刘慧芳11.4(2)三角形内角和定理课件
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三角形内角和定理-PPT课件
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
P AQ 132
B
C
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?
同学们，你们知道其中的道理吗？
2
1 .知识目标
（1）三角形的内角和定理的证明. （2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题. (3)理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
2 .教学重点
（1）三角形内角和定理的证明. （2）三角形内角和定理的推论.
3.教学难点
（1）三角形内角和定理的证明方法. (2)三角形的外角、三角形内角和定理的推论.
2
∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
·B
C
这里是运用了公理
“同位角相等，两直
线平如图,在△ABC中, ∠1是它的一个
C
外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1 >∠2.
E5
3
4 A
1
B
F
证明：∵ ∠1是△ABC 的一个外角 (已知) ∴ ∠1 >∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE 的一个外角 (外角定义) ∴∠3 >∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴ ∠1 >∠2 (不等式的性质)
又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?
三角形的内角和课件(汇总)
判断三角形形状
解决几何问题
在解决几何问题时，可以利用三角形 内角和定理来推导和证明一些结论， 如角的平分线性质、三角形的外角性 质等。
通过计算三角形内角和，可以判断三 角形的形状，如等边三角形、等腰三 角形等。
03
三角形外角性质与
计算
外角定义及性质阐述
外角定义
三角形的一边与另一边的 延长线组成的角，叫做三 角形的外角。
实际应用
在解决三角形问题时，可以通过外 角和内角的关系，将问题转化为已 知条件进行求解。
内外角关系探讨
01
内外角互补关系
三角形的内外角存在着互补关系，即一个内角与一个外角的和等于180
度。
02
内外角在解题中的应用
利用内外角的互补关系，可以方便地解决一些与角度有关的问题，如求
角度、判断三角形形状等。
通过构造辅助线来证明。在三角形内部构造一条辅助线，将三角形分割为两个或多个小三角 形，利用已知角度和构造的辅助线，可以证明三角形的内角和为180度。
代数证明法
利用三角函数的性质来证明。通过三角函数的加法定理和诱导公式，可以证明三角形的内角 和为180度。
定理应用举例
计算三角形未知角度
已知三角形两个内角的度数，可以利 用三角形内角和定理计算出第三个内 角的度数。
外角性质
三角形的外角等于与它不 相邻的两个内角之和。
外角与内角关系
每个外角都大于任何一个 与它不相邻的内角。
外角计算方法讲解
通过内角求外角
已知三角形的两个内角，可以通 过内角和定理求出第三个内角， 再用外角等于不相邻两内角之和
求出外角。
通过外角求内角
已知三角形的一个外角和与它相邻 的一个内角，可以用外角减去相邻 内角求出另一个内角。
三角形内角和定理ppt
证明方法三：三角函数证明法
• 三角函数证明法是一种利用三角函数的性质证明三角形内角和为180度的方法。 • 具体步骤如下 • 根据三角函数的和差化积公式，可以得出：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。 • 由于0<A+B<180度，因此sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB>0。 • 同理，可以得出：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB<0。 • 由于sin(A+B)和cos(A+B)异号，因此它们的和为90度或270度，即A+B=90度或A+B=270度。 • 由于三角形内角和为180度，因此A+B+C=180度，因此C=90度或C=90度。
学思维和解决问题的能力具有重要意义。
三角形内角和定理的历史背景
起源
三角形内角和定理的历史可以追溯到古希腊数学家欧几里得的时 代。
发展
在随后的几个世纪中，许多数学家对这一定理进行了研究和证明 ，推动了数学的发展。
现代应用
在现代数学中，三角形内角和定理被广泛应用于各种领域，包括 计算机图形学、机器学习、物理学等。
2023
三角形内角和定理ppt
目 录
• 三角形内角和定理的介绍 • 三角形内角和定理的证明方法 • 三角形内角和定理的应用 • 三角形内角和定理的扩展知识 • 总结与展望
01
三角形内角和定理的介绍
什么是三角形内角和定理
1
三角形内角和定理定义：三角形的三个内角之 和等于180度。
2
定理的表述简洁明了，易于理解，且具有广泛 的实用性。
建筑设计
在建筑设计中，三角形结构通常被广泛使用，因为它的稳定性较高。利用三 角形内角和定理可以优化建筑设计中的角度和结构。
三角形内角和说课课件ppt
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
教学构思与设计
学
情 分 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
析
知识基础 学生在小学已经用实验的方法得到了 三角形内角和等于180°，并且在第二章对平行线 的特征进行了探索，具备了利用平行线的结论得 出三角形内角和的基本知识和技能.
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
教学过程设计
情景导入 探索研究 应用拓展
课后作业 课堂小结
课堂检测
课堂检测 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
探索研究
活动四 猜一猜
设计意图：
按内角的大小把三角形进行分类，使学生了解 数学的分类思想，理解直角三角形两锐角互余是内 角和结论的延伸，会用符号语言表示直角三角形， 增强学生的符号意识.
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
了解“三角形内角和”的推理过程，会按内 角的大小对三角形分类，能运用结论来解决三角 形内角的问题
培养学生“观察－操作－推理-应用”的能力, 使学生体验数学知识之间的内在联系，初步形成 数学整体性的认识
营造“体验-交流-分享”的教学氛围,锻炼学生 的协作精神和团队意识,在合作学习中增强集体荣 誉感
教学构思与设计
学
情 分 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
析
知识基础 学生在小学已经用实验的方法得到了 三角形内角和等于180°，并且在第二章对平行线 的特征进行了探索，具备了利用平行线的结论得 出三角形内角和的基本知识和技能.
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
教学过程设计
情景导入 探索研究 应用拓展
课后作业 课堂小结
课堂检测
课堂检测 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
探索研究
活动四 猜一猜
设计意图：
按内角的大小把三角形进行分类，使学生了解 数学的分类思想，理解直角三角形两锐角互余是内 角和结论的延伸，会用符号语言表示直角三角形， 增强学生的符号意识.
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
教学目标
知识目标 能力目标 情感目标
了解“三角形内角和”的推理过程，会按内 角的大小对三角形分类，能运用结论来解决三角 形内角的问题
培养学生“观察－操作－推理-应用”的能力, 使学生体验数学知识之间的内在联系，初步形成 数学整体性的认识
营造“体验-交流-分享”的教学氛围,锻炼学生 的协作精神和团队意识,在合作学习中增强集体荣 誉感
《三角形内角和》课件
特殊三角形的内角和
直角三角形的内角和
直角三角形具有特殊的角度关 系，让我们一起来解析它们的 内角和。
等腰三角形的内角和
等腰三角形也有其独特的内角 和特点，让我们一起来了解它 们。
等边三角形的内角和
等边三角形是三角形中最特殊 的，让我们一起来揭示它们的 内角和。
三角形内角和的相关练习
1
练习题解析
通过解析一些典型题目，我们将更好地理解三角形内角和的计算方法。
《三角形内角和》PPT课 件
欢迎来到《三角形内角和》PPT课件，让我们一起探索三角形内角和的奇妙 世界！通过本课件，你将了解三角形内角和的定义、性质、推论以及特殊三 角形的内角和。
什么是三角形内角和？
三角形内角和是指三角形内部三个角度之和。我们将探讨内角和的定义以及 计算公式，帮助你理解三角形的内部结构。
2
黄色网格纸练习
让我们亲自动手练习计算三角形内角和，并使用黄色网格纸来辅助计算。
总结
三角形内角和的重要性
掌握三角形内角和的计算方法对于数学学习和实际 问题解决都具有重要意义。自己，你可以进一步巩固对三角形内 角和的理解和掌握。
三角形内角和的性质
1
性质及证明
三角形内角和具有一些特定的性质，并且这些性质可以通过简单的证明得出。
2
应用举例
我们将通过一些实际问题的例子来展示三角形内角和的应用。
三角形内角和的推论
各角度之间的关系
三角形内角和之间存在一些有趣的推论，让我们 一起来探索它们。
应用实例分析
通过实际问题的分析，我们将看到三角形内角和 的推论如何应用。
三角形内角和说课ppt课件
这种证明方法较为பைடு நூலகம்洁，但需要一定的向量基础。
04 三角形内角和的应用
在几何学中的应用
证明定理
三角形内角和定理是几何学中最 基本的定理之一，它可以应用于
证明其他定理和性质。
计算角度
通过三角形内角和定理，我们可以 快速计算出三角形的内角大小，以 及一个角度相对于其他角度的大小 。
判定三角形类型
三角形内角和定理可以用于判定一 个三角形的类型，例如等边三角形 、等腰三角形、直角三角形等。
与其他数学定理的关联
与平行线定理的关联
三角形内角和定理和平行线定理是几何学中最基本的两个定理，它们之间有着密 切的联系。通过平行线定理可以推导出三角形内角和定理。
与三角形外角和定理的关联
三角形外角和定理是指三角形的外角之和等于360度，这个定理与三角形内角和 定理有着密切的联系。
在现实世界中的应用和意义
等腰三角形有两边长度相等，对应的两角也相等 ，另一个角为顶角。
等边三角形三边长度相等，三个内角相等，均为 60°。
普通三角形三边长度和三个内角均不相等。
三角形内角的定义
• 三角形的内角是指位于三角形内部的角。根据定义，一个三角 形的内角总和为180°。
三角形内角和定理的表述
• 三角形内角和定理表述为：任意一个三角形的三个内角之和等于180°。这个定理是几何学中最基本的定理之一，也是后续 许多几何定理的基础。
道。
在工程学中的应用
建筑设计
在建筑设计中，三角形内角和定理可以用于确定建筑物的 形状、大小和结构，以及计算出建筑物在不同方向上的外 观效果。
机械设计
在机械设计中，三角形内角和定理可以用于确定机械部件 的形状、大小和结构，以及计算出机械设备的运动轨迹和 性能参数。
04 三角形内角和的应用
在几何学中的应用
证明定理
三角形内角和定理是几何学中最 基本的定理之一，它可以应用于
证明其他定理和性质。
计算角度
通过三角形内角和定理，我们可以 快速计算出三角形的内角大小，以 及一个角度相对于其他角度的大小 。
判定三角形类型
三角形内角和定理可以用于判定一 个三角形的类型，例如等边三角形 、等腰三角形、直角三角形等。
与其他数学定理的关联
与平行线定理的关联
三角形内角和定理和平行线定理是几何学中最基本的两个定理，它们之间有着密 切的联系。通过平行线定理可以推导出三角形内角和定理。
与三角形外角和定理的关联
三角形外角和定理是指三角形的外角之和等于360度，这个定理与三角形内角和 定理有着密切的联系。
在现实世界中的应用和意义
等腰三角形有两边长度相等，对应的两角也相等 ，另一个角为顶角。
等边三角形三边长度相等，三个内角相等，均为 60°。
普通三角形三边长度和三个内角均不相等。
三角形内角的定义
• 三角形的内角是指位于三角形内部的角。根据定义，一个三角 形的内角总和为180°。
三角形内角和定理的表述
• 三角形内角和定理表述为：任意一个三角形的三个内角之和等于180°。这个定理是几何学中最基本的定理之一，也是后续 许多几何定理的基础。
道。
在工程学中的应用
建筑设计
在建筑设计中，三角形内角和定理可以用于确定建筑物的 形状、大小和结构，以及计算出建筑物在不同方向上的外 观效果。
机械设计
在机械设计中，三角形内角和定理可以用于确定机械部件 的形状、大小和结构，以及计算出机械设备的运动轨迹和 性能参数。
三角形内角和定理(课件)
基本图形
4
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
例5.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A， ∠B，∠C的度数. 解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有
3x＋x＋(x＋15)＝180. 解得 x＝33.
∴∠ACE＝12×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
1.在△ABC中，∠A=80°， ∠B=52°， 则∠C=__4_8_°_. 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:3:5,则最大的角为_1_0_0_°_. 3.在△ABC中， ∠A=∠B=∠C，则∠A=_6__0_°. 4.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C，则此三角形为三角形，若∠A+∠B<∠C，则 此三角形是_钝__角___三角形; 5.一个三角形中最多有__3__个锐角，最少有__2__个锐角，最多有__1__个直角, 最多有__个钝角; 6.已知等腰三角形的底角为40°,则它的顶角为_1_0_0_°_.
转化思想是数学中的常用方法.
=80°-50°=30°
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180° 所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°=90°
如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°,从B处观测C处的仰角∠CBD=45°, 从C处观测A、B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：∵ ∠ABC+∠CBD=180° ∴ ∠ABC=180°-∠CBD=180°-45°=135° 在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC
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又 ∵BE平分∠ABC, ∴ ∠CBE=∠EBA (角平分线的性质) 又∵∠BFD=∠CFE(对顶角相等) ∴∠CFE=∠CEF(等量代换)
（
等式的性质
）
（ 三角形内角和定理 ） （ 等量代换 ）
下图中的几个图形是五角星和它的变形，
（1）图甲是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=1800 .
（2）图甲中的点A向下移动到线段BE上时（如图乙），五个角的和（即∠CAD
＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？证明你的结论。 （3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙），五个角的和（即∠CAD＋
A. ∠A>∠DOE>∠BEC
C. ∠BEC>∠DOE>∠A
3.如图，直线ABE∥CD,∠A=700，∠C=400,则∠E等于（ A．300 B．400 C．600 D．700
( 2 题图 ）
( 3 题图 ）
A
4. 如图，△ABC中，∠B=∠C,E是AC上一点， ED⊥BC,DF⊥AB,垂足分别D,F .若∠AED=1400 , 则∠C= 500 ，∠A= 800 ，∠BDF= 40 .0
1．对于△ABC，下列命题中是假命题的为（ B ） A. 若∠A+∠B=∠C,则△ABC是直角三角形 B. 若∠A+∠B>∠C,则△ABC是锐角三角形 C．若∠A+∠B<∠C,则△ABC是钝角三角形 D. 若∠A=∠B=∠C,则△ABC是锐角三角形 2.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的关系是（ ） B B.∠DOE>∠A>∠BEC D.∠DOE>∠BEC>∠A A ）
曹县一中
刘慧芳
• 1.三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于1800 。
• 2.推论1: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 。 • 3.推论2 : 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 • 4.直角三角形的两锐角
互余
。
例1
证明
例2
证明
（ 三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和 ）
∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有什么变化？证明你的结论。
A B E B A E B C A E
C D
C
D
D
（图甲）
（图乙）
（图丙）
证明:(1)△GCE中，由推论1，得∠1=∠C+∠E 同理，∠2=∠B+∠D △AGH中，由三角形内角和定理， ∠A+∠1+∠2=180度 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180度 所以五角星形5个角的和是180度。 同理求证（2）（3）。
B
F
E
C
D
5．已知: △ABC中, ∠ACB＝900，CD为AB边上的高， ∠ABC的平分线BE分别交CD，CA于点F,E, 求证：∠CFE=∠CEF 。
证明： ∵ ∠ACB＝900
∵ CD⊥AB,
∴ ∠CBE+∠CEF=900(直角三角形两锐角互余)
∴∠EBA+∠BFD=900(直角三角形两锐角互余)