(完整版)利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a

f x →= 及()lim 0x a

g x →=；(2)在点

a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()

()

lim

x a

f x l

g x →'='，那么 ()

()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞

= 及()lim 0x g x →∞

=； (2)0A ∃f ，

f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)()()lim x f x l g x →∞'='，那么

()

()lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a

f x →=∞及()lim x a

g x →=∞； (2)在点

a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()()lim x a f x l g x →'='，那么

()()

lim

x a

f x

g x →=()

()

lim

x a

f x l

g x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +

→，x a -

→洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0

∞，00，∞-∞型。

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0

∞，00，∞-∞型定

式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

二．高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数2()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

解:（II ）当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥；当0x >时，()0f x ≥等价于

2

1

x

x a e

x

--≤

令

()2

1

x

x g x e

x

--=

(x>0),

则

3

22

()x x

x x g x e e x

-++'=

，令

()()220x

x

h x x x x e e =-++>，则()1x

x

h x x e e '=-+，()0x

h x x e ''=>，

知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数，

()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数。由洛必达法则知，

2

0001

122

2lim

lim lim x

x x

x x x x x e

e e x

+

++→→→--===，故12a ≤综上，知a 的取值范围为1,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭。

2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为

230x y +-=。（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围。

解：（II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<

2

2ln 11x x

x

+-恒成立。 令g (x)= 22ln 11x x

x +-(0,1x x >≠),则()()()

22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-， 再令

()()221ln 1h x x x x =+-+(

0,1x x >≠)，则

()1

2ln h x x x x x

'=+

-，

()212ln 1h x x x ''=+-

，易知()2

1

2ln 1h x x x

''=+-在()0,+∞上为增函数，且()10h ''=；故当(0,1)x ∈时，()0h x ''<，当x ∈（1，+∞）时，()0h x ''>；

∴()h x '在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数；故()h x '>()1h '=0

∴()h x 在()0,+∞上为增函数Q ()1h =0∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，当x ∈（1，+∞）时，

()0h x >∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当x ∈（1，+∞）时，()0g x '>

∴()g x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数