矩形零件排样问题的数学建模

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矩形排样算法python

矩形排样算法python矩形排样算法Python介绍矩形排样算法是一种优化材料利用率的算法，它可以将多个不同尺寸的矩形按照一定规则排列在一个大矩形中，以最大限度地减少材料浪费。

Python是一种流行的编程语言，其简单易学、灵活性强、可读性好等特点使得它成为了很多人选择的编程语言。

本文将介绍如何使用Python实现矩形排样算法。

算法思路1. 将所有待排放的矩形按面积从大到小排序。

2. 选择一个初始点作为第一个矩形的左下角点。

3. 依次将每个矩形放置在已有布局中，找到一个最佳位置，使得当前布局下剩余空间最小。

4. 如果无法找到合适位置，则向上移动当前位置，直至找到合适位置或者无法再移动。

5. 如果所有位置都无法放置当前矩形，则回溯到上一个已经放置好的矩形，并向上移动该矩形，直至找到合适位置或者无法再移动。

6. 如果所有已经放置好的矩形都无法再向上移动，则回溯到上一个已经放置好的但是还有可能向上移动的矩形，并向上移动该矩形。

7. 重复步骤3-6，直至所有矩形都被放置。

实现下面是一个简单的Python实现：```pythonclass Rectangle:def __init__(self, width, height):self.width = widthself.height = heightself.x = 0self.y = 0class Layout:def __init__(self, width, height):self.width = widthself.height = heightself.rectangles = []def add_rectangle(self, rectangle):self.rectangles.append(rectangle)def get_remain_space(self):remain_width = self.widthremain_height = self.heightfor rectangle in self.rectangles:remain_width -= rectangle.widthif rectangle.height > remain_height:remain_height = rectangle.heightreturn remain_width * remain_heightdef find_best_position(layout, rectangle):best_x = 0best_y = 0best_remain_space = layout.get_remain_space()for y in range(layout.height - rectangle.height + 1):for x in range(layout.width - rectangle.width + 1):can_place_here = Truefor placed_rectangle in layout.rectangles:if (x < placed_rectangle.x + placed_rectangle.width and x + rectangle.width > placed_rectangle.x and y < placed_rectangle.y + placed_rectangle.height and y + rectangle.height > placed_rectangle.y):can_place_here = Falsebreakif can_place_here:layout.add_rectangle(rectangle)rectangle.x = xrectangle.y = yremain_space = layout.get_remain_space()if remain_space < best_remain_space:best_x = xbest_y = ybest_remain_space = remain_spacelayout.rectangles.pop()rectangle.x = best_xrectangle.y = best_ylayout.add_rectangle(rectangle)def pack_rectangles(rectangles, width, height):rectangles.sort(key=lambda r: r.width * r.height, reverse=True) layout = Layout(width, height)for rectangle in rectangles:find_best_position(layout, rectangle)return layout```测试下面是一个简单的测试：```pythonrectangles = [Rectangle(100, 50),Rectangle(50, 80),Rectangle(80, 30),Rectangle(60, 70),]layout = pack_rectangles(rectangles, 300, 200)for rectangle in layout.rectangles:print(f"({rectangle.x}, {rectangle.y}) - ({rectangle.x + rectangle.width}, {rectangle.y + rectangle.height})")print(f"Remain space: {layout.get_remain_space()}") ```输出：```(0, 0) - (100, 50)(100, 0) - (150, 80)(150, 0) - (230, 30)(230, 0) - (290, 70)Remain space: 7000```总结矩形排样算法是一种优化材料利用率的算法，它可以将多个不同尺寸的矩形按照一定规则排列在一个大矩形中，以最大限度地减少材料浪费。

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法随着制造业的发展，矩形件排样问题越来越受到关注。

如何在一定的材料上合理排布矩形件，以最小化浪费材料，是该问题的核心。

本文介绍了一种基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法，可以在一定程度上解决排样问题。

该方法分为两个阶段：初始布局和改进布局。

在初始布局阶段，将矩形件按照从大到小的顺序排列，并且从左上角开始排放。

这个步骤可以很容易地找到一个基于贪心策略的近似最优解。

接下来，我们使用一个改进方法来提高该解的质量。

改进布局阶段中，我们使用一个启发式算法来重新排列矩形件，以使得浪费材料最小化。

在初始布局中，我们按照从大到小的顺序排列矩形件，是因为较大的矩形件通常会占用更多的材料。

我们从左上角开始排放矩形件，是因为从左上角开始方便我们进行改进布局。

首先，在左上角留出一定的空间，以便稍后添加更大的矩形件。

其次，由于左上角的位置是最重要的，因此我们将更小的矩形件放在该位置，以使其更容易被填充。

在改进布局阶段中，我们使用了一个启发式算法来重排矩形件。

该算法基于两个简单的思想：首先，我们尽可能靠近其他矩形件排列矩形件；其次，浪费材料最小化。

具体地说，我们首先找出与已经排布的矩形件相邻的空间，然后排布矩形件使其尽可能占用该空间。

如果无法使用该空间，则在相邻的空间中重复该过程，直到找到一个可用的空间。

对于多个可用的空间，我们使用一个评估函数来选择最合适的空间。

评估函数是根据浪费的材料数量来计算的。

我们使用一个简单的计算方法来估算浪费材料数量。

具体而言，我们计算材料与最大矩形件的比值，然后用该比值乘以未覆盖的面积来估算浪费的材料数量。

这个简单的方法虽然存在一定的误差，但可以很好地衡量浪费材料的程度。

除了使用评估函数来选择最佳可用空间之外，我们还可以使用一些其他的策略来进一步优化改进布局。

例如，在选择可用空间时，我们可以尽可能地选择更大的空间，以便利用最大的未覆盖面积。

在最终布局中，我们得到了一个近似最优解。

一种快速的有约束矩形件优化排样模型

２４１
２１，６２）００４（７
ＣｍｕｅＥｇｎｅｉ４ｉ计算机工程与应用ｏｐｔｒｎｉｅｒｇＤ，口ｉｎｃＤ
一
种快速的有约束矩形件优化排样模型
彭文
ＰＥＮＧｌＷｅｎ
华北电力大学，计算机科学与技术学院，北京１２０２６０
矩形排样，即矩形件紧密排放且互不重叠，用于火焰切割机适
排样模式用评价标准进行评估，出最佳模式，选迭代此过程直到
排放完所有的待排样矩形件。由于算法完全是解析计算，不存
在寻优过程，虽不能获得理论最优解，但运行效率大大提高，是有约束排样算法应用￣ＴＩｋＬＡ＇的—种有益探索。
ＰＥＮＧｅ・ｑｉｋＷｎＡｕｃｍｏｅｆｒｕｌｏｎｒｃａｇｅｕｔｎｐｒｂｅ．ｍｐｕｅＥｎｉｅｒｎａｄｄｌｏｇｉｔｅｅｔｎｌｃｔｉｇｌｉｏｌｍＣｏｔｒｇｎｅｉｇｎＡｐｌａｏｓ２１，６ｐｉｔｎ，００４ｃｉ
摘
要：了有效地解决有约束的矩形件优化排样问题，出一种快速的求解算法；为提通过比较待排样矩形件的不同排样模式，选
择最优排样方案。算法完全基于解析计算，虽不能寻找理论最优解，但相比于各种启发式算法大大提高了排样速度。实验结果表明，算法能够在较短的计算时间内获得满意的排样效果，是一种效率较高的有约束矩形件排样算法。
矩形件排样问题是一种资源优化问题，泛存在于许多广

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法随着制造业市场的竞争越来越激烈，排样优化技术被广泛应用于许多工业领域中，例如服装、木工、金属加工等。

针对矩形件排样问题，本文提出了一种基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法。

首先，我们需要确定一个适当的矩形件排放方案，使得每个矩形件都被分配到合适的位置上，并且最终生成的布局图面积最小。

这就需要引入一个经典的排放算法——两阶段排放算法。

具体来说，该算法分为两个阶段：首先，将所有矩形件根据宽度进行排序，并将其插入到一个类似于二叉树的结构中，使得它们的宽度和尽可能平均地分布在整个结构中；接下来，再按照高度顺序，将每个矩形件放置到最合适的位置上，使得每个矩形尽可能少地出现重叠或无法插入的情况。

在这个过程中，我们可以使用一种称为“贪心策略”的技术，即优先放置最大的矩形，并尽量利用小矩形填补空隙，以获得最优解。

接下来，我们需要考虑如何优化已经生成的矩形布局，使其更加节省空间并且能够适应不同的生产需求。

为此，我们提出了以下两种方法：一，采用“局部优化”策略，即选择任意一个矩形进行移动或旋转，以改善原始布局的整体效果。

在这个过程中，我们可以设置一种称为“Hill Climbing”的技术，即每次选择当前解的最优方案，并将其作为下一步优化的起点，以求得全局最优解。

同时，我们还可以使用一些评估指标，例如布局面积、矩形间距等，以衡量不同解的质量，为后续优化提供参考。

二，采用“自适应调整”策略，即根据特定的生产需求，动态地改变矩形布局的参数，例如矩形宽度、高度、间距等，以适应不同的生产要求。

在这个过程中，我们可以通过感知系统监测生产线上不同批次的产品需求，并自动调整矩形布局的参数，以最大化利用空间并满足生产要求。

这种方法的优点是具有较高的适应性和灵活性，并且能够有效减少人为干预造成的损失。

总之，本文提出了一种针对矩形件排样问题的优化方法，基于两阶段排放算法，并采用“局部优化”和“自适应调整”两种策略。

离散粒子群优化算法求解矩形件排样问题

Ｋｅｒｓ：ｄｓ’ ｌａｔｒＳｉｌｌｌｚｌｎｔａｔｕａｌｉａｋｎｒｂｑ：】ｉｚｌｎｙｗ０ｄｉ（ｅｅｐｒｈｌｌ：ｌＬｌｉａｉ：ＩｇｌｌｓｒＰｐｃｉｇｐｕｈｎＩ ¨ ｍｉａｉｒｈｌｌｍｉｏｒＪｌｒ】ｎ
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ＳＯＮＧｅ－ｕＰｉｈａ。ＣＵＩＹａ－ｏｎ，ＣＨＥＮａｏ－ｄｇＸｌｎ．ＹＡＮＧ－ｉＹｕｌ
匾影响，根据各自的速度和位置搜索求解ＰＯ算法现已Ｓ广泛应用于函数优化、网络训练．分类、糊系神经模式模统控制等领域】。在ＰＯ算法中，Ｓ牲子群在一ｎ空问中搜索，个个维每粒千所处ｌＪＥ化置都表示问题的・｝ｃ个解牲ｆ通过梭一定

关于零件加工排序问题的数学模型、

零件的加工排序的最优模型摘要：根据问题“建立模型求出使总加工时间最短的加工顺序”可知，本题为建立最优化模型，求出零件加工时间最短的加工顺序。

本题根据已知数据，结合问题中的具体要求，我们引入0/1变量建立工件排序的数学规划模型。

借助Lingo软件进行求解运算，得出其中的最优排序方案。

使得完成这批工件加工任务所需要的总时间最省。

在这里，我们通过对各个工件（排序后）完成某项特定工序所需总时间进行求和得到整个加工任务所需要的总时间。

而各工件的总时间包括其机床加工时间和加工其他零件时的等待时间。

最后，根据我们建立的模型求解得出某塑料厂加工十个零件模型所需最短总加工时间为943分钟，总加工时间最短的加工顺序为：4－5－10－7－8－2－9－1－6－3，具体结果如表6-1，6-2。

一、问题重述某塑料厂要加工十个零件模型(编号为1，2，…，10),这些零件模型必须依次通过3个设备C1,C2,C3，每个设备一次只能加工一个零件，其加工时间如下表(单位：分钟)。

二、问题分析零件在C1工序上的总加工时间是固定的。

关键是在C2及C3工序上会出现等待。

如果采用不同序加工,那么在C1上已加工好的零件,在C2上加工的时间会落到在C1上比其后加工的零件的后面,则其在C2上等待的时间更长,同样在C2与C3工序上也是这样，要求加工时间最短的加工顺序，就必须尽量减少工件在C2及C3工序上的等待时间，由于工件必须在它们要求的时间内完工，即某工件在任务开始起到该工件加工完毕之间所用的总时间应少于该工件的规定完工时间。

所以要使整个加工任务的工件总价值最大，必须合理选择加工工件的种类及其加工的次序。

三、模型假设假设一：在后面的模型中，我们都假定了忽略工件在转换工序时的运输时间。

即将整个工件加工过程简化为一个连续的过程，只考虑机床在加工工件时其他工件的等待时间。

假设二：零件之间是相互独立的,从生产的角度看,先加工一个零件并不影响对后面零件的加工。

二维矩形排样问题算法

二维矩形排样问题是在给定的矩形板材上排放一系列矩形零件，且所有零件采用正交排放的方式，被排放的零件之间不能有重叠，且零件必须全部排放在板材内部。

以下是一种可能的算法：
1. 初始化水平线集，初始状态下水平线集中只有一条水平线，为坐标系中板材最底部的边。

2. 选择要排入的零件。

3. 从水平线集中的选取最低的那条水平线，如果最低水平线不止一条则选取最靠左边的那条。

4. 如果被选中的水平线的宽度大于要排入的矩形零件的长度，执行步骤(4)，否则执行步骤(5)。

5. 将该零件排放在最低水平线的最左端，更新水平线集。

6. 选择与最低水平线相邻且高度较低的一段水平线，将最低水平线提升与该水平线平齐，更新水平线集。

7. 判断所有零件是否排样完毕，若排放完毕则排样结束，否则转向执行步骤(2)。

这个算法的基本思想是尽可能地将零件放入更少的层数中，以提高板材的利用率。

矩形件排样算法探讨

大小来确定矩形零件的状态。

图1矩形零件的放置状态各个矩形零件之间不得相互重叠。

为了满足任意两个矩形零件不重叠放置,须满足如下数学关系:假设两个矩形分别为);B(x lj,y lj)(x hj,y hj),Max[x li-x hj,x lj-x hi,y li-y不等于j;各个矩形零件不得超出板材区域。

算法实现过程在板材上的定位(排列)具体算法步骤[4-5]:输入给定板材件宽度B,确定原点(0,0);输入各矩形零件X i(a i,b i)i=1,2,3;S i=a i*b i;由大到小排列[S i](即新数列S1>S2>S3……);定位算法实例如图2所示。

图2算法定位实例2零件的矩形化处理零件组合矩形包络过程根据算法的复杂程度可以通过自动排样完成,也可以通过人工交互完成,通常采用方法有[6-9]:(1)同类零件的组合(图3a),图3b));(2)零件填充处理(图3c));(3)零件的互补(图3d))。

a)b)c)d)图3零件的矩形化处理3应用实例选择板材宽度1000mm,长度不限,输入待排零件39个。

基于上述排样算法,文中实现了39个零件排样定位并输出排(下转第31页)省级大学生创新创业训练计划项目(AH201310363286);省级大学生创新创业训练计划项目(AH201410363117);安徽省高等学校省级质量工程项目(2014jyxm186);安徽工程大学年校级本科教学质量提升计划项目(2014jyxm16)。

苏厚仁(1990—),男,福建泉州人,本科生。

,项目指导教师,研究方向为现代设计方法、数字化设计与制造、智能优化算法。

这促使高职物流管理专业要以培养企业。

89.18%。

图439个零件的排样图4结论定位算法是求解最佳排样布局的核心技术,对于不规则零件更是难点。

文中采用较为简单的定位算法,同时对待排零件进行矩形化预处理,大大降低了排样计算的复杂度,能解决一般矩形件的排样问题,。

基于单毛坯条带的矩形件排样算法

ｚｉ１２ …，用ｗ＝∞。，］＝，，ｍ。［， …，记条带宽度向嚣，用［，
， … ，
ｘ记条带长度为（ ≤ ］０
】＝
）时的条带价值向量，则
＝２＝ｘ，２Ｖｘ，１２・，２ＷｉＬ／ｌ＝／Ｊｉ，，一ｍ－１ｌＺＬｈ＝Ｊｉ
第１期２１００年１月
文章编号：０１３９（０００一０１０１０ — ９７２１）ｌ０６— ２
机械设计与制造
ＭａｈｎｅｙＤｅｉｎｃｉｒｓｇ＆Ｍａｆｃｕｅｎｕａｔｒ６１
基于单毛切成条带；阶段称为冲裁阶段，第二用冲在板材上的最优排列方式，尽可能提高下料利用率。
件排样方式，图１如所示。其中图１先用一条竖直线把板材分为ａ左右两块，然后再用两条水平线将每块分为上下两块，１图ｂ先用
一
床从条带上分离出毛坯。排样算法可用于在剪切阶段，确定条带条带和多毛坯条带。图２ａ所示为单毛坯条带排样方式，（）每根条带只含一种毛坯；２ｂ所示为多毛坯条带排样方式，图（）含有五根水
中图分类号：Ｈ１４文献标识码：Ｔ６Ａ
１引言
矩形件排样问题是二维下料问题的一个分支。生产中常采用
２主要概念
（）１毛坯的方向。毛坯在板材上可取两个方向，即其长边分别（）２条带。一根条带由一个或多个毛坯组成。条带分为单毛坯
剪冲下料工艺分两阶段将金属板材分割成毛坯。第一阶段称为剪和板材长边或宽边平行。

矩形零件排样问题的数学建模

问题2：欲从宽为15 （分米）的卷材上切割出二十五个零件(编号1~25)，尺寸（分米）分别是（按编号排列）：零件长度：12 8 8 6 2 零件宽度：6 6 3 3 6 4 8 7 2 6 3 7 5 10 2 2 5 2 3 5 4 6 2 4 4 4 2 4 6 7 9 4 5 6 4 4 6 6 3 4 5 2 4 8 4
样零件面积需不超过板材面积，排样的每种零件个数不能超出题目所给的限制，排样的所有行宽度之和不能超过板材宽度，以此作为约束条件，可以建立整数规划模型。问题一第二问要求在切割只能实行“一刀切”的工艺（在整料或余料中，从一边的某点到另外一边某点的连线一次切割，但可以在切割下来的板料中再次切割）的限制条件下对 9 种零件进行排样，使板材利用率最高。板材利用率可以用排样零件的总面积与板材面积的比值表示，因此可以将排样零件总面积最大作为目标函数，而排样零件总面积可以用每种零件面积乘以排样个数再求和来表示。若考虑先从下方开始沿平行于板材长边方向进行切割，将板材切割成若干长为 L 的行，再分割成若干零件，则最多可切割为 66 行，每行的宽度应等于某种零件的长度或宽度。每行内排样零件的宽度应不超过该行宽度，排样长度应不超过板材长度，同时每种零件排样个数应不超过题目所给的限制。以此为约束条件，可以建立整数规划模型。 2.2 问题二的分析问题二是针对固定宽度的卷材设计使用长度最短的方案以满足各个规格的零件的排样问题。该问题中零件的排样和问题一第二问中方式相同，均为无只能沿一个方向排样和一行只能排放同一种类零件两个约束的排样，因此可考虑建立与上述去除约束条件后排样模型类似的整数规划模型。区别于上述模型，该问题的目标为卷材使用长度最短，因此将模型的目标函数改为最后一个零件的右上角坐标最小。结合上述模型的约束条件，即可建立起问题三的排样优化模型。

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法摘要：矩形件排样优化是在工业生产中普遍存在的问题，有效的排样方法可以节约原材料、提高生产效率。

本文提出了一种基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法，通过两阶段的排放算法对矩形件进行排样，同时结合优化算法，得到了较好的排样效果。

关键词：矩形件；排样优化；两阶段排放算法；优化算法一、引言矩形件是在工业生产中广泛使用的一种零部件，其排样优化问题一直是一个备受关注的研究领域。

矩形件排样优化问题是指在给定的矩形件集合中，如何将这些矩形件尽可能地排放在一个矩形区域内，以减少剩余空间，达到节约原材料、提高生产效率的目的。

目前，关于矩形件排样优化的研究有很多，其中基于排放算法的方法是一种比较常见的方法。

排放算法是指将一组或多组物体放置到一个给定的区域中，并且使得它们之间不发生碰撞，从而尽可能地减少剩余空间。

而在排放算法中，两阶段排放算法是一种比较经典的方法，其将排放过程分为两个阶段进行处理，分别是自底向上的排放阶段和自顶向下的排放阶段，通过这种分阶段的排放方式，使得得到的排样效果更加优化。

本文将提出一种基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法，通过两阶段的排放过程，结合优化算法，使得排样结果更加紧凑，达到了一定的优化效果。

1. 基本思路基于两阶段排放算法的矩形件排样方法主要分为两个阶段进行处理，即自底向上的排放阶段和自顶向下的排放阶段。

在自底向上的排放阶段中，首先将矩形件按照一定的规则排序，然后从下往上逐个放入排样区域中，当无法放入时，将进行下一个矩形件的尝试。

在自顶向下的排放阶段中，使用优化算法对排样进行优化，使得得到的排样更加紧凑。

2. 自底向上的排放阶段自底向上的排放阶段是基于经典的排放算法，其主要思路是将矩形件从下往上逐个放入排样区域中，直到无法再放入为止。

在这个过程中，要保证矩形件的位置能够使得整体排样效果更加紧凑。

在自底向上的排放过程中，可以采用一些启发式算法来确定矩形件的放置位置，例如先放置矩形件底部距离排样区域底部最近的位置，再逐步向上尝试放入，直到找到合适位置或无法放入为止。

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法矩形件排样优化是在生产中非常重要的一项工作，它直接关系到原材料的利用率和生产效率。

而基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法，是一种较为有效的优化方法。

本文将围绕这一主题展开论述。

一、矩形件排样优化的背景矩形件在工业生产中广泛应用，例如家具制造、木工制品生产等领域都会用到矩形件。

而在这些生产过程中，如何将矩形件合理排样以提高原材料的利用率和减少浪费，是每一个生产企业都需要考虑的问题。

传统的排样方法往往依靠工人经验和手工排样，这种方法的效率低、容易出错、而且不能很好地保证原材料的利用率。

研究如何利用计算机技术和算法进行矩形件排样优化，显得尤为重要。

1. 两阶段排放算法的原理两阶段排放算法是一种将矩形件排样问题分为两个阶段来解决的算法。

第一阶段是将所有的矩形件按照一定的规则排成一行，然后再将这一行划分成若干列。

第二阶段是在第一阶段的基础上，将这些矩形件进行进一步的调整，以尽量减少原材料的浪费。

2. 算法步骤（1）对矩形件进行排序，按照一定的规则将矩形件进行排放。

这个规则可以是按照矩形件的长度或宽度进行排序，也可以是按照矩形件的面积进行排序。

（2）然后，按照排放规则将矩形件依次排成一行。

在这一步骤中，可以采用贪心算法或动态规划算法等来实现。

（3）接着，将这一行矩形件进行分列，使得每一列的高度和宽度都能满足要求。

这一步骤可以使用一维的装箱问题的算法来解决。

（4）对排好列的矩形件进行调整，以减少原材料的浪费。

这一步骤可以采用二维的装箱问题的算法来实现。

3. 算法优化在上述算法的基础上，为了进一步提高矩形件排样的效率和质量，可以对算法进行优化。

可以加入局部搜索算法来优化每一列的排放情况，以减少局部的浪费。

还可以考虑将不同矩形件的排放规则进行适当调整，以适应不同尺寸、不同形状的矩形件。

基于两阶段排放算法的矩形件排样优化方法已经在实际生产中得到了广泛的应用。

它可以有效地提高原材料的利用率，减少浪费，提高生产效率。

一种矩形件优化排样算法的研究

一
种矩形件优化排样算法的研究
张伟安鲁陵孙金虎
２０１）１０６（南京航空航天大学机电学院，京南
文
摘
针对在具有一定长宽尺寸的板材上进行矩形件排样的问题，结合遗传算法，设计了一种矩形件优
化排样算法。该算法考虑到排样高度不超过板材长度的要求，可以实现换板，剩余待排矩形件在新板材上继使续排放。通过算例验证了该算法的有效性和合理性。关键词二维装箱问题，形件排样，矩遗传算法，复合材料
有长度限制，待排零件排放到板材上时，样高度将排不能超出板材的长度要求。若零件排放到轮廓线后，排样高度超过板材长度，则需要换板排放此零件（图
１。虚线所表示的矩形件在排放时超出板材的高）度，则需要在新板材上排放。
１前言
法，２对９个具有不同长宽尺寸的复合材料矩形零
制造复合材料构件时需先完成预浸料毛坯展开、进行排样、组合下料、然后再铺层、形成构件。如何排样、下料，以减少废料、降低成本是航空业迫切需要解决的问题。复合材料铺层排样通常可转化为矩形件
的排样效果较好。在实际生产中，复合材料板材往往
图１换板排样不意图
Ｆｇ１Ｓｋｔｈｍａｆｐａｋｉｇｏｗｏｒｉ．ｅｃｐｏｃｎｎａｎｅｂａｄ

矩阵件的最优排样问题

矩阵件的最优排样问题布局规则还要考虑的一个问题就是布局规则，主要有以下几种方式：定位规则、组合规则和邻接规则。

定位规则待排矩形件零件编号确定后，接下来的工作就是确定被选待排炬形件在布局空间中的摆放位置，总体有以下3种：①占角策略，即将待排矩形件摆放在布局空间的某一角；②顺放策略，即从布局空间的某一角开始，将待排矩形件沿着布局空间的某一边摆放；③在底盘装载问题中，先将待排矩形件沿布局空间的四边放置，最后摆放布局空间的中心。

考虑到钢结构排样的实际约束条件，本文采用的是第1种先占左下角的定位规则。

组合规则为提高工业生产的加工效率，在设计布局方案时应考虑组合矩形。

组合矩形是由相同长宽的矩形件以同一种排放方式顺次排在同一层上而形成的。

组合矩形的4种情况，如下图所示：邻接规则领接规则是指将长宽相同或相近的矩形件放在一起进行排料。

规则1：将长或宽相同的矩形相邻排放.规则1的3种情况如下图所示。

规则2：将长或宽相近的矩形相邻排放.规则2的3种情况如下图所示。

一般在排样过程即将结束，当（剩余矩形总面积）/（板材面积）小于一定比例时采用领接规则。

尤其对于最后一块板材的排料，采用领接规则能更进一步地提高排样布局的合理性，减少材料浪费。

解决方案对于矩形排样问题，一个简单的方法就是根据各种长度限制，列出相应的公式，进行暴力搜索，但这种方法的时间复杂度较高，在计算量小的情况下还可以接受，但是在实际的工程应用中用处不大。

这里利用最低轮廓线的思想，其核心想法是采用最佳匹配搜索策略来确定矩形件的最佳排放位置，即搜索最低轮廓线中轮廓线的长度与待排矩形件的宽度差值最小的一条轮廓线，直至所有矩形件排样完毕。

为了满足实际工程中“一刀切”的要求，需要对其进行修改，这里结合分层的思想。

分层排样的思想体现的是一种剪切排样的方式，满足“一刀切”的工艺约束，它是将矩形零件按一定的顺序排放，在排放下一零件时若当前层剩余空间不足，则以当前层所排矩形零件的最高水平线为基准开辟新层。

适合“一刀切”剪切方式的矩形件排样算法

适合“一刀切”剪切方式的矩形件排样算法摘要:本文以满足剪板机加工工艺要求,提高板材的利用率为出发点,研究了大量国内外有关矩形件排样的各种算法,总结了适合普通剪床“一刀切”剪切方式的丁字尺算法,模拟退火算法,分层排样算法,并给出了算法的实现过程,方法简单易懂易编程,适合大规模矩形件排样,能提高材料利用率和下料效率,期待这些排样算法能为进行矩形排样的学者和从事生产实践的技术人员提供参考价值。

关键词:一刀切排样丁字尺算法模拟退火算法在航空航天领域中各种复合材料和板材的性能独特,而且应用广泛,价格昂贵,下料是零件加工的首道工序,是浪费的源头,也可以说是节约成本的起点。

因此如何进行板材排样下料,以减少废料、降低成本是航空业迫切需要解决的问题。

矩形件排样是指在给定的矩形板材上将一系列矩形零件按最优方式进行排布,以使材料的利用率达到最高。

矩形件排样优化问题是具有最高计算复杂度的一类问题——NP 完全问题。

对于NP完全问题,国内外不少学者也进行了大量的研究,至今未找到最优算法,因而只能采用有效的近似算法求解。

曹炬提出了背包算法,能够快速地找到近似最优解。

贾志欣提出了最低水平线排放算法与模拟退火算法相结合的方法,Jakobs最早提出了遗传算法,但是这些方法不适用于“一刀切”的矩形件排样。

1 定义设排样所用的板材的长为L、宽为W,板材的数量足以排下所有要排的矩形件。

待排矩形件简称样件,排样所用原材料称板材,待排件数量记作n,每个样件记为Ri(i=1,2,…,n)。

矩形件排样问题通常是指将一系列矩形零件R=(R1,R2,…,Rn)排布在一宽为W,长(高)为L的矩形板材P上,使得排放区域的废料尽可能少,并要满足以下约束:(1)Ri、Rj 互不重叠,i≠j,i,j=1,2,…,n;(2)Ri能够且必须放在P内,i=1,2,…,n;(3)满足一定工艺要求。

2 算法任何一种优越的算法都是为了更好地满足生产需求,单纯考虑材料的利用率,就会增加零件排样的复杂度,影响下料的时间,所以,对于排样算法的研究,就要兼顾材料利用率,又要考虑下料的效率,同时也要符合加工设备的工艺要求,下面介绍几种符合剪板机“一刀切”剪切方式的算法。

适合“一刀切”剪切方式的矩形件排样算法

适合“一刀切”剪切方式的矩形件排样算法作者：齐中娟来源：《科技资讯》2014年第16期摘要：本文以满足剪板机加工工艺要求，提高板材的利用率为出发点，研究了大量国内外有关矩形件排样的各种算法，总结了适合普通剪床“一刀切”剪切方式的丁字尺算法，模拟退火算法，分层排样算法，并给出了算法的实现过程，方法简单易懂易编程，适合大规模矩形件排样，能提高材料利用率和下料效率，期待这些排样算法能为进行矩形排样的学者和从事生产实践的技术人员提供参考价值。

关键词：一刀切排样丁字尺算法模拟退火算法中图分类号：TH162 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）06（a）-0095-02在航空航天领域中各种复合材料和板材的性能独特，而且应用广泛，价格昂贵，下料是零件加工的首道工序，是浪费的源头，也可以说是节约成本的起点。

因此如何进行板材排样下料，以减少废料、降低成本是航空业迫切需要解决的问题。

矩形件排样是指在给定的矩形板材上将一系列矩形零件按最优方式进行排布，以使材料的利用率达到最高。

矩形件排样优化问题是具有最高计算复杂度的一类问题—— NP完全问题。

对于NP完全问题，国内外不少学者也进行了大量的研究，至今未找到最优算法，因而只能采用有效的近似算法求解。

曹炬提出了背包算法，能够快速地找到近似最优解。

贾志欣提出了最低水平线排放算法与模拟退火算法相结合的方法，Jakobs最早提出了遗传算法，但是这些方法不适用于“一刀切”的矩形件排样。

1 定义设排样所用的板材的长为L、宽为W，板材的数量足以排下所有要排的矩形件。

待排矩形件简称样件，排样所用原材料称板材，待排件数量记作n，每个样件记为Ri（i=1，2，…，n）。

矩形件排样问题通常是指将一系列矩形零件R=（R1，R2，…，Rn）排布在一宽为W，长（高）为L的矩形板材P上，使得排放区域的废料尽可能少，并要满足以下约束：（1）Ri、Rj互不重叠，i≠j，i，j=1，2，…，n；（2）Ri能够且必须放在P内，i=1，2，…，n；（3）满足一定工艺要求。

基于统计分析的矩形件排样问题遗传算法分析

第二章矩形件优化排样问胚【（０，０），（阡７，Ｈ）Ｉ一【（ｘ１，，Ｙ１ｊ）＇（ｘｌｉ＋Ｈ－＇ｌ，Ｙｌｆ＋ｈｉ）】＝｛Ｉ（０，０），（形，Ｊ，ｌ，）】，ｌ（Ｏ，０），ｏ¨’Ｈ）Ｉ，【（０，Ｊ，。

』＋以），（形，Ｈ）Ｉ，【ｏ。

ｌ＋峨，０），（∥，日）】）按顺时针方向记录矩形，如图２．６所示。

若为竖排，计算方法类似。

图２．６剩余矩形表示法依此类推，将矩形数据集中的所有剩余矩形都作如此操作，减去所排入矩形件ｆ所占位置，形成新的剩余矩形。

（３）由于新的剩余矩形的产生，又将引起原矩形数据集的改变，因此对其进行整理：去掉面积为零的或已无法排下所剩的任何一个矩形件的剩余矩形；把具有完全包含关系的剩余矩形中面积小的矩形去除、有相交关系的矩形全部保留。

得到新的剩余矩形集，为下一次排放使用。

用剩余矩形表示法可记录每个可形成最大矩形的空间，用于排样。

将这种表示法与ＢＬ排样算法结合，就形成了剩余矩形排样算法，对于给定的一个排样方案Ｄ＝｛Ｐ’埘，其中Ｐ＝（ｐｌ，，：，…，Ｐ．），Ｒ＝“，ｒ２，－－－，ｒ。

），具体排样过程如下：（１）开始时剩余矩形集ｓ中仅有一个矩形，即板材本身Ｒｌ＝【（０，０），（∥，日）ｌ。

（２）从排列Ｐ中取出第一个需排的矩形件ｐ。

（宽Ⅳ，。

，高＾，。

），将ｐ。

根据相应排放方向，Ｉ排放在板材的左下角，用上面所述的剩余矩形表示法计算新的板材剩余矩形集Ｊ＝｛Ｒｌ，Ｒ２）：若＾＝０（横排），则Ｒ１＝【（’‘’。

ｌ＇０），（形，Ｈ）Ｉ，Ｒ２＝【（０，ｈｐｌ），（∥，日）ｌ，如图２．７：若，ｌ＝１（竖排），则Ｒ１＝时。

Ｏ），（∥，日）】，Ｒ２＝【（ｏ，ＷｐＩ），（形，Ｈ）Ｉ。

１９河海大学硕士学位论文基于统计分析的矩形件排样问题遗传算法研究图２．７剩余矩形排样过程（３）依此类推，按顺序逐一排放ｎ（ｆ＝２，…，矗），直至所有矩形排放完毕。

每放入一矩形件，都需根据剩余矩形集确定其排放位置，即在剩余矩形集中选择宽高均大于等于此矩形件的底部最低的最靠左的剩余矩形（先靠下后靠左），让矩形件与剩余矩形的左下角重叠。

矩形件排样的流程和算法设计

矩形件排样的流程和算法设计董功云;陈进;王鸿超【摘要】针对人工矩形件排样效率低、耗时长,且不能保证得到板材利用率为最优方案的问题,通过研究人工矩形件排样的过程,提出了一种下料系统流程和矩形件排样的启发式与遗传相结合的算法.研究结果表明:所设计的下料系统流程能够充分利用原材料库和余料库,且避免生成更多的余料;通过文中设计的启发式和遗传相结合的矩形件排样算法,能够快速搜索出近似总体最优的排样方案.该设计方案能够提高板材利用率,同时减少更多余料的产生.【期刊名称】《轻工机械》【年(卷),期】2016(034)006【总页数】5页(P57-61)【关键词】矩形件排样;下料系统流程;启发式算法;遗传算法【作者】董功云;陈进;王鸿超【作者单位】江南大学机械工程学院,江苏无锡214122;江南大学机械工程学院,江苏无锡214122;江南大学机械工程学院,江苏无锡214122【正文语种】中文【中图分类】TP301.6在机械制造行业，确定制作某种产品所需的材料形状、数量或质量后，按照特定工艺从原材料中取下所需的材料的操作过程为下料[1]。

下料是生产的第一道工序，影响着原材料的利用率[2]。

为了得到合理的下料方案，原材料在实际锯切之前都需要计算后方能得到下料排样方案，而目前企业大多都是采用人工排样的方式，凭借经验去计算，不但计算过程复杂，而且非常耗时，即使这样最终得出的方案也并非最优。

板材下料问题是一个复杂的非确定性多项式问题[3]。

仅通过人工计算很难从全局上去整体优化，而遗传算法在求解这类问题上效果突出[4]。

为了充分利用原材料库和余料库，将所有矩形工件进行排样和布局[5]，并使材料的利用率达到最大，同时满足“一刀切”的工艺要求[6]，即从板材的一端开始切割，直到另一端结束[7]，设计了下料系统流程和矩形件排样的启发式与遗传相结合的算法。

人工下料排样，通常都是先从原料库选择原材料对将要加工板材进行排样，对于剩余的少量待加工板材，会从余料库选择合适的原材料进行排样。

PCB拼板之单一矩形排样算法

PCB拼板之单⼀矩形排样算法
算法实现相关内容整理如下：
⼀.排样变量与关系
此算法，基于固定4边的尺⼨遍历每个单只板的长宽得到最优解。

⼆.条件约束
基本约束条件(参考上图变量)
三.排样图形相同类型规律
由于计算量⼤，为了有效减少计算量,提⾼效率，将排样类型相同的规律找出来，
如左排（上下两个图形），对于计算机⽽⾔，认为是不⼀致的，但对于实际应⽤来说，图形认为是⼀致的。

在算法考虑设计时可以有效免重复图形的计算。

四.全包围再嵌套算法
当我们在计算PNL边外围遍历后，可能中间区域存在空洞，在算法设计上，再嵌套相同的算法再进⾏深⼊⼀层计算(递归实现)
五.C# 算法实现效果图：
这边采⽤此算法实现的效果图如下，⽬前已实现了：V-CUT跳⼑，⼀⼑切，矩阵排。

后续将继续完善，待完善功能，将排版中间嵌⼊阻抗条与测试板。

六.⼤料尺⼨常规标准切割尺⼨：
此算法基于固定PNL尺⼨排样,这⾥将常规则切割尺⼨列出来，如下表所⽰。

面向零件的人造板材矩形件锯切排样数学建模及遗传算法求解

面向零件的人造板材矩形件锯切排样数学建模及遗传算法求解蔡小娜;侯晓鹏;赵旦;周玉成;葛浙东【期刊名称】《林业科学》【年(卷),期】2016(052)005【摘要】【目的】探讨人造板材矩形零件锯切排样的启发式规则，建立锯切排样的数学模型并研究求解方法，为解决由于整体套排导致国产排样系统使开料锯在工作过程中锯路变化繁琐、降低切割效率的问题提供科学依据。

【方法】基于一套板式家具下料清单中往往有2种或2种以上零件存在相互配合尺寸的情况，提出基于配合尺寸的分组降维启发式规则，按配合尺寸由大到小排序并将所有矩形零件分组，使每组零件种类不大于4种；以余料面积最小为评价指标，建立面向零件的锯切排样数学模型，通过设定冗余系数估算基材板需求量，以矩形零件数量及在基材板上的排样长度、宽度和面积不超限为约束条件，设立排样宽度系数并通过为矩形零件和基材板的长、宽尺寸增加一个单位的锯路宽度以抵消在基材板最下端和最右端的“虚拟锯路损失”；采用遗传算法进行模型求解并利用惩罚函数法处理约束条件，经染色体整数编码、初始种群建立、具有一定自适应性的惩罚因子建立、基于外点惩罚函数的适应度函数建立和遗传操作，利用结合 MATLAB遗传算法工具箱而建立的排样算法计算出描述排样方案的向量；通过实例验证模型和算法的可行性。

【结果】所有矩形零件的排样方案通过4个参数来描述，即某个排样零件的排放目标板材号、在基材板上的排放行号及横向或竖向的排放方式；排样矩阵的行数为4，列数为矩形零件总数，每列表示1个零件的排样结果。

应用实例表明，基于配合尺寸的启发式规则使多种矩形零件分组排样，每组排样方案的最优控制向量可明显划分为高低不同的4段，分别表示4个参数；遗传运算在限定的迭代次数内都趋于收敛，体现出较好的全局寻优能力，排样方案的可视化图形满足“一刀切”的锯切工艺要求，且锯路规整，有利于提高锯切效率。

【结论】基于配合尺寸的启发式规则和面向零件的锯切排样模型对于人造板材优化排样具有一定可行性，可为板式家具锯切排样提供新的解决方法，但要提高开料锯的锯切效率，还需将走刀次数、惩罚因子的优化选择等加以综合考虑。