厂到2025年的产值(单位：万元)是________．
解析：2014年的产值为a (1＋n %)，2015年的产值为a (1＋n %)2，…，2025年的产值为a (1＋n %)12.
答案：a (1＋n %)12
2.若将函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移1个单位就得出函数y ＝3x 的图象，则f (x )＝________．
解析：问题即把y ＝3x 的图象向右、向上分别平移一个单位就得出函数y ＝f (x )的图象．
∴f (x )＝3x －1＋1.
答案：3x －1＋1
二、解答题
3.利用函数f (x )＝(12
)x 的图象，作出下列各函数的图象． (1)f (x －1)；(2)f (x ＋1)；(3)－f (x )；(4)f (－x )．
解：图象如图所示．
4.根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？
解：函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．
函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：
当m＜0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；
当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；
当0＜m＜1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．。